第二章 可控性与可观性 7
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9-8_系统的可控制性与可观测性
1 1 0 1 AB 2 1 1 1
0 1 M B | AB 1 1
所以， rank B | AB 2 因而系统(b)是完全可控的。
返回
例9-8-2
给定离散系统状态方程
1 1 0 n 1 n x n 3 1 0 问该系统能否通过 x(n)的控制作用在有限的时间内
1 t r t 1 0 2 t
讨论给定系统
的可观性。
1 1 C 1 0
1 系统的各参数矩阵为：A 2
1 1 1 1 则 CA 1 0 2 1
C 1 0 N CA 1 1
问这两个系统是否都可控性。 只要观察系统的M矩阵是否满秩 对(a)系统有
1 1 1 1 AB 0 1 0 0
1 1 M B | AB 0 0
所以， rank B | AB 1
因而系统(a)是不完全可控的。 对(b)系统有：
当为A对角阵时，B中的0元素对应不可控因素， 而C中0元素对应不可观现象。 所以：1t可观，不可控
2t可观，又可控 3t不可观，可控
故该系统不完全可控，也不完全可观。
返回
例9-8-4
'1 t 1 1 1 t 0 ' et 2 t 2 1 2 t 1
M=(B|AB|A2B|…|Ak-1B) 这就是连续系统完全可控的充要条件。
满秩
返回
二．系统的可观性定义、判别法
可观性：当系统用状态方程描述，给定控制后，能 在有限的时间间隔内(0<t<t1)根据系统输出惟一地 确定系统的所有起始状态，则系统是完全可观。如 果只能确定部分起始状态，则系统不完全可观。 可观性判别法 1.根据状态方程的参数矩阵判别 设系统的状态方程
0 1 M B | AB 1 1
所以， rank B | AB 2 因而系统(b)是完全可控的。
返回
例9-8-2
给定离散系统状态方程
1 1 0 n 1 n x n 3 1 0 问该系统能否通过 x(n)的控制作用在有限的时间内
1 t r t 1 0 2 t
讨论给定系统
的可观性。
1 1 C 1 0
1 系统的各参数矩阵为：A 2
1 1 1 1 则 CA 1 0 2 1
C 1 0 N CA 1 1
问这两个系统是否都可控性。 只要观察系统的M矩阵是否满秩 对(a)系统有
1 1 1 1 AB 0 1 0 0
1 1 M B | AB 0 0
所以， rank B | AB 1
因而系统(a)是不完全可控的。 对(b)系统有：
当为A对角阵时，B中的0元素对应不可控因素， 而C中0元素对应不可观现象。 所以：1t可观，不可控
2t可观，又可控 3t不可观，可控
故该系统不完全可控，也不完全可观。
返回
例9-8-4
'1 t 1 1 1 t 0 ' et 2 t 2 1 2 t 1
M=(B|AB|A2B|…|Ak-1B) 这就是连续系统完全可控的充要条件。
满秩
返回
二．系统的可观性定义、判别法
可观性：当系统用状态方程描述，给定控制后，能 在有限的时间间隔内(0<t<t1)根据系统输出惟一地 确定系统的所有起始状态，则系统是完全可观。如 果只能确定部分起始状态，则系统不完全可观。 可观性判别法 1.根据状态方程的参数矩阵判别 设系统的状态方程
现代控制理论 2-0
∫
t
0
e − Aτ f (τ )dτ =
e [ x(0) + ∫ e
At 0 At
t
− Aτ
f (τ )dτ ] + ∫ e A( t −τ ) Bu (τ )dτ
t1 − Aτ
当t = t1时，有 x(t1 ) = e [ x(0) + ∫ e
0
f (τ )dτ ] + ∫ e A( t −τ ) Bu (τ )dτ
λ − 1 0 det[λI − A] = det = (λ − 1)(λ + 3) = 0 λ + 3 2 λ1 = 1, λ2 = −3 0 0 rank [λ1 I − AMb] = rank 2 4 − 4 rank [λ2 I − AMb] = rank 0 系统能控。 1 =2 1 0 1 =2 0 1
0
t1
∫
t1
0
e − Aτ f (τ )dτ为一个确定的值，仅仅相当于把系统
原来的初态改变了一确定的常值。所以在讨论系统 的能控性时，不考虑系统存在的确定性干扰。
第二章 系统的可观性和可控性
(三)能控性判据
判据一： 判据一：若系统能控，则能控性矩阵
Qc = [B AB A 2 B ... A n −1 B ] 满秩，即
第二章 系统的可观性和可控性
现代控制理论基础
主讲人: 主讲人:荣军 mail:rj1219 163. 1219@ E-mail:rj1219@
第二章 系统的可观性和可控性
2-1 能能控性及其判据
－、线性定常系统的能观测性及其判据 －、线性定常系统的能观测性及其判据
线性定常系统状态方程为 x = Ax + Bu 其中x、u分别为n、 r维向量，A、B为满足矩阵运算的常值矩阵。若给定系统的 一个初始状态x0和任一状态x1,如果在的有限时刻tf>0,定义在 时间区间[0，tf]的输入u（t）使状态x(0)＝x0转移到x(tf)＝ x1 ，则称系统状态完全是能控的； 如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完全 能控的，简称系统是状态能控的或系统是能控的。
《自动控制原理》线性系统的可控性与可观测性
将状态 x(t0 ) = 0 转移到 x(t f ) =x f 的控制作用，则称状态 x f 是 t0 时刻 可达的。若x f 对所有时刻都是可达的，则称状态x f 为完全可达或 一致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻 t0 可达的， 则称该系统是 t0 时刻状态完全可达的，或简称该系统是 t0 时刻可达
可观测性问题: 相应地，如果系统所有状态变量的任意形式 的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，简称为系 统可观测。反之，则称系统是不完全可观测的，或简称为系统不可 观测。
可控性与可观测性概念，是卡尔曼于20世纪60年代首先提出 来的，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论 中起着重要的作用。它不仅是研究线性系统控制问题必不可少的重 要概念，而且对于许多最优控制、最优估计和自适应控制问题，也 是常用到的概念之一。
在研究可观测性问题时，输出 y 和输入 u 均假定为已知，只有初始
状态 x0 是未知的。因此，若定义
t
y(t) = y(t) − C(t) (t, )B( )u( )d − D(t)u(t) t0
则式（9-79）可写为
y(t) = C(t)(t,t0 )x0
（9-80）
这表明可观测性即x0 可由 y 完全估计的性能，由于 y 和 x0 可任意取
y = −6x2
这表明状态变量 x1 和 x2 都可通过选择控制量 u 而由始点达到原
点，因而系统完全可控。 如何判别？
但是，输出 y 只能反映状态变量 x2 ，而与状态变量 x1 既无直
接关系也无间接关系，所以系统是不完全可观测的。如何判别？
变化：（1）b1=0 ? （2）a12≠0 ？ (3) a21≠0 ?
值，所
可控制性和可观性
∴系统不可控。
1 1 0 0 1 0 1 0 x 1 0 u x （ 4） 0 1 1 0 1
解： Qc [ B
0 1 AB] 1 0
解：
Qc [ B AB
rankQc 2 n
∴系统可控。
x(t 0 ) 0
，终端状态规定为任意非零有限点，则可达定义表述如下： 对于给定的线性定常系统
Ax Bu x
如果存在一个分段连续的输入u(t) , ，能在[ t0 , tf ]有限时间 间隔内，将系统由零初始状态 x(t0) 转移到任一指定的非零终 端状态 x(tf ) ，则称此系统是状态完全可达的，简称系统是 可达的（能达的）。
0 7 0 0 1 0 5 0 x 4 0u （ 3） x 0 1 0 7 5
解： （1）状态方程为对角标准型，B阵中不含有元素全为零的行，故系统是 可控的。 （2）状态方程为对角标准型，B阵中含有元素全为零的行，故系统是不 可控的。 （3）系统可控。 （4）系统不可控。
1 2 AB] , 0 0
1 0 1 x x （ 2） 0 1 1u
解： Qc [ B
解：
rankQ c 1 n
∴系统不可控
0 1 0 x 1u （ 3） x 1 0
1 1 Qc [ B AB] 1 1 rankQ c 1 n
1 x
u
2 x
1 s 1 s
x1
y
x2
2
2009-08 CAUC--空中交通管理学院 4
§4-1 问题的提出
1 0 1 x u （ 3） x 0 1 1
1 1 0 0 1 0 1 0 x 1 0 u x （ 4） 0 1 1 0 1
解： Qc [ B
0 1 AB] 1 0
解：
Qc [ B AB
rankQc 2 n
∴系统可控。
x(t 0 ) 0
，终端状态规定为任意非零有限点，则可达定义表述如下： 对于给定的线性定常系统
Ax Bu x
如果存在一个分段连续的输入u(t) , ，能在[ t0 , tf ]有限时间 间隔内，将系统由零初始状态 x(t0) 转移到任一指定的非零终 端状态 x(tf ) ，则称此系统是状态完全可达的，简称系统是 可达的（能达的）。
0 7 0 0 1 0 5 0 x 4 0u （ 3） x 0 1 0 7 5
解： （1）状态方程为对角标准型，B阵中不含有元素全为零的行，故系统是 可控的。 （2）状态方程为对角标准型，B阵中含有元素全为零的行，故系统是不 可控的。 （3）系统可控。 （4）系统不可控。
1 2 AB] , 0 0
1 0 1 x x （ 2） 0 1 1u
解： Qc [ B
解：
rankQ c 1 n
∴系统不可控
0 1 0 x 1u （ 3） x 1 0
1 1 Qc [ B AB] 1 1 rankQ c 1 n
1 x
u
2 x
1 s 1 s
x1
y
x2
2
2009-08 CAUC--空中交通管理学院 4
§4-1 问题的提出
1 0 1 x u （ 3） x 0 1 1
7.3可控性与可观测性分析
At
将e
写为A的有限项的形式，即 e
y(t ) k (t )CAk x(0)
k 0 n 1
At
k (t ) A k
k 0
n 1
因而
或
y(t ) 0 (t )Cx(0) 1 (t )CAx(0)
n1(t )CAn1 x(0)
显然，如果系统是可观测的，那么在 t0 t t1 时间间隔内，给定输出y(t)， 就可由上式唯一地确定出x(0)。 可观性判据（充要条件） 当且仅当n×nm维可观测性矩阵
0 【解】由于可控性矩阵 Q [ B AB ] 1
1 1
秩为2，即 rankQ 2 n
，故该系统是状态可控的。
1
1 1
15
由于输出可控性矩阵 Q' [ CB CAB ] 0
1 R T [ C T AT C T ] 0
这里D=0.
At1
t1
x(0) e
0
n 1
t1
o
或
n 1
A
Bu ( )d
A
将 e A 写为A的有限项的形式 e 式得：
k t1 k 0 0
k ( ) A k，并代入上
k 0
5
x(0) A B a k ( )u ( )d
记
0
定常系统状态可控性的代数判据 t x(0) A B a a k ( )u ( )d k ，则
0 1 det Q det [ 可控的。
传递函数矩阵表达的状态可控性条件
状态可控的条件也可用传递函数或传递矩阵描述。 状态可控性的充要条件是在传递函数或传递函数矩阵中不出现 相约现象。如果发生相约，那么在被约去的模态中，系统不可 控。 【例】 比如下列传递函数：
将e
写为A的有限项的形式，即 e
y(t ) k (t )CAk x(0)
k 0 n 1
At
k (t ) A k
k 0
n 1
因而
或
y(t ) 0 (t )Cx(0) 1 (t )CAx(0)
n1(t )CAn1 x(0)
显然，如果系统是可观测的，那么在 t0 t t1 时间间隔内，给定输出y(t)， 就可由上式唯一地确定出x(0)。 可观性判据（充要条件） 当且仅当n×nm维可观测性矩阵
0 【解】由于可控性矩阵 Q [ B AB ] 1
1 1
秩为2，即 rankQ 2 n
，故该系统是状态可控的。
1
1 1
15
由于输出可控性矩阵 Q' [ CB CAB ] 0
1 R T [ C T AT C T ] 0
这里D=0.
At1
t1
x(0) e
0
n 1
t1
o
或
n 1
A
Bu ( )d
A
将 e A 写为A的有限项的形式 e 式得：
k t1 k 0 0
k ( ) A k，并代入上
k 0
5
x(0) A B a k ( )u ( )d
记
0
定常系统状态可控性的代数判据 t x(0) A B a a k ( )u ( )d k ，则
0 1 det Q det [ 可控的。
传递函数矩阵表达的状态可控性条件
状态可控的条件也可用传递函数或传递矩阵描述。 状态可控性的充要条件是在传递函数或传递函数矩阵中不出现 相约现象。如果发生相约，那么在被约去的模态中，系统不可 控。 【例】 比如下列传递函数：
第二章 可控性与可观性 7
（3）Popov-Belevitch-Hautus判据
线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件是 对系统矩阵的所有特征值 si (i 1,2,...n)
C rank n si I A
其中n为系统矩阵A的阶次。
（4）约当规范型判据 1） 系统矩阵A的特征值 si (i 1,2,...n) 互异
BB e
T AT t
d
为非奇异的或是正定的。
（2）秩判据 假设线性时变连续系统的A(t)和B(t) 的每个元素 分别是n-2和n-1次连续可微函数，并记
B1 (t ) B(t )
(t ), i 2,3,...n Bi (t ) A(t ) Bi 1 (t ) B i 1
几点说明：
（1）未限制状态转移的轨迹。可控性只表征系统状态运 动的一个定性特性 。 （2）定义中对控制量的每个分量的大小并未限制，只要 求控制量u是容许控制的，这表明控制量的每个分量应在 时间区间Tf上平方可积：
t
t0
ui dt , t0 , t T f
2
（3）定义是相对于时间区间Tf中的一个取定时刻来定义 的，对于线性时变系统是完全必要的，而对于线性定常 系统，系统的可控性与初始时刻的选取无关。
1 0 1 dx / dt x u 0 1 1 y 1 1x
u
1
x1
y
1
x2
1 0 1 dx / dt x u 0 1 1 y 1 0x
x1
1
u
y
ˆx ˆu x ˆA ˆB
第二章2：可控性
2. 与可控概念相反，只要存在一个非零初态 x(t0) ，无论t1取多大，都不能找到一个容许控制将这 个状态 x(t0)控制到 x(t1)=0，这时称系统在t0是 不可控的。
3. 这里所定义的可控性有时称为到达原点的可控 性。定义2-3所阐述的到达原点的可控性与状态 空间的任何状态转移到另一任意状态是等价的 （见习题2—3）。
rank[M0 (t1 ) M1(t1 ) L Mn - 1(t1 )] = n
则状态方程在t0 时刻可控。 证明：
只要证明存在一个t1>t0，使得
Φ(t0,t )B(t )t [t0,t1]
行线性无关就可以了。而根据定理2-2，若能找到 一个t1>t0，使得
[F (t0,t1)B(t1)
抖F (t0,t)B(t)
证完。
例2—7 讨论如下系统的可控性：
骣 珑 珑 珑 珑 珑 珑 珑 珑 珑 桫xxx&&&213 鼢 鼢 鼢 鼢 鼢 鼢 鼢 鼢 鼢 鼢= 骣 çççççççççç桫00t
1 t 0
0 0 t2
÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷
骣 çççççççç桫xxx213
÷÷÷÷÷÷÷÷÷ +
骣0 1 桫1
u
直接计算得到：
¶t
t = t1
L
n
-
1F (t0,t)B(t ) ¶tn- 1
t
=
t1
]
= F (t0,t1)[M0(t1) M1(t1) L Mn - 1(t1)]
的秩是 n 就可以了。由
rank[M0(t1) M1(t1) L Mn - 1(t1)] = n
有 (t0, )B( )在[t0, t1]上行线性无关。
3. 这里所定义的可控性有时称为到达原点的可控 性。定义2-3所阐述的到达原点的可控性与状态 空间的任何状态转移到另一任意状态是等价的 （见习题2—3）。
rank[M0 (t1 ) M1(t1 ) L Mn - 1(t1 )] = n
则状态方程在t0 时刻可控。 证明：
只要证明存在一个t1>t0，使得
Φ(t0,t )B(t )t [t0,t1]
行线性无关就可以了。而根据定理2-2，若能找到 一个t1>t0，使得
[F (t0,t1)B(t1)
抖F (t0,t)B(t)
证完。
例2—7 讨论如下系统的可控性：
骣 珑 珑 珑 珑 珑 珑 珑 珑 珑 桫xxx&&&213 鼢 鼢 鼢 鼢 鼢 鼢 鼢 鼢 鼢 鼢= 骣 çççççççççç桫00t
1 t 0
0 0 t2
÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷
骣 çççççççç桫xxx213
÷÷÷÷÷÷÷÷÷ +
骣0 1 桫1
u
直接计算得到：
¶t
t = t1
L
n
-
1F (t0,t)B(t ) ¶tn- 1
t
=
t1
]
= F (t0,t1)[M0(t1) M1(t1) L Mn - 1(t1)]
的秩是 n 就可以了。由
rank[M0(t1) M1(t1) L Mn - 1(t1)] = n
有 (t0, )B( )在[t0, t1]上行线性无关。
9-2线性系统的可控性与可观测性
19
1 6 4 1 4 6 1 3 2 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0 1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0 20r1 r4 r2 r4 2
2
5
6 11
16 0.
23
454页例9-12：已知线性定常系统状态方程为
0 0 x 0 0 1 0 0 1 0 0 0 5 0 0 1 0 x 0 1 0 2 1 0 u 1 0
判断系统的可控性。 解：根据状态方程可写出
3
9.2.1． 可控性定义
1．状态可控
考虑n维线性时变系统的状态方程
x A(t ) x B(t )u
x(t0 ) x0
t Tt
如果对取定初始时刻 t 0 Tt 的一个非零初始状态 x(t0) =x0，存在一个时刻 t1 Tt , t1 t 0 和一个无约 束的容许控制u(t)， t [t 0 , t1 ] ，使状态由x(t0)=x0转 移到t1时的x(t1)=0 ，则称此x0是在时刻t0可控的.
25
2）当 s 3 5 时，有
rank sI A B =rank 5 0 0 0 1 1 5 1 0 4 0 0 1 0 2 0 0 1 0 4 1 0
A 2A I
2
A AA 2 A A 2(2 A I ) A 3A 2I
3 2 2
A AA 3A 2 A 3(2 A I ) 2 A 4 A 3I
3 2
根据数学归纳法有
A kA (k 1) I
k
所以：
A
1 6 4 1 4 6 1 3 2 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0 1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0 20r1 r4 r2 r4 2
2
5
6 11
16 0.
23
454页例9-12：已知线性定常系统状态方程为
0 0 x 0 0 1 0 0 1 0 0 0 5 0 0 1 0 x 0 1 0 2 1 0 u 1 0
判断系统的可控性。 解：根据状态方程可写出
3
9.2.1． 可控性定义
1．状态可控
考虑n维线性时变系统的状态方程
x A(t ) x B(t )u
x(t0 ) x0
t Tt
如果对取定初始时刻 t 0 Tt 的一个非零初始状态 x(t0) =x0，存在一个时刻 t1 Tt , t1 t 0 和一个无约 束的容许控制u(t)， t [t 0 , t1 ] ，使状态由x(t0)=x0转 移到t1时的x(t1)=0 ，则称此x0是在时刻t0可控的.
25
2）当 s 3 5 时，有
rank sI A B =rank 5 0 0 0 1 1 5 1 0 4 0 0 1 0 2 0 0 1 0 4 1 0
A 2A I
2
A AA 2 A A 2(2 A I ) A 3A 2I
3 2 2
A AA 3A 2 A 3(2 A I ) 2 A 4 A 3I
3 2
根据数学归纳法有
A kA (k 1) I
k
所以：
A
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u
1
x1
y
2.6.2 可控性定义及其判据
2.6.2.1可控性定义：
线性时变连续系统的状态方程为：
(t ) A(t )x(t ) B(t )u(t ) x
t Tf
状态可控性：
Tf 对于线性时变连续系统，如果对取定初始时刻 t0 的 一个非零初始状态 x(t0 ) x0 ， 存在一个时刻 t1 t0 ， t1 T f 和一个无约束的容许控制 u(t ), t t0 , t1
Wct (t1 , t0 ) (t1 , ) B( )BT ( )T (t1 , )d
t0 t1
为非奇异的或是正定的。
线性定常连续系统Gram矩阵判据：
线性定常连续系统 完全可控的充要条件为：
存在时刻 t1 0 使如下定义的Gram矩阵
Wc (t1 ,0) e
t0 t1 At
系统的可控性矩阵 ：
M (B AB ... An1B)
n行 nm列，如何确定秩为多少？计算技巧？
（3）PBH判据（Popov-Belevitch-Hautus判据） 线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是对 系统矩阵的所有特征值 si (i 1,2,...n)
rank(si I A B) n
1 0 1 dx / dt x u 0 1 1 y 1 1x
u
1
x1
y
1
x2
1 0 1 dx / dt x u 0 1 1 y 1 0x
x1
1
u
y
t0 t1
为非奇异的或是正定的。
其中：T ( , t0 ) 为状态转移矩阵。
线性定常连续系统Gram矩阵判据：
线性定常连续系统 完全可观测的充要条件为，
存在时刻 t1 0 使如下定义的Gram矩阵
Wo (t1 ,0) e C T e At d
AT t 0 t1
为非奇异的或是正定的。
t0
若系统在 则系统在
t 0 时刻是完全可控的，
t0 [0, ) 上完全可控。
t0 [0, )
2.6.2.2 可控性判据
分析：
可控性仅与状态方程中的系统矩阵和控制 矩阵有关！ （1）Gram矩阵判据（判别原理？） 线性时变连续系统在 t 0 时刻可控的充要条件为： 存在某个有限时刻 t1 t0 使得Gram矩阵
则称系统在时间区间 t0 , t1 是不完全可观测的
简称系统不可观测。
2.6.3.2 可观测性判据
（1）Gram矩阵判据（判别原理？） 线性时变连续系统在 t 0 时刻可观测的充要条件为： 存在某个有限时刻 t1 t0 使得Gram矩阵
Wot (t1 , t0 ) T ( , t0 )C T ( )C( )( , t0 )d
sq
c11 c12 ... c1n c c ... c 22 2n ˆ 21 C ... ... ... cm1 cm 2 ... cmn
ˆ 中对应于A的相同特征值部分，其第一列元 (a) C 素不全为零；
ˆ 中对应于A的互异特征值部分，没有元素全 (b) C 为零的列。
（1） 输入状态间的问题：
输入是否使状态发生希望的变化？
可控性问题
要使状态发生某种变化，输入＝？ 最优控制问题
（2） 输出状态间的问题：
状态可否从输出得到？
可观测性问题
如何从输出得到？ 最优估计问题
可控性、可观性为现代控制理论的基础，是现代 控制理论应用的前提条件！ 什么是可控性？可观测性？如何判断？
ˆx ˆu x ˆA ˆB
其中，设有q-l个相同特征值 s1 有l个相同特征值 其余为互异特征值
sq
s1 0 ˆ A
1 s1
0 1 ... 1 s1 sq 1 sq 0 1 ... 1 0 sq sq 1 sq 2 0
如果存在某个时刻 t1 t0
使得 rankNt (t1 ) n
则该线性时变系统在t0时刻完全可观测。
线性定常连续系统秩判据： 线性定常连续系统完全可观测的充要条件为：
C CA n rankN rank ... n 1 CA
其中n为系统矩阵A的阶次 N 称为系统的可观测矩阵（几行几列？）。
（2）秩判据 假设线性时变连续系统的A(t)和B(t) 的每个元素 分别是n-2和n-1次连续可微函数，并记
C1 (t ) C (t )
(t ),i 2,3,... Ci (t ) Ci 1 (t ) A(t ) C i 1
令
C1 (t ) C (t ) N t (t ) 2 ... C ( t ) n
几点说明：
（1）未限制状态转移的轨迹。可控性只表征系统状态运 动的一个定性特性 。 （2）定义中对控制量的每个分量的大小并未限制，只要 求控制量u是容许控制的，这表明控制量的每个分量应在 时间区间Tf上平方可积：
t
t0
ui dt , t0 , t T f
2
（3）定义是相对于时间区间Tf中的一个取定时刻来定义 的，对于线性时变系统是完全必要的，而对于线性定常 系统，系统的可控性与初始时刻的选取无关。
2.6.4 对偶原理
可控性： 系统输入对系统状态的有效控制能力
可观性： 系统输出对系统状态的确切反映能力
问题：
状态可控？系统可控？
状态不可控？系统不可控？ 状态可观测？ 系统可测观？ 状态不可观测？ 系统不可观测？
分析如下4个系统的可控性和可观测性：
1 0 1 dx / dt x u 0 1 1 1 0 1 y 1 1x dx / dt x u 0 1 1 1 0 0 y 1 0x dx / dt x u 0 1 1 1 1 1 dx / dt x u y 1 1x 0 1 0 y 1 0x
BB e
T AT t
d
为非奇异的或是正定的。
（2）秩判据 假设线性时变连续系统的A(t)和B(t) 的每个元素 分别是n-2和n-1次连续可微函数，并记
B1 (t ) B(t )
(t ), i 2,3,...n Bi (t ) A(t ) Bi 1 (t ) B i 1
1
x2
1 0 0 dx / dt x u 0 1 1 y 1 1x
x1
1
y
u
1
x2
1 1 1 dx / dt x u 0 1 0 y 1 0x
x2
1
2.6 可控性与可观性
2.6.1 概述
经典控制论中：
系统用传递函数描述；
注重输入-输出间的直接关系;
SISO、低阶，输出可控制亦可测量；
可控性与可观性不是问题!
现代控制论中：
系统复杂：MIMO，高阶，时变，非线性等 系统模型：状态方程＋输出方程 由于 所以 输出状态，状态输入 要得到理想的输出，首先要控制好状态 使输出随状态发生变化
（3）Popov-Belevitch-Hautus判据
线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件是 对系统矩阵的所有特征值 si (i 1,2,...n)
C rank n si I A
其中n为系统矩阵A的阶次。
（4）约当规范型判据 1） 系统矩阵A的特征值 si (i 1,2,...n) 互异
系统输出完全可控的充分必要条件是：
M y (CB
CAB
...CAn1B D)
的秩等于输出向量的维数，即
rankMy m
2.6.3 可观测性定义及其判据
2.6.3.1 可观测性定义： 设线性时变连续系统的状态方程和输出方程为：
A(t )x B(t )u(t ) x y (t ) C(t )x D(t )u(t )
A(t), B(t), C(t) ,D(t) :
n n n r m n
t Tf
x(t0 ) x0
m r
系统可观测性：
对于线性时变连续系统，如果对取定初始时刻 t0 Tf 存在一个时刻 t1 Tf 可以根据 t t0 , t1 系统的输出y唯一确定状态向量的初值
x0
则称系统在时间区间 t0 , t1 是完全可观测的
其中n为系数矩阵A的阶次
（4）约当规范型判据
1） 若系统矩阵A的特征值 si (i 1,2,...n) 互异且
s x 0
1
s
2
0 x Bu ... s
n
则线性定常连续系统完全可控的充要条件为矩阵
B
不包含全为0的行。
2）当 系统矩阵A的特征值 si (i 1,2,...n) 有相同的
0 ... sn
q-l
l
则系统可控的充要条件是：
ˆ 中与每个约当 ˆ 的相同特征值部分，B (a) 对应于A 块最后一行相对应的 ˆ 互异特征值部分， (b)对应于 A B 的行。
小结（可控性判别要素）： （1）状态化成零； （2）仅与状态方程有关； （3）不是求出一个 u(t1) ，而是判断其存在否！
可控性仅与系统本身有关，与输入量无关！ t1=?
（4）定义中规定由非零状态转移到零状态。如果将其变
更为由零状态转移到非零状态，则称这种情况为状态可达 或系统可达。对于线性定常系统，可控性与可达性等价。