北师大版九年级下册 1.1锐角三角函数1教案设计
北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教学设计1
北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教学设计1一. 教材分析《锐角三角函数》是北师大版数学九年级下册第一章第一节的内容。
本节课的主要内容是引导学生通过锐角三角函数的定义，了解正弦、余弦、正切函数的概念，并会进行简单的计算。
这一节内容是初中数学的重要内容，也是高中数学的基础。
在教材中，通过大量的实例，让学生感受三角函数在实际问题中的应用，从而培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对函数的概念有一定的了解。
但是，对于三角函数的定义和应用，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实例，理解三角函数的概念，并能够运用三角函数解决实际问题。
三. 教学目标1.理解锐角三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切函数的概念。
2.能够运用三角函数解决实际问题。
3.培养学生的数学应用能力。
四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的定义，正弦、余弦、正切函数的概念。
2.难点：运用三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.实例教学：通过实际问题，引导学生理解三角函数的定义和应用。
2.小组讨论：让学生在小组内讨论，共同解决问题，培养学生的合作能力。
3.练习巩固：通过大量的练习，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
六. 教学准备1.教材：北师大版数学九年级下册。
2.课件：相关的教学课件。
3.练习题：相关的练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入三角函数的概念。
例如，一个直角三角形，一个锐角为30度，斜边长为1，求这个三角形的两条直角边的长度。
让学生思考，如何解决这个问题。
2.呈现（10分钟）通过多媒体课件，呈现三角函数的定义和概念。
引导学生理解，三角函数是描述直角三角形中，角度和边长之间关系的一种数学工具。
讲解正弦、余弦、正切函数的定义，并通过动画演示，让学生直观地理解这三个函数的定义。
3.操练（10分钟）让学生进行一些相关的练习题，巩固所学的知识。
教师可以通过多媒体课件，展示解题过程，引导学生正确解题。
北师大版九年级下册1.1锐角三角函数1教案
-函数在实际问题中的应用：学生可能不知道如何将学到的函数知识应用到实际问题中，需要通过案例分析来加强应用能力的培养。
-例如，提供一些实际情境，如测量树的高度、建筑物的高度等，引导学生如何构建数学模型并解决问题。
-难点角的计算：在应用锐角三角函数时，学生可能会对特殊角度的计算感到困惑，需要强化对特殊角度值的记忆和理解。
-可以通过记忆口诀、绘制表格等方式，帮助学生记忆30°、45°、60°等特殊角度的正弦、余弦、正切值。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《锐角三角函数1》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量物体高度或距离的情况？”（如测量篮球框的高度）这个问题与我们将要学习的锐角三角函数密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索锐角三角函数的奥秘。
-正弦函数（sin）：直角三角形中对边与斜边的比值。
-余弦函数（cos）：直角三角形中邻边与斜边的比值。
-正切函数（tan）：直角三角形中对边与邻边的比值。
-锐角三角函数图像的识别：理解正弦、余弦、正切函数图像的特点，能够从图像中识别函数的性质。
-锐角三角函数的性质：掌握正弦、余弦、正切函数随角度变化的规律，包括周期性、奇偶性等。
3.锐角三角函数的性质：探讨正弦、余弦、正切函数随角度变化的规律，理解其周期性、奇偶性等性质。
4.锐角三角函数的简单应用：运用锐角三角函数解决实际问题，如测量物体的高度、计算角度等。
本节课旨在让学生掌握锐角三角函数的基本概念、图像、性质及应用，为后续学习打下基础。
二、核心素养目标
北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教案1
北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教案1一. 教材分析北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》是学生在初中阶段学习三角函数的起点，起着承前启后的作用。
本节课主要介绍了锐角三角函数的定义及概念，通过生活中的实例让学生感受锐角三角函数在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材以实例引入，引导学生探究锐角三角函数的定义，并通过自主学习、合作交流的方式，让学生掌握锐角三角函数的基本概念和性质。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对函数的概念有一定的理解。
但是，对于锐角三角函数的理解还需要通过具体的实例和生活情境来引导学生。
学生在学习过程中，需要通过合作交流、自主探究的方式，掌握锐角三角函数的定义和性质。
此外，学生还需要在学习过程中，培养运用数学知识解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.理解锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的基本概念和性质。
2.能够运用锐角三角函数解决实际问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
3.培养学生的合作交流、自主探究能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.教学重点：锐角三角函数的定义及概念。
2.教学难点：锐角三角函数的性质和运用。
五. 教学方法1.实例引入：通过生活中的实例，引导学生感受锐角三角函数在实际生活中的应用。
2.自主学习：引导学生通过自主学习，掌握锐角三角函数的定义和性质。
3.合作交流：学生进行合作交流，分享学习心得和解决问题的方法。
4.实践操作：让学生通过实际操作，加深对锐角三角函数的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，辅助讲解和展示。
2.实例素材：收集生活中的实例，用于引导学生感受锐角三角函数的应用。
3.练习题库：准备一定数量的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程导入（5分钟）1.利用实例引入：展示一些生活中的实例，如测量国旗的高度、计算房屋的面积等，引导学生感受锐角三角函数在实际生活中的应用。
北师大版九年级数学下册 第1章 1 锐角三角函数 教案
第一章直角三角形的边角关系1锐角三角函数第1课时正切课标要求【知识与技能】让学生理解并掌握正切的含义，并能够举例说明；会在直角三角形中说出某个锐角的正切值；了解锐角的正切值随锐角的增大而增大．【过程与方法】让学生经历操作、观察、思考、求解等过程，感受数形结合的数学思想方法，培养学生理性思维的习惯，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力．【情感态度】能激发学生学习的积极性和主动性，引导学生自主探索、合作交流，培养学生的创新意识．【教学重点】1．从现实情境中探索直角三角形的边角关系．2．理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系．【教学难点】理解正切的意义，并用它来表示两边的比．教学过程一、情景导入，初步认识你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？【教学说明】通过实际问题，创设情境，引发学生产生认知盲点，激发学生学习的兴趣和探究的欲望．二、思考探究，获取新知(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？(2)B 1C 1AC 1有什么关系？ (3)如果改变B 2的位置(如B 3C 3)呢？ (4)由此你得出什么结论？ 【归纳结论】在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边的比便随之确定．这个比叫做∠A 的正切．记作：tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边.当锐角A 变化时，tan A 也随之变化．(5)梯子的倾斜度与tan A 有关系吗？ 【归纳结论】在这些直角三角形中，当锐角A 的大小确定后，无论直角三角形的大小怎样变化，∠A 的对边与∠A 的邻边的比值总是唯一确定的．所以，倾斜角的对边与邻边的比可以用来描述坡面的倾斜程度．三、运用新知，深化理解 1．见教材P 3上例1.2．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，C ＝5，求tan A 和tan B .解：tan A ＝BC AC ＝512，tan B ＝AC BC ＝125.3．若某人沿坡度i ＝3∶4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米．解析：坡度i ＝3∶4，也就是说tan B ＝AC BC ＝34，∴设AC ＝3x ，BC ＝4x .根据勾股定理可求出x ＝2 m ，∴AC ＝6 m.答案：65．若三角形三边的比是25∶24∶7，求最小角的正切值．解：在三角形中，根据大边对大角，可知7所对的角最小．又由勾股定理可知该三角形为直角三角形．最小角的正切值＝7∶24. 【教学说明】巩固正切的概念，进一步落实课标要求．习题1至3是对基础知识的训练．习题4在对基础知识巩固的同时，发展了学生的思维能力，使思维进一步缜密，认识进一步深化．四、师生互动、课堂小结师生一起小结在研究怎样描述坡面的倾斜程度的过程中．我们首先从实际问题中抽象出数学模型，构建直角三角形．这里体现出将实际问题中抽象出数学模型的建模思想．这样一来问题就转化为对直角三角形的边、角这些基本元素的探讨上．经过大家的探讨，单一元素中：可以用锐角来描述坡面的倾斜程度，而只用一条边却不可以．虽然多次遇挫，但大家没有放弃，而是主动变换思考问题的角度去探究，从而得到可以用倾斜角的对边与邻边的比来描述坡面的倾斜程度．同时还找到了倾斜角和倾斜角的对边与邻边的比之间的关系．课后作业1．布置作业：教材“习题1.1”中第1、2、4题．2．完成练习册中本课时的练习．第2课时正弦和余弦课标要求【知识与技能】1．使学生理解锐角正弦、余弦的定义2．会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值【过程与方法】通过探索正弦、余弦定义，培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．【情感态度】通过探索、发现，培养学生独立思考，勇于创新的精神和良好的学习习惯．【教学重点】理解锐角正弦、余弦的定义；会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值．【教学难点】求直角三角形中锐角的正弦、余弦值．教学过程一、情景导入，初步认识操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度．(演示学校操场上的国旗图片)小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了．你想知道小明是怎样算出的吗？【教学说明】通过实际问题，创设情境，引发学生产生认知盲点，激发学生学习的兴趣和探究的欲望．二、思考探究，获取新知1．想一想：如图(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系？ (2)AC 1B 1A 和AC 2B 2A 有什么关系？B 1C 1B 1A 和B 2C 2B 2A呢？ (3)如果改变B 2在梯子AB 1上的位置呢？你由此可得出什么结论？ (4)如果改变梯子AB 1的倾斜角的大小呢？你由此又可得出什么结论？ 请讨论后回答． 【归纳结论】在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定．∠A 的对边与斜边的比值叫做∠A 的正弦(sine)，记作sin A ，即：sin A ＝∠A 的对边斜边∠A 的邻边与斜边的比值叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cos A ，即：cos A ＝∠A 的邻边斜边锐角A 的正切、正弦、余弦都是∠A 的三角函数，当∠A 变化时，相应的∠A 的正切、正弦、余弦值也随之变化．2．议一议：如图由图讨论梯子的倾斜程度与sin A 和cos A 的关系． 【归纳结论】sin A 的值越大，梯子越陡；cos A 的值越小，梯子越陡． 三、运用新知，深化理解 1．见教材P 5例2.2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，sin A ＝35，求cos A 和tan B 的值．解：∵sin A ＝BC AB ，∴AB ＝BC sin A ＝6×53＝10.又∵AC ＝AB 2－BC 2＝102－62＝8，∴cos A ＝AC AB ＝45，tan B ＝AC BC ＝43.3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A 和cos B 有什么关系？你能得到什么结论？解：∵sin A ＝BC AB ，cos B ＝BCAB.∴sin A ＝cos B .结论：在同一直角三角形中，一锐角的正弦值等于另一锐角的余弦值．4．已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC 2＝AB ·BD .(用正弦、余弦函数的定义证明)解：在Rt △ABC 中，sin A ＝BCAB在Rt △BCD 中，cos B ＝BDBC ，根据上题中的结论，可知：在Rt △ABC 中，sin A ＝cos B ．∴BC AB ＝BDBC，即BC 2＝AB ·BD .【教学说明】对于前三题，比较简单，可以放手让学生独立完成．而后面两题，可以适当的加以提示、补充．四、师生互动，课堂小结通过学习，你对正弦、余弦在知识应用方面有什么认识，对指导解决现实问题有什么意义，你发现的规律或公式在解决问题中起到了什么作用．课后作业1．布置作业：教材“习题1.2”中第1、4题． 2．完成练习册中本课时的练习．。
北师大版初三下册数学 1.1 锐角三角函数 教案(教学设计)
1．1 锐角三角函数第1课时锐角的正切函数教学目标1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系．2．能够用tan A表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算．重点从现实情境中探索直角三角形的边角关系；理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系．难点难点理解正切的意义，并用它来表示两边的比．教学过程一、创设情境，导入新课用FLASH课件动画演示本章的章头图，提出问题，问题从左到右分层次出现：问题1：在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗？问题2：随着改革开放的深入，上海的城市建设正日新月异地发展，幢幢大楼拔地而起.70年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦，但经过多少年的城市发展，“上海最高大厦”的桂冠早已被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗？你能应用数学知识和适当的途径得到金茂大厦的实际高度吗？通过本章的学习，相信大家一定能够解决．二、合作交流，探究新知用多媒体演示如下内容：[师]梯子是我们日常生活中常见的物体．我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的？“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的？请同学们看下图，并回答问题(用多媒体演示)．(1)在图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？[生]梯子AB 比梯子EF 更陡．[师]你是如何判断的？[生]从图中很容易发现∠ABC >∠EFD ，所以梯子AB 比梯子EF 陡．[生]我觉得是因为AC ＝ED ，所以只要比较BC ，FD 的长度即可知哪个梯子陡．BC <FD ，所以梯子AB 比梯子EF 陡．[师]我们再来看一个问题(用多媒体演示)(2)在下图中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？[师]我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度，即哪一个更陡，就比较困难了．能不能从第(1)问中得到什么启示呢？[生]在第(1)问的图形中梯子的垂直高度即AC 和ED 是相等的，而水平宽度BC 和FD 不一样长，由此我想到梯子的垂直高度与水平宽度的比值越大，梯子应该越陡．[师]这位同学的想法很好，的确如此，在第(2)问的图中，哪个梯子更陡，应该从梯子AB 和EF 的垂直高度和水平宽度的比的大小来判断．那么请同学们算一下梯子AB 和EF 哪一个更陡呢？[生]AC BC ＝41.5＝83，ED FD ＝3.51.3＝3513.∵83<3513， ∴梯子EF 比梯子AB 更陡．想一想：如图，小明想通过测量B 1C 1及AC 1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B 2C 2及AC 2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系？(2)B 1C 1AC 1和B 2C 2AC 2有什么关系？ (3)如果改变B 2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么结论？[师]我们已经知道可以用梯子的垂直高度和水平宽度的比描述梯子的倾斜程度，即用倾斜角的对边与邻边的比来描述梯子的倾斜程度．下面请同学们思考上面的三个问题，再来讨论小明和小亮的做法．[生]在上图中，我们可以知道Rt△AB 1C 1，和Rt△AB 2C 2是相似的．因为∠B 2C 2A ＝∠B 1C 1A ＝90°，∠B 2AC 2＝∠B 1AC 1，根据相似的条件，得Rt△AB 1C 1∽Rt△AB 2C 2.[生]由图还可知：B 2C 2⊥AC 2，B 1C 1⊥AC 1，得 B 2C 2∥B 1C 1，Rt△AB 1C 1∽Rt△AB 2C 2.[生]相似三角形的对应边成比例，得B 1C 1B 2C 2＝AC 1AC 2，即B 1C 1AC 1＝B 2C 2AC 2. 如果改变B 2在梯子上的位置，总可以得到Rt△B 2C 2A ∽Rt△B 1C 1A ，仍能得到B 1C 1AC 1＝B 2C 2AC 2.因此，无论B 2在梯子的什么位置(除A 外), B 1C 1AC 1＝B 2C 2AC 2总成立． [师]也就是说无论B 2在梯子的什么位置(A 除外)，∠A 的对边与邻边的比值是不会改变的．现在如果改变∠A 的大小，∠A 的对边与邻边的比值会改变吗？[生]∠A 的大小改变，∠A 的对边与邻边的比值会改变．[师]你又能得出什么结论呢？[生]∠A 的对边与邻边的比只与∠A 的大小有关系，而与它所在直角三角形的大小无关．也就是说，当直角三角形中的一个锐角确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定．[师]这位同学回答得很棒，现在我们再返回去看一下小明和小亮的做法，你作何评价？[生]小明和小亮的做法都可以说明梯子的倾斜程度，因为图中直角三角形中的锐角A 是确定的，因此它的对边与邻边的比值也是唯一确定的，与B 1，B 2在梯子上的位置无关，即与直角三角形的大小无关．[生]但我觉得小亮的做法更实际，因为要测量B 1C 1的长度，需攀到梯子的最高端，危险并且复杂，而小亮只需站在地面就可以完成．[师]这位同学能将数学和实际生活紧密地联系在一起，值得提倡．我们学习数学就是为了更好地应用数学．由于直角三角形中的锐角A 确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定，因此我们有如下定义：(多媒体演示)如图，在Rt△ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切(tangent)，记作tan A ，即tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边. 注意：(1)tan A 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”．(2)tan A 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比．(3)tan A 不表示“tan”乘以“A ”．(4)初中阶段，我们只学习直角三角形中锐角的正切．思考：(1)∠B 的正切如何表示？它的数学意义是什么？(2)前面我们讨论了梯子的倾斜程度，课本图1—3，梯子的倾斜程度与tan A 有关系吗？[生](1)∠B 的正切记作tan B ，表示∠B 的对边与邻边的比值，即tan B ＝∠B 的对边∠B 的邻边. (2)我们用梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜程度，因此，在教材图1—3中，梯子越陡，tan A 的值越大；反过来，tan A 的值越大，梯子越陡．三、运用新知，深化理解例1(教材示例) 如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡，只需分别求出tan α、tan β的值，比较大小，越大，扶梯就越陡．解：甲梯中， tan α＝ ∠α的对边∠α的邻边＝48＝12. 乙梯中，tan β＝∠β的对边∠β的邻边＝5132－52＝512. 因为tan α＞tan β，所以甲梯更陡．[师]正切在日常生活中的应用很广泛，例如建筑，工程技术等．正切经常用来描述山坡、堤坝的坡度．如图，有一山坡在水平方向上每前进100 m ，就升高60 m ，那么山坡的坡度(即坡角α的正切tan α)就是tan α＝60100＝35. 这里要注意区分坡度和坡角．坡面的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正切称为坡度．坡度越大，坡面就越陡．例2 已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C ，D ，E 都在小正方形的顶点上，求tan∠ADC 的值．分析：先证明△ACD ≌△BCE ，再根据tan∠ADC ＝tan∠BEC 即可求解．解：根据题意可得AC ＝BC ＝12＋22＝5，CD ＝CE ＝12＋32＝10，AD ＝BE ＝5，∴△ACD ≌△BCE (SSS)．∴∠ADC ＝∠BEC .∴tan∠ADC ＝tan∠BEC ＝13. 例3 已知一水坝的横断面是梯形ABCD ，下底BC 长14 m ，斜坡AB 的坡度为3∶3，另一腰CD 与下底的夹角为45°，且长为4 6 m ，求它的上底的长(精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)．分析：过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，根据已知条件求出AE ＝DF 的值，再根据坡度求出BE ，最后根据EF ＝BC －BE －FC 求出AD .解：过点A 作AE ⊥BC ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F .∵CD 与BC 的夹角为45°，∴∠DCF ＝45°，∴∠CDF ＝45°.∵CD ＝4 6 m ，∴DF ＝CF ＝4 62＝4 3(m)，∴AE ＝DF ＝4 3 m ．∵斜坡AB 的坡度为3∶3，∴tan∠ABE ＝AE BE ＝33＝3，∴BE ＝4 m ．∵BC ＝14 m ，∴EF ＝BC －BE －CF ＝14－4－43＝10－4 3(m)．∵AD ＝EF ，∴AD ＝10－4 3≈3.1(m)．所以，它的上底的长约为3.1 m.四、课堂练习，巩固提高1．教材P4“随堂练习”．2．《探究在线·高效课堂》相关作业．五、反思小结，梳理新知本节课经历了探索直角三角形中的边角关系，得出了在直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定，并以此为基础，在“直角三角形”中定义了tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边.接着，我们研究了梯子的倾斜程度，工程中的问题坡度与正切的关系，了解了正切在现实生活中是一个具有实际意义的很重要的概念．第2课时正弦、余弦1. 认识锐角三角函数——正弦、余弦.2. 用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比, 用正弦、余弦进行简单的计算.二、教学目标知识与技能1. 能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系.2. 能够用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算.过程与方法1. 经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.2、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.情感态度与价值观1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，学有用的数学.2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯.三、重点与难点重点：理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系.难点：体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题.四、复习引入设计意图：以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面作用（大脑负担重，而不会实际运用），测量旗杆高度的问题引发学生的疑问，激起学生的探究欲望.五、探究新知探究活动1（出示幻灯片4）：如图，请思考：（1）Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是 ； （2）的关系是和222111AB C B AB C B ； （3）如果改变B 2在斜边上的位置，则的关系是和222111AB C B AB C B ； 思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________，根据是______________________________________. 它的邻边与斜边的比值呢？设计意图：1、在相似三角形的情景中，让学生探究发现：当直角三角形的一个锐角大小确定时，它的对边与斜边的比值也随之确定了.类比学习，可以知道，当直角三角形的一个锐角大小确定时，它的邻边与斜边的比值也是不变的.2、在探究活动中发现的规律，学生能记忆得更加深刻，这比老师帮助总结，学生被动接受和记忆要有用得多.归纳概念1、正弦的定义：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角∠A 的对边BC 与斜边AB 的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA ＝________.2、余弦的定义：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,我们把锐角∠A 的邻边AC 与斜边AB 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA=_ _____.3、锐角A 的正弦，余弦，正切和余切都叫做∠A 的三角函数.温馨提示B 1B 2AC 1 C 2（1）sinA，cosA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角；（2）sinA，cosA中常省去角的符号“∠”.但∠BAC的正弦和余弦表示为: sin∠BAC，cos∠BAC.∠1的正弦和余弦表示为: sin∠1，cos∠1；（3）sinA，cosA没有单位，它表示一个比值；（4）sinA，cosA是一个完整的符号，不表示“sin”,“cos”乘以“A”；（5）sinA，cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长没有必然的关系.设计意图：1、类比正切的定义，让学生理解正弦和余弦的含义；2、让学生了解：求一个角的三角函数，是指求这个角的正切、正弦和余弦，不是单指某一个值；3、正弦和余弦容易出现一些不规范的表示方法，在这里先进行明确，可以减少日后不必要的错误.探究活动2：我们知道，梯子的倾斜程度与tanA有关系，tanA越大，梯子越陡，那么梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？是怎样的关系？设计意图：在探究中进一步让学生理解正弦和余弦的含义，体会正弦和余弦的生活意义，避免数学知识的枯燥无味，通过利用正弦和余弦来描述梯子的倾斜程度拓展了学生思维，感受到从不同角度去解释一件事物的合理性，感受数学与生活的联系.探索发现：梯子的倾斜程度与sinA,cosA的关系：sinA越大，梯子；cosA越，梯子越陡.探究活动3：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=20，sinA=0.6，求BC和cosB.B通过上面的计算，你发现sinA与cosB有什么关系呢? sinB与cosA呢？在其它直角三角形中是不是也一样呢？请举例说明.小结规律：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的.设计意图：在探究中进一巩固正弦和余弦的定义，同时发现直角三角形中两个锐角的三角函数值之间存在一定的关系，拓展学生的知识储备.六、归类提升类型一：已知直角三角形两边长，求锐角三角函数值例1、在Rt△ABC中，∠C=90°, BC=3，AB=5，求A的三个三角函数值.类型二：利用三角函数值求线段的长度例2、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sinA=0.6 ，求BC的长七、总结延伸1、锐角三角函数定义：sinA= ，cosA= ，tanA= ；2、温馨提示：（1）sinA，cosA，tanA，是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)；（2）sinA，cosA，tanA是一个完整的符号，表示∠A的正切，习惯省去“∠”号；（3）sinA，cosA，tanA都是一个比值，注意区别,且sinA,cosA,tanA均大于0,无单位；（4）sinA，cosA，tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长没有必然关系；（5）角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等.精品文档用心整理3、在用三角函数解决一般三角形或四边形的实际问题中，应注意构造直角三角形.设计意图：课堂小结，检查学生掌握情况，同时能对知识进行及时梳理，有利于学生归纳和消化，特别对于重要的方法提示和要注意的细节，能再次呈现，使学生印象深刻.八、课堂小结1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的, ∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2.sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号；3.sinA,cosA,tanA, 是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA, 均﹥0,无单位.4.sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.资料来源于网络仅供免费交流使用。
北师大版九年级数学下册《锐角三角函数(第1课时)》精品教案
《锐角三角函数》精品教案课题 1.1锐角三角函数（1）单元第一单元学科数学年级九年级学习目标1.知识与技能：①理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值；②能够根据正切的概念进行简单的计算；③能运用正切、坡度解决问题。
2.过程与方法：①了解计算一个锐角的正切值的过程、方法；②逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；③领会教学活动中的类比思想，提高学生学习数学的积极性；3.情感态度与价值观：①通过解答实际问题，激发学生学数学的兴趣，增长社会见识。
②使学生亲身经历用正切函数计算坡度的过程，感受数学实用性，培养学生积极情感.重点理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
难点能运用正切、坡度解决问题。
教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课在前面的学习中，我们已经学过有关直角三角形的知识，一起回顾下勾股定理：1.定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB2=_AC2+BC2_.2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，AC=_8_.而在生活中，我们还会遇到类似梯子陡的问题，今天开始我们将一起学习有关三角函数。
观察与思考：问题：图中的台阶哪个更陡？你是怎么判断的？（1）高度相同，怎么判断哪个梯子陡？知识探究高度相同，用梯子的低端离墙的远近来判断：水平距离越短，倾斜角越大，梯子越陡.（2）水平距离相同，怎么判断哪个梯子陡？水平距离相同，用梯子的放在墙上的高低来判断：梯子越高，铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.【合作探究】如图，小明想通过测量B 1C 1及AC 1，算出它们的比，来说明梯子AB 1的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B 2C 2及AC 2，算出它们的比，也能说明梯子AB 1的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?（1）Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2有什么关系?Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2（2）和有什么关系?=学生思考并回答问题。
1.1 锐角三角函数 第1课时(教案)-北师大版数学九下
第1节锐角三角函数第1课时正切1.经历探索直角三角形中边角之间关系的过程.2.理解锐角三角函数(正切、正弦、余弦)的意义,并能够举例说明.3.能够运用tan A,sin A,cos A表示直角三角形中两边的比.4.能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算.1.经历三个锐角三角函数的探索过程,确信三角函数的合理性,体会数形结合的数学思想.2.在探索锐角三角函数的过程中,初步体验探索、讨论、验证对学习数学的重要性.1.通过锐角三角函数概念的建立,使学生经历从特殊到一般的认识过程.2.让学生在探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的喜悦,从解决实际问题中感悟数学的实用性,培养学生学习数学的兴趣.【重点】1.理解锐角三角函数的意义.2.能利用三角函数解三角形的边角关系.【难点】能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tan A表示直角三角形中两直角边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,能够用正切进行简单的计算.3.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.1.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.2.体会解决问题的策略多样性,发展实践能力和创新精神.1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.【重点】1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.【难点】理解正切的意义,并用它来表示生活中物体的倾斜程度、坡度等.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】1.自制4个直角三角形纸板.2.复习直角三角形相似的判定和直角三角形的性质.导入一:课件出示:你知道图中建筑物的名字吗?是的,它就是意大利著名的比萨斜塔,是世界著名建筑奇观,位于意大利托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场上,是奇迹广场三大建筑之一,也是意大利著名的标志之一,它从建成之日起便由于土层松软而倾斜.【引入】应该如何来描述它的倾斜程度呢?学完本节课的知识我们就能解决这个问题了.[设计意图]创设新颖、有趣的问题情境,以比萨斜塔的倾斜程度激发学生的学习兴趣,从而自然引出课题,并且为学生探究梯子的倾斜程度埋下伏笔.导入二:课件出示:四个规模不同的滑梯A,B,C,D,它们的滑板长(平直的)分别为300cm,250cm,200cm,200cm;滑板与地面所成的角度分别为30°,45°,45°,60°.【问题】四个滑梯中哪个滑梯的高度最高[设计意图]利用学生所熟悉的滑梯进行引导,使学生有亲切感,滑梯与课本中引用梯子比较类似,学生的探究思路会比较顺畅.(一)探究新知请同学们看下图,并回答问题.探究一:问题1课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?小组讨论后展示结果:1组:梯子AB较陡.我们组是借助量角器量倾斜角,发现∠ABC>∠EFD,根据倾斜角越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.师:哪组还有不同的判定方法?2组:我们也是认为梯子AB较陡.我们组是分别计算AC与BC的比,ED与FD的比,发现前者的比值大,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.3组:我们组的方法和1组的大致相同,借助倾斜角来判断,不过不是测量,我们是过E作EG∥AB 交FD于G,就可以清晰比较∠ABC与∠EFD的大小了.4组:我们组发现这两架梯子的高度相同,水平宽度越小,梯子就越陡,所以我们也认为梯子AB较陡.探究二:问题2课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?学生会类比问题1给出的四种判断方法,只要说得合理即可.问题3课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎么判断的?多给学生思考和讨论的时间.代表发言:AB和EF的倾斜度一样.由于两个直角三角形的两直角边的比值相等,再加上夹角相等,可以判定两个直角三角形相似,根据相似三角形的对应角相等,可以证明两个倾斜角相等,所以AB和EF的倾斜度一样.教师引导:我们发现当直角三角形的两直角边的比值相等时,梯子的倾斜度一样,请大家判断一下在问题2与问题3中,两直角边的比值与倾斜度有什么关系?请继续探究下面的问题.问题4课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?教师引导:我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度,即哪一个更陡,可能就比较困难了.能不能从上面的探究中得到什么启示呢生讨论后得出:思路1:梯子EF较陡,因为∠EFD>∠ABC,根据倾斜角越大,梯子就越陡.思路2:梯子EF较陡,因为>,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.师生共同总结:在日常的生活中,我们判断哪个梯子更陡,应该从梯子AB 和EF 的倾斜角大小,或垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.做一做:请通过计算说明梯子AB 和EF 哪一个更陡呢?生独立解答,代表展示:∵==,==,<,∴梯子EF 比梯子AB 更陡.[设计意图]通过探究逐层深入的问题,让学生经历由简单到复杂、由特殊到一般的探究过程,既对已学知识和生活经验进行了回味和运用,也让学生的思想逐步向本节课的中心“两直角边之比”靠近.[知识拓展]梯子的倾斜程度的判定方法:(1)梯子的倾斜程度和倾斜角有关系,倾斜角越大,梯子就越陡.(2)梯子的倾斜程度和铅直高度与水平宽度的比有关系,铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.(二)再探新知课件出示:【想一想】如图所示,小明想通过测量B 1C 1及AC 1,算出它们的比,来说明梯子的倾斜程度;而小亮则认为,通过测量B 2C 2及AC 2,算出它们的比,也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系生很容易得出两个三角形相似.由生说明理由:∵∠B 2AC 2=∠B 1AC 1,∠B 2C 2A =∠B 1C 1A =90°,∴Rt△AB 1C 1∽Rt△AB 2C 2.(2)和有什么关系?由于Rt△AB 1C 1∽Rt△AB 2C 2,所以有=.(3)如果改变B 2在梯子上的位置呢?由此你得出什么结论?生先独立思考后分组讨论.生得出结论:改变B 2在梯子上的位置,铅直高度与水平宽度的比始终相等.想一想:现在如果改变∠A 的大小,∠A 的对边与邻边的比值会改变吗?生讨论得出:∠A 的大小改变,∠A 的对边与邻边的比值会改变.∠A 的对边与邻边的比只与∠A 的大小有关系,而与它所在直角三角形的大小无关.【总结提升】由于直角三角形中的锐角A 确定以后,它的对边与邻边的比也随之确定,因此我们有如下定义:如图所示,在Rt△ABC 中,如果锐角A 确定,那么∠A 的对边与邻边之比便随之确定,这个比叫做∠A 的正切(tangent ),记作tan A ,即tan A =.当锐角A变化时,tan A的值也随之变化.能力提升:如果∠A+∠B=90°,那么tan A与tan B有什么关系?生讨论得出结论:tan A=,即任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数.【议一议】前面我们讨论了梯子的倾斜程度,在课本图1-3中,梯子的倾斜程度与tan A有关系吗?学生思考后,统一答案:tan A的值越大,梯子越陡.(反之,梯子越陡,tan A的值越大)[设计意图]此环节的设计是为了突出概念的形成过程,帮助学生理解概念.通过让学生参与、动手操作,让学生学会由特殊到一般、数形结合及函数的思想方法,提高学生分析问题和解决问题的能力.[知识拓展]正切的注意事项:(1)tan A是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”.(2)tan A没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与邻边的比.(3)tan A不表示“tan”乘以“A”.(4)初中阶段,我们只学习直角三角形中锐角的正切.(教材例1)如图所示表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?想一想:要判断哪个自动扶梯比较陡,只需求出什么即可?生思考后得出:比较甲、乙两个自动扶梯哪一个陡,只需分别求出tanα,tanβ的值进行比较大小即可,正切值越大,扶梯就越陡.要求学生独立解答,代表展示:解:甲梯中,tanα==.乙梯中,tanβ==.因为tanα>tanβ,所以甲梯更陡.[设计意图]通过对例题的解答让学生初步学会运用“正切”这一数学工具判断梯子的倾斜程度,同时规范学生的解题步骤,培养良好的解题习惯.课件出示:如图所示,有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度(即tanα)就是: i=tanα==.结论:坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比),tanα=,即坡度等于坡角的正切.[设计意图]正切在日常生活中的应用很广泛,通过正切刻画梯子的倾斜程度及坡度的数学意义,密切数学与生活的联系,使学生明白学习数学就是为了更好地应用数学,为生活服务.[知识拓展]坡度与坡面的关系:坡度越大,坡面越陡.(1)正切的定义:tan A=.(2)梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系):tan A的值越大,梯子越陡.(3)坡度(或坡比)的定义:i=tanα=.1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则tan A等于()A.B. C. D.解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,∴BC=5,∴tan A=.故选B.2.如图所示,将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则tan∠AOB的值是()A.B.C.D.解析:认真读图,在以∠AOB的O为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值,由图可得tan∠AOB=.故选B.3.(2014·温州中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,则tan A的值是.解析:tan A==.故填.4.河堤横断面如图所示,堤高BC=5m,迎水坡AB的坡度是1∶(坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),则AB的长是.解析:在Rt△ABC中,BC=5,tan A=1∶,∴AC=5,∴AB==10(m).故填10m.第1课时(1)正切的定义:tan A=.(2)梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系):tan A的值越大,梯子越陡.(3)坡度(或坡比)的定义:i=tanα=.一、教材作业【必做题】1.教材第4页随堂练习第1,2题.2.教材第4页习题1.1第1,2题.【选做题】教材第4页习题1.1第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则tan A的值为()A. B. C. D.2.小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了1000m,则他升高了()A.500mB.200mC.500mD.1000m3.已知斜坡的坡度为i=1∶5,如果这一斜坡的高度为2m,那么这一斜坡的水平距离为m.【能力提升】4.(2015·山西中考)如图所示,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是()A.2B.C.D.5.如图所示,将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A'B'C',使点B'与C重合,连接A'B,则tan∠A'BC'的值为.6.如图所示,在锐角三角形ABC中,AB=10cm,BC=9cm,△ABC的面积为27cm2.求tan B的值.7.某商场为方便顾客使用购物车,准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图所示).如果改动后电梯的坡面长为13m,求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长.【拓展探究】8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的中线,若AB=13,BC=10,试求tan∠DBC的值.【答案与解析】1.D(解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,∴tan A===.故选D.)2.B(解析:设铅直高度为x m,∵坡度为1∶2,∴水平宽度为2x m,由勾股定理得x2+(2x)2=10002,解得x=200.∴他升高了200m.故选B.)3.10(解析:∵斜坡的坡比是1∶5,∴=.∴=,∴斜坡的水平距离为=10m.故填10.)4.D(解析:如图所示,连接AC,由勾股定理,得AC=,AB=2,BC=,∴△ABC为直角三角形,∴tan B==.故选D.)5.(解析:如图所示,过A'作A'D⊥BC',垂足为D.在等腰直角三角形A'B'C'中,易知A'D是底边上的中线,∴A'D=B'D=.∵BC=B'C',∴tan∠A'BC'===.故填.)6.解:如图所示,过点A作AH⊥BC于H,∵S=27,∴×9×AH=27,∴AH=6.∵AB=10,∴BH===8,∴tan△ABCB===.7.解:在Rt△ADC中,AD∶DC=1∶2.4,AC=13,由AD2+DC2=AC2,得AD2+(2.4AD)2=132,∴AD=±5(负值不合题意,舍去),∴DC=12.在Rt△ABD中,∵AD∶BD=1∶1.8,∴BD=5×1.8=9,∴BC=DC-BD=12-9=3(m).答:改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3m.8.解:如图所示,过点A,D分别作AH⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为点H,F.∵BC=10,AH⊥BC,AB=AC,∴BH=5.∵AB=13,∴AH==12,在Rt△ACH中,AH=12,易知AH∥DF,且D为AC中点,∴DF=AH=6,∴BF=BC=,∴在Rt△DBF中,tan∠DBC==.本节课是三角函数部分的第一节概念教学,教学内容比较抽象,学生不易理解.为此结合初中学生身心发展的特点,运用实验教学、直观教学,唤起和加深学生对教学内容的体会和了解,并培养和发展学生的观察、思维能力,这是贯彻“从生动的直观到抽象的思维,并从抽象的思维到实践”的认识规律,能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程,使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.概念教学由学生熟悉的实例入手,引导学生观察、分析、动手、动脑、动口多种感官参与,并组织学生积极参与小组成员间合作交流.通过由特殊到一般、具体到抽象的探索过程,紧紧围绕着函数概念,引出正切概念,再通过相应的典型题组练习巩固概念.并且在教学过程中,注重了阶段性的反思小结,使学生能够及时总结知识和方法.本节课的开放性还不够,探究梯子倾斜程度时,学生的一些奇思妙想没有给予展示机会.第一个环节内容设计多了一些,所以导致后面的教学处理上稍显仓促.对第一个环节的处理力求更加简洁,并大胆放手让学生去探索、去发现,真正让学生成为学习的主人.随堂练习(教材第4页)1.解:能.tan C====.2.解:根据题意,得AB=200,BC=55,则AC===5,所以山的坡度为=≈0.286.习题1.1(教材第4页)1.解:∵BC===12,∴tan A==,tan B==.2.解:∵tan A==,BC=3,∴AC=BC=.4.tan A=.学生学习时首先通过情境题了解本节课学习的主要任务,做到有的放矢,然后利用“由一般到特殊”的数学思想,通过三个探究活动逐步得出梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系),在探究的过程中可以通过自主探究与合作交流的方式抓住重点,突破难点.学生在运用正切解决问题时,一定要注意其前提条件——在直角三角形中,找准直角是解题的关键.而有些题目需要作辅助线构造直角三角形,也可以通过角度的转化进行求解,同时还要注意数形结合思想的运用.如图所示,设计建造一条道路,路基的横断面为梯形ABCD,设路基高为h,两侧的坡角分别为α,β.已知h=2m,α=45°,tanβ=,CD=10m.求路基底部AB的宽.〔解析〕如图所示,过D,C分别作下底AB的垂线,垂足分别为E,F.在Rt△ADE和Rt△BCF中,可根据h的长以及坡角的度数或坡比的值,求出AE,BF的长,进而可求得AB的值.解:如图所示,过D作DE⊥AB于E,过C作CF⊥AB于F,∴DE∥CF.∵四边形ABCD为梯形,∴AB∥CD,∴EF=CD=10m.∴四边形DCFE为矩形.在Rt△ADE中,α=45°,DE=h=2m,∴CF=DE=h=2m.在Rt△BCF中,tanβ=,CF=2m,∴BF=2CF=4(m).故AB=AE+EF+BF=AE+CD+BF=2+10+4=16(m).答:路基底部AB的宽为16m.[解题策略]此题主要考查了坡度问题的应用,求坡度、坡角问题通常要转换为解直角三角形的问题,必要时应添加辅助线,构造出直角三角形.。
《 锐角三角函数》 (第1课时)示范公开课教学设计【北师大版九年级数学下册】
第一章直角三角形的边角关系1.1锐角三角函数第1课时教学设计一、教学目标1．经历探索直角三角形中边角关系的过程.2．理解锐角三角函数（正切）的意义，并能够举例说明.3．能够运用tan A表示直角三角形中两边的比.4．能够根据直角三角形中边角关系，进行简单的计算.二、教学重点及难点重点：从现实情境中探索直角三角形的边角关系，理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切关注数学与生活的联系．难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板。
四、相关资源《两架梯子靠墙》图片，《正切定义》动画，《自动扶梯》动画.五、教学过程【情境引入】同学们,梯子是我们日常生活中常见的物体．那么我们怎么知道图中哪个梯子陡，哪个梯子缓呢？师生活动：教师出示问题，学生回答．答：倾斜角大，梯子就陡；倾斜角小，梯子就缓．在实际问题中，有时我们不方便测量倾斜角，有时不容易准确测量倾斜角，那我们又该如何刻画梯子的倾斜程度呢？今天，我们就对这个问题继续进行深入研究．设计意图：由学生熟悉的梯子引入新课，紧扣课题，从而自然过渡到下面的探究活动．【探究新知】做一做（1）在下图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？（2）在下图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？师生活动：教师出示问题，学生回答．答：（1）梯子AB更陡；（这是一个开放性问题，方法多种多样，可以用度量角度的方法；因为AC=DE，也可以比较BC和FD的长短来判断梯子的倾斜程度）．（2）梯子EF更陡（用边AC与边BC的比和边ED与边DF的比来比较）．设计意图：引导学生用边之比进行比较，为后面引入正切的概念奠定基础．想一想如图，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？（1）直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系？（2）111B C AC 和222B C AC 有什么关系？ （3）如果改变B 2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么结论？师生活动：教师出示问题，引导学生思考、讨论，最后师生共同得出答案．答：同意小亮的看法．（1）Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2；（2）111B C AC =222B C AC ； （3）改变B 2在梯子上的位置，仍能得到111B C AC =222B C AC ；结论：当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定． 设计意图：经历探索新知的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力．教师讲解：如图，在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切（tangent ），记作tan A ，即tan A =A A ∠的对边∠的邻边．教师说明：tan A 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”． 设计意图：适时的总结，帮助学生形成知识体系．议一议 在下图中，梯子的倾斜程度与tan A 有关系吗？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同得出答案．答：tan A 的值越大，梯子越陡．教师补充：正切也经常用来描述山坡的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比））．例如，有一山坡在水平方向上每前进100 m 就升高60 m （如下图所示），那么山坡的坡度就是tan α=603=1005． 注意：坡度是坡角的正切.坡度越大，坡面越陡.设计意图：在得出正切的定义后，让学生进一步思考梯子倾斜角的正切值与梯子倾斜程度之间的关系．【典例精析】例下图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？师生活动：教师出示例题，学生思考并完成解答．解：甲梯中，tan α=4182=．乙梯中，tan β512=．因为tan α＞tan β，所以甲梯更陡．设计意图：通过计算自动扶梯的正切值判断扶梯的倾斜程度，是上述结论的直接应用，培养学生应用所学知识解决问题的能力．【课堂练习】1．如图是一水库大坝横断面的一部分，坝高h =6 m ，迎水斜坡AB =10 m ．斜坡的坡角为α，则tan α的值为（ ）．A ．35B ．45C ．43D ．342．如图，点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α， tan α=32，则t 的值是（ ）． A ．1 B ．1.5 C ．2 D ．33．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12 m ，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB 的长为（ ）．A ．43 mB ．65 mC ．125 mD ．24 m4．如图，△ABC 是等腰三角形，你能根据图中所给数据求出tan C 吗？5．如图，某人从山脚下的点A 走了200 m 后到达山顶的点B ，已知点B 到山脚的垂直距离为55 m ，求山的坡度（结果精确到0.001）．6．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，AD =BC ，BE =4．求：（1）tan C 的值；（2）AD 的长．师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．参考答案1．D ．2．C ．3．B ．4．tan C =34． 5．解：在Rt △ABC 中，AC =22222005551479AB BC -=-=(m)．所以tan A =0.286BC AC ． 答：山的坡度约为0.286．6．解：（1）∵AB =AC ，AD ⊥BC ，∴AD =BC =2DC ．∴tan C =AD DC=2． （2）∵tan C =2，BE ⊥AC ，BE =4，∴EC =2．∵BC 2=BE 2+EC 2，∴BC =∴AD =设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 六、课堂小结1．正切的概念在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切（tangent ），记作tan A ，即tan A =A A ∠的对边∠的邻边． 2．坡度或坡比的概念坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比）．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．七、板书设计1.1 锐角三角函数（1）1．正切的概念tan A =A A ∠的对边∠的邻边． 2．坡度（坡比）。
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九年级数
哪个更陡？你是怎样
（生）从图中易发现∠ABC>∠EFD，所以梯子EF陡；
AC＝ED，所以只要比较BC，FD
观察上图直观判断梯子的倾斜程度，
就比较困难了．能不能从第(1)
如图，小明想通过测量B1C1
继续用几何画板演示：当角度变化时，比值也在变化对于角度的一个值，都可以确定唯一的比值，比值是是角度的函数。
Rt△ABC中，如果锐角
的对边与邻边之比便随之确定，
的正切(tangent)，记作tan A，即
（生）21
84tan ==
α，5135tan 22=-=
β如图，有一山坡在水平方向上每前进60 m ，那么山坡的坡度(即坡角
教学反思
直角三角形中边角之间的关系，是现实世界中应用广泛的关系。
锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用，但对学生来说，这个概念却及其抽象。
本节课开始以提问的方式，帮助学生回顾旧知，使其思维进入直角三角形中，在直角三角形中两个锐角互余（角的关系）以及勾股定理（三边数量关系）的基础上，自然引入直角三角形的边角关系。
同时，复习函数的概念、表示方法以及学过的函数模型，为学生从函数角度理解锐角三角函数（或完成数学抽象）进行知识铺垫和经验准备。
借助对具体事物——梯子的“陡”、“缓”的描述，使学生从感性到理性等角度来刻画这一现象，实现从具体到抽象的逐步过渡。
在形成锐角正切函数的过程中，不仅通过几组例子让学生在比较中感受到梯子的倾斜程度可以通过铅直高度与水平宽度的比来描述，而且运用几何画板的动态演示功能让学生更加直观地看到这个比值是依赖着角度的变化而变化，也就是在这个变化过程中，给角度一个值，就可以唯一确定一个比值，这正好符合函数的概念。
从而化抽象为具体，又从具体上升到抽象，使学生明确了锐角正切函数的概念。
.由此，学生建立了锐角正切函数的概念，纳入到自己的知识体系中。
在应用与检测环节，通过大量的例子实现抽象与具体的往复转化。