3-1-2-2 两角和与差的正切2 课件(人教A版必修4)
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5.5.1 第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(课件)
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第五章 三角函数
解 (1)原式＝sin 13°cos 17 °＋sin(90°－13°)·cos(90°－17°) ＝sin 13°cos 17°＋cos 13°sin 17° ＝sin(13°＋17°) ＝sin 30°＝12. (2)原式＝212sin1π2－ 23cos1π2 ＝2sin1π2cosπ3－cos1π2sinπ3 ＝2sin1π2－π3 ＝－2sinπ4＝－ 2.
解 ∵0<α<π4<β<34π， ∴34π<34π＋α<π，－π2<π4－β<0. 又∵sin34π＋α＝153，cosπ4－β＝35， ∴cos34π＋α＝－1123，sinπ4－β＝－45.
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
∴cos(α＋β)＝sinπ2＋α＋β ＝sin34π＋α－π4－β ＝sin34π＋αcosπ4－β－cos34π＋αsinπ4－β ＝153×35－－1123×－45＝－3635.
答案 (1)× (2)√ (3)√
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
2．sin(30°＋45°)＝________.
解析 sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°
＝12× 22＋ 23× 22＝
2＋ 4
6 .
答案
2＋ 6 4
数学 必修 第一册 A
∴cos
α＝2
5
5，sin
β＝3
10 10 .
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝2 5 5×
1100＋
55×3 1010＝
高中数学必修4课件3-1-2-1
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
题型三 变角求值
例 5 已知 sin(34π＋α)＝153，cos(π4－β)＝35，且 0<α<π4<β<34π， 求 cos(α＋β)
第29页
第三章 3.1 3.1.2 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
【解析】 ∵0<α<4π<β<34π， ∴34π<34π＋α<π，－π2<π4－β<0. 又 sin(34π＋α)＝153，cos(π4－β)＝35， ∴cos(34π＋α)＝－1123，sin(π4－β)＝－45.
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
求角的三角函数值时，应先分析所求角和已知角之间的关 系，将所求角用已知角的和与差表示．
第32页
第三章 3.1 3.1.2 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
思考题 4 (1)若 sin(α－30°)＝153，30°<α<90°，则 sinα＝ ________.
第23页
第三章 3.1 3.1.2 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
【解析】 f(x)＝sin(x＋3π)－ 3cos(x＋3π) ＝2·[12sin(x＋π3)－ 23cos(x＋π3)] ＝2sin(x＋3π－π3)＝2sinx 故 f(x)的单调递增区间是2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)．
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
【解析】 原式＝sin(α＋β)cosα－12{sin[(α＋β)＋α]－sin[(α＋ β)－α]}
＝sin(α＋β)cosα－12·2cos(α＋β)sinα ＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα ＝sin[(α＋β)－α] ＝sinβ.
数学人教A版必修第一册5.5.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
4
22
又因为sin 2 5 , 13
注意 2 的范围
所以cos 2 1 sin2 2 1 ( 5 )2 12 . 13 13
tan 4 sin 4 ( 120) 169 120 . cos 4 169 119 119
练习：课本135页 5(1)(3)
例2 (1) sin15cos15
44 . 117
2
练习：课本223页 3
解：∵sin 2 sin ,sin 2 sin 0,
即：2sin cos sin 0,
∵ ( , ),sin 0,2 cos 1 0,
2
cos 1 , 2 ,
2
3
tan tan 2 3
3
练习：课本223页 4
解：∵tan 2
tan 22.5 （3）1 tan2 22.5 ；
（2）cos2 π sin2 π ；
8
8
（4）2cos2 22.5°－1．
(1).原式=
1 2
sin30°=
1 4
(3).原式=
1 2
tan45°=
1 2
(2).原式=cos
π 4
=
2
2
(4).原式= cos45°=
2
2
3. 2 sin2 2 cos 4的值是( )
变形公式
升幂公式：1＋cos 2 1 cos 2
2 cos2 2sin 2
降幂公式：scions22＝＝11－＋cco2o2ss22
例1. 已知sin 2 5 , ，
13 4
2
求 sin 4，cos 4，tan 4的值.
分析：先求 cos2的值，再利用公式求值.
解：由 , 得 2 .
人教A版数学必修第一册5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件
＝tan(30∘ －75∘ )
＝ 3
＝－tan 45°
＝－1
公式Tα±β的逆用
归
纳
总
结
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.
如tan
4
=1，
tan
6
要特别注意tan(
4
=
3
，
3
＋α)＝
tan
3
= 3等.
1+tan
，
1−tan
tan(
4
−α)＝
1−tan
.
1+tan
＝4，解得tan αtan β＝
1
.
2
2．求值：tan
tan
11
12
11
12
－2＋ 3
＝________.
＝－tan
12
＝－tan(
4
＝－
tan 4 −tan 6
4
1+tan tan
3
＝－
1− 3
3
1+ 3
＝－2＋ 3
6
−
)
6
3．已知tan α＝2，则tan(α +
tan(α +
＝ 3
新知探究
两角和与差的正切
cos(α∓β)＝cosαcosβ ±sinαsinβ
sin(α±β)＝sinαcos β±cosαsin β
sin(α + β)
tan(α+β)＝
cos(α+β)
sinαcos β+cosαsin β
＝
＝ 3
＝－tan 45°
＝－1
公式Tα±β的逆用
归
纳
总
结
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.
如tan
4
=1，
tan
6
要特别注意tan(
4
=
3
，
3
＋α)＝
tan
3
= 3等.
1+tan
，
1−tan
tan(
4
−α)＝
1−tan
.
1+tan
＝4，解得tan αtan β＝
1
.
2
2．求值：tan
tan
11
12
11
12
－2＋ 3
＝________.
＝－tan
12
＝－tan(
4
＝－
tan 4 −tan 6
4
1+tan tan
3
＝－
1− 3
3
1+ 3
＝－2＋ 3
6
−
)
6
3．已知tan α＝2，则tan(α +
tan(α +
＝ 3
新知探究
两角和与差的正切
cos(α∓β)＝cosαcosβ ±sinαsinβ
sin(α±β)＝sinαcos β±cosαsin β
sin(α + β)
tan(α+β)＝
cos(α+β)
sinαcos β+cosαsin β
＝
【公开课】两角和与差的正弦、余弦和正切公式(2)课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
sin( ) sin cos sin cos
sin( ) sin cos sin cos
知识点二 两角和与差的的正切公式
问题３ 你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从两角和与差的正弦，余弦
公式出发，推导出用任意角 ， 的正切表示tan( )，tan( )的公式吗？
tan(
换元
运算
替换为( ) ( )
T ( ) 替换为( )
C s
sin(
)
cos
2
(
)
tan( ) tan tan 1 tan tan
公式
S(
)
，
C (
)
，T(
)
给出了任意角
，
的三角函数值与其和角
+ 的三角函数值之间的关系．为方便起见，我们把这三个公式都叫做和
追问 3.1：如何用任意角 ， 的正切表示tan( )？
tan( )=1tantanttaann .
三、两角和与差的正切公式
两角和与差的正切公式，简记作T（α+β)与T(α-β)
tan( ) tan tan 1 tan tan
tan( ) tan tan 1 tan tan
2
追问1.3：基于上述差异与联系，如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？
cos(
)
cos
(
)
cos cos()sinsin()
cos cos sin sin .
一、两角和的余弦公式
两角和的余弦公式，简记作C(α+β).
cos( ) cos cos sin sin
知识点二 两角和与差的的正弦公式
解：由 cos 4 ， 是锐角，
sin( ) sin cos sin cos
知识点二 两角和与差的的正切公式
问题３ 你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从两角和与差的正弦，余弦
公式出发，推导出用任意角 ， 的正切表示tan( )，tan( )的公式吗？
tan(
换元
运算
替换为( ) ( )
T ( ) 替换为( )
C s
sin(
)
cos
2
(
)
tan( ) tan tan 1 tan tan
公式
S(
)
，
C (
)
，T(
)
给出了任意角
，
的三角函数值与其和角
+ 的三角函数值之间的关系．为方便起见，我们把这三个公式都叫做和
追问 3.1：如何用任意角 ， 的正切表示tan( )？
tan( )=1tantanttaann .
三、两角和与差的正切公式
两角和与差的正切公式，简记作T（α+β)与T(α-β)
tan( ) tan tan 1 tan tan
tan( ) tan tan 1 tan tan
2
追问1.3：基于上述差异与联系，如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？
cos(
)
cos
(
)
cos cos()sinsin()
cos cos sin sin .
一、两角和的余弦公式
两角和的余弦公式，简记作C(α+β).
cos( ) cos cos sin sin
知识点二 两角和与差的的正弦公式
解：由 cos 4 ， 是锐角，
人教A版数学必修4课件：3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
=sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina
=3sina-4sin3a
2.cos3a=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina =(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa
=4cos3a-3cosa
公式识记 口答下列各式的值：
1、升幂公式： 1 sin 2 sin2 cos2 2sin cos
=（sin cos）2
1 cos 2 2cos2 升幂缩角
1 cos 2 2sin2
2、降幂公式：
cos2 1 cos 2
2
sin2 1 cos 2
2
降幂扩角
例4.化简
变式：如何化简 2 sin2 2 cos4呢？
(1)求 f(x)的最小正周期；
(2)求对称轴，对称中心 (3)求该函数的单调区间
[解] (1)f(x)＝ 22cos2x＋π4＋sin2 x ＝ 22cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－c2os 2x ＝12－12sin 2x， 故 f(x)的最小正周期为 π.
asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)的应用
∴tan x＝13， ∴cos2x1－＋ssiinn2xxcos x＝co2ss2ixn－2xs＋incxocso2xs x＝21t－ant2axn＋x1＝161.
(2)由题知 F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sin xcos x， ∴F(x)＝cos 2x＋sin 2x＋1， 即 F(x)＝ 2sin2x＋π4＋1. 当 sin2x＋π4＝1 时，[F(x)]max＝ 2＋1. 由－π2＋2kπ≤2x＋π4≤π2＋2kπ(k∈Z)得－38π ＋kπ≤x≤π8＋kπ(k∈Z)，故所求函数 F(x) 的单调递增区间为－38π＋kπ，π8＋kπ(k∈Z)．
=3sina-4sin3a
2.cos3a=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina =(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa
=4cos3a-3cosa
公式识记 口答下列各式的值：
1、升幂公式： 1 sin 2 sin2 cos2 2sin cos
=（sin cos）2
1 cos 2 2cos2 升幂缩角
1 cos 2 2sin2
2、降幂公式：
cos2 1 cos 2
2
sin2 1 cos 2
2
降幂扩角
例4.化简
变式：如何化简 2 sin2 2 cos4呢？
(1)求 f(x)的最小正周期；
(2)求对称轴，对称中心 (3)求该函数的单调区间
[解] (1)f(x)＝ 22cos2x＋π4＋sin2 x ＝ 22cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－c2os 2x ＝12－12sin 2x， 故 f(x)的最小正周期为 π.
asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)的应用
∴tan x＝13， ∴cos2x1－＋ssiinn2xxcos x＝co2ss2ixn－2xs＋incxocso2xs x＝21t－ant2axn＋x1＝161.
(2)由题知 F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sin xcos x， ∴F(x)＝cos 2x＋sin 2x＋1， 即 F(x)＝ 2sin2x＋π4＋1. 当 sin2x＋π4＝1 时，[F(x)]max＝ 2＋1. 由－π2＋2kπ≤2x＋π4≤π2＋2kπ(k∈Z)得－38π ＋kπ≤x≤π8＋kπ(k∈Z)，故所求函数 F(x) 的单调递增区间为－38π＋kπ，π8＋kπ(k∈Z)．
高中数学 人教A版必修4 第3章 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
根据 α，β 的任意性，在上面式子中，以－β 代替 β 得
tan α＋tan－β tan α－tan β tan(α－β)＝ ＝ . 1－tan αtan－β 1＋tan αtan β
研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.2（二）
问题 2 在两角和与差的正切公式中，α，β，α± β 的取值是任
【典型例题】 例1 求下列各式的值： 3＋tan 15° (1) ；(2)tan 15° ＋tan 30° ＋tan 15° tan 30° . 1－ 3tan 15°
本 课 时 栏 目 开 关
tan 60° ＋tan 15° 解 (1)原式＝ ＝tan(60° ＋15° ) 1－tan 60° tan 15°
本 课 时 栏 目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.2（二）
练习 2：求值：tan 20° ＋tan 40° ＋ 3tan 20° tan 40° .
解 方法一 ∵tan 20° ＋tan 40° ＝tan 60° (1－tan 20° tan 40° )，
本 课 时 栏 目 开 关
∴原式＝tan 60° (1－tan 20° tan 40° )＋ 3tan 20° tan 40° ＝ 3－ 3tan 20° tan 40° ＋ 3tan 20° tan 40° ＝ 3.
3.1.2（二）
探究点一 问题 1
本 课 时 栏 目 开 关
两角和与差的正切公式的推导
sin α 你能根据同角三角函数基本关系式 tan α＝ ，从两 cos α
角和与差的正弦、余弦公式出发，推导出用任意角 α，β 的正 切值表示 tan(α＋β)，tan(α－β)的公式吗？试一试． sinα＋β sin αcos β＋cos αsin β 答 当 cos(α＋β)≠0 时，tan(α＋β)＝ ＝ . cosα＋β cos αcos β－sin αsin β 当 cos αcos β≠0 时，分子分母同除以 cos αcos β，得 tan α＋tan β tan(α＋β)＝ . 1－tan αtan β
高考数学一轮复习第四章三角函数5两角和与差的正弦余弦与正切公式课件新人教A版2
sin110°sin20°
的值为( B )
cos2 155°-sin2 155°
1
1
√3
A.-2
B.2
C. 2
π
√14
2cos2 -1
(2)已知 θ∈ 0, ,且 sin θ-cos θ=- ,则 π =(
4
4
cos 4+
2
4
3
A.
B.
C.
3
3
4
例 2(1)
√3
D.- 2
D )
3
D.
2
(3)在△ABC 中,若 tan Atan B=tan A+tan B+1,则 cos C 的值为
) D
1
D.2
-5知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
3.(2020全国Ⅱ,理2)若α为第四象限角,则( D )
A.cos 2α>0
B.cos 2α<0
C.sin 2α>0
D.sin 2α<0
解析:∵α为第四象限角,∴sin α<0,cos α>0,
∴sin 2α=2sin αcos α<0.故选D.
-6知识梳理
1
定义可得 sin β=sin α=3,cos β=-cos α,因此,cos(α-β)=cos αcos β+ sin
αsin β=-
2√2
3
2
+
1 2 7
=-9.
3
(方法二)由角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称可得 β=(2k+1)π-α,k
∈Z,
则 cos(α-β)=cos[2α-(2k+1)π]=-cos