状态反馈极点配置基本理论与方法
极点配置问题
5.2 极点配置问题5.2.1 问题提出控制系统的性能主要取决于系统极点在根平面上的分布。
因此，作为综合系统性能指标的一种形式，往往是给定一组期望极点，或者根据时域指标转换成一组等价的期望极点。
极点配置问题，就是通过选择反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所希望的动态性能。
在经典控制理论中所介绍的根轨迹法就是一种极点配置法，不过它只是通过改变一个参数使闭环系统的极点沿着某一组特定的根轨迹曲线配置而已。
因此，广义地说，不论综合系统的性能指标怎样不同，究其实质都是运用各种技术手段来实现系统极点零点的重新配置，以期获得所期望的性能。
本节讨论在指定极点分布的情况下，如何设计反馈增益阵的问题。
为简单起见，只讨论单输入—单输出系统。
5.2.2 状态反馈与极点配置定理三 采用状态反馈对系统()0,,A B C =∑任意配置极点的充要条件是0∑完全能控。
证明 只证充分性。
若∑完全能控，通过状态反馈必成立[]*det ()()I A bK f λλ-+= （5.26） 式中*()f λ—期望特征多项式。
***1*1101()()nn n in i f a a a λλλλλλ--==-=++++∏ （5.27）式中*(1,2,,)i i n λ= —期望的闭环极点（实数极点或共轭复数极点）。
① 若∑完全能控，必存在非奇异变换CI x T x = 式中CI T —能控标准I 型变换矩阵。
能将∑化成能控标准I 型x+xA bu =y Cx =式中 1012101000010CI CI n A T AT a a a a --⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥----⎣⎦1001CI b T b -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦[]011=C CI n C T b b b -=受控系统∑的传递函数为121121001110()=()n n n n n n n b s b s b s b W s C sI A b s a s a s a -------++⋅⋅⋅++-=++⋅⋅⋅++ （5.28） ② 加状态反馈增益阵 011n K k k k -⎡⎤=⎣⎦ （5.29）可求得对x 的闭环状态空间表达式()+x A bK x bu y Cx ⎫=+⎪⎬=⎪⎭（5.30）式中 0110110100001001()()()n n A b K a k ak a k --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦闭环特征多项式为()()f I A bK λλ=-+1110110()()()n n n n a k a k a k λλλ---=+-++-+- （5.31） 闭环传递函数为1212101110110()=()()()n n n n k n n n n b s b s b s b W s s a k s a k s a k -------++⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+-+- （5.32） ③ 使闭环极点与给定的期望极点相符，必须满足 *()()f f λλ=由等式两边同次幂系数对应相等，可解出反馈阵各系数*(0,1,,1)i i i k a a i n =-=- （5.33）于是得 ***001111n n K a a a a a a --⎡⎤=---⎣⎦ ④ 最后，把对应于X 的K ，通过如下变换，得到对应于状态X 的K 。
现代控制理论-09(第5章状态反馈控制器设计)
期望的闭环特征多项式
(λ − λ1 )(λ − λ 2 )(λ − λ3 ) = λ3 + b2 λ2 + b1 λ + b0
要实现极点配置，须
λ3 + (a 2 + k 2 )λ2 + (a1 + k1 )λ + a 0 + k 0 = λ3 + b2 λ2 + b1λ + b0
a 0 + k 0 = b0 a1 + k1 = b1 a 2 + k 2 = b2
− 设计一个状态反馈控制器，使得闭环极点是-2， 1 ± j
解
确定能控标准型实现
1 0⎤ ⎡0 ⎡0 ⎤ x = ⎢0 0 1⎥ x + ⎢0⎥u ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 − 2 − 3⎥ ⎢1⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ y = [10 0 0]x
状态反馈控制器 u = − Kx ，K = [k1 k 2 k3 ] 闭环多项式：det[λI − ( A − BK )] = λ3 + (3 + k 3 )λ2 + (2 + k 2 )λ + k1 期望多项式： (λ + 2)(λ + 1 − j)(λ + 1 + j) = λ3 + 4λ2 + 6λ + 4
问题：对一般状态空间模型，如何解极点配置问题？ 思路：考虑能控状态空间模型 将能控状态空间模型等价地转化为能控标准型 如何从能控标准型模型的解导出一般模型的极 点配置控制器。
系统模型
x = Ax + Bu
~ TAT −1 = A, ~ TB = B
0 ⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎥, ⎥ 1 ⎥ − an−1 ⎥ ⎦ ⎡0 ⎤ ⎢0 ⎥ ~ ⎢ ⎥ B=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢1⎥ ⎣ ⎦
课件-现代控制理论-刘豹第三版-第5章
能控性与能观性的判别方法
能观性判别方法
能控性判别方法
表示系统是否可以通过输入控制实现任意状态转移。若系统完全能控，则可以通过设计合适的控制器实现任意状态轨迹的跟踪或镇定；若部分能控或不能控，则存在状态无法被有效控制的风险。
能控性的物理意义
表示系统状态是否可以通过输出完全反映出来。若系统完全能观，则可以通过观测输出信号来准确估计系统状态；若部分能观或不能观，则存在状态无法被准确观测的风险，进而影响控制性能的实现。
控制系统稳定性分析是控制理论的核心内容之一，对于确保控制系统的正常运行具有重要意义。
章节内容结构
稳定性概念及定义
介绍稳定性的基本概念和定义，包括Lyapunov稳定性和BIBO稳定性等。
线性系统稳定性判据
详细阐述线性系统稳定性的判据，如Routh-Hurwitz判据、Nyquist判据和Bode图等。
图解法
状态转移矩阵的计算方法
1
2
3
状态转移矩阵反映了系统在时间间隔内从初始状态到最终状态的动态变化过程。
描述系统状态的动态变化过程
若系统稳定，则状态转移矩阵将逐渐趋于零，表示系统状态将逐渐趋于稳定。
反映系统稳定性
状态转移矩阵是进行系统分析和设计的重要工具，可用于研究系统的稳定性、能控性、能观性等性质。
非线性系统稳定性分析
介绍非线性系统稳定性分析方法，如相平面法、Lyapunov直接法等。
熟练掌握线性系统稳定性的判据和分析方法，能够应用所学知识分析和设计线性控制系统。
了解非线性系统稳定性分析方法的基本原理和应用范围，能够运用所学知识分析和设计简单的非线性控制系统。
掌握稳定性的基本概念和定义，理解不同稳定性定义之间的联系与区别。
实验 6 极点配置与全维状态观测器的设计
实验 6 极点配置与全维状态观测器的设计一、实验目的1. 加深对状态反馈作用的理解。
2. 学习和掌握状态观测器的设计方法。
二、实验原理在MATLAB 中，可以使用acker 和place 函数来进行极点配置，函数的使用方法如下：K = acker(A,B,P) A，B为系统系数矩阵，P为配置极点，K为反馈增益矩阵。
K = place(A,B,P) A，B为系统系数矩阵，P为配置极点，K为反馈增益矩阵。
[K,PREC,MESSAGE] = place(A,B,P) A，B为系统系数矩阵，P为配置极点，K为反馈增益矩阵，PREC 为特征值，MESSAGE 为配置中的出错信息。
三、实验内容1.已知系统（1）判断系统稳定性，说明原因。
（2）若不稳定，进行极点配置，期望极点：-1，-2，-3，求出状态反馈矩阵k。
（3）讨论状态反馈与输出反馈的关系，说明状态反馈为何能进行极点配置？（4）使用状态反馈进行零极点配置的前提条件是什么？1.（1）（2）代码：a=[-2 -1 1;1 0 1;-1 0 1];b=[1,1,1]';p=[-1,-2,-3]';K=acker(a,b,p)K =-1 2 4（3）讨论状态反馈与输出反馈的关系, 说明状态反馈为何能进行极点配置?在经典控制理论中,一般只考虑由系统的输出变量来构成反馈律，即输出反馈。
在现代控制理论的状态空间分析方法中,多考虑采用状态变量来构成反馈律，即状态反馈。
从状态空间模型输出方程可以看出，输出反馈可视为状态反馈的一个特例。
状态反馈可以提供更多的补偿信息，只要状态进行简单的计算再反馈，就可以获得优良的控制性能。
(4)使用状态反馈配置极点的前提是系统的状态是完全可控的。
2.已知系统设计全维状态观测器，使观测器的极点配置在12+j，12-j 。
（1）给出原系统的状态曲线。
（2）给出观测器的状态曲线并加以对比。
（观测器的初始状态可以任意选取）观察实验结果，思考以下问题：（1）说明反馈控制闭环期望极点和观测器极点的选取原则。
（完整版）状态反馈控制器的设计
（完整版）状态反馈控制器的设计上海电⼒学院实验报告⾃动控制原理实验课程题⽬：状态反馈控制器的设计班级：姓名：学号：时间：⼀、问题描述已知⼀个单位反馈系统的开环传递函数为，试搭建simulink 模型。
仿真原系统的阶跃响应。
再设计状态反馈控制器，配置系统的闭环极点在，并⽤simulink 模型进⾏仿真验证。
⼆、理论⽅法分析MATLAB提供了单变量系统极点配置函数acker (),该函数的调⽤格式为K=place ( A，b，p)其中，P为期望闭环极点的列向量，K为状态反馈矩阵。
Acker ()函数时Ackerman 公式编写，若单输⼊系统可控的，则采⽤状态反馈控制后，控制量u=r+Kx 。
对于多变量系统的状态反馈极点配置，MATLAB也给出了函数place ()，其调⽤格式为K=place ( A，B，P)状态反馈是将系统的状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输⼊端与参考输⼊叠加形成控制量，作为受控系统的输⼊，实现闭环系统极点的任意配置，⽽且也是实现解耦和构成线性最优调节器的主要⼿段。
只要给定的系统是完全能控且能观的，则闭环系统的极点可以通过状态反馈矩阵的确定来任意配置。
这个定理是⽤极点配置⽅法设计反馈矩阵的前提和依据。
在单输⼊，单输出系统中，反馈矩阵有唯⼀解，且状态反馈不改变系统的零点。
三、实验设计与实现1、搭建原系统的sumlink模型并观察其单位阶跃响应原系统sumlink模型原系统单位阶跃响应由原系统单位阶跃响应可知系统不稳定2、⽤极点配置法设计状态反馈控制器①利⽤matlab计算系统的状态空间模型的标准型>> a=[10];b=[1 5 6 0];[A B C D]=tf2ss(a,b)A = -5 -6 01 0 00 1 0B = 1C = 0 0 10③系统能控性矩阵>> uc=ctrb(A,B)uc = 1 -5 190 1 -50 0 1 >> rank(uc) ans = 3 所以系统完全能控③系统能观型矩阵>> vo=obsv(A,C) vo = 0 0 100 10 010 0 0 >> rank(vo) ans = 3 所以系统完全能观所以可以⽤极点配置法设计状态反馈控制器④求解系统反馈矩阵>> p=[-3 -0.5+j -0.5-j];k=acker(A,B,p)k = -1.0000 -1.7500 3.7500 加⼊反馈后的系统闭环极点为：>>sysnew=ss(A-B*k,B,C,D);pole(sysnew)ans = -3.0000-0.5000 + 1.0000i-0.5000 - 1.0000i⑤搭建加⼊反馈控制器后系统的sumlink模型⑥观察新系统的单位阶跃响应四、实验结果分析加⼊反馈控制器后系统的闭环极点在，符合题⽬要求。
线性系统状态反馈极点配置算法研究答辩稿
• • • •
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2014-9-19
• （4）LMIs=getlmis：如果系统已经用lmivar和lmiterm进行 了完整描述，则返回这个LMI系统的内部描述LMIs。内部 描述LMIs能够直接传递到求解工具或者其它LMI-Lab函数中 去。 • （5）[，xfeas]=feasp（LMIs，options，target）：求解LMI 系统定义的线性矩阵不等式约束条件问题的可行解。 • （6）[copt，xopt]=mincx（LMIs，c，options，xinit， Target）：针对约束，极小化。 • （7）[，xopt]=gevp（LMIs，nlfc，options，，，target）： 求解广义特征值最小化问题。
2014-9-19
极点配置算法及仿真
• 控制系统设计的极点配置一般分为精确极点和区 域极点两种配置方式。精确极点配置是指将闭环 系统的极点精确的配置在指定的位置上，但是由 于模型的不确定性和各种扰动的存在，使得精确 极点配置的控制方式很难实现，因此人们转而重 点研究区域极点配置这种控制方式。 在本文中主 要用三种方法进行仿真： • 1.精确极点配置 • 2.具有稳定裕度的区域极点配置 • 3.具有圆域极点约束的状态反馈控制器设计
主要技术指标：
设计系统满足以下要求： 调节时间：ts 4s 超调量： % 5%
设计内容
理论基础及数学准备
MATLAB概述 极点配置算法步骤及仿真结果
全文总结
状态反馈
•
对连续时间线性定常受控系统，状态反馈的构 成可用如图所示的方框图表示。 • 其中，状态x通过反馈矩阵K被回馈到系统输入 端，v为系统参考输入。 • 考虑到反馈矩阵K为常数阵而非动态系统，更确 切地应称这类状态反馈为静态状态反馈。
第五章：状态反馈与状态观测器
以上子系统的状态观测器形式为
~ A GA ~ v0 Gz x1 11 21 x1
x x 即: ~1 A11 GA21 ~1 A12 y B1v G y A22 y B2v
令: 则可推出:
w ~1 Gy x
§5.2 SISO状态反馈系统的极点配置法
采用上节的状态反馈律, 所得闭环系统为
x A BK x Bu y C DK x Du
所谓极点配置法, 就是通过状态反馈阵 K的选取, 使以上闭环系统的极点, 即 A BK的特征值恰好处于 所希望的一组极点的位置上.
那么存在矩阵 K R 1n 使闭环系统∑K ,
A BK, B, C
以 s1 , s 2 , , s n 为极点, 即
detsI A BK f * s s si
n
的充要条件为受控系统∑0
是完全能控的. A, B, C
i 1
yt Cx
且该系统状态完全能控能观, 当其状态不能直接量测
~ A GC~ Bv Gy x x
此时的状态反馈作用为
v u K~ x
因此, 带有观测器的状态反馈闭环系统的阶数为 2n. 该闭环系统(复合系统)可表示为:
x A BK x ~ 0 x
点时, 可以调节的参数有
n 个, 但利用基本型的输出
反馈配置极点时, 可供调节的参数只有一个.
注4: 完全能控能观的SISO系统, 引入状态反馈后还
能保持状态完全能观测的充要条件.
注5: 关于带有输入变换的状态反馈系统.
二, 极点配置的方法选择 1, 当 n 3 采用能控规范型方法. 时, 即先将原系统化为能控规范型, 然后在此基础上 配置极点. 2, 当 n 3时, 采用特征值不变性原理方法. 此时,不通过能控规范型求状态反馈阵 K, 而直
现代控制理论状态反馈控制器设计
例 已知被控系统的传递函数是
G(s) =
10
s(s + 1)(s + 2)
设计一个状态反馈控制器，使得闭环极点是-2，−1 ± j 解 确定能控标准型实现
⎡0 1 0⎤ ⎡0⎤ x& = ⎢⎢0 0 1⎥⎥ x + ⎢⎢0⎥⎥u
实现极点配置的条件：
3 + k3 = 4 2 + k2 = 6
k1 = 4
⇒ k1 = 4, k2 = 4,
极点配置状态反馈控制器是 u = −[4 4 1]x
k3 =1
分析：ห้องสมุดไป่ตู้点：能控标准型使得计算简单；
缺点：能控标准型中的状态往往难以直接测量；
解决方法：考虑新的实现。串连分解
u
1
x3
s+2
1 x2 s +1
确定参数 a0 , a1 , L, an−1 3。确定转化为能控标准型的变换矩阵 T = Γc[A~, B~](Γc[A, B])−1 4。确定期望特征多项式系数
（λ − λ1（) λ − λ2 )L（λ − λn ) = λn + bn−1λn−1 + L + b1λ + b0
5。确定极点配置反馈增益矩阵
状态反馈控制律：
u = −[k0 k1 k2 ]x
得到的闭环系统： 特征多项式：
⎡0
x&
=
⎢ ⎢
0
⎢⎣− a0 − k0
1 0 − a1 − k1
0⎤
1
⎥ ⎥
x
=
Ac
x
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第2章 状态反馈极点配置设计基本理论引言大多数的控制系统的基本结构是由被控对象和反馈控制器构成的闭环系统。
反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。
其中状态反馈能够提供更加丰富的状态信息。
状态反馈是将系统的每一个状态变量乘相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成的控制规律，作为被控系统的控制输入。
图是一个多输入多输出线性时不变系统状态反馈的基本结构：图 多输入-多输出系统的状态反馈结构图其中受控系统的状态空间表达式为：xAx Bu y Cx=+=&由图可知，加入状态反馈后，受控系统的输入为：u Fx v =+其中v 为参考输入，F 为状态反馈增益阵，因此可以得到状态反馈闭环系统的状态空间表达式：()x A BF x Bv y Cx=++=&闭环系统的传递函数矩阵：()()1s W s C sI A BF B -=-+⎡⎤⎣⎦由此可见，引入状态反馈后，通过F 的选择，可以改变闭环系统的特征值，是系统获得所要求的性能。
极点配置方法的选择对于一个线性时不变系统进行状态反馈极点配置，一般有四种方法： （1） 传统方法—将系统转化为一个或多个单输入单输出系统。
（2） 直接法—使用稳定的酉矩阵，将这种系统转化为标准型。
（3） 矩阵方程法—对矩阵F ，直接解方程AX X BG -Λ=FX G =（4） 特征向量法—先找到特征向量x j （等式中矩阵X 的列向量），然后利用等式求解F 。
方法（1）一般难以应用或者数值不稳定。
方法（3）需要解方程，并且对于系统矩阵A 的特征值不能再分配。
最有效并且数值稳定的方法是方法（2）和方法（4）。
其中方法（4）通过使用一系列的迭代算法找到最优解，所以比较复杂。
对于方法（2），当系统的输入多于一个信号输入时，不能确定系统的鲁棒性。
本文结合以上方法提出了一种新的设计方法：首先通过酉变换将状态方程化为一种控制规范形，然后利用最小二乘法解方程的得到最佳的状态反馈矩阵。
状态方程的规范形将线性时不变多变量完全能控系统记为：x Ax Bu =+&其中x 和u 分别是n 维和m 维的实向量，A 和B 是合适阶次的恒定实矩阵。
极点配置是要求找到一个实反馈矩阵F ，使闭环系统矩阵A+BF 的特征值等于L ={λ1,…,λn }，L 是一个复共轭的集合。
已知如果方程定义的系统是完全能控的，就可以进行极点配置。
极点配置问题转化为寻找矩阵X 和G ，使等式中的矩阵Λ满足ρ(Λ)=L 。
如果X 是可逆的，根据方程求解F 。
方程可以转化为等价的形式：T T T T T P AP P XQ P XQ Q Q P B GQ ⋅-⋅Λ=⋅其中P 和Q 是正交矩阵，(?)T 表示转置，使用正交矩阵可以保证方程的数值稳定性不变。
选择P 使(A ，B)可以转换为：()11121,11,21,11,,1,2,1,00000T T k k k k k k k k k k k kk A A P AP P B A A A A A A A A B ------⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L M O O O M M M O O O M L L此外，非对角线上的块A i,i+1选择满秩的下三角型：(),10000*00*****0i i A +⨯⎛⎫⎪⨯ ⎪ ⎪⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⎝⎭L L L OO O M MOO O O MMO O O O O O M M O O O O O M LL假定方程表示的系统为完全能控型，×表示非零的数，∗表示任意值。
对于任意给定矩阵Λ，找到Q 使它转化成Schur 型，在上三角矩阵Q T ΛQ 的对角线上存在2*2的块，表示L 的特征值中复共轭的部分。
如果L 中所有的特征值都是实数，Q T ΛQ 将是严格的上三角矩阵，而且特征值λi 都在对角线上。
因此如果期望的特征值全为实数，那么Λ是实Schur 矩阵，就不需要寻找矩阵Q 。
已知在方程中的T X P X =和G ，特征向量矩阵X 可以从下面式子得到：X PX =F 可以由得到，或者：FPX G =实数极点的配置对于方程，如果假设矩阵A 和B 已经转换成为标准形式，并且期望的闭环特征值全为实数，即Λ是实Schur 矩阵。
需要寻找非奇异矩阵X ，使方程满足矩阵G 。
假设X 的形式如下：100*1*1****1X ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L O O O M M O O MM O O O O M M O O O M LL显然矩阵X 满秩，而且满足下三角是标准的最小化。
假设所有的特征值λi 都是实数，将第j 列的X 、Λ、G 表示为：01,,0j j j j z g x λ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ M j1:j2表示矩阵M 的第j 1到j 2列，M j 表示M 的第j 列。
利用可以证明，存在矩阵X 满足等式。
j 为不同值时，等式可以表示为不同形式： 当1j =时：()()1112:11nx A B A g λλ⎛⎫⎡⎤-=- ⎪⎣⎦⎝⎭当1j n <<时：()()1:112:j j j j nj j z X A B x A g λλ-⎛⎫⎪⎡⎤-=- ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭当j n =时：[]()1:1n n n n n z X B A g λ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭等式左端的矩阵M(j)，是()1n n m ⨯+-维。
如果矩阵M(j)是行满秩的，方程有解，因此矩阵是右可逆的。
如果精确的选择矩阵A 、B 、X ，可以实现矩阵M(j)是行满秩阶梯矩阵。
对于给定闭环期望特征值{}j λ，X 的列X j 按照1,,j n =⋯的顺序递推得到。
方程可以用常规的最小二乘法得到。
最后结果z j 、x j 、g j 是最小的2-范数或者最小的F-范数。
在方程、和中正交矩阵P 的范数将不影响最小范数。
以上算法证明了，对于完全能控系统，任意给定的一组实数闭环特征值L ，都可以进行极点配置。
混合极点的配置假定矩阵A 和B 已经化为阶梯控制型标准型。
当闭环的期望特征值中包含共轭复数时，将矩阵Λ化为Schur 型，共轭的闭环特征值在对角线上是2*2的块，其余的实数闭环特征值在对角线上。
假设特征值j λ和1j j λλ+=是一组共轭复极点，复共轭部分可以表示为2*2的块：jj j jj a b b a -⎛⎫Λ=⎪⎝⎭假设：1:100j j j j j j j j z z a b b a ++⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭对于方程中第j 和j+1列，当11j n <<-时：():1:1:11:11,j j j j j j j j j j AX X BG X z z +++-+-Λ=+使用Kronecker 乘积⊗，将等式和等式带入中得到：()()(),1,1,1M j j v j j r j j ++=+矩阵()()1:1222,1,,j M j j X I M B I -+=⊗⊗是()()2223n n m ⨯+-维的。
并且2n 维向量()1,1r j j M +=，其中：当1j =和1j n =-，容易得到和相似的等式，等式中矩阵和向量中不重要的部分省略。
在等式中,矩阵(),1M j j +也是行满秩形式。
等式可以被递推得到，对于j 的增加值，并且可以得到最小范数解。
以上算法证明了，对于完全能控系统，任意给定的一组混合闭环特征值L ，都可以进行极点配置。
镇定不可控系统的极点配置为了保证当等式表示的矩阵是不能控系统时，以上计算方法仍然成立，使用不可控再分配。
对于镇定的不可控系统，其所有的不可控的部分都是稳定，镇定部分不需要进行极点配置。
因此，镇定的不可控系统可以将等式可以记做：()112122200T TA P AP PB AA B ⎛⎫= ⎪⎝⎭这种阶梯标准型本质上将系统矩阵A 和B 分为两部分：A 22是能控的部分，A 11是不能控的部分，A 21是耦合的部分。
()12,F F F =矩阵为反馈矩阵，那么闭环系统矩阵将是下面的表示形式：11212122220A AB F A B F ⎛⎫ ⎪⎪++⎝⎭因此任何反馈将不影响不能控部分的值。
此外，由A 22和B 2组成的系统是能控的。
假设矩阵A 和B 已经化为等式中的形式，同时假设等式中的矩阵X 和Λ形式为：11112122212200,XX X X Λ⎛⎫⎛⎫=Λ= ⎪ ⎪ΛΛ⎝⎭⎝⎭那么等式可以被分成三部分，第四个等式简化为0=0。
111111110A X X -Λ=()11222222220A B F X X +-Λ=()()()2121222121112221212111T X A B F X X X A B F X +-Λ=Λ-+@等式表示不可控子系统，并且只要矩阵Λ11的余项等于不可控矩阵A 11的余项，就容易选择矩阵X 11。
其中最简单的方法是用X 11Λ11X 11-1作为A 11的Schur 分解。
等式表示能控子系统的极点配置问题，此时的子系统的状态反馈极点配置的方法与能控系统极点配置的方法相同，因此可以容易确定矩阵X 22和Λ22，最后得出反馈矩阵F 2。
对于任何一个任意矩阵F 1和Λ21，可以选择满足等式的矩阵X 21去修改不可控模型的特征向量。
如果Λ11和Λ22的余项有交集，那么等式左侧的T 变换是可逆的。
在这种情况下，矩阵Λ21可以由下面等式得出：()1212221212111X T X A B F X -=Λ-+⎡⎤⎣⎦如果T 变换是不可逆的，对于期望的矩阵Λ21，当X 22是非奇异的时候，等式右端是T 变换的一种方式。
除此之外，可以使用Kronecker 乘积扩张等式，并且在最小的误差范围里计算出这个线性等式。
因此对于F 1和Λ21，最简单的是选择()(){}1212221211121X A B F X T X -Λ=++。
以上算法证明了，对于镇定的不能控系统，任意给定的一组闭环特征值L ，都可以进行极点配置。
但是对于不是镇定的系统，还需要进行近一步的研究。
小结本章中介绍了一种对于完全能控系统和镇定的不能控系统，任意给定的一组期望闭环特征值L ，进行极点配置的方法。
使用最小二乘法得到z j 、x j 、g j 。
其中z j 、x j 分别是三角矩阵Λ和X 的非对角线的部分，他们的最小化意味着对称性“比较好”，并且以此为条件对于矩阵X 和特征值问题包含在矩阵Λ中。
此外，方程表示为：1F X G -≤g当X 状态足够良好并且g j 最小时，不等式意味着反馈矩阵F 是合理的小，不等式的反馈上界最小。
等式的值将是数值稳定在良好状态下的矩阵X 。
本文中的方法明显依赖于L 中特征值的顺序。
通过特征值的不同的随机排列，可以选择简单的算法。