高考数学一轮复习 第一章集合与逻辑用语 命题及其关系充分条件与必要条件教学案理
《第一章-集合与常用逻辑用语》大单元整体教学设计
《第一章集合与常用逻辑用语》大单元整体教学设计一、内容分析与整合（一）教学内容分析《第一章集合与常用逻辑用语》是高中数学学习的起点，为学生后续学习函数、数列、不等式等数学内容提供了重要的逻辑基础。
本章内容主要分为五个部分：集合的概念、集合间的基本关系、集合的基本运算、充分条件与必要条件、以及全称量词与存在量词。
这些内容不仅在数学内部逻辑上紧密相连，而且在实际问题解决中也具有广泛的应用价值。
集合是现代数学的基本概念之一，它是描述事物群体及其相互关系的重要工具。
通过学习集合的概念，学生能够理解集合的确定性、互异性、无序性，并掌握集合的表示方法（如列举法、描述法等）。
集合的学习有助于学生形成分类讨论的数学思想，为后续学习打下坚实基础。
集合间的基本关系主要包括子集、真子集、相等关系等。
这些关系揭示了集合之间的层次结构和相互联系，是学习集合运算和逻辑推理的基础。
学生需要掌握判断集合间关系的方法，并能根据具体问题灵活应用。
集合的基本运算包括并集、交集、补集等。
这些运算是集合论中的重要内容，也是解决实际问题中常用的数学工具。
学生需要掌握集合运算的定义、性质及运算法则，并能够进行复杂的集合运算。
充分条件与必要条件是逻辑推理中的基本概念，它们描述了条件与结论之间的逻辑关系。
通过学习充分条件与必要条件，学生能够理解命题之间的逻辑关系，掌握推理的基本方法，提高逻辑思维能力。
全称量词与存在量词是数学语言中的重要组成部分，它们用于描述具有普遍性或特殊性的数学命题。
学生需要理解全称命题与特称命题的区别，掌握全称量词与存在量词的含义及用法，并能够运用量词进行逻辑推理和命题证明。
（二）单元内容分析本单元内容不仅涵盖了集合论和逻辑推理的基础知识，更在数学学科中占据着举足轻重的地位。
集合论，作为现代数学大厦的基石之一，为我们提供了一个描述和研究数学对象及其相互关系的强大框架。
它使我们能够更清晰地理解和表达数学中的基本概念，为深入学习更复杂的数学知识打下坚实的基础。
高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 2 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件教学案
第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3＜0”是命题．( )(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．( )(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( )(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )(5)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√[教材衍化]1．(选修2－1P12A组T2改编)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是________，是________命题(填“真”或“假”)解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．答案：若x≤y，则x2≤y2假2．(选修2－1P12A组T3改编)设x∈R，则“2－x≥0”是“(x －1)2≤1”的________条件．解析：2－x≥0，则x≤2，(x－1)2≤1，则－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，据此可知，“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分条件．答案：必要不充分[易错纠偏](1)命题的条件与结论不明确；(2)对充分必要条件判断错误．1．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是________．答案：若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠02．条件p：x>a，条件q：x≥2.(1)若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________；(2)若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是________．解析：设A＝{x|x>a}，B＝{x|x≥2}，(1)因为p是q的充分不必要条件，所以A B，所以a≥2；(2)因为p是q的必要不充分条件，所以B A，所以a<2.答案：(1)a≥2(2)a<2四种命题的相互关系及真假判断(1)(2020·浙江重点中学模拟)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定(2)(2020·温州模拟)命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y ＝0”的逆否命题是( )A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0【解析】(1)命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题，故选B.(2)将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.【答案】(1)B (2)D(1)写一个命题的其他三种命题时需关注2点①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写．②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．[提醒] 四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．(2)判断命题真假的2种方法①直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．②间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．1．命题“若a 2>b 2，则a >b ”的否命题是( )A ．若a 2>b 2，则a ≤bB ．若a 2≤b 2，则a ≤bC ．若a ≤b ，则a 2>b 2D ．若a ≤b ，则a 2≤b 2解析：选B.根据命题的否命题若“﹁p ，则﹁q ”知选B.2．下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若1x＞1，则x ＞1”的逆否命题 解析：选B.对于A ，命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4＞1，故为假命题；对于B ，命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”，分析可知为真命题；对于C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故为假命题；对于D ，命题“若1x＞1，则x ＞1”的逆否命题为“若x ≤1，则1x≤1”，易知为假命题，故选B. 充分条件、必要条件的判断(高频考点)充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点，常以选择题的形式出现，作为一个重要载体，考查的知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面．主要命题角度有：(1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)与命题的真假性相交汇命题．角度一 判断指定条件与结论之间的关系(1)(2019·高考浙江卷)设a >0，b >0，则“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·高考浙江卷)已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 (1)通解：因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ，由a ＋b ≤4可得2ab ≤4，解得ab ≤4，所以充分性成立；当ab ≤4时，取a ＝8，b ＝13，满足ab ≤4，但a ＋b >4，所以必要性不成立，所以“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件．故选A.优解：在同一坐标系内作出函数b ＝4－a ，b ＝4a的图象，如图，则不等式a ＋b ≤4与ab ≤4表示的平面区域分别是直线a ＋b ＝4及其左下方(第一象限中的部分)与曲线b ＝4a及其左下方(第一象限中的部分)，易知当a ＋b ≤4成立时，ab ≤4成立，而当ab ≤4成立时，a ＋b ≤4不一定成立．故选A.(2)若m ⊄α，n ⊂α，m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A.【答案】(1)A (2)A角度二与命题的真假性相交汇命题(2020·杭州模拟)下列有关命题的说法正确的是( ) A．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件B．p：A∩B＝A；q：A B，则p是q的充分不必要条件C．已知数列{a n}，若p：对于任意的n∈N*，点P n(n，a n)都在直线y＝2x＋1上；q：{a n}为等差数列，则p是q的充要条件D．“x<0”是“ln(1＋x)<0”的必要不充分条件【解析】选项A：当x＝－1时，x2－5x－6＝0，所以x＝－1是x2－5x－6＝0的充分条件，故A错．选项B：因为A∩B＝A⇒/A B(如A＝B)，而A B⇒A∩B＝A，从而p⇒/q，q⇒p，所以p是q的必要不充分条件，故B错．选项C：因为P n(n，a n)在直线y＝2x＋1上．所以a n＝2n＋1(n∈N*)，则a n＋1－a n＝2(n＋1)＋1－(2n＋1)＝2，又由n的任意性可知数列{a n}是公差为2的等差数列，即p⇒q.但反之则不成立，如：令a n＝n，则{a n}为等差数列，但点(n，n)不在直线y＝2x＋1上，从而q⇒/p.从而可知p是q的充分不必要条件，故C错．选项D：利用充分条件和必要条件的概念判断．因为ln(x＋1)<0⇔0<x＋1<1⇔－1<x<0，所以“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要不充分条件．故D正确．【答案】 D判断充要条件的3种常用方法(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与﹁B ⇒﹁A ，B ⇒A 与﹁A ⇒﹁B ，A ⇔B 与﹁B ⇔﹁A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．[提醒] 判断充要条件需注意3点(1)要分清条件与结论分别是什么．(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断．(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．1．(2020·杭州市富阳二中高三开学检测)若a ，b 为实数，则“ 3a <3b”是“1|a |>1|b |”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D.根据题意，若“3a <3b ”，则有a <b ，而“1|a |>1|b |”不一定成立，如a ＝－3，b ＝1；若“1|a |>1|b |”，则有|a |<|b |，“3a <3b ”不一定成立，如a ＝1，b ＝－3，故“3a <3b”是“1|a |>1|b |”的既不充分也不必要条件．2．(2020·“超级全能生”高考浙江省联考)已知函数f (x )＝sin x ，x ∈[0，2π)，则“f (x )≥0”是“f (x 2)≥0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.由f (x )≥0⇒x ∈[0，π]，由f (x 2)≥0⇒x 2∈[0，π]⇒x ∈[0，π]，因为[0，π]⊆[0，π]，由集合性质可知为必要不充分条件． 充分条件、必要条件的应用(1)已知p ：|x ＋1|＞2，q ：x ＞a ，且﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a ≤－3C ．a ≥－1D ．a ≥1 (2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件，则m 的取值范围为________．【解析】 (1)由|x ＋1|＞2，解得x ＞1或x ＜－3，因为﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件，从而可得(a ，＋∞)是(－∞，－3)∪(1，＋∞)的真子集， 所以a ≥1，故选D.(2)由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]．【答案】 (1)D (2)[0，3](变问法)本例(2)条件不变，若“x ∈﹁P ”是“x ∈﹁S ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，因为“x ∈﹁P ”是“x ∈﹁S ”的必要不充分条件，所以P ⇒S 且S ⇒/ P .所以[－2，10][1－m ，1＋m ]．所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10. 所以m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．利用充要条件求参数应关注2点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．[提醒] 含有参数的问题，要注意分类讨论．(2020·金华一模)已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2<7am (a >0)，命题q ：实数m 满足方程x 2m －1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为________．解析：由a >0，m 2－7am ＋12a 2<0，得3a <m <4a ，即命题p ：3a <m <4a ，a >0.由x 2m －1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得2－m >m －1>0，解得1<m <32， 即命题q ：1<m <32. 因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥14a ≤32， 解得13≤a ≤38， 所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，38. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，38 [基础题组练]1．下列命题是真命题的是( )A ．若1x ＝1y，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x ＜y ，则x 2＜y 2解析：选A.由1x ＝1y得x ＝y ，A 正确；由x 2＝1得x ＝±1，B 错误；由x ＝y ，x ，y 不一定有意义，C 错误；由x ＜y 不一定能得到x 2＜y 2，如x ＝－2，y ＝－1，D 错误，故选A.2．命题“若x ＞1，则x ＞0”的逆否命题是( )A ．若x ≤0，则x ≤1B ．若x ≤0，则x ＞1C ．若x ＞0，则x ≤1D ．若x ＜0，则x ＜1解析：选A.依题意，命题“若x ＞1，则x ＞0”的逆否命题是“若x ≤0，则x ≤1”，故选A.3．设a ，b 是实数，则“a ＋b >0”是“ab >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D.特值法：当a ＝10，b ＝－1时，a ＋b ＞0，ab ＜0，故a ＋b ＞0⇒/ ab ＞0；当a ＝－2，b ＝－1时，ab ＞0，但a ＋b ＜0，所以ab ＞0⇒/ a ＋b ＞0.故“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件．4．(2020·金华市东阳二中高三调研)若“0<x <1”是“(x －a )[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，0]B ．(－1，0)C ．(－∞，0]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)解析：选A.由(x －a )[x －(a ＋2)]≤0得a ≤x ≤a ＋2，要使“0<x <1”是“(x －a )[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≥1a ≤0，所以－1≤a ≤0. 5．(2020·杭州中学高三月考)已知a ，b ∈R ，条件p ：“a >b ”，条件q ：“2a >2b－1”，则p 是q 的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由条件p：“a>b”，再根据函数y＝2x是增函数，可得2a>2b，所以2a>2b－1，故条件q：“2a>2b－1”成立，故充分性成立．但由条件q：“2a>2b－1”成立，不能推出条件p：“a>b”成立，例如由20>20－1成立，不能推出0>0，故必要性不成立．故p 是q的充分不必要条件，故选A.6．已知a，b∈R，则使|a|＋|b|>4成立的一个充分不必要条件是( )A．|a|＋|b|≥4B．|a|≥4C．|a|≥2且|b|≥2D．b<－4解析：选D.由b<－4可得|a|＋|b|>4，但由|a|＋|b|>4得不到b<－4，如a＝1，b＝5.7．已知直线l，m，其中只有m在平面α内，则“l∥α”是“l∥m”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.当l∥α时，直线l与平面α内的直线m平行、异面都有可能，所以l∥m不一定成立；当l∥m时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l∥α，即“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件，故选B.8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“sin A ＞sin B”是“a＞b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.设△ABC外接圆的半径为R，若sin A＞sin B，则2R sin A＞2R sin B，即a＞b；若a＞b，则a2R ＞b2R，即sin A＞sinB，所以在△ABC中，“sin A＞sin B”是“a＞b”的充要条件，故选C.9．设向量a＝(1，x－1)，b＝(x＋1，3)，则“x＝2”是“a∥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.依题意，注意到a∥b的充要条件是1×3＝(x－1)(x ＋1)，即x＝±2.因此，由x＝2可得a∥b，“x＝2”是“a∥b”的充分条件；由a∥b不能得到x＝2，“x＝2”不是“a∥b”的必要条件，故“x＝2”是“a∥b”的充分不必要条件，选A.10．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是( )A．p：x＝1，q：x2＝xB．p：|a|>|b|，q：a2>b2C．p：x>a2＋b2，q：x>2abD．p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>d解析：选D.A中，x＝1⇒x2＝x，x2＝x⇒x＝0或x＝1⇒/ x＝1，故p是q的充分不必要条件；B中，因为|a|>|b|，根据不等式的性质可得a2>b2，反之也成立，故p是q的充要条件；C中，因为a2＋b2≥2ab，由x>a2＋b2，得x>2ab，反之不成立，故p是q的充分不必要条件；D中，取a＝－1，b＝1，c＝0，d＝－3，满足a＋c>b＋d，但是a<b，c>d，反之，由同向不等式可加性得a>b，c>d⇒a ＋c>b＋d，故p是q的必要不充分条件．综上所述，故选D.11．对于原命题：“已知a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数为________．解析：原命题为真命题，故逆否命题为真；逆命题：若a＞b，则ac2＞bc2为假命题，故否命题为假命题，所以真命题个数为2.答案：212．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．解析：已知函数f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称，则m＝－2；反之也成立．所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.答案：m＝－213已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．解析：α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，因为β：|x－1|<1，所以0<x<2，所以β可看作集合B＝{x|0<x<2}．又因为α是β的必要不充分条件．所以B A，所以a≤0.答案：(－∞，0]14．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“a ⊥b ”是“α⊥β”的________条件(只填充分不必要、必要不充分、充分必要，既不充分也不必要)．解析：因为α⊥β，b ⊥m ，所以b ⊥α，又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ；又直线a ，m 不一定相交，所以“a ⊥b ”是“α⊥β”的必要不充分条件．答案：必要不充分15．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0.答案：[－3，0]16．已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，且綈p 是綈q 的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围为________．解析：法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， 所以綈p 对应的集合为{x |x >10或x <－2}，设A ＝{x |x >10或x <－2}．1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，所以綈q 对应的集合为{x |x >m ＋1或x <1－m ，m >0}，设B ＝{x |x >m ＋1或x <1－m ，m >0}．因为﹁p 是﹁q 的必要而不充分条件，所以B A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10，且不能同时取得等号．解得m ≥9，所以实数m 的取值范围为[9，＋∞)．法二：因为﹁p 是﹁q 的必要而不充分条件，所以q 是p 的必要而不充分条件．即p 是q 的充分而不必要条件，因为q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}，设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}，又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， 所以p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}，设N ＝{x |－2≤x ≤10}．由p 是q 的充分而不必要条件知N M ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10，且不能同时取等号，解得m ≥9.所以实数m 的取值范围为[9，＋∞)．答案：[9，＋∞)17．给出下列命题：①已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件；②“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件；③“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的充要条件；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a·b ＜0”．其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都写上)解析：①因为“a ＝3”可以推出“A ⊆B ”，但“A ⊆B ”不能推出“a ＝3”，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件，故①正确；②“x ＜0”不能推出“ln(x ＋1)＜0”，但“ln(x ＋1)＜0”可以推出“x ＜0”，所以“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件，故②正确；③f (x )＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos 2ax ，若其最小正周期为π，则2π2|a |＝π⇒a ＝±1，因此“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的必要不充分条件，故③错误；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”可以推出“a·b ＜0”，但由“a·b ＜0”，得“平面向量a 与b 的夹角是钝角或平角”，所以“a·b ＜0”是“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的必要不充分条件，故④错误．正确命题的序号是①②.答案：①②[综合题组练]1．设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇔－π12＜θ－π12＜π12⇔0＜θ＜π6， sin θ＜12⇔θ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π－7π6，2k π＋π6，k ∈Z ， ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6⎝⎛⎭⎪⎫2k π－7π6，2k π＋π6，k ∈Z ， 所以“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件． 2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.答案：m ＞23．已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )”．(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．解：(1)否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．该命题是真命题，证明如下：因为a ＋b <0，所以a <－b ，b <－a .又因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．所以f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )，因此f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，所以否命题为真命题．(2)逆否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，则a ＋b <0.真命题，可通过证明原命题为真来证明它．因为a ＋b ≥0，所以a ≥－b ，b ≥－a ，因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，所以f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．4．已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．解：因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，所以m ≠0.又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都要有实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16（1－m ）≥0，Δ2＝16m 2－4（4m 2－4m －5）≥0， 解得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1. 因为两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m∈Z ，4m ∈Z ，4m 2－4m －5∈Z . 所以m 为4的约数．又因为m ∈错误!，所以m ＝－1或1.当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数； 而当m ＝1时，两方程的根均为整数，所以两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.5．已知p ：x 2－7x ＋12≤0，q ：(x －a )(x －a －1)≤0.(1)是否存在实数a ，使﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．(2)是否存在实数a ，使p 是q 的充要条件，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：因为p ：3≤x ≤4，q ：a ≤x ≤a ＋1.(1)因为﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，所以﹁p ⇒﹁q ，且﹁q ⇒/﹁p ，所以q ⇒p ，且p ⇒/ q ， 即q 是p 的充分不必要条件，故{x |a ≤x ≤a ＋1}{x |3≤x ≤4}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >3，a ＋1≤4或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ＋1<4，无解， 所以不存在实数a ，使﹁p 是﹁q 的充分不必要条件．(2)若p 是q 的充要条件，则{x |a ≤x ≤a ＋1}＝{x |3≤x ≤4}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a ＋1＝4，解得a ＝3.故存在实数a ＝3，使p 是q 的充要条件．。
2021版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件教案
第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件一、知识梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．常用结论1．充要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．(2)若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的充分不必要条件．2．一些常见词语及其否定词语 是 都是 都不是 等于 大于 否定不是不都是至少一个是不等于不大于1．(选修11P8A 组T2改编)命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是( ) A ．“若x <y ，则x 2<y 2” B ．“若x >y ，则x 2>y 2” C ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2”D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2”解析：选C.根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．故选C.2．(选修11P10练习T3(2)改编)“(x －1)(x ＋2)＝0”是“x ＝1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.若x ＝1，则(x －1)(x ＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x －1)(x ＋2)＝0，则x 的值也可能为－2.故选B.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x 2＋2x －3<0”是命题．( )(2)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则綈q ”．( )(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( ) (4)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( ) (5)q 不是p 的必要条件时，“p ⇒/ q ”成立．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ 二、易错纠偏 常见误区(1)不明确命题的条件与结论； (2)对充分必要条件判断错误； (3)含有大前提的命题的否命题易出错．1．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三个内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三个内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题．2．已知p ：a <0，q ：a 2>a ，则綈p 是綈q 的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：綈p ：a ≥0；綈q ：a 2≤a ，即0≤a ≤1，故綈p 是綈q 的必要不充分条件． 答案：必要不充分3．已知命题“对任意a ，b ∈R ，若ab >0，则a >0”，则它的否命题是____________． 答案：存在a ，b ∈R ，若ab ≤0，则a ≤0.四种命题的相互关系及其真假判断(师生共研)(2020·长春质量检测(二))命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1【解析】 命题的形式是“若p ，则q ”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q ，则綈p ”的形式，所以“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1”．故选D.【答案】 D(1)判断命题真假的两种方法(2)由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是( )A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0解析：选D.“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.2．(2020·甘肃酒泉敦煌中学一诊)有下列四个命题，其中真命题是( )①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题；②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题；③“若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题．A．①②B．①②③④C．②③④D．①③④解析：选B.①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题为“若lg x＋lg y＝0，则xy ＝1”，该命题为真命题；②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题为“若a·b≠a·c，则a不垂直(b－c)”，由a·b≠a·c可得a(b－c)≠0，据此可知a不垂直(b－c)，该命题为真命题；③若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0的判别式Δ＝(－2b)2－4(b2＋b)＝－4b≥0，方程有实根，为真命题，则其逆否命题为真命题；④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形为等边三角形”，该命题为真命题．综上可得，真命题是①②③④.故选B.充分条件、必要条件的判断(师生共研)(1)(2019·高考天津卷)设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2019·高考北京卷)设函数f(x)＝cos x＋b sin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)由x2－5x<0可得0<x<5，由|x－1|<1可得0<x<2.由于区间(0，2)是(0，5)的真子集，故“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要而不充分条件．(2)b＝0时，f(x)＝cos x，显然f(x)是偶函数，故“b＝0”是“f(x)是偶函数”的充分条件；f(x)是偶函数，则有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋b sin(－x)＝cos x＋b sin x，又cos(－x)＝cos x，sin(－x)＝－sin x，所以cos x－b sin x＝cos x＋b sin x，则2b sin x＝0对任意x∈R恒成立，得b＝0，因此“b＝0”是“f(x)是偶函数”的必要条件．因此“b ＝0”是“f(x)是偶函数” 的充分必要条件，故选C.【答案】(1)B (2)C充分条件、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．1．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由A⊆C，B⊆∁U C，易知A∩B＝∅，但A∩B＝∅时未必有A⊆C，B⊆∁U C，如图所示，所以“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的充分不必要条件．2．设x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.2－x≥0，则x≤2，(x－1)2≤1，则－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，据此可知，“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分条件．3．已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1， 所以綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1且y ＝－1，因为綈q ⇒綈p 但綈p ⇒/綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．故选A.充分条件、必要条件的应用(典例迁移)已知条件p ：集合P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，条件q ：非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若p 是q 的必要条件，求m 的取值范围．【解】 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 所以P ＝{x |－2≤x ≤10}， 由p 是q 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3. 所以当0≤m ≤3时，p 是q 的必要条件， 即所求m 的取值范围是[0，3]．【迁移探究1】 (变结论)若本例条件不变，问是否存在实数m ，使p 是q 的充要条件． 解：若p 是q 的充要条件，则P ＝S ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使p 是q 的充要条件．【迁移探究2】 (变结论)本例条件不变，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， 因为綈p 是綈q 的必要不充分条件， 所以p ⇒q 且q ⇒p .所以[－2，10][1－m ，1＋m ]．所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.所以m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．已知充分、必要条件求参数取值范围的解题策略(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后列出有关参数的不等式(组)求解．(2)涉及参数问题，直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，如将綈p ，綈q 之间的关系转化成p ，q 之间的关系来求解．[注意] (1)注意对区间端点值的处理； (2)注意条件的等价变形．设p ：－m ＋12<x <m －12(m >0)；q ：x <12或x >1，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为______．解析：因为p 是q 的充分不必要条件，又m >0，所以m －12≤12，所以0<m ≤2.答案：(0，2]思想方法系列1 等价转化思想在充要条件中的应用等价转化思想就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方式．已知条件p ：|x －4|≤6；条件q ：(x －1)2－m 2≤0(m >0)．若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则m 的取值范围为______．【解析】 条件p ：－2≤x ≤10，条件q ：1－m ≤x ≤1＋m ，又綈p 是綈q 的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件．故有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≥－21＋m ≤10，，所以0<m ≤3.【答案】 (0，3]本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是解此类问题的关键．1．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.法一：设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A，于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．法二(等价转化法)：因为x＝y⇒cos x＝cos y，而cos x＝cos y⇒/x＝y，所以“cos x ＝cos y”是“x＝y”的必要不充分条件，故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．2．(2020·宁夏银川一中模拟)王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件．故选B.[基础题组练]1．已知命题p：若x≥a2＋b2，则x≥2ab，则下列说法正确的是( )A．命题p的逆命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”B．命题p的逆命题是“若x＜2ab，则x＜a2＋b2”C．命题p的否命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”D．命题p的否命题是“若x≥a2＋b2，则x＜2ab”解析：选C.命题p的逆命题是“若x≥2ab，则x≥a2＋b2”，故A，B都错误；命题p的否命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”，故C正确，D错误．2．已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.a≠0⇒/ab≠0，但ab≠0⇒a≠0，因此p是q的必要不充分条件．3．已知a，b，c是实数，下列结论正确的是( )A．“a2>b2”是“a>b”的充分条件B．“a2>b2”是“a>b”的必要条件C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件D．“|a|>|b|”是“a>b”的充要条件解析：选C.对于A，当a＝－5，b＝1时，满足a2>b2，但是a<b，所以充分性不成立；对于B，当a＝1，b＝－2时，满足a>b，但是a2<b2，所以必要性不成立；对于C，由ac2>bc2得c ≠0，则有a >b 成立，即充分性成立，故正确；对于D ，当a ＝－5，b ＝1时，|a |>|b |成立，但是a <b ，所以充分性不成立，当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但是|a |<|b |，所以必要性也不成立，故“|a |>|b |”是“a >b ”的既不充分也不必要条件．故选C.4．已知命题α：如果x <3，那么x <5；命题β：如果x ≥3，那么x ≥5；命题γ：如果x ≥5，那么x ≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A ．①③B ．②C ．②③D ．①②③解析：选A.本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题中的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．5．“(x ＋1)(y －2)＝0”是“x ＝－1且y ＝2”的________条件．解析：因为(x ＋1)(y －2)＝0，所以x ＝－1或y ＝2，所以(x ＋1)(y －2)＝0⇒/ x ＝－1且y ＝2，x ＝－1且y ＝2⇒(x ＋1)(y －2)＝0，所以是必要不充分条件．答案：必要不充分6．已知命题p ：x ≤1，命题q ：1x<1，则綈p 是q 的______．解析：由题意，得綈p ：x >1，q ：x <0或x >1，故綈p 是q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要条件7．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0， 解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0. 答案：[－3，0]8．已知命题p ：(x ＋3)(x －1)>0；命题q ：x >a 2－2a －2.若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：已知p ：(x ＋3)(x －1)>0，可知p ：x >1或x <－3，因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件，得a 2－2a －2≥1，解得a ≤－1或a ≥3，即a ∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．[综合题组练]1．(创新型)(2020·抚州七校联考)A ，B ，C 三个学生参加了一次考试，A ，B 的得分均为70分，C 的得分为65分．已知命题p ：若及格分低于70分，则A ，B ，C 都没有及格．则下列四个命题中为p 的逆否命题的是( )A ．若及格分不低于70分，则A ，B ，C 都及格 B ．若A ，B ，C 都及格，则及格分不低于70分 C ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分D ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p 的逆否命题是若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.2．(2020·辽宁丹东质量测试(一))已知x ，y ∈R ，则“x ＋y ≤1”是“x ≤12且y ≤12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.当“x ＋y ≤1”时，如x ＝－4，y ＝1，满足x ＋y ≤1，但不满足“x ≤12且y ≤12”．当“x ≤12且y ≤12”时，根据不等式的性质有“x ＋y ≤1”．故“x ＋y ≤1”是“x ≤12且y ≤12”的必要不充分条件．故选B.3．(2020·湖南雅礼中学3月月考)若关于x 的不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4 ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a <1C ．a >3D ．a ≥3解析：选D.|x －1|<a ⇒－a <x －1<a ⇒1－a <x <1＋a ，因为不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4，所以(0，4)⊆(1－a ，1＋a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤0，1＋a ≥4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a ≥3⇒a ≥3.故D 正确． 4．下列命题中为真命题的序号是______． ①若x ≠0，则x ＋1x≥2；②命题：若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1的逆否命题为：若x ≠1且x ≠－1，则x 2≠1； ③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”． 解析：当x <0时，x ＋1x≤－2，故①是假命题；根据逆否命题的定义可知，②是真命题；“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；根据否命题的定义知④是真命题．答案：②④11。
2020版高考数学一轮总复习第一单元集合与常用逻辑用语课时2命题及其关系、充分条件与必要条件教案文含解析
命题及其关系、充分条件与必要条件1．了解命题的概念．2．了解四种命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义，能初步判断给定的两个命题的关系．知识梳理1．命题及其真假(1)命题：在数学上，用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．(2)真命题：判断为真的语句叫做真命题.(3)假命题：判断为假的语句叫做假命题.2．四种命题的形式(1)原命题：“若p，则q”，其中p为命题的条件，q为命题的结论．(2)逆命题：“若q，则p”，即交换原命题的条件和结论．(3)否命题：“若﹁p，则﹁q”，即同时否定原命题的条件和结论．(4)逆否命题：“若﹁q，则﹁p”，即交换原命题的条件和结论后，再同时加以否定．3．四种命题的关系4．四种命题的真假关系(1)互为逆否的两个命题的真假性相同.(2)互逆或互否的两个命题的真假性没有关系.(3)四种命题的真假成对出现，即原命题与逆否命题的真假性相同，逆命题与否命题的真假性相同.5．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件．(2)如果p⇒q，但q p，则p是q的充分必要条件．(3)如果p ⇒q ，且q ⇒p ，则称p 是q 的 充要 条件．(4)如果q ⇒p ，且p ≠> q ，则p 是q 的 必要不充分 条件．(5)如果p ≠> q ，但q ≠> p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．1．若p 是q 的充分不必要条件，则﹁p 是﹁q 的 必要不充分 条件．2．若p ，q 以集合的形式出现，记条件p 、q 对应的集合分别为P ，Q ，一般地有， 若P ⊆Q ，则p 是q 的 充分 条件；若Q ⊆P ，则p 是q 的 必要 条件；若P Q ，则p 是q 的 充分不必要 条件；若P Q ，则p 是q 的 必要不充分 条件；若P ＝Q ，则p 是q 的 充要 条件．热身练习1．下列语句中，不能构成命题的是(C)A ．5>12B ．若1x ＝1y，则x ＝y C ．x >0 D ．若x <y ，则x 2<y 2一个语句是不是命题，关键是看能否判断真假，因为x >0无法判断真假，因此不能构成命题．2．设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是(D)A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m >0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0根据逆否命题的定义，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．故选D.3．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝(1，x )与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题，逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为(B)A ．0B ．2C ．3D ．4原命题：若x ＝－1，向量a ＝(1，－1)，b ＝(1，－1)，a 与b 共线，所以原命题为真，故逆否命题也为真．逆命题为：若向量a ＝(1，x )与b ＝(x ＋2，x )共线，则x ＝－1.当a 与b 共线时，x (x ＋2)＝x ，解得x ＝0或－1.所以逆命题为假命题，从而否命题也为假命题．故真命题的个数为2.4．(2016·四川卷)设p ：实数x ，y 满足x ＞1且y ＞1，q ：实数x ，y 满足x ＋y ＞2，则p 是q 的(A)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件因为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1，y ＞1，所以x ＋y ＞2，即p ⇒q .而当x ＝0，y ＝3时，有x ＋y ＝3＞2，但不满足x ＞1且y ＞1，即q ≠>p .故p 是q 的充分不必要条件．5．设p ：x ＜3，q ：－1＜x ＜3，则p 是q 成立的(C)A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件根据充分、必要条件的定义直接利用数轴求解即可．将p ，q 对应的集合在数轴上表示出来如图所示，易知，当p 成立时，q 不一定成立；当q 成立时，p 一定成立，故p 是q 成立的必要不充分条件．四种命题及其真假判断原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，由共轭复数的定义可知为真命题，所以逆否命题也为真命题，逆命题为：“复数|z1|＝|z2|，则z1，z2互为共轭复数”，由1和i的模相等，但它不是共轭复数，可知逆命题为假命题，所以否命题也为假命题．故选B.B(1)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可；(2)四种命题的真假成对出现．即原命题与逆否命题的真假性相同，逆命题与否命题的真假性相同．当一个命题直接判断不易进行时，可转化判断其等价命题的真假．1．在下列4个结论中：①命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”；②命题“若m2＋n2＝0，则m，n全为0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m，n全不为0”；③命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为真命题；④“若x>1，则x2>1”的否命题为真命题．其中正确结论的序号是①③.①正确．②不正确，否命题为“若m2＋n2≠0，则m，n不全为0”．③m>0时，Δ＝1＋4m>0，所以原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．④逆命题“若x2>1，则x>1”为假命题，所以否命题为假命题．故正确结论的序号为①③.充要条件的判断(1)(2017·天津卷)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件(2)如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件(1)(方法一)因为2－x≥0⇔x≤2.因为|x－1|≤1⇔－1≤x－1≤1⇔0≤x≤2.因为x≤2 0≤x≤2，而0≤x≤2⇒x≤2，所以“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．(方法二)记“2－x≥0”与“|x－1|≤1”表示的集合分别为A，B.则A＝{x|x≤2}，B＝{x|0≤x≤2}．因为B A，所以“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．(2)x＝y⇒cos x＝cos y，而cos x＝cos y≠>x＝y，利用四种命题的等价关系得：cos x≠cos y⇒x≠y，x≠y≠> cos x≠cos y.所以“x≠y”是“cos x≠cos y”必要而不充分条件．(1)B (2)B(1)判断充要条件的方法：①定义法(这是基本方法)；②集合法(根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断)；③转换法．(2)判断充要条件时，要注意如下技巧：①等价化简：先将条件和结论等价化简，然后根据定义进行判断；②等价转化：根据“四种命题”中互为逆否的两个命题是等价的，把判断命题的正确性，转化为判断其逆否命题的正确性．这种方法特别适合以否定形式给出的命题．2．(1)“x<0”是“ln(x＋1)<0”的(B)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件(2)如果a，b是实数，那么“a≠0”是“ab≠0”的(B)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件(1)ln(x＋1)<0⇔0<x＋1<1⇔－1<x<0，x<0≠>－1<x<0，－1<x<0⇒x<0，所以“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要而不充分条件．(2)a＝0⇒ab＝0，但ab＝0≠>a＝0，其逆否命题为ab≠0⇒a≠0，a≠0≠>ab≠0，故“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件．根据充要条件求解参数的取值范围已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为____________．p 对应的集合为A ＝{x |－2≤x ≤10}，q 对应的集合为B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }， 因为﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，所以﹁q ⇒﹁p 但﹁p ≠>﹁q由互为逆否的两个命题的等价关系可知，p ⇒q ，但q ≠>p ，所以A B .所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9.检验m ＝9时，满足A B .因此，实数m 的取值范围是[9，＋∞)．[9，＋∞)(1)充分条件、必要条件或充要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，求解一般步骤为：①首先要将p ，q 等价化简；②将充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的包含关系；③列出关于参数的等式或不等式组，求出参数的值或取值范围．(2)解此类问题要注意：①注意命题等价转化，如将﹁p 与﹁q 的关系转化为p 与q 的关系；②注意区间端点值的检验．3．已知p ：2x ＋m <0，q ：x 2－x －2>0，若p 是q 的一个充分不必要条件，则实数m 的取值范围为 [2，＋∞) .因为q ：x 2－x －2>0，所以x <－1或x >2，记A ＝{x |x <－1或x >2}．又因为p ：2x ＋m <0，所以x <－m 2， 记B ＝{x |x <－m 2}，因为p 是q 的充分不必要条件，所以B A .所以－m 2≤－1，解得m ≥2. 所以实数m 的取值范围是[2，＋∞)．1．判断一个语句是否为命题，关键是看能否判断真假．数学中的定义、公理、定理都是命题，但命题与定理是有区别的：命题有真假之分，而定理都是真命题．2．一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律，判断一个命题为真必须经过证明，而判定一个命题为假只需举一个反例就行．3．判断充分条件和必要条件时，常用以下几种方法：(1)定义法：判断A 是B 的什么条件，实际上就是判断A B 或B A 是否成立，只要把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可判断．(2)转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价转换，如利用其逆否命题进行判断．(3)集合法：当条件和结论以集合形式出现时，可利用集合间的包含关系进行判断．8。
高中数学《第一章集合与常用逻辑用语复习课》教学设计
《第一章集合与常用逻辑用语复习课》教学设计一、内容和内容解析1.内容2.内容解析本章学习内容包括集合的有关概念，关系和运算，还有充分条件、必要条件、充要条件、全称量词、存在量词、全称量词命题与存在量词命题及其否定。
这些知识在后续学习中会得到大量应用，是进一步学习的重要基础。
复习本章所学知识，在知识的复习和再现的基础上，用联系的观点和递进的方式可以加深对本章内容的理解。
复习本章知识能有效总结和提升学习内涵，整理学习方法提高学习效率，对于全章知识的联系和整合也能有更好的效果。
在本章内容的复习中，首先应掌握集合语言的表述方式，学习了集合的含义，明确了集合中元素的确定性、无序性、互异性等特征；再学习了列举法、描述法等集合的表示法，其中描述法利用了研究对象的某种特征，需要先理解研究对象的性质；类比数与数的关系，我们研究了集合之间的包含关系与相等关系，这些关系是由元素与集合的关系决定的，其中集合的相等关系很重要；类比数的运算，我们学习了集合的交、并、补运算，通过这些运算可以得到与原有集合紧密关联的集合，由此可以表示研究对象的某些关系。
常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是逻辑思维的基本语言，也是数学表达和交流的工具。
充分条件、必要条件和充要条件，全称量词命题，存在量词命题及它们的否定都能与许多已学过的内容进行融合，如初中学习过的数学定义、定理、命题及许多代数结论等都可以用常用逻辑用语表示。
利用常用逻辑用语表述数学内容，进行推理论证，可以大大提升表述的逻辑性和准确性，提升逻辑推理素养。
结合以上分析，确定本节课的教学重点是：引领复习全章重点内容。
二、目标和目标解析1.目标（1）理解集合的含义，表示法，明确元素与集合，集合与集合的关系；（2）理解并掌握集合的运算法，能解决集合的交、并、补运算问题；（3）能通过“若p，则q”形式命题的真假性，判断充分条件、必要条件、充要条件；（4）能辨别全称量词命题和存在量词命题的真假，并能写出否定形式。
高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1 第1讲 集合及其运算教学案-高三全册数学教学案
第一章集合与常用逻辑用语知识点最新考纲集合了解集合、元素的含义及其关系．理解集合的表示法．了解集合之间的包含、相等关系．理解全集、空集、子集的含义．会求简单集合间的并集、交集．理解补集的含义并会求补集.命题及其关系、充分条件与必要条件了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及其相互之间的关系．理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的所有元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈BA⊆B或B⊇A 真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B，且存在x0∈B，x0∉AA B或B A 相等集合A，B的元素完全A⊆B，A＝B相同B⊆A空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集任意x，x∉∅，∅⊆A ∅3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅．(4)∁U(∁U A)＝A；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( )(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( )(3){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( )(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( )(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×[教材衍化]1．(必修1P12A 组T3改编)若集合P ＝{x ∈N |x ≤ 2 021}，a ＝22，则( )A ．a ∈PB ．{a }∈PC ．{a }⊆PD ．a ∉P解析：选D.因为a ＝22不是自然数，而集合P 是不大于 2 021的自然数构成的集合，所以a ∉P .故选D.2．(必修1P11例9改编)已知U ＝{α|0°<α<180°}，A ＝{x |x 是锐角}，B ＝{x |x 是钝角}，则∁U (A ∪B )＝________．答案：{x |x 是直角}3．(必修1P44A 组T5改编)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为________．解析：集合A 表示以(0，0)为圆心，1为半径的单位圆，集合B 表示直线y ＝x ，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点⎝⎛⎭⎪⎪⎫22，22，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22，－22，则A ∩B 中有两个元素． 答案：2 [易错纠偏](1)忽视集合中元素的互异性致误； (2)忽视空集的情况致误； (3)忽视区间端点值致误．1．已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________．解析：因为B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，根据集合元素的互异性可知，m ≠1，所以m ＝0或3.答案：0或32．已知集合M ＝{x |x －2＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________．解析：易得M ＝{2}．因为M ∩N ＝N ，所以N ⊆M ，所以N ＝∅或N ＝M ，所以a ＝0或a ＝12.答案：0或123．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，(∁R A )∪B ＝________．解析：由已知得A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，所以A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}，A ∪B ＝{x |1＜x ＜4}，(∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x ＞2}．答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞) 集合的含义(1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．6D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A ．92B ．98C ．0D ．0或98(3)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________．【解析】 (1)当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1；当x ＝2时，y ＝0，1，2.故集合B ＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B 中有6个元素． (2)当a ＝0时，显然成立； 当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0， 即a ＝98.(3)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba＝－1，所以a ＝－1，b ＝1. 所以b －a ＝2.【答案】 (1)C (2)D (3)2与集合中的元素有关问题的求解步骤1．(2020·温州八校联考)已知集合M ＝{1，m ＋2，m 2＋4}，且5∈M ，则m 的值为( )A ．1或－1B ．1或3C ．－1或3D ．1，－1或3解析：选B.因为5∈{1，m ＋2，m 2＋4}，所以m ＋2＝5或m 2＋4＝5，即m ＝3或m ＝±1.当m ＝3时，M ＝{1，5，13}；当m ＝1时，M ＝{1，3，5}；当m ＝－1时，不满足互异性．所以m 的值为3或1.2．已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且32－x ∈Z }，则集合A 中的元素个数为________．解析：因为32－x ∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1，1，3，又因为x ∈Z ，所以x 的值分别为5，3，1，－1，故集合A 中的元素个数为4.答案：4集合的基本关系(1)(2020·浙江省绿色联盟联考)已知A ⊆B ，A ⊆C ，B ＝{2，0，1，8}，C ＝{1，9，3，8}，则集合A 可以为( )A ．{1，8}B ．{2，3}C ．{0}D ．{9}(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．【解析】 (1)因为A ⊆B ，A ⊆C ，所以A ⊆{B ∩C }＝{1，8}，故选A.(2)因为B ⊆A ，所以①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3.【答案】 (1)A (2)(－∞，3]1．(变条件)在本例(2)中，若A ⊆B ，如何求解？解：若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3. 所以m 的取值范围为∅.2．(变条件)若将本例(2)中的集合A 改为A ＝{x |x <－2或x >5}，如何求解？解：因为B ⊆A ，所以①当B ＝∅时，即2m －1<m ＋1时，m <2，符合题意． ②当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m >4或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m <－12.即m >4.综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．1．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R P解析：选C.因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≤1}，Q ＝{y |y ＝2x，x ∈R }＝{y |y >0}，所以∁R P ＝{y |y >1}，所以∁R P ⊆Q ，选C.2．(2020·绍兴调研)设A＝{1，4，2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝________．解析：由B⊆A，则x2＝4，或x2＝2x.当x2＝4时，x＝±2；当x2＝2x时，x＝0或x＝2.但当x＝2时，2x＝4，这与集合中元素的互异性相矛盾．故x＝－2或x＝0.答案：－2或03．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x ∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________．解析：由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，所以满足条件的C可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．答案：4集合的基本运算(高频考点)集合的基本运算是历年高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域等相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题多为低档题．主要命题角度有：(1)求集合间的交、并、补运算；(2)已知集合的运算结果求参数．角度一求集合间的交、并、补运算(1)(2018·高考浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3}，则∁U A＝( )A．∅B．{1，3}C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}(2)(2019·高考浙江卷)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集∁U A∩B＝( )合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则()A．{－1} B．{0，1}C．{－1，2，3} D．{－1，0，1，3}(3)(2020·浙江高考模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|1<x<3}，则A∪B＝________，∁U(A∩B)＝________．【解析】(1)因为U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，所以∁U A＝{2，4，5}．故选C.(2)由题意可得∁U A＝{－1，3}，则(∁U A)∩B＝{－1}．故选A.(3)因为A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，所以A∪B＝{x|－1<x<3}．又因为A∩B＝{x|1<x<2}，所以∁U(A∩B)＝{x|x≤1或x≥2}．【答案】(1)C (2)A (3)(－1，3) (－∞，1]∪[2，＋∞)角度二已知集合的运算结果求参数(1)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B ＝{1}，则B＝( )A．{1，－3} B．{1，0}C．{1，3} D．{1，5}(2)(2020·浙江新高考优化卷)已知A＝{x|x>1}，B＝{x|x<m}．若A∪B＝R，则m的值可以是( )A．－1 B．0C．1 D．2【解析】(1)因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1－4＋m＝0，所以m＝3.由x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.所以B＝{1，3}．经检验符合题意．故选C.(2)因为A∪B＝R，所以m>1.故m的值可以是2，故选D.【答案】(1)C (2)D(1)集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．[提醒] 在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．1．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝( )A．[2，3] B．(－2，3]C．[1，2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选B.由于Q＝{x|x≤－2或x≥2}，∁R Q＝{x|－2＜x＜2}，故得P∪(∁R Q)＝{x|－2＜x≤3}．故选B.2．设全集S＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0}，若∁S A＝{2，3}，则m＝________．解析：因为S＝{1，2，3，4}，∁S A＝{2，3}，所以A＝{1，4}，即1，4是方程x2－5x＋m＝0的两根，由根与系数的关系可得m＝1×4＝4.答案：4核心素养系列1 数学抽象——集合的新定义问题以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．对于E＝{a1，a2，...，a100}的子集X＝{ai1，ai2，...，ai k}，定义X的“特征数列”为x1，x2，...，x100，其中xi1＝xi2＝...＝xi k ＝1，其余项均为0.例如：子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0， 0(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于________；(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，p i＋p i＋1＝1，1≤i≤99，E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，q j＋q j＋1＋q j＋2＝1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为________．【解析】(1)由已知可得子集{a1，a3，a5}的“特征数列”为1，0，1，0，1，0，…，0，故其前3项和为2.(2)由已知可得子集P 为{a 1，a 3，…，a 99}，子集Q 为{a 1，a 4，a 7，…，a 100}，则两个子集的公共元素为a 1到a 100以内项数被6除余1的数对应的项，即a 1，a 7，…，a 97，共17项．【答案】 (1)2 (2)17解决集合新定义问题的方法(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．(2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．设数集M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －13≤x ≤n }，且M ，N 都是集合U ＝{x |0≤x ≤1}的子集，定义b －a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，则集合M ∩N 的长度的最小值为________．解析：在数轴上表示出集合M 与N (图略)，可知当m ＝0且n ＝1或n －13＝0且m ＋34＝1时，M ∩N 的“长度”最小．当m ＝0且n ＝1时，M ∩N ＝{x |23≤x ≤34}， 长度为34－23＝112；当n ＝13且m ＝14时，M ∩N ＝{x |14≤x ≤13}， 长度为13－14＝112. 综上，M ∩N 的长度的最小值为112. 答案：112[基础题组练]1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{2，4，6，8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.因为集合A 和集合B 有共同元素2，4，所以A ∩B ＝{2，4}，所以A ∩B 中元素的个数为2.2．(2020·温州十五校联合体联考)已知集合A ＝{}x |e x≤1，B ＝{}x |ln x ≤0，则A ∪B ＝( )A ．(－∞，1]B ．(0，1]C ．[1，e]D ．(0，e]解析：选A.因为A ＝{}x |e x ≤1＝{}x |x ≤0， B ＝{}x |ln x ≤0＝{}x |0＜x ≤1，所以A ∪B ＝(－∞，1]，故选A.3．(2020·宁波高考模拟)已知全集U ＝A ∪B ＝{x ∈Z |0≤x ≤6}，A ∩(∁U B )＝{1，3，5}，则B ＝( )A ．{2，4，6}B ．{1，3，5}C．{0，2，4，6} D．{x∈Z|0≤x≤6}解析：选C.因为全集U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，A∩(∁U B)＝{1，3，5}，所以B＝{0，2，4，6}，故选C.4．设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝( )A．{2} B．{1，2，4}C．{1，2，4，6} D．{x∈R|－1≤x≤5}解析：选B.因为A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，所以A∪B＝{1，2，4，6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，所以(A∪B)∩C＝{1，2，4}．故选B.5．(2020·宜春中学、新余一中联考)已知全集为R，集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|2<x<3} B．{x|－1<x≤0}C．{x|0≤x<6} D．{x|x<－1}解析：选C.由x2－5x－6<0，解得－1<x<6，所以A＝{x|－1<x<6}．由2x<1，解得x<0，所以B＝{x|x<0}．又图中阴影部分表示的集合为(∁R B)∩A，因为∁R B＝{x|x≥0}，所以(∁R B)∩A＝{x|0≤x<6}，故选C.6．已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是( )A．(0，3) B．(0，1)∪(1，3)C ．(0，1)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选B.因为A ∩B 有4个子集，所以A ∩B 中有2个不同的元素，所以a ∈A ，所以a 2－3a <0，解得0<a <3且a ≠1，即实数a 的取值范围是(0，1)∪(1，3)，故选B.7．设U ＝{x ∈N *|x ＜9}，A ＝{1，2，3}，B ＝{3，4，5，6}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．{1，2，3}B ．{4，5，6}C ．{6，7，8}D ．{4，5，6，7，8} 解析：选B.因为U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁U A ＝{4，5，6，7，8}，所以(∁U A )∩B ＝{4，5，6，7，8}∩{3，4，5，6}＝{4，5，6}．故选B.8．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，b a ，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝( )A ．{－1，2，3，5}B ．{－1，2，3}C ．{5，－1，2}D ．{2，3，5}解析：选A.由A ∩B ＝{2，－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.此时B ＝{2，3，－1}，所以A ∪B ＝{－1，2，3，5}；当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，此时不符合题意，舍去． 9．已知集合P ＝{n |n ＝2k －1，k ∈N *，k ≤50}，Q ＝{2，3，5}，则集合T ＝{xy |x ∈P ，y ∈Q }中元素的个数为( )A ．147B ．140C ．130D ．117 解析：选B.由题意得，y 的取值一共有3种情况，当y ＝2时，xy 是偶数，不与y ＝3，y ＝5有相同的元素，当y ＝3，x ＝5，15，25，…，95时，与y ＝5，x ＝3，9，15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140，故选B.10．(2020·温州质检)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2>0}，B ＝{x |x －a ≤0}，若∁U B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞) 解析：选D.因为x 2－3x ＋2>0，所以x >2或x <1.所以A ＝{x |x >2或x <1}，因为B ＝{x |x ≤a }，所以∁U B ＝{x |x >a }．因为∁U B ⊆A ，借助数轴可知a ≥2，故选D.11．集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为________．解析：根据并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故只能是a ＝4.答案：412．(2020·宁波效实中学模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x≤3}，集合B＝{x|log2(x－2)<1}，则A∪B＝________；A∩(∁U B)＝________．解析：log2(x－2)<1⇒0<x－2<2⇒2<x<4⇒B＝(2，4)，所以A∪B ＝[－1，4)，A∩(∁U B)＝[－1，2]．答案：[－1，4) [－1，2]13．设集合A＝{n|n＝3k－1，k∈Z}，B＝{x||x－1|>3}，则B ＝________，A∩(∁R B)＝________．解析：当k＝－1时，n＝－4；当k＝0时，n＝－1；当k＝1时，n＝2；当k＝2时，n＝5.由|x－1|>3，得x－1>3或x－1<－3，即x>4或x<－2，所以B＝{x|x<－2或x>4}，∁R B＝{x|－2≤x≤4}，A∩(∁R B)＝{－1，2}．答案：{x|x<－2或x>4} {－1，2}14．(2020·浙江省杭州二中高三年级模拟)设全集为R，集合M＝{x∈R|x2－4x＋3>0}，集合N＝{x∈R|2x>4}，则M∩N＝________；∁R(M∩N)＝________．解析：M＝{x∈R|x2－4x＋3>0}＝{x|x<1或x>3}，N＝{x∈R|2x>4}＝{x|x>2}，所以M∩N＝(3，＋∞)，所以∁R(M∩N)＝(－∞，3]．答案：(3，＋∞)(－∞，3]15．已知集合M＝{x|x2－4x<0}，N＝{x|m＜x＜5}，若M∩N＝{x|3<x<n}，则m＝________，n＝________．解析：由x2－4x<0得0<x<4，所以M＝{x|0<x<4}．又因为N ＝{x|m<x<5}，M∩N＝{x|3<x<n}，所以m＝3，n＝4.答案：3 416．设全集U＝{x∈N*|x≤9}，∁U(A∪B)＝{1，3}，A∩(∁U B)＝{2，4}，则B ＝________．解析：因为全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，由∁U (A ∪B )＝{1，3}，得A ∪B ＝{2，4，5，6，7，8，9}，由A ∩(∁U B )＝{2，4}知，{2，4}⊆A ，{2，4}⊆∁U B .所以B ＝{5，6，7，8，9}．答案：{5，6，7，8，9}17．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________．解析：因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32； ②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1. 综上，可得a 的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1][综合题组练]1．(2020·金华东阳二中高三调研)已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2<16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( )A ．A ∪B ＝RB ．A ∪(∁U B )＝RC ．(∁U A )∪B ＝RD ．A ∩(∁U B )＝A 解析：选D.因为A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x >4}，所以∁U B ＝{x |x ≤4}，所以A ∩(∁U B )＝A ，故选D.2．集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，全集U ＝A ∪B ，则∁U (A ∩B )＝( )A ．{x |x ＜－1或x ≥1}B ．{x |1≤x ≤3或x ＜－1}C ．{x |x ≤－1或x ＞1}D ．{x |1＜x ≤3或x ≤－1}解析：选 B.集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |1－x ＞0}＝{x |x ＜1}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |(x ＋1)(x －3)≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，所以U ＝A ∪B ＝{x |x ≤3}，所以A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1}；所以∁U (A ∩B )＝{x |1≤x ≤3或x ＜－1}．故选B.3．(2020·浙江新高考联盟联考)已知集合A ＝{1，2，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________，∁A B ＝________．解析：由题意，当m ＝2时，A ＝{1，2，2}，B ＝{1，2}，满足B ⊆A ；当m ＝m ，即m ＝0或1时，若m ＝0，则A ＝{1，2，0}，B ＝{1，0}，满足B ⊆A .若m ＝1，则A ＝{1，3，1}，B ＝{1，1}，不满足集合中元素的互异性，所以m ＝1舍去．当m ＝2时，∁A B ＝{2}；当m ＝0时，∁A B ＝{2}．答案：0或2 {2}或{2}4．函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈P ，－x ，x ∈M ，其中P ，M 为实数集R 的两个非空子集，规定f (P )＝{y |y ＝g (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝g (x )，x ∈M }．给出下列四个命题：①若P ∩M ＝∅，则f (P )∩f (M )＝∅；②若P ∩M ≠∅，则f (P )∩f (M )≠∅；③若P ∪M ＝R ，则f (P )∪f (M )＝R ；④若P ∪M ≠R ，则f (P )∪f (M )≠R .其中命题不正确的有________．解析：①若P ＝{1}，M ＝{－1}，则f (P )＝{1}，f (M )＝{1}，则f (P )∩f (M )≠∅，故①错．②若P ＝{1，2}，M ＝{1}，则f (P )＝{1，2}，f (M )＝{－1}，则f (P )∩f (M )＝∅.故②错．③若P ＝{非负实数}，M ＝{负实数}，则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{正实数}，则f (P )∪f (M )≠R ，故③错．④若P ＝{非负实数}，M ＝{正实数}，则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{负实数}，则f (P )∪f (M )＝R ，故④错．答案：①②③④5．设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ＝{x |x 2－2[x ]＝3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18<2x <8，求A ∩B .解：不等式18<2x <8的解为－3<x <3， 所以B ＝(－3，3)．若x ∈A ∩B ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2[x ]＝3－3<x <3， 所以[x ]只可能取值－3，－2，－1，0，1，2.若[x ]≤－2，则x 2＝3＋2[x ]<0，没有实数解；若[x ]＝－1，则x 2＝1，得x ＝－1；若[x ]＝0，则x 2＝3，没有符合条件的解；若[x ]＝1，则x 2＝5，没有符合条件的解；若[x ]＝2，则x 2＝7，有一个符合条件的解，x ＝7. 因此，A ∩B ＝{}－1，7.6．已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }．(1)当m ＝－1时，求A ∪B ；(2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}．(2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m >2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意； ②若2m <1－m ，即m <13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，得0≤m <13或∅，即0≤m <13. 综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．。
高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语1.2命题及其关系、充分条件与必要条件教学案 理 新人教
高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语1．2命题及其关系、充分条件与必要条件教学案 理 新人教A 版考纲要求1．理解命题的概念．2．了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．1．命题用语言、符号或式子表达的，可以__________________叫做命题，其中判断为真的语句叫做__________，判断为假的语句叫做__________．2．四种命题及其关系(1)四种命题的表示及相互之间的关系．(2)四种命题的真假关系①互为逆否的两个命题__________(__________或__________)．②互逆或互否的两个命题__________．3．充分条件与必要条件(1)如果p ⇒q ，那么p 是q 的__________，q 是p 的__________．(2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，那么p 是q 的__________，记作__________．1．若命题p 的逆命题是q ，否命题是r ，则命题q 是命题r 的( )．A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．不等价命题2．命题“若a ＞－3，则a ＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．43．(2012天津高考)设x ∈R ，则“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2012上海高考)对于常数m ，n ，“mn ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．命题“如果x －2＋(y ＋1)2＝0，则x ＝2且y ＝－1”的逆否命题为__________．一、四种命题及其关系【例1－1】 (2012重庆高考)命题“若p ，则q ”的逆命题是( )．A ．若q ，则pB ．若⌝p ，则⌝ qC ．若⌝q ，则⌝pD ．若p ，则⌝q【例1－2】 (2012湖南高考)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )． A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π4方法提炼1．命题真假的判定：对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假． 2．掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断真假性不容易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假．3．“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念．如果原命题是“若p ，则q ”，那么这个原命题的否定是“若p ，则⌝q ”，即只否定结论；而原命题的否命题是“若⌝p ，则⌝q ”，即既否定命题的条件，又否定命题的结论．请做演练巩固提升1二、充分条件与必要条件的判定【例2－1】 (2012湖北高考)设a ，b ，c ∈R ，则“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ”的( )．A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要的条件【例2－2】 是否存在实数m ，使得2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件？方法提炼判断充分条件、必要条件的方法1．命题判断法设“若p ，则q ”为原命题，那么：(1)原命题为真，逆命题为假时，则p 是q 的充分不必要条件；(2)原命题为假，逆命题为真时，p 是q 的必要不充分条件；(3)原命题与逆命题都为真时，p 是q 的充要条件；(4)原命题与逆命题都为假时，p 是q 的既不充分也不必要条件．2．集合判断法从集合的观点看，建立命题p ，q 相应的集合：p ：A ＝{x |p (x )成立}，q ：B ＝{x |q (x )成立}，那么：(1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，若A B 时，则p 是q 的充分不必要条件；(2)若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件，若B A 时，则p 是q 的必要不充分条件；(3)若A ⊆B 且B ⊆A ，即A ＝B 时，则p 是q 的充要条件．请做演练巩固提升2,3三、充分条件与必要条件的证明【例3】 求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m＜13. 方法提炼1．证明充要性首先要分清谁是条件，谁是结论．在这里要注意两种说法：“p 是q 的充要条件”与“p 的充要条件是q ”；前者p 是条件，后者q 是条件．2．证明分为两个环节，一是充分性，即由条件推结论；二是必要性，即由结论推条件．证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明．请做演练巩固提升4等价思想在充要条件中的应用【典例】 (12分)已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，且⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．分析：(1)先求出p ，q 的解集，即将p ，q 化为最简；(2)再利用p ，q 间的关系列出关于m 的不等式或不等式组得出结论．规范解答：(方法一)由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，m ＞0，得1－m ≤x ≤1＋m ，(3分)∴⌝q ：A ＝{x |x ＞1＋m ，或x ＜1－m ，m ＞0}．(4分)由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴⌝p ：B ＝{x |x ＞10，或x ＜－2}．(7分)∵⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件，∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，(10分)即m ≥9或m ＞9.∴m ≥9.(12分)(方法二)∵⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件，∴p 是q 的充分而不必要条件．(3分)由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，m ＞0，得1－m ≤x ≤1＋m ，∴q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}．(6分)由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}．(8分)∵p 是q 的充分而不必要条件，∴P Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，(10分)即m ≥9或m ＞9.∴m ≥9.(12分)答题指导：本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．1．关于命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性，下列结论成立的是( )．A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真2．(2012浙江高考)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．直线l 1∥l 2的一个充分条件是( )．A ．l 1∥平面α，l 2∥平面αB ．直线l 1⊥直线l 3，直线l 2⊥直线l 3C．l1平行于l2所在的平面D．l1⊥平面α，l2⊥平面α4．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(x－3)＜0，且q是p的充分条件，则实数a的取值范围为( )．A．－1＜a＜6 B．－1≤a≤6C．a＜－1或a＞6 D．a≤－1或a≥65．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝__________.参考答案基础梳理自测知识梳理1．判断真假的陈述句 真命题 假命题2．(2)①等价 同真 同假 ②不等价3．(1)充分条件 必要条件 (2)充要条件p ⇔q基础自测1．C 解析：因为命题p 的逆命题是q ，即命题q 的逆命题是p ，又命题p 的否命题是r ，所以命题q 是命题r 的逆否命题，故选C.2．B 解析：原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题：若a ＞－6，则a ＞－3为假命题，则否命题也为假命题．故选B.3．A 解析：由2x 2＋x －1＞0，可得x ＜－1或x ＞12， ∴“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的充分而不必要条件． 4．B 解析：由mx 2＋ny 2＝1表示椭圆，可知m ＞0，n ＞0，m ≠n ，所以m ＞0，n ＞0且m ≠n ⇒mn ＞0. 而显然mn ＞0m ＞0，n ＞0且m ≠n .5．如果x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0 解析：“x ＝2且y ＝－1”的否定为“x ≠2或y ≠－1”，x －2＋(y ＋1)2＝0的否定为x －2＋(y ＋1)2≠0.故逆否命题为：“如果x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0”．考点探究突破【例1－1】 A 解析：根据逆命题的定义，命题“若p ，则q ”的逆命题为“若q ，则p ”，故选A.【例1－2】 C 解析：命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”． 【例2－1】 A 解析：1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ac ＋ab abc＝bc ＋ac ＋ab ≤b ＋c 2＋a ＋c 2＋a ＋b2＝a ＋b ＋c (当且仅当“a ＝b ＝c ”时，“＝”成立)，但反之，则不成立(譬如a＝1，b ＝2，c ＝3时，满足1a ＋1b ＋1c ≤a ＋b ＋c ，但abc ≠1)．【例2－2】 解：欲使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件，只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－m 2⊆{x |x ＜－1，或x ＞3}，则只要－m2≤－1，即m ≥2. 故存在实数m ，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件．【例3】 证明：(1)充分性：∵0＜m ＜13，∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m ＞0，且3m＞0， ∴方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．(2)必要性：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4－12m >0，3m >0，∴0＜m ＜13. 综合(1)(2)可知，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m＜13. 演练巩固提升1．D 解析：对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c＜0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题，但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx＋c ＜0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx＋c ＜0的解集非空时，可以有a ＞0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题，故选D.2．C 解析：l 1与l 2平行的充要条件为a ×2＝2×1且a ×4≠－1×1，得a ＝1，故选C.3．D 解析：平行于同一平面的两直线有三种位置关系，故A 错误；同理判断B ，C 错误，故D 正确．4．B 解析：设q ，p 表示的范围分别为集合A ，B ，则A ＝(2,3)，B ＝(a －4，a ＋4)．因为q 是p 的充分条件，则有A ⊆B ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤2，a ＋4≥3，所以－1≤a ≤6.故选B.5．3或4 解析：∵方程有实数根，∴Δ＝16－4n ≥0.∴n ≤4.原方程的根x ＝4±16－4n 2＝2±4－n 为整数， 则4－n 为整数．又∵n ∈N *，∴n ＝3或4.反过来，当n ＝3时，方程x 2－4x ＋3＝0的两根分别为1,3，是整数；当n ＝4时，方程x 2－4x ＋4＝0的两根相等且为2，是整数．。
高考数学一轮总复习第一单元集合与常用逻辑用语课时2命题及其关系、充分条件与必要条件教案文
命题及其关系、充分条件与必要条件1．了解命题的概念．2．了解四种命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义，能初步判断给定的两个命题的关系．知识梳理1．命题及其真假(1)命题：在数学上，用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．(2)真命题：判断为真的语句叫做真命题.(3)假命题：判断为假的语句叫做假命题.2．四种命题的形式(1)原命题：“若p，则q”，其中p为命题的条件，q为命题的结论．(2)逆命题：“若q，则p”，即交换原命题的条件和结论．(3)否命题：“若﹁p，则﹁q”，即同时否定原命题的条件和结论．(4)逆否命题：“若﹁q，则﹁p”，即交换原命题的条件和结论后，再同时加以否定．3．四种命题的关系4．四种命题的真假关系(1)互为逆否的两个命题的真假性相同.(2)互逆或互否的两个命题的真假性没有关系.(3)四种命题的真假成对出现，即原命题与逆否命题的真假性相同，逆命题与否命题的真假性相同.5．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件．(2)如果p⇒q，但q≠>p，则p是q的充分必要条件．(3)如果p⇒q，且q⇒p，则称p是q的充要条件．(4)如果q⇒p，且p≠>q，则p是q的必要不充分条件．(5)如果p≠>q，但q≠>p，则p是q的既不充分也不必要条件．1．若p 是q 的充分不必要条件，则﹁p 是﹁q 的 必要不充分 条件．2．若p ，q 以集合的形式出现，记条件p 、q 对应的集合分别为P ，Q ，一般地有， 若P ⊆Q ，则p 是q 的 充分 条件；若Q ⊆P ，则p 是q 的 必要 条件；若P Q ，则p 是q 的 充分不必要 条件；若P Q ，则p 是q 的 必要不充分 条件；若P ＝Q ，则p 是q 的 充要 条件．热身练习1．下列语句中，不能构成命题的是(C)A ．5>12B ．若1x ＝1y，则x ＝y C ．x >0 D ．若x <y ，则x 2<y 2一个语句是不是命题，关键是看能否判断真假，因为x >0无法判断真假，因此不能构成命题．2．设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是(D)A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m >0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0根据逆否命题的定义，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．故选D.3．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝(1，x )与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题，逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为(B)A ．0B ．2C ．3D ．4原命题：若x ＝－1，向量a ＝(1，－1)，b ＝(1，－1)，a 与b 共线，所以原命题为真，故逆否命题也为真．逆命题为：若向量a ＝(1，x )与b ＝(x ＋2，x )共线，则x ＝－1.当a 与b 共线时，x (x＋2)＝x ，解得x ＝0或－1.所以逆命题为假命题，从而否命题也为假命题．故真命题的个数为2.4．(2016·四川卷)设p ：实数x ，y 满足x ＞1且y ＞1，q ：实数x ，y 满足x ＋y ＞2，则p 是q 的(A)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 因为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1，y ＞1，所以x ＋y ＞2，即p ⇒q .而当x ＝0，y ＝3时，有x ＋y ＝3＞2，但不满足x ＞1且y ＞1，即q ≠>p .故p 是q 的充分不必要条件．5．设p ：x ＜3，q ：－1＜x ＜3，则p 是q 成立的(C)A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 根据充分、必要条件的定义直接利用数轴求解即可．将p ，q 对应的集合在数轴上表示出来如图所示，易知，当p 成立时，q 不一定成立；当q 成立时，p 一定成立，故p 是q 成立的必要不充分条件．四种命题及其真假判断原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，由共轭复数的定义可知为真命题，所以逆否命题也为真命题，逆命题为：“复数|z1|＝|z2|，则z1，z2互为共轭复数”，由1和i的模相等，但它不是共轭复数，可知逆命题为假命题，所以否命题也为假命题．故选B.B(1)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可；(2)四种命题的真假成对出现．即原命题与逆否命题的真假性相同，逆命题与否命题的真假性相同．当一个命题直接判断不易进行时，可转化判断其等价命题的真假．1．在下列4个结论中：①命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”；②命题“若m2＋n2＝0，则m，n全为0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m，n全不为0”；③命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为真命题；④“若x>1，则x2>1”的否命题为真命题．其中正确结论的序号是①③.①正确．②不正确，否命题为“若m2＋n2≠0，则m，n不全为0”．③m>0时，Δ＝1＋4m>0，所以原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．④逆命题“若x2>1，则x>1”为假命题，所以否命题为假命题．故正确结论的序号为①③.充要条件的判断(1)(2017·天津卷)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件(2)如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件(1)(方法一)因为2－x≥0⇔x≤2.因为|x－1|≤1⇔－1≤x－1≤1⇔0≤x≤2.因为x≤2≠>0≤x≤2，而0≤x≤2⇒x≤2，所以“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．(方法二)记“2－x≥0”与“|x－1|≤1”表示的集合分别为A，B.则A＝{x|x≤2}，B＝{x|0≤x≤2}．因为B A，所以“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．(2)x＝y⇒cos x＝cos y，而cos x＝cos y≠>x＝y，利用四种命题的等价关系得：cos x≠cos y⇒x≠y，x≠y≠> cos x≠cos y.所以“x≠y”是“cos x≠cos y”必要而不充分条件．(1)B (2)B(1)判断充要条件的方法：①定义法(这是基本方法)；②集合法(根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断)；③转换法．(2)判断充要条件时，要注意如下技巧：①等价化简：先将条件和结论等价化简，然后根据定义进行判断；②等价转化：根据“四种命题”中互为逆否的两个命题是等价的，把判断命题的正确性，转化为判断其逆否命题的正确性．这种方法特别适合以否定形式给出的命题．2．(1)“x<0”是“ln(x＋1)<0”的(B)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件(2)如果a，b是实数，那么“a≠0”是“ab≠0”的(B)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件(1)ln(x ＋1)<0⇔0<x ＋1<1⇔－1<x <0，x <0≠> －1<x <0，－1<x <0⇒x <0，所以“x <0”是“ln (x ＋1)<0”的必要而不充分条件．(2)a ＝0⇒ab ＝0，但ab ＝0≠> a ＝0，其逆否命题为ab ≠0⇒a ≠0，a ≠0≠>ab ≠0，故“a ≠0”是“ab ≠0”的必要而不充分条件．根据充要条件求解参数的取值范围已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为____________．p 对应的集合为A ＝{x |－2≤x ≤10}，q 对应的集合为B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }， 因为﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，所以﹁q ⇒﹁p 但﹁p ≠>﹁q由互为逆否的两个命题的等价关系可知，p ⇒q ，但q ≠>p ，所以A B .所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9.检验m ＝9时，满足A B .因此，实数m 的取值范围是[9，＋∞)．[9，＋∞)(1)充分条件、必要条件或充要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，求解一般步骤为：①首先要将p ，q 等价化简；②将充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的包含关系；③列出关于参数的等式或不等式组，求出参数的值或取值范围．(2)解此类问题要注意：①注意命题等价转化，如将﹁p 与﹁q 的关系转化为p 与q 的关系；②注意区间端点值的检验．3．已知p ：2x ＋m <0，q ：x 2－x －2>0，若p 是q 的一个充分不必要条件，则实数m 的取值范围为 [2，＋∞) .因为q ：x 2－x －2>0，所以x <－1或x >2，记A ＝{x |x <－1或x >2}．又因为p ：2x ＋m <0，所以x <－m 2， 记B ＝{x |x <－m 2}， 因为p 是q 的充分不必要条件，所以B A .所以－m2≤－1，解得m ≥2. 所以实数m 的取值范围是[2，＋∞)．1．判断一个语句是否为命题，关键是看能否判断真假．数学中的定义、公理、定理都是命题，但命题与定理是有区别的：命题有真假之分，而定理都是真命题．2．一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律，判断一个命题为真必须经过证明，而判定一个命题为假只需举一个反例就行．3．判断充分条件和必要条件时，常用以下几种方法：(1)定义法：判断A 是B 的什么条件，实际上就是判断A B 或B A 是否成立，只要把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可判断．(2)转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价转换，如利用其逆否命题进行判断．(3)集合法：当条件和结论以集合形式出现时，可利用集合间的包含关系进行判断．。
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1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件考纲要求1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．1．命题用语言、符号或式子表达的，可以__________________叫做命题，其中判断为真的语句叫做__________，判断为假的语句叫做__________．2．四种命题及其关系(1)四种命题的表示及相互之间的关系．(2)四种命题的真假关系①互为逆否的两个命题__________(__________或__________)． ②互逆或互否的两个命题__________． 3．充分条件与必要条件(1)如果p ⇒q ，那么p 是q 的__________，q 是p 的__________． (2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，那么p 是q 的__________，记作__________．1．若命题p 的逆命题是q ，否命题是r ，则命题q 是命题r 的( )． A ．逆命题 B ．否命题 C ．逆否命题 D ．不等价命题2．命题“若a ＞－3，则a ＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．43．(2012天津高考)设x ∈R ，则“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2012上海高考)对于常数m ，n ，“mn ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．命题“如果x －2＋(y ＋1)2＝0，则x ＝2且y ＝－1”的逆否命题为__________．一、四种命题及其关系【例1－1】(2012重庆高考)命题“若p ，则q ”的逆命题是( )． A ．若q ，则p B ．若⌝p ，则⌝q C ．若⌝q ，则⌝p D ．若p ，则⌝q【例1－2】 (2012湖南高考)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )．A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4方法提炼1．命题真假的判定：对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假．2．掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断真假性不容易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假．3．“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念．如果原命题是“若p ，则q ”，那么这个原命题的否定是“若p ，则⌝q ”，即只否定结论；而原命题的否命题是“若⌝p ，则⌝q ”，即既否定命题的条件，又否定命题的结论．请做演练巩固提升1二、充分条件与必要条件的判定【例2－1】 (2012湖北高考)设a ，b ，c ∈R ，则“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c≤a ＋b＋c ”的( )．A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要的条件【例2－2】 是否存在实数m ，使得2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件？ 方法提炼判断充分条件、必要条件的方法 1．命题判断法设“若p ，则q ”为原命题，那么：(1)原命题为真，逆命题为假时，则p 是q 的充分不必要条件； (2)原命题为假，逆命题为真时，p 是q 的必要不充分条件； (3)原命题与逆命题都为真时，p 是q 的充要条件；(4)原命题与逆命题都为假时，p 是q 的既不充分也不必要条件． 2．集合判断法从集合的观点看，建立命题p ，q 相应的集合：p ：A ＝{x |p (x )成立}，q ：B ＝{x |q (x )成立}，那么：(1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，若A B 时，则p 是q 的充分不必要条件； (2)若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件，若B A 时，则p 是q 的必要不充分条件； (3)若A ⊆B 且B ⊆A ，即A ＝B 时，则p 是q 的充要条件． 请做演练巩固提升2,3三、充分条件与必要条件的证明【例3】 求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜13. 方法提炼1．证明充要性首先要分清谁是条件，谁是结论．在这里要注意两种说法：“p 是q 的充要条件”与“p 的充要条件是q ”；前者p 是条件，后者q 是条件．2．证明分为两个环节，一是充分性，即由条件推结论；二是必要性，即由结论推条件．证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明．请做演练巩固提升4等价思想在充要条件中的应用【典例】 (12分)已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，且⌝p 是⌝q的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．分析：(1)先求出p ，q 的解集；(2)再利用p ，q 间的关系列出关于m 的不等式或不等式组得出结论．规范解答：(方法一)由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，m ＞0， 得1－m ≤x ≤1＋m ，(3分)∴⌝q ：A ＝{x |x ＞1＋m ，或x ＜1－m ，m ＞0}．(4分) 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴⌝p ：B ＝{x |x ＞10，或x ＜－2}．(7分)∵⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件，∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，(10分)即m ≥9或m ＞9.∴m ≥9.(12分)(方法二)∵⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件， ∴p 是q 的充分而不必要条件．(3分)由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，m ＞0， 得1－m ≤x ≤1＋m ，∴q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}．(6分) 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}．(8分) ∵p 是q 的充分而不必要条件，∴P Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，(10分)即m ≥9或m ＞9.∴m ≥9.(12分)答题指导：本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．1．关于命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性，下列结论成立的是( )．A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真2．(2012浙江高考)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．直线l 1∥l 2的一个充分条件是( )． A ．l 1∥平面α，l 2∥平面αB ．直线l 1⊥直线l 3，直线l 2⊥直线l 3C．l1平行于l2所在的平面D．l1⊥平面α，l2⊥平面α4．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(x－3)＜0，且q是p的充分条件，则实数a的取值范围为( )．A．－1＜a＜6 B．－1≤a≤6C．a＜－1或a＞6 D．a≤－1或a≥65．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝__________.参考答案基础梳理自测知识梳理1．判断真假的陈述句 真命题 假命题 2．(2)①等价 同真 同假 ②不等价 3．(1)充分条件 必要条件 (2)充要条件 p ⇔q 基础自测1．C 解析：因为命题p 的逆命题是q ，即命题q 的逆命题是p ，又命题p 的否命题是r ，所以命题q 是命题r 的逆否命题，故选C.2．B 解析：原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题：若a ＞－6，则a ＞－3为假命题，则否命题也为假命题．故选B.3．A 解析：由2x 2＋x －1＞0，可得x ＜－1或x ＞12，∴“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的充分而不必要条件．4．B 解析：由mx 2＋ny 2＝1表示椭圆，可知m ＞0，n ＞0，m ≠n ， 所以m ＞0，n ＞0且m ≠n ⇒mn ＞0. 而显然mn ＞0m ＞0，n ＞0且m ≠n .5．如果x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0 解析：“x ＝2且y ＝－1”的否定为“x ≠2或y ≠－1”，x －2＋(y ＋1)2＝0的否定为x －2＋(y ＋1)2≠0.故逆否命题为：“如果x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0”． 考点探究突破【例1－1】 A 解析：根据逆命题的定义，命题“若p ，则q ”的逆命题为“若q ，则p ”，故选A.【例1－2】 C 解析：命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．【例2－1】 A 解析：1a＋1b＋1c＝bc ＋ac ＋ab abc＝bc ＋ac ＋ab ≤b ＋c2＋a ＋c 2＋a ＋b2＝a ＋b ＋c (当且仅当“a ＝b ＝c ”时，“＝”成立)，但反之，则不成立(譬如a＝1，b ＝2，c ＝3时，满足1a＋1b＋1c≤a ＋b ＋c ，但abc ≠1)．【例2－2】 解：欲使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件，只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－m 2⊆{x |x ＜－1，或x ＞3}，则只要－m2≤－1，即m ≥2.故存在实数m ，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件． 【例3】 证明：(1)充分性：∵0＜m ＜13，∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m ＞0，且3m ＞0，∴方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．(2)必要性：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m >0，3m>0，∴0＜m ＜13.综合(1)(2)可知，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜13. 演练巩固提升1．D 解析：对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c＜0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题，但其逆命题：“若{x |a x 2＋bx ＋c ＜0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集非空时，可以有a ＞0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题，故选D.2．C 解析：l 1与l 2平行的充要条件为a ×2＝2×1且a ×4≠－1×1，得a ＝1，故选C.3．D 解析：平行于同一平面的两直线有三种位置关系，故A 错误；同理判断B ，C 错误，故D 正确．4．B 解析：设q ，p 表示的范围分别为集合A ，B ， 则A ＝(2,3)，B ＝(a －4，a ＋4)． 因为q 是p 的充分条件，则有A ⊆B ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，所以－1≤a ≤6.故选B.5．3或4 解析：∵方程有实数根， ∴Δ＝16－4n ≥0. ∴n ≤4.原方程的根x ＝4±16－4n2＝2±4－n 为整数，则4－n 为整数．又∵n ∈N *，∴n ＝3或4.反过来，当n ＝3时，方程x 2－4x ＋3＝0的两根分别为1,3，是整数；当n ＝4时，方程x 2－4x ＋4＝0的两根相等且为2，是整数．。