立体几何

立体几何
教学重、难点
及处理方法 重点及方法： 立体几何基本定理，三视图，体积表面积求法 难点及方法： 棱锥中垂直平行证明
学情分析 相关知识掌握情况 解题技巧掌握情况
学习态度评价
教学过程
常考基础知识点
一、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱
定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互
相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''E D C B A ABCDE -
或用对角线的端点字母，如 五棱柱'AD
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面
的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围
成的几何体
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''E D C B A P -
几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比
的平方。

（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：用各顶点字母，如五棱台'
''''E D C B A P
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的
顶点
（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边
旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆
的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所
围成的几何体
几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间
的部分
几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展
开图是一个弓形。

（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形
成的几何体
几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

3、空间几何体的三视图和直观图
(1)定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

（2）画三视图的原则：
长对齐、高对齐、宽相等
（3）直观图：斜二测画法
4、空间几何体的斜二测画法
（1）用来表示空间图形的平面图形叫作空间图形的直观图；
（2）用斜二测画法画平面图形的步骤：
(1)建系：在已知图形中建立直角坐标系，画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，
两轴交于点，且使(或)；
(2)位置关系：已知图形中平行于轴和轴的线段在直观图中分别画成平行于轴和轴的线段；
(3)长度规则：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变
为原来的一半.
示例、画出水平放置的等边三角形的直观图.
解：画法，如图：
(1)在三角形ABC中，取AB所在直线为x轴，AB边的高所在直线为y轴；画出相应的轴和轴，两轴交于点，且使；
(2)以为中点，在轴上取，在轴上取；
(3)连接、，并擦去辅助线轴和 轴，便获得正△ABC 的直观图△.
结论：用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图
一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的24
倍。

几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

柱体、锥体、台体的体积公式
V Sh =柱 2V Sh r h π==圆柱 13V Sh =锥 h r V 23
1π=圆锥 ''1()3
V S S S S h =++台 ''2211()()33V S S S S h r rR R h π=++=++圆台 球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24R π
证明应用到的定理
线线平行定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

线线平行定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

线线平行判定定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。

直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

面面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

线面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

考试题型：
证明平行（线面平行，面面平行） 证明垂直（线面垂直，面面垂直）
平行例题
1．已知长方体的长、宽、高分别是2、3、4，那么它的一条对角线长为_____.
2. 半径为R 球的内接正方体的体积为__________.
3. 在四棱锥ABCD P -中，底面是边长为a 的正方形，侧棱a PD =，
a PC PA 2==.
(1) 求证：ABCD PD 平面⊥；
(2) 求证：AC PB ⊥；
4. 在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，AB =1，21=AA .
(1) 求1BC 与ABCD 平面所成角的余弦值;
(2) 证明：BD
AC⊥
1
；
5. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中点，AC＝BC=2，AA1＝3
2.
(1) 求证：DC
D
A⊥
1; (2) 求二面角A
CD
A-
-
1
的正切值;
6一个底面是正三角形的直三棱柱的正（主）视图如图所示，则其侧面积等于
A.6
B.8
C.12
D.24
2 7如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，E,F分别是棱PB,PC的中点，求证EF∥平面PAD。