1.常微分方程主要内容复习
常微分方程主要内容复习【PPT】共22页
常微分方程主要内容复习【PPT】
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的Байду номын сангаас键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
常微分方程与偏微分方程概论
f (x)
其中，a0,…,an均为常数。 先考虑齐次情形
n
am
m0
dmy dx m
0
n
令 y = elx 代入得
aml m 0
m0
解这个方程得
l = l1,…,ln
若 li≠lj , i ≠ j
方程通解为
n
y
cmelm x
m 1
若某个lj是 h 重根，则对应还有如下的h个解
h 1
y el j x
n1
bmm0ຫໍສະໝຸດ d mu dxmelx
f
(x)
G(x)
这样，方程降了一阶，但还是常系数，经过 有限次降阶、积分，可得非齐次方程的一个 特解
y = y0(x)
则，原方程通解为
n
y y0 (x)
cmelm x
m 1
1.2 偏微分方程的导出与定解
1.2.1 偏微分方程的概念
未知函数含有多个自变量，方程中出现多元函 数对不同自变量的各阶偏导数，这样的微分方 程称为偏微分方程（数学物理方程）。
求解方程，可引入极坐标变换，令
u = 1∕r
则得到下面的二阶常系数线性微分方程：
d 2u
d 2
u
GM
m K
2
1 r
u
u0
cos
0
G
M
m K
u0 , 0是由初始条件确定的2个常数。
1.1.2 一些典型的常微分方程
一、可分离变量的方程 具有如下形式：
dy f ( x) g ( y)可转化为 dx
u(0, x, y, z) u0 (x, y, z)
u t
(0,
x,
y,
常微分方程的解法总结总结
常微分方程的解法总结前言常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是研究一阶或高阶导数与未知函数之间关系的数学方程。
在物理学、工程学和计算机科学等领域，常微分方程扮演着重要的角色。
解决常微分方程是这些领域中许多问题的关键。
本文将总结常用的常微分方程解法方法，帮助读者加深对常微分方程的理解并提供解决问题的思路。
一、可分离变量法可分离变量法是一种常见且简单的求解常微分方程的方法。
它适用于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶常微分方程。
解题思路：1.将方程写成dy/g(y) = f(x)dx的形式，将变量进行分离。
2.两边同时积分得到∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。
3.求出积分后的表达式，并整理得到解 y 的表达式。
使用这种方法解决常微分方程的步骤相对简单，但要注意确认分母不为零以及选取合适的积分常数。
二、特殊方程类型的求解除了可分离变量法，常微分方程还存在一些特殊的方程类型，它们可以通过特定的方法进行解决。
1. 齐次方程齐次方程是指形如dy/dx = F(y/x)的方程。
其中，F(t) 是一个只有一个变量的函数。
解题思路：1.令 v = y/x，即 y = vx。
将方程转化为dy/dx = F(v)。
2.对于dv/dx = F(v)/x这个方程，可以使用分离变量法进行求解。
3.求出 v(x) 后，将其代入 y = vx 得到完整的解。
2. 齐次线性方程齐次线性方程是指形如dy/dx + P(x)y = 0的方程。
解题思路：1.使用积分因子法求解，将方程乘以一个积分因子，使得左边变成一个可积的形式。
2.求积分因子的方法是根据公式μ = e^(∫P(x)dx)，其中 P(x) 是已知的函数。
3.通过乘积的方式求解完整的方程。
3. 一阶线性常微分方程一阶线性常微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程。
解题思路：1.使用积分因子法，将方程乘以一个积分因子，使得左边变成一个可积的形式。
常微分方程复习(一)
因为
故存在仅与x有关的积分因子
( x) e
1 dx x
x
以 x乘方程两边得 :
( x2 2 xy)dx x2dy 0
( x2 2 xy)dx x2dy 0
这是恰当方程，对方程重新分项组合得
x dx (2xydx x dy) 0 1 3 d x ( ydx 2 x 2 dy ) 0 即 3 1 3 d ( x x2 y) 0 3 1 3 故方程的通解为: x x2 y c 3
dy f ( x, y ) 设 dx 解为y ( x, x0 , y0 ) y ( x0 ) y0
x f ( x, ) f ( x0 , y0 ) exp( dx) x0 x0 y x f ( x, ) exp( dx) x0 y0 y
exp(
1
1 dx) x x
题型：
一、填空（20分） 二、求解微分方程（组）（60分） 三、证明题（20分）
第一章 （2---4分） 1.微分方程、线性微分方程概念 2.微分方程的解、通解 3.初值问题的解、定解条件
dy f ( x, y ) 一阶微分方程 dx 的解y ( x)所表示xy平面上的一条曲线,
称为微分方程的积分曲线.
x f ( x, ) ( x, x0 , y0 ) x0 1 [ f ( x0 , y0 ) exp( dx)]x 1 [ ] y0 0 y 0 x y x0 x1 ( x, 0, 0)
0 0 0
f (1, 0) exp(
0
x
cos(
x
) dx)
0
常微分方程
f (0) 1, f (0) 1
答案：
1 2 x 1 x f ( x) e e e 3 3 例6 设f(x)为可导函数，且满足
2x
求f ( x).
x
0
f(x - t )dt f(x) e x sin x
八、微分方程与其它知识点的结合
例 全国第二届非数学类预赛题
例
例 全国第四届非数学类预赛题
例 考研题
导出f(u)满足的常微分方程为
f (u) f (u) 0
可见f(u)满足二阶常系数齐次微分方程，解得
f (u) C1e C2e
u
u
其中C1，C2为任意常数。
例 全国第一届非数学类预赛题
y e rx 是二阶常系数线性齐次 微分方程 y py qy 0 的解 r是方程 r 2 pr q 0的解 例如 y e x (c1 sin x c2 cos x)(c1 , c2 )是二阶常系数线性齐次 微分方程通解， 则该微分方程为 y －2 y 2 y 0
四、线性微分方程解的性质与结构
例
C
五、二阶和某些高阶常系数线性齐次方程
n阶常系数线性齐次方程
六、二阶常系数非齐次线性方程与欧拉方程
f ( x) e x [P ( x)cos x Qm ( x)sin x] n
若 i 不是特征根，则 若
y e x [Rl ( x)cos x Sl ( x)sin x] y xe x [Rl ( x)cos x Sl ( x)sin x]
九、 微分方程的应用 微分方程在几何中的应用
例
微分方程在力学中的应用
常微分方程期末复习
1・求下列方程的通解。
dy — （—=40 • sinx -L eix 3解：方程可化为—— = -e- +4sinx-lax令2 =几得—= -2 + 4sinAdx由一阶线性方程的求解公式，得所以原方程为J R = 2(sinx-cosx) + c072 •求下列方程的通解。
dy 解J 设—=/? = sinZ,则有 y = sect»dx从而 X = f ——tgt • seetdt + c = f sec"ZJz + t = tgt + c J sin/ J 故方程的解为（x+c ）-+i = r ， 另外y = ±\也是方程的解・3•求方程空=尤+ r 通过（0,0）的第三次近似解. dx解：0o(x) = O(p\(X)= £ xdx = —X" u 2fA1 41 , 1 <0(x) = (x + —x)dx=—x~ + — X • Jo 4 2 201 ■> I 5 i 11 * 8 =—X" H -- X 4 ------ X H ----- X2 20 4400 1604 •求解下列常系数线性方程。
x* + x" + x = OZ = J 皿（J4sin 疋」皿必+一严2(sin x-cosx)片 +c = 2(sin x-cosx) + c 严吩）叮[:"(討+存5)2,, =rJo解：对应的特征方程为：/1'+/1+1=0, •解得几产十夸泌一A*,所以方程的通解为：x = e~^{c, cos —25 •求解下列常系数线性方程。
解：齐线性方程x"-x = 0的特征方程为才一1 = 0,解得人=1九3 =~*；"1 行 丄 行故齐线性方程的基本解组"”八＜4/3吟,, 因为兄=1是特征根，所以原方程有形如=代入原方程得，3用+加-加“，所以"弓，所以原方程的通解为八cos —Z + c^^sin —/ + ire2 ' 2 36.试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类 型及稳定性：dx , d\ -—=-X - y +1, — = X - y — 5dt dt・V3、 ,+ 6 sin ——0 "2解:x = 3 7 =-2所以奇点为(3厂2)X =x-3Y = y + 3方程组化为＜^ = -X-Y (it^ = X-Y .dt因为一1 A + l= (2 + 1)2+1=O 所以2, =-1 +・兄2 =—1一匚故奇点为稳定焦点,所对应的零解为渐近稳泄的。
第一章_常微分方程
作业
1. 求方程y2y3y=0的通解。
2. 求方程y2yy0满足初始条件y|x04、 y| x02的特解。
3. 求方程y2y5y 0的通解。
1.2 常系数非齐次线性微分方程
方程
y+py+qy = f(x) (3) 称为二阶常系数非齐次线性微分方程，其
中p、q均为常数，f (x)为非齐次项
一、常数变易法
将方程(3)的特解记为 y(x) c1(x) y1(x) c2(x) y2 (x)
其中y1(x)和 y2 (x)为对应齐次方程的一对线性无关 解。将上述特解带入方程(3)可求解 c1(x)和c2 (x)。
由于 y c1y1 c2 y2 c1 y1 c2 y2 ，若令
c1 y1 c2 y2 0 则 y c1 y1 c2 y2 ，
齐次方程，有
2a1 3a0 3a1x 3x 1 由同幂次系数相等求解得
a1
1
a0
1 3
则非齐次方程的一个特解为
y* x 1 3
B.特殊情况
➢ 如果方程(3)的非齐次项 f(x)正好是对应齐次 方程的解，即各个非齐次项对应的指数
i 0 i
是原方程对应齐次方程的m重特征根，则方 程(3)的特解在原表达式上乘以xm 。
A.基本解法
【例 1.2.2】 求非齐次方程 y 2 y y 3e2x 的通解。 解：假设方程的一个特解为 y*(x) Ae2x ，代入非齐
次方程，有 4Ae2x 2Ae2x Ae2x 3e2x
求得 A 1。因此，方程的一个特解为 y* (x) e2x
又对应齐次方程的通解为 y(x) (c0 +c1x)ex ，因此 非齐次方程的通解为
是方程(1)的两个线性无关的解，方程的通解为
大一常微分方程一知识点总结
大一常微分方程一知识点总结本文档旨在总结大一常微分方程一课程中的主要知识点，帮助同学们复和回顾相关内容。
1. 什么是微分方程微分方程是一个含有未知函数及其导数的方程。
它通常用于描述自然现象中包含变化速率的问题，如物理、工程和经济等领域。
2. 常见的常微分方程类型常微分方程可以分为以下几类：- 一阶常微分方程：只涉及一阶导数的方程。
常见的一阶方程包括分离变量方程、线性方程和齐次方程等。
- 二阶常微分方程：涉及二阶导数的方程。
常见的二阶方程包括常系数二阶齐次方程和非齐次方程等。
3. 常微分方程的解法常微分方程的解法主要有以下几种：- 分离变量法：将方程的未知函数与其导数分开，将方程变为两个可积的方程，再进行求解。
- 变量替换法：通过合适的变量替换，将原方程转化为可以更容易求解的形式。
- 齐次方程的解法：通过适当的变量替换，使得方程变为可以分离变量的形式，然后利用分离变量法求解。
- 常系数二阶齐次方程的解法：通过对方程进行特征根分析，得到方程的通解。
- 非齐次方程的解法：通过求解对应的齐次方程的通解和非齐次方程的特解，得到非齐次方程的通解。
4. 常微分方程的应用常微分方程在各个领域都有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：- 物理学：常微分方程可以用于描述物理系统的运动规律，如牛顿运动定律、电路中的电流变化等。
- 工程学：常微分方程可以用于描述工程问题中的变化和变化率，如电路中的电压变化、机械系统的振动等。
- 经济学：常微分方程可以用于描述经济系统中的变化和变化率，如经济增长模型、人口增长模型等。
以上是对大一常微分方程一课程的主要知识点的简要总结，希望能够为同学们的学习提供一些帮助和参考。