2017年广东省省际名校高考数学模拟试卷(文科)(1)

2017年广东省省际名校高考数学模拟试卷（文科）（1）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）集合A={1，3，5，7}，B={x|x2﹣4x≤0}，则A∩B=（）A．（1，3） B．{1，3}C．（5，7） D．{5，7}2．（5分）已知z=（i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部为（）A．﹣i B．i C．﹣1 D．13．（5分）王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分条件D．必要条件4．（5分）几何体三视图如图所示，则几何体的体积为（）A．32 B．16 C．8 D．85．（5分）根据此程序框图输出S的值为，则判断框内应填入的是（）A．i≤8？B．i≤6？C．i≥8？D．i≥6？6．（5分）已知α，β为平面，a，b，c为直线，下列命题正确的是（）A．a⊂α，若b∥a，则b∥αB．α⊥β，α∩β=c，b⊥c，则b⊥βC．a⊥b，b⊥c，则a∥cD．a∩b=A，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β7．（5分）已知角α终边上一点P（﹣3，4），则cos（﹣π﹣α）的值为（）A．﹣ B．C．D．﹣8．（5分）在△ABC中，D为BC边上一点，且满足=（+），BC=10，AD=12，且•=0，则•=（）A．144 B．100 C．169 D．609．（5分）直线ax﹣y﹣a+3=0将x，y满足的不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分，则z=4x﹣ay的最大值是（）A．﹣8 B．2 C．4 D．810．（5分）已知函数f（x）=（e x﹣e﹣x）x，f（log 5x）+f（log x）≤2f（1），则x的取值范围是（）A．[，1]B．[1，5]C．[，5]D．（﹣∞，]∪[5，+∞）11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若在双曲线上存在点P使△OPF2是以O为顶点的等腰三角形，又|PF1|+|PF2|=2，其中c为双曲线的半焦距，则双曲线的离心率为（）A．B．+1 C．D．﹣112．（5分）若函数f（x）满足f（x）=x（f′（x）﹣lnx），且f（）=，则ef（e x）＜f′（）+1的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，+∞）C．（0，）D．（，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）圆（x+1）2+y2=1的圆心是抛物线y2=px（p＜0）的焦点，则p=．14．（5分）函数f（x）=sin（﹣2x）+cos2x的单调增区间为．15．（5分）定义：若存在实数x1∈[﹣2，﹣1]，x2∈[a，32]使2=log2x2成立，则称a为指对实数，那么在a∈[﹣20，20]上成为指对实数的概率是．16．（5分）已知△ABC中，BC=2，AC=2AB，则△ABC面积的最大值为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）若等差数列{a n}的前n项和S n满足S10=100，数列a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…，a n﹣a n﹣1的前5项和为9．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}的前n项和为T n，b n=，求证：T n＜．18．（12分）随着网络的发展，人们可以在网路上购物、玩游戏、聊天、导航等，所以人们对上网流量的需求越来越大．某电信运营商推出一款新的“流量包”套餐，为了调查不同年龄的人是否愿意选择此款“流量包”套餐，随机抽取50个用户按年龄分组进行访谈，统计结果如下表：（1）若在第2、3、4组愿意选择此款“流量包”套餐的人中，用分层抽样的方法抽取15人，则各组应分别抽取多少人？（2）若从第5组的被调查访谈人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人愿意选择此款“流量包”套餐的概率．（3）按以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断以50岁为分界点，能否在犯错误不超过1%的前提下认为是否愿意选择此款“流量包”套餐与人的年龄有关；参考公式K2=，其中n=a+b+c+d．19．（12分）如图，五面体ABCDE，四边形ABDE是矩形，△ABC是正三角形，AB=1，AE=2，F是线段BC上一点，直线BC与平面ABD所成角为30°，CE∥平面ADF．（1）试确定F的位置．（2）求三棱锥A﹣CDF的体积．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0），F1，F2为它的左、右焦点，P为椭圆上一点，已知∠F1PF2=60°，S=，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆方程；（2）已知T（﹣4，0），过T的直线与椭圆交于M、N两点，求△MNF1面积的最大值．21．（12分）已知f（x）=lnx+．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）若对任意x＞0，均有x（2lna﹣lnx）≤a恒成立，求正数a的取值范围．四、选修4-4：坐标系与参数方程选讲（共1小题，满分10分）22．（10分）已知在极坐标系中曲线C是以点（1，）为圆心，以1为半径的圆，以极点为坐标系原点O，极轴为x轴的非负半轴，且单位长度相同建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）写出l的普通方程及曲线C的极坐标方程；（2）判断l与C是否相交，若相交，设交点为P，Q两点，求线段PQ的长，若不相交，说明理由．五、选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分10分）23．（10分）f（x）=，g（x）=|x﹣1|．（1）求不等式|f（x）﹣1|＜2的解集；（2）当|a+b|﹣|a﹣b|＞2|b|[f（x）﹣g（x）]（b≠0，a，b∈R）的解集非空，求x的取值范围．2017年广东省省际名校高考数学模拟试卷（文科）（1）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2017•广东模拟）集合A={1，3，5，7}，B={x|x2﹣4x≤0}，则A∩B=（）A．（1，3） B．{1，3}C．（5，7） D．{5，7}【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x|x2﹣4x≤0}={x|0≤x≤4}，则A∩B={1，3}．故选：B．2．（5分）（2017•广东模拟）已知z=（i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部为（）A．﹣i B．i C．﹣1 D．1【解答】解：∵z==，∴，则z的共轭复数的虚部为1．故选：D．3．（5分）（2017•广东模拟）王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分条件D．必要条件【解答】解：“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件，故选：D4．（5分）（2017•广东模拟）几何体三视图如图所示，则几何体的体积为（）A．32 B．16 C．8 D．8【解答】解：由三视图得，该几何体为一个三棱柱切去一个同底同高的三棱锥所得的组合体，它们的底面面积S=×4×4=8，高h=3，故组合体的体积V=Sh﹣Sh=Sh=16，故选：B．5．（5分）（2017•广东模拟）根据此程序框图输出S的值为，则判断框内应填入的是（）A．i≤8？B．i≤6？C．i≥8？D．i≥6？【解答】解：模拟程序的运行，可得i=2，S=0满足条件，执行循环体，S=，i=4满足条件，执行循环体，S=+，i=6满足条件，执行循环体，S=++=，i=8由题意，此时，应该不满足条件，退出循环，输出S的值为．结合选项，可得判断框内应填入的是：i≤6．故选：B．6．（5分）（2017•广东模拟）已知α，β为平面，a，b，c为直线，下列命题正确的是（）A．a⊂α，若b∥a，则b∥αB．α⊥β，α∩β=c，b⊥c，则b⊥βC．a⊥b，b⊥c，则a∥cD．a∩b=A，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β【解答】解：由α，β为平面，a，b，c为直线，知：在A中，a⊂α，若b∥a，则b与α平行或异面，故A错误；在B中，α⊥β，α∩β=c，b⊥c，则b与β相交、平行或b⊂β，故B错误；在C中，a⊥b，b⊥c，则a与c相交、平行或异面，故C错误；在D中，a∩b=A，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故D正确．故选：D．7．（5分）（2017•广东模拟）已知角α终边上一点P（﹣3，4），则cos（﹣π﹣α）的值为（）A．﹣ B．C．D．﹣【解答】解：∵角α终边上一点P（﹣3，4），∴cosα==﹣，则cos（﹣π﹣α）=cos（π﹣α）=﹣cosα=，故选：C．8．（5分）（2017•广东模拟）在△ABC中，D为BC边上一点，且满足=（+），BC=10，AD=12，且•=0，则•=（）A．144 B．100 C．169 D．60【解答】解：D为BC边上一点，且满足=（+），∴D为BC的中点，∵•=0，∴⊥，∴AB=AC，∵BC=10，AD=12，∴AC==13，∴cos∠DAC=，∴•=||•||•cos∠DAC=13×12×=144，故选：A9．（5分）（2017•广东模拟）直线ax﹣y﹣a+3=0将x，y满足的不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分，则z=4x﹣ay的最大值是（）A．﹣8 B．2 C．4 D．8【解答】解：由直线ax﹣y﹣a+3=0得a（x﹣1）+（3﹣y）=0，即直线恒过C（1，3），x，y的不等式组表示的平面区域如图：由解得B（3，4），解得A（﹣1，2），可得C（1，3）是AB 的中点，若直线ax﹣y﹣a+3=0将区域分成面积相等的两部分，直线只需经过顶点（0，1），（0，1）代入ax﹣y﹣a+3=0，解得a=2．z=4x﹣ay=4x﹣2y，即y=2x﹣，经过区域内的点B时，目标函数取得最大值．此时最大值为：4×3﹣2×4=4．故选：C．10．（5分）（2017•广东模拟）已知函数f（x）=（e x﹣e﹣x）x，f（log 5x）+f（log x）≤2f（1），则x的取值范围是（）A．[，1]B．[1，5]C．[，5]D．（﹣∞，]∪[5，+∞）【解答】解：∵函数f（x）=（e x﹣e﹣x）x，∴f（﹣x）=﹣x（e﹣x﹣e x）=（e x﹣e ﹣x）x=f（x），∴函数f（x）是偶函数．∵f′（x）=（e x﹣e﹣x）+x（e x+e﹣x）＞0在[0，+∞）上成立．∴函数f（x）在[0，+∞）上单调递增．f（log 5x）+f（log x）≤2f（1），∴2f（log5x）≤2f（1），即f（log5x）≤f（1），∴|log5x|≤1，∴．故选：C．11．（5分）（2017•广东模拟）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若在双曲线上存在点P使△OPF2是以O为顶点的等腰三角形，又|PF1|+|PF2|=2，其中c为双曲线的半焦距，则双曲线的离心率为（）A．B．+1 C．D．﹣1【解答】解：由题意，PF1⊥PF2，设|PF1|=m，|PF2|=n，则m﹣n=2a，m+n=2，m2+n2=4c2，∴（a+）2+（﹣a）2=4c2，∴a=b，∴e=，故选：A．12．（5分）（2017•广东模拟）若函数f（x）满足f（x）=x（f′（x）﹣lnx），且f （）=，则ef（e x）＜f′（）+1的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，+∞）C．（0，）D．（，+∞）【解答】解：由f（x）=x（f′（x）﹣lnx），整理得xf′（x）﹣f（x）=xlnx，即（）′=，两边积分==∫lnxd（lnx）=ln2x+C，整理得：f（x）=ln2x+Cx，f（）=，代入求得c=，∴f（x）=ln2x+x，f′（x）=ln2x+lnx+，令lnx=t，t∈R，∴f′（t）=t2+t+=（t+1）2≥0，∴f（x）单调递增，由f（x）=x（f′（x）﹣lnx），f（）=，f′（）=0，由ef（e x）＜f′（）+1，整理得：f（e x）＜=f（）=f（e﹣1），由函数单调性递增，即e x＜e﹣1，由y=e x，单调递增，则x＜﹣1，∴不等式的解集（﹣∞，﹣1），故选A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2017•广东模拟）圆（x+1）2+y2=1的圆心是抛物线y2=px（p＜0）的焦点，则p=﹣4．【解答】解：（x+1）2+y2=1的圆心为（﹣1，0），由抛物线方程y2=px（p＜0），焦点为（，0），根据题意可得=﹣1，∴p=﹣4，故答案为﹣4．14．（5分）（2017•广东模拟）函数f（x）=sin（﹣2x）+cos2x的单调增区间为[+kπ，﹣+kπ]（k∈Z）．【解答】解：函数f（x）=sin（﹣2x）+cos2x=cos2x﹣sin2x=cos（2x+），由余弦函数的性质可知：函数f（x）的单调递增区间满足：，k∈Z，解得：，∴函数f（x）=sin（﹣2x）+cos2x的单调增区间为[+kπ，﹣+kπ]．故答案为[+kπ，﹣+kπ]，k∈Z．15．（5分）（2017•广东模拟）定义：若存在实数x1∈[﹣2，﹣1]，x2∈[a，32]使2=log2x2成立，则称a为指对实数，那么在a∈[﹣20，20]上成为指对实数的概率是．【解答】解：x1∈[﹣2，﹣1]，则2∈[2，4]，∴2≤log2x2≤4，∴4≤x2≤16，∴﹣20≤a≤4，区间长度为24，a∈[﹣20，20]，区间长度为40，故所求概率为=，故答案为：．16．（5分）（2017•广东模拟）已知△ABC中，BC=2，AC=2AB，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：依题意，设AB=x，则AC=2x，又BC=2，根据面积公式得S=AB•BC•sinB=sinBx=x．△ABC由余弦定理得：cosB==，=x=x=∴S△ABC由三角形三边关系有：x+2x＞2且x+2＞2x，解得：＜x＜2，故当x=时，S取得最大值．△ABC故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）（2017•广东模拟）若等差数列{a n}的前n项和S n满足S10=100，数的前5项和为9．列a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…，a n﹣a n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}的前n项和为T n，b n=，求证：T n＜．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，S10=100，数列a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…，a n﹣a n﹣1的前5项和为9．可得10a1+×10×9d=100，a5=a1+4d=9，解得a1=1，d=2，a n=2n﹣1；（2）证明：b n===（﹣），则前n项和为T n=[1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣]=[1+﹣﹣]＜×（1+）=．即有T n＜．18．（12分）（2017•广东模拟）随着网络的发展，人们可以在网路上购物、玩游戏、聊天、导航等，所以人们对上网流量的需求越来越大．某电信运营商推出一款新的“流量包”套餐，为了调查不同年龄的人是否愿意选择此款“流量包”套餐，随机抽取50个用户按年龄分组进行访谈，统计结果如下表：（1）若在第2、3、4组愿意选择此款“流量包”套餐的人中，用分层抽样的方法抽取15人，则各组应分别抽取多少人？（2）若从第5组的被调查访谈人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人愿意选择此款“流量包”套餐的概率．（3）按以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断以50岁为分界点，能否在犯错误不超过1%的前提下认为是否愿意选择此款“流量包”套餐与人的年龄有关；参考公式K 2=，其中n=a +b +c +d ．【解答】解：（1）第2、3、4组的比例为10：12：8=5：6：4， ∴用分层抽样的方法抽取15人，则各组应分别抽取5，6，4人；（2）若从第5组的被调查访谈人中随机选取2人进行追踪调查，有C 62=15种方法，则2人中至少有1人愿意选择此款“流量包”套餐的概率为1﹣=．（3）2×2列联表K 2=≈9.78＞6.635，∴在犯错误不超过1%的前提下认为是否愿意选择此款“流量包”套餐与人的年龄有关．19．（12分）（2017•广东模拟）如图，五面体ABCDE ，四边形ABDE 是矩形，△ABC 是正三角形，AB=1，AE=2，F 是线段BC 上一点，直线BC 与平面ABD 所成角为30°，CE ∥平面ADF ． （1）试确定F 的位置．（2）求三棱锥A﹣CDF的体积．【解答】解：（1）如图，四边形ABDE是矩形，连接AD、BE相交于O，则O为BE的中点，取BC中点F，连接OF，则OF∥CE，∵OF⊂平面ADF，CE⊄平面ADF，∴CE∥平面ADF．此时F为BC中点；=V A﹣BFD=V F﹣ABD．（2）∵F为BC的中点，∴V A﹣CDF∵直线BC与平面ABD所成角为30°，△ABC是正三角形，AB=1，∴C到平面ABD的距离为，F到平面ABD的距离为．又四边形ABDE是矩形，且AE=2，∴．∴．∴三棱锥A﹣CDF的体积为．20．（12分）（2017•广东模拟）已知椭圆+=1（a＞b＞0），F1，F2为它的左、右焦点，P为椭圆上一点，已知∠F 1PF2=60°，S=，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆方程；（2）已知T（﹣4，0），过T的直线与椭圆交于M、N两点，求△MNF1面积的最大值．【解答】解：（1）根据椭圆的定义，设|PF1|=m，|PF2|=n，则在△PF1F2中，根据余弦定理得，cos60°==即=，所以3mn=4a2﹣4c2=4b2；又S=mn•sin60°=mn=•b2=b2=，解得b2=3，由题意可得e==，又a2﹣b2=c2，所以a=2．所以椭圆的标准方程为+=1；（2）由题意可得MN的斜率存在，且不为0，设M（x1，y1），N（x2，y2），MN方程为x=my﹣4，代入椭圆方程，整理得（3m2+4）y2﹣24my+36=0，则△=242m2﹣144（3m2+4）＞0，所以m2＞4．y1+y2=，y1y2=，面积S=|S﹣S|=|TF1|•|y1﹣则△MNFy2|===18•=6•=6•≤=．当且仅当=即m2=．（此时适合△＞0的条件）取得等号．则三角形MNF1面积的最大值是．21．（12分）（2017•广东模拟）已知f（x）=lnx+．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）若对任意x＞0，均有x（2lna﹣lnx）≤a恒成立，求正数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=lnx+，（x＞0），f′（x）=﹣=，（x＞0），当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增；无极值；当a＞0时，0＜x＜a时，f′（x）＜0，f（x）在（0，a）上递减，x＞a时，f′（x）＞0，f（x）在（a，+∞）上递增，f（x）极小值=f（a）=lna+1；（2）若对任意x＞0，均有x（2lna﹣lnx）≤a恒成立，即对任意x＞0，均有2lna≤lnx+恒成立，由（1）得：f（x）的最小值是lna+1，故问题转化为：2lna≤lna+1，即lna≤1，故0＜a≤．四、选修4-4：坐标系与参数方程选讲（共1小题，满分10分）22．（10分）（2017•广东模拟）已知在极坐标系中曲线C是以点（1，）为圆心，以1为半径的圆，以极点为坐标系原点O，极轴为x轴的非负半轴，且单位长度相同建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）写出l的普通方程及曲线C的极坐标方程；（2）判断l与C是否相交，若相交，设交点为P，Q两点，求线段PQ的长，若不相交，说明理由．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴x﹣y=﹣1，即x﹣y+1=0．∴直线l的普通方程为x﹣y+1=0；极坐标（1，）对应的直角坐标为（，），∴圆C的标准方程为（x﹣）2+（y﹣）2=1，即x2+y2﹣x﹣y=0．又x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴ρ2﹣ρcosθ﹣ρsinθ=0，即ρ=cosθ+sinθ．∴曲线C的极坐标方程为ρ=cosθ+sinθ．（2）把直线l的参数方程为（t为参数）代入曲线C的直角坐标方程x2+y2﹣x﹣y=0，得：t2﹣（2+）t++1=0，∵△=（2+）2﹣4（）=2＞0，∴方程t2﹣（2+）t++1=0有两解t1，t2，∴t1+t2=2+，t1t2=．∴|t1﹣t2|==．∴直线l与圆C相交，|PQ|=．五、选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分10分）23．（10分）（2017•广东模拟）f（x）=，g（x）=|x﹣1|．（1）求不等式|f（x）﹣1|＜2的解集；（2）当|a+b|﹣|a﹣b|＞2|b|[f（x）﹣g（x）]（b≠0，a，b∈R）的解集非空，求x的取值范围．【解答】解：（1）不等式|f（x）﹣1|＜2，可化为不等式||x+1|﹣1|＜2，即1＜|x+1|＜3，∴﹣3＜x+1＜﹣1或1＜x+1＜3，∴﹣4＜x＜﹣2或0＜x＜2，∴不等式的解集为{x|﹣4＜x＜﹣2或0＜x＜2}；（2）由题意，|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1，∴x＜0．参与本试卷答题和审题的老师有：742048；sxs123；whgcn；lcb001；w3239003；zlzhan；caoqz；qiss；沂蒙松；铭灏2016；左杰；双曲线；刘老师；zhczcb（排名不分先后）hu2017年4月7日。