北师大版锐角三角函数--正弦与余弦
锐角三角函数(正弦、余弦和正切)
2．同一锐角三角函数的关系：
如图， 在 Rt△ ABC中，∠ C=90°， sin A
a ，cos A
b
，
c
c
则 sin2 A cos2 A
2
a
c
2
b
c
a2 b2 c2
c2 c2
1，即同一锐角的
正弦、余弦的平方和等于
1，或者说若
α
为锐角， 则
sinห้องสมุดไป่ตู้
2
2
α+cos α =1．
规律 学习锐角三角函数时，应明确三角函数值的两个变化规律： 1．特殊角的三角函数值的记忆规律：
Rt△ ABC中，∠ A+∠ B=90°，由
三角函数定义得
sin A
a ，cos(90
a
b
A) cosB ，cos A
sin B sin(90
A) ，
c
c
c
所以 sin A=cos（90° - A），cos A= sin （90° - A）．即任意锐角的余弦值等于它的余角的正
弦值，任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值．
锐角三角函数教案
概念
1．在直角三角形中，斜边大于直角边且各边均为正数，正弦、余弦都是直角边与斜边
的比值，正切是两直角边的比值，因此正弦值、余弦值都是小于
1 的正数，正切值是大于零
的数，并且都没有单位，即 0<sin A<1，0<cos A<1， tan A>0（∠ A为锐角）．
2．每一个三角函数都是一个完整的符号， 如 sin A不能理解为 sin · A，sin A 中的“ A”
2．锐角三角函数值的增减性：锐角 α 的正弦 sin α 值随着∠ α 的增大而增大；锐角
第一章--三角函数(北师大新版)
第一章 直角三角形的边角关系1.1 锐角三角函数1、锐角三角函数的定义 在Rt △ABC 中，∠C=90°．（1）正弦：我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ．即sinA=斜边边的对A ∠=ca．（2）余弦：锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ．即cosA=斜边邻边的A ∠=c b．（3）正切：锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切，记作tanA ．即tanA=边对边的邻A ∠的A ∠=ba．（4）三角函数：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数．锐角三角函数的定义1．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cos A ＝，BE=2，则tan ∠DBE 的值（ ） A 、 B 、2 C 、D 、第1题 第2题 第3题2．如图，点A 为∠α边上的任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cos α的值，错误的是（ ）A ．BD BCB ．BC ABC ．ADAC D ．CD AC3．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cos α的值是 ．4．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是 ．第4题 第5题 第6题 第7题 5．如图，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB=_______________. 6．如图，△ABC 的各个顶点都在正方形的格点上，则sin A 的值为 ． 7．正方形网格中，∠AOB 如图放置，则cos ∠AOB 的值为 ．8．如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC 的面积等于23，则sin ∠CAB= ．9．如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sinα= ．2.2 30°、45°、60°角的三角函数值1、同角三角函数的关系（1）平方关系：sin 2A+cos 2A=1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=AAcos sin 或sinA=tanA•cosA ．2、互余两角的三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos （90°-∠A ）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin （90°-∠A ）； 也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB 或sinB=cosA ． 3、特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值1．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin ∠1=22，则∠2的度数为 ．2．若2cos （α+15°）=1，则α= 度． 3．在△ABC 中，若，∠A ，∠B 都是锐角，则∠C的度数是 ．2.4 解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°； ②三边之间的关系：a 2+b 2=c 2； ③边角之间的关系：sin A=c a ，cos A=c b ，tan A=ba ． 基础训练1．如图，在△ABC 中，cosB=22，sinC=53，AC=10，则△ABC 的面积为 ．第1题 第2题 第3题 2．如图，在 Rt △ABO 中，斜边 AB=1，若 OC ∥BA ，∠AOC=36°，则下面四个结论： ①点B 到AO 的距离为sin54°； ②点B 到AO 的距离为tan36°；③点A 到OC 的距离为sin36°•sin54°； ④点A 到OC 的距离为cos36°•sin54°． 其中正确的是 （填序号）．3．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ．4．如图，在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点D 为BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，则tan ∠BDE 的值等于 ．第4题 第5题 第6题5．如图，已知Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD=3，cos B=53，则AC 的长为 ．6．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE ⊥AC 交AD 于E ，若AB=6，AD=8，sin ∠OEA= ．7．如图，△ABC 中，∠A=30°，tan B ＝23，AC=23，则AB 的长为 ．8．如图，已知AC=4，求AB 和BC 的长．9．如图，已知在△ABC 中，∠ABC=30°，BC=8，sin ∠A=55，BD 是AC 边上的中线．求： （1）△ABC 的面积； （2）∠ABD 的正切值．拓展提升1．如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，且BE=2AE ，已知AD=33，tan ∠BCE=33，那么CE 等于 ．第1题 第2题 第3题2．如图，已知点A （53，0），直线y=x+b （b ＞0）与y 轴交于点B ，连接AB ，∠α=75°，则b= ． 3．在Rt △ACB 中，∠C=90°，点D 是AC 的中点，cos ∠CBD=415，则sin ∠ABD= ． 4．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为边AC 的中点，DE ⊥BC 于点E ，连接BD ，则tan ∠DBC 的值为 。
北师大版九年级数学下册《30°,45°,60°角的三角函数值》
= −+
=2 −
课堂练习
6.升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至
顶端时，小明看国旗视线的仰角为45°（如图所示），若小明双眼
离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？
解：由已知得DC=EB=20m
∵tan∠ADC=tan45°=
∴AC=DC∙tan45°
°
（3）
+°
+
°
课堂练习
解： (1)1－2 sin30°cos30°
=1-2× ×
=1-
°
(3)
+°
=
+
+
+
=2- +
=2
°
(2)3tan30°－tan45°+2sin60°
=3×
−+×
O
C
B
A
D
答：最高位置与最低位置的高度差约为0.34m。
随堂练习P12
8
驶向胜利
的彼岸
八仙过海,尽显才能
某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高为7m,
B
扶梯的长度是多少?
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
∠A,∠B ,∠C的对边分别是a,b,c.
求证:sin2A+cos2A=1
老师期望:
sin30°=
sin60°=
=
2a
2
2a
a
3a 3
1
=2
cos30°=
正弦与余弦-北师大版九年级数学下册教案
正弦与余弦-北师大版九年级数学下册教案一、教学目标1.理解正弦和余弦的概念。
2.掌握在直角三角形中，正弦和余弦的计算方法。
3.能够应用正弦和余弦解决实际问题。
二、教学重点和难点1.教学重点：掌握正弦和余弦的计算方法、应用解决实际问题。
2.教学难点：引导学生理解正弦和余弦的概念。
三、教学过程1. 导入新知识本节课的学习目标是正弦和余弦。
让学生回想一下上课学习的三角函数的知识。
三角函数包括哪些？这些函数有什么用处？2. 正弦和余弦的概念1.向学生介绍正弦和余弦的定义和概念，让学生知道正弦和余弦对应的是直角三角形中的两个角。
2.给学生讲解正弦和余弦的符号体系，让学生明白正弦和余弦函数的定义域和值域。
3. 正弦和余弦的计算方法1.告诉学生正弦和余弦的计算方法，并通过几个例题来对计算方法进行讲解。
要求学生严格遵循计算方法执行计算过程。
2.对于计算方法中出现的各种函数，如正切函数、余切函数、弧度制和角度制等，对学生进行简要介绍和说明。
4. 应用正弦和余弦解决实际问题1.先向学生提出一个实际问题，让他们自己探讨思路，并在讨论中引领他们认识正弦函数和余弦函数在实际问题中的应用。
2.分别对正弦函数和余弦函数的应用进行讲解，并让学生举出更多的实际问题，帮助他们进一步认识正弦函数和余弦函数在实际问题中的应用。
5. 练习1.教师在课堂上布置练习题，要求学生在课堂上完成练习。
2.老师可以在课堂上给予学生针对性的指导和帮助，鼓励学生积极去思考，锻炼他们的问题解决能力。
四、作业布置1.布置相关作业，让学生进一步巩固所学知识。
2.布置相关练习题目的同时，合理引导学生形成自主学习的习惯。
五、课后复习让学生合理安排时间，及时复习当天所掌握的知识，巩固知识点，为下一次教学做好准备。
六、课堂资源教师可以配备一些教具，如直角三角形模型、三角函数表等，增强学生学习过程中的 experience.。
28.1锐角三角函数--余弦、正切ppt
AB 5
BC 3
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2，
AB=3，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值． B
解：在RtABC中，
3
2
AC AB2 BC2 32 22 5,
A
C
sin A BC 2，cos A AC 5 ，tan A BC 2 2 5 .
AB 3
AB 3
∴ AB = 19.608 080 89≈19.61m 即旗杆的高度是19.61m.
练习:
使用计算器求下列锐角的三角函数值.（精确到 0.01）
（1）sin20°，cos70°； sin35°，cos55°； sin15°32′，cos74°28′；
（2）tan3°8′，tan80°25′43″；
新知探索:60°角的三角函数值
B
2
3
60.0
A
C
1
sin60°= A的对边 3
斜边
2
cos60°= A的邻边 1 斜边 2
tan60°= A的对边 3 A的邻边
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切 值如下表：
锐角a 三角函数
30°
45°
60°
sin a
1
2
3
2
2
2
cos a
3
2
1
28.1锐角三角函数（2）
——正弦 正切
复习与探究：
在 RtABC中， C 90
B 1.锐角正弦的定义
c
A
b
a
∠A的正弦：
s
inA
A的对边 斜边
BC AB
a c
C
2、当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之 确定。此时，其他边之间的比是否也随之确定？为 什么？
北师大版数学九年级下册 第1章 1 锐角三角函数
1.1 锐角三角函数(二)教学目标及制定依据：课标依据：1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.2.能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.4.理解锐角三角函数的意义.学情分析：1.经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.2.体会数形结合的思想，并利用它分析、解决问题，提高解决问题的能力.教材分析：1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成合作交流的意识以及独立思考的习惯.教学重点1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.2.能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.教学难点用函数的观点理解正弦、余弦和正切.教学方法探索——交流法.教具准备多媒体演示.教学过程Ⅰ.创设情境，提出问题，引入新课[师]我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关.并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切.现在我们提出两个问题：[问题1]当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗?[问题2]梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有，是怎样的关系?Ⅱ.讲授新课1.正弦、余弦及三角函数的定义多媒体演示如下内容：想一想：如图(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系?(2) 2112AC AC B A B A 和有什么关系? 221112B C B C B A B A和呢? (3)如果改变B 2在梯子AB 1上的位置呢?你由此可得出什么结论?(4)如果改变梯子AB 1的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论?请同学们讨论后回答.[生]∵AC 1⊥B 1C 1，AC 2⊥B 2C 2，∴B 1C 1//B 2C 2.∴Rt △B 1AC 1∽Rt △B 2AC 2.2211=AC AC B A B A221112=B C B C B A B A(相似三角形对应边成比例). 由于B 2是梯子AB 1上的任意—点，所以，如果改变B 2在梯子AB 1上的位置，上述结论仍成立.由此我们可得出结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边.与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定.也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形大小无关.[生]如果改变梯子AB 1的倾斜角的大小，如虚线的位置，倾斜角的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值随之改变.[师]我们会发现这是一个变化的过程.对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变，同时，如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值是唯一确定的.这是一种什么关系呢?[生]函数关系.[师]很好!上面我们有了和定义正切相同的基础，接着我们类比正切还可以有如下定义：(用多媒体演示)在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.如图，∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sinA ，即sinA ＝斜边的对边A ∠ ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cosA ，即cosA=斜边的邻边A ∠ 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数(trigonometricfunction).[师]你能用自己的语言解释一下你是如何理解“sinA 、cosA 、tanA 都是之A 的三角函数”呢?[生]我们在前面已讨论过，当直角三角形中的锐角A 确定时.∠A 的对边与斜边的比值，∠A 的邻边与斜边的比值，∠A 的对边与邻边的比值也都唯一确定.在“∠A 的三角函数”概念中，∠A 是自变量，其取值范围是0°<A<90°；三个比值是因变量.当∠A 变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.2.梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 的关系[师]我们上一节知道了梯子的倾斜程度与tanA 有关系：tanA 的值越大，梯子越陡.由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sinA 、cosA 有关系呢?如果有关系，是怎样的关系?[生]如图所示，AB ＝A 1B 1，在Rt △ABC 中，sinA=ABBC ，在Rt △A 1B 1C 中，sinA 1=111B A C B . ∵AB BC ＜111B A C B , 即sinA<sinA 1，而梯子A 1B 1比梯子AB 陡，所以梯子的倾斜程度与sinA 有关系.sinA 的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的倾斜程度.[生]同样道理cosA=ABAC cosA 1＝111B A C A , ∵AB=A 1B 1 ABAC ＞111B A C A 即cosA>cosA 1， 所以梯子的倾斜程度与cosA 也有关系.cosA 的值越小，梯子越陡.[师]同学们分析得很棒，能够结合图形分析就更为妙哉!从理论上讲正弦和余弦都可以刻画梯子的倾斜程度，但实际中通常使用正切.3.例题讲解多媒体演示.[例1]如图，在Rt △ABC中，∠B=90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，求BC 的长.分析：sinA 不是“sin”与“A”的乘积，sinA 表示∠A 所在直角三角形它的对边与斜边的比值，已知sinA ＝0.6，ACBC ＝0.6. 解：在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，即ACBC =0.6，BC ＝AC×0.6＝200×0.6=120. 思考：(1)cosA ＝?(2)sinC ＝？ cosC ＝?(3)由上面计算，你能猜想出什么结论?解：根据勾股定理，得AB＝2222120200-=-BCAC=160.在Rt△ABC中，CB＝90°.cosA＝54200160==ACAB＝0.8，sinC=54200160==ACAB=0.8，cosC＝53200120==ACBC＝0.6，由上面的计算可知sinA＝cosC＝O.6，cosA＝sinC＝0.8.因为∠A+∠C＝90°，所以，结论为“一个锐角的正弦等于它余角的余弦”“一个锐角的余弦等于它余角的正弦”.[例2]做一做：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝1312，AC＝10，AB等于多少?sinB呢?cosB、sinA呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.分析：这是正弦、余弦定义的进一步应用，同时进一步渗透sin(90°-A)＝cosA，cos(90°-A)=sinA.解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=10，cosA＝1312，cosA＝ABAC,∴AB=1013651012cos12613ACA==⨯=,sinB＝12cos13ACAAB==根据勾股定理，得BC2＝AB2-AC2＝(665)2-102=2222625366065=-∴BC ＝625. ∴cosB ＝1356525665625===AB BC , sinA ＝135=AB BC 可以得出同例1一样的结论.∵∠A+∠B=90°，∴sinA ：cosB=cos(90-A)，即sinA ＝cos(90°-A)；cosA ＝sinB ＝sin(90°-A)，即cosA ＝sin(90°-A).Ⅲ.随堂练习多媒体演示1.在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6，求sinB ，cosB ，tanB.分析：要求sinB ，cosB ，tanB ，先要构造∠B 所在的直角三角形.根据等腰三角形“三线合一”的性质，可过A 作AD ⊥BC ，D 为垂足.解：过A 作AD ⊥BC ，D 为垂足.∴AB=AC ，∴BD=DC=21BC=3. 在Rt △ABD 中，AB ＝5，BD=3，∴AD ＝4.sinB ＝54=AB AD cosB ＝53=AB BD , tanB=34=BD AD . 2.在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝54，BC=20，求△ABC 的周长和面积. 解：sinA=AB BC ，∵sinA=54，BC ＝20，∴AB ＝5420sin =A BC ＝＝25. 在Rt △BC 中，AC ＝222025-=15，∴ABC 的周长＝AB+AC+BC ＝25+15+20＝60，△ABC 的面积：21AC×BC=21×15×20＝150. 3. (补充练习)在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=21， 则sinA= .解：如图，tanA=AC BC =21. 设BC=x ，AC=2x ，根据勾股定理，得 AB=x x x 5)2(22=+.∴sinA=55515===x x AB BC . Ⅳ.课时小结本节课我们类比正切得出了正弦和余弦的概念，用函数的观念认识了三种三角函数，即在锐角A 的三角函数概念中，∠A 是自变量，其取值范围是0°<∠A<90°；三个比值是因变量.当∠A 确定时，三个比值分别唯一确定；当∠A 变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.类比前一节课的内容，我们又进一步思考了正弦和余弦的值与梯子倾斜程度之间的关系以及用正弦和余弦的定义来解决实际问题.Ⅴ.课后作业习题1.2第1、3、4、5题Ⅵ.活动与探究已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC 2＝AB·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)A[过程]根据正弦和余弦的定义，在不同的直角三角形中，只要角度相同，其正弦值(或余弦值)就相等，不必只局限于某一个直角三角形中，在Rt △ABC 中，CD ⊥AB.所以图中含有三个直角三角形.例如∠B 既在Rt △BDC 中，又在Rt △ABC 中，涉及线段BC 、BD 、AB ，由正弦、余弦的定义得cosB ＝AB BC ，cosB= BCBD . [结果]在Rt △ABC 中，cosB ＝AB BC 又∵CD ⊥AB.∴在Rt △CDB 中，cosB ＝BC BD ∴AB BC =BCBD BC 2＝AB·BD. 板书设计1.1 锐角三角函数(二)1.正弦、余弦的定义在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定.sinA ＝斜边的对边A ∠ cosA ＝斜边的对边A ∠ 2.梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 有关吗?sinA 的值越大，梯子越陡cosA 的值越小，梯子越陡3.例题讲解4.随堂练习。
锐角三角函数(余弦、正切)
振动与波动
余弦函数在振动和波动的研究中有广泛 应用。例如，简谐振动的位移、速度和 加速度都可以表示为余弦函数的形式。
03
正切函数
正切函数的定义与性质
正切函数的定义
正切函数是锐角三角函数的一种，定义为直角三角形中锐角的对边与邻边的比 值，记作tan(α)，其中α为锐角。
正切函数的性质
正切函数具有连续性、周期性、奇偶性等性质。在区间(0,π/2)和(π/2,π)内，正 切函数是单调递增的，而在区间(-π/2,0)和(π/2,3π/2)内，正切函数是单调递减 的。
01
余弦函数和正切函数的定义
余弦函数和正切函数是锐角三角函数的重要组成部分，它们分别描述了
直角三角形中锐角对应的邻边和斜边的比值，以及锐角对应的对边和邻
边的比值。
02
基本性质和应用
余弦函数和正切函数具有周期性、奇偶性等基本性质，这些性质在解决
几何、物理和工程问题中有着广泛的应用。例如，在计算角度、长度、
工程学中的应用
结构设计
在建筑和机械工程中，锐 角三角函数用于设计各种 结构，如桥梁、建筑和机 器部件。
控制系统
在控制工程中，锐角三角 函数用于设计和分析控制 系统，以确保系统的稳定 性和性能。
信号处理
在电子和通信工程中，锐 角三角函数用于信号处理， 如滤波、调制和解调等。
06
总结与展望
锐角三角函数的总结
正切函数的图像与周期性
正切函数的图像
正切函数的图像是一条周期函数，其周期为π，且在每一个周期 内，图像呈现出先增后减的趋势。
正切函数的周期性
由于正切函数的周期为π，因此对于任意整数k，tan(x+kπ) = tan(x)，即正切函数在每个周期内具有相同的形状，但位置会随 着k的变化而变化。
北师大版初三下册数学 1.1 锐角三角函数 教案(教学设计)
1．1 锐角三角函数第1课时锐角的正切函数教学目标1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系．2．能够用tan A表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算．重点从现实情境中探索直角三角形的边角关系；理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系．难点难点理解正切的意义，并用它来表示两边的比．教学过程一、创设情境，导入新课用FLASH课件动画演示本章的章头图，提出问题，问题从左到右分层次出现：问题1：在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗？问题2：随着改革开放的深入，上海的城市建设正日新月异地发展，幢幢大楼拔地而起.70年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦，但经过多少年的城市发展，“上海最高大厦”的桂冠早已被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗？你能应用数学知识和适当的途径得到金茂大厦的实际高度吗？通过本章的学习，相信大家一定能够解决．二、合作交流，探究新知用多媒体演示如下内容：[师]梯子是我们日常生活中常见的物体．我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的？“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的？请同学们看下图，并回答问题(用多媒体演示)．(1)在图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？[生]梯子AB 比梯子EF 更陡．[师]你是如何判断的？[生]从图中很容易发现∠ABC >∠EFD ，所以梯子AB 比梯子EF 陡．[生]我觉得是因为AC ＝ED ，所以只要比较BC ，FD 的长度即可知哪个梯子陡．BC <FD ，所以梯子AB 比梯子EF 陡．[师]我们再来看一个问题(用多媒体演示)(2)在下图中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？[师]我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度，即哪一个更陡，就比较困难了．能不能从第(1)问中得到什么启示呢？[生]在第(1)问的图形中梯子的垂直高度即AC 和ED 是相等的，而水平宽度BC 和FD 不一样长，由此我想到梯子的垂直高度与水平宽度的比值越大，梯子应该越陡．[师]这位同学的想法很好，的确如此，在第(2)问的图中，哪个梯子更陡，应该从梯子AB 和EF 的垂直高度和水平宽度的比的大小来判断．那么请同学们算一下梯子AB 和EF 哪一个更陡呢？[生]AC BC ＝41.5＝83，ED FD ＝3.51.3＝3513.∵83<3513， ∴梯子EF 比梯子AB 更陡．想一想：如图，小明想通过测量B 1C 1及AC 1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B 2C 2及AC 2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系？(2)B 1C 1AC 1和B 2C 2AC 2有什么关系？ (3)如果改变B 2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么结论？[师]我们已经知道可以用梯子的垂直高度和水平宽度的比描述梯子的倾斜程度，即用倾斜角的对边与邻边的比来描述梯子的倾斜程度．下面请同学们思考上面的三个问题，再来讨论小明和小亮的做法．[生]在上图中，我们可以知道Rt△AB 1C 1，和Rt△AB 2C 2是相似的．因为∠B 2C 2A ＝∠B 1C 1A ＝90°，∠B 2AC 2＝∠B 1AC 1，根据相似的条件，得Rt△AB 1C 1∽Rt△AB 2C 2.[生]由图还可知：B 2C 2⊥AC 2，B 1C 1⊥AC 1，得 B 2C 2∥B 1C 1，Rt△AB 1C 1∽Rt△AB 2C 2.[生]相似三角形的对应边成比例，得B 1C 1B 2C 2＝AC 1AC 2，即B 1C 1AC 1＝B 2C 2AC 2. 如果改变B 2在梯子上的位置，总可以得到Rt△B 2C 2A ∽Rt△B 1C 1A ，仍能得到B 1C 1AC 1＝B 2C 2AC 2.因此，无论B 2在梯子的什么位置(除A 外), B 1C 1AC 1＝B 2C 2AC 2总成立． [师]也就是说无论B 2在梯子的什么位置(A 除外)，∠A 的对边与邻边的比值是不会改变的．现在如果改变∠A 的大小，∠A 的对边与邻边的比值会改变吗？[生]∠A 的大小改变，∠A 的对边与邻边的比值会改变．[师]你又能得出什么结论呢？[生]∠A 的对边与邻边的比只与∠A 的大小有关系，而与它所在直角三角形的大小无关．也就是说，当直角三角形中的一个锐角确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定．[师]这位同学回答得很棒，现在我们再返回去看一下小明和小亮的做法，你作何评价？[生]小明和小亮的做法都可以说明梯子的倾斜程度，因为图中直角三角形中的锐角A 是确定的，因此它的对边与邻边的比值也是唯一确定的，与B 1，B 2在梯子上的位置无关，即与直角三角形的大小无关．[生]但我觉得小亮的做法更实际，因为要测量B 1C 1的长度，需攀到梯子的最高端，危险并且复杂，而小亮只需站在地面就可以完成．[师]这位同学能将数学和实际生活紧密地联系在一起，值得提倡．我们学习数学就是为了更好地应用数学．由于直角三角形中的锐角A 确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定，因此我们有如下定义：(多媒体演示)如图，在Rt△ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切(tangent)，记作tan A ，即tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边. 注意：(1)tan A 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”．(2)tan A 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比．(3)tan A 不表示“tan”乘以“A ”．(4)初中阶段，我们只学习直角三角形中锐角的正切．思考：(1)∠B 的正切如何表示？它的数学意义是什么？(2)前面我们讨论了梯子的倾斜程度，课本图1—3，梯子的倾斜程度与tan A 有关系吗？[生](1)∠B 的正切记作tan B ，表示∠B 的对边与邻边的比值，即tan B ＝∠B 的对边∠B 的邻边. (2)我们用梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜程度，因此，在教材图1—3中，梯子越陡，tan A 的值越大；反过来，tan A 的值越大，梯子越陡．三、运用新知，深化理解例1(教材示例) 如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡，只需分别求出tan α、tan β的值，比较大小，越大，扶梯就越陡．解：甲梯中， tan α＝ ∠α的对边∠α的邻边＝48＝12. 乙梯中，tan β＝∠β的对边∠β的邻边＝5132－52＝512. 因为tan α＞tan β，所以甲梯更陡．[师]正切在日常生活中的应用很广泛，例如建筑，工程技术等．正切经常用来描述山坡、堤坝的坡度．如图，有一山坡在水平方向上每前进100 m ，就升高60 m ，那么山坡的坡度(即坡角α的正切tan α)就是tan α＝60100＝35. 这里要注意区分坡度和坡角．坡面的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正切称为坡度．坡度越大，坡面就越陡．例2 已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C ，D ，E 都在小正方形的顶点上，求tan∠ADC 的值．分析：先证明△ACD ≌△BCE ，再根据tan∠ADC ＝tan∠BEC 即可求解．解：根据题意可得AC ＝BC ＝12＋22＝5，CD ＝CE ＝12＋32＝10，AD ＝BE ＝5，∴△ACD ≌△BCE (SSS)．∴∠ADC ＝∠BEC .∴tan∠ADC ＝tan∠BEC ＝13. 例3 已知一水坝的横断面是梯形ABCD ，下底BC 长14 m ，斜坡AB 的坡度为3∶3，另一腰CD 与下底的夹角为45°，且长为4 6 m ，求它的上底的长(精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)．分析：过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，根据已知条件求出AE ＝DF 的值，再根据坡度求出BE ，最后根据EF ＝BC －BE －FC 求出AD .解：过点A 作AE ⊥BC ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F .∵CD 与BC 的夹角为45°，∴∠DCF ＝45°，∴∠CDF ＝45°.∵CD ＝4 6 m ，∴DF ＝CF ＝4 62＝4 3(m)，∴AE ＝DF ＝4 3 m ．∵斜坡AB 的坡度为3∶3，∴tan∠ABE ＝AE BE ＝33＝3，∴BE ＝4 m ．∵BC ＝14 m ，∴EF ＝BC －BE －CF ＝14－4－43＝10－4 3(m)．∵AD ＝EF ，∴AD ＝10－4 3≈3.1(m)．所以，它的上底的长约为3.1 m.四、课堂练习，巩固提高1．教材P4“随堂练习”．2．《探究在线·高效课堂》相关作业．五、反思小结，梳理新知本节课经历了探索直角三角形中的边角关系，得出了在直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定，并以此为基础，在“直角三角形”中定义了tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边.接着，我们研究了梯子的倾斜程度，工程中的问题坡度与正切的关系，了解了正切在现实生活中是一个具有实际意义的很重要的概念．第2课时正弦、余弦1. 认识锐角三角函数——正弦、余弦.2. 用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比, 用正弦、余弦进行简单的计算.二、教学目标知识与技能1. 能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系.2. 能够用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算.过程与方法1. 经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.2、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.情感态度与价值观1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，学有用的数学.2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯.三、重点与难点重点：理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系.难点：体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题.四、复习引入设计意图：以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面作用（大脑负担重，而不会实际运用），测量旗杆高度的问题引发学生的疑问，激起学生的探究欲望.五、探究新知探究活动1（出示幻灯片4）：如图，请思考：（1）Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是 ； （2）的关系是和222111AB C B AB C B ； （3）如果改变B 2在斜边上的位置，则的关系是和222111AB C B AB C B ； 思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________，根据是______________________________________. 它的邻边与斜边的比值呢？设计意图：1、在相似三角形的情景中，让学生探究发现：当直角三角形的一个锐角大小确定时，它的对边与斜边的比值也随之确定了.类比学习，可以知道，当直角三角形的一个锐角大小确定时，它的邻边与斜边的比值也是不变的.2、在探究活动中发现的规律，学生能记忆得更加深刻，这比老师帮助总结，学生被动接受和记忆要有用得多.归纳概念1、正弦的定义：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角∠A 的对边BC 与斜边AB 的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA ＝________.2、余弦的定义：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,我们把锐角∠A 的邻边AC 与斜边AB 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA=_ _____.3、锐角A 的正弦，余弦，正切和余切都叫做∠A 的三角函数.温馨提示B 1B 2AC 1 C 2（1）sinA，cosA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角；（2）sinA，cosA中常省去角的符号“∠”.但∠BAC的正弦和余弦表示为: sin∠BAC，cos∠BAC.∠1的正弦和余弦表示为: sin∠1，cos∠1；（3）sinA，cosA没有单位，它表示一个比值；（4）sinA，cosA是一个完整的符号，不表示“sin”,“cos”乘以“A”；（5）sinA，cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长没有必然的关系.设计意图：1、类比正切的定义，让学生理解正弦和余弦的含义；2、让学生了解：求一个角的三角函数，是指求这个角的正切、正弦和余弦，不是单指某一个值；3、正弦和余弦容易出现一些不规范的表示方法，在这里先进行明确，可以减少日后不必要的错误.探究活动2：我们知道，梯子的倾斜程度与tanA有关系，tanA越大，梯子越陡，那么梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？是怎样的关系？设计意图：在探究中进一步让学生理解正弦和余弦的含义，体会正弦和余弦的生活意义，避免数学知识的枯燥无味，通过利用正弦和余弦来描述梯子的倾斜程度拓展了学生思维，感受到从不同角度去解释一件事物的合理性，感受数学与生活的联系.探索发现：梯子的倾斜程度与sinA,cosA的关系：sinA越大，梯子；cosA越，梯子越陡.探究活动3：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=20，sinA=0.6，求BC和cosB.B通过上面的计算，你发现sinA与cosB有什么关系呢? sinB与cosA呢？在其它直角三角形中是不是也一样呢？请举例说明.小结规律：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的.设计意图：在探究中进一巩固正弦和余弦的定义，同时发现直角三角形中两个锐角的三角函数值之间存在一定的关系，拓展学生的知识储备.六、归类提升类型一：已知直角三角形两边长，求锐角三角函数值例1、在Rt△ABC中，∠C=90°, BC=3，AB=5，求A的三个三角函数值.类型二：利用三角函数值求线段的长度例2、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sinA=0.6 ，求BC的长七、总结延伸1、锐角三角函数定义：sinA= ，cosA= ，tanA= ；2、温馨提示：（1）sinA，cosA，tanA，是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)；（2）sinA，cosA，tanA是一个完整的符号，表示∠A的正切，习惯省去“∠”号；（3）sinA，cosA，tanA都是一个比值，注意区别,且sinA,cosA,tanA均大于0,无单位；（4）sinA，cosA，tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长没有必然关系；（5）角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等.精品文档用心整理3、在用三角函数解决一般三角形或四边形的实际问题中，应注意构造直角三角形.设计意图：课堂小结，检查学生掌握情况，同时能对知识进行及时梳理，有利于学生归纳和消化，特别对于重要的方法提示和要注意的细节，能再次呈现，使学生印象深刻.八、课堂小结1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的, ∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2.sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号；3.sinA,cosA,tanA, 是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA, 均﹥0,无单位.4.sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.资料来源于网络仅供免费交流使用。
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4 A= . 5 B
┐ C
A
随堂练习P 随堂练习 9 8
八仙过海,尽显才能
驶向胜利 的彼岸
3.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时 B 扩大100倍,sinA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 4.已知∠A,∠B为锐角 (1)若∠A=∠B,则sinA (2)若sinA=sinB,则∠A
驶向胜利 的彼岸
下课了!
结束寄语
数学中的某些定理具有这样的特性: 数学中的某些定理具有这样的特性: 它们极易从事实中归纳出来, 它们极易从事实中归纳出来,但证明却 隐藏极深. 隐藏极深. ——高斯 高斯
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例题欣赏P 例题欣赏 85
行家看“门道”
驶向胜利 的彼岸
例2 如图:在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6. C 求:BC的长. 解:在Rt△ABC中, BC BC 200 Q sin A = = = 0.6, AC 200 怎样 ∴ BC = 200 × 0.6 = 120. 解答 ┌ 老师期望: A B
C 老师提示: 过点A作AD垂直于BC,垂足为D. 求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的. B ┌ D
随堂练习P 随堂练习 6 17
相信自己
12. 在Rt△ABC中,∠C=90°. (1)AC=25.AB=27.求sinA,cosA,tanA, 和 sinB,cosB,tanB,. A (2)BC=3,sinA=0.6,求AC 和AB. (3)AC=4,cosA=0.8,求BC. 13.在梯形ABCD中 ┌ ,AD//BC,AB=DC=13,AD=8,BC=18. B E 求:sinB,cosB,tanB.
随堂练习P 随堂练习 6 18
八仙过海,尽显才能
7.如图,分别根据图(1) 7. 和图(2)求∠A的三个三 角函数值. .
8.在Rt△ABC中,∠C=90°, 在Rt△ABC中 ∠C=90° (1)AC=3,AB=6,求sinA和 (1)AC=3,AB=6,求sinA和cosB 5 ,求AC和AB. (2)BC=3,sinA= ,求AC和AB
13
驶向胜利 的彼岸
B 3 4
B 3
A
4 ┌ ┌ C C A (1) (2)
老师提示: 求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
随堂练习P 随堂练习 6 19
八仙过海,尽显才能
3 10.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,sinA= 5 , 求AC和BC. A
驶向胜利 的彼岸
11.在等腰△ABC中 在等腰△ABC中 在等腰 ,AB=AC=13,BC=10, sinB,cosB. 求sinB,cosB
驶向胜利 的彼岸
C
┌ F
D
老师提示: 作梯形的高是梯形的常用辅助,借助它可以转 化为直角三角形.
小结
拓展
回味无穷
定义中应该注意的几个问题:
驶向胜利 的彼岸
1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). 2.sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A的 正切,习惯省去“∠”号； 3.sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且 sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位. 4.sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关,而 与直角三角形的边长无关. 5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函 数值相等,则这两个锐角相等.
随堂练习P 随堂练习 97
真知在实践中诞生
1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6. 求: sinB,cosB,tanB.
老师提示:过点A作AD垂直于BC于D. B 5
驶向胜利 的彼岸
A 5 ┌ 6 D C
咋办
?
sin 2.在Rt△ABC中,∠C=900,BC=20,
求:△ABC的周长.
九年级数学(下)第一章 直角三角形的边角关系
1.从梯子的倾斜程度谈起(2)锐角 三角函数 正弦与余弦
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有的放矢 1
正切与余切
驶向胜利 的彼岸
直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数--正切函数 在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个 定值,那么这个角的值也随之确定. 在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比 叫做∠A的正切,记作tanA,即 B tanA=
独立 作业
知识的升华
P9 习题1.2
1,2,3,4题;
祝你成功！
驶向胜利 的彼岸
P9习题1.2 1,2,3,4题
独立 作业
α
36 5
1. 如图 分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切. 如图,分别求 α,∠ 的正弦,余弦,和正切. 分别求∠
9
2.在 ABC中,AB=5,BC=13,AD是 边上的高,AD=4. 2.在△ABC中,AB=5,BC=13,AD是BC边上的高,AD=4. ┐ β x 求:CD,sinC. 3.在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中线,BC=8,CD=5. 在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中线,BC=8,CD=5. 是中线 sin∠ACD,cos∠ACD和 求sin∠ACD,cos∠ACD和tan∠ACD. 4.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA和cosB 在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA和 有什么关系? 有什么关系?
?
请你求出cosA,tanA,sinC,cosC和tanC 的值.你敢应战吗?
做一做P 做一做 8 6
知识的内在联系
如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10, cos
12 A= . 13
驶向胜利 的彼岸
求:AB,sinB. AC 10 12 B 解 : cos A = Q = = . AB AB 13 怎样 ┐ 10 ×13 65 思考？ 10 A ∴ AB = = . C 12 6 AC 10 12 ∴ sin B = = = . AB 65 13 老师期望: 6 注意到这里cosA=sinB,其中有没有什么 内有的关系?
∠ A 的对边 ∠ A 的邻边
斜边 ∠A的对边 A ┌ ∠A的邻边 C
想一想P 想一想 1 2
本领大不大 悟心来当家
如图,当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,它的对边与邻 Rt△ABC Rt 边的比便随之确定.此时,其它边之间的比值也确定吗? 结论: 在Rt△ABC Rt△ Rt ABC中,如果锐角A确定 时,那么∠ A的对边与斜边的比, 邻边与斜边的比也随之确定.
A ┌ C
sinB; ∠B.
随堂练习P 随堂练习 6 9
八仙过海,尽显才能
5.如图, ∠C=90°CD⊥AB. ∠C=90° 5.
sin B =
( ( ) )
驶向胜利 的彼岸
C
=
( (
) )
=
( (
.
) ) A ┌ D B
6.在上图中,若BD=6,CD=12.求cosA的值. 老师提示: 模型“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得 .
小结
拓展
Байду номын сангаас
回味无穷
B 斜边
回顾,反思,深化
1.锐角三角函数定义:
驶向胜利 的彼岸
tanA=
∠ A 的对边 ∠ A 的邻边
sinA= 斜边 cosA= 斜边
∠ A 的对边
A
∠A的对边 ┌ ∠A的邻边 C
∠ A 的邻边
请思考:在Rt△ABC中, sinA和cosB有什么关系 有什么关系? sinA和cosB有什么关系?
A B 斜边 ∠A的对边 ┌ ∠A的邻边 C
想一想P 想一想 2 3
正弦与余弦
驶向胜利 的彼岸
在Rt△ABC中,锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦, 记作sinA,即 sinA= ∠A的对边
∠ A的斜边
在Rt△ABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦, B 记作cosA,即 ∠ A 的邻边 cosA=
∠ A 的斜边
斜边
锐角A的正弦,余弦,正切和都 是做∠A的三角函数.
∠A的对边 A ┌ ∠A的邻边 C
想一想P 想一想 7 4
生活问题数学化
结论:梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关: sinA越大,梯子越陡;cosA越小,梯子越陡.
如图,梯子的倾斜 程度与sinA和cosA 有关吗?
驶向胜利 的彼岸