奶制品加工问题-数学建模
数学建模规划问题的经典案例
s.t.
x13 x34 x36 0; x12 x24 x25 0; x24 x34 x45 x47 0; x25 x45 x56 x57 0; x47 x57 x67 Q x36 x56 x67 0; xij 0， i , j 1,2,,7.
§2.4 案例
建立优化模型的一般步骤
1.确定决策变量 2.确定目标函数的表达式 3.寻找约束条件 例1：设某厂生产电脑和手机两种产品，这两种产品的生产需要 逐次经过两条装配线进行装配。电脑在第一条装配线每台需要2 小时，在第二条装配线每台需要3小时；手机在第一条装配线每 台需要4小时，在第二条装配线每台需要1小时。第一条装配线每 天有80个可用工时，第一条装配线每天有60个可用工时，电脑和 手机每台的利润分别为100元和80元。问怎样制定生产计划？
问题1
不允许缺货的存贮模型
配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不
同的部件时因更换设备要付生产准备费（与生产数
量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、 占用仓库要付存贮费。今已知某一部件的日需求量 100件，生产准备费5000元，存贮费每日每件1元。 如果生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货，
A
T1
B
T
t
允许缺货模型的存贮量q(t)
一个周期内存贮费
c2
T1
0
Q2 QT1 c2 q(t )dt c2 2r 2
( rT Q )(T T1 ) 一个周期内缺货损失费 c3 q(t )dt c3 T1 2 ( rT Q )2 c3 一个周期的总费用 2r
T
Q ( rT Q ) C c1 c2 c3 2r 2r
基于核心素养的数学建模课程的案例研究——以奶制品的生产与销售模型为例
基于核心素养的数学建模课程的案例研究*———以奶制品的生产与销售模型为例王天松俞芳（昌吉学院数学系新疆昌吉831100）摘要：数学建模课程是高校数学专业的基础课程之一，本文以奶制品的生产与销售模型教学设计为例，从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教学方法、教学过程等六个方面介绍数学建模课程的教学案例，最后针对案例给出相应的案例反思。
关键词：数学建模；教学案例；模型；反思中图分类号：G642文献标识码：A文章编号：1672-1578（2021)01-0001-03随着我国教育改革的不断发展，核心素养理念在高校教育改革中的地位愈显突出，逐渐成为目前高校教育改革的一项新的要求。
《数学建模》课程的开设和数学建模竞赛的开展促进了高校数学的教学教改，对学生综合素质的提高起到了积极、有效的作用[1-2]。
本文以奶制品的生产与销售模型教学设计为例，从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教学方法、教学过程等六个方面介绍数学建模课程的教学设计，最后针对案例给出相应的案例反思[3-5]。
1奶制品的生产与销售模型的教学设计1.1教材分析数学建模是高校数学专业重要的一门专业课程，通过这门课程的学习，应使学生获得数学建模的系统知识、数学思想与思维方法。
对于数学专业学生深刻理解和灵活使用数学知识解决实际问题至关重要，其内容是初步进行科学研究的重要工具，在金融、经济、社会科学等方面有着广泛的应用。
事实上，本课程是学生进行毕业论文写作及科研的阶梯，也为深入理解高等数学打下必要的基础。
本节内容选自姜启源版《数学模型》第四章第一节奶制品的生产与销售，是数学规划模型章节中的第一讲，主要是通过分析两个实际问题讲解线性规划模型（简称LP模型）的建模方法和利用LINGO的求解方法。
这节内容将为后面的模型探索打下坚实的基础，同时为了解LINGO软件的使用提供很好的平台，因此本节内容在该章节中具有重要的地位。
1.2学情分析数学系大四的学生具有一定的数学理论基础，而且具备一定的思维能力、逻辑能力以及综合运用知识的能力。
数学建模案例分析第四章 数学规划模型
原料 供应
劳动 时间
x1 x 5 3
加工能力 附加约束 非负约束
x 1 x 5 100
x 3 0 .8 x 5
4 ( x1 x 5 ) 2 ( x 2 x 6 ) 2 x 5 2 x 6 480
x 4 0 . 75 x 6
x1 , x 6 0
LINDO 6.1
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 3360.000
2）x1+x2<50
3）12x1+8x2<480 4）3x1<100 end DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No
VARIABLE
X1 X2
VALUE
20.000000 30.000000
T
f(x)~目标函数
gi(x)0~约束条件 数 学 规 划 线性规划 非线性规划 整数规划
决策变量个数n和 多元函数 约束条件个数m较大 条件极值 最优解在可行域 的边界上取得
重点在模型的建立和结果的分析
4.1 奶制品的生产与销售
企业生产计划 空间层次
工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等 条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；
线性规划模型
A1,A2每公斤的获利是与各 自产量无关的常数 每桶牛奶加工出A1,A2的数量 和时间是与各自产量无关的常 数 A1,A2每公斤的获利是与相 互产量无关的常数 每桶牛奶加工出A1,A2的数量和 时间是与相互产量无关的常数 加工A1,A2的牛奶桶数是实数
模型求解
约 束 12 x 1 8 x 2 条 3 x 1 100 件
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 X2 ROW 72.000000 24.000000 8.000000
陈品 数模
加工奶制品的生产计划1.问题重述加工牛奶可生产A1、A2两种产品，用1桶牛奶12小时可生产3公斤A1，每公斤获利24元。
同样一同牛奶8小时可生产4公斤A2，每公斤火力16元。
每天有50桶牛奶供应，加工总时间为480小时，至多加工100公斤A1。
问题：（1）35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少?（2）可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元?（3）A1的获利增加到30元/公斤，应否改变生产计划？2.问题的分析问题一：此问题35元是否可买1桶牛奶，应考虑原料牛奶增加一桶时所得的利润是否大于成本价，买的数量应考虑原料增加的数量在总函数的允许变化范围之内。
而考虑原料牛奶的增加一桶是所得利润和数量的是在每天获利z和约束条件的线性规划模型的基础上得出的。
问题二：如果聘用临时工人要考虑单位时间内的利润增长是多少，而工人的最多工资为单位时间增长的利润。
问题三：若A1的获利增加到30元/公斤，是否改变计划应考虑线性规划中牛奶桶数的系数范围。
3.模型的假设及符号说明3.1模型的假设（1）假设在生产过程中不产生其它的费用；（2）假设每次加工的时间恒定，产品的卖价稳定；（3）购买的牛奶全部用于生产A1、A2。
3.2符号说明x：生产A1的牛奶桶数1x：生产A2的牛奶桶数2z：每天的获利4.数学模型的建立和求解加工过程图如下：通过上图，可以求出每天的获利z 的函数 max z=721x +642x约束条件为 ： 原料牛奶与A1，A2之间的关系满足牛奶桶数限制：1x +2x <=50加工时间限制： 121x +82x <=480A1加工限制：31x <=100非负限制： 1x ,2x >=0综上所述得到的线性规划模型：max z=721x +642x1x +2x <=50121x +82x <=48031x <=1001x ,2x >=0通过lingo 软件程序可得下图：获利24元/公斤 获利16元/公斤图a图b通过lingo 软件程序分析可得出结果：• 问题一：图a 可看出， 20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元。
数学模型 奶制品的生产与销售
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VALUE 20.000000 30.000000 REDUCED COST 0.000000 0.000000
结果解释
最优解下“资源”增加 最优解下“资源” 1单位时“效益”的增 单位时“ 单位时 效益” 量
VARIABLE X1 X2
奶制品的生产与销售
企业生产计划 空间层次 工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、 工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等 条件，以最大利润为目标制订产品生产计划； 条件，以最大利润为目标制订产品生产计划； 车间级：根据生产计划、工艺流程、 车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费 用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。 用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。 时间层次 若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化， 若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可 制订单阶段生产计划 否则应制订多阶段生产计划。 单阶段生产计划， 制订单阶段生产计划，否则应制订多阶段生产计划。 本节课题
1桶 桶 牛奶 或
12小时 小时
3千克 A1 千克 1千克 千克
获利24元 千克 获利 元/千克
0.8千克 B1 千克
2小时 元 小时,3元 小时 获利16元 获利 元/kg 8小时 4千克 A2 小时 千克
1千克 千克 0.75千克 B2 千克
获利44元 千克 获利 元/千克
决策 变量 目标 函数 约束 条件
(目标函数不变 目标函数不变) 目标函数不变
64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 50.000000 480.000000 100.000000 10.000000 53.333332 INFINITY 6.666667 80.000000 40.000000
数学建模第四讲(规划一2012)
决策变量个数n和 多元函数 约束条件个数m较大 条件极值 最优解在可行域 的边界上取得
重点在模型的建立和结果的分析
4.1 奶制品的生产与销售
企业生产计划 空间层次
工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等 条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；
车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费 用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划. 时间层次 若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可 制订单阶段生产计划，否则应制订多阶段生产计划. 本节课题
资 源
“资源” 剩余为零的约束为紧约束（有效约束）
Global optimal solution found. 结果解释 Objective value: 3360.000 Total solver iterations: 2 最优解下“资源”增加 Variable Value Reduced Cost 1单位时“效益”的增 X1 20.00000 0.000000 量 X2 30.00000 0.000000 影子价格 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 原料增加1单位, 利润增长48 MILK 0.000000 48.00000 TIME 0.000000 2.000000 时间增加1单位, 利润增长2 CPCT 40.00000 0.000000 加工能力增长不影响利润
最优解不变时目标函 数系数允许变化范围
(约束条件不变) x1系数范围(64,96)
x2系数范围(48,72)
x1系数由24 3=72 增加为303=90， 在允许范围内
• A1获利增加到 30元/kg，应否改变生产计划?
不变！
结果解释 影子价格有意义时约束右端的允许变化范围
数学模型 奶制品的生产与销售
x1 + x2 ≤ 50
12 x1 + 8 x 2 ≤ 480
约束条件
3x1 ≤ 100 x1 , x 2 ≥ 0
线性 规划 模型 (LP)
模型分析与假设
比 xi对目标函数的 贡献” 例 “贡献”与xi取值 性 成正比 xi对约束条件的 贡献” “贡献”与xi取值 成正比 xi对目标函数的 可 贡献” “贡献”与xj取值 加 无关 性 xi对约束条件的 贡献” “贡献”与xj取值 无关 连续性 xi取值连续
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VALUE 20.000000 30.000000 REDUCED COST 0.000000 0.000000
结果解释
最优解下“资源”增加 最优解下“资源” 1单位时“效益”的增 单位时“ 单位时 效益” 量
VARIABLE X1 X2
结果解释
max 72x1+64x2 st 2）x1+x2<50 ） 3）12x1+8x2<480 ） 4） 4）3x1<100 end 原料无剩余 三 种 时间无剩余 资 加工能力剩余40 源 加工能力剩余
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE X1 X2 3360.000 VALUE 20.000000 30.000000 REDUCED COST 0.000000 0.000000
x1 + x5 x2 + x6 加工能力 + ≤ 50 3 4 附加约束 4( x1 + x5 ) + 2( x2 + x6 )
+ 2 x5 + 2 x6 ≤ 480
附1：用LINGO求解线性规划的例子 一奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2
附1：用LINGO求解线性规划的例子一奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2附1:用LINGO求解线性规划的例子一奶制品加工厂用牛奶生产A、A两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A，121或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A。
根据市场需求，生产的A、A能全部售出，且每公斤A获利212124元，每公斤A获利16元。
现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为4802 小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A，设备乙的加工能力没有限制。
试为该厂制定一个生产计划，1使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题:1)若用35元可以购买到1桶牛奶，应否作这项投资,若投资，每天最多购买多少桶牛奶,2)若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元,3)由于市场需求变化，每公斤A的获利增加到30元，应否改变生产计划, 1数学模型:设每天用x桶牛奶生产A1 ，用x桶牛奶生产A2 12目标函数:设每天获利为z元。
x桶牛奶可生产3x公斤A1，获利24*3x，x桶牛奶可生产4*x公11122斤A2，获利16*4x，故z=72x+64x212约束条件:原料供应:生产A、A的原料(牛奶)总量不超过每天的供应50桶，即 12x+x?50 12劳动时间:生产A、A的总加工时间不超过每天正式工人总的劳动时间480小时，即 1212x+8x?480 12设备能力:A的产量不得超过设备甲每天的加工能力100小时，即 13x?100 1非负约束:x、x均不能为负值，即x?0，x?0 2121综上所述可得max z=72x+64x 12s.t.x+x?50 1212x+8x?480 123x?100 1x?0，x?0 21显然，目标函数和约束条件都是线性的，这是一个线性规划(LP)，求出的最优解将给出使净利润最大的生产计划，要讨论的问题需要考虑参数的变化对最优解和影响，一般称为敏感性(或灵敏度)分析。
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《数学实验》课程综合实验
奶制品加工问题
一、问题重述
一奶制品加工厂用牛奶生产A1, A2两种初级奶制品，它们可以直接出售，也
可以分别深加工成B1, B2两种高级奶制品再出售。按目前技术每桶牛奶可加工成
2公斤A1和3公斤A2,每桶牛奶的买入价为10元，加工费为 5元，加工时间为
15小时。每公斤A1可深加工成0.8公斤B1，加工费为4元，加工时间为12小时；
每公斤A2可深加工成0.7公斤B2，加工费为3元，加工时间为10小时；初级奶
制品A1, A2的售价分别为每公斤10元和9元，高级奶制品B1, B2的售价分别为
每公斤30元和20元，工厂现有的加工能力每周总共2000小时，根据市场状况，
高级奶制品的需求量占全部奶制品需求量的20%至40%。试在供需平衡条件下为
该厂制订（一周的）生产计划，使利润最大，并进一步讨论如下问题：
1）拨一笔资金用于技术革新，据估计可实现下列革新中的某一项：总加工
能力提高10%，各项加工费用均减少10%。初级奶制品A1，A2的产量提高10%；
高级奶制品B1，B2的产量提高10%。问应将资金用于哪一项革新，这笔资金的上
限（对于一周而言）应为多少？
2）该厂的技术人员又提出一项技术革新，将原来的每桶牛奶可加工成2公斤
A1和3公斤A2，变为每桶牛奶可加工成4公斤A1或者6公斤A2。设原题目给的其
它条件都不变，问应否采用这项革新，若采用，生产计划如何。
二、问题分析
在生产的过程中，往往会产生不同的生产方案，由此引起的生产费用成本也
是不相同的，而且，同种原料也会产生很多不同种类、不同价格的最终产品，因
此，本题以成本控制和目标利润为主导，对实际生产计划经过简化的加工方案优
化设计, 这是一个可以转化的数学问题，我们可以利用线性和非线性规划并结合
回归分析方法来研究。
首先我们可以将奶制品的加工和销售过程转化成以下简单而又易懂的图形：
由题意可知:
A1, B1, A2, B2 的售价分别为p1= 10, p2= 30, p3 = 9, p4= 20( 元/ 公斤) 。牛
奶的购入和加工费用为q1= 10+ 5= 15( 元/ 桶) , 深加工A1, A2 的费用分别为q2
= 4, q3= 3( 元/ 公斤) 。
每桶牛奶可加工成a= 2 公斤A1 和b= 3 公斤A2, 每公斤A1 可深加工成
c= 0. 8 公斤B1, 每公斤A2 可深加工成d = 0. 7 公斤B2。
每桶牛奶的加工时间为15 小时, 每公斤A1, A2 的深加工时间分别为12,
10( 小时) , 工厂的总加工能力为S= 2000 小时。
B1, B2 的销售量( 即产量) 占全部奶制品的比例为20% ~ 40%。
记出售A1, B1 的数量分别为x1, x2( 公斤) , 出售A2, B2 的数量分别为x3,
x4( 公斤) , 生产的A1,A2 的数量分别为x5, x6( 公斤) , 购入和加工牛奶的数量
为x7 桶, 深加工的A1, A2 的数量分别为x8,x9( 公斤) 。
三、符号说明与名词定义
变量设定：
记出售A1, B1 的数量分别为x1, x2( 公斤) , 出售A2, B2 的数量分别为x3,
x4( 公斤) , 生产的A1,A2 的数量分别为x5, x6( 公斤) , 购入和加工牛奶的数量
为x7 桶, 深加工的A1, A2 的数量分别为x8,x9( 公斤) 。
四、模型建立与求解
根据上面的分析, 在供需平衡的条件下, 使得利润最大的生产计划应满足下
面的线性规划模型:
maxz= 10x1+ 30x2+ 9x3+ 20x4- 15x7- 4x8- 3x9
x5= 2x7, x 6= 3x7, x2= 0. 8x 8, x4= 0. 7x9,
x5= x 1+ x8, x6= x 3+ x9,
15x7+ 12x 8+ 10x 9≤2000, ( 1)
0. 2( x 1+ x2+ x3+ x 4)≤x 2+ x4≤ 0. 4( x 1+ x2+ x3+ x4),
x1, x 2, x3, x4, x 5, x6, x7, x 8, x9 ≥0
利用MATLAB 求解, 并作Lagrange( 下记Lag) 分析可得:
X= ( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9) =( 5511846, 6510407, 20418780, 0,
13615854,20418780, 6812927, 8113008, 0)
Lag= ( 8. 0976, 7. 0976, - 37. 6098, - 35.8420, 8. 0976, 7. 0976, 1. 4992, 9. 5122,
0, 0, 0, 0,8. 2323, 0, 0, 0, 0)
z= 299814
对所解得的X 值作适当的取整处理可以得到( 一周的) 生产计划为: 购入、
加工68 桶牛奶, 加工成136 公斤A1, 204 公斤A2, 其中55 公斤A1 直接出售,
81 公斤A1 再加工成才4. 8 公斤B1 出售, 而204 公斤A2 则全部直接出售, 这
样可获得利润为2986 元。
由Lag 值可知, 加工能力2000 小时已用足, 且每增加工1 小时可获利1.
4992 元; 高级奶制品的产量占全部奶制品产量达到下限20% 。而按上面给出的
计划实施可算出加工能力为1992 小时, 高级奶制品的产量比例为20. 01% , 因
此, 此计划是可行的。
如果在建模时就要求购入和加工牛奶的桶数x7 为整数, 那么线性规划模型
( 1) 将变为混合整数规划模型, 可用LINDO 软件求解得:
X= ( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9) =( 54. 3333, 65. 3333, 204, 0, 136, 204, 68,
81. 6667, 0)
z= 2992. 7
与上面的结果稍有差别。
四、进一步讨论
1、确定革新项目
总加工能力提高10%, 即S= 2200 小时, 由( 1) 式求解得最大利润为z= 3298.
2 元。
各项加工费用均减少10%, 即q1= 14. 5 元/桶, q2= 3. 6, q3= 2. 7( 元/ 公斤) ,
由( 1) 式得最大利润为z= 3065 元。
初级奶制品A1, A2 的产量提高10%, 即a= 2. 2, b= 3. 3( 公斤) , 由( 1) 式得
最大利润为z=3242. 5 元。
高级奶制品B1, B2 的产量提高10%, 即c= 0. 88, d = 0. 77( 公斤) , 由( 1) 式
得最大利润为z= 3233. 8 元。
比较以上4 项革新项目所得的利润可知, 应将资金用于提高加工能力上,
一周最大获利为3298.2 元, 比原获利增加3298. 2- 2998. 4= 299. 8, 所以这笔资
金的上限( 对于一周) 应为300 元。实际上,这个结果也可由lag( 5) @200= 1.
4992*200 得到。
2、论证新的革新方案
题目给出的又一技术革新, 是将原来的每桶牛奶可加工成品2 公斤A1 和3
公斤A2 变为每桶牛奶可加工成4 公斤A1 或6 公斤A2。只要将模型( 1) 中的
约束条件x5= 2x7, x6= 3x7 改为
x5/4+x/6=x7,利用MATLAB求解得，
X = ( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9) =( 0, 67. 3684, 269. 4737, 0, 84. 2105, 269.
4737,65. 9649, 84. 2105, 0)
对X 作适当的取整处理得到相应的生产计划为:购入、加工66 桶牛奶, 用
21 桶加工成84 公斤A1,用45 桶加工成270 公斤A2, 84 公斤A1 全部再加工成
67. 2 公斤B1 出售, 而270 公斤A2 则全部直接出售, 这样总获利仍为3120 元,
大于原来的2986元, 加工时间为1998 小时, 高级奶制品的产量比例为19. 93%.
因此应该采用这项技术革新。这是由于每桶牛奶可加工成4 公斤A1 或6 公斤
A2, 与原来的每桶牛奶可加工成品2 公斤A1 和3 公斤A2相比, 虽然看起来A1,
A2 的基本产量未变,但此时生产安排的结构、效率都有着大幅度的提高。