基本不等式作业
高中数学2-2基本不等式第2课时基本不等式的应用课时作业新人教A版必修第一册
2．2 基本不等式 第2课时 基本不等式的应用必备知识基础练1．[2022·广东惠州高一期末]若a >1，则a ＋1a －1有( ) A ．最小值为3 B ．最大值为3 C ．最小值为－1 D ．最大值为－1 2．函数y ＝x ＋16x ＋2(x >－2)取最小值时x 的值为( ) A ．6 B ．2 C ． 3 D ． 63．[2022·湖南衡阳高一期末]已知x ，y 均为正数，且x ＋y ＝1，求1x ＋4y的最值( )A ．最大值9B ．最小值9C ．最大值4D ．最小值44．在班级文化建设评比中，某班设计的班徽是一个直角三角形图案．已知该直角三角形的面积为50，则它周长的最小值为( )A ．20B ．10 2C ．40D ．102＋205．若正实数m ，n 满足2m ＋1n＝1，则2m ＋n 的最小值为( )A ．4 2B ．6C ．2 2D ．96．[2022·湖北武汉高一期末](多选)下列说法正确的是( ) A ．x ＋1x(x >0)的最小值是2B ．x 2＋2x 2＋2的最小值是 2C ．x 2＋5x 2＋4的最小值是2D ．2－3x －4x的最小值是2－4 37．若x >－1，则x ＋1x ＋1的最小值是________，此时x ＝________． 8．用一根铁丝折成面积为π的长方形的四条边，则所用铁丝的长度最短为________．关键能力综合练1．[2022·湖南长郡中学高一期末]已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝－b 2－2b ＋3(b ∈R )，则p ，q 的大小关系为( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．p <q2．已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值是( )A ．3＋2 2B ．3－2 2C ．6－4 2D ．6＋4 23．[2022·福建莆田一中高一期末]函数f (x )＝x 2－4x ＋5x －2(x ≥52)有( )A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值24．[2022·山东薛城高一期末]已知a ，b ∈R ＋，且a ＋2b ＝3ab ，则2a ＋b 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．95．[2022·湖南雅礼中学高一期末]近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的猪肉价格分别为a 元/斤、b 元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲、乙两次平均单价分别记为m 1，m 2，则下列结论正确的是( )A ．m 1＝m 2B ．m 1>m 2C ．m 2>m 1D ．m 1，m 2的大小无法确定6．[2022·山东枣庄高一期末]设正实数m 、n 满足m ＋n ＝2，则( )A ．n m ＋2n的最小值为2 2 B ．m ＋n 的最小值为2 C ．mn 的最大值为1 D ．m 2＋n 2的最小值为27．函数f (x )＝4x 2＋1x(x >0)取得最小值时x 的取值为________．8．[2022·河北唐山高一期末]当x >0时，函数f (x )＝xx 2＋1的最大值为________．9．已知x ，y ∈R ＋，且满足x ＋2y ＝2xy ，那么x ＋4y 的最小值？xy 的最小值？10．做一个体积为48 m 3，高为3米的无上边盖的长方体纸盒，底面造价每平方米40元，四周每平方米为50元，问长与宽取什么数值时总造价最低，最低是多少？核心素养升级练1．已知a >0，b >0，1a ＋1b＝1，若不等式2a ＋b ≥m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．2＋ 3B ．3＋ 2C ．3＋2 2D ．52．一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达B 市，已知两地铁路线长400 km ，为了安全，两列货车间距离不得小于(v20)2km ，那么这批物资全部运到B 市，最快需要________小时，(不计货车的车身长)，此时货车的速度是________ km/h.3．在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：(1)已知正实数x 、y 满足2x ＋y ＝1，求1x ＋12y 的最小值．甲给出的解法：由1＝2x ＋y≥22x ·y ，得xy ≤24，所以1x ＋12y≥2 1x ·12y ＝2xy≥4，所以1x ＋12y 的最小值为4.而乙却说甲的解法是错的，请你指出其中的问题，并给出正确的解法；(2)结合上述问题(1)的结构形式，试求函数y ＝1x ＋12－3x (0<x <23)的最小值．第2课时 基本不等式的应用必备知识基础练1．答案：A解析：∵a >1，∴a －1>0， ∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2（a －1）·1a －1＋1＝3，当且仅当a －1＝1a －1即a ＝2时取等号，∴a ＋1a －1有最小值为3. 2．答案：B解析：因为x >－2，所以x ＋2>0， 所以y ＝x ＋16x ＋2＝x ＋2＋16x ＋2－2≥2 （x ＋2）·16x ＋2－2＝6， 当且仅当x ＋2＝16x ＋2且x >－2，即x ＝2时等号成立． 3．答案：B解析：因为x ，y 均为正数，且x ＋y ＝1， 则1x ＋4y ＝(1x ＋4y )(x ＋y )＝5＋y x ＋4xy≥5＋2y x ·4xy＝9， 当且仅当x ＝13，y ＝23时，1x ＋4y 有最小值9.4．答案：D解析：设两直角边分别为a ，b ，则斜边为a 2＋b 2， 所以该直角三角形的面积为S ＝12ab ＝50，则ab ＝100，周长为a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝20＋102，当且仅当a ＝b ＝10时等号成立，故周长的最小值为102＋20. 5．答案：D解析：正实数m ，n 满足2m ＋1n＝1，2m ＋n ＝(2m ＋n )(2m ＋1n )＝5＋2m n ＋2nm≥5＋4＝9，等号成立的条件为：m n ＝n m⇒m ＝n ＝3. 6．答案：AB解析：当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x ＝2(当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号)，A 正确； x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2，因为x 2≥0，所以x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2≥2，B 正确； x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4≥2，当且仅当x 2＋4＝1x 2＋4，即x 2＝－3时，等号成立，显然不成立，故C 错误；当x ＝1时，2－3x －4x＝2－3－4＝－5<2－43，D 错误．7．答案：1 0 解析：因为x >－1， 所以x ＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－1≥2 （x ＋1）·1x ＋1－1＝1， 当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时，等号成立， 所以其最小值是1，此时x ＝0. 8．答案：4π解析：设长方形的长宽分别为a ，b (a >0，b >0)，所以ab ＝π，所用铁丝的长度为2(a ＋b )≥4ab ＝4π，当且仅当a ＝b ＝π时取等号．关键能力综合练1．答案：A解析：因为a >2，可得p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2 （a －2）·1a －2＋2＝4， 当且仅当a －2＝1a －2时，即a ＝3时，等号成立，即p ≥4， 又由q ＝－b 2－2b ＋3＝－(b ＋1)2＋4，所以q ≤4， 所以p ≥q . 2．答案：D解析：1a ＋1b ＋1c＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋2b ＋c )＝4＋2b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋2bc ≥4＋22ba·a b＋2c a ·a c＋2c b ·2bc ＝6＋42， 当且仅当2b a＝a b ，c a ＝a c ，c b＝2bc时，等号成立， 即a 2＝c 2＝2b 2时，等号成立． 3．答案：D解析：方法一 ∵x ≥52，∴x －2>0，则x 2－4x ＋5x －2＝（x －2）2＋1x －2＝(x －2)＋1（x －2）≥2，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． 方法二 令x －2＝t ，∵x ≥52，∴t ≥12，∴x ＝t ＋2.将其代入，原函数可化为y ＝（t ＋2）2－4（t ＋2）＋5t ＝t 2＋1t ＝t ＋1t≥2t ·1t＝2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1时等号成立，此时x ＝3.4．答案：A解析：因为a ＋2b ＝3ab ，故2a ＋1b＝3，故2a ＋b ＝13(2a ＋b )(2a ＋1b )＝13(5＋2b a ＋2a b )≥13(5＋4)＝3，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立， 故2a ＋b 的最小值为3. 5．答案：C解析：根据题意可得m 1＝20＋2020a ＋20b＝2ab a ＋b ≤2ab2ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，m 2＝6a ＋6b 12＝a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立， 由题意可得a ≠b ，所以m 1<ab ，m 2>ab ，则m 2>m 1. 6．答案：CD解析：对于选项A ，因为m >0，n >0，m ＋n ＝2，所以n m ＋2n ＝n m＋m ＋n n＝n m ＋m n＋1≥2n m ·mn＋1＝2＋1＝3，当且仅当n m ＝m n且m ＋n ＝2，即m ＝n ＝1时取等号，则A 错误；对于选项B, (m ＋n )2＝m ＋n ＋2mn ＝2＋2mn ≤2＋m ＋n ＝4，当且仅当m ＝n ＝1时等号成立，则m ＋n ≤2，即m ＋n 的最大值为2，则B 错误；对于选项C ，m ＋n ≥2mn ，即mn ≤(m ＋n2)2＝1，当且仅当m ＝n ＝1时，等号成立，则C正确；对于选项D, m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝4－2mn ≥4－2(m ＋n2)2＝2，当且仅当m ＝n ＝1时，等号成立，则D 正确．7．答案：12解析：x >0，f (x )＝4x ＋1x≥24x ·1x ＝4，当且仅当4x ＝1x ⇒x ＝12时取“＝”．8．答案：12解析：∵x >0，∴f (x )＝xx 2＋1＝1x ＋1x≤12x ×1x＝12， 当且仅当x ＝1时取等号， 即函数f (x )＝xx 2＋1的最大值为12. 9．解析：x ＋2y ＝2xy ，则1x ＋12y＝1，故x ＋4y ＝(x ＋4y )(1x ＋12y )＝1＋4y x ＋x 2y ＋2≥3＋22，当且仅当4y x ＝x2y 即x ＝22y 时等号成立，x ＋4y 的最小值为3＋2 2.又1x ＋12y ＝1≥2 12xy，解得xy ≥2，当且仅当x ＝2y ＝2时等号成立，xy 的最小值为2.10．解析：设长方体底面的长为a m ，宽为b m ，显然a ，b >0，则3ab ＝48，故b ＝16a，总造价为y 元，则y ＝2(3a ＋48a )×50＋16×40＝300(a ＋16a)＋640≥300×2a ·16a＋640＝3 040，当且仅当a ＝16a，即a ＝b ＝4时等号成立，∴当底面的长与宽均为4米时总费用最少，最少为3 040元．核心素养升级练1．答案：C解析：由不等式2a ＋b ≥m 恒成立可知，只需m 小于等于2a ＋b 的最小值， 由a ＞0，b ＞0，1a ＋1b＝1，可得2a ＋b ＝(2a ＋b )(1a ＋1b )＝3＋b a ＋2ab≥3＋2b a ×2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b时取等号，∴m ≤3＋22，∴m 的最大值为3＋2 2.2．答案：8 100解析：设这批物资全部运到B 市用的时间为y 小时，因为不计货车的身长，所以设货车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值为16×(v20)2千米时，时间最快．则y ＝（v20）2×16＋400v ＝v 25＋400v≥2v25×400v＝8，当且仅当v 25＝400v即v ＝100千米/小时时，时间y min ＝8小时．3．解析：(1)甲的解法中两次用到基本不等式，取到等号的条件分别是2x ＝y 和x ＝2y ，显然不能同时成立，故甲的解法是错的．正确的解法如下：因为x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， 所以1x ＋12y ＝(2x ＋y )(1x ＋12y )＝52＋y x ＋x y ≥52＋2 y x ·x y ＝92， 当且仅当y x ＝x y ，即x ＝y ＝13时取“＝”，所以1x ＋12y 的最小值为92.(2)因为0<x <23，所以0<2－3x <2，所以y ＝1x ＋12－3x＝12[3x ＋(2－3x )][1x ＋12－3x ] ＝12(4＋3x 2－3x ＋2－3x x ) ≥12(4＋2 3x 2－3x ·2－3xx)＝2＋3，当且仅当3x 2－3x ＝2－3xx ，即x ＝1－33∈(0，23)时取“＝”， 所以y ＝1x ＋12－3x (0<x <23)的最小值为2＋ 3.。
不等式的基本性质练习及答案
不等式的基本性质练习及答案1．若x ＞y ，则下列式子中错误的是( ) A ．x －3＞y －3 B ．x ＋3＞y ＋3 C ．－3x ＞－3yD.x 3＞y32．下列不等式变形正确的是( ) A ．由a ＞b 得ac ＞bc B ．由a ＞b 得－2a ＞－2bC ．由a ＞b 得－a ＜－bD ．由a ＞b 得a －2＜b －23．下列变形中，不正确的是( ) A ．由x －5＞0可得x ＞5 B ．由12x ＞0可得x ＞0C ．由－3x ＞－9可得x ＞3D ．由－34x ＞1可得x ＜－434．因为－13x ＞1，所以x －3(填“＞”或“＜”)，依据是 .5．用不等号填空：(1)若a ＞b ，则ac 2 bc 2；(2)若a ＞b ，则3－2a 3－2b .6．把不等式2x ＞3－x 化为x ＞a 或x ＜a 的形式是( ) A ．x ＞3 B ．x ＜3 C ．x ＞1D ．x ＜17．小明的作业本上有四道利用不等式的性质，将不等式化为x ＞a 或x ＜a 的作业题：①由x ＋7＞8解得x ＞1；②由x ＜2x ＋3解得x ＜3；③由3x －1＞x ＋7解得x ＞4；④由－3x ＞－6解得x ＜－2.其中正确的有( ) A ．1题 B ．2题 C ．3题D ．4题8．根据不等式的基本性质，可将“mx ＜2”化为“x ＞2m”，则m 的取值范围是 .9．已知x 满足－5x ＋5＜－10，则x 的范围是 .10．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式：(1)2x＞－4; (2)x－4＜－2；(3)－2x＜1; (4)12x＜2.11．某商店先在广州以每件15元的价格购进某种商品10件，后来又到深圳以每件12.5元的价格购进同种商品40件，如果商店销售这些商品时，每件定价为x 元，则会获得不少于12%的利润，用不等式表示以上问题中的不等关系，并把这个不等式变形为“x≥a”或“x≤a”的形式．12．某商贩去菜摊买西红柿，他上午买了30斤，价格为每斤x元；下午，他又买了20斤，价格为每斤y元，后来他以每斤x＋y2元的价格卖完后．发现自己赔了钱，你知道是什么原因吗？答案：1. C2. C3. C4. ＜不等式的基本性质35. ＞＜6. C7. B8. m＜09. x＞310. 解：(1)x＞－2 (2)x＜2(3)x＞－12(4)x＜411. 解：由题意得(10＋40)x－(15×10＋12.5×40)≥(15×10＋12.5×40)×12%，∴x≥14.56.12. 解：由题意得：(30x＋20y)－x＋y2×50＞0.整理得5x－5y＞0.根据不等式的性质1，两边都加上5y，得5x＞5y，所以x＞y.即此商贩上午所买的西红柿的单价高于下午的单价，所以赔了钱．。
基本不等式练习(有答案)
【基本不等式】作业1、若42=+y x ，求y x 42+的最小值 。
2、若4log log 33=+n m ，求n m +的最小值 。
3、若4log log 33≥+n m ，求n m +的最小值 。
4、若2>a ，求a a +-24的取值范围 。
5、求a a +-24的取值范围 。
6、求函数)0(432>--=x xx y 的最大值 。
7、若20<<x ，求函数)24(x x y -=的最大值 。
8、若0,0>>y x ，且18=+y x ，求xy 的最大值 。
9、若0,0>>y x ，且1=+y x ，求)11)(11(yx ++的最小值 。
10、若0,0>>y x ，且1=+y x ，求yx 43+的最小值 。
11、求函数12(01)1y x x x=+<<-的最小值 12、若0,0>>y x ，且3=++xy y x ，求y x +的取值范围 。
13、若0,0>>y x ，且3=++xy y x ，求xy 的取值范围 。
14、若0,0>>y x ，且xy y x =+3，求xy 2的最小值 。
15、若0,0>>y x ，且xy y x =+3，求y x +2的最小值 。
16、求函数41()212y x x x =+>- 的最小值 。
17、若1->x ，求函数1)2)(5(+++=x x x y 的最小值 。
18、求函数21(1)1x x y x x ++=<-的最大值 。
19、求函数2sin (0)sin 2y x x x π=+<≤的最小值 。
20、已知函数x x f lg )(=，若b a <<0且)()(b f a f =，则b a 2+的取值范围是（ ）),3..(+∞A ),22..[+∞B ),22..(+∞C ),3..[+∞D21、若不等式a c a c m a b b c--+≥--对任意a b c >>恒成立，求m 的最大值. 。
寒假作业(三)不等式、基本不等式-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册
2．解： 3a 4b 0 ， ab 0 ，a 0 ． b 0
log4 (3a 4b) log2 ab ，log4 (3a 4b) log4 (ab) 3a 4b ab ， a 4 ， a 0 ． b 0
b 3a 0 a4
，
a 4
，
则
a
b
a
3a a4
a
3(a
4) 12 a4
A． lg(x2 1 ) lgx(x 0) 4
B． sin x 1 2(x k , k Z ) sin x
C． x2 1 2 | x | (x R)
D．
1 x2 1
1( x
R)
7．设正实数 x ， y ， z 满足 x2 3xy 4y2 z 0 ．则当 xy 取得最大值时， 2 1 2 的最大
若 1 1 1，可取 a 7 ， b 7 ，则 a b 1 ， B 错误；
ba
8
若 | a b | 1 ，则可取 a 9 ， b 4 ，而 | a b | 5 1， C 错误；
由 | a3 b3 | 1，
若 a b 0 ，则 a3 b3 1 ，即 (a 1)(a2 a 1) b3 ， a2 1 a b2 ， a 1 b ，即 a b 1
20．合肥六中德育处为了更好的开展高一社团活动，现要设计如图的一张矩形宣传海报，该 海报含有大小相等的左右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为 60000cm2 ，四周空白的宽度 为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为 5cm ．
（1）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，并求最小值；
有最小值，故选： A ．
5．解：由题意可得若 p f ( ab) ln( ab) 1 lnab 1 (lna lnb) ，
高中数学课时作业十二基本不等式的应用湘教版必修第一册
课时作业(十二) 基本不等式的应用[练基础]1．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．62．已知a >0，b >0，ab ＝1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．63．某工厂过去的年产量为a ，技术革新后，第一年的年产量增长率为p ()p >0，第二年的年产量增长率为q ()q >0，p ≠q ，这两年的年产量平均增长率为x ，则( )A ．x ＝p ＋q2 B ．x ＝pqC ．x >p ＋q2D ．x <p ＋q24．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．55．某人要用铁管做一个形状为直角三角形且面积为1 m 2的铁架框(铁管的粗细忽略不计)，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是( )A ．4.6 mB ．4.8 mC ．5 mD ．5.2 m6．(多选)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a 和b (a <b )，其全程的平均速度为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝abC ．ab <v <a ＋b2D ．v ＝2aba ＋b7．已知x >0，y >0，若2y x ＋8xy>m ＋2恒成立，则实数m 的取值范围是________．8．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．9．已知x >0，y >0，且x ＋4y ＝40. (1)求xy 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值．10．某公司今年3月欲抽调一批销售员推销A 产品，根据过去的经验，每月A 产品销售数量y (万件)与销售员的数量x (人)之间的函数关系式为y ＝920xx 2＋3x ＋1 600(x >0).在该月内，销售员数量为多少时，销售的数量最大？最大销售量为多少？(精确到0.1万件)[提能力]11．(多选)若对于任意的x >0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 可能的值为( )A ．0B ．15C ．1D ．212．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 13．若两个正实数x ，y 满足4x＋1y＝1，且不等式x ＋4y >m 2－6m 恒成立，则实数m的取值范围是________．14．在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．15．某单位决定用18.8万元把一会展中心(长方体状，高度恒定)改造成方舱医院，假设方舱医院的后墙利用原墙不花钱，正面用一种复合板隔离，每米造价40元，两侧用砖砌墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元．问：(1)改造后方舱医院的面积S 的最大值是多少？(2)为使S 达到最大，且实际造价又不超过预算，那么正面复合板应设计为多长？[培优生]16．我们学习了二元基本不等式：设a >0，b >0，a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值．(1)对于三元基本不等式请猜想：设a >0，b >0，c >0，a ＋b ＋c3≥________，当且仅当a＝b ＝c 时，等号成立(把横线补全).(2)利用(1)猜想的三元基本不等式证明：设a >0，b >0，c >0，求证：(a 2＋b 2＋c 2)(a ＋b ＋c )≥9abc . (3)利用(1)猜想的三元基本不等式求最值：设a >0，b >0，c >0，a ＋b ＋c ＝1，求(1－a )(1－b )(1－c )的最大值．课时作业(十二) 基本不等式的应用1．解析：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，故选B. 答案：B2．解析：∵a >0，b >0，ab ＝1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n ＝a ＋1a ＋b ＋1b ≥2a ·1a＋2b ·1b＝4， 当且仅当a ＝1a，b ＝1b即a ＝1，b ＝1时取等号． 故选B. 答案：B3．解析：由题意，可得a (1＋p )(1＋q )＝a (1＋x )2，即(1＋p )(1＋q )＝(1＋x )2，因为(1＋p )(1＋q )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋1＋q 22，当且仅当p ＝q 时取等号，p ≠q ，所以(1＋p )(1＋q )<⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋1＋q 22， 则1＋x <2＋p ＋q 2＝1＋p ＋q 2，即x <p ＋q 2，故选D. 答案：D4．解析：可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，所以2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎪⎫5＋2a b＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b＝2ba时等号成立，所以9m ≤54，即m ≤6，故选C.答案：C5．解析：设直角三角形两直角边长分别为x m ，y m ，则12xy ＝1，即xy ＝2.周长l ＝x ＋y ＋x 2＋y 2≥2xy ＋2xy ＝22＋2≈4.83(m)， 当且仅当x ＝y 时等号成立．结合实际问题，可知选C. 故选C. 答案：C6．解析：设甲、乙两地之间的距离为s ，则全程所需的时间为s a ＋s b， ∴v ＝2ss a ＋s b＝2aba ＋b .∵b >a >0，由基本不等式可得ab <a ＋b2，∴v ＝2ab a ＋b <2ab2ab＝ab ， 另一方面v ＝2ab a ＋b <2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22a ＋b ＝a ＋b2，v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a2a ＋b ＝0，∴v >a ，则a <v <ab . 故选AD. 答案：AD7．解析：因为x >0，y >0，所以2y x ＋8x y ≥8，当且仅当2y x ＝8x y时，“＝”成立．所以m ＋2<8，解得m <6.答案：m <68．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x >0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：89．解析：(1)因为x >0，y >0，∴40＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy (当且仅当x ＝4y ，即x ＝20，y ＝5时等号成立) 所以xy ≤100， 因此xy 的最大值为100.(2)因为x ＋4y ＝40，即140(x ＋4y )＝1，所以1x ＋1y ＝140(x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝140⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4y x ＋x y ≥140⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24y x ·x y ＝940， (当且仅当x ＝2y ，即x ＝403，y ＝203时等号成立)所以1x ＋1y 的最小值为940.10．解析：依题意得y ＝920x ＋3＋1 600x(x ∈N *). 因为x ＋1 600x≥2x ·1 600x＝80，当且仅当x ＝1 600x，即x ＝40时上式等号成立，所以y max ＝92083≈11.1(万件).所以当销售员为40人时，销售量最大，最大销售量约为11.1万件． 11．解析：对于∀x >0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立．即对∀x >0，不等式1x ＋1x＋3≤a 恒成立．∵x ＋1x＋3≥3＋2x ·1x ＝5.当且仅当x ＝1时，取等号，所以1x ＋1x＋3的最大值为15.所以a ≥15. 故选BCD. 答案：BCD12．解析：(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥1＋a ＋2y x ·axy＝1＋a ＋2a ， 当且仅当y x ＝axy，即y ＝ax 时取等号． 依题意得1＋a ＋2a ≥9，即(a －2)(a ＋4)≥0，又a ＋4>0， ∴a ≥2，解得a ≥4，故a 的最小值为4. 故选B. 答案：B 13．解析：∵4x＋1y＝1，∴x ＋4y ＝(x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1y ＝4＋16y x ＋x y＋4≥8＋216y x ·xy＝16.当且仅当x ＝16y ，即y ＝4且x ＝64时取等号．∵x ＋4y >m 2－6m 恒成立，则16>m 2－6m ，解得－2<m <8.答案：－2<m <814．解析：设两数分别为x ，y (x ，y ∈N *)，即4x ＋9y ＝60，1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y 4x ＋9y 60 ＝160⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋4x y ＋9y x ≥160×(13＋12)＝512，当且仅当4x y ＝9yx，且4x ＋9y ＝60，即x ＝6且y ＝4时，等号成立，故应分别填上6，4. 答案：6 415．解析：(1)设正面复合板长为x m ，侧面长为y m ，总造价为z 元，则方舱医院的面积S ＝xy ，总造价z ＝40x ＋2×45y ＋20xy ＝40x ＋90y ＋20xy .由条件知z ≤188 000，即4x ＋9y ＋2xy ≤18 800. ∵x >0，y >0， ∴y ≤18 800－4x 9＋2x .令t ＝9＋2x ，则x ＝t －92(t >9)，∴S ＝xy ≤t －92·18 800－（2t －18）t＝－t 2＋9 418t －9×9 409t＝－⎝⎛⎭⎪⎫t ＋9×9 409t＋9 418 ≤－2t ·9×9 409t＋9 418＝－2×3×97＋9 418 ＝8 836，当且仅当t ＝9×9 409t，即t ＝291时等号成立．故S 的最大值为8 836 m 2.(2)由(1)知，当S ＝8 836 m 2时，t ＝291，t ＝9＋2x ，∴x ＝141，则y ＝8 836141＝1883.∴方舱医院的面积S 达到最大值8 836 m 2，实际造价又不超过预算时，正面复合板的长应设计为141 m ．16．解析：(1)对于三元基本不等式猜想：设a >0，b >0，c >0，a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．(2)因为a >0，b >0，c >0，又因为a ＋b ＋c ≥33abc >0，a 2＋b 2＋c 2≥ 33a 2b 2c 2>0，所以(a 2＋b 2＋c 2)(a ＋b ＋c )≥93a 3b 3c 3＝9abc ， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 即(a 2＋b 2＋c 2)(a ＋b ＋c )≥9abc ， (3)因为a >0，b >0，c >0，a ＋b ＋c3≥3abc ，所以abc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 33，又因为a ＋b ＋c ＝1，0<1－a <1，0<1－b <1，0<1－c <1，所以(1－a )(1－b )(1－c )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋1－b ＋1－c 33＝827，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．所以(1－a )(1－b )(1－c )的最大值为827.。
最新人教A版高中数学必修一培优课时作业(十二)基本不等式
课时作业(十二) 基本不等式[练基础]1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( )A ．a ＝±1B ．a ＝1C ．a ＝－1D ．a ＝02．若a ≥0，b ≥0且a ＋b ＝2，则( )A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤33．“a ，b 为正数”是“a ＋b >2ab ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设x >0，则y ＝3－3x －1x的最大值是( ) A ．3 B ．3－2 2 C ．3－2 3 D ．－15．已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则xy 的最大值是( )A.14 B ．4 C.18D ．8 6．(多选)设a ，b ∈R ，则下列不等式一定成立的是( )A ．a 2＋b 2≥2abB ．a ＋1a≥2 C ．b 2＋1≥2b D.⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪a b ≥27．若a ＜1，则a ＋1a －1与－1的大小关系是________． 8．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则1y ＋8x的最小值为________． 9．已知a >b >c ，你能比较出4与⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c (a －c )的大小吗？10．(1)若x ＜3，求y ＝2x ＋1＋1x －3的最大值； (2)已知x ＞0，求y ＝2x x 2＋1的最大值．[提能力]11．(多选)下列命题中正确的是( )A ．y ＝x ＋1x()x <0的最大值是－2 B ．y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值是2 C ．y ＝2－3x －4x()x >0的最大值是2－43 D ．y ＝x ＋4x －1()x >1最小值是5 12．(多选)下列结论正确的是( ) A ．若x <0，则y ＝x ＋1x的最大值为－2 B ．若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22C ．若a >0，b >0，且a ＋4b ＝1，则1a ＋1b的最大值为9 D ．若x ∈[]0，2，则y ＝x 4－x 2的最大值为213．已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝3，则xy 的最大值为________，3x ＋y xy的最小值为________． 14．已知5x 2y 2＋y 4＝1()x ，y ∈R ，则x 2＋2y 2的最小值是________．15．已知正常数a ，b 和正变数x ，y 满足a ＋b ＝10，a x ＋b y＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．[培优生]16．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图，在AB 上取一点C ，使得AC ＝a ，BC ＝b ，过点C 作CD ⊥AB 交半圆周于点D ，连接OD .作CE ⊥OD 交OD 于点E .由CD ≥DE 可以直接证明的不等式为( )A.ab ≥2ab a ＋b (a >0，b >0)B.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)C. a 2＋b 22≥a ＋b 2(a >0，b >0) D ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)课时作业(十二) 基本不等式1．解析：当a 2＋1＝2a ，即(a －1)2＝0，即a ＝1时，等号成立．故选B.答案：B2．解析：因为a 2＋b 2≥2ab ，所以(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)≥(a 2＋b 2)＋2ab ，即2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2＝4，所以a 2＋b 2≥2.故选C.答案：C3．解析：若a ，b 为正数，取a ＝1，b ＝1，则a ＋b ＝2ab ，则“a ，b 为正数”不是“a ＋b >2ab ”的充分条件；若a ＋b >2ab ，取a ＝1，b ＝0，则b 不是正数，则“a ，b 为正数”不是“a ＋b >2ab ”的必要条件．故“a ，b 为正数”是“a ＋b >2ab ”的既不充分也不必要条件．故选D.答案：D4．解析：y ＝3－3x －1x ＝3－⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≤3－23x ·1x ＝3－23，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取等号．故选C.答案：C5．解析：由题意得，xy ＝12×2xy ≤12×⎝⎛⎭⎫2x ＋y 22＝12×⎝⎛⎭⎫122＝18， 当且仅当x ＝14，y ＝12时等号成立，所以xy 的最大值是18.故选C. 答案：C6．解析：当a ，b ∈R 时，a 2＋b 2≥2ab 成立，故A 正确；当a ＞0时，a ＋1a≥2，等号成立的条件是a ＝1，当a ＜0时，a ＋1a≤－2，等号成立的条件是a ＝－1，故B 不正确；当b ∈R 时，b 2＋1－2b ＝(b －1)2≥0，所以b 2＋1≥2b ，故C 正确；⎪⎪⎪⎪b a ＞0，⎪⎪⎪⎪a b ＞0，所以⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪a b ≥2⎪⎪⎪⎪b a ×⎪⎪⎪⎪a b ＝2，等号成立的条件是当且仅当⎪⎪⎪⎪b a ＝⎪⎪⎪⎪a b ，即a 2＝b 2时，故D 正确．故选ACD.答案：ACD7．解析：因为a ＜1，即1－a >0，所以－⎝⎛⎭⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a ≥2(1－a )·11－a＝2.即a ＋1a －1≤－1. 答案：a ＋1a －1≤－1 8．解析：因为x >0，y >0且x ＋2y ＝2，所以1y ＋8x ＝x ＋2y 2y ＋4x ＋8y x＝5＋x 2y ＋8y x ≥5＋2x 2y ·8y x ＝9(当且仅当x 2y ＝8y x ，即x ＝4y ＝43时取等号)，即1y ＋8x的最小值为9.答案：99．解析：⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c (a －c )≥4，理由如下： 因为a －c ＝(a －b )＋(b －c )， 所以⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c [(a －b )＋(b －c )] ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c， 又a >b >c ，所以b －c a －b ＋a －b b －c≥2， 故⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c (a －c )≥4， 当且仅当b －c a －b ＝a －b b －c时，取“＝”． 10．解析：(1)因为x ＜3，所以3－x ＞0.又因为y ＝2(x －3)＋1x －3＋7＝－⎣⎡⎦⎤2(3－x )＋13－x ＋7，由基本不等式可得2(3－x )＋13－x ≥22(3－x )·13－x ＝22，当且仅当2(3－x )＝13－x，即x ＝3－22时，等号成立，于是－⎣⎡⎦⎤2(3－x )＋13－x ≤－22，－⎣⎡⎦⎤2(3－x )＋13－x ＋7≤7－22，故y 的最大值是7－2 2.(2)y ＝2x x 2＋1＝2x ＋1x.因为x ＞0，所以x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，所以0＜y ≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立．故y 的最大值为1. 11．解析：对于A ，y ＝x ＋1x ＝－⎝⎛⎭⎫－x －1x ≤－2－x ·⎝⎛⎭⎫－1x ＝－2，当且仅当－x ＝－1x，即x ＝－1时，等号成立，所以y ＝x ＋1x ()x <0的最大值是－2，故A 正确；对于B ，y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2>2，因为x 2＋2＝1x 2＋2，即x 2＋2＝1无解，即等号不成立，所以y ＝x 2＋3x 2＋2取不到最小值2，故B 错误；对于C ，y ＝2－3x －4x (x >0)＝2－(3x ＋4x )≤2－23x ·4x ＝2－43，当且仅当3x ＝4x ，即x ＝233时，等号成立，所以y ＝2－3x －4x(x >0)的最大值是2－43，故C 正确；对于D ，y ＝x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥2()x －1·4x －1＋1＝5，当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，等号成立，所以y ＝x ＋4x －1()x >1最小值是5，故D 正确；故选ACD.答案：ACD 12．解析：A 选项，由x <0可得y ＝x ＋1x ＝－⎣⎡⎦⎤()－x ＋⎝⎛⎭⎫－1x ≤－2()－x ·⎝⎛⎭⎫－1x ＝－2，当且仅当－x ＝－1x，即x ＝－1时，等号成立；即y ＝x ＋1x 的最大值为－2；A 正确；B 选项，由a >0，b >0，可得⎝⎛⎭⎫a ＋b 22－ab ＝a 2＋b 2－2ab 4＝⎝⎛⎭⎫a －b 22≥0，即ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，故B 正确；C 选项，若a >0，b >0，且a ＋4b ＝1，则1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ()a ＋4b ＝1＋4b a ＋a b ＋4≥5＋24b a ·a b ＝9，当且仅当4b a ＝a b，即⎩⎨⎧a ＝13b ＝16时，等号成立；即1a ＋1b 的最小值为9，故C 错；D 选项，因为0≤x ≤2，所以y ＝x 4－x 2≤x 2＋()4－x 22＝2，当且仅当x ＝4－x 2，即x ＝2时，等号成立，故D 正确．故选ABD.答案：ABD13．解析：∵x >0，y >0∴x ＋2y ＝3≥22xy ，解之得：xy ≤98. 当且仅当x ＝2y ，即x ＝32，y ＝34时，等号成立． ∴xy 的最大值为98. 3x ＋y xy ＝3y ＋1x ＝13()x ＋2y ⎝⎛⎭⎫3y ＋1x ＝73＋13⎝⎛⎭⎫3x y ＋2y x ≥73＋233x y ·2y x ＝7＋263. 当且仅当3x y ＝2y x ，即x ＝36－35，y ＝18－3610时，等号成立． ∴3x ＋y xy 的最小值为7＋263. 另解： ∵x >0，y >0，且x ＋2y ＝3∴x ＝3－2y >0，∴0<y <32. ∴xy ＝y ()3－2y ＝－2y 2＋3y ＝－2⎝⎛⎭⎫y －342＋98. ∵0<y <32， ∴当y ＝34时，()xy max ＝98，此时x ＝32. 答案：98 7＋26314．解析：∵5x 2y 2＋y 4＝1∴y ≠0且x 2＝1－y 45y2 ∴x 2＋2y 2＝1－y 45y 2＋2y 2＝15y 2＋9y 25≥215y 2·9y 25＝65， 当且仅当15y 2＝9y 25，即x 2＝815，y 2＝13时取等号． ∴x 2＋y 2的最小值为65. 答案：6515．解析：因为x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫a x ＋b y＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当ay x ＝bx y， 即y x ＝b a时，等号成立， 所以x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18， 又a ＋b ＝10，所以ab ＝16.所以a ，b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根， 所以a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2.16．解析：由三角形相似，知CD 2＝DE ·OD ＝AC ·BC ，即DE ＝DC 2OD ＝ab a ＋b 2＝2ab a ＋b， 由CD ≥DE ，得ab ≥2ab a ＋b，故选A. 答案：A。
基本不等式 作业
基本不等式作业1.当x>1时，函数y=x+1-1x的最小值是.2.已知正数x，y满足x+y=1，那么1x+4y的最小值为.3.若x+2y=1，则2x+4y的最小值为.4.(2015·宿迁一模)若a2-ab+b2=1，a，b是实数，则a+b的最大值是.5.(2014·扬州中学)设x，y均为正实数，且32x++32y+=1，则xy的最小值是.6.设二次函数f(x)=ax2-4x+c(x∈R)的值域为[0，+∞)，则11c++99a+的最大值为.7.(2015·南通、扬州、泰州、淮安三调)已知正实数x，y满足x+2x+3y+4y=10，则xy的取值范围为.8.如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.已知AB=3 m，AD=2 m.(1)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小?并求最小面积.(2)若AN的长度不少于6 m，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小?并求最小面积.(第8题)11.(2015·苏锡常镇二模)已知a，b∈R，a≠0，曲线y=2ax+，y=ax+2b+1，若两条曲线在区间[3，4]上至少有一个公共点，求a2+b2的最小值.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.(2015·南京、盐城一模)若实数x，y满足x>y>0，且log2x+log2y=1，则22-x yx y+的最小值为.13.(2015·镇江期末)已知正数x，y满足1x+1y=1，则4-1xx+9-1yy的最小值为.【检测与评估答案】第47课基本不等式及其应用1.3 【解析】因为x>1，所以y=x+1-1x =(x-1)+1-1x +1=3，当且仅当x-1=1-1x ，且x>1，即x=2时等号成立，故函数y 的最小值为3.2.9 【解析】1x +4y =14x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(x+y )=1+y x +4xy +4≥5+=5+2×2=9，当且仅当x=13，y=23时取等号.3.【解析】易知2x +4y =2x +22y =当且仅当x=12，y=14时，等号成立.4.2 【解析】方法一：因为a 2-ab+b 2=1，即(a+b )2-3ab=1，从而3ab=(a+b )2-1≤23()4a b +，即(a+b )2≤4，所以-2≤a+b ≤2，所以(a+b )max =2.方法二：令u=a+b ，与a 2-ab+b 2=1联立消去b 得3a 2-3au+u 2-1=0，由于此方程有解，从而有Δ=9u 2-12(u 2-1)≥0，即u 2≤4，所以-2≤u ≤2，所以(a+b )max =2.5.16 【解析】因为x ，y 均为正实数，32x ++32y +=1，所以8+x+y=xy ，xy 8，2)≥0，xy ≥16，即xy 的最小值是16.6. 20 【解析】设每次都购买x t ，则需要购买200x次，则一年的总运费为200x ×2=400x (万元)，一年的存储费用为x 万元，则一年的总费用为400x +x 40，当且仅当400x =x ，即x=20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买20 t .7.65【解析】由二次函数特点可知，在定义域R上其值域为[0，+∞)，则a>0，且Δ=16-4ac=0，即ac=4.欲求11c++99a+的最大值，利用前面关系，建立f(a)=11c++99a+=918(1)(9)c ac a++++=1+53613aa++，由f(a)=1+513aa++≤165，当且仅当36a=a，即a=6时取等号.8.813⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】方法一：令t=xy，则x=ty，于是ty+2yt+3y+4y=10，所以10=23t⎛⎫+⎪⎝⎭y+(t+4)1y，解得1≤t≤83.当23t⎛⎫+⎪⎝⎭y=(t+4)1y时，得y2=423tt++.当t=1时，y=1，x=1；当t=83时，y=43，x=2.所以1≤t≤83为所求.方法二：令t=xy，则y=tx，于是x+2x+3tx+4tx=10，可得41t⎛⎫+⎪⎝⎭x2-10x+2+3t=0，由Δ=100-441t⎛⎫+⎪⎝⎭(2+3t)≥0，得1≤t≤83.9.作出可行区域如图中阴影部分所示，当直线z=ax+by(a>0，b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点A(4，6)时，目标函数z=ax+by(a>0，b>0)取得最大值12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而2 a +3b=23236a ba b+⎛⎫+⎪⎝⎭=136+b aa b⎛⎫+⎪⎝⎭≥136+2=256，当且仅当ba=ab，即a=b=65时取等号.故2a+3b的最小值为256.(第9题)10.(1) 设AN=x m(x>2)，则ND=(x-2)m .因为ND DC =AN AM ，即-23x =xAM， 所以AM=3-2x x .所以S 矩形AMPN =23-2x x =23(-2)12(-2)12-2x x x ++=3(x-2)+12-2x +12≥212=24，当且仅当x=4时取等号，即当AN=4 m 时，矩形AMPN 的面积最小，为24 m 2.(2) 由(2)知S 矩形AMPN =3(x-2)+12-2x +12(x ≥6)，令x-2=t (t ≥4)，则f (t )=3t+12t+12.因为f'(t )=3-212t ，当t ≥4时，f'(t )>0，所以f (t )=3t+12t+12在区间[4，+∞)上单调递增，所以f (t )min =f (4)=27，此时x=6.即当AN=6 m 时，矩形AMPN 的面积最小，为27 m 2.11. 令2a x+=ax+2b+1，可得ax 2+(2b+1)x-a-2=0. 方法一：把等式看成关于a ，b 的直线方程(x 2-1)a+2xb+x-2=0， 由于直线上一点(a ，b )到原点的距离大于等于原点到直线的距离，，所以a 2+b 2≥2222(-2)(-1)(2)x x x +=215-24-2x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 因为x-2+5-2x 在x ∈[3，4]是减函数，上述式子在x=3，a=-225，b=-350时取等号，故a 2+b 2的最小值为1100. 方法二：令a 2+b 2=t 2(t>0)，所以a=t cos θ，b=t sin θ. 因为2a x+=ax+2b+1， 所以ax 2+(2b+1)x-(a+2)=0，所以t cos θ·x 2+2x ·t sin θ+x -t cos θ-2=0， 所以(tx 2-t )·cos θ+2xt ·sin θ=2-x ，θ+φ)=2-x ，所以|sin(θ+ φ)≤1，所以t ≥2|-2|1x x +. 下同方法一.12.4 【解析】因为log 2x+log 2y=log 2xy=1，所以xy=2.因为x>y>0，所以x-y>0，所以22-x y x y +=2(-)2-x y xyx y +=x-y+4-x y 4，当且仅当x-y=2，即1，1时取等号.13.25 【解析】因为1y =1-1x，所以4-1x x +9-1y y =4-1x x +911-y=4-1x x +9x=4+4-1x +9(x-1)+9=13+4-1x +9(x-1).又因为1y =1-1x >0，所以x>1，同理y>1，所以13+4-1x +9(x-1)≥13+25，当且仅当x=53时取等号，所以4-1x x +9-1yy 的最小值为25.。
高考数学一轮复习课时作业(四) 基本不等式
课时作业(四) 基本不等式一、单项选择题1．“a >b >0”是“ab <a2＋b22 ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立；由ab <a2＋b22 ，可知a ≠b ，a ，b ∈R ，故必要性不成立．]2．(2020·平顶山模拟)若M ＝a2＋4a(a ∈R ，a ≠0)，则M 的取值范围为( ) A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－4] C ．[4，＋∞)D ．[－4，4]A [M ＝a2＋4a ＝a ＋4a ，当a >0时，M ≥4；当a <0时，M ≤－4.]3．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4C [因为1a ＋2b ＝ab ，所以a >0，b >0，由ab ＝1a ＋2b≥21a ×2b＝22ab， 所以ab ≥2 2 (当且仅当b ＝2a 时取等号)，所以ab 的最小值为2 2 .] 4．若m >0，n >0，m ＋2n ＝1，则1m ＋m ＋1n 的最小值为( )A ．4B ．5C ．7D ．6C [由m ，n >0，m ＋2n ＝1，得m ＝1－2n ，所以1m ＋m ＋1n ＝1m ＋（1－2n ）＋1n ＝1m ＋2n －2，所以1m ＋2n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋2n (m ＋2n )＝5＋2n m ＋2m n ≥5＋2·2n m ·2m n ＝9，当且仅当m ＝n ＝13 时等号成立，所以1m ＋m ＋1n ＝1m ＋2n－2≥9－2＝7.故选C.]5．(2020·河北廊坊联考)已知a ，b ∈(0，＋∞)，且1＋2ab ＝9a ＋b，则a ＋b 的取值范围是( ) A ．[1，9] B ．[1，8] C ．[8，＋∞) D ．[9，＋∞)B [∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 2 ≥ab ，可得1ab ≥4（a ＋b ）2，当且仅当a ＝b 时取等号．∵1＋2ab ＝9a ＋b ，∴9a ＋b－1＝2ab ≥8（a ＋b ）2 ，化为(a ＋b )2－9(a ＋b )＋8≤0，解得1≤a ＋b ≤8，当且仅当a ＝b ＝12或a ＝b ＝4时取等号，∴a ＋b 的取值范围是[1，8].故选B.]6．(2020·广州期末)若实数x ，y 满足xy ＋6x ＝4⎝⎛⎭⎫0<x<23 ，则4x ＋1y 的最小值为( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32B [实数x ，y 满足xy ＋6x ＝4⎝⎛⎭⎫0<x<23 ， ∴x ＝4y ＋6 ∈⎝⎛⎭⎫0，23 ，y >0， 则4x ＋1y ＝y ＋6＋1y ≥2＋6＝8，当且仅当y ＝1，x ＝47 时取等号．∴4x ＋1y 的最小值为8.] 7.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A ．a ＋b 2 ≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C ．2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D ．a ＋b 2≤a2＋b22(a >0，b >0) D [由AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝a ＋b2 ，又OC ＝OB －BC ＝a ＋b 2 －b ＝a －b2 ，则FC 2＝OC 2＋OF 2＝（a －b ）24＋（a ＋b ）24＝a2＋b22，再根据题图知FO ≤FC ，即a ＋b2 ≤a2＋b22，当且仅当a ＝b 时取等号．故选D.]8．(2020·广东珠海高三期末)已知x >0，y >0，z >0，且9y ＋z ＋1x＝1，则x ＋y ＋z 的最小值为( )A ．8B ．9C ．12D ．16D [∵y >0，z >0，∴y ＋z >0，又9y ＋z ＋1x ＝1，x >0，∴x ＋y ＋z ＝[x ＋(y ＋z )](1x ＋9y ＋z )＝10＋9xy ＋z＋y ＋z x ≥10＋29x y ＋z ·y ＋z x ＝16，当且仅当9xy ＋z＝y ＋zx，即y ＋z ＝3x 时等号成立，∴x ＋y ＋z 的最小值为16.故选D.]二、多项选择题9．下列选项错误的是( )A ．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2 ≥ab 成立的条件是相同的B ．函数y ＝x ＋1x 的最小值是2C ．函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4D ．x >0且y >0是x y ＋yx≥2的充要条件ABCD [对于选项A ，不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，不等式a ＋b2 ≥ab 成立的条件是a >0，b >0；对于选项B ，函数y ＝x ＋1x 的值域是(－∞，2]∪[2，＋∞)，没有最小值；对于选项C ，函数f (x )＝sin x ＋4sin x 没有最小值；对于选项D ，x >0且y >0是x y ＋yx≥2的充分不必要条件．]10．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则下列选项中正确的是( ) A ．ab 有最大值14B ． a ＋ b 有最大值 2C ．1a ＋1b有最小值4D ．a 2＋b 2有最小值22AC [因为a >0，b >0，且a ＋b ＝1，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 2 ，所以ab ≤14 ，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以ab 有最大值14 ，所以选项A 正确； a ＋ b ≤2a ＋b 2 ＝ 2 ，当且仅当a ＝b ＝12取等号，所以 a ＋ b 的最小值是 2 ，所以B 错误；因为1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以1a ＋1b 有最小值4，所以C 正确；因为a 2＋b 2≥（a ＋b ）22＝12 ，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以a 2＋b 2的最小值不是22，所以D 错误．故选AC.]11．(2020·山东卷)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则( ) A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤ 2ABD [对于A 项，因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，所以a 2＋b 2≥12 ，正确；对于B 项，易知0<a <1，0<b <1，所以－1<a －b <1，所以2a －b >2－1＝12 ，正确；对于C 项，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 <－2，错误；对于D 项，因为 2 ＝2（a ＋b ） ，所以[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，所以 a ＋ b≤ 2 ，正确，故选ABD 项．]12．(开放型)一个矩形的周长为l ，面积为S ，则如下四组数对中，可作为数对(S ，l )的是( ) A ．(1，4) B ．(6，8) C ．(7，12)D ．⎝⎛⎭⎫3，12 AC [设矩形的边长分别为x ，y ，则x ＋y ＝12l ，S ＝xy .对于A ，(1，4)，则x ＋y ＝2，xy ＝1，根据基本不等式得xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2 2，符合题意；对于B ，(6，8)，则x ＋y ＝4，xy ＝6，根据基本不等式得xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2 2，不符合题意；对于C ，(7，12)，则x ＋y ＝6，xy ＝7，根据基本不等式得xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2 2 ，符合题意；对于D ，⎝⎛⎭⎫3，12 ，则x ＋y ＝14 ，xy ＝3，根据基本不等式得xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，不符合题意．故选AC.] 三、填空题13．不等式a ＋1≥2 a (a >0)中等号成立的条件是________．解析： 因为a >0，根据基本不等式ab ≤a ＋b2 ，当且仅当a ＝b 时等号成立，故a ＋1≥2 a中等号成立的条件是当且仅当a ＝1.答案： a ＝114．函数y ＝x2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析： 因为y ＝x2－1＋1x ＋1 ＝x －1＋1x ＋1 ＝x ＋1＋1x ＋1 －2(x >－1)，所以y ≥2 1 －2＝0，当且仅当x ＝0时等号成立．答案： 015．(2020·河北“五个一名校联盟”模拟)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元．解析： 每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x >0，故yx ≤18－225 ＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元．答案： 816．已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，①则x 2＋y 2的最小值为________；②若1x ＋4y ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析： 因为x ＋y ＝1，所以xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2 2 ＝14 ，所以x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ≥1－14 ×2＝12 ，所以x 2＋y 2的最小值为12.若a ≤1x ＋4y 恒成立，则a ≤⎝⎛⎭⎫1x ＋4y min ，因为1x ＋4y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋4y (x ＋y )＝5＋y x ＋4x y ≥5＋2y x ×4x y ＝9，所以1x ＋4y 的最小值为9，所以a ≤9，故实数a 的取值范围是(－∞，9]. 答案： 12(－∞，9]。
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基本不等式作业 2014/05/09
姓名 班级
一、选择题
1．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，则9x ＋3y 的最小值为 ( )
A ．22
B ．4
C ．12
D ．6
2．(2011·重庆高考)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是 ( )
A.72 B ．4 C.92 D ．5
3．函数y ＝log 2x ＋log x (2x )的值域是 ( )
A ．(－∞，－1]
B ．[3，＋∞)
C ．[－1,3]
D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
4．(2012·温州模拟)已知x >0，y >0，z >0，x －y ＋2z ＝0，则xz y 2的 ( ) A ．最小值为8 B ．最大值为8 C ．最小值为18 D ．最大值为18
5．已知x >0，y >0，且2x ＋1y
＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥4或m ≤－2 B ．m ≥2或m ≤－4 C ．－2<m <4 D ．－4<m <2
6．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋k a ＋b
≥0恒成立，则实数k 的最小值等于 ( ) A ．0 B ．4 C ． 4 D ．－2
7.在下列函数中，当x 取正数时，最小值为2的是 （ ）
A ．4y x x =--
B ．1lg lg y x x
=+
C ．
y D ．223y x x =-+ 8.已知1()2(0)f x x x x
=+-<，则()f x 有 （ ） A ．最大值为0 B ．最小值为0 C ． 最大值为-4
D ．最小值为-4 9. 已知0,0,lg 2lg8lg 2,x y x y >>+=则
113x y +的最小值为 （ ）
A ．2
B ．
C ． 4
D ．
10.设0,0,a b >>若3a 与3b 的等比中项，则
11a b +的最小值为 （ ） A ．8
B ．4
C ． 1
D ．14
二、填空题
11．若不等式22492k x y xy +≥对一切正数,x y 恒成立，则整数k 的最大值是
12. 不等式4210x x a +∙+≥对一切x R ∈恒成立，则a 的取值范围是
13. (2011·湖南高考)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2) 的最小值为________． 14．(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数ƒ(x )＝2x 的图
象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是____．
15．(2012·徐州模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R)的值域为[0，＋∞)，则c ＋2a ＋a ＋2c
的最小值为________．
16. 已知2()log (2),f x x =-若实数,m n 满足()(2)3,f m f n +=则m n +的最小值是
三、解答题
17．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，
求(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．。