地下水动力学(第一章 渗流理论基础-2-专)

(1) 对一给定的流线，流函数是常数。不同的流 线有不同的常数值。流函数决定于流线。 (2) 在平面运动中，两流线间的流量等于和这两 条流线相应的两个流函数的差值。 (3) 在均质各向同性介质中，流函数满足Laplace 方程；其他情况下均不满足Laplace方程。 (4) 在非稳定流中，流线不断地变化，只能给出 某一瞬时的流线图。因此，只有对不可压缩的液体 的稳定流动，流线才有实际意义。
∂2H ∂2ψ ∂2H ∂2ψ −K = ; −K =− 2 ∂x∂y ∂y2 ∂y∂x ∂x
二、流网及其性质
流网：在渗流场内，取一组流线和一组等势线 组成的网格。 流网的性质： 流网的性质： 1. 在各向同性介质中，流线与等势线处处垂直， 故流网为正交网格。 证明：等水头线和流线的梯度为：
gradH = ∇H = ∂H ∂H i+ j ∂x ∂y
一般地下水流都为Darcy流。 思考题
§1—3 岩层透水特征分类和渗透系数张量 一、岩层透水特征分类 据岩层透水性随空间坐标的变化情况，将岩层 分为均质的和非均质的两类。 均质岩层：在渗流场中，所有点都具有相同的 渗透系数。 非均质岩层：在渗流场中，不同点具有不同的 渗透系数。 非均质岩层有两种类型：一类透水性是渐变的， 另一类透水性是突变的。 均质、非均质:指 与空间坐标的关系 与空间坐标的关系， 均质、非均质 指K与空间坐标的关系，即不同位 是否相同； 置K是否相同； 是否相同
K1M1 + K2M2 M1 + M2 Kp − Kv = − M1 M2 M1 + M2 + K1 K2 M1M2 = >0 (K1M1 + K2M2 )(M1 + M2 )
(K1 − K2 )
2
§1—5 流网 一、流函数 1. 流线和迹线 流线：某一瞬时，渗流场中处处和渗流速 度矢量相切的曲线。 迹线：把某一质点在连续的时间过程内所 占据的空间位置连成线。 注意区别。
∂H ∂H ∂H ; vy = −K ; vz = −K ∂x ∂y ∂z
Darcy定律适用范围： Darcy定律中，渗流速度v 与水力坡度J呈线性关系。 做如下实验，固定某种直 径d的砂粒，改变水力坡度J 的大小，可得到对应的渗流 速度v，按照Darcy定律应呈 线性关系，但实际上，当v增 大到某一值时，开始偏离 Darcy定律，这时，根据v、d 可确定Reynolds数 （Re=vd/γ），计算出的Re一 般在1—10。如图：
∂ψ ∂ψ gradψ = ∇ψ = i+ j ∂x ∂y
二、层状岩层的等效渗透系数
有两种情况：①平行于层面的渗透系数； ②垂直于层面的渗透系数。 1. 平行于层面的等效渗透系数Kp 设每一分层的渗透系数Ki和厚度Mi，如图。对于 每一分层水力坡度是相等的，即 J=∆H / l 每一层的单宽流量为： 通过层状含水层总流量为：
∆H ∆H n q = ∑qi = ∑Ki Mi = ∑Ti l l i=1 i=1 i=1
v= d = 0.5 1000 = 200m/ d
当渗透流速小于200m/d时，地下水运动为Darcy流。 一般粗砂的渗透系数K=100m/d，实际的J一般小 于1/500，这里取1/500，可求得v=0.2m/d，远远小 于200m/d，服从Darcy定律。
因此，当渗流速度由低到高时，可把多孔 介质中的地下水运动状态分为三种情况： （1）当地下水低速度运动时，即Reynolds 数小于1到10之间的某个值时，为粘滞力占优 势的层流运动，适用Darcy定律。 （2）随着流速的增大，当Reyno1ds数大致 在l0到100之间时，为一过渡带，由粘滞力占 优势的层流运动转变为惯性力占优势的层流 运动，当Reyno1ds大于100时，再转变为紊流 运动。 （3）高Reyno1ds数时为紊流运动。 注意： 注意：两个界限值1-10、150-300。
三、非线性运动方程 Re小于1—10时，地下水流为线性流，用 Darcy定律描述； Re大于1—10时，地下水 流为非线性流，用下列定律描述： Forchheimer公式： 1901年福希海默提出Re>10时： J=av+bv2 Chezy公式 1912年克拉斯诺波里斯基提出紊流公式： 1
v=K J2
因为H1=H2，故
∂H1 ∂H，则得： = 2 ∂x ∂x
tgθ1 K1 = tgθ2 K2
此式渗流折射定律。几点结论： (1)当Kl=K2 ，则θ1=θ2 ， 表示在均质岩层中不发生 折射。 (2) 当 Kl≠K2 ， 而 且 Kl 、 K2 均不等于0时，如θ1=0， 则θ2=0，表明水流垂直通 过界面时不发生折射。
界面上某一点附近的渗流速度和水头在两 介质中的值依次为v1、v2和H1、H2，位于界 面上的任一点都应满足如下条件： H1=H2 v1n=v2n 则 tgθ = v1τ ; tgθ = v2τ 1 2 v1n v2n
∂H1 − K1 tgθ1 v1τ ∂x = = tgθ2 v2τ − K ∂H2 2 ∂x
(3)当Kl≠K2 ，而且Kl 、K2 均为有限值时， 如θ1=90，则有θ2=90，表明水流平行于界面 时不发生折射。 (4)当水流斜向通过界 面时，介质的渗透系数 K值愈大，θ角也愈大， 流线也愈靠近界面。二 介质的K值相差愈大， θ1 和θ2 的差别也愈大， 流线通过界面后的偏移 程度也愈大。
二、渗透系数、渗透率和导水系数
渗透系数：水力坡度等于1时的渗透速度。 影响渗透系数的因素：①岩石性质（粒度、成 分、颗粒排列、充填状况、裂隙性质及其发育程 度）；②液体的物理性质（容重、粘滞性等）。 渗透系数K可用下式：
K= kρg
ρ：液体密度，g：重力加速度，µ：动力粘度， k：渗透率。量纲[L2]，只与岩石的性质有关， 与液体性质无关。单位cm2或Darcy。 石油地质中用达西： 1 达西=9.8697*10-9cm2。 因此，渗透系数既与岩石性质有关（k），又与 流体的性质有关（γ）。
n
i
Mi ∑K i=1 i
此式为层状岩层垂直于层面的等效渗透系数。 说明： 说明：(1)当某一层的Ki较小时，Mi/Ki较大，Kv变小； 当Ki→0时， Mi/Ki→∞，Kv→0，也就是说，垂直于层 面的等效渗透系数主要取决于渗透系数最小的分层。
(2)平行层面的等效渗透系数总是大于垂直 层面的等效渗透系数。 证明：（以二层为例）
Mi q q n Mi ∆H = ∑ = ∑ b i=1 Ki i=1 Kib
∆H q = Kvb M M q ∆H = Kvb
n
取等效渗透系数Kv，那么单宽流量为：
二式相等得： 因此，
M q q n Mi = ∑ Kvb b i=1 Ki
M Kv = n Mi ∑K i=1 i
Kv =
∑M
i=1 n
2. 流线的方程 Mb=dx，ab=dy 因为：∆Mab与 ∆MAB相似， dx dy 所以： = vx vy 或者：vxdy-vydx=0 此式为流线方程。
3. 流函数 设有二元函数ψ（x，y），满足
∂ψ ∂ψ = −vy ; = vx ∂x ∂y
该函数的全微分为： 得： ∂ψ ∂ψ
dψ = ∂x dx + ∂y
vx = −K ∂H ∂H ; vy = −K ∂x ∂y
由达西定律知：
∂ψ ∂ψ 流函数满足的条件： vx = ∂y ; vy = − ∂x ∂H ∂ψ ∂H ∂ψ 有 −K = ; −K =− ∂x ∂y ∂y ∂x
前式对y求导，后式对x求导得： ∂2ψ ∂2ψ 所以 + 2 =0 2 ∂x ∂y
µ
=
g
γ
k
说明： 说明： （1）渗透率是反映岩石渗透性能的参数；渗透
系数是反映某种液体在某岩石中渗透性能的参数。 （2）地下水的容重和粘滞性改变不大，可以近似 地用渗透系数代替渗透率反映岩石渗透性能。 （3）当水温和水的矿化度急剧改变时，如热水、 卤水的运动，必须考虑水的密度和粘滞性。
导水系数：水力坡度等于1时，通过整个 含水层厚度上的单宽流量。用T表示。 导水系数与渗透系数的关系： T=KM 说明： 说明： （1）渗透系数反映岩层的透水性能；导 水系数反映含水层的出水能力。 （2）导水系数仅适用于二维地下水流动， 对于三维流动没有意义。
§1—2 渗流基本定律
一、Darcy定律及其适用范围 或 地下水的运动是三维， Darcy定律应该用微分形 式表示： dH
v = KJ = −K dS
Q = KA H1 − H2 l
v= Q = KJ A
在直角坐标系中，如以vx、vy、vz表示沿三个坐 标轴方向的渗流速度分量，则有：
vx = −K
用矢量来表示渗流速度形式如下： v=vxi+vyj+vzk 式中：i，j，k为三个坐标轴上的单位矢量。
x
∂y
y
∂ψ =− ∂x
代入上式有： dq = ∂ψ dy + ∂ψ dx = dψ
∂y ∂x
将此式在ψ1和ψ2的范围内积分，得：
q = ∫ dψ =ψ2 −ψ1
ψ1 ψ2
（3）证明： Laplace方程：某一函数Z=Z(x,y)有二阶偏导数
∂2Z , 2 ∂x ∂2Z ∂2Z ∂2Z + =0 ∂y2 则方程 ∂x2 ∂y2 为L们用一等效的均值含水层代替层状岩层， 这时 ∆H
qi = KpM l
式中：M—含水层的总厚度；Kp—等效渗透系数。 n 由此得： ∆H ∆H
Kp M l = ∑Ki Mi
i=1
l
等效渗透系数为：
Kp =
∑K M
i=1 n i
n
i
∑M
i=1
i
2. 垂直于层面的渗透系数
该情况下，通过各层的流量相同。但水头降落 和水力坡度不同。总的水头降落∆H等于各分层水 头降落∆Hi之和。 对于每一层 ∆Hi Mi q q = Kib ; ∆Hi = Mi Kib 所以：