[推荐学习]2016高考数学二轮复习 专题1 集合与常用逻辑用语 第二讲 函数、基本初等函数的图象与

第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质
配套作业
一、选择题
1．(2015·北京卷)下列函数中为偶函数的是(B )
A ．y ＝x 2sin x
B ．y ＝x 2cos x
C ．y ＝|ln x|
D ．y ＝2－x
解析：因为y ＝x 2
是偶函数，y ＝sin x 是奇函数，y ＝cos x 是偶函数，所以A 选项为奇函数，B 选项为偶函数；C 选项中函数图象是把对数函数y ＝ln x 的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴上方，其余部分的图象保持不变，故为非奇非偶函数；D 选项为指数函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
，是非奇非偶函数．
2．函数f(x)＝x 3
＋sin x ＋1(x∈R)，若f (a )＝2，则f (－a )的值为(B )
A ．3
B ．0
C ．－1
D ．－2
解析：∵f (a )＝2⇒a 3＋sin a ＋1＝2，
∴a 3＋sin a ＝1.
∴f (－a )＝－a 3＋sin(－a )＋1＝－(a 3＋sin a )＋1＝－1＋1＝0.
3．(2015·陕西卷)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，
则f (f (－2))＝(C ) A ．－1 B.14 C.12 D.32
解析：因为－2＜0，所以f (－2)＝2－2＝14
＞0， 所以f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14＝1－ 14＝1－12＝12
. 4．函数y ＝ln(3x ＋1)(x ＞－1)的反函数是(D )
A ．y ＝(1－e x )3
(x ＞－1)
B ．y ＝(e x －1)3(x ＞－1)
C ．y ＝(1－e x )3(x ∈R)
D ．y ＝(e x －1)3
(x ∈R)
解析：由已知函数可得3x ＋1＝e y (y ∈R)，即3x ＝e y －1，所以x ＝(e y －1)3，x ，y 对调
即得原函数的反函数为y ＝(e x －1)3(x ∈R)．故选D.
5．(2015·新课标Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1， 则f (－2)＋f (log 212)＝(C )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
解析：∵ －2<1，
∴ f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3.
∵ log 212>1，∴ f (log 212)＝2log 212－1＝122
＝6. ∴ f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.
6．(2015·新课标Ⅱ卷)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为(B )
解析：当x ∈[0，π4
]时，f (x )＝tan x ＋4＋tan x ，图象不会是直线段，从而排除A ，C.
当x ∈[π4，3π4]时，f (π4)＝f (3π4)＝1＋5，f (π2)＝2 2.∵ 22＜1＋5，∴ f (π2
)＜f (π4)＝f (3π4
)，从而排除D ，故选B.
二、填空题
7．若函数f (x )(x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1＜x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________． 解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫4＋134＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋176 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫134＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫176 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－34＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4－76 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－76 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫76 ＝－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34－sin 76
π ＝－316＋12＝516
. 答案：516
8．(2015·福建卷)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R)满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．
解析：因为f (x )＝2|x －a |，所以f (x )的图象关于x ＝a 对称．又由f (1＋x )＝f (1－x )，知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故a ＝1，且f (x )的增区间是[1，＋∞)，由函数f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，知[m ，＋∞)⊆[1，＋∞)，所以m ≥1，故m 的最小值为1.
答案：1
三、解答题
9．已知函数f (x )＝x 2＋a x (x ≠0，a ∈R)．
(1)判断函数f (x )的奇偶性；
(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．
解析：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2(x ≠0)为偶函数；
当a ≠0时，f (x )既不是奇函数也不是偶函数．
(2)解法一 设x 2＞x 1≥2，f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a
x 1－x 22－a x 2＝x 1－x 2x 1x 2
[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]，由x 2＞x 1≥2，得x 1x 2(x 1＋x 2)＞16，x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0.
要使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，只需f (x 1)－f (x 2)＜0，即x 1x 2(x 1＋x 2)－a ＞0恒成立，则a ≤16.故a 的取值范围是(－∞，16]．
解法二 f ′(x )＝2x －a x 2，要使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，只需当x ≥2时，f ′
(x )≥0恒成立，即2x －a x 2≥0，则a ≤2x 3
∈[16，＋∞)恒成立，故当a ≤16时，f (x )在区间
[2，＋∞)上是增函数．故a 的取值范围是(－∞，16]．
10．f (x )的定义域为R ，对任意x ，y ∈R ，有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－2.
(1)证明：f (x )是奇函数；
(2)证明：f (x )在R 上是减函数；
(3)求f (x )在区间[－3，3]上的最大值和最小值．
解析：(1)函数f (x )的定义域R 关于原点对称，又由f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， 得f [x ＋(－x )]＝f (x )＋f (－x )，
∴f (x )＋f (－x )＝f (0)．
又f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，
∴f (0)＝0.从而有f (x )＋f (－x )＝0，
∴f (－x )＝－f (x )．由于x ∈R，
∴f (x )是奇函数．
(2)任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)－f [x 1＋(x 2－x 1)]＝f (x 1)－[f (x 1)＋f (x 2－x 1)]＝－f (x 2－x 1)． ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0.∴f (x 2－x 1)＜0.
∴－f (x 2－x 1)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，从而f (x )在R 上是减函数．
(3)由于f (x )在R 上是减函数，故f (x )在[－3，3]上的最大值是f (－3)，最小值是f (3)，
由f (1)＝－2，得
f (3)＝f (1＋2)＝f (1)＋f (2)＝f (1)＋f (1＋1)＝f (1)＋f (1)＋f (1)＝－6， f (－3)＝－f (3)＝6.从而f (x )在区间[－3，3]上的最大值是6，最小值是－6.
11．已知函数f (x )＝e x －e －x
(x ∈R，且e 为自然对数的底数)．
(1)判断函数f (x )的奇偶性与单调性．
(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．
解析：(1)∵f (x )＝e x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，且y ＝e x 是增函数，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x
是增函数，∴f (x )是增函数．
∵f (x )的定义域为R ，
且f (－x )＝e －x －e x
＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．
(2)由(1)知f (x )是增函数和奇函数，
由f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对x ∈R 恒成立，
则f (x －t )≥f (t 2－x 2)． ∴t 2－x 2≤x －t ⇔x 2＋x ≥t 2＋t 对x ∈R 恒成立⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122
min 对一切x ∈R 恒成立
⇔⎝ ⎛⎭
⎪⎫t ＋122
≤0⇔t ＝－12. 即存在实数t ＝－12
，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立．。