一次函数解析式的求法
一次函数解析式快速求法(一秒出答案)
一次函数解析式快速求法（一秒出答案）直线斜率：k=tanα首先需要向大家解释清楚的是这个α指的是直线与X轴正方向的夹角，如下图这里会存在一个问题，就是同学们初中学的叫“锐角三角函数”，所以对于图2这样的钝角三角函数，大部分同学应该还不太会，那么这个问题我们可以简化一下，具体操作如下：对于图1，同学们很容易可以看出tanα=1，所以这一类比较简单，直接得出k=1 对于图2，先求出α的邻补角，即那个与X轴的负方向的夹角的正切值为1/2，然后因为直线是往下走的，所以K为负值，因此只需要将刚才那个正切值前面加上“－”号就可以了，即K=tanα=－1/2。
它在求一次函数的解析式的时候能减少计算量，节省考试时间。
举例说明：已知直线过A(-1，5)， B(1，-1)两点，求直线的解析式。
常规方法是将这两点代入y=kx+b，然后解二元一次方程组，那么同学们可以这样操作：首先可以简单画个草图，然后像我这样构造一个直角三角形，tan∠ABC=3,又因为直线往下走，所以k=-3，于是直线解析式为y=－3x+b,再将(1，-1)代入，可口算出b=2，所以直线解析式为y=－3x+2。
肯定有同学认为这样做学校老师不会给分的，那么我教大家一个可以拿分的办法：考试的时候试卷上这样写：“将A,B两点坐标代入y=kx+b，解得k=-3,b=2。
”所有老师都希望学生通过解二元一次方程组来求这个直线解析式，但事实上我们可以偷偷使用我教的这个方法，但是卷面上可以假装解了一个二元一次方程组，老师不会看具体计算过程，因此这样写老师是会给分的。
一次函数解析式练习题一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。
其中求一次函数解析式就是一类常见题型。
例1. 已知函数y m x m=-+-()3328是一次函数，求其解析式。
例2. 已知一次函数y kx =-3的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。
例3. 已知某个一次函数的图像与x 轴、y 轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），求这个函数的解析式。
一次函数解析式的求法
2021/5/27
3. 若直线y=3x+b与两坐标轴 所围成的三角形的面积是6个 面积单位，求b的值.
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4.一次函数的图象与直线x+y6=0交于A(5,m)点，且与直线 y=2x-3无交点，求一次函数的 解析式。
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6、已知直线y=kx+b经过点 （2.5，0），且与坐标轴所围 成的三角形的面积为6.25，求 该直线的解析式。 7、已知直线y=2x-4向左平移4 个单位后的解析式 8、判断点A(3，2)、B(-3，1)、 C(1，1)是否在一直线上？
为y_＝__2_x_+__1___.
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你会用所学知识解决生活中的问2021/5题/27 吗?
(4)生物学家研究表明： 某种蛇的长度y(cm)是其尾长x(cm)的一次函数； 当蛇的尾长为 14cm时, 蛇的长为105.5cm; 当蛇的尾长为6 cm时, 蛇的长为45.5 cm； 当蛇的尾长为10 cm时,这条蛇的长度是多少?
x -2 -1 0 1
y3
10
其中有一格不慎被墨汁遮住了,想想看， 该空格里原来填的数是多少？
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1、一次函数的图象经过点(0,2),且与 两坐标轴形成的三角形面积等于1.求 出一次函数的解析式. 2、一次函数y=2x-2（1）向下平移4 个单位得到的解析式（2）向右平移2 个单位后的解析式（3）直线l与一次 函数y=2x-2直线关于x轴对称,求解析 式。
3
1．用待定系数法求一次函数的解析式 (1)先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的 ___系__数___，从而具体写出这个式子的方法，叫做待__定__系__数__法__． (2)探究：已知一次函数的图象经过(2,5)和(－4,2)，求这个 一次函数的解析式．
函数解析式的常用求解方法函数解析式的求解九种方式函数解析式有几种形式
一、函数解析式的常用求解方法（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。
待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g （x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f （x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
二、函数解析式的求解九种方式：1.代入法：已知f(x)的解析式,求f[g(x)] 的解析式.[例1] 若f(x)=2x＋1,g(x)=x－1, 求f[g(x)],g[f(x)].2. 换元法已知f[g(x)]=h(x), 求f(x)的解析式.令g(x)=tx=(t),则f(t)=h[(t)],再将t换成x即可.但要注意换元前后变量的等价性。
[例2] 已知f( +1)= x+2 ,求f(x),f(x+1).3.配凑法已知f[g(x)]=h(x), 求f(x)的解析式。
若能将h(x)用g(x)表示, 然后用x去代换g(x),则就可以得到f(x)的解析式。
[例3] 已知f(x+ )= x3 + , 求f(x)，f(x+1).4.待定系数法根据已知函数的类型或者特征,求函数解析式。
一次函数解析式求法
斜率 $k$ 的意义
截距 $b$ 的意义
解析式求法
表示函数图像的倾斜程度，$k > 0$ 时图像上升，$k < 0$ 时图像下降。
表示函数图像与 $y$ 轴交点的纵坐标。
通过已知的两个点坐标，利用两点式或点斜式求出一次函数的解析式。
关键知识点总结
忽视斜率 $k neq 0$ 的条件，将常数函数误认为一次函数。
已知斜率和一点坐标求解析式
已知一次函数的图像经过点 $(2, 3)$ 和 $(-1, -2)$，求这个一次函数的解析式。
例题
设一次函数解析式为 $y = kx + b$，根据已知条件列方程组
解
实际应用举例
$$begin{cases}
3 = 2k + b
2 = -k + b
实际应用举例
end{cases}$$
将求得的待定系数代回原解析式后，必须验证是否满足已知条件。
误区提示：常见的误区有以下几点
注意事项与误区提示
忽略了已知条件对解析式的限制；
在列方程或方程组时出现了错误；
在解方程或方程组时出现了计算错误；
没有验证求得的解析式是否满足已知条件。
01
02
03
04
注意事项与误区提示
04
解析式求法之图像法
创新思维在求解过程中运用
逆向思维
从问题的结论出发，逆向推导问题的条件，从而找到解决问题的新思路。
类比思维
将问题与其他类似问题进行类比，借鉴其他问题的解决方法，以启发新的解题思路。
转化思维
将问题转化为另一种形式或模型，以便利用已知的知识和方法进行求解。
06
总结回顾与拓展延伸
一次函数解析式23招经典解法
一次函数表达式的方法解法（23招）求一次函数的表达式基本解法1、待定系数法（1）图象过原点：函数为正比例函数，可设表达式为y=kx ，再找图象上除原点外的一个点的坐标代入表达式，即可求出k.（2）图象不过原点：函数为一般的一次函数，可设表达式为y=kx+b ，再找图象上的两个点的坐标代入表达式，即可求出k ，b 。
例：已知一次函数y=kx+b （k ，b 为常数且0≠k ）的图象经过点A （0，－2）和点B （1，0），则k=______，b=______.答案：k=2，b=-2例：已知正比例函数)0(≠=k kx y 的图象经过点（1，－2），则这个正比例函数的表达式为______.答案：y=-2x常见解法：1、定义式例：已知函数3)3(82+-=-mx m y 是一次函数，求其解析式。
解析：该函数是一次函数， ∴182=-m解得m=±3,又m≠3∴m=-3故解析式为y=-6x+32、点斜式要点：如何求k ？（1）公式：1212x x y y k --=，（2）图象（比值）：|k |=BCAB (两直角边的比） （3）增量：V （速度）、P （电功率）（4）平移变换：k 值相等（5）垂直变换：121-=k k（6）对称变换：|k|、|b|不变（7）相似比：(略)（8）正切值：tanα（斜率）（9）旋转变换：（略）例：已知一次函数y=kx-3的图象过点（2，-1），求这个函数解析式。
解析：方法一：（代入法）将点（2,-1）代入y=kx-3得，-1=2k-3，解得k=1.故解析式为y=x-3方法二：（一点式）解析：一次函数y=kx-3的图象过点（2，-1），∴可令y=k(x-2)-1=kx-2k-1，∴-2k-1=-3,解得k=1，∴这个函数解析式为y=x-3.3、两点式例：一次函数经过（-2，0)、(0，4),求此函数的解析式。
解析：方法一：（构建方程组）令解析式为y=kx+b,过（-2,0)、(0,4)，则⎩⎨⎧=+-=b b k 420 解得k=2，b=4 故解析式为y=2x+4. 方法二：由点斜式，得)2(0041212---=--=x x y y k =2 再一点式，得y=2(x+2)+0=2x+4方法三：由斜截式，得y=2x+4方法四：由数形结合，得y=2x+4(k=直角边的比）方法五：（纯一点式）y=k(x+2)=k(x+0)+4⇒k=24、一点式：例：过（2,5）的一次函数解析式为_____。
函数解析式的求法
函数解析式的求法1.待定系数法例1.求一次函数y=f(x)解析式，使f(f(x))=4x+3.解：设f(x)=ax+b(a≠0).∴f(f(x))==af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b∴a^2x+ab+b=4x+3∴a^2=4,ab+b=3解得a=2,b=1或a=-2,b=-3.∴f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.总结：当已知函数类型时，求函数解析式，常用待定系数法。
其基本步骤：设出函数的一般式，代入已知条件通过解方程（组）确定未知系数。
2.换元法换元法就是引进一个或几个新的变量来替换原来的某些量的解题方法，它的目的是化繁为简、化难为易，以快速的实现从未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的。
常见换元法是多种多样的，如局部换元、整体换元、分母换元、平均换元等，应用极为广泛。
例2.已知f(1-√x)=x.求f(x).解：设1-√x=t,则x=(1-t)^2∵x≥0,∴t≤1,∴f(t)=(1-t)^2(t≤1)∴f(x)=(1-x)^2(x≤1)(函数变量的无关性)总结：(1)利用换元法解题时，要注意在换元时易引起定义域的变化，所以最后的结果要注意所求函数的定义域。
(2)函数变量的无关性，变量无论是用x还是用t表示，都无关紧要，函数依然成立。
3.配凑法例3.已知f(3x+1)=9x^2-6x+5,求f(x).解：∵f(3x+1)=9x^2-6x+5=(3x+1)^2-12x+4=(3x+1)^2-4(3x+1)+8∴f(x)=x^2-4x+8总结：当已知函数表达式比较简单时，可直接应用配凑法，即根据具体的解析式凑出复合变量的形式，从而求出函数解析式。
4.消元法（又叫解方程组法）例4.已知函数f(x)满足条件：f(x)+2f(1/x)=x,求f(x).分析：用1/x代替条件方程中的x得：f(1/x)+2f(x)=1/x.把它与原条件式联立。
用消元法消去f(1/x),即得f(x)的解析式。
一次函数解析式快速求法(一秒出答案)
一次函数解析式快速求法（一秒出答案）
直线斜率：k=tanα
首先需要向大家解释清楚的是这个α指的是直线与X轴正方向的夹角，如下图
这里会存在一个问题，就是同学们初中学的叫“锐角三角函数”，所以对于图2这样的钝角三角函数，大部分同学应该还不太会，那么这个问题我们可以简化一下，具体操作如下：
对于图1，同学们很容易可以看出tanα=1，所以这一类比较简单，直接得出k= 1
对于图2，先求出α的邻补角，即那个与X轴的负方向的夹角的正切值为1/2，
然后因为直线是往下走的，所以K为负值，因此只需要将刚才那个正切值前面加上“－”号就可以了，即K=tanα=－1/2。
它在求一次函数的解析式的时候能减少计算量，节省考试时间。
举例说明：已知直线过A(-1，5)， B(1，-1)两点，求直线的解析式。
常规方法是将这两点代入y=kx+b，然后解
二元一次方程组，那么同学们可以这样操作：
首先可以简单画个草图，然后像我这样构造一个直角三角形，tan∠ABC=3,又因为直线往下走，所以k=-3，于是直线解析式为y=－3x+b,再将(1，-1)代入，可口算出b=2，所以直线解析式为y=－3x+2。
肯定有同学认为这样做学校老师不会给分的，那么我教大家一个可以拿分的办法：
考试的时候试卷上这样写：“将A,B两点坐标代入y=kx+b，解得k=-3,b=2。
”
所有老师都希望学生通过解二元一次方程组来求这个直线解析式，但事实上我们可以偷偷使用我教的这个方法，但是卷面上可以假装解了一个二元一次方程组，老师不会看具体计算过程，因此这样写老师是会给分的。
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七种求法求函数解析式
七种求法求函数解析式七种求函数解析式的方法一、待定系数法：已知函数的解析式时，可以使用待定系数法构造函数。
例如，设$f(x)$是一次函数，且$f[f(x)]=4x+3$，求$f(x)$的解析式。
设$f(x)=ax+b(a\neq0)$，则$f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b$。
根据题意，有$a^2=4$，解得$a=2$或$a=-2$。
再代入$f[f(x)]=4x+3$中，解得$b=1$或$b=3$。
因此，$f(x)=2x+1$或$f(x)=-2x+3$。
二、配凑法：已知复合函数$f[g(x)]$的表达式，求$f(x)$的解析式，可以使用配凑法。
但需要注意所求函数$f(x)$的定义域不是原复合函数的定义域，而是$g(x)$的值域。
例如，已知$f(x+1)=(x+1)^2-2$，求$f(x)$的解析式。
将$x$换成$x-1$，得$f(x)=(x-1)^2-2(x\geq2)$。
三、换元法：已知复合函数$f[g(x)]$的表达式时，可以使用换元法求$f(x)$的解析式。
与配凑法类似，需要注意所换元的定义域的变化。
例如，已知$f(x+1)=x+2x$，求$f(x)$的解析式。
令$t=x+1$，则$t\geq1$，$x=(t-1)$，$f(t)=(t-1)^2+2(t-1)=t^2-1$，因此$f(x)=x^2-1(x\geq1)$。
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般使用代入法。
例如，已知函数$y=x+\sqrt{x}$与$y=g(x)$的图像关于点$(-2,3)$对称，求$g(x)$的解析式。
设$M(x,y)$为$y=g(x)$上任一点，且$M'(x',y')$为$M(x,y)$关于点$(-2,3)$的对称点，则$x'+x=-4$，$y'+y=6$，解得$y=-x-7+\sqrt{x+4}$，因此$g(x)=-x^2-7x-6$。
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y
8 7 6 5 4 3 2 1
画函数y=x+3的图象
y=x+3
(3，6)
(0，3)
1 2 3 4 5 6 7 8 x
பைடு நூலகம்
0
从数到形 函数解 选取 满足条 画出 一次函 数的图 析式 件的两 象 y=kx+b 解出 点(x1,y1) 选取 (k≠0) 与(x2,y2) 直线
从形到数
数学的思想方法：数形结合
求一次函数的解析式
学习目标：
1.了解待定系数法的思维方式与特点。 2.会根据所给信息用待定系数法求一次函 数解析式，发展解决问题的能力。 3.进一步体验并初步形成“数形结合”的思 想方法。
（1）若点A（-1，1）在函数Y=KX的图象上则 K= . （2）在一次函数Y=KX-3中，当X=3时Y=6则K= .
(3)若小李 5 月份上网费用为 75 元，则他在该月份的上网时间
35 是__________ ．
再见
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.依题意得
14k+b=105.5 解之得 6k+b=45.5
K=7.5
b=0.5
∴函数的解析式为y=7.5x+0.5 当X=10时 y=7.5×10+0.5=75.5 答:当一条蛇的尾长为10 cm时,这条蛇的长度是75.5cm
小明根据某个一次函数关系式填写了下表:
4、已知一个正比例函数和一个一次函数，它们 的图象都经过点P （-2，1），且一次函数图象与 y轴交于点Q（0，3）。
（1）求出这两个函数的解析式；
用待定系数法求一次函数的解析式(重点) 例 1：直线 y＝kx＋b 在坐标系中的图象如图 1，则(
2 A．k＝3，b＝－2 2 B．k＝－3，b＝2 2 C．k＝－1，b＝－3 2 D．k＝－2，b＝3
)
图1
思路导引：根据待定系数法求出一次函数的解析式中未知
数的系数．
解析：根据图象知，直线过点(3,0)和(0,2)，
k 2 0 3k b 3. 代入 y＝kx＋b 得 ，解得 2b b2
答案：B
【规律总结】用待定系数法求一次函数的解析式，要根据
解题的步骤: 1.设一次函数的一般形式y=kx+b(k≠0) ; 2.根据已知条件列出关于k , b 的二元一次方程 组 3.解这个方程组,求出k, b ; 4 .据求出的 k, b的值，写出所求的解析式.
象刚才这样先设待求的函数关系式(其中含有 未知的系数)，再根据条件列出方程或方程组，求 出未知系数，从而具体写出关系式的方法,叫做待
定系数法.
2．分段函数 在一个变化过程中，函数 y 随自变量 x 变化的函数解析式 有时要分成几部分，这样在确定函数解析式或函数图象时，要
根据自变量的取值范围分段描述．这种函数通常称为分段函数．
分段函数的解析式
例 2：从广州市向北京市打长途电话，按时间收费，3 分钟内 收费 2.4 元，每加 1 分钟收费 0.5 元，求时间 t(分)与电话费 y(元)
3．某市推出电脑上网包月制，每月收取费用 y(元)与上网时间
x(小时)的函数关系如图 4，其中 BA 是线段，且 BA∥x 轴，AC 是
射线．
图4
y＝3x－30 ； (1)当 x≥30 时，y 与 x 之间的函数解析式为______________ 60 元上网费用； (2)若小李 4 月份上网 20 小时，他应付________
(2，5) , _______ (1，3) 代入所设解析式 把点_______ 得 2 k+b＝ 5
1 解得,
k+b ＝
3
k＝_____ 2
b＝_____ 1
把k=1，b=2代入y=kx+b中，得一次函数解析式 y__________. ＝2x+1 为
你会用所学知识解决生活中的问题吗? (4)生物学家研究表明： 某种蛇的长度y(cm)是其尾长x(cm)的一次函数； 当蛇的尾长为 14cm时, 蛇的长为105.5cm; 当蛇的尾长为6 cm时, 蛇的长为45.5 cm； 当蛇的尾长为10 cm时,这条蛇的长度是多少?
点拨：(1)当 x≥30 时，设函数解析式为 y＝kx＋b，
30k b 60 k 3 则 ，解得 .所以 y＝3x－30. 40k b 90 b 30
(2)当 0≤x<30 时，y＝60， 所以 4 月份上网 20 小时，应付上网费 60 元． (3)由 75＝3x－30，解得 x＝35， 所以 5 月份小李上网 35 小时．
x y -2 -1 0 1
3
1
0
其中有一格不慎被墨汁遮住了,想想看， 该空格里原来填的数是多少？
1、一次函数的图象经过点(0,2),且与 两坐标轴形成的三角形面积等于1.求 出一次函数的解析式. 2、一次函数y=2x-2（1）向下平移4 个单位得到的解析式（2）向右平移2 个单位后的解析式（3）直线l与一次 函数y=2x-2直线关于x轴对称,求解析 式。
↓
↓
:物理课扰乱课堂，并把校服的字洗掉！ 代入求得函数解析式为________．
1 2
2、已知一次函数 的自变量x=3时，函数值y=5； 当 x=-4时，y=-9。根据解决上面问题的经验，你 能写出这个一次函数的解析式吗？ 3、 已知直线 y=kx+b 经过点（9，10）和点 （24，20），求k与b。
（3）一次函数Y=3X-B过A（-2，1）则B=
,。
1．用待定系数法求一次函数的解析式 (1)先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的 系数 ，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法 ________ __________． (2)探究：已知一次函数的图象经过(2,5)和(－4,2)，求这个 一次函数的解析式．
1．已知一次函数，当 x＝－2 时，y＝－3；当 x＝1 时， y＝2x＋1 ． y＝3，则这个一次函数的解析式为____________ 2．在图 3 中，将直线 OA 向上平移 1 个单位，得到一个一 y＝2x＋1 ． 次函数的图象，那么这个一次函数的解析式是____________
图3
已知:一次函数的图象经过点(2，5) 和点(1，3),求出一次函数的解析式. y＝kx+b 解： 设一次函数的解析式为_______________
题意找出函数上的已知两点坐标．
1、一次函数y=kx+5与直线y=2x-1交于点 P(2，m)，求k、m的值 2、已知函数y=kx+b的图象与另一个一次 函数y=-2x-1的图象相交于y轴上的点A， 且x轴下方的一点B(3，n)在一次函数 y=kx+b的图象上，n满足关系n2=9.求这 个函数的解析式. 3、若直线y=kx+b平行直线y=-3x+2，且 在y轴上的的截距为-5，则k= ， b= 。
解：设一次函数的解析式为 y＝kx＋b， ↓
____________________ ____________________
5＝2k＋b ， 2＝－4k＋b
←代入点(2,5)和(－4,2)
1 k ________ 2 ，←解方程组，求出 k、b 的值 4 b ________
3. 若直线y=3x+b与两坐标轴 所围成的三角形的面积是6个 面积单位，求b的值.
4.一次函数的图象与直线x+y6=0交于A(5,m)点，且与直线 y=2x-3无交点，求一次函数的 解析式。
6、已知直线y=kx+b经过点 （2.5，0），且与坐标轴所围 成的三角形的面积为6.25，求 该直线的解析式。 7、已知直线y=2x-4向左平移4 个单位后的解析式 8、判断点A(3，2)、B(-3，1)、 C(1，1)是否在一直线上？
之间的函数解析式，并画出函数的图象． 思路导引：分段函数要根据自变量的取值范围分段描述．
解：当 0＜t≤3 时，y＝2.4； 当 t＞3 时，y＝2.4＋0.5(t－3)＝0.5t＋0.9. 函数图象由一条线段和一条射线组成，如图 2：
图2
【规律总结】分段函数是一个函数而不是多个函数，求出的分
段函数解析式必须写出自变量的取值范围．