2021年武汉中考数学第24题分析及备考建议
武汉中考第24题二次函数与垂直定点问题
武汉中考第24题二次函数与垂直定点问题武汉市中考第24题为二次函数的综合题，在2014年武汉市第24题第三问涉及到了直角定点问题，许多学生表示定点很难求，计算量偏大，今天笔者结合垂直问题整理了解题思路，对于这类问题做了一个小的归纳总结。
一、解题思路： 做水平和竖直辅助线得三垂直相似，如图1所示：图1已知AC BC ⊥，过点A 和点B 作平行于y 轴的直线，过点C 作平行于x 轴的直线，分别相交于D 和E 两点，那么由ACD CBE ∠=∠，DAC ECB ∠=∠可得ACDCBE .所以有AD DCCE BE=进而求解题目。
二、实际例题：例1：（2014年武汉）如图2，已知直线AB ：24y kx k =++与抛物线212y x =交于、A B 两点，若在抛物线上存在点D 使得90=ADB ∠°，求定点D 的坐标。
图2作辅助线如图3所示图3则有AEDDFB则有AE DEDF BF=设()()211221,,,2、、A x y B x y D m m ⎛⎫⎪⎝⎭，可得： 2112221212y m m x x m y m --=-- 因为2211221122、y x y x ==，所以因式分解可得： ()()12114m x m x ++=- 联立方程22412+y kx k y x =+=化简可得：22480x kx k ---=韦达定理可得：12122,48x x k x x k +=⋅=--代入可得：()2244m k m -=-解得2m =，故()2,2D 。
例2：如图4所示，已知抛物线2114y x =-与x 轴交于,A B 两点，A 在B 右侧，若,M N 为抛物线上两点，M 在N 的左侧，且以MN 为直径的圆始终经过A 点，求直线MN 经过的定点P 的坐标。
图4作出辅助线如图5所示：图5则有：MEAAFN则有：ME AEAF FN=设直线MN ：y kx b =+，()()1122,,,M x y N x y 联立方程：y kx b =+2114y x =- 化简可得：24440x kx b ---=韦达定理：1244x x b ⋅=--、124x x k +=已知()2,0A ，所以可得：()()()()211222442424xx x x--=--化简可得：()12122416x x x x +++=-代入可得：448416b k --++=24b k =+所以直线MN 的解析式为：24y kx k =++故过定点()2,4P -。
武汉中考数学24题专题
武汉中考数学24题专题（一）正方形1、已知P是正方形ABCD边BC上一点，PE⊥AP，且PE=AP，连接AE、CE，AE 交CD于点F。
（1）如图1求∠ECF的度数；（2）如图2，连接AC ，求证：AC=CE+2PC；（3）若正方形的边长为4，CF=3，请直接写出BP的长为。
2、P是边长为4的正方形ABCD的边BC上任一点，过B作BG⊥AP于G，过C作CE⊥AP于E，连BE。
（1）如图1，若P是BC的中点，求CE的长；（2）如图2，当P在BC边上运动时（不与B、C重合），求BECEAG-的值（3）当PB= 时，△BCE是等腰三角形。
3．已知,如图Rt ABC∆中，∠BAC=90°，AB=AC. AC边上有点D，连接BD, 以BD为腰作等腰直角△BDE, DE交BC于F.（1）求证：△ABD ∽△CBE.（2）连接CE,求证：BC－CE =2CD.（3）若AB=2,D为AC的中点，请直接写出线段DF的长度为。
4.如图，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG AP⊥于点G，在AP的延长线上取点E，使AG GE=，连接BE，CE.（1）求证：BE BC=；（2）CBE∠的平分线交AE于N点，连接DN，求证：2BN DN AN+=；（3）若正方形的边长为2，当P点为BC的中点时，请直接写出CE的长为 .FEDCB5．如图：M 、N 分别为边长为1的正方形ABCD 边CB 、DC 延长线上的点，且DN – BM = MN ． （1）求证：∠MAN = 45°； （2）若DP ⊥AN 交AM 于P ，求证：2PA PC PD +=； （3）若C 为DN 的中点，直接写出PC 的长为 ．（二）其他截长补短1.如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°． （1）求证：AD ＝BD ；（2）E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA ，求证：AD +CD ＝DE ； （3）当BD ＝2时，AC 的长为______．（直接填出结果，不要求写过程）2．如图，P 为等边△ABC 外形一点，AH 垂直平分PC 于点H ，∠BAP 的平分线交PC 于点D ．（1）求证：DP = DB ；（2）求证：DA + DB = DC ；（3）若等边三角形的边长为2，连接BH ，当△BDH 为等边三角形时，请直接写出CP 的长度为 ．3．如图1，P 为正方形ABCD 边CD 上一点，E 在CB 的延长线上，BE = DP ，∠CEP 的平分线交正方形的对角线AC 于点F ． （1）求证：AE = AF ；（2）如图2，AM ⊥PE 于点M ，FN ⊥PE 于点N ，求证：AM + FN = AD ；（3）若正方形ABCD 的边长为2，P 为CD 的中点，在（2）的条件下请直接写出线段FN 的长为 ． D E A B C A B C D N MB DC N MPA图2P G F EDC BA 图1PD C BA 4、已知：四边形ABCD 为正方形，如图1，点P 为△ABC 的内心。
2021年武汉市中考数学试题及答案
2021年湖北省武汉市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑.1．实数3的相反数是（）A．3B．﹣3C．D．﹣2．下列事件中是必然事件的是（）A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上B．随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数C．打开电视机，正在播放广告D．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级3．下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．计算（﹣a2）3的结果是（）A．﹣a6B．a6C．﹣a5D．a55．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．6．学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是（）A．B．C．D．7．我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物，人出八，盈三，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱；每人出7钱，还差4钱．问人数，物价是y钱，则下列方程正确的是（）A．8（x﹣3）＝7（x+4）B．8x+3＝7x﹣4C．＝D．＝8．一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变（单位：km）与慢车行驶时间t（单位：h）的函数关系如图（）A．h B．h C．h D．h9．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦沿BC翻折交AB于点D，再将＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（）A．21.9°＜α＜22.3°B．22.3°＜α＜22.7°C．22.7°＜α＜23.1°D．23.1°＜α＜23.5°10．已知a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是（）A．﹣25B．﹣24C．35D．36二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置.11．计算的结果是．12．我国是一个人口资源大国．第七次全国人口普查结果显示，北京等五大城市的常住人口数如下表，这组数据的中位数是．城市北京上海广州重庆成都21892487186832052094常住人口数万13．已知点A（a，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y＝（m是常数）的图象上，且y1＜y2，则a的取值范围是．14．如图，海中有一个小岛A．一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．小岛A到航线BC 的距离是nmile（≈1.73，结果用四舍五入法精确到0.1）．15．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0．下列四个结论：①若抛物线经过点（﹣3，0），则b＝2a；②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．其中正确的是（填写序号）．16．如图（1），在△ABC中，AB＝AC，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，设x＝AD，y＝AE+CD（2），图象过点（0，2），则图象最低点的横坐标是．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.17．（8分）解不等式组请按下列步骤完成解答．（1）解不等式①，得；（2）解不等式②，得；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（4）原不等式组的解集是．18．（8分）如图，AB∥CD，∠B＝∠D，BC的延长线分别交于点E，F，求证：∠DEF＝∠F．19．（8分）为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），B组“5≤t＜7”，C组“7≤t＜9”，绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次抽样调查的样本容量是，C组所在扇形的圆心角的大小是；（2）将条形统计图补充完整；（3）该校共有1500名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于7h的学生人数．20．（8分）如图是由小正方形组成的5×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（1）在图（1）中，先在边AB上画点E，使AE＝2BE，使EF平分矩形ABCD 的面积；（2）在图（2）中，先画△BCD的高CG，再在边AB上画点H21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点的中点，过点C作AD的垂线（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若＝，求cos∠ABD的值．22．（10分）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒，每天少销售10盒．（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）；（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x 的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．23．（10分）问题提出如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，EC＝DC，点E 在△ABC内部，BF，CF之间存在怎样的数量关系？问题探究（1）先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，表示AF，BF；（2）再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时（1）中的结论仍然成立．问题拓展如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，EC＝kDC（k是常数），点E在△ABC内部，表示线段AF，BF24．（12分）抛物线y＝x2﹣1交x轴于A，B两点（A在B的左边）．（1）▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上；①如图（1），若点C的坐标是（0，3），点E的横坐标是，D的坐标．②如图（2），若点D在抛物线上，且▱ACDE的面积是12（2）如图（3），F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l 分别交线段AF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线只有一个公共点2021年湖北省武汉市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑.1．实数3的相反数是（）A．3B．﹣3C．D．﹣【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【解答】解：实数3的相反数是：﹣3．故选：B．2．下列事件中是必然事件的是（）A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上B．随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数C．打开电视机，正在播放广告D．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：A、抛掷一枚质地均匀的硬币，是随机事件；B、随意翻到一本书的某页，是随机事件；C、打开电视机，是随机事件；D、从两个班级中任选三名学生，是必然事件；故选：D．3．下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A．既是轴对称图形又是中心对称图形；B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．4．计算（﹣a2）3的结果是（）A．﹣a6B．a6C．﹣a5D．a5【分析】根据幂的乘方的运算法则计算可得．【解答】解：（﹣a2）3＝﹣a4，故选：A．5．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看易得有两层，底层三个正方形．故选：C．6．学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是（）A．B．C．D．【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如图：共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有8种，∴两人恰好是一男一女的概率为＝，故选：C．7．我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物，人出八，盈三，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱；每人出7钱，还差4钱．问人数，物价是y钱，则下列方程正确的是（）A．8（x﹣3）＝7（x+4）B．8x+3＝7x﹣4C．＝D．＝【分析】根据人数＝总钱数÷每人所出钱数，得出等式即可．【解答】解：设物价是y钱，根据题意可得：＝．故选：D．8．一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变（单位：km）与慢车行驶时间t（单位：h）的函数关系如图（）A．h B．h C．h D．h【分析】根据图象得出，慢车的速度为，快车的速度为．从而得出快车和慢车对应的y与t的函数关系式．联立两个函数关系式，求解出图象对应两个交点的坐标，即可得出间隔时间．【解答】解：根据图象可知，慢车的速度为．对于快车，由于往返速度大小不变，因此单程所花时间为2 h，故其速度为．所以对于慢车，y与t的函数表达式为．对于快车，y与t的函数表达式为联立①②，可解得交点横坐标为t＝3，联立①③，可解得交点横坐标为t＝4.5，因此，两车先后两次相遇的间隔时间是7.5，故选：B．9．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦沿BC翻折交AB于点D，再将＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（）A．21.9°＜α＜22.3°B．22.3°＜α＜22.7°C．22.7°＜α＜23.1°D．23.1°＜α＜23.5°【分析】如图，连接AC,CD,DE．证明∠CAB＝3α,利用三角形内角和定理求出α，可得结论．【解答】解：如图，连接AC,DE．∵＝,∴ED＝EB,∴∠EDB＝∠EBD＝α,∵＝＝,∴AD＝CD＝DE,∴∠DCE＝∠DEC＝∠EDB+∠EBD＝2α,∴∠CAD＝∠CDA＝∠DCE+∠EBD＝3α,∵AB是直径，∴∠ACB＝90°,∴∠CAB+∠ABC＝90°,∴2α＝90°,∴α＝22.5°,故选：B．10．已知a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是（）A．﹣25B．﹣24C．35D．36【分析】根据一元二次方程解的定义得到a2﹣3a﹣5＝0，b2﹣3b﹣5＝0，即a2＝3a+5，b2＝3b+5，根据根与系数的关系得到a+b＝3,然后整体代入变形后的代数式即可求得．【解答】解：∵a，b是方程x2﹣3x﹣7＝0的两根，∴a2﹣4a﹣5＝0，b2﹣3b﹣5＝3，a+b＝3,∴a2﹣4a＝5，b2＝7b+5，∴2a2﹣6a2+b8+7b+1＝6a（a2﹣3a)+2b+5+7b+3＝10a+10b+6＝10(a+b)+6＝10×3+6＝36．故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置.11．计算的结果是5．【分析】根据二次根式的性质解答．【解答】解：＝|﹣4|＝5．12．我国是一个人口资源大国．第七次全国人口普查结果显示，北京等五大城市的常住人口数如下表，这组数据的中位数是2189．城市北京上海广州重庆成都21892487186832052094常住人口数万【分析】将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解即可．【解答】解：将这组数据重新排列为1868，2094，2487，所以这组数据的中位数为2189，故答案为：2189．13．已知点A（a，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y＝（m是常数）的图象上，且y1＜y2，则a的取值范围是﹣1＜a＜0．【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点A（a，y1），B （a+1，y2）在同一象限时，②当点A（a，y1），B（a+1，y2）在不同象限时．【解答】解：∵k＝m2+1＞5，∴反比例函数y＝（m是常数）的图象在一，在每个象限，①当A（a，y4），B（a+1，y2）在同一象限，∵y3＜y2，∴a＞a+1，此不等式无解；②当点A（a，y8）、B（a+1，y2）在不同象限，∵y2＜y2，∴a＜0，a+5＞0，解得：﹣1＜a＜6，故答案为﹣1＜a＜0．14．如图，海中有一个小岛A．一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．小岛A到航线BC 的距离是10.4nmile（≈1.73，结果用四舍五入法精确到0.1）．【分析】过点A作AE⊥BD交BD的延长线于点E，根据三角形的外角性质得到∠BAD＝∠ABD，根据等腰三角形的判定定理得到AD＝AB，根据正弦的定义求出AE即可．【解答】解：过点A作AE⊥BD交BD的延长线于点E，由题意得，∠CBA＝60°，∴∠ABD＝30°，∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠ADE﹣∠ABD＝30°，∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝AB＝12nmile，在Rt△ADE中，sin∠ADE＝，∴AE＝AD•sin∠ADE＝6≈10.5（nmile），故小岛A到航线BC的距离是10.4nmile，故答案为10.4．15．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0．下列四个结论：①若抛物线经过点（﹣3，0），则b＝2a；②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．其中正确的是①②④（填写序号）．【分析】①由题意可得，抛物线的对称轴为直线x＝＝＝﹣1，即b ＝2a，即①正确；②若b＝c，则二次函数y＝cx2+bx+a的对称轴为直线：x＝﹣＝﹣，则＝﹣，解得m＝﹣2，即方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；故②正确；③△＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，则当a≠c时，抛物线与x轴一定有两个不同的公共点．故③不正确；④由题意可知，抛物线开口向上，且＞1，则当x＜1时，y随x的增大而减小，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．故④正确．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），∴（1，3）是抛物线与x轴的一个交点．①∵抛物线经过点（﹣3，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣8，∴﹣＝﹣1，即①正确；②若b＝c，则二次函数y＝cx7+bx+a的对称轴为直线：x＝﹣＝﹣，且二次函数y＝cx2+bx+a过点（1，2），∴＝﹣，∴y＝cx2+bx+a与x轴的另一个交点为（﹣6，0）2+bx+a＝2一定有根x＝﹣2；故②正确；③△＝b2﹣6ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，∴抛物线与x轴一定有两个公共点，且当a≠c时，抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；④由题意可知，抛物线开口向上，且，∴（1，7）在对称轴的左侧，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，∴当x1＜x4＜1时，y1＞y8．故④正确．故答案为：①②④．16．如图（1），在△ABC中，AB＝AC，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，设x＝AD，y＝AE+CD（2），图象过点（0，2），则图象最低点的横坐标是﹣1．【分析】观察函数图象，根据图象经过点（0，2）即可推出AB和AC的长，构造△NBE≌△CAD，当A、E、N三点共线时，y取得最小值，利用三角形相似求出此时的x值即可．【解答】解：∵图象过点（0，2），即当x＝AD＝7时,点D与A重合，此时y＝AE+CD＝AB+AC＝2,∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝AC＝1，过点A作AF⊥BC于点F，过点B作NB⊥BC，如图所示：∵AD＝BE,∠NBE＝∠CAD，∴△NBE≌△CAD(SAS)，∴NE＝CD，又∵y＝AE+CD,∴y＝AE+CD＝AE+NE,当A、E、N三点共线时，如图所示AD＝BE＝x,AC＝BN＝6，∴AF＝AC•sin45°＝,\又∵∠BEN＝∠FEA，∠NBE＝∠AFE∴△NBE∽△AFE∴，即，解得：x＝，∴图象最低点的横坐标为：﹣1．故答案为：．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.17．（8分）解不等式组请按下列步骤完成解答．（1）解不等式①，得x≥﹣1；（2）解不等式②，得x＞﹣3；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（4）原不等式组的解集是x≥﹣1．【解答】解：（1）解不等式①，得x≥﹣1；（2）解不等式②，得x＞﹣5；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（4）原不等式组的解集是x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1；x＞﹣8．18．（8分）如图，AB∥CD，∠B＝∠D，BC的延长线分别交于点E，F，求证：∠DEF＝∠F．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠DCF＝∠B，∵∠B＝∠D，∴∠DCF＝∠D，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠F．19．（8分）为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），B组“5≤t＜7”，C组“7≤t＜9”，绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次抽样调查的样本容量是100，C组所在扇形的圆心角的大小是108°；（2）将条形统计图补充完整；（3）该校共有1500名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于7h的学生人数．【解答】解：（1）这次抽样调查的样本容量是10÷10%＝100，C组所在扇形的圆心角的大小是360°×＝108°，故答案为：100，108°；（2）B组的人数＝100﹣15﹣30﹣10＝45（名），条形统计图如图所示，（3）1500×＝600（名）．答：估计该校平均每周劳动时间不少于7h的学生人数为600．20．（8分）如图是由小正方形组成的5×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（1）在图（1）中，先在边AB上画点E，使AE＝2BE，使EF平分矩形ABCD 的面积；（2）在图（2）中，先画△BCD的高CG，再在边AB上画点H【解答】解：（1)如图，直线EF即为所求．（2）如图，线段CG．21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点的中点，过点C作AD的垂线（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若＝，求cos∠ABD的值．【解答】（1）证明：连接OC交BD于点G，∵点C是的中点，∴由圆的对称性得OC垂直平分BD，∴∠DGC＝90°,∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°,∴∠EDB＝90°,∵CE⊥AE，∴∠E＝90°,∴四边形EDGC是矩形，∴∠ECG＝90°，∴CE⊥OC,∴CE是⊙O的切线；（2）解：连接BC，设FG＝x，∵＝，设DF＝t,DC＝t,由（1）得，BC＝CD＝t,∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°,∴∠BCG+∠FCG＝90°,∵∠DGC＝90°,∴∠CFB+∠FCG＝90°,∴∠BCG＝∠CFB,∴Rt△BCG∽Rt△BFC,∴BC2＝BG•BF,∴（t）7＝（x+t）（x+2t）解得x1＝t,x3＝﹣t（不符合题意，∴CG＝＝＝t,∴OG＝r﹣t,在Rt△OBG中，由勾股定理得OG2+BG4＝OB2,∴（r﹣t）2+（2r）2＝r7,解得r＝t,∴cos∠ABD＝＝＝．22．（10分）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒，每天少销售10盒．（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）；（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x 的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．【解答】解：（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元，根据题意，得﹣＝100，解得m＝3，∴5.5m＝4.8，∴每盒产品的成本是：4.5×5+4×3+6＝30（元），答：每盒产品的成本为30元；（2）根据题意，得w＝(x﹣30)[500﹣10(x﹣60)]＝﹣10x2+1400x﹣33000，∴w关于x的函数解析式为：w＝﹣10x2+1400x﹣33000；（3）由（2）知w＝﹣10x7+1400x﹣33000＝﹣10（x﹣70）2+16000，∴当a≥70时，每天最大利润为16000元，当60＜a＜70时，每天的最大利润为(﹣10a2+1400a﹣33000)元．23．（10分）问题提出如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，EC＝DC，点E 在△ABC内部，BF，CF之间存在怎样的数量关系？问题探究（1）先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，表示AF，BF；（2）再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时（1）中的结论仍然成立．问题拓展如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，EC＝kDC（k是常数），点E在△ABC内部，表示线段AF，BF【解答】解：（1）如图（2），∵∠ACD+∠ACE＝90°，∴∠BCE＝∠ACD，∵BC＝AC，EC＝DC，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD＝AF，∠EBC＝∠CAD，故△CDE为等腰直角三角形，故DE＝EF＝CF，则BF＝BD＝BE+ED＝AF+CF；即BF﹣AF＝CF；（2）如图（1），由（1）知，∴∠CAF＝∠CBE，BE＝AF，过点C作CG⊥CF交BF于点G，∵∠FCE+∠ECG＝90°，∠ECG+∠GCB＝90°，∴∠ACF＝∠GCB，∵∠CAF＝∠CBE，BC＝AC，∴△BCG≌△ACF（AAS），∴GC＝FC，BG＝AF，故△GCF为等腰直角三角形，则GF＝，则BF＝BG+GF＝AF+CF，即BF﹣AF＝CF；（3）由（2）知，∠BCE＝∠ACD，而BC＝kAC，EC＝kDC，即，∴△BCE∽△CAD，∴∠CAD＝∠CBE，过点C作CG⊥CF交BF于点G，由（2）知，∠BCG＝∠ACF，∴△BGC∽△AFC，∴＝，则BG＝kAF，GC＝kFC，在Rt△CGF中，GF＝＝＝，则BF＝BG+GF＝kAF+•FC，即BF﹣kAF＝•FC．24．（12分）抛物线y＝x2﹣1交x轴于A，B两点（A在B的左边）．（1）▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上；①如图（1），若点C的坐标是（0，3），点E的横坐标是，D的坐标．②如图（2），若点D在抛物线上，且▱ACDE的面积是12（2）如图（3），F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l 分别交线段AF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线只有一个公共点【解答】解：（1）对于y＝x2﹣1，令y＝x4﹣1＝0，解得x＝±5，则y＝﹣1，故点A、B的坐标分别为（﹣1、（4，顶点坐标为（0，①当x＝时，y＝x2﹣1＝，由点A、C的坐标知，∵四边形ACDE为平行四边形，故点E向右平移1个单位向上平移3个单位得到点D，则+8＝，，故点D的坐标为（，）；②设点C（3，n），m2﹣1），同理可得，点D的坐标为（m+4，m2﹣1+n），将点D的坐标代入抛物线表达式得：m3﹣1+n＝（m+1）2﹣1，解得n＝2m+8，故点C的坐标为（0，2m+6）；连接CE，过点E作y轴的平行线交x轴于点M，则S△ACE ＝S梯形CNMA﹣S△CEN﹣S△AEM＝（m+2+m）（2m+1）﹣2﹣6）﹣m[5m+1﹣（m2﹣8）]＝S▱ACED＝6，解得m＝﹣5（舍去）或2，故点E的坐标为（8,3）；（2）∵F是原点O关于抛物线顶点的对称点，故点F的坐标为（0，由点B、F的坐标得，同理可得，直线AF的表达式为y＝﹣6x﹣2②，设直线l的表达式为y＝tx+n，联立y＝tx+n和y＝x2﹣4并整理得：x2﹣tx﹣n﹣1＝6，∵直线l与抛物线只有一个公共点，故△＝（﹣t）2﹣4（﹣n﹣6）＝0，解得n＝﹣t2﹣1，故直线l的表达式为y＝tx﹣t2﹣8③，联立①③并解得x H＝，同理可得，x G＝，∵射线F A、FB关于y轴对称，设∠AFO＝∠BFO＝α，则sin∠AFO＝∠BFO＝＝＝＝sinα，则FG+FH＝+＝（x H﹣x G）＝（﹣）＝．。
2021年湖北武汉中考数学试题(解析版)
{来源}2021湖北武汉初中毕业、升学考试数学 {适用范围：3．九年级}{标题}2021年湖北省武汉市初中毕业、升学考试数 学（满分150分，考试时间120分钟）{题型：1－选择题}一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内． {题目}1．（2021湖北武汉1）实数2021的相反数是（ ） A ．2021B ．－2021C ．20191D ．20191-{答案}B{解析}本题考查了相反数的求法，求相反数一般方法在原数前加“－”，再化简，2021的相反数是－2021．故选B ． {分值}3{章节:[1-1-2-3]相反数} {考点:相反数的定义} {类别：常考题} {难度：1－最简单}{题目}2．（2021湖北武汉2）式子1-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0B ．x ≥－1C ．x ≥1D ．x ≤1{答案}C{解析}本题考查了二次根式有意义的条件及解一元一次不等式，由1-x 在实数范围内有意义，得x －1≥0,解得x ≥1，故选B ． {分值}3{章节:[1-16-1]二次根式}{考点:二次根式的有意义的条件} {考点:解一元一次不等式} {类别：易错题} {难度：2－简单}{题目}3．（2021湖北武汉3） 不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A ．3个球都是黑球 B ．3个球都是白球 C ．三个球中有黑球 D ．3个球中有白球 {答案}B{解析}本题考查了事件类型的判断，因为3个球都是黑球是随机事件，所以A 错误；因为3个球都是白球是不可能事件，所以B 正确；因为三个球中有黑球是随机事件，所以C 错误；因为3个球中有白球是随机事件，所以D 错误．故选B ． {分值}3{章节:[1-25-1-1]随机事件}{考点:事件的类型}{类别：常考题}{难度：2－简单}{题目}4．（2021湖北武汉4）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（）A．诚B．信C．友D．善{答案}D{解析}本题考查了轴对称图形的定义，“诚”、“信”、“友”都不是轴对称图形，只有“善”是轴对称图形。
2021年武汉市中考数学试题及答案解析
2021年湖北省武汉市中考数学试卷一．选择题(共12小题)1．(2021武汉)在2.5，﹣2.5，0，3这四个数种，最小的数是()A． 2.5 B．﹣2.5 C． 0 D． 3考点:有理数大小比较。
解答:解:∵﹣2.5＜0＜2.5＜3，∴最小的数是﹣2.5，故选B．2．(2021武汉)若在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A． x＜3 B． x≤3 C． x＞3 D． x≥3考点:二次根式有意义的条件。
解答:解:根据题意得，x﹣3≥0，解得x≥3．故选D．3．(2021武汉)在数轴上表示不等式x﹣1＜0的解集，正确的是()A．B．C．D．考点:在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式。
解答:解:x﹣1＜0，∴x＜1，在数轴上表示不等式的解集为:，故选B．4．(2021武汉)从标号分别为1，2，3，4，5的5张卡片中，随机抽取1张．下列事件中，必然事件是()A．标号小于6 B．标号大于6 C．标号是奇数D．标号是3 考点:随机事件。
解答:解:A．是一定发生的事件，是必然事件，故选项正确；B．是不可能发生的事件，故选项错误；C．是随机事件，故选项错误；D．是随机事件，故选项错误．故选A．5．(2021武汉)若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+2=0的两根，则x1+x2的值是()A．﹣2 B． 2 C． 3 D． 1考点:根与系数的关系。
解答:解:由一元二次方程x2﹣3x+2=0，∴x1+x2=3，故选C．6．(2021武汉)某市2021年在校初中生的人数约为23万．数230000用科学记数法表示为()A． 23×104B． 2.3×105C． 0.23×103D． 0.023×106考点:科学记数法—表示较大的数。
解答:解:23万=230 000=2.3×105．故选B．7．(2021武汉)如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE=5，BF=3，则CD的长是()A． 7 B． 8 C． 9 D． 10考点:翻折变换(折叠问题)。
专题24 手拉手模型问题(解析版)-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练
专题24 手拉手模型问题【规律总结】特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180°（3）OA平分∠BOC变形：【典例分析】例1．（2021·河南新乡市·新乡学院附属中学八年级月考）如图，点C是线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，有以下5个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=DQ；④DE=DP；⑤∥AOB=60°．其中一定成立的结论有（）个A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，△ACB=△DCE=60°，从而证出△ACD△△BCE，可推知AD=BE；③由△ACD△△BCE得△CBE=△DAC，加之△ACB=△DCE=60°，AC=BC，得到△ACP△△BCQ（ASA），所以AP=BQ；故③正确；②根据②△CQB△△CPA（ASA），再根据△PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由△PQC=△DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；④根据△DQE=△ECQ+△CEQ=60°+△CEQ，△CDE=60°，可知△DQE≠△CDE，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，BC△DE，再根据平行线的性质得到△CBE=△DEO，于是△AOB=△DAC+△BEC=△BEC+△DEO=△DEC=60°，可知⑤正确．【详解】①△等边△ABC和等边△DCE，△BC=AC,DE=DC=CE，△DEC=△BCA=△DCE=60△，△△ACD=△BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC，△ACD=△BCE，DC=CE，△△ACD△△BCE(SAS)，△AD=BE；故①正确；③△△ACD△△BCE(已证)，△△CAD=△CBE，△△ACB=△ECD=60°(已证)，△△BCQ=180°-60°×2=60°，△△ACB=△BCQ=60°，在△ACP与△BCQ中，△CAD=△CBE，AC=BC，△ACB=△BCQ=60°，△△ACP△△BCQ(ASA)，△AP=BQ；故③正确；②△△ACP△△BCQ，△PC=QC，△△PCQ是等边三角形，△△CPQ=60△，△△ACB=△CPQ，△PQ△AE；故②正确；④△AD=BE，AP=BQ，△AD−AP=BE−BQ，即DP=QE，△DQE=△ECQ+△CEQ=60°+△CEQ，△CDE=60°，△△DQE≠△CDE，则DP≠DE ，故④错误；⑤△△ACB=△DCE=60°，△△BCD=60°，△等边△DCE ，△EDC=60°=△BCD ，△BC△DE ，△△CBE=△DEO ，△△AOB=△DAC+△BEC=△BEC+△DEO=△DEC=60°.故⑤正确；综上所述，正确的结论有：①②③⑤，错误的结论只有④，故选D ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的判定和性质，此图形是典型的“手拉手”模型，熟练掌握此模型的特点是解题的关键．例2．（2020·武汉市二桥中学八年级月考）在ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，4AB =，点D 是直线BC 上一动点，连接AD ，在直线AD 的右恻作等边ADE ，连接CE ，当线段CE 的长度最小时，则线段CD 的长度为__________．【分析】以AC 为边向左作等边三角形ACF ，连接DF ，先根据直角三角形中30所对的直角边是斜边的一半求出BC 的长，再由勾股定理求出AC 的长，根据作的辅助线证明()ACE AFD SAS ≅，则CE DF =，当DF BC ⊥时，DF 的长是最小的，即CE 的长最小，求出此时CD '的长即可．【详解】解：如图，以AC 为边向左作等边三角形ACF ，连接DF ，△90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，△30BAC ∠=︒，△4AB =， △122BC AB ==， △2223AC AB BC ，△ACF 是等边三角形，△CF AC AF ===60FAC ∠=︒，△ADE 是等边三角形，△AD AE =，60DAE ∠=︒，△FAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，△CAE FAD ∠=∠，在ACE △和AFD 中，AC AF CAE FAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()ACE AFD SAS ≅，△CE DF =，当DF BC ⊥时，DF 的长是最小的，即CE 的长最小，△906030FCD '∠=︒-︒=︒，Rt CFD '，△12D F CF '==3CD '=， △当线段CE 的长度最小时，则线段CD 的长度为3．故答案是：3．【点睛】本题考查线段最值问题，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，以及掌握有30角的特殊直角三角形的性质和等边三角形的性质．例3．（2021·北京房山区·八年级期末）在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =．（1）如图1，点D 为BC 边上一点，连接AD ，以AD 为边作Rt ADE △，90DAE ∠=︒，AD AE =，连接EC ．直接写出线段BD 与CE 的数量关系为 ，位置关系为 ． （2）如图2，点D 为BC 延长线上一点，连接AD ，以AD 为边作Rt ADE △，90DAE ∠=︒，AD AE =，连接EC ．①用等式表示线段BC ，DC ，EC 之间的数量关系为 ．②求证：2222BD CD AD +=．（3）如图3，点D 为ABC 外一点，且45ADC ∠=︒，若13BD =，5CD =，求AD 的长．【答案】（1）BD CE =，BD CE ⊥；（2）①BC DC EC +=，②见解析；（3）【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得到45B ACB ∠=∠=︒，根据题意可知BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠，再利用SAS 证明BAD △CAE ，可得到BD CE =，45ABC ACE ∠=∠=︒，从而算出BCE ∠的度数，进而得到线段BD 与CE 的位置关系；（2）①根据角度的运算得到BAD CAE ∠=∠，再利用SAS 证得BAD △CAE ，得到BD CE =，再根据BD BC CD =+，等量代换即可求出答案；②由①中BAD △CAE ，得到BD CE =，ABC ACE ∠=∠，在根据等腰直角三角形的性质即可得出ACE ∠的度数，进而证得90BCE DCE ∠=∠=︒，根据勾股定理得到222AE AD DE +=，222CE CD DE +=，等量代换后得到2222AE AD CE CD +=+，又因为AE AD =，BD CE =，代入即可得出答案；（3）过点A 作AE AD ⊥，并且AE AD =，连接DE ，CE ，得到ADE 是等腰直角三角形，由（2）得BAD △CAE ，得到BD CE =，在Rt CDE △中，通过勾股定理求出DE 的长度，在Rt ADE △中又由勾股定理得：222AE AD DE +=，再根据AE AD =，代入数据即可求出AD 的长度．【详解】（1）在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =， ∴45B ACB ∠=∠=︒，90DAE ∠=︒，∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠，在BAD 和CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BAD △CAE ()SAS ，∴BD CE =，45ABC ACE ∠=∠=︒，∴90BCE ACB ACE ∠=∠+∠=︒，∴BD CE ⊥．故答案为：BD CE =，BD CE ⊥．（2）①90BAC ∠=︒，90DAE ∠=︒，∴BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠，即BAD CAE ∠=∠，在BAD 和CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BAD △CAE ()SAS ，∴BD CE =，BD BC CD =+，∴BC DC EC +=．故答案为：BC DC EC +=．②证明：由①得：BAD △CAE ，∴BD CE =，ABC ACE ∠=∠，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，∴45ACE ABC ACB ∠=∠=∠=︒，∴90BCE DCE ∠=∠=︒，在Rt ADE △和Rt ECD △中，由勾股定理得：222AE AD DE +=，222CE CD DE +=， ∴2222AE AD CE CD +=+，AE AD =，BD CE =，∴2222AD BD CD =+，即2222BD CD AD +=．（3）过点A 作AE AD ⊥，并且AE AD =，连接DE ，CE ，如图，∴ADE 是等腰直角三角形，∴45ADE ∠=︒，45ADC ∠=︒，∴90CDE ∠=︒，由（2）中②可知，BAD △CAE ，∴BD CE =，13BD =，5CD =，∴13CE =，在Rt CDE △中，由勾股定理得：222DE CD CE +=， ∴12DE =，在Rt ADE △中，由勾股定理得：222AE AD DE +=， ∴22144AD =， ∴AD =【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是合理添加辅助线找出两个三角形全等．【好题演练】一、单选题1．（2020·哈尔滨市第六十九中学校八年级期末）如图，在ABC 中，AB AC =，点D 、F 是射线BC 上两点，且AD AF ⊥，若AE AD =，15BAD CAF ∠=∠=︒；则下列结论中正确的有（ ）①CE BF ⊥；②ABD ACE △≌△；③ABC ADCE S S =四边形△；④122BC EF AD CF -=- A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【分析】由AD△AF ，△BAD=△CAF ，得出△BAC=90°，由等腰直角三角形的性质得出△B=△ACB=45°，由SAS证得△ABD△△ACE （SAS ），得出BD=CE ，△B=△ACE=45°，S △ABC =S 四边形ADCE ，则△ECB=90°，即EC△BF ，易证△ADF=60°，△F=30°，由含30°直角三角形的性质得出EF=2CE=2BD ，DF=2AD ，则BD=12EF ，由BC -BD=DF -CF ，得出BC -12EF=2AD -CF ，即可得出结果． 【详解】△AD△AF ，△BAD=△CAF ，△△BAC=90°，△AB=AC ，△△B=△ACB=45°，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩， △△ABD△△ACE （SAS ），△BD=CE ，△B=△ACE=45°，S △ABC =S 四边形ADCE ，△△ECB=90°，△EC△BF ，△△B=45°，△BAD=15°，△△ADF=60°，△△F=30°，△EF=2CE=2BD ，DF=2AD ， △BD=12EF ， △BC -BD=DF -CF ， △BC -12EF=2AD -CF ， △①、②、③、④正确．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、含30°角直角三角形的性质、外角的定义等知识，熟练掌握直角三角形的性质、证明三角形全等是解题的关键． 2．（2020·嵊州市三界镇中学八年级期中）如图，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，连结CE 交AD 于点F ，连结BD 交CE 于点G ，连结BE ．下列结论中：（1）CE BD =，（2）ADC 是等腰直角三角形，（3）ADB AEB ∠=∠，（4）BCDE 1=2S BD CE ⋅四边形，（5）2222BC DE BE CD +=+． 正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】 根据等腰直角三角形的性质可得AB =AC ，AD =AE ，然后求出△BAD =△CAE ，再利用“边角边”证明△ABD 和△ACE 全等，根据全等三角形对应边相等可得CE =BD ，判断①正确；根据全等三角形对应角相等可得△ABD =△ACE ，从而求出△BCG +△CBG =△ACB +△ABC =90°，再求出△BGC =90°，从而得到BD △CE ，根据四边形的面积判断出④正确；根据勾股定理表示出BC 2+DE 2，BE 2+CD 2，得到⑤正确；再求出AE △CD 时，△ADC =90°，判断出②错误；△AEC 与△AEB 不一定相等判断出③错误．【详解】△△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，△AB =AC ，AD =AE ．△△BAC =△DAE =90°，△△BAC +△CAD =△DAE +△CAD，△△BAD =△CAE ，在△ABD和△ACE中，△AB ACBAD CAE AD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABD△△ACE(SAS)，△CE=BD，故①正确；△△ABD△△ACE，△△ABD=△ACE，△△BCG+△CBG=△ACB+△ABC=90°，在△BCG中，△BGC=180°﹣(△BCG+△CBG)=180°﹣90°=90°，△BD△CE，△S四边形BCDE12=BD•CE，故④正确；由勾股定理．在Rt△BCG中，BC2=BG2+CG2，在Rt△DEG中，DE2=DG2+EG2，△BC2+DE2=BG2+CG2+DG2+EG2，在Rt△BGE中，BE2=BG2+EG2，在Rt△CDG中，CD2=CG2+DG2，△BE2+CD2=BG2+CG2+DG2+EG2，△BC2+DE2=BE2+CD2，故⑤正确；只有AE△CD时，△ADC=△DAE=90°，无法说明AE△CD，故②错误；△△ABD△△ACE，△△ADB =△AEC ．△△AEC 与△AEB 相等无法证明，△△ADB =△AEB 不一定成立，故③错误；综上所述：正确的结论有①④⑤共3个．故选：C ．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半的性质，熟记各性质是解答本题的关键．二、填空题3．（2021·保定市莲池区贺阳外国语学校八年级期末）如图，在ABC 中，45ABC ︒∠=，3AB =，AD BC ⊥于点D ，BE AC ⊥于点F ．1AE =，连接DE ，将AED 沿直线AE 翻折至ABC 所在的平面，得AEF ，连接DF ．过点D 作DG DE ⊥交BE 于点G ，则四边形DFEG 的周长为________．【答案】2【分析】先证BDG DE ∆≅∆，得出1AE BG ==，再证DGE ∆与EDF ∆是等腰直角三角形，在直角AEB ∆中利用勾股定理求出BE 的长，进一步求出GE 的长，可通过解直角三角形分别求出GD ，DE ，EF ，DF 的长，即可求出四边形DFEG 的周长．【详解】△45ABC ︒∠=，AD BC ⊥于点D ，△9045BAD ABC ︒︒∠=-∠=，△ABD ∆是等腰直角三角形，△AD BD =，△BE AC ⊥，△90GBD C ︒∠+∠=，△90EAD C ︒∠+∠=，△GBD EAD ∠=∠，△90ADB EDG ︒∠=∠=，△ADB ADG EDG ADG ∠-∠=∠-∠，即BDG ADE ∠=∠，△()BDG ADE ASA ∆≅∆，△1BG AE ==，DG DE =，△90EDG ︒∠=，△EDG ∆为等腰直角三角形，△9045135AED AEB DEG ︒︒︒∠=∠+∠=+=，△AED ∆沿直线AE 翻折得AEF ∆，△AED AEF ∆≅∆，△135AED AEF ︒∠=∠=，ED EF =，△36090DEF AED AEF ︒︒∠=-∠-∠=，△DEF ∆为等腰直角三角形，△EF DE DG ==，在Rt AEB ∆中，BE ===△1GE BE BG =-=，在Rt DGE ∆中，222DG ==-，△22EF DE ==-， 在Rt DEF ∆中，1DF ==，△四边形DFEG 的周长为：GD EF GE DF +++221)2⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭2=+，故答案为：2+．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够灵活运用等腰直角三角形的判定与性质．4．（2020·浙江锦绣育才教育科技集团有限公司九年级月考）如图，四边形ABCD 为正方形．O 过正方形的顶点A 和对角线的交点P ，且与AB 、AD 分别交于点F ，E ．（1）若5DE =，则AF =______．（2）若7AD =，O 的半径为52，则AE DE=______． 【答案】5 43或34【分析】（1）连接EF 、EP 、FP ，由四边形ABCD 为正方形，则△BAD=90°，△BPA=90°，得到△FPE=90°，所以△BPF=△APE ，易证△BPF△△APE ，则BF=AE ，即可得到DE=AF ；（2）连EF ，由△BAD=90°，得到EF 为△O 的直径，即EF=5，所以22225AF AE EF +==，而DE=AF ，所以22225DE AE EF +==，再由AD=AE+ED=7，这样得到关于DE ，AE 的方程组，解方程组求出DE ，AE ，即可得到AE DE的值． 【详解】（1）连接EP 、FP ，如图，△四边形ABCD 为正方形，△△BAD=90°，△BPA=90°△△FPE=90°，△△BPF=△APE，又△△FBP=△PAE=45°，△△BPF△△APE，△BF=AE，而AB=AD，△AF= DE=5；故答案为：5，（2）连EF，△△BAD=90°，△EF为△O的直径，而△O的半径为52，△EF=522⨯=5，△22225AF AE EF+==，而DE=AF，22225DE AE EF∴+==①；又△AD=AE+ED=AB，△AE+ED=7②，由①②联立起来组成方程组，解之得：AE=3，ED=4或AE=4，ED=3，故答案为：34AEDE=或43AEDE=．【点睛】本题考查了正方形的性质，圆的内接四边形的性质，“手拉手”模型构造全等三角形，解一元二次方程等知识点，熟练掌握基本的辅助线构造，灵活推理证明是解题关键．三、解答题5．（2019·河南周口市·九年级二模）（1）（探索发现）如图1，正方形ABCD中，点M、N分别是边BC、CD上的点，∥MAN＝45°，若将∥DAN绕点A顺时针旋转90°到∥BAG位置，可得∥MAN≌∥MAG，若∥MCN的周长为6，则正方形ABCD 的边长为．（2）（类比延伸）如图（2），四边形ABCD中，AB＝AD，∥BAD＝120°，∥B+∥D＝180°，点M、N分别在边BC、CD上的点，∥MAN＝60°，请判断线段BM，DN，MN之间的数量关系，并说明理由．（3）（拓展应用）如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝10，∥ADC＝120°，点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，∥ABM是等边三角形，AM∥AD，DN＝51），请直接写出MN的长．【答案】（1）3；（2）MN＝BM+DN，理由见解析；（3）米【分析】（1）由旋转可知，DN=BG，由全等可知，MN=MG=BM+DN，即△MNC的周长＝BC+CD=6，进而解决问题；（2）延长CB至E，使BE＝DN，连接AE，证明△MAN△△MAE，根据全等三角形的性质证明；（3）如图3，把△ABM绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AN．作NH△AD于H，在AH上取一点K，使得△NKH＝30°，想办法证明△MAN＝75°＝12△BAD，再利用（2）中的结论即可解决问题；【详解】解：（1）如图1中，△△MAN△△MAG，△MN＝GM，△DN＝BG，GM＝BG+BM，△MN＝BM+DN，△△CMN的周长为：MN+CM+CN＝6，△BM+CM+CN+DN＝6，△BC+CD＝6，△BC＝CD＝3，故答案为3．（2）如图2中，结论：MN＝NM+DN．延长CB至E，使BE＝DN，连接AE，△△ABC +△D ＝180°，△ABC +△ABE ＝180°，△△D ＝△ABE ，在△ABE 和△ADN 中，AB AD ABE D BE DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABE △△ADN ，△AN ＝AE ，△DAN ＝△BAE ，△△BAD ＝2△MAN ，△△DAN +△BAM ＝△MAN ，△△MAN ＝△EAM ，在△MAN 和△MAE 中，AN AE MAN MAE AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△MAN △△MAE ，△MN ＝EM ＝BE +BM ＝BM +DN ，即MN ＝BM +DN ；（3）解：如图3，把△ABM 绕点A 逆时针旋转150°至△ADG ，连接AN ．作NH △AD 于H ，在AH 上取一点K ，使得△NKH ＝30°在Rt△DHN 中，△△NDH ＝60°，DN ＝51），△DH ＝12DN HN在Rt△KNH 中，KN ＝2HN ＝15﹣，HK△AK ＝AH ﹣HK ＝15﹣△AK ＝KN ，△△KAN ＝△KNA ，△△NKH ＝△KAN +△KNA ，△△NAK ＝15°，△△MAN ＝75°＝12△BAD ，由（2）得，MN ＝BM +DN ＝10+51）＝．【点睛】本题考查的是正方形的性质、旋转变换、全等三角形的判定定理和性质定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．6．（2020·鄱阳县第二中学八年级月考）如图1，在∥ABC 中，AC=BC ，∥ACB=90°，CE 与AB相交于点D，且BE∥CE，AF∥CE，垂足分别为点E，F．（1）若AF=5，BE=2，求EF的长；（2）如图2，取AB的中点G，连接FG，EG，求证：FG=EG．【答案】（1）3；（2）见解析【分析】（1）证得△ACF＝△CBE，由AAS证得△ACF△△CBE得出CF＝BE＝2，AF＝CE＝5，即可得出结果；（2）连接CG，推出△GCB＝△CBG＝45°，得出CG＝BG，证得△CFG△△BEG得出FG＝EG即可．【详解】（1）△BE△CE，△△BEC＝90°，△△ACB＝90°，△△BEC＝△ACB，△△ACF+△BCE＝△BCE+△CBE＝90°，△△ACF＝△CBE，△AF△CE，△△AFC＝90°，在△ACF和△CBE中，△ACF CBEAFC BECAC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ACF△△CBE（AAS），△CF＝BE＝2，AF＝CE＝5，△EF＝CE﹣CF，△EF＝5﹣2＝3；（2）连接CG，如图2所示：△AC＝BC，AG＝BG，△CG△AB，△BCG＝12△ACB＝12×90°＝45°，△△CBG＝90°﹣45°＝45°，△△GCB＝△CBG＝45°，△CG＝BG，在△ADF和△BDE中，△△AFD＝△BED，△△FAD＝△EBG，由（1）证可知：△ACF△△CBE，△CF＝BE，△CAF＝△BCE，△△CAF+△FAD＝△GCD+△BCE＝45°，△△FAD＝△GCD，△△EBG＝△FCG，在△CFG与△BEG中，△CG=BG，△FCG=△EBG，CF=BE，△△CFG△△BEG（SAS），△FG＝EG．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与全等三角形性质及判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．。
2021年湖北省武汉市中考数学真题试卷(学生版+解析版)
2021年湖北省武汉市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑.1．（3分）实数3的相反数是（ ）A ．3B ．﹣3C ．13D ．−132．（3分）下列事件中是必然事件的是（ ）A ．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上B ．随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数C ．打开电视机，正在播放广告D ．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级3．（3分）下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（3分）计算（﹣a 2）3的结果是（ ）A ．﹣a 6B ．a 6C ．﹣a 5D ．a 55．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（3分）学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34 7．（3分）我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有x 人，物价是y 钱，则下列方程正确的是（ ）A ．8（x ﹣3）＝7（x +4）B ．8x +3＝7x ﹣4C ．y−38=y+47D ．y+38=y−478．（3分）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y （单位：km ）与慢车行驶时间t （单位：h ）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（ ）A ．53hB ．32hC ．75hD ．43h 9．（3分）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，先将BĈ沿BC 翻折交AB 于点D ，再将BD ̂沿AB 翻折交BC 于点E ．若BE ̂=DE ̂，设∠ABC ＝α，则α所在的范围是（ ）A ．21.9°＜α＜22.3°B ．22.3°＜α＜22.7°C ．22.7°＜α＜23.1°D ．23.1°＜α＜23.5° 10．（3分）已知a ，b 是方程x 2﹣3x ﹣5＝0的两根，则代数式2a 3﹣6a 2+b 2+7b +1的值是（ ）A ．﹣25B ．﹣24C ．35D ．36二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置.11．（3分）计算√(−5)2的结果是．12．（3分）我国是一个人口资源大国．第七次全国人口普查结果显示，北京等五大城市的常住人口数如下表，这组数据的中位数是．城市北京上海广州重庆成都常住人口数万2189248718683205209413．（3分）已知点A（a，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y=m2+1x（m是常数）的图象上，且y1＜y2，则a的取值范围是．14．（3分）如图，海中有一个小岛A．一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12nmile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．小岛A 到航线BC的距离是nmile（√3≈1.73，结果用四舍五入法精确到0.1）．15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0．下列四个结论：①若抛物线经过点（﹣3，0），则b＝2a；②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．其中正确的是（填写序号）．16．（3分）如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x＝AD，y＝AE+CD，y关于x的函数图象如图（2），图象过点（0，2），则图象最低点的横坐标是．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.17．（8分）解不等式组{2x ≥x −1，①4x +10＞x +1．②请按下列步骤完成解答． （1）解不等式①，得 ；（2）解不等式②，得 ；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（4）原不等式组的解集是 ．18．（8分）如图，AB ∥CD ，∠B ＝∠D ，直线EF 与AD ，BC 的延长线分别交于点E ，F ，求证：∠DEF ＝∠F ．19．（8分）为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t （单位：h ），按劳动时间分为四组：A 组“t ＜5”，B 组“5≤t ＜7”，C 组“7≤t ＜9”，D 组“t ≥9”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次抽样调查的样本容量是 ，C 组所在扇形的圆心角的大小是 ；（2）将条形统计图补充完整；（3）该校共有1500名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于7h 的学生人数．20．（8分）如图是由小正方形组成的5×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（1）在图（1）中，先在边AB 上画点E ，使AE ＝2BE ，再过点E 画直线EF ，使EF 平分矩形ABCD 的面积；（2）在图（2）中，先画△BCD 的高CG ，再在边AB 上画点H ，使BH ＝DH ．21．（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上两点，C 是BD̂的中点，过点C 作AD 的垂线，垂足是E ．连接AC 交BD 于点F ．（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）若DC DF =√6，求cos ∠ABD 的值．22．（10分）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）；（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．23．（10分）问题提出如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝AC，EC＝DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE于点F．线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？问题探究（1）先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；（2）再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝kAC，EC＝kDC（k是常数），点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系．24．（12分）抛物线y ＝x 2﹣1交x 轴于A ，B 两点（A 在B 的左边）．（1）▱ACDE 的顶点C 在y 轴的正半轴上，顶点E 在y 轴右侧的抛物线上；①如图（1），若点C 的坐标是（0，3），点E 的横坐标是32，直接写出点A ，D 的坐标． ②如图（2），若点D 在抛物线上，且▱ACDE 的面积是12，求点E 的坐标．（2）如图（3），F 是原点O 关于抛物线顶点的对称点，不平行y 轴的直线l 分别交线段AF ，BF （不含端点）于G ，H 两点．若直线l 与抛物线只有一个公共点，求证：FG +FH 的值是定值．2021年湖北省武汉市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑.1．（3分）实数3的相反数是（ ）A ．3B ．﹣3C ．13D ．−13【解答】解：实数3的相反数是：﹣3．故选：B ．2．（3分）下列事件中是必然事件的是（ ）A ．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上B ．随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数C ．打开电视机，正在播放广告D ．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级【解答】解：A 、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件；B 、随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数，是随机事件；C 、打开电视机，正在播放广告，是随机事件；D 、从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级，是必然事件； 故选：D ．3．（3分）下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A ．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；B ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；C ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：A ．4．（3分）计算（﹣a 2）3的结果是（ ）A ．﹣a 6B ．a 6C ．﹣a 5D ．a 5【解答】解：（﹣a 2）3＝﹣a 6，故选：A ．5．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：从正面看易得有两层，底层三个正方形，上层中间是一个正方形．故选：C ．6．（3分）学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34 【解答】解：画树状图如图：共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有8种，∴两人恰好是一男一女的概率为812=23， 故选：C ．7．（3分）我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有x 人，物价是y 钱，则下列方程正确的是（ ）A ．8（x ﹣3）＝7（x +4）B ．8x +3＝7x ﹣4C ．y−38=y+47D ．y+38=y−47【解答】解：设物价是y 钱，根据题意可得：y+38=y−47．故选：D ．8．（3分）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y （单位：km ）与慢车行驶时间t （单位：h ）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（ ）A ．53hB ．32h C ．75h D ．43h 【解答】解：根据图象可知，慢车的速度为a 6km/ℎ．对于快车，由于往返速度大小不变，总共行驶时间是4 h ，因此单程所花时间为2 h ，故其速度为a 2km/ℎ． 所以对于慢车，y 与t 的函数表达式为y =a 6t(0≤t ≤6)•①．对于快车，y 与t 的函数表达式为y ={a 2(t −2)(2≤t ＜4)⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅②,−a 2(t −6)4≤t ≤6)⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅③, 联立①②，可解得交点横坐标为t ＝3，联立①③，可解得交点横坐标为t ＝4.5，因此，两车先后两次相遇的间隔时间是1.5，故选：B ．9．（3分）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，先将BĈ沿BC 翻折交AB 于点D ，再将BD ̂沿AB 翻折交BC 于点E ．若BE ̂=DE ̂，设∠ABC ＝α，则α所在的范围是（ ）A．21.9°＜α＜22.3°B．22.3°＜α＜22.7°C．22.7°＜α＜23.1°D．23.1°＜α＜23.5°【解答】解：如图，连接AC,CD,DE．̂=EB̂,∵ED∴ED＝EB,∴∠EDB＝∠EBD＝α,̂=CD̂=DÊ,∵AC∴AD＝CD＝DE,∴∠DCE＝∠DEC＝∠EDB+∠EBD＝2α,∴∠CAD＝∠CDA＝∠DCE+∠EBD＝3α,∵AB是直径，∴∠ACB＝90°,∴∠CAB+∠ABC＝90°,∴4α＝90°,∴α＝22.5°,故选：B．10．（3分）已知a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是（）A．﹣25B．﹣24C．35D．36【解答】解：∵a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，∴a2﹣3a﹣5＝0，b2﹣3b﹣5＝0，a+b＝3,∴a2﹣3a＝5，b2＝3b+5，∴2a3﹣6a2+b2+7b+1＝2a（a2﹣3a)+3b+5+7b+1＝10a+10b+6＝10(a+b)+6＝10×3+6＝36．故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置.11．（3分）计算√(−5)2的结果是5．【解答】解：√(−5)2=|﹣5|＝5．12．（3分）我国是一个人口资源大国．第七次全国人口普查结果显示，北京等五大城市的常住人口数如下表，这组数据的中位数是2189．城市北京上海广州重庆成都常住人口数万21892487186832052094【解答】解：将这组数据重新排列为1868，2094，2189，2487，3205，所以这组数据的中位数为2189，故答案为：2189．13．（3分）已知点A（a，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y=m2+1x（m是常数）的图象上，且y1＜y2，则a的取值范围是﹣1＜a＜0．【解答】解：∵k＝m2+1＞0，∴反比例函数y=m2+1x（m是常数）的图象在一、三象限，在每个象限，y随x的增大而减小，①当A（a，y1），B（a+1，y2）在同一象限，∵y1＜y2，∴a＞a+1，此不等式无解；②当点A（a，y1）、B（a+1，y2）在不同象限，∵y1＜y2，∴a＜0，a+1＞0，解得：﹣1＜a＜0，故答案为﹣1＜a＜0．14．（3分）如图，海中有一个小岛A．一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12nmile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．小岛A 到航线BC的距离是10.4nmile（√3≈1.73，结果用四舍五入法精确到0.1）．【解答】解：过点A作AE⊥BD交BD的延长线于点E，由题意得，∠CBA＝60°，∠EAD＝30°，∴∠ABD＝30°，∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠ADE﹣∠ABD＝30°，∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝AB＝12nmile，在Rt△ADE中，sin∠ADE=AE AD，∴AE＝AD•sin∠ADE＝6√3≈10.4（nmile），故小岛A到航线BC的距离是10.4nmile，故答案为10.4．15．（3分）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数），a +b +c ＝0．下列四个结论： ①若抛物线经过点（﹣3，0），则b ＝2a ； ②若b ＝c ，则方程cx 2+bx +a ＝0一定有根x ＝﹣2； ③抛物线与x 轴一定有两个不同的公共点；④点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在抛物线上，若0＜a ＜c ，则当x 1＜x 2＜1时，y 1＞y 2． 其中正确的是 ①②④ （填写序号）．【解答】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数），a +b +c ＝0， ∴（1，0）是抛物线与x 轴的一个交点． ①∵抛物线经过点（﹣3，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x =1+(−3)2=−1， ∴−b2a =−1，即b ＝2a ，即①正确；②若b ＝c ，则二次函数y ＝cx 2+bx +a 的对称轴为直线：x =−b2c =−12， 且二次函数y ＝cx 2+bx +a 过点（1，0）， ∴1+m 2=−12，解得m ＝﹣2，∴y ＝cx 2+bx +a 与x 轴的另一个交点为（﹣2，0），即方程cx 2+bx +a ＝0一定有根x ＝﹣2；故②正确；③△＝b 2﹣4ac ＝（a +c ）2﹣4ac ＝（a ﹣c ）2≥0， ∴抛物线与x 轴一定有两个公共点，且当a ≠c 时，抛物线与x 轴一定有两个不同的公共点．故③不正确； ④由题意可知，抛物线开口向上，且ca ＞1，∴（1，0）在对称轴的左侧， ∴当x ＜1时，y 随x 的增大而减小， ∴当x 1＜x 2＜1时，y 1＞y 2．故④正确． 故答案为：①②④．16．（3分）如图（1），在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，边AB 上的点D 从顶点A 出发，向顶点B 运动，同时，边BC 上的点E 从顶点B 出发，向顶点C 运动，D ，E 两点运动速度的大小相等，设x ＝AD ，y ＝AE +CD ，y 关于x 的函数图象如图（2），图象过点（0，2），则图象最低点的横坐标是 √2−1 ．【解答】解：∵图象过点（0，2），即当x＝AD＝0时,点D与A重合，点E与B重合，此时y＝AE+CD＝AB+AC＝2,∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝AC＝1，过点A作AF⊥BC于点F，过点B作NB⊥BC，并使得BN＝AC，如图所示：∵AD＝BE,∠NBE＝∠CAD，∴△NBE≌△CAD(SAS)，∴NE＝CD，又∵y＝AE+CD,∴y＝AE+CD＝AE+NE,当A、E、N三点共线时，y取得最小值，如图所示，此时：AD＝BE＝x,AC＝BN＝1，∴AF＝AC•sin45°=√2 2,\又∵∠BEN ＝∠FEA ，∠NBE ＝∠AFE ∴△NBE ∽△AFE ∴NB AF=BE FE，即√22=√22−x ，解得：x =√2−1，∴图象最低点的横坐标为：√2−1． 故答案为：√2−1．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.17．（8分）解不等式组{2x ≥x −1，①4x +10＞x +1．②请按下列步骤完成解答．（1）解不等式①，得 x ≥﹣1 ； （2）解不等式②，得 x ＞﹣3 ；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（4）原不等式组的解集是 x ≥﹣1 ． 【解答】解：{2x ≥x −1，①4x +10＞x +1．②（1）解不等式①，得x ≥﹣1； （2）解不等式②，得x ＞﹣3；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（4）原不等式组的解集是x ≥﹣1． 故答案为：x ≥﹣1；x ＞﹣3；x ≥﹣1．18．（8分）如图，AB ∥CD ，∠B ＝∠D ，直线EF 与AD ，BC 的延长线分别交于点E ，F ，求证：∠DEF ＝∠F ．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠DCF＝∠B，∵∠B＝∠D，∴∠DCF＝∠D，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠F．19．（8分）为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），按劳动时间分为四组：A组“t＜5”，B组“5≤t＜7”，C组“7≤t＜9”，D组“t≥9”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次抽样调查的样本容量是100，C组所在扇形的圆心角的大小是108°；（2）将条形统计图补充完整；（3）该校共有1500名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于7h的学生人数．【解答】解：（1）这次抽样调查的样本容量是10÷10%＝100，C组所在扇形的圆心角的大小是360°×30100=108°，故答案为：100，108°；（2）B组的人数＝100﹣15﹣30﹣10＝45（名），条形统计图如图所示，（3）1500×30+10100=600（名）．答：估计该校平均每周劳动时间不少于7h的学生人数为600．20．（8分）如图是由小正方形组成的5×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形ABCD 的四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（1）在图（1）中，先在边AB上画点E，使AE＝2BE，再过点E画直线EF，使EF平分矩形ABCD的面积；（2）在图（2）中，先画△BCD的高CG，再在边AB上画点H，使BH＝DH．【解答】解：（1)如图，直线EF即为所求．（2）如图，线段CG,点H即为所求．21．（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上两点，C 是BD ̂的中点，过点C 作AD 的垂线，垂足是E ．连接AC 交BD 于点F ． （1）求证：CE 是⊙O 的切线； （2）若DC DF=√6，求cos ∠ABD 的值．【解答】（1）证明：连接OC 交BD 于点G ， ∵点C 是BD̂的中点， ∴由圆的对称性得OC 垂直平分BD ， ∴∠DGC ＝90°, ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°, ∴∠EDB ＝90°, ∵CE ⊥AE ， ∴∠E ＝90°,∴四边形EDGC 是矩形， ∴∠ECG ＝90°， ∴CE ⊥OC ,∴CE 是⊙O 的切线；（2）解：连接BC ，设FG ＝x ,OB ＝r ， ∵DC DF=√6，设DF ＝t ,DC =√6t ,由（1）得，BC ＝CD =√6t ,BG ＝GD ＝x +t , ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°, ∴∠BCG +∠FCG ＝90°, ∵∠DGC ＝90°, ∴∠CFB +∠FCG ＝90°, ∴∠BCG ＝∠CFB , ∴Rt △BCG ∽Rt △BFC , ∴BC 2＝BG •BF ,∴（√6t ）2＝（x +t ）（x +2t ）解得x 1＝t ,x 2=−52t （不符合题意，舍去）， ∴CG =√BC 2−BG 2=√(√6)2−(2t)2=√2t , ∴OG ＝r −√2t ,在Rt △OBG 中，由勾股定理得OG 2+BG 2＝OB 2, ∴（r −√2t ）2+（2r ）2＝r 2, 解得r =3√22t , ∴cos ∠ABD =BG OB =322t =2√23．22．（10分）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A ，B 两种农作物为原料开发了一种有机产品．A 原料的单价是B 原料单价的1.5倍，若用900元收购A 原料会比用900元收购B 原料少100kg ．生产该产品每盒需要A 原料2kg 和B 原料4kg ，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）；（2）设每盒产品的售价是x 元（x 是整数），每天的利润是w 元，求w 关于x 的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过a 元（a 是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．【解答】解：（1）设B 原料单价为m 元，则A 原料单价为1.5m 元，根据题意，得900m −9001.5m =100，解得m ＝3，∴1.5m ＝4.5，∴每盒产品的成本是：4.5×2+4×3+9＝30（元），答：每盒产品的成本为30元；（2）根据题意，得w ＝(x ﹣30)[500﹣10(x ﹣60)]＝﹣10x 2+1400x ﹣33000，∴w 关于x 的函数解析式为：w ＝﹣10x 2+1400x ﹣33000；（3）由（2）知w ＝﹣10x 2+1400x ﹣33000＝﹣10（x ﹣70）2+16000，∴当a ≥70时，每天最大利润为16000元，当60＜a ＜70时，每天的最大利润为(﹣10a 2+1400a ﹣33000)元．23．（10分）问题提出如图（1），在△ABC 和△DEC 中，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，BC ＝AC ，EC ＝DC ，点E 在△ABC 内部，直线AD 与BE 于点F ．线段AF ，BF ，CF 之间存在怎样的数量关系？ 问题探究（1）先将问题特殊化如图（2），当点D ，F 重合时，直接写出一个等式，表示AF ，BF ，CF 之间的数量关系；（2）再探究一般情形如图（1），当点D ，F 不重合时，证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展如图（3），在△ABC 和△DEC 中，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，BC ＝kAC ，EC ＝kDC （k 是常数），点E 在△ABC 内部，直线AD 与BE 交于点F ．直接写出一个等式，表示线段AF ，BF，CF之间的数量关系．【解答】解：（1）如图（2），∵∠ACD+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°，∴∠BCE＝∠ACD，∵BC＝AC，EC＝DC，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD＝AF，∠EBC＝∠CAD，故△CDE为等腰直角三角形，故DE＝EF=√2CF，则BF＝BD＝BE+ED＝AF+√2CF；即BF﹣AF=√2CF；（2）如图（1），由（1）知，△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAF＝∠CBE，BE＝AF，过点C作CG⊥CF交BF于点G，∵∠FCE+∠ECG＝90°，∠ECG+∠GCB＝90°，∴∠ACF＝∠GCB，∵∠CAF＝∠CBE，BC＝AC，∴△BCG≌△ACF（AAS），∴GC ＝FC ，BG ＝AF ，故△GCF 为等腰直角三角形，则GF =√2CF ，则BF ＝BG +GF ＝AF +√2CF ，即BF ﹣AF =√2CF ；（3）由（2）知，∠BCE ＝∠ACD ，而BC ＝kAC ，EC ＝kDC ，即BC AC =EC CD =k ，∴△BCE ∽△CAD ，∴∠CAD ＝∠CBE ，过点C 作CG ⊥CF 交BF 于点G ，由（2）知，∠BCG ＝∠ACF ，∴△BGC ∽△AFC ，∴BG AF =BC AC =k =GC CF ，则BG ＝kAF ，GC ＝kFC ，在Rt △CGF 中，GF =√GC 2+FC 2=√(kFC)2+FC 2=√k 2+1•FC ，则BF ＝BG +GF ＝kAF +√k 2+1•FC ，即BF ﹣kAF =√k 2+1•FC ．24．（12分）抛物线y ＝x 2﹣1交x 轴于A ，B 两点（A 在B 的左边）．（1）▱ACDE 的顶点C 在y 轴的正半轴上，顶点E 在y 轴右侧的抛物线上；①如图（1），若点C 的坐标是（0，3），点E 的横坐标是32，直接写出点A ，D 的坐标． ②如图（2），若点D 在抛物线上，且▱ACDE 的面积是12，求点E 的坐标．（2）如图（3），F 是原点O 关于抛物线顶点的对称点，不平行y 轴的直线l 分别交线段AF ，BF （不含端点）于G ，H 两点．若直线l 与抛物线只有一个公共点，求证：FG +FH 的值是定值．【解答】解：（1）对于y ＝x 2﹣1，令y ＝x 2﹣1＝0，解得x ＝±1，令x ＝0，则y ＝﹣1， 故点A 、B 的坐标分别为（﹣1，0）、（1,0），顶点坐标为（0，﹣1），①当x =32时，y ＝x 2﹣1=54，由点A 、C 的坐标知，点A 向右平移1个单位向上平移3个单位得到点C ，∵四边形ACDE 为平行四边形，故点E 向右平移1个单位向上平移3个单位得到点D ，则32+1=52，54+3=174， 故点D 的坐标为（52，174）；②设点C （0，n ），点E 的坐标为（m ，m 2﹣1），同理可得，点D 的坐标为（m +1，m 2﹣1+n ），将点D 的坐标代入抛物线表达式得：m 2﹣1+n ＝（m +1）2﹣1，解得n ＝2m +1，故点C 的坐标为（0，2m +1）；连接CE ，过点E 作y 轴的平行线交x 轴于点M ，交过点C 与x 轴的平行线与点N ，则S△ACE＝S梯形CNMA﹣S△CEN﹣S△AEM=12（m+1+m）（2m+1）−12×（m+1）（m2﹣1）−12m[2m+1﹣（m2﹣1）]=12S▱ACED＝6，解得m＝﹣5（舍去）或2，故点E的坐标为（2,3）；（2）∵F是原点O关于抛物线顶点的对称点，故点F的坐标为（0，﹣2），由点B、F的坐标得，直线BF的表达式为y＝2x﹣2①，同理可得，直线AF的表达式为y＝﹣2x﹣2②，设直线l的表达式为y＝tx+n，联立y＝tx+n和y＝x2﹣1并整理得：x2﹣tx﹣n﹣1＝0，∵直线l与抛物线只有一个公共点，故△＝（﹣t）2﹣4（﹣n﹣1）＝0，解得n=−14t2﹣1，故直线l的表达式为y＝tx−14t2﹣1③，联立①③并解得x H=t+2 4，同理可得，x G=t−2 4，∵射线F A、FB关于y轴对称，则∠AFO＝∠BFO，设∠AFO＝∠BFO＝α，则sin∠AFO＝∠BFO=OBBF=√1+2=5=sinα，则FG+FH=−x Gsinα+x Hsinα=√5（x H﹣x G）=√5（t+24−t−24）=√5为常数．。
2021年中考数学真题分类汇编：专题24圆的有关性质(解析版)
2021年中考数学真题分类汇编：专题24圆的有关性质一、单选题1．（2021·甘肃武威市·中考真题）如图，点,,,,A B C D E 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒，则CED ∠=（ ）A ．48︒B ．24︒C ．22︒D ．21︒ 【答案】D【分析】先证明,AB CD =再利用等弧的性质及圆周角定理可得答案．【详解】 解： 点,,,,A B C D E 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒，,AB CD ∴=114221,22CED AOB ∴∠=∠=⨯︒=︒ 故选：.D【点睛】本题考查的两条弧，两个圆心角，两条弦之间的关系，圆周角定理，等弧的概念与性质，掌握同弧或等弧的概念与性质是解题的关键．2．（2021·广西玉林市·中考真题）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ）A ．两人说的都对B ．小铭说的对，小燕说的反例不存在C ．两人说的都不对D ．小铭说的不对，小熹说的反例存在【答案】D【分析】根据垂径定理可直接进行排除选项．【详解】解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；故选D．【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．3．（2021·青海中考真题）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交AB 厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，16海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）．A．1.0厘米/分B．0.8厘米分C．12厘米/分D．1.4厘米/分【答案】A【分析】首先过⊙O的圆心O作CD⊙AB于C，交⊙O于D，连接OA，由垂径定理，即可求得OC的长，继而求得CD的长，又由从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟，即可求得“图上”太阳升起的速度．【详解】解：过⊙O的圆心O作CD⊙AB于C，交⊙O于D，连接OA，⊙AC=12AB=12×16=8（厘米），在Rt⊙AOC中，6OC===（厘米），⊙CD=OC+OD=16（厘米），⊙从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，⊙16÷16=1（厘米/分）．⊙“图上”太阳升起的速度为1.0厘米/分．故选：A．【点睛】此题考查了垂径定理的应用．解题的关键是结合图形构造直角三角形，利用勾股定理求解．4．（2021·山东聊城市·中考真题）如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB⊙CAB＝30°，则⊙ABC的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°【答案】C【分析】连接OB，OC，根据勾股定理逆定理可得⊙AOB＝90°，⊙ABO＝⊙BAO＝45°，根据圆周角定理可得⊙COB＝2⊙CAB＝60°，⊙OBC＝⊙OCB＝60°，由此可求得答案．【详解】解：如图，连接OB，OC，⊙OA ＝OB ＝1，AB⊙OA 2＋OB 2＝AB 2，⊙⊙AOB ＝90°，又⊙OA ＝OB ，⊙⊙ABO ＝⊙BAO ＝45°，⊙⊙CAB ＝30°，⊙⊙COB ＝2⊙CAB ＝60°，又⊙OC ＝OB ，⊙⊙OBC ＝⊙OCB ＝60°，⊙⊙ABC ＝⊙ABO ＋⊙OBC ＝105°，故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键． 5．（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知锐角40AOB ∠=︒，如图，按下列步骤作图：⊙在OA 边取一点D ，以O 为圆心，OD 长为半径画MN ，交OB 于点C ，连接CD ．⊙以D 为圆心，DO 长为半径画GH ，交OB 于点E ，连接DE ．则CDE ∠的度数为（ ）A ．20︒B ．30C ．40︒D ．50︒【答案】B【分析】 根据画图过程，得到OD =OC ，由等边对等角与三角形内角和定理得到⊙ODC =⊙OCD =70︒，同理得到⊙DOE =⊙DEO =40⊙，由⊙OCD 为⊙DCE 的外角，得到结果．【详解】解：⊙以O 为圆心，OD 长为半径画MN ，交OB 于点C ，⊙OD =OC ，⊙⊙ODC =⊙OCD ，⊙⊙AOB =40⊙，⊙⊙ODC =⊙OCD =118040702⨯︒-︒=︒， ⊙以D 为圆心，DO 长为半径画GH ，交OB 于点E ，⊙DO =DE ，⊙⊙DOE =⊙DEO =40⊙，⊙⊙OCD 为⊙DCE 的外角，⊙⊙OCD =⊙DEC +⊙CDE ，⊙70⊙=40⊙+⊙CDE ，⊙⊙CDE =30⊙，故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、以及三角形外角的性质，关键在于等边对等角与三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和两个知识点的熟练运用．6．（2021·海南中考真题）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，BE 是O 的直径，连接AE ．若2BCD BAD ∠=∠，则DAE ∠的度数是（ ）A ．30B ．35︒C ．45︒D ．60︒【答案】A【分析】 先根据圆内接四边形的性质可得60BAD ∠=︒，再根据圆周角定理可得90BAE ∠=︒，然后根据角的和差即可得．【详解】 解：四边形ABCD 是O 的内接四边形，180BCD BAD ∴∠+∠=︒，2BCD BAD ∠=∠，1180603BAD =⨯︒∴∠=︒， BE 是O 的直径，90BAE ∴∠=︒，906030DAE BAE BAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：A ．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键．7．（2021·四川眉山市·中考真题）如图，在以AB 为直径的O 中，点C 为圆上的一点，3BC AC =，弦CD AB ⊥于点E ，弦AF 交CE 于点H ，交BC 于点G ．若点H 是AG 的中点，则CBF ∠的度数为（ ）A ．18°B ．21°C ．22.5°D ．30°【答案】C【分析】根据直径所对的圆周角是90︒，可知90ACB AFB ∠=∠=︒，根据3BC AC =，可知ABC ∠、BAC ∠的度数，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，AHC 为等腰三角形，再根据CAE BFG BCA ∽∽可求得CBF ∠的度数．【详解】解：⊙AB 为O 的直径，⊙90ACB AFB ∠=∠=︒，⊙3BC AC =，⊙=22.5ABC ∠︒，=67.5BAC ∠︒，⊙点H 是AG 的中点，⊙CE AH =，⊙CAH ACH ∠=∠，⊙CD AB ⊥，⊙AEC GCA ∽，又⊙,CAF CBF CGA FGB ∠=∠∠=∠，⊙AEC GCA GFB ∽∽，⊙90ACE ECB ABC ECB ∠+∠=∠+∠=︒，⊙ABE ABC ∠=∠，⊙AEC GCA GFB ACB ∽∽∽，⊙22.5ABC ACE GAC GBF ∠=∠=∠=∠=︒，⊙=22.5CBF ∠︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形，直角三角形斜边上中线等知识点，找出图形中几个相似三角形是解题关键．8．（2021·四川南充市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，2CD OE =，则BCD ∠的度数为（ ）A ．15︒B ．22.5︒C ．30D ．45︒【答案】B【分析】连接OD ，根据垂径定理得CD =2DE ，从而得ODE 是等腰直角三角形，根据圆周角定理即可求解．【详解】解：连接OD ，⊙AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，⊙CD =2DE ，⊙2CD OE =，⊙DE =OE ，⊙ODE 是等腰直角三角形，即⊙BOD =45°，⊙BCD ∠=12⊙BOD =22.5°， 故选B ．【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握垂径定理和圆周角定理，是解题的关键．9．（2021·四川广安市·中考真题）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A 地走到B 地有观赏路（劣弧AB ）和便民路（线段AB ）.已知A 、B 是圆上的点，O 为圆心，120AOB ∠=︒，小强从A 走到B ，走便民路比走观赏路少走（ ）米.A ．6π-B ．6π-C ．12π-D ．12π-【答案】D【分析】 作OC ⊙AB 于C ，如图，根据垂径定理得到AC =BC ，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出⊙A ，从而得到OC 和AC ，可得AB ，然后利用弧长公式计算出AB 的长，最后求它们的差即可．【详解】解：作OC ⊙AB 于C ，如图，则AC =BC ，⊙OA =OB ，⊙⊙A =⊙B =12（180°-⊙AOB ）=30°， 在Rt ⊙AOC 中，OC =12OA =9，AC =⊙AB =2AC =又⊙12018180AB π⨯⨯==12π，⊙走便民路比走观赏路少走12π-故选D ．【点睛】本题考查了垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．10．（2021·重庆中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，AC ，BC 是⊙O 的弦，若20A ∠=︒，则B 的度数为（ ）A ．70°B ．90°C ．40°D ．60°【答案】A【分析】直接根据直径所对的圆周角为直角进行求解即可．【详解】⊙AB 是⊙O 的直径，⊙⊙ACB =90°，⊙在Rt ⊙ABC 中，⊙B =90°-⊙A =70°，故选：A ．【点睛】本题考查直径所对的圆周角为直角，理解基本定理是解题关键．11．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ，连结,OC OD ．若O 的半径为,m AOD α∠=∠，则下列结论一定成立的是（ ）A ．tan OE m α=⋅B ．2sin CD m α=⋅C ．cos AE m α=⋅D ．2sin COD S m α=⋅【答案】B【分析】 根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答．【详解】解：⊙AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ， ⊙12DE CD = 在Rt EDO ∆中，OD m =，AOD α∠=∠ ⊙tan =DE OEα ⊙=tan 2tan DE CD OE αα=，故选项A 错误，不符合题意；又sin DE ODα= ⊙sin DE OD α=⊙22sin CD DE m α==，故选项B 正确，符合题意； 又cos OE ODα= ⊙cos cos OE OD m αα==⊙AO DO m ==⊙cos AE AO OE m m α=-=-，故选项C 错误，不符合题意；⊙2sin CD m α=，cos OE m α= ⊙2112sin cos sin cos 22COD S CD OE m m m αααα∆=⨯=⨯⨯=，故选项D 错误，不符合题意； 故选B ．【点睛】本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义以及三角形面积公式的应用，解本题的关键是熟记垂径定理和锐角三角函数的定义．12．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，在ABC 中，6AB =，以点A 为圆心，3为半径的圆与边BC 相切于点D ，与AC ，AB 分别交于点E 和点G ，点F 是优弧GE 上一点，18CDE ∠=︒，则GFE ∠的度数是（ ）A ．50°B ．48°C ．45°D ．36°【答案】B【分析】 连接AD ，由切线性质可得⊙ADB =⊙ADC =90°，根据AB=2AD 及锐角的三角函数可求得⊙BAD =60°，易求得⊙ADE =72°，由AD=AE 可求得⊙DAE =36°，则⊙GAC =96°，根据圆周角定理即可求得⊙GFE 的度数．【详解】解：连接AD ，则AD =AG =3，⊙BC与圆A相切于点D，⊙⊙ADB=⊙ADC=90°，在Rt⊙ADB中，AB=6，则cos⊙BAD=ADAB=12，⊙⊙BAD=60°，⊙⊙CDE=18°，⊙⊙ADE=90°﹣18°=72°，⊙AD=AE，⊙⊙ADE=⊙AED=72°，⊙⊙DAE=180°﹣2×72°=36°，⊙⊙GAC=36°+60°=96°，⊙⊙GFE=12⊙GAC=48°，故选：B．【点睛】本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得⊙BAD=60°是解答的关键．13．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，正方形ABCD内接于O，点P在AB上，则P∠的度数为（）A．30B．45︒C．60︒D．90︒【答案】B【分析】连接OB ，OC ，由正方形ABCD 的性质得90BOC ∠=°，再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，如图，⊙正方形ABCD 内接于O ，⊙90BOC ∠=° ⊙11904522BPC BOC ∠=∠=⨯︒=︒ 故选：B ．【点睛】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．14．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）点P 是O 内一点，过点P 的最长弦的长为10cm ，最短弦的长为6cm ，则OP 的长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm 【答案】B【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm ；最短弦即是过点P 且垂直于过点P 的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP 的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP 的长．【详解】解：如图所示，CD ⊙AB 于点P ．根据题意，得AB =10cm ，CD =6cm ．⊙OC =5，CP =3⊙CD ⊙AB ，⊙CP =12CD =3cm ．根据勾股定理，得OP ．故选B ．【点睛】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦．15．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于点F ，OE AC ⊥于点E ，若3OE =，5OB =，则CD 的长度是（ ）A ．9.6B ．C ．D ．19【答案】A【分析】 先利用垂径定理得出AE =EC ，CF =FD ，再利用勾股定理列方程即可【详解】解：连接OC⊙AB ⊙CD , OE ⊙AC⊙ AE =EC ，CF =FD⊙OE =3，OB =5⊙OB =OC =OA =5⊙在Rt ⊙OAE 中4AE =⊙AE =EC =4设OF =x ，则有2222AC AF OC OF -=-22228(5)5x x -+=-x =1.4在Rt ⊙OFC 中， 4.8FC ==⊙29.6CD FC ==故选：A【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理、方程思想是解题关键16．（2021·山东临沂市·中考真题）如图，PA 、PB 分别与O 相切于A 、B ，70P ∠=︒，C 为O 上一点，则ACB ∠的度数为（ ）A ．110︒B ．120︒C ．125︒D ．130︒ 【答案】C【分析】由切线的性质得出⊙OAP =⊙OBP =90°，利用四边形内角和可求⊙AOB =110°，再利用圆周角定理可求⊙ADB =55°，再根据圆内接四边形对角互补可求⊙ACB ．【详解】解：如图所示，连接OA ，OB ，在优弧AB 上取点D ，连接AD ，BD ，⊙AP 、BP 是切线，⊙⊙OAP =⊙OBP =90°，⊙⊙AOB =360°-90°-90°-70°=110°，⊙⊙ADB =55°，又⊙圆内接四边形的对角互补，⊙⊙ACB =180°-⊙ADB =180°-55°=125°．故选：C ．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质．解题的关键是连接OA 、OB ，求出⊙AOB ．17．（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（ ）A ．3B ．CD 【答案】D【分析】由题意知90APC ∠=︒，又AC 长度一定，则点P 的运动轨迹是以AC 中点O 为圆心，12AC 长为半径的圆弧，所以当B 、P 、O 三点共线时，BP 最短；在Rt BCO ∆中，利用勾股定理可求BO 的长，并得到点P 是BO 的中点，由线段长度即可得到PCO ∆是等边三角形，利用特殊Rt APC ∆三边关系即可求解．【详解】解：222PA PC AC +=∴90APC ∠=︒取AC 中点O ，并以O 为圆心，12AC 长为半径画圆 由题意知：当B 、P 、O 三点共线时，BP 最短AO PO CO ∴== 11322CO AC BC ==⨯==BO ∴=BP BO PO ∴=-=∴点P 是BO 的中点∴在Rt BCO ∆中，12CP BO PO === ∴PCO ∆是等边三角形∴60ACP ∠=︒ ∴在Rt APC ∆中，tan 603AP CP =⨯︒=12APC S AP CP ∆∴=⨯==【点睛】本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P 的运动轨迹，即隐形圆．18．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB =AC =5，点D 在AC 上，且2AD =，点E 是AB 上的动点，连结DE ，点F ，G 分别是BC ，DE 的中点，连接AG ，FG ，当AG =FG 时，线段DE 长为（ ）A B ．2C D ．4 【答案】A【分析】连接DF ，EF ，过点F 作FN ⊙AC ，FM ⊙AB ，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A ，D ，F ，E 四点共圆，⊙DFE =90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE 的长度，从而求解．【详解】解：连接DF ，EF ，过点F 作FN ⊙AC ，FM ⊙AB⊙在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点G 是DE 的中点，⊙AG =DG =EG又⊙AG =FG⊙点A ，D ，F ，E 四点共圆，且DE 是圆的直径⊙⊙DFE =90°⊙在Rt ⊙ABC 中，AB =AC =5，点F 是BC 的中点，⊙CF =BF =122BC =，FN =FM =52 又⊙FN ⊙AC ，FM ⊙AB ，90BAC ∠=︒⊙四边形NAMF 是正方形⊙AN =AM =FN =52又⊙90NFD DFM ∠+∠=︒，90DFM MFE ∠+∠=︒⊙NFD MFE ∠=∠⊙⊙NFD ⊙⊙MFE⊙ME =DN =AN -AD =12 ⊙AE =AM +ME =3⊙在Rt ⊙DAE 中，DE故选：A ．【点睛】本题考查直径所对的圆周角是90°，四点共圆及正方形的判定和性质和用勾股定理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．19．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，()8,0A，()2,0C -，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交y 轴正半轴于点B ，则点B 的坐标为（ ）A ．()0,5B ．()5,0C ．()6,0D ．()0,6 【答案】D【分析】先根据题意得出OA =8，OC =2，再根据勾股定理计算即可【详解】解：由题意可知：AC =AB⊙()8,0A ，()2,0C -⊙OA =8，OC =2⊙AC =AB =10在Rt ⊙OAB 中，6OB ==⊙B (0，6)故选：D【点睛】本题考查勾股定理、正确写出点的坐标，圆的半径相等、熟练进行勾股定理的计算是关键 20．（2021·广西来宾市·中考真题）如图，O 的半径OB 为4，OC AB ⊥于点D ，30BAC ∠=︒，则OD 的长是（ ）A B C ．2 D ．3【答案】C【分析】 根据圆周角定理求出⊙COB 的度数，再求出⊙OBD 的度数，根据“30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”求出OD 的长度．【详解】⊙ ⊙BAC =30°，⊙⊙COB =60°，⊙⊙ODB =90°，⊙⊙OBD =30°，⊙OB =4，⊙OD =12OB =142⨯=2． 故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键．21．（2021·湖北荆州市·中考真题）如图，矩形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点D 在OA 的延长线上．若()2,0A ，()4,0D ，以О为圆心、OD 长为半径的弧经过点B ，交y 轴正半轴于点E ，连接DE ，BE 、则BED ∠的度数是（ ）A ．15︒B ．22.5︒C ．30D ．45︒【答案】C【分析】连接OB ，由题意易得⊙BOD =60°，然后根据圆周角定理可进行求解．【详解】解：连接OB ，如图所示：⊙()2,0A ，()4,0D ，⊙2,4OA OB OE OD ====， ⊙12OA OB =， ⊙四边形OABC 是矩形，⊙90OAB ∠=︒，⊙30OBA ∠=︒，⊙9060BOD OBA ∠=︒-∠=︒， ⊙1302BED BOD ∠=∠=︒； 故选C ．【点睛】本题主要考查圆周角定理、矩形的性质及含30°的直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理、矩形的性质及含30°的直角三角形的性质是解题的关键．22．（2021·湖北宜昌市·中考真题）如图，C ，D 是O 上直径AB 两侧的两点．设25ABC ∠=︒，则BDC ∠=（ ）A ．85︒B ．75︒C ．70︒D ．65︒【答案】D【分析】 先利用直径所对的圆周角是直角得到⊙ACB =90°，从而求出⊙BAC ，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出⊙BDC ．【详解】解：⊙C ，D 是⊙O 上直径AB 两侧的两点，⊙⊙ACB =90°，⊙⊙ABC =25°，⊙⊙BAC =90°-25°=65°，⊙⊙BDC =⊙BAC =65°，故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是牢记相关概念与推论，本题蕴含了属性结合的思想方法．23．（2021·河北中考真题）如图，等腰AOB 中，顶角40AOB ∠=︒，用尺规按⊙到⊙的步骤操作： ⊙以O 为圆心，OA 为半径画圆；⊙在O 上任取一点P （不与点A ，B 重合），连接AP ；⊙作AB 的垂直平分线与O 交于M ，N ；⊙作AP 的垂直平分线与O 交于E ，F ．结论⊙：顺次连接M ，E ，N ，F 四点必能得到矩形；结论⊙：O 上只有唯一的点P ，使得OFM OAB S S =扇形扇形．对于结论⊙和⊙，下列判断正确的是（ ）A ．⊙和⊙都对B ．⊙和⊙都不对C ．⊙不对⊙对D ．⊙对⊙不对【答案】D【分析】 ⊙、根据“弦的垂直平分线经过圆心”，可证四边形MENF 的形状；⊙、在确定点P 的过程中，看⊙MOF =40°是否唯一即可．【详解】解：⊙、如图所示．⊙MN 是AB 的垂直平分线，EF 是AP 的垂直平分线，⊙MN 和EF 都经过圆心O ，线段MN 和EF 是⊙O 的直径．⊙OM =ON ，OE =OF ．⊙四边形MENF 是平行四边形．⊙线段MN 是⊙O 的直径，⊙⊙MEN =90°．⊙平行四边形MENF 是矩形．⊙结论⊙正确；⊙、如图2，当点P 在直线MN 左侧且AP =AB 时，⊙AP =AB ，⊙AB AP =．⊙MN ⊙AB ，EF ⊙AP ， ⊙1122AE AP AN AB ==，． ⊙AE AN =． ⊙1===202AOE AON AOB ∠∠∠．⊙40EON =∠．⊙=40MOF EON =∠∠．⊙扇形OFM 与扇形OAB 的半径、圆心角度数都分别相等，⊙OFM OAB S S =扇形扇形．如图3，当点P 在直线MN 右侧且BP =AB 时，同理可证：FOM AOB S S =扇形扇形．⊙结论⊙错误．故选：D【点睛】本题考查了圆的有关性质、矩形的判定、扇形面积等知识点，熟知圆的有关性质、矩形的判定方法及扇形面积公式是解题的关键．24．（2021·湖北黄冈市·中考真题）如图，O 是Rt ABC △的外接圆，OE AB ⊥交O 于点E ，垂足为点D ，AE ，CB 的延长线交于点F ．若3OD =，8AB =，则FC 的长是（ ）A ．10B ．8C ．6D ．4【答案】A【分析】 先根据垂径定理可得4=AD ，再利用勾股定理可得5OE OA ==，然后根据三角形中位线定理即可得．【详解】解：,8OE AB AB ⊥=，142AD AB ∴==， 3OD =，5OA ∴=，5OE ∴=，OE AB ⊥，90A ADO BC =︒∠∴∠=，//OE FC ∴，又OA OC =，OE ∴是ACF 的中位线，210FC OE ∴==，故选：A ．【点睛】本题考查了垂径定理、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题关键．25．（2021·湖南邵阳市·中考真题）如图，点A ，B ，C 是O 上的三点．若90AOC ∠=︒，30BAC ∠=︒，则AOB ∠的大小为（ ）A ．25︒B ．30C ．35︒D ．40︒【答案】B【分析】首先根据圆周角定理求得BOC ∠的度数，根据AOC ∠的度数求AOB AOC BOC ∠=∠-∠即可．【详解】解：⊙30BAC ∠=︒⊙⊙BOC=223060BAC ∠=⨯︒=︒，⊙90AOC ∠=︒，906030AOB AOC BOC ，故选：B ．【点睛】考查了圆周角定理及两锐角互余性质，求得BOC ∠的度数是解题的关键．26．（2021·湖南长沙市·中考真题）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，54BAC ∠=︒，则BOC ∠的度数为（）A ．27︒B ．108︒C ．116︒D ．128︒【答案】B【分析】直接利用圆周角定理即可得．【详解】解：54BAC ∠=︒，∴由圆周角定理得：2108BOC BAC ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．27．（2021·湖北武汉市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，先将BC 沿BC 翻折交AB 于点D ．再将BD 沿AB 翻折交BC 于点E ．若BE DE =，设ABC α∠=，则α所在的范围是（ ）A ．21.922.3α︒<<︒B ．22.322.7α︒<<︒C ．22.723.1α︒<<︒D ．23.123.5α︒<<︒【答案】B【分析】 将⊙O 沿BC 翻折得到⊙O ′，将⊙O ′沿BD 翻折得到⊙O ″，则⊙O 、⊙O ′、⊙O ″为等圆．依据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明AC DC DE EB ===，从而可得到弧AC 的度数，由弧AC 的度数可求得⊙B 的度数．【详解】解：将⊙O 沿BC 翻折得到⊙O ′，将⊙O ′沿BD 翻折得到⊙O ″，则⊙O 、⊙O ′、⊙O ″为等圆．⊙⊙O 与⊙O ′为等圆，劣弧AC 与劣弧CD 所对的角均为⊙ABC ，⊙AC CD =．同理：DE CD =．又⊙F 是劣弧BD 的中点，⊙DE BE =．⊙AC DC DE EB ===．⊙弧AC 的度数=180°÷4=45°．⊙⊙B =12×45°=22.5°． ⊙α所在的范围是22.322.7α︒<<︒；故选：B ．【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的关系、圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解题的关键．二、填空题28．（2021·黑龙江中考真题）如图，在O 中，AB 是直径，弦AC 的长为5cm ，点D 在圆上，且30ADC ∠=︒，则O 的半径为_____．【答案】5cm【分析】连接BC ，由题意易得30ABC ADC ∠=∠=︒，进而问题可求解．【详解】解：连接BC ，如图所示：⊙30ADC ∠=︒，⊙30ABC ADC ∠=∠=︒，⊙AB 是直径，⊙90ACB ∠=︒，⊙5cm AC =，⊙210cm AB AC ==，⊙O 的半径为5cm ；故答案为5cm ．【点睛】本题主要考查圆周角定理及含30°直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理及含30°直角三角形的性质是解29．（2021·安徽中考真题）如图，圆O 的半径为1，ABC 内接于圆O ．若60A ∠=︒，75B ∠=︒，则AB =______．【分析】先根据圆的半径相等及圆周角定理得出⊙ABO =45°，再根据垂径定理构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形即可【详解】解：连接OB 、OC 、作OD ⊙AB⊙60A ∠=︒⊙⊙BOC =2⊙A =120°⊙OB =OC⊙⊙OBC =30°又75B ∠=︒⊙⊙ABO =45°在Rt ⊙OBD 中，OB =1⊙BD⊙BD =AD =⊙AB【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理，正确使用圆的性质及定理是解题关键30．（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，ABC 内接于O ，50A ∠=︒，点D 是BC 的中点，连接OD ，OB ，OC ，则BOD ∠=_________．【答案】50︒【分析】圆上弧长对应的圆周角等于圆心角的一半，再利用等腰三角形三线合一的性质，即可得出答案．【详解】解:根据圆上弦长对应的圆周角等于圆心角的一半，12A BOC ∠=∠， 100BOC ∴∠=︒，OB OC =， BOC ∴为等腰三角形， 又点D 是BC 的中点，根据等腰三角形三线合一，OD ∴为BOC ∠的角平分线，50BO D ∴∠=︒，故答案是：50︒．【点睛】本题考查了弦长所对应的圆周角等于圆心角的一半和等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是：根据性质求出BOC ∠，再利用角平分线或三角形全等都能求出解．31．（2021·广东中考真题）在ABC 中，90,2,3ABC AB BC ∠=︒==．点D 为平面上一个动点，45ADB ∠=︒，则线段CD 长度的最小值为_____．-【分析】由已知45ADB ∠=︒，2AB =，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点D 在以O 为圆心OB 为半径的圆上，线段CD 长度的最小值为CO OD -．【详解】如图： 以12AB 为半径作圆，过圆心O 作,ON AB OM BC ⊥⊥， 以O 为圆心OB 为半径作圆，则点D 在圆O 上，45ADB ∠=︒90AOB ∠=︒∴2AB =1AN BN ==AO ∴==112ON OM AB ===,3BC =OC ∴==CO OD ∴-线段CD 长度的最小值为-．-【点睛】 本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．32．（2021·江苏宿迁市·中考真题）如图，在Rt⊙ABC 中，⊙ABC =90°，⊙A =32°，点B 、C 在O 上，边AB 、AC 分别交O 于D 、E 两点﹐点B 是CD 的中点，则⊙ABE =__________．【答案】13︒【分析】如图，连接,DC 先证明,BDC BCD ∠=∠再证明,ABE ACD ∠=∠利用三角形的外角可得：,BDC A ACD A ABE ∠=∠+∠=∠+∠再利用直角三角形中两锐角互余可得：()2902,BDC A ABE ∠=︒-∠+∠再解方程可得答案．【详解】解：如图，连接,DC B 是CD 的中点，,,BD BC BDC BCD ∴=∠=∠,DE DE =,ABE ACD ∴∠=∠,BDC A ACD A ABE ∴∠=∠+∠=∠+∠90,32,ABC A ∠=︒∠=︒()2902,BDC A ABE ∴∠=︒-∠+∠45453213.ABE A ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒故答案为：13.︒【点睛】本题考查的是圆周角定理，三角形的外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握圆周角定理的含义是解题的关键．33．（2021·江苏南京市·中考真题）如图，AB 是O 的弦，C 是AB 的中点，OC 交AB 于点D ．若8cm,2cm AB CD ==，则O 的半径为________cm ．【答案】5【分析】连接OA ，由垂径定理得AD =4cm ，设圆的半径为R ，根据勾股定理得到方程2224(2)R R =+-，求解即可【详解】解：连接OA ，⊙C 是AB 的中点，⊙OC AB ⊥ ⊙14cm 2AD AB == 设O 的半径为R ，⊙2cm CD =⊙(2)cm OD OC CD R =-=-在Rt OAD ∆中，222OA AD OD =+，即2224(2)R R =+-，解得，5R =即O 的半径为5cm故答案为：5【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出OC 是AB 的垂直平分线是解答此题的关键． 34．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，O 是ABC 的外接圆，连接AO 并延长交O 于点D ，若50C ∠=︒，则BAD ∠的度数为______．【答案】40︒【分析】连接BD ，则C D ∠=∠，再根据AD 为直径，求得BAD ∠的度数【详解】如图，连接BD ，则50D C ∠=∠=︒AD 为直径90ABD ∴∠=︒90905040BAD D ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒故答案为40︒【点睛】此题主要考查了圆周角定理，圆周角定理是中考中考查重点，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键． 35．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，OA 、OB 是O 的半径，点C 在O 上，30AOB ∠=︒，40OBC ∠=︒，则OAC ∠=______︒．【答案】25【分析】连接OC ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到⊙BOC =100°，求出⊙AOC ，根据等腰三角形的性质计算．【详解】解：连接OC ，⊙OC =OB ，⊙⊙OCB =⊙OBC =40°，⊙⊙BOC =180°-40°×2=100°，⊙⊙AOC =100°+30°=130°，⊙OC =OA ，⊙⊙OAC =⊙OCA =25°，故答案为：25．【点睛】本题考查的是圆的基本性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．36．（2021·四川成都市·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线33y x =+与O 相交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上，则弦AB 的长为_________．【答案】【分析】过O 作OE ⊙AB 于C ，根据垂径定理可得AC =BC =12AB ，可求OA =2，OD Rt ⊙AOD 中，由勾股定理AD =，可证⊙OAC ⊙⊙DAO ，由相似三角形性质可求AC 即可． 【详解】 解：过O 作OE ⊙AB 于C ，⊙AB 为弦，⊙AC =BC =12AB ，⊙直线33y x =+与O 相交于A ，B 两点，⊙当y =00x +=，解得x =-2， ⊙OA =2，⊙当x =0时，y =⊙OD=3， 在Rt ⊙AOD中，由勾股定理3AD ===， ⊙⊙ACO =⊙AOD =90°，⊙CAO =⊙OAD ，⊙⊙OAC ⊙⊙DAO ，AC AO AO AD =即2AO AC AD === ⊙AB =2AC故答案为【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，垂径定理，直线与两轴交点，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握以上知识、正确添加辅助线是解题关键．37．（2021·江苏扬州市·中考真题）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A 的位置不唯一，它在以BC 为弦的圆弧上（点B 、C 除外），……．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．⊙该弧所在圆的半径长为___________；⊙ABC 面积的最大值为_________；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A '，请你利用图1证明30BA C '∠>︒；（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD 的边长2AB =，3BC =，点P 在直线CD 的左侧，且4tan 3DPC ∠=． ⊙线段PB 长的最小值为_______；⊙若23PCD PAD S S =，则线段PD 长为________．【答案】（1）⊙2；2；（2）见解析；（3）；⊙4 【分析】（1）⊙设O 为圆心，连接BO ，CO ，根据圆周角定理得到⊙BOC =60°，证明⊙OBC 是等边三角形，可得半径；⊙过点O 作BC 的垂线，垂足为E ，延长EO ，交圆于D ，以BC 为底，则当A 与D 重合时，⊙ABC 的面积最大，求出OE ，根据三角形面积公式计算即可；（2）延长BA ′，交圆于点D ，连接CD ，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可；（3）⊙根据4tan 3DPC ∠=，连接PD ，设点Q 为PD 中点，以点Q 为圆心，12PD 为半径画圆，可得点P 在优弧CPD 上，连接BQ ，与圆Q 交于P ′，可得BP ′即为BP 的最小值，再计算出BQ 和圆Q 的半径，相减即可得到BP ′；⊙根据AD ，CD 和23PCD PAD S S =推出点P 在⊙ADC 的平分线上，从而找到点P 的位置，过点C 作CF ⊙PD ，垂足为F ，解直角三角形即可求出DP ．【详解】解：（1）⊙设O 为圆心，连接BO ，CO ，⊙⊙BAC =30°，⊙⊙BOC =60°，又OB =OC ，⊙⊙OBC 是等边三角形，⊙OB =OC =BC =2，即半径为2；⊙⊙⊙ABC 以BC 为底边，BC =2，⊙当点A 到BC 的距离最大时，⊙ABC 的面积最大，如图，过点O 作BC 的垂线，垂足为E ，延长EO ，交圆于D ，⊙BE =CE =1，DO =BO =2，⊙OE⊙DE 2，⊙⊙ABC 的最大面积为)1222⨯⨯2；（2）如图，延长BA ′，交圆于点D ，连接CD ，⊙点D 在圆上，⊙⊙BDC =⊙BAC ，⊙⊙BA ′C =⊙BDC +⊙A ′CD ，⊙⊙BA ′C ＞⊙BDC ，⊙⊙BA ′C ＞⊙BAC ，即⊙BA ′C ＞30°；（3）⊙如图，当点P在BC上，且PC=32时，⊙⊙PCD=90°，AB=CD=2，AD=BC=3，⊙tan⊙DPC=CDPC=43，为定值，连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，12PD为半径画圆，⊙当点P在优弧CPD上时，tan⊙DPC=43，连接BQ，与圆Q交于P′，此时BP′即为BP的最小值，过点Q作QE⊙BE，垂足为E，⊙点Q是PD中点，⊙点E为PC中点，即QE=12CD=1，PE=CE=12PC=34，⊙BE=BC-CE=3-34=94，⊙BQ4，⊙PD 52，⊙圆Q的半径为155 224⨯=，⊙BP′=BQ-P′Q，即BP；⊙⊙AD =3，CD =2，23PCD PAD S S =， 则23CD AD =， ⊙⊙P AD 中AD 边上的高=⊙PCD 中CD 边上的高，即点P 到AD 的距离和点P 到CD 的距离相等，则点P 到AD 和CD 的距离相等，即点P 在⊙ADC 的平分线上，如图，过点C 作CF ⊙PD ，垂足为F ，⊙PD 平分⊙ADC ，⊙⊙ADP =⊙CDP =45°，⊙⊙CDF 为等腰直角三角形，又CD =2，⊙CF =DF⊙tan⊙DPC =CF PF =43，⊙PF =4，⊙PD =DF +PF【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题，解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点P 的轨迹． 38．（2021·辽宁本溪市·中考真题）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 和点D ，则tan =ADC ∠________．。