13.2.2 用坐标表示轴对称
13.2.2用坐标表示轴对称
二、用坐标表示轴对称的应用： 7、已知△ABC的三个顶点的坐标分别为
A(-3，5),B(- 4，1),C(-1，3y)，
作出△ABC关于y轴对称的图形. ·y
A
5
4
3
B
C2
1
-4 -3 -2 -1-01
-2 -3
1 2 3 4 5x
-4
8、作出△ABC关于y轴的轴对称图形 y
ABO来自xC课堂小结
对称点
D′
y
规律：
E
F
(4,0) (0,-2)
E'(4,0) F'(0,2)
A C′
在平面直角坐标系中， 关于x轴对称的点的
B F′
横坐标 不变 ， 纵坐标 互___为__相__反__数__； 即点（x,y)关于x轴对
O B ′F
E′ x
称的点的坐标为
A′
（ x ， -y ）
D
C
已知点 A
B
C
D
(2,4) (-1,2) (3,-5) (-6, -5)
4、点A（m+2，3）、B（-5，n+6）关 于y轴对称，则m n = -9 。
5、P（a，3）和P1（2，b）关于x轴对称， 则a+b= -1 。
6、已知点A(2m+1，m-3)关于y轴的对称
点在第四象限，则m的取值范围是
m<-
1 2
，
【例 】 如图，四边形ABCD的四个顶点的坐
标分别为A(-5,1),B(-2,1),C(-2,5),D(-5,4),
13.2.2用坐标表示轴对称
导入新课
如图，是一幅老北京城 的示意图，其中西直门 和东直门是关于中轴线 对称的.如果以天安门 为原点，分别以长安街 和中轴线为x轴和y轴建 立平面直角坐标系.根 据如图所示的东直门的 坐标，你能说出西直门 的坐标吗？
13.2。2用坐标表示轴对称
Ⅱ．讲授新课[活动2]在如图所示的平面坐标系中，画出下列已知点及其对称点，并把坐标填入表格中．看看每对对称点的坐标有怎样的规律．再和同学讨论一下．已知点A （2，-3），B （-1，2），C （-6，-5），D （，1），E （4，0）． 关于x 轴的对称点A ′（____，____）B ′（_____，______）C ′（ _____， _____） D ′（____，_____）E ′（_____，_____）．关于y 轴的对称点A ″（_____，____）B ″（_____，______）C ″（ _____， _____） D ″（____，_____）E ″（_____，_____）．设计意图：通过学生动手操作，分别作A ，B ，C ，D ，E 关于x 轴、y 轴的对称点A ′，B ′，C ′，D ′，E ′；A ″，B ″，C ″，D ″，E ″，并且求出它们的坐标，观察，归纳它们坐标之间的关系．师生行为：教师引导，学生自主探索发现关于x 轴、y 轴对称的每组对称点坐标的规律．[生]如图，我们先在直角坐标系中描出A （2，-3），B （-1，2），C （-6，-5），D （，1），E （4，0）点．我们先在坐标系中作出A 点关于x 轴的对称点，即过A 作x 轴的垂线交x 轴于M 点， M 点的坐标为（2，0）．在AM 的延长线上截A ′M=AM ，则A ′就是A 点关于x 轴的对称点，所以A ′在第一象限，因为A ′M=AM ，所以A ′的纵坐标为3，因为AA ′⊥x 轴，即AA ′∥y 轴， 所以A ′的横坐标为2，即A ′的坐标为（2，3）．同理可求得B ，C ，D ，E 关于x 轴的对称点B ′，C ′，D ′，E ′的坐标分别为B ′（-1， -2），C ′（-6，5），D ′（，-1），E ′（4，0）．列表如下： 121212C / .。
13.2.2 用坐标表示轴对称
B
B′
O
顶点C的对称点的坐标为（ 2 ，5 ）
A′
x
顶点D的对称点的坐标为（ 5 ，4 ）
描出这四个点并依次连接即可.
应用新知
小结：在坐标系中作已知图形关于坐标轴对称的图形：
一求：求已知图形的一些特殊点的对称点的坐标；
二描：在坐标系中描出这些对称点；
三连：顺次连接这些对称点得到对称图形.
应用新知
(2)若点A、B关于y轴对称，求a、b的值．
a = −1
a−b = 2
ቊ
解:(1)由题可得 ቊ
，解得 b = −3
b = −3
a=1
a−b
=
−2
(2)由题可得 ቊ
，解得 ቊ
b=3
b=3
应用新知
例3. 已知点P（a+1，2a-1 ）关于x轴的对称点在
第一象限，求a的取值范围.
解:由题可得，点P关于x轴的对称点为（a+1， 1−2a ）
关于y轴 A′(-3.5 ,4)
的对称点
B′( 4 ,2)
C′(-3 , -3)
规律：关于y轴对称的两个点，
横坐标互为相反数,纵坐标相等。
公式：P(a,b)
关于y轴对称
P′ (-a,b)
探究新知
y
P′ (-a,b)
=
=
-a
P
┌
┌
关
于
y
轴
对
称
P′
b
┌
为什么？
P(a,b)
O
a
x
探究新知
y
A (3.5,4)
13.2.2 用坐标表示轴对称
要点回顾
1.作点的轴对称图形：如果直线MN外有一点A，那么怎样
13.2.2用坐标表示轴对称2
用坐标表示轴对称
用坐标表示轴对称
快乐大解密
一名游客在天安 门广场向小明问 西直门的位置， 但他只知道东直 门的位置，可是 聪明的小明想了 想，就准确的告 诉了她，你知道 原因吗？
西直门？？ y
4
A
3
2
1
-4
-3
-2
-1
0 -1
-2
-3
-4
东直门 （3.5，4） C
1234x
B
③依次连接各对称点就可以 A”
·B”
得到这个图形的轴对称图形.
·C”
C’
··A’ ·B’
已知点 P(-2,3) M(-1,探1) 究N(三-3,-2)
关对关对称 称于于类P坐,点点xxM比标==,1-N研之1 关究间PP’”于有：((40直,什（,33线)么拓) MMx关展=’”(1(系提3-的,11,吗高对)1)）?称NN如点”’(图(51,,,-你,-2分2))能别发作现出它点们
探究一
探究1：关于y轴对称的点的坐标与已知点的 坐标具有怎样的关系？
已知点 关于x轴 对称点
y
C’(-2,3) 4 C (2,3)
A (-4, 2) 3
2
A(-4,2) A’ (4, 2)
1
A’ (4, 2)
B(3,-4) B’(-3, -4) C(2, 3) C’(-2, 3)
-4 -3 -2 -1-10 -2
1 2 3 4 5x
·
N”(1,-2) N’(5,-2)
类似的:
点A（x, y）关于直线y=1对称 的点的坐标为 （x, -y+2）
点A （x, y）关于直线y= -1对 称的点的坐标为 （x, -y-2）
13.2.2 用坐标表示轴对称
13.2.2 用坐标表示轴对称教学目标：1、能理解平面直角坐标系中，与已知点关于x 轴或y 轴对称点的坐标的规律；2、能作出与一个图形关于x 轴或y 轴对称的图形。
3、通过现实情景的创设，使学生体验到数学就在我们身边，从而培养审美情趣。
教学重点：用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标。
教学难点：找对称点的坐标之间的关系、规律。
教学设计：一、创设情境 承上启下（一）动手画一画：已知点A 和一条直线MN ，你能画出这个点关于已知直线的对称点吗?（二）、图片导入 有关用坐标表示的生活中的轴对称图例：一幅老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，对应于如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？二、探索新知1、在平面直角坐标系中画出下列已知点。
A （2，-3）；B （-1，2）；C （-6，-5）；D （3，5）；E （4，0）；F （0，-3）。
2、画出这些点分别关于x 轴、y 轴对称的点。
并填写表格。
3、请你仔细观察点的坐标，你能发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律吗？4、尝试再找几个点，分别画出它们的对称点。
5、小组合作，总结规律在平面直角坐标系中：关于x 轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数；·· A MN关于y 轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.即：点（x, y ）关于x 轴对称的点的坐标为(x, - y)；点（x, y ）关于y 轴对称的点的坐标为(- x, y)。
三、巩固新知1、说出下列各点关于x 轴、y 轴对称的点的坐标：(2,-3)；(-1,2)；(-6,-5)；(0,-1.6)； (4,0)。
2、如下图，△ABC 关于x 轴对称，点A 的坐标为（1，-2），说出点B 的坐标。
3、四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A （－5，1）、B （－2，1）、 C （－2，5） 、D （－5，4），分别作出四边形关于x 轴与y 轴对称的图形。
人教版数学八年级上册13.2.2 用坐标表示轴对称教案
第2课时用坐标表示轴对称●情景导入十一黄金周，北京吸引了许多游客．一天，小红在天安门广场玩，一位外国友人问小红西直门的位置，可小红只知道东直门的位置，不过，小红想了想，就准确地告诉了他．你知道为什么吗？如图是一幅老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的．如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，各个地点的地理位置就可以用坐标表示出来．提问：根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？对称点的坐标与已知点的坐标有怎样的关系？这节课将学习用坐标表示轴对称．【教学与建议】教学：以老北京地图为例引入新课，让学生感受到用坐标描述对称的重要性．建议：在教学时，先出示老北京地图，让学生进行观察，感受各个位置之间的关系，然后建立平面直角坐标系．●归纳导入 1.如图①：(1)图中两个圆脸有什么关系？(2)已知右边圆脸上右眼的坐标为B(4，3)，左眼的坐标为A(2，3)，嘴角两个端点的坐标分别为C(4，1)，D(2，1).你能根据轴对称的性质写出左边圆脸上左眼、右眼及嘴角两端点的坐标吗？图①图②2．在平面直角坐标系中，将坐标分别为(2，2)，(4，2)，(4，4)，(2，4)的点用线段依次连接起来形成一个图案(如图②)．(1)将各个点的纵坐标不变，横坐标分别乘－1，再将所得的各个点用线段依次连接起来，所得的图案与原图案相比有何变化？(2)将各个点的横坐标不变，纵坐标分别乘－1，再将所得的各个点用线段依次连接起来，所得的图案与原图案相比有何变化？如图②，师生共同归纳：(1)将各个点的纵坐标不变，横坐标乘－1，得到相应的四个点分别为A1(－2，2)，B1(－4，2)，C1(－4，4)，D1(－2，4).顺次连接各点所得到的图案和原图案比较．归纳：它们是关于__y轴__对称的，且横坐标__互为相反数__，纵坐标__不变__．(2)将各个点的横坐标不变，纵坐标乘－1，得到相应的四个点分别为A2(2，－2)，B2(4，－2)，C2(4，－4)，D2(2，－4).顺次连接各点所得到的图案和原图案比较，归纳：它们是关于__x轴__对称的，且纵坐标__互为相反数__，横坐标不变．【教学与建议】教学：通过轴对称图形的研究，激发学生探究坐标特点，归纳在坐标的变化中掌握坐标规律．建议：教学中注意渗透数形结合思想．命题角度1 求已知点关于x 轴、y 轴对称的点的坐标两点关于x 轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；两点关于y 轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数．【例1】在平面直角坐标系中，点A (3，4)与点B 关于y 轴对称，则点B 的坐标为(A) A ．(－3，4) B ．(－3，－4) C ．(3，－4) D ．(3，4)【例2】在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(－3，1)，作点A 关于y 轴的对称点，得到点A ′，再将点A ′向下平移2个单位长度，得到点A ″，则点A ″的坐标是(__3__，__－1__).【例3】如图，在平面直角坐标系中，对△ABC 进行循环往复的轴对称变换，若原来点A 的坐标是(a ，b )，则经过2 023次变换后所得的图形中点A 的对应点的坐标是__(－a ，b )__．――→第1次关于x 轴对称――→第2次关于y 轴对称 ――→第3次关于x 轴对称 ――→第4次关于y 轴对称命题角度2 根据轴对称的点的坐标特征确定字母的取值在平面直角坐标系中，若成轴对称的两个点的坐标中包含字母，则先根据轴对称的坐标特征确定字母的值，再求含有字母的式子的值．【例4】点P (1，2)关于y 轴对称的点的坐标是P ′(a ，b )，则a －b ＝__－3__． 【例5】若点M (a ，－3)与点N (－4，b )关于x 轴对称，则a ＝__－4__，b ＝__3__；若这两点关于y 轴对称，则a ＝__4__，b ＝__－3__．命题角度3 作规则图形关于坐标轴的对称图形(1)计算已知图形中的一些特殊点的对称点的坐标；(2)根据对称点的坐标描点；(3)依次连接所描各点得到对称图形．【例6】如图，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别是A (－1，5)，B (－5，3)，C (－3，－1).作出△ABC 关于x 轴、y 轴的对称图形．解：如图所示，△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2即为所求作的图形．命题角度4 作规则图形关于直线x ＝m (或y ＝n )(m ，n 为常数)对称的图形推广轴对称的点的坐标特征，可得：对于点A (x 1，y 1)与点B (x 2，y 2)，如果它们关于直线x ＝m 对称，那么x 1＋x 2＝2m ，y 1＝y 2；如果它们关于直线y ＝n 对称，那么x 1＝x 2，y 1＋y 2＝2n .【例7】在平面直角坐标系中，直线l 是经过点(1，0)且平行于y 轴的直线，点A (m －1，3)与点B (2，n －1)关于直线l 对称，则(m ＋n )2 023的值为(D)A ．0B ．1C ．32 023D ．52 023【例8】若点P (－2，1)与点Q (a ，b )关于直线l ：y ＝－1对称，则a ＋b ＝__－5__.高效课堂 教学设计1．在平面直角坐标系中，探索并掌握关于x 轴、y 轴对称的点的坐标规律． 2．利用关于x 轴、y 轴对称的点的坐标规律，作出关于x 轴、y 轴对称的图形．▲重点利用坐标的变化规律在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x 轴和y 轴对称的图形． ▲难点能根据平面直角坐标系中轴对称点的坐标特点解决实际问题．◆活动1 新课导入用多媒体展示北京城风光图片及北京城形象地图．老北京的地图(教材P 69图13.2－3)中，西直门和东直门是关于中轴线对称的．如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，对应于如教材图13.2－3所示的东直门的坐标，你能找到西直门的位置和坐标吗？学生指出西直门的位置或坐标，由此指出用坐标表示轴对称，能够很方便确定一个地方的位置． ◆活动2 探究新知1．教材P 69 思考下面的内容． 提出问题：(1)你能完成下表吗？已知点 A (2，－3) B (－1，2) C (－6，－5) D ()12，1 E (4，0) 关于x 轴的对称点 A ′(__2__，__3__) B ′(__－1__，__－2__) C ′(__－6__，__5__) D ′(__12 __，__－1__)E ′(_4_，_0_) 关于y 轴的对称点A ″(__－2__，__－3__)B ″(__1__，__2__)C ″(__6__，__－5__)D ″(__－12__，__1__)E ″(_－4_，_0_)(2)根据上面的表格，你发现关于x 轴的对称点的坐标有什么规律？ (3)关于y 轴的对称点的坐标有什么规律？ 学生完成并交流展示． ◆活动3 知识归纳1．点(x ，y )关于x 轴对称的点的坐标为__(x ，－y )__． 2．点(x ，y )关于y 轴对称的点的坐标为__(－x ，y )__． ◆活动4 例题与练习 例1 教材P 70 例2.例2 已知点A (a ，4－b )与点B (1－b ，2a ). (1)若点A ，B 关于x 轴对称，求a ，b 的值； (2)若点A ，B 关于y 轴对称，求a ，b 的值．解：(1)由题意，得{a ＝1－b ，4－b ＝－2a ，解得{a ＝－1，b ＝2； (2)由题意，得{－a ＝1－b ，4－b ＝2a ，解得{a ＝1，b ＝2. 例3 △ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；(2)将△ABC 向右平移6个单位长度，作出平移后的△A 2B 2C 2，并写出△A 2B 2C 2各顶点的坐标； (3)观察△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2，它们是否关于某条直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴．解：(1)△A 1B 1C 1如图所示；(2)∵△ABC 向右平移6个单位长度，∴A ，B ，C 三点的横坐标加6，纵坐标不变，作出△A 2B 2C 2如图所示，A 2(6，4)，B 2(4，2)，C 2(5，1)；(3)△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2关于图中直线l ：x ＝3对称． 练习1．教材P 70～71 练习第1，2，3题． 2．下列判断正确的是(C )A ．点(－3，4)与(3，4)关于x 轴对称B ．点(3，－4)与点(－3，4)关于y 轴对称C ．点(3，4)与点(3，－4)关于x 轴对称D ．点(4，－3)与点(4，3)关于y 轴对称3．小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用(－1，0)表示，右下角方子的位置用(0，－1)表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是(B )A ．(－2，1)B ．(－1，1)C ．(1，－2)D ．(－1，－2)（第3题图）（第4题图）4．如图，以长方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标是(3，2)，则点B的坐标是__(3，－2)__，点C的坐标是__(－3，－2)__，点D的坐标是__(－3，2)__．◆活动5课堂小结1．关于x轴、y轴对称的点的坐标之间的关系．2．在坐标系中，作关于x轴(或y轴)的轴对称图形．1．作业布置(1)教材P71～72习题13.2第2，3，4，5，7题；(2)对应课时练习．2．教学反思。
13.2.2 用坐标表示轴对称 (课件)
纵轴
y 5
4 第一象限
第二象限
3 2 1
-4
-3
-2 原点
-1
0 -1 -2 -3
1
2
3
4
5
x
横轴
第三象限
第四象限
-4
注
意:坐标轴上的点不属于任何象限。
纵轴
y
5
4
A点在x 轴上的坐标为3 A点在y 轴上的坐标为2 A点在平面直角坐标系中的坐标为(3, 2)
B（ - 4 ，1）2
B
3
记作：A（3，2） X轴上的坐标 A
课后作业 1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。B B′′ O1 Nhomakorabea1
B′ A′x
D′′
C′′
归纳画一个图形关于x 轴或y 轴对称 的图形的方法和步骤. 先求出已知图形中一些特殊点（多边形的 顶点）的对称点的坐标，描出并连接这些点， 就可以得到这个图形的轴对称图形． 步骤简述为： （1）求特殊点的对称点的坐标；（2）描点； （3）连线．
练习2 如图， △ABO关于x轴对称，点 A的坐标为（1，-2），写出点B的坐标。
3 2 1 B（1，2）
-3 -2 -1 O -1 -2 -3
1 2
3
A（1，-2）
练习3 如图，利用关于坐标轴对称的 点的坐标的特点，分别画出与△ABC关于x 轴和y轴对称的图形。 A（-4，1） B（-1，-1） C（-3，2）
B
A 3 2 1
-4 -3 -2 -1 O C -1 -2 -3
1 2 3
方法二：∵点A（3x-1，2x+5）关于y 轴对称的点在第一象限. ∴点A（3x-1，2x+5）在第二象限. ∴3x-1<0，2x+5>0，解得 -52<x<13. 综上所述，x的取值范围：-52<x<13.
13.2.2用坐标表示轴对称
活动一
轴对称关系(关于y轴对称)
5 4
1.观察图中两张圆脸有 什么关系？
y
· · C D · ·
B1
1
A1
3 2
1 0 -1 -2 -3 -4 1
1
· · D C · ·
A
2 3 4 5
B
-4
-3
-2
-1
x
活 动 二
你能根据 轴对称的 性质写出 左边圆脸 的眼睛和 嘴角的坐 标吗？
2.已知右边圆脸中眼睛A的坐标 （4，3）嘴角 ） 为（ C的 （2，3）B的坐标为（ （2，1）。 ） 坐标为（ （4 4，1）D的坐标为（
探究1：如图，在平面直角坐标系中你能画出 点A关于x轴的对称点吗?
y
想一想
5 4 3 2 1
·
1 2
A (2,3)
-4
-3
-2
-1 0 -1
-2 -3
3
4
5
x
-4
· A′(2,-3)
你能说出 点A与点A′ 坐标的关 系吗？
想一想
在平面直角坐标系中画出下列各点关于x 轴的对称点. y 思考：关于x轴对 5 C′(3, 4) 称的点的坐标具 4 B (-4, 2) 有怎样的关系？ 3
·
·
2
1
1 2 3 4 5
-4 -3 -2 -1 0 -1 -2 B′ (-4, -2) -3
x
·
-4
· C(3, -4)
归纳
关于x轴对称的点的坐标的特点是: 横坐标相等,纵坐标互为相反数.
练习
1.点P(-5, 6)与点Q关于x轴对称,则点Q的坐标 (- 5 , -6 ) 为__________. 2.点M(a, -5)与点N(-2, b)关于x轴对称,则 a=_____, 5 -2 b =_____.
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13.2.2 用坐标表示轴对称
一、学习目标
1、能够经过探索利用坐标来表示轴对称；
2、掌握关于x 轴、y 轴对称的点的坐标特点。
二、温故知新
如图：（1）观察图（1）中两个圆脸有什么关系？
（2）若已知图（1）中圆脸右眼的坐标为（4，3），左眼 的坐标为（2，3），嘴角两个端点，右端点的坐标为（4，1）， 左端点的坐标为（2，1）．你能根据轴对称的性质写出左边圆 脸上左眼，右眼及嘴角两端点的坐标吗？
三、自主探究 合作展示
探究（一）
1、 在如图（2）所示平面直角坐标系内画出下列已知点以及对称点，并把坐标填在表格中，
你能发现坐标间有什么规律？
2、归纳：点（x ，y ）关于x 轴对称的点的坐标是 ；
点（x ，y ）关于y 轴对称的点的坐标是
探究（二）
图（2） 图（3）
图（1）
例题：
如图(3)，四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A （－5，1），B （－2，1），C （－2，5），D （－5，4），分别作出四边形ABCD 关于y 轴和x 轴对称的图形。
(在教材中完成)
例题反思：
四、双基检测
1、分别写出下列各点关于x 轴和y 轴对称的点的坐标。
2、已知点P (2a+b,-3a)与点'
P (8,b+2).(1)若点P 与点'
P 关于x 轴对称，则a=_____;b=_______.
(2)若点P 与点'
P 关于y 轴对称，则a=_____;b=_______.
3、如图（4），△AOB 关于x 轴对称，点A 的坐标为（1，-2），标出点B 的坐标．
3、如图（5），利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与△ABC 关于x 轴和y 轴对称的图形．
图（5）
图（4）
五、学习反思
请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。