锐角三角比的意义
B
BC 2
tan A
.
AC 3
tan B AC 3
C
A
BC 2
B
当直角三角形的一个锐角的大小
确定时，这个锐角的邻边与对边 a
c
的比值也是确定的。
C
b
A
我们把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比
叫做这个锐角的余切(cotangent)。
如图，锐角A的余切记作cotA，这时
cot
A
锐角A的邻边 锐角A的对边
在Rt△_____中，∠B的邻边是BD. (3) ∠ACD的邻边是___________，
∠BCD的对边是___________。 C
A
D
B
2、在RtABC中，C 90，如果将这个三角形的各边 扩大2倍后得到ABC,那么tan A与tan A的关系是（）
（A）tan A 2 tan A （B）tan A 2 tan A （C）tan A tan A
B1C1 AC1 ，B1C1 AC1 B2C2 AC2 B3C3 AC3
C3 C2 C1
A
B1C1 B2C2 B3C3
AC1 AC2 AC3
结论1：如果给定直角三角形的一个锐角，那
么这个锐角的对边与邻边的长度的比值就是一
个确定的数。
锐角A的对边 锐角A的邻边
一个确定的值
问题2：当直角三角形中一个锐角的大小变化时，
鹿鸣学校 张仲炎
直角三角形
角的关系：有一个角是直角、两锐角互余
边的关系：两条直角边的平方和等于斜边的平方 （勾股定理）
A 边与角的关系：含30°角的直角三角形 含45°角的直角三角形
b
c
C
a
B
∠A的对边BC(a) ∠A的邻边AC(b)
如图，Rt△ABC中， ∠C=90°，a、b是两条直 B 角边，c是斜边。
解：在RtABC中，
由勾股定理得AB2 AC2 BC2
BC 4，AB 5,
B
AC AB2 BC2 52 42 3
cot A AC 3 BC 4
cotB BC 4
AC 3
C
A
在直角三角形中，求锐角的正切或余切，
（1）首先要找出直角三角形的直角，确定锐角的对边与邻边；
（2）然后求出所需的边的长度，如果已知的是一条直角边和 一条斜边的长度，就根据勾股定理去计算另一条直角边的长 度； （3）最后根据正切和余切的定义代入进行计算。
AC BC
b a
根据正切与余切的意义，可以得到 tan A 1 cot A
想一想：在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角B的余切用哪两条 边的比表示？cotB与tanA有什么关系？
在Rt△ABC中，∠C=90°，cotB=tanA
例题2.在RtABC中，C 90，BC 4，AB 5，
求 cot A和cot B的值。
注意过程的完整性，特别是“在Rt△ABC中” 这个大前提，不能漏掉。
1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB, 垂足为点D. (1)在Rt△ABC中，∠A的对边是___________， ∠A的邻边是___________，
在Rt△ACD中，∠A的对边是___________， ∠A的邻边是___________, （2）在Rt△_____中，∠B的对边是AC，
其中∠A的对边是BC，即a
c
∠A的邻边是AC，即b a
而∠B的对边是AC，即b
∠B的邻边是BC，即a
C
b
A
练习1：指出直角三角形中角的对边与邻边。 1、如图，Rt△MNP中，∠N=90°， ∠P的对边是___________， ∠P的邻边是___________， ∠M的对边是___________， ∠M的邻边是___________，
（D）大小不能确定
3、在直角三角形中，一个锐角的正切、余切的值（） （A）与这个三角形的面积大小有关 （B）与这个角的对边、邻边的大小有关 （C）只与这个三角形的斜边大小有关 （D）只与这个角的大小有关
1、如图，PQR是直角三角形，R 90，PQ 13，PR 5， 则tan P _________;cotQ ________.
N
P
M
拿了两根钓鱼竿绑在一起，总长度正好是六英尺， 便和我的委托人回到老榆树旧址。这时太阳正好 偏过橡树顶。我把钓竿一端插进土中，记下 阴影 的方向，丈量了阴影的长度，影长九英尺。 “计算起来当然很简单的了。如竿长六英尺时投 影为九英尺，则树高六十四英尺时投影就是？？ 英尺了。 福尔摩斯很快就能算出数影子的长度，你知道他 如何计算的吗？
这个锐角的对边与邻边的长度的比值随着变化吗？
Q A2
A
F
N
A1
E
M
D
O 结论2：B2直角B 三角B1 形中A ，一个锐角的C对边与邻 P 边的长度的比值随着这个锐角的大小的变化而 变化。
可结以论得1：到如果：给在定R直t角△三A角B形C中的一（个∠锐C角=，9那0°么这）个，锐当角 锐的角对A边的与邻大边小的确长度定的后比，值就不是论一R个t确△定A的B数C。的边长怎 样结变论化2：，直∠角三A角的形对中边，一BC个与锐角邻的边对A边C与的邻比边的值长总度是 确的定比的值随。着这个锐角的大小的变化而变化。
据说，在距今2500多年前，古希腊数学家就利用相 似三角形较准确地测出了埃及大金字塔的高度.
A
B
K
C
D
O
E
问题1：对于一个直角三角形，如果给定了它 的一个锐角的大小，那么它的两条直角边的比 值是否是一个确定的值？
B3 B2
B1
C3 C2 C1
A
△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3
B3
B2 B1
B
c a
C
b
A
我们把直角三角形中一个锐角的对边ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ邻边的比
叫做这个锐角的正切。(tangent)
如图，锐角A的正切记作tanA，这时
tan
A
锐角A的对边 锐角A的邻边
BC AC
a b
例题1.在ABC中，C 90，AC 3，BC 2， 求 tan A和tan B的值。
解：在RtABC中，
AC 3，BC 2,
P
5
R
C
13
A
D
B
Q
2、如图， ABC是直角三角形， ACB 90，CD AB,垂足为点 D，
则 CD _________，AC __________，AD ___________（. 用正切或余切表示）
BD
BC
CD
3、如图，已知ABC中，ACB 90，CD AB, 垂足为点D，AD 9，BD 4. （1）求CD的长. （2)求cot A、tan BCD的值.
九年级同步第10讲：锐角三角比的意义
acABCb锐角的三角比的意义是九年级数学上学期第二章第一节的内容．锐角三角比的概念是以相似三角形为基础建立起来的，本讲主要讲解锐角的正切和余切、正弦和余弦的概念，重点是会根据直角三角形中两边的长求相应的锐角的三角比的值，难点是在几何图形和直角坐标系中灵活运用锐角的三角比进行解题，为解直角三角形做好准备．1、 正切直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent ）．锐角A 的正切记作tan A ．tan A BC aA A AC b===锐角的对边锐角的邻边．2、 余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent ）．锐角A 的余切记作cot A ．cot A AC bA A BC a===锐角的邻边锐角的对边．锐角的三角比的意义内容分析知识结构模块一：正切和余切知识精讲PNMQABCPNMQ【例1】 如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，A ∠的对边是______，A ∠的邻边是______；B ∠的对边是______，B ∠的邻边是______．【难度】★ 【答案】 【解析】【例2】 如图，在Rt MNP ∆中，90MPN ∠=︒，PQ MN ⊥，垂足为点Q ．（1） 在Rt MNP ∆中，M ∠的对边是______，M ∠的邻边是______；在Rt MPQ ∆中，M ∠的对边是______，M ∠的邻边是______．（2） 在Rt ∆____中，N ∠的对边是MP ；在Rt ∆____中，N ∠的邻边是NQ ． （3） MPQ ∠的邻边是______，NPQ ∠的对边是______．【难度】★ 【答案】 【解析】【例3】 如图，在Rt MNP ∆中，90MPN ∠=︒，PQ MN ⊥，垂足为点Q ．（1） ()()tan NPM MQ==． （2）PQ QN =______，=MPPN______．（用正切或余切表示） 【难度】★ 【答案】 【解析】例题解析ABCDOyxABO 【例4】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 4，BC = 5，求tan A 、cot A 、tan B 、cot B 的值．【难度】★ 【答案】 【解析】【例5】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 4，AB = 5，求tan A 、cot A 、tan B 、cot B 的值．【难度】★ 【答案】 【解析】【例6】 如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，已知OA = 2，AB = 3，求tan OAD ∠和cot ODC ∠的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例7】 如图，已知正比例函数2y x =的图像上有一动点A ，x 轴上有一动点B ，求tan AOB ∠和cot AOB ∠的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例8】 已知，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC = 9，tan A =34． 求：（1）AB 的长；（2）tan B 的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】acABCbPNMQ1、 正弦直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine ）．锐角A 的正弦记作sin A ． sin A BC aA AB c===锐角的对边斜边．2、 余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine ）．锐角A 的余弦记作cos A ．cos A AC bA AB c ===锐角的邻边斜边．【例9】 如图，在Rt MNP ∆中，90MPN ∠=︒，PQ MN ⊥，垂足为点Q ．（1） ()()sin NPM MP==． （2）PQ PN =______，=MQMP______．（用正弦或余弦表示） 【难度】★ 【答案】 【解析】【例10】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 4，AB = 5，求sin A ，cos A ，sin B ，cos B 的值．【难度】★ 【答案】 【解析】模块二：正弦和余弦知识精讲例题解析xyPO【例11】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 4，BC = 5，求sin A ，cos A ，sin B ，cos B 的值．【难度】★ 【答案】 【解析】【例12】 如图，在直角坐标平面内有一点P （2，3）．求OP 与x 轴正半轴的夹角α的正弦和余弦的值．【难度】★ 【答案】 【解析】【例13】 已知，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC = 9，sin A =34． 求：（1）AB 的长；（2）sin B 的值．【难度】★ 【答案】 【解析】【例14】 已知，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，sin A =23，求sin B 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCABC1、 锐角的三角比一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比．【例15】 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 5，BC = 4，求A ∠的四个三角比的值． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例16】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC = 3，tan A =34，求B ∠的四个三角比的值． 【难度】★ 【答案】 【解析】定义 表达式 取值范围 相互关系正 切 tan A A A ∠=∠的对边的邻边tan a A b= tan b B a=tan 0A > （A ∠为锐角） 1tan cot A A=余 切 cot A A A ∠=∠的邻边的对边cot b A a=cot a B b=cot 0A > （A ∠为锐角）正 弦 sin A A ∠=的对边斜边sin aA c =sin bB c=0sin 1A << （A ∠为锐角） ()sin cos 90A A =︒-∠ ()cos sin 90A A =︒-∠余 弦cos A A ∠=的邻边斜边cos b A c=cos a B c=0cos 1A << （A ∠为锐角）模块三：锐角的三角比知识精讲例题解析ABC DABCD【例17】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，sin B =34，求sin A 、cos A 、tan A 和cot A ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例18】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 13，BC = 12，AC = 5，求sin A 、cos A 、tan A和cot A ．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例19】 已知等腰ABC ∆中，底边BC = 20 cm ，面积为40 cm 2，求sin B 和tan C ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例20】 如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD ⊥AC ，若AB = 9，BC = 12，求sin A 、cos α、tan β、cot C 的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例21】 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在边BC 上，AD = BD = 5，4sin 5ADC ∠=，求cos ABC ∠和tan ABC ∠的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】ABO xyAB CD E68【例22】 在直角坐标平面内有一点A （3，1），点A 与原点O 的连线与x 轴正半轴的夹角为α，求sin α、cos α、tan α和cot α．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例23】 已知一次函数y = 2x -1与x 轴所夹的锐角为α，求tan α和sin α的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例24】 如图，在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 的坐标为（10，0），点B 在第一象限内，BO = 5，3sin 5BOA ∠=．求：（1）点B 的坐标；（2）cos BAO ∠的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例25】 直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将ABC ∆如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE ，求sin CBE ∠的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCDEABCDAB CA BC【例26】 如图，在平行四边形ABCD 中，AB = 10，B ∠为锐角，sin B =45，1tan 2ACB ∠=，求AD 、AC 的长．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例27】 如图，在ABC ∆中，AB = 20，BC = 21，AC = 13，求ACB ∠的四个三角比的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例28】 已知ABC ∆中，sin A = 513，tan B = 2，且AB = 29．求ABC ∆的面积． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例29】 如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥AD ，对角线AC 、BD 相交于点E ，BD ⊥CD ，AB = 12，4cot 3ADB ∠=，求：（1）DBC ∠的余弦值；（2）DE 的长．【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCDA BCD CABMOxy【例30】 如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，DCB α∠=，若AD : BC= 16 : 15，求sin α、cot α的值．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例31】 如图，在ABC ∆中，45ABC ∠=︒，3sin 5A =，AB = 14，BD 是AC 边上的中线．求：（1）ABC ∆的面积；（2）ABD ∠的余切值．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例32】 如图，在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，已知A （1，0），B （0，3），M 为BC 中点，求tan MOA ∠．【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABC【习题1】已知，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 5，AC = 4．则：（1）sin A = ______，cos A = ______，tan A = ______，cot A = ______； （2）sin B = ______，cos B = ______，tan B = ______，cot B = ______．【难度】★ 【答案】 【解析】【习题2】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC = 3，cos A =25，则AB = ______． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题3】 已知90A B ∠+∠=︒，则sin A – cos B 的值为______． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题4】如图，在ABC ∆中，AB = BC = 20，410AC =，求sin A 和tan A 的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】随堂检测ABC DEABC D【习题5】如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，CD ⊥AB 于D ．已知AC = 8，BC = 15．求DCA ∠的三角比．【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题6】如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，sin A =23，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ⊥AC ，DE = 2，DB = 9，求DC 的长．【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题7】已知，锐角α的顶点在坐标原点，一边与x 轴正半轴重合，另一边经过点P （15）．求α的三角比． 【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCDA BP xyO 【习题8】 已知一次函数y =43x – 4的图像分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，P 是线段AB 的中点，求sin POB ∠的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题9】ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，DCA α∠=，AD : BC = 7 : 12，求sin α、tan α的值．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题10】 如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AD = AB = CD = 4，1cos 4C ∠=． （1）求BC 的长； （2）求tan ADB ∠的值．【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABC【作业1】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠的对边是a 、b ，则ba（ ）A ．A ∠的正弦值B ．B ∠的余弦值C ．A ∠的余切值D ．B ∠的余切值【难度】★ 【答案】 【解析】【作业2】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = c ，AC = b ，BC = a ，则下列关系不成立的是（）A ．b = c ·cos AB ．a = b ·tan BC ．c =cos aBD ．tan A ·tan B = 1【难度】★ 【答案】 【解析】【作业3】已知，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 16，cos A =34． 求：（1）AC 的长；（2）tan B 的值．【难度】★ 【答案】 【解析】【作业4】已知ABC ∆的三边a 、b 、c 满足a : b : c = 5 : 12 : 13，则sin A + cos A=______．【难度】★★ 【答案】 【解析】课后作业ABCABCD EABC【作业5】若α是锐角，且1cot 3α=，则()cos 90α︒-=______． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业6】已知ABC ∆中，BC = 10，cos C =18，AC = 8．求AB 的长和B ∠的正切值．【难度】★★【答案】 【解析】【作业7】如图，在ABC ∆中，AB = BC = 10，210AC =sin B 和tan B 的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业8】如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 8，BC = 6，CD 是斜边AB 上的高．若点E 在线段DB 上，联结CE ，24sin 25AEC ∠=．求CE 的长．【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业9】已知ABC ∆中，C ∠是锐角，BC = a ，AC = b ．求证：1sin 2ABC S ab C ∆=．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业10】 已知，在平面直角坐标系内有A 、B 、C 三点，点A 的坐标为（2，1），点B 的坐标为（1，4），点C 的坐标为（8，3），求sin ACB ∠和tan ABC ∠的值．【难度】★★★ 【答案】 【解析】。
锐角的三角比
锐角的三角比一、介绍在数学中，三角比是指三角函数中的比值，用于描述三角形的各个边与角之间的关系。
锐角是指小于90度的角，因此在本文中，我们将讨论关于锐角的三角比。
三角比一共有六个，分别是正弦(sin)、余弦(cos)、正切(tan)、余切(cot)、正割(sec)和余割(csc)。
这些三角比在数学和物理等科学领域中都有广泛的应用，例如解决三角函数方程、测量角度和距离等。
二、正弦(sin)在锐角三角形中，正弦表示三角形的对边与斜边之间的比值。
数学表达式如下：sin(A) = 对边 / 斜边其中，A表示锐角的大小。
正弦的取值范围是-1到1之间，当A接近0度时，正弦的值接近0；而当A接近90度时，正弦的值接近1。
三、余弦(cos)余弦代表锐角三角形的邻边与斜边之间的比值。
数学表达式如下：cos(A) = 邻边 / 斜边同样地，余弦的取值范围也是-1到1之间。
在锐角三角形中，当A接近0度时，余弦的值接近1；当A接近90度时，余弦的值接近0。
四、正切(tan)正切是锐角三角形中对边与邻边之间的比值。
数学表达式如下：tan(A) = 对边 / 邻边正切的取值范围是无穷，当A接近0度时，正切的值接近0；当A接近90度时，正切的值趋于无穷大。
五、余切(cot)余切是锐角三角形中邻边与对边之间的比值。
数学表达式如下：cot(A) = 邻边 / 对边余切的取值范围也是无穷，当A接近0度时，余切的值趋于无穷大；当A接近90度时，余切的值接近0。
六、正割(sec)正割表示斜边与邻边之间的比值。
数学表达式如下：sec(A) = 斜边 / 邻边正割的取值范围是大于等于1的实数。
当A接近0度时，正割的值趋于无穷大；当A接近90度时，正割的值接近1。
七、余割(csc)余割代表斜边与对边之间的比值。
数学表达式如下：csc(A) = 斜边 / 对边余割的取值范围也是大于等于1的实数。
当A接近0度时，余割的值接近无穷大；当A接近90度时，余割的值趋近于1。
锐角的三角比的意义(教案)
师：当直角三角形的一个锐角的大小变化时，这个锐角的对边与邻边的长度的比值是否发生变化？师生共同探究：如图（2）,当锐角MAP变化为锐角得ZDAC的对边_DC的邻边_AC ；ZEAC的对边_ECZEAC的邻边一AC *DC EC显然，DC与E C这两个比值是不同的，说明直角三角形中AC AC一个锐角的对边与邻边的长度的比值随着这个锐角的大小的变化而变化（三）回归学案，巩固新知师板书：我们把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（ta nge nt）.锐角的正切记作tanA,即十越A -锐甬人的对边我们把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）.锐角A的余切记作cotA,即w s-锐甬A的对边一5C 一莎师：思考（1）同一个角A的正切与余切有什么关系？（2）互余的两个角A与B,一个角的正切与另一个角的余切有什么关系?生:若/ A+ / B=90° , j则tanA=cotB.（四）例题解析，运用新知例题1 在Rt ABC 中，/C=90 ° ,AC=3,BC=2,求tanA、tanB、cotA 和cotB 的值..(1)出示例题；(2)学生完成在课堂练习本上;(3)反馈答案；(4) 规范解题格式。
例题2 在Rt ABC 中，/ C=90 ° ,BC=4,AB=5.求cotA 和cotB 的值.（要求同上）变式训练⑴求CD 的长•⑵求 cotA 、tan / BCD 的值•（五）提升能力，拓展新知 思考题：如图：直线y=kx+b 交x 轴、 试求k 与b 的值六）交流收获，内化新知师：这一节课我们一起学了什么？生:（锐角的三角比）师：（与学生一起总结归纳具体的内容 ）师：你们还有什么疑问?生:意外生成3、•如图，已知 ABC 中，/ ACB=90,CD AB,垂足为D,AD=4,BD=9.。
锐三角比的意义
25.1（1）锐角三角比的意义学习目标:1、直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边比值都不变。
2、能根据正切、余切概念正确进行计算。
重点及难点 :理解正切、余切概念,并正确进行计算学习任务单（请同学们认真、自觉、独立完成以下问题）：1、阅读教材P60页到P61页问题2之前内容之前，完成下面的问题（1）如果Rt ΔABC 的各边的长度都缩小到原来的一半，那么锐角A 的对边与邻边的比值（ ）(A)都缩小一半 (B)都扩大一倍 (C)没有变化 (D)不能确定（2）如图在Rt ΔABC 中，AB CD ⊥，那么CD DB ______ADCD (填“=”或“≠”) 2、阅读教材P61页问题2、P62页及P63例，完成下面的问题（1）课本P63练习 1、2（2）在直角△ABC 中，∠C ＝90o ，若AB ＝5，AC ＝4，则cotA ＝（ ）A ．35B ．45C ．34D ．43（3）在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，tanA=23，则边AC 的长是( ) A ．13 B ．3 C ．43D ． 5教学过程：1、检查预习学生之间用不同方式互查互批学习任务单，根据学生预习情况，进行二次备课2、小组讨论（1）讨论并解决预习中存在的问题（同学之间互助学习）（2）提出问题，小组辨析：（1）锐角∠A 的正切和余切有怎样的数量关系？结论：tanA ＝（2若）∠B 是∠A 的余角，那么它们的正切、余切值之间有怎样的数量关系？ 结论：tanA= tanB=3、学生展示利用实物展示台展示课后练习第3题，让学生讲出方法、注意事项。
4、课堂检测（知识反馈与巩固）（1）在Rt ABC ∆中C ∠=︒90，,A ∠B ∠C ∠所对的边长分别是a b c =A tan ;（2）在RtABC ∆中C ∠=︒90，12=AC ,5=BC ,那么=A tan（3）在RtA B C ∆中︒=∠90ACB ,D AB CD ,⊥为垂足3=AC ,5=AB 则BCD ∠cot 的值（4）如图，AC ⊥DC ，D 、B 、C 在一直线上，∠B=300，∠ADC=450，BD=5，求AC 的长．说明: 利用展示台对学生的解题过程进行展示，学生要进行说明。
25.1 锐角三角比的意义
第一节 锐角的三角比§25.1锐角的三角比的意义教学目标(1)经历锐角三角比的概念的形成过程，获得从实际的数学问题中抽象出数学概念的体验。
(2)掌握锐角的三角比的定义，会根据直角三角形中两边的长求锐角的三角比的值。
(3)了解锐角的三角比的范围。
教学重点让学生经历锐角的正切概念的形成过程，掌握正切、余切的定义。
引进锐角的正弦和余弦，帮助学生掌握正弦和余弦的定义，了解三角比的含义和符号表示。
知识概要1.直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的长度的比值随着这个锐角大小的变化而变化。
锐角的大小确定，则对边与邻边的比值唯一确定。
2.我们把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切。
锐角A 的正切记作tan A ， tan =A BC a A A AC b==锐角的对边锐角的邻边。
注：在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠的对边通常分别用,,a b c 表示。
在Rt ABC ∆中，090C ∠=，直角边BC 和AC 分别叫做A ∠的对边和邻边。
3.我们把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切。
锐角A 的余切记作cot A ， cot =A AC b A A BC a ==锐角的邻边锐角的对边。
根据正切与余切的意义，可以得到 1tan cot A A =。
在Rt ABC ∆中，090C ∠=，可知090A B ∠+∠=，cot tan B A =。
4.如果直角三角形的一个锐角是确定的，那么它的对边或邻边与斜边的比也是确定的。
我们定义： 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦。
直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦。
在Rt ABC ∆中，090C ∠=，锐角A 的正弦记作sin A ，这时 sin =A BC a A A AB c ==锐角的对边锐角的邻边； 锐角A 的余弦记作cos A ，这时 cos =A AC b A A AB c ==锐角的邻边锐角的邻边。
1.锐角三角比的意义
1.锐角三角比的意义
1.锐角的三角比的意义★★
正切★★直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）.
余切★★直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）.
正弦★★直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）.
余弦★★直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）.
三角比★★一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比（trigonometric ratio）.
要点解析
1.如图，在RtΔABC中，锐角A的正切、余切、正弦、余弦分别为
2.tanA、cotA、sinA、cosA分别是∠A的正切、余切、正弦、余弦的数学表示符号，各自是一个整体，不能理解为tan与A、cot与A、sin与A、cos与A相乘，写成tan·A、cot·A、sin·A、cos·A的形式.
3.锐角的三角比均是两条线段的比值，是一个数值，没有单位，其大小只与锐角的大小有关，与三角形的大小无关.。
第一讲 锐角三角比的意义
九年级上册数学教案锐角三角比的意义第一讲锐角三角比的意义知识框架1 .正切直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A．tanA BC aAA AC b===锐角的对边锐角的邻边．2 . 余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cot A．cotA AC b AA BC a ===锐角的邻边锐角的对边3 . 正弦直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A．sinA BC aAAB c===锐角的对边斜边．4 .余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine ）．锐角A 的余弦记作cos A ．cos A AC bA AB c===锐角的邻边斜边．5 .锐角的三角比一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比． 例题解析【例1】 在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，A ∠的对边是______，A ∠的邻边是______B ∠的对边是______，B ∠的邻边是______．【例2】 在Rt MNP ∆中，90MPN ∠=︒，PQ MN ⊥，垂足为点Q ．（1） 在Rt MNP ∆中，M ∠的对边是______，M ∠的邻边是______；在Rt MPQ ∆中，M ∠的对边是______，M ∠的邻边是______．九年级上册数学教案锐角三角比的意义（2）在Rt∆____中，N∠的对边是MP；在Rt∆____中，N∠的邻边是NQ．（3）MPQ∠的邻边是______，NPQ∠的对边是______．【例3】在Rt MNP∆中，90MPN∠=︒，PQ MN⊥，垂足为点Q．（1）()() tanNPMMQ==．（2）PQQN=______，=MPPN______．（用正切或余切表示）【例4】在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AC = 4，BC = 5，求tan A、cot A、tan B、cot B的值．【例5】在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AC = 4，AB = 5，求tan A、cot A、tan B、cot B的值．【例6】矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知OA = 2，AB = 3，求tan OAD∠和cot ODC∠的值．【例7】已知正比例函数y=的图像上有一动点A，x轴上有一动点B，求tan AOB∠和cot AOB∠的值．【例8】已知，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，BC = 9，tan A = 34．求：（1）AB的长；（2）tan B的值．【例9】在Rt MNP∆中，90MPN∠=︒，PQ MN⊥，垂足为点Q．（1）()() sinNPMMP==．（2）PQPN=______，=MQMP______．（用正弦或余弦表示）【例10】在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AC = 4，AB = 5，求sin A，cos A，sin B，cos B的值．【例11】在直角坐标平面内有一点P（2，3）．求OP与x轴正半轴的夹角α的正弦和余弦的值．【例12】已知，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，BC = 9，sin A =34．求：（1）AB的长；（2）sin B的值．【例13】已知，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，sin A =23，求sin B的值．【例14】在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AB = 5，BC = 4，求A∠的四个三角比的值．九年级上册数学教案 锐角三角比的意义【例15】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC = 3，tan A =34，求B ∠的四个三角比的值．【例16】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，sin B =34，求sin A 、cos A 、tan A 和cot A ． 【例17】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 13，BC = 12，AC = 5，求sin A 、cos A 、tan A和cot A ．【例18】 已知等腰ABC ∆中，底边BC = 20 cm ，面积为40 cm 2，求sin B 和tan C ．【例19】在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD ⊥AC ，若AB = 9，BC = 12，求sin A 、cos α、tan β、cot C 的值．【例20】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在边BC 上，AD = BD = 5，4sin 5ADC ∠=， 求cos ABC ∠和tan ABC ∠的值．【例21】在直角坐标平面内有一点A（3，1），点A与原点O的连线与x轴正半轴的夹角为α，求sinα、cosα、tanα和cotα．【例22】已知一次函数y = 2x-1与x轴所夹的锐角为α，求tanα和sinα的值．【例23】在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（10，0），点B在第一象限内，BO = 5，3sin5BOA∠=．求：（1）点B的坐标；（2）cos BAO∠的值．【例24】直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将ABC∆如图那样折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE，求sin CBE∠的值．【例25】直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将ABC∆如图那样折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE，求sin CBE∠的值．九年级上册数学教案 锐角三角比的意义【例26】 在平行四边形ABCD 中，AB = 10，B ∠为锐角，sin B =45，1tan 2ACB ∠=， 求AD 、AC 的长．【例27】 在ABC ∆中，AB = 20，BC = 21，AC = 13，求ACB ∠的四个三角比的值．【例28】 已知ABC ∆中，sin A =513，tan B = 2，且AB = 29．求ABC ∆的面积．【例29】 在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥AD ，对角线AC 、BD 相交于点E ，BD ⊥CD ，AB = 12，4cot 3ADB ∠=，求：（1）DBC ∠的余弦值；（2）DE 的长．【例30】 在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，DCB α∠=，若AD : BC = 16 : 15，求sin α、cot α的值．【例31】 在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，已知A （1，0），B （0，3），M 为BC课堂练习题【习题1】已知，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AB = 5，AC = 4．则：（1）sin A = ______，cos A = ______，tan A = ______，cot A = ______；（2）sin B = ______，cos B = ______，tan B= ______，cot B = ______．【习题2】在Rt ABC∆中，90C∠=︒，BC = 3，cos A =25，则AB = ______．【习题3】已知90A B∠+∠=︒，则sin A – cos B的值为______．【习题4】在ABC∆中，AB = BC = 20，AC=sin A和tan A的值．【习题5】在Rt ABC∆中，90C∠=︒，CD⊥AB于D．已知AC = 8，BC = 15．求DCA∠的三角比．【习题6】在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，sin A = 23，点D、E分别在边AB、AC上，DE⊥AC，DE = 2，DB = 9，求DC的长．【习题7】已知，锐角α的顶点在坐标原点，一边与x轴正半轴重合，另一边经过点P（1）．求α的三角比．九年级上册数学教案 锐角三角比的意义BDCABFE 【习题8】 已知一次函数y =43x – 4的图像分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，P 是线段AB 的中点，求sin POB ∠的值．【习题9】 ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，DCA α∠=，AD : BC = 7 : 12，求sin α、 tan α的值．【习题10】 如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AD = AB = CD = 4，1cos 4C ∠=． （1）求BC 的长； （2）求tan ADB ∠的值．课后作业【作业1】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠的对边是a 、b ，则ba（ ）A ．A ∠的正弦值B ．B ∠的余弦值C ．A ∠的余切值D ．B ∠的余切值【作业2】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = c ，AC = b ，BC = a ，则下列关系不成立的是（）A ．b = c ·cos AB ．a = b ·tan BC ．c =cos aBD ．tan A ·tan B = 1【作业3】 已知，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 16，cos A =34． 求：（1）AC 的长；（2）tan B 的值．【作业4】 已知ABC ∆的三边a 、b 、c 满足a : b : c = 5 : 12 : 13，则sin A + cos A =______．【作业5】 若α是锐角，且1cot 3α=，则()cos 90α︒-=______．【作业6】 已知ABC ∆中，BC = 10，cos C =18，AC = 8．求AB 的长和B ∠的正切值．九年级上册数学教案 锐角三角比的意义用心 细心 耐心 恒心 11【作业7】 如图，在ABC ∆中，AB = BC = 10，AC =sin B 和tan B 的值．【作业8】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 8，BC = 6，CD 是斜边AB 上的高．若点E 在线段DB 上，联结CE ，24sin 25AEC ∠=．求CE 的长．【作业9】 已知ABC ∆中，C ∠是锐角，BC = a ，AC = b ．求证：1sin 2ABC S ab C ∆=．【作业10】 已知，在平面直角坐标系内有A 、B 、C 三点，点A 的坐标为（2，1），点B的坐标为（1，4），点C 的坐标为（8，3），求sin ACB ∠和tan ABC ∠的值．。
沪教版九年级上册数学25.1-25.2 锐角的三角比
25.1-25.2锐角三角比的意义及求值【学习目标】1、通过实验、观察、探究、交流、猜测等数学活动，探索锐角三角比的意义。
2、理解锐角三角比的意义，记住三角比的符号，会进行三角比的文字语言与符号语言的转化。
3、会求直角三角形中指定锐角的三角比。
4、应用锐角三角比的意义及运用特殊锐角三角比值进行计算。
【主要概念】【一】锐角的三角函数的意义【1】正切的概念在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比，叫做∠A的正切，记作tanA．【2】正弦和余弦的概念如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即【3】三角函数的概念：在直角三角形中，锐角A 的正切(tanA)、正弦(sinA)、余弦(cosA)，都叫做∠A 的三角函数．【二】同角的三角函数之间的关系 【1】平方关系：sin 2α＋cos 2α=1【2】商数关系：【三】互余的两角的关系任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意锐角的正切值与它的余角的正切值的积等于1．即若A+B=90°，则sinA=cosB ，cosA=sinB ，tanA·tanB=1．【四】特殊锐角的三角函数值0° 30°45°60°90° sinA1cosA 1tanA1—典型例题：例1、在Rt ⊿ABC 中，∠C=900，AC=3,BC=2,求tanA 和tanB 的值. 解：在Rt ⊿ABC 中，∵AC=3,BC=2∴tanA=32=AC BCtanB=23=BC AC .分析：(1)要求sinα与cosα的关系的值，而已知tanα的值，故可通过来求值．A B C(2)已知tanα的值，也可通过，把要求的式子的分子，分母同时除以cos 2α转化成关于tanα的关系，这样便可求出结论．点评：在进行三角函数有关计算时，常利用有关公式进行变换．例3、在Rt ⊿ABC 中，∠C=900，BC=4，AB=5，求cotA 和cotB 的值. 解：在Rt ⊿ABC 中，由勾股定理得 AB 2=AC 2+BC 2 ∵BC=4,AB=5, ∴AC=3452222=-=-BC AB .∴cotA=43=BC AC cotB=34=AC BC . 例4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，若，求cosB ，tanB 的值．分析：本题主要考查锐角三角函数的定义，结合图形求解可化繁为简，迅速得解． 解：如图，设BC=3m ，则AB=5m ，AB C例5、如图所示，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin∠ABD的值是（）分析：因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°．因为BC=6，AC=8，所以AB=10．因为∠ABD=∠ACD=∠ABC，所以在Rt△ACB中，故正确答案为D．答案：D例6、计算分析：这是一组有关特殊角三角函数值的计算题，计算中最关键是将它们先化成具体的数值，同时还要应用其它一些知识帮助求值，如(1)注意分母有理化，(2)应掌握整数指数幂的意义．解：点评：学过锐角三角函数后，特殊角的三角函数的计算是常考不衰的内容，做这类题主要分两步：(一)代入；(二)计算．因此，特殊角的三角函数值必须牢记．例7、若α为锐角且sinα＞sinβ，那么（）A．tanα＞tanβB．tanα＜tanβC．tanα=tanβ D．tanα、tanβ大小关系不确定例8、求适合下列各式的锐角α．点拨：所有锐角三角函数值都是正数，而且正弦和余弦值都不大于1，不符合条件的三角函数值应舍去．例9、如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求BC的长．分析：题中有30°，45°特殊角，想把它们放到直角三角形中，利用三角函数来解题．点评：（1）在作高线构造直角三角形时，一般不过特殊角的顶点作垂线，这样便于利用特殊角解题．（2）有些简单的几何图形可分解为几个直角三角形的组合，从而利用三角函数的定义求解．例10、如图所示．在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠D=∠B=90°，求此四边形ABCD的面积．分析：由已知∠B=90°，∠A=60°这两个条件想到延长BC，AD，使它们相交，构成直角三角形．例11、在矩形ABCD中DE⊥AC于E，设∠ADE=α，且，AB=4，求AD．分析：在矩形中AB=DC=4，可证∠α=∠1，于是条件转移到△DCE中来了，求出DE．解：在矩形中AB=DC=4，∠2＋∠α=90°又DE⊥AC，∠1＋∠2=90°∴∠1=∠α点评：注意把条件集中到一起．例12 、如图Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4.求：sin A ，cos A ，tanB ，cotB 的值。
锐角三角比的意义
二、理解新知
【练习】
二、理解新知
【练习】
【点睛】 练习1告诉我们：已知直角三角形的两边长，可以求出相应的锐角三角 比的值； 练习2告诉我们：已知直角三角形的一边长及相应的锐角三角比的值， 可以求出相应的另一边长，进而通过勾股定理求出第三边长．
二、理解新知
【分析】根据锐角三角比的定义，计算或运用锐角三 角比时这个锐角必须在直角三角形中，否则应构造一 个直角三角形．
三、掌握新知
二、理解新知
【点睛】合理运用 参数法，可以简化 表达过程．
三、考】用上述方法，我们还 能求出哪些特殊角的三角比？
三、掌握新知
【变式】怎么求15°角的四个三角比的值？ 【分析】求解15°角的三角比时，应借助30°角在直 角三角形中特殊地位，化未知为已知．
【定义】锐角 的正弦、余弦、正切、余切 统称为锐角三角比．
二、理解新知
【记忆】四个三角比中， 1、分子：
1）分子均为“直角边”， 2）“正”的三角比的分子均为“对边”， 3）“余”的三角比的分子均为“邻边”，且符 号都以“co-”开头； 2、分母： 1）“弦”的三角比的分母均为“斜边”， 2）“切”的三角比的分母均为“直角边”．
四、小节与收获
【定义】锐角 的正弦、余弦、正切、余切统称为 的锐角三角比．
【方法】 1、计算或运用锐角的三角比时这个锐角必须在 直角三角形中，否则应构造一个直角三角形． 2、勾股定理发挥了很大的作用． 3、锐角三角比只要求得三边的比例关系即可求 出，不一定要求出每一条边的长度；故而可以 用参数法．
6.1 锐角三角比的意义
一、探究新知
一、探究新知
一、探究新知
【定义】锐角 的正弦、余弦、正切、余切 统称为锐角三角比．
锐角的三角比的意义
在实际生活中的应用
建筑测量
在建筑测量中，锐角三角比被广泛应 用于确定建筑物的位置和高度，例如 ，利用三角比可以确定建筑物的高度 和距离。
导航
在导航中，锐角三角比被广泛应用于 确定物体的位置和方向，例如，利用 三角比可以确定船只的位置和航向。
04 锐角三角比的证明
利用相似三角形的性质证明
总结词
通过相似三角形的边长比例关系，推导出锐角三角比的值。
总结词
通过三角形的面积公式，推导出锐角三角比的值。
详细描述
利用三角形的面积公式，结合相似三角形的性质，可以推导出锐角三角比的值。具体来说，可以通过比较两个相 似三角形的面积比例，得出锐角三角比的值。
05 总结与展望
总结锐角三角比的意义
锐角三角比是三角函数的基础，用于描述直角三角形中锐角与其他边长的比例关系。
理解锐角三角比的概 念和性质。
了解锐角三角比在数 学和其他领域的应用。
掌握如何利用锐角三 角比解决实际问题。
02 锐角三角比的定义
三角比的定义
三角比是描述三角形边长之间关系的数学量，通常用符号表 示。
在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为角A、B、C的对边， 则三角比定义为a:b:c。
锐角三角比的特点
学习如何利用三角比解决实际 问题，如测量、工程和物理学 中的问题。
未来应用展望
随着科技的发展，锐角三角比在 各领域的应用将更加广泛，如在 卫星定位、导航系统、地球物理
学等领域的应用。
随着数学和其他学科的交叉融合， 锐角三角比与其他学科的结合将 产生更多新的研究领域和应用方
向。
随着大数据和人工智能的发展， 锐角三角比在数据处理和分析中 的应用将更加重要，如在信号处 理、图像处理等领域的应用。