1、一个期限为1个月的无红利支付股票的欧式看跌期权现价...
厦门大学金融工程本科模拟试卷1
7、已知某种标的资产为股票的欧式看跌期权的执行价格为50美元，期 权到期日为3个月，股票目前的市场价格为49美元，预计股票会在1个月 后派发0.5美元的红利，连续复利的无风险年利率为10%，那么该看跌期 权的内在价值为：（ ） A．0.24美元 B．0.25美元 C．0.26美元 D．0.27美元
8、拥有无红利股票美式看涨期权多头的投资者有可能采取下列行动中 的哪些？（ ） A．一旦有钱可赚就立即执行期权 B．当股价跌到执行价格以下时，购买一补偿性的看跌期权 C．当期权处于深度实值时，该投资者可以立即出售期权 D．对于投资者而言，提前执行该期权可能是不明智的
3、假设无风险利率是常数r，股票价格满足，以该股票为标的的期货的 理论价格为F，假设股票不支付红利，试证明：。（15分）
参考答案： 1、 不定项选择题
1、BC 2、B 6、BD 7、C
3、ACD 8、判断题 1、错误 2、错误 6、正确 7、错误
3、正确 8、正确
率），其目前的市场价格为100元，已知市场无风险利率为5%（1年计 一次复利的年利率），那么基于该股票的一年期远期合约价格应该等 于：（ ） A．115元 B．105元 C．109.52元 D．以上答案都不正确
6、下列因素中，与股票欧式期权价格呈负相关的是：（ ） A．标的股票市场价格 B．期权执行价格 C．标的股票价格波动率 D．期权有效期内标的股票发放的红利
互换、期权习题
互换部分1.什么是互换?互换是约定两个或两个以上当事人按照商定条件，在约定的时间内，交换一系列现金流的合约。
2. 它是根据什么原理产生的?根据比较优势理论，只要满足以下两种条件，就可进行互换：①双方对对方的资产或负债均有需求；②双方在两种资产或负债上存在比较优势。
3. 什么是利率互换?利率互换（Interest Rate Swaps）是指双方同意在未来的一定期限内根据同种货币的同样的名义本金交换现金流，其中一方的现金流根据浮动利率计算出来，而另一方的现金流根据固定利率计算。
双方进行利率互换的主要原因是双方在固定利率和浮动利率市场上具有比较优势。
4. 什么是货币互换?货币互换（Currency Swaps）是将一种货币的本金和固定利息与另一货币的等价本金和固定利息进行交换。
货币互换的主要原因是双方在各自国家中的金融市场上具有比较优势5. 互换定价的方法主要有几种?两种，一种将互换分解成债券组合来定价，一种是将互换分解成远期组合来定价。
只要求掌握第一种方法.6. A公司和B公司如果要在金融市场上借入5年期本金为2000万美元的贷款，需支付的年利率分别为：固定利率浮动利率A公司12.0％LIBOR+0.1%B公司13.4％LIBOR+0.6% A公司需要的是浮动利率贷款，B公司需要的是固定利率贷款。
请设计一个利率互换，其中银行作为中介获得的报酬是0.1％的利差，而且要求互换对双方具有同样的吸引力。
7. X公司希望以固定利率借入美元，而Y公司希望以固定利率借入日元，而且本金用即期汇率计算价值很接近。
市场对这两个公司的报价如下：日元美元X公司 5.0％9.6%Y公司 6.5％10.0% 请设计一个货币互换，银行作为中介获得的报酬是50个基点，而且要求互换对双方具有同样的吸引力，汇率风险由银行承担。
8. X公司和Y公司的各自在市场上的10年期500万美元的投资可以获得的收益率为：固定利率浮动利率X公司8.0％LIBORY公司8.8％LIBOR X公司希望以固定利率进行投资，而Y公司希望以浮动利率进行投资。
期权价格的影响因素与曲线形状PPT(31张)
• 其中c和p表示欧式看涨和看跌期权的价值；C和P 则表示美式看涨和看跌期权价值
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一、期权价格的上限
（一）看涨期权价格的上限
cS，CS
（二）看跌期权价格的上限
p X ，P X
（7.1） （7.2）
11
二、期权价格的下限
欧式看涨期权价格的下限 • 假设
c=3 T –t = 1 X = 18
S = 22 D=0
• 是否存在套利机会？
12
• 无红利支付时资产欧式看涨期权价格下限为：
cma S xK[reT ,0]
• 其更为严格的下限为
变量 标的资产市场价格
期权执行价格 有效期
标的资产价格波动率 无风险利率 红利
看涨
＋ － ＋ ＋ ＋ －
看跌
－ ＋ ＋ ＋ － ＋
注：＋表示正向影响，－表示反向影响
8
以下因素中，对股票期权价格影响最小的是 （）
A. 无风险利率 B. 股票的波动率 C. 到期日 D. 股票的当前价格
9
§9.2 期权价格的上下限
• 没有波动率，则期权就是多余的 • 波动率对期权价格的影响，是通过对时间价值的
影响而实现的。波动率越大，则在期权到期时， 标的资产市场价格涨跌达到实值期权的可能性也 就越大
5
四、无风险利率
• 影响期权价格的另一个重要因素是无风险利率，尤其是 短期无风险利率。
• 如果无风险利率较高，则标的资产的预期收益率也应较 高，这意味着对应于标的资产现在特定的市价（S），未 来预期价格较高
金融市场学课后答案
第三章习题：1．X股票目前的市价为每股20元，你卖空1 000股该股票。
请问：（1）你的最大可能损失是多少？（2）如果你同时向经纪人发出了停止损失买入委托，指定价格为22元，那么你的最大可能损失又是多少？2．下表是纽约证交所某专家的限价委托簿：（1）如果此时有一市价委托，要求买入200股，请问按什么价格成交？（2）下一个市价买进委托将按什么价格成交？（3）如果你是专家，你会增加或减少该股票的存货？3．假设A公司股票目前的市价为每股20元。
你用15 000元自有资金加上从经纪人借入的5000元保证金贷款买了1000股A股票。
贷款年利率为6%。
（1）如果A股票价格立即变为①22元，②20元，③18元，你在经纪人账户上的净值会变动多少百分比？（2）如果维持保证金比率为25%，A股票价格可以跌到多少你才会收到追缴保证金通知？（3）如果你在购买时只用了10 000元自有资金，那么第（2）题的答案会有何变化？（4）假设该公司未支付现金红利。
一年以后，若A股票价格变为：①22元，②20元，③18元，你的投资收益率是多少？你的投资收益率与该股票股价变动的百分比有何关系？4．假设B公司股票目前市价为每股20元，你在你的经纪人保证金账户中存入15000元并卖空1000股该股票。
你的保证金账户上的资金不生息。
（1）如果该股票不付现金红利，则当一年后该股票价格变为22元、20元和18元时，你的投资收益率是多少？（2）如果维持保证金比率为25%，当该股票价格升到什么价位时你会收到追缴保证金通知？（3）若该公司在一年内每股支付了0.5元现金红利，（1）和（2）题的答案会有什么变化？5．下表是2002年7月5日某时刻上海证券交易所厦门建发的委托情况：成交，成交价多少？（2）此时你输入一笔限价买进委托，要求按13.24元买进10000股，请问能成交多少股，成交价多少？未成交部分怎么办？6．3月1日，你按每股16元的价格卖空1000股Z股票。
金融工程练习题二 (答案)
金融工程练习题二一、计算题1.设一份标的证券为一年期贴现债券、剩余期限为6个月的远期合约多头，其交割价格为$930，6个月期的无风险年利率（连续复利）为6%，该债券的现价为$910，求远期合约多头的价值。
解: 由题意有910S =, 930K = , 0.06r = , 0.5T t -=,所以远期合约多头价值为 ()(0.060.5)9109307.49r T t f S Ke e ---⨯=-=-⨯≈2.假设6个月期和12个月期的无风险年利率分别为5%和6%，而一种十年期债券现货价格为800元，该证券一年期远期合约的交割价格为900元，该债券在6个月和12个月后都将收到$50的利息，且第二次付息日在远期合约交割日之前，求该合约的价值。
解: 收益的现金贴现 (0.050.5)(0.065050I e e -⨯-⨯=+远期合约的价值 0.061(800)900f I e -⨯=-- PS:构建两个组合,组合A:(一单位的远期合约多头,加上现金贴现值为()r T t Xe --),组合B:(一单位的标的资产,和刚好与利息现金流相反的负债I),在到期时间T 的时候,组合A 的价值刚好为购买一单位的标的资产,组合B 的价值为一单位的标的资产,产生的利息刚好用于负债的偿还,那么在时间t 的时候,两个组合的价值也应该相等,即合约的价值加上现金应该等于资产的价值加上负债.3.股票价格为50美元，无风险年利率为10%，一个基于这个股票、执行价格都为40美元的欧式看涨和欧式看跌期权价格相差7美元，都将于6个月后到期。
这其中是否存在套利机会？如果有，应该如何进行套利？解:根据无收益资产欧式看涨期权和看跌期权之间的平价公式()r T t c Xe p S --+=+, 代入数据进行计算可以得到()0.10.05504010.1997r T t c p S Xe e ---⨯-=-=-=>, 所以题目不满足平价公式,其中存在了套利机会.套利的方法:卖出股票,同时买入看涨期权和卖出看跌期权(使得参与者到期只能按执行价格买入),利用所得的现金收益进行无风险投资买入看涨期权,卖空看跌期权,将净现金收入43元(50元-7元)进行6个月的无风险投资,到期获得45.2元.如果到期时股票价格高于40元,执行看涨期权,如果低于40元,看跌期权被执行,因此无论如何到期时股票价格都以40元购买股票用于平仓卖空的股票,净收益5.2元.PS:当看涨期权和看跌期权之间不满足期权 的平价公式的时候,市场就存在无风险的套利机会4.假设一份5年期附息票债券，价格为900元。
金融工程课后题11习题解答gongxun(Lite)
11.1 阐述Black-Scholes 股票期权定价模型中对于一年中股票价格概率分布的假设条件。
Black-Scholes 股票期权定价模型假定一年中股票价格概率分布服从正态分布，同样，它假设股票的连续回报率也是服从正态分布的。
11.2 若一股票价格的波动率为每年30%，则在一个交易日内其相应的价格变化的标准差为多少？在本题中σ=0.3，假设一年中有252个交易日，则 12520.004t ==因此0.019 1.9%or ==11.3 阐述风险中性定价原理。
一个期权或者其他金融衍生品都是通过风险中性定价原理来定价的，期权因此在风险中性下和在真实下有一样的价值。
因此我们为了估价期权而假设这个世界是风险中性的，这简化了分析。
在风险中性情况下，所有证券都期望得到无风险利率的回报率。
因此在一个风险中性世界，用于预计远期现金流的最合适的贴现率是无风险利率。
11.4 计算基于无红利支付股票的欧式看跌期权价格，其中执行价格为＄50，现价为＄50，有效期3个月期，无风险年收益率为10%，波动率为每年30%。
在本题中050,50,0.1,0.3,0.25S X r T σ=====10.2417d ==210.0917d d =-=欧式看跌期权价格是0.10.250.10.2550(0.0.0917)50(0.2417)500.4634500.4045 2.37N e N e -⨯-⨯---=⨯-⨯=11.5 若在两个月后预期支付的红利为＄1.50，则习题11.4中计算会有何变化？在本题中我们在使用BS 公式前必须从股票价格中减去红利的贴现值，因此0S 应该是0.16670.1050 1.5048.52S e-⨯=-= 其他变量不变50,0.1,0.3,0.25X r T σ==== 在本题中10.0414d ==210.1086d d =-=-欧式看跌期权价格是0.10.250.10.2550(0.1086)48.52(0.0414)500.543248.520.4045 3.03N e N e -⨯-⨯---=⨯-⨯=11.6 什么是隐含波动率？如何计算？隐含波动率是使一个期权的Black-Scholes 价格等于它的市场价格的波动率，它用互换程序计算。
美式看涨——看跌期权在支付红利情况下的价差估计式
从定理 ２ 可以看出美式看涨和看跌期权价差的区间长 度为 Ｓ Ｋ ）（— ）Ｋ １ｅ（’ 对于合理的敲定价格 Ｋ 广 ｅ【 一Ｓ Ｋ ＝ （一 ） ｎ Ｈ， 、 无风险利率ｒ 到期日 美式看涨和 和 看跌期权的 价差非常
收 稿 日期 ：０ ８ ０ — ６ ２０ －３ ２
基金项 目： 红河学院硕博启动项 目（Ｓ ００ １ Ｘ Ｓ７０１ 作者简 介： 张德 ￣（９ ０ ）男， １８ 一 ， 云南楚雄人 ， 助教 ， 硕士研 究生， 从事金融数学方面研 究。
ｓ Ｋ １ ， 么必 然 存在 套 利机 会 。 ｅ（ 那 一 ｒ
关键词 ： 美式期权 ； 无套利定价原理 ； 红利 ； 资组合 ； 投 估计式 中图分类 号： ８０９ 文献标志码 ： 文章编号 ：６３ ２ １ ２ ０ ）１ ０ ８ — ２ Ｆ ３ ．１ Ａ １７ — ９ Ｘ（０ ８ ０ 卜 ０ ５ ０
在标的资产不支付红利的情况下欧式看涨一看跌期权二美式看涨看跌期权在支付红利情况下的平价公式得到广泛的应用看跌只要知道欧式看涨期权的价差估计式价格根据平价公式就可以得出看跌涨期权的价格但对于美式期只权而言能得到它们的估计范围
２０ ０ ８年第 １ 期 １ 总第 ３ Ｏ期
经济研究导刊
Ｅ ＣＯＮＯＭＩ ＥＳ ＡＲＣＨ ＵＩ ＣＲ Ｅ Ｇ ＤＥ
（ ） ２ 。
定理２ Ｃ 和 分别 标的 不支 喏 ＾ Ｉ 是在 资产 付红利 情况下 的美式看涨和看跌期权， 则
Ｓ Ｋ Ｃ —ｌ Ｓ Ｋ ≤ｔ ， ， ￣ ｔ Ｐ ≤ 广 ｅ（ －＜ ≤Ｉ ） （ ３ ）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
、
在 支付 红 利情 况 下 的 欧式 看涨一 看 跌 期 权
平价公 式
日之 前 的 任 何 时 刻 实 施 ， 以讨 论 美 式期 权 在 分 红 情 况 下 的 平 价 关 系尤 为 复 杂 并 且 具 有很 强 的 应 用 价值 。 扩 展 了 所
2013-2014第二学期数理金融期末试卷
13—14学年第二学期《数理金融学》期末考试试题（A ）注意事项：1。
适用班级：11数学与应用数学本1。
本2，2013数学（升本)2。
本试卷共1页。
满分100分。
3.考试时间120分钟。
4.考试方式:闭卷一、选择题（每小题3分,共15分）1．某证券组合由X 、Y 、Z 三种证券组成,它们的预期收益率分别为10％、16%、20％ 它们在组合中的比例分别为30%、30％、40％，则该证券组合的预期收益率为______ A 15。
3％ B 15。
8％ C 14。
7％ D 15.0%2．无风险收益率和市场期望收益率分别是0。
06和0。
12。
根据CAPM 模型，贝塔值为1。
2的证券X 的期望收益率为A 0。
06B 0。
144C 0.12D 0。
1323．无风险收益率为0。
07,市场期望收益率为 0.15。
证券X 的预期收益率为 0。
12，贝塔值为1.3.那么你应该A 买入X ，因为它被高估了；B 卖空X ，因为它被高估了C 卖空X ，因为它被低估了;D 买入X ，因为它被低估了 4.一个看跌期权在下面哪种情况下不会被执行? A 执行价格比股票价格高；B 执行价格比股票价格低C 执行价格与股票价格相等；D 看跌期权的价格高于看涨期权的价格5。
假定IBM 公司的股价是每股95美元。
一张IBM 公司4月份看涨期权的执行价格为100美元，期权价格为5美元.忽略委托佣金,看涨期权的持有者将获得一笔利润，如果股价 A 涨到104美元B 跌到90美元C 涨到107美元D 跌到 96美元 二、填空题（每小题3分，共15分） 1。
风险厌恶型投资者的效用函数为2。
设一投资者的效用函数为,则其绝对风险厌恶函数 3.均值-方差投资组合选择模型是由提出的.4。
可以在到期日前任何一天行使的期权称之为5。
考察下列两项投资选择：(1）风险资产组合40%的概率获得 15%的收益,60％的概率获得5％的收益;(2)银行存款收益率为6%；则风险投资的风险溢价是 三、分析题（每小题15分，共30分）1。
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1、一个期限为1个月的无红利支付股票的欧式看跌期权现价为2.5美元，股票价格为47美元，执行价格为50美元，无风险年利率为6%。
对套利者而言存在什么样的机会？答案：对于无红利支付股票的欧式看跌期权，其价值应该满足：()()max()r T t r T t Xe S P Xe -----<<由于：()0.06/125047 2.75r T t Xe S e ----=-= >2.5=P,故这里欧式看跌期权的价值被低估，我们可以构造如下策略获得套利：期初从银行借入$49.5，期限一个月，买入一份欧式看跌期权和一股股票。
在期权到期时：如果50T S >=，不执行期权，在现货市场卖出股票，获利T S ，还清银行借款：$49.75(=0.06/1247e )，最后净收益为：25.0$75.495075.49=->-T S ;如果50T S <,执行看跌期权，卖出股票，获利$50, 还清银行借款：$49.75，净收益为$0.25。
2、一个期限为4个月的无红利支付股票的欧式看涨期权现价为5美元，股票价格为64美元，执行价格为60美元，1个月后发红利0.8美元，对所有期限的无风险年利率为12%.对套利者而言存在什么样的机会？答案：对于有红利支付股票的欧式看涨期权，其价值应该满足：()max()r T t S D Xe C S ----<<其中D 为期权有效期内股票支付红利的现值，由于：()0.12/120.12/3640.860 5.56r T t S D Xe e e ------=--= >$5=C,故这里欧式看涨期权的价值被低估，我们可以构造如下策略获得套利：期初卖空一股股票，获益$64，将所得收入的$0.79(0.12/120.8e -=)存入银行一个月，用于补偿原股票持有人的红利收入，将$5用于购买一份欧式看涨期权，剩余收益($58.21)存入银行4个月。
在期权到期时：如果60T S >，执行看涨期权，取出存款，用$60买入一股股票，还清股票，净收益为： 0.12/358.2160$0.59e -=;如果60T S <=,不执行期权，取出存款，在现货市场上买入一股股票，成本为T S ,还清股票，，净收益为0.12/30.12/358.2158.2160$0.59T e S e ->-=。
3.假设你是一家杠杆比例很高的公司的经理及唯一的所有者。
所有的债务一年后到期。
如果那时公司的价值高于债务的面值，你就可以偿还债务。
如果公司的价值小于债务的面值，你就必须宣布破产，让债务人拥有公司。
a ）将公司价值作为期权的标的物，描述你的头寸状况。
b ）按照以公司价值为标的物的期权的形式，描述债务人的头寸状况。
c ）你应当如何做来提高你头寸的价值。
答案： 设公司价值为t S (0<=t<=T, 0为当前时刻，T 为债务到期日)，债务面值为D 。
a) 在债务到期时，如果公司价值大于D ，则还清债务后，经理拥有价值为：T S D -,否则如果公司价值小于D ，则债务人拥有公司，经理将一无所有，故经理价值为0。
综上，经理人的价值可以表示如下：,0T T TS D S D S D ->⎧⎨≤⎩ 即max(T S D -,0)，即可以看做拥有欧式看涨期权的多头。
b) 在债务到期时，如果公司价值大于D ，则债务人可以得到D ，否则如果公司价值小于D ，则债务人拥有公司，价值为T S 。
综上，债务人的价值可以表示如下：,T T T D S D S S D>⎧⎨≤⎩ 即min(,)T S D ,也可以表示成：min(,)max(,)max(,)[max(,)]max(0,)T T T T T T T T T T S D S D S S S D S S S D S S D =---=----=-+--=--即公司价值多头与以公司价值为标的的看涨期权空头。
可以理解为，债务人在初始时刻以借出的金额购买了公司，同时卖出一个看涨期权给经理人，如果经理人经营得好，使公司价值高于债务价值，支付债务（执行价）后，经理人就可以拿回公司。
也可以理解为抵押债务,经理人以公司价值作为抵押物,到期资不抵债时债务人将拿走抵押物.c ）因此，经理人应该努力提高公司价值，以提高自己的收益。
4、 对一个欧式看涨期权，若有L 在到期日T 时满足,T S L X L ≥≥，则有rT C S Le -≤-对一个欧式看跌期权，若有U 在到期日T 时满足,T S U X U ≤≤，则有答案：分析：这里有两种解决方案，一种是构造两个策略，直接证明不等关系，类似期权上下限的证明； 另外一种方法是反证法，如果这种关系不成立，看是否存在套利机会，如果存在套利，说明在不存在套利机会的情况下，不等式成立。
为了给大家介绍这两种方法，第一个等式我们采取第一种方方法，第二个等式采取第二种方法。
证明：不等式一、（可等价为：rT C Le S -+≤）组合A ： 一份欧式看涨期权多头＋rT Le -的现金组合B ：一单位标的资产则在到期日：组合A 的价值为：max(,0)max(,)T T S X L S L X L -+=+-由于，X,L ≤且T S ,L ≤故T T T S L X S ,L S +-≤≤ 因此A T V (T)max(,0)S T S X L =-+≤而B T V ()S T =故A B V ()V ()T T ≤因此，由无套利定价原理，A B V (0)V (0)≤，即,rT rT C Le S C S Le --+≤≤-即：不等式二、假设不等式不成立，即rT P Ue S ->-,等价地，rT P S Ue -+>这时是看跌期权价值高估，我们卖出看跌期权应该有套利机会，因此构造套利策略如下：卖出一份看跌期权，卖空一单位股票，将所得收入(P S +)存入银行。
在期权到期时：如果T S X ≥,期权多头不会执行期权，因此我们需要从市场上以T S 的价格买入股SUe p rT -≤-票，还给持有人，成本为T S ，同时存款的现金收益为()rT rT rT P S e Ue e -+>,故净收益为(),()0rT rT rT rT T T T P S e S Ue e S P S e S -+->-+->故，； 如果T S X <,期权多头会执行期权，因此我们以X 买入股票，还给持有人，成本为X ，同时存款的现金收益为()rT rT rT P S e Ue e -+>,故净收益为(),()r T r T r T r T P S e X U e e X P S e X -+->-+->故，； 因此，此时存在套利机会。
故在不存在套利机会的情况下，原不等式必须成立。
5. 证明：两种除执行价格外，其他条件相同的欧式看涨期权（或欧式看跌期权）的价格差的绝对值不会超过它们执行价格的差异现值的绝对值。
1221|||()|rT c c X X e --≤-答案：证明方法与第四题类似，为去掉绝对值，不妨设12X X >,则根据看涨期权价值与执行价格间的关系，12C C <,此时需要证明的关系为：2112()rT C C X X e --≤-等价于：2211rT rT C X e C X e --+≤+因此我们只需做出下面的两个组合：组合A ：一份执行价为2X 的欧式看涨期权多头＋2rT X e -的现金 组合B ：一份执行价为1X 的欧式看涨期权多头＋1rT X e -的现金 只要能证明(0)(0)A B V V ≤即可，其中(),()A B V t V t 分别表示组合A 、组合B 在t 时刻的价值，t ＝0表示当前，t ＝T 表示期权到期日。
首先看在到期日：组合A 的价值为：222()max(,0)max(,)A T T V T S X X S X =-+= 组合B 的价值为：111()max(,0)max(,)B T T V T S X X S X =-+=由于12X X >,故21max(,)max(,)T T S X S X ≤，即()()A B V T V T ≤（当1T S X ≥时，()()A B TV T V T S ==，当1T S X <时，()()A B V T V T <）。
故由无套利原理，(0)(0)A B V V ≤。
即：2211rT rT C X e C X e --+≤+。
当12X X <时，类似可得。
6. 证明有收益资产的美式期权的平价关系：S-D-X =< C-P =< S-Xe-rT证明：得证。
因此，故：，则红利累积值记为时刻前的，且时刻设为支付时刻看涨期权，必然在红利若提前执行，对于美式若不提前执行：提前执行两种情况，同理考虑不提前执行和一个标的资产个欧式看跌期权多头：组合现金个美式看涨期权多头：组合：和类似地，构造组合，即证：其次证明，即：的价值，故：未来的价值均大于组和因此任何情况下，组合故：此时：时刻的折现值，则期间的红利在示表，为时刻前的红利累积值记时刻执行，必然如在组合的期权提前执行，若故累计值；是有效期内股票红利的其中：在到期日组合期权不提前执行，若的现金一个欧式看涨期权多头：组合一个美式看跌期权多头：一份标的资产组合，构建两个组合即证：首先证明；)0(V )0()(V )()()(V t ,X ,t ,)(V ),max()0,max()(),max()0,max()(V 1D 1C D C )0(V )0(V A B )(V )(V )()()()(V ,t ],[t ,X t A )(V )(V ),max()0,X max()()(V ),max()0,max()(V T A X D B A BA C C )(C C C AB A B A A B B A >>>++=<+-=<>+=-++==+-=+++≤+-≤-++≤++<+>>+>+≥++=+=-++=≤>>+>-++=+=-++=+++++≤+-≤-------D D tt t D tt T r t t rT T T rT T D T T rT rT rT rt rt t B t t rt t t rTT T rT rT rTT T rT T V t t V S a S p t V S Xe X S t a S T De X S S X De S T V X S X X S T Xe SP Xe C Xe S P C XD C X D c P S t t aX e D X e D X c t V aX S X a S t De a T t D a S T T De S X S e D X T De De S X S X De S T XD C P S PC XD S。