高三数学专题分类
高三数学常见题型解析
高三数学常见题型解析高三数学考试是中学学业水平考试中最为重要的一次，也是学生衡量数学能力的重要标准。
为了帮助高三学生提升数学解题能力，以下将对高三数学常见题型进行详细的解析与讲解。
一、选择题选择题是高三数学考试中最常见的题型，要求学生从给出的选项中选择正确答案。
解答选择题的关键是理解题意，并灵活运用所学的知识与技巧。
1. 解析代数方程选择题代数方程是高三数学中重要的内容之一，而解代数方程的选择题更是经常出现在考试中。
解答这类题目时，首先应该将方程中的各项整理到一边，使方程等于零。
然后，根据题目的要求，运用求根公式或配方法解方程，最后再验证求出的根是否符合原方程。
2. 几何问题选择题几何问题的选择题主要考察学生对几何图形性质的理解和推理能力。
在解答这类题目时，要善于利用几何图形的特点，灵活运用几何定理和几何性质。
可以通过构造辅助线、利用相似三角形、平行线、垂直交角等方法来解答，并注意排除干扰选项。
二、填空题填空题要求学生根据已知条件，计算出未知数的值或量的大小。
解答这类题目需要掌握各类数学定理和运算方法，并能够正确地进行计算。
1. 解析函数填空题函数是高三数学中的重要内容之一，函数的填空题也是经常出现在考试中。
在解答这类题目时，需要理解函数的基本概念、性质和运算方法。
根据给出的函数表达式或函数性质，利用函数关系进行推导和计算，最终得出填空的答案。
2. 解析数列填空题数列是高三数学中的基础内容，数列的填空题要求学生根据数列的规律和性质，填写出缺失的项。
解答这类题目时，可以通过观察数列的前几项，寻找其规律，并利用该规律计算未知项的值。
另外，根据数列的性质，还可以运用数列的递推公式或通项公式进行计算。
三、解答题解答题是高三数学考试中较为复杂和综合的题型，要求学生综合运用所学的数学知识和解题方法，进行推理和解答。
1. 解析函数解答题函数解答题一般要求学生分析函数的性质、运算规律，进行推理和论证。
在解答这类题目时，可以从函数的定义、性质和图像入手，进行详细的分析和讨论。
专题30 数列求和5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测(原卷版)
专题30数列求和5题型分类数列求和的几种常用方法1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．(1)等差数列的前n项和公式：S n＝n(a1＋a n)2＝na1＋n(n－1)2d.(2)等比数列的前n项和公式：S n1，＝a1(1－q n)1－q，q≠1.2．分组求和法与并项求和法(1)分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的裂项技巧(1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.(2)1n (n ＋2)＝(3)1(2n －1)(2n ＋1)＝(4)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(5)1n (n ＋1)(n ＋2)＝121n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2).常用结论常用求和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2.(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝n 2.(3)12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1).(4)13＋23＋33＋…＋n 3＝n (n ＋1)22.（一）分组求和(1)若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和．(2)若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{c n }的前n 项和．（二）错位相减法求和(1)如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，求数列{a n·b n}的前n项和时，常采用错位相减法．(2)错位相减法求和时，应注意：①在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S n－qS n”的表达式．②应用等比数列求和公式时必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式S n＝na1.b（三）裂项相消法的原则及规律(1)裂项原则一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项．2（四）倒序相加法将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前n项和公式的推导即用此方法）．一、单选题1．（2024高二上·陕西西安·阶段练习）数列9,99,999，…的前n 项和为A ．109（10n －1）＋n B ．10n －1C ．109（10n －1）D ．109（10n －1）－n 2．（2024高二下·湖北·阶段练习）高斯（Gauss ）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行123100++++L 的求和运算时，他这样算的：1100101+=，299101+=，…，5051101+=，共有50组，所以501015050⨯=，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n 项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且120231a a =，试根据以上提示探求：若24()1f x x =+，则()()()122023f a f a f a +++= （）A ．2023B ．4046C ．2022D ．40443．（2024高三下·江西·开学考试）已知数列21443n n ⎧⎫⎨⎬+-⎩⎭的前n 项和为n T ，若对任意的*n ∈N ，不等式263n T a a <-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．2,[1,)3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ B ．2(,1],3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭ C ．2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．2,(1,)3x ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭ 4．（2024·浙江）已知数列{}n a满足)111,N n a a n *+==∈.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A ．100332S <<B ．10034S <<C ．100942S <<D ．100952S <<二、填空题5．（2024高二下·江苏南京·期中）已知数列{}i a 的项数为()N n n *∈，且1C (1,2,)i i n i n a a i n -++== ，则{}i a 的前n 项和n S 为．6．（2024高二上·湖北黄冈·期末）1202年意大利数学家列昂那多-斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列，即11235813213455 ，，，，，，，，，，该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被3除后的余数构成一新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2022项的和为.7．（2024高二上·上海黄浦·期中）数列()()()22311,(12),122,1222,,122,n -+++++++++ 的前n 项和为.8．（2024高三下·全国·开学考试）现取长度为2的线段MN 的中点1M ，以1MM 为直径作半圆，该半圆的面积为1S （图1），再取线段1M N 的中点2M ，以12M M 为直径作半圆．所得半圆的面积之和为2S （图2），再取线段2M N 的中点3M ，以23M M 为直径作半圆，所得半圆的面积之和为3S ，以此类推，则1ni i iS ==∑．9．（2024高三·全国·对口高考）已知函数4()42x x f x =+，则()(1)f x f x +-=；数列{}n a 满足2016n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则这个数列的前2015项的和等于.10．（2024·江苏·模拟预测）若数列{}n a 满足C (1,2,3,,1)ii n i n a a i n -+==- ，12n a =，则{}n a 的前n 项和为.11．（2024高三·全国·专题练习）已知{}n a 为无穷等比数列，13a =，n a 的各项和为9，2n n b a =，则数列{}n b 的各项和为．12．（2024·全国）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折n 次，那么1nkk S==∑2dm .13．（2024·湖北·模拟预测）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个n 阶代数方程必有n 个复数解等.若函数()22log 1x f x x =-，设()112311,,2n n a a f f f f n n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++++∈≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭N ，则1210a a a +++=.14．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1211121n n S S S n ++⋅⋅⋅+=+，设函数()1cos π2f x x =+，则32021122022202220222022a a a a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．15．（2024高三上·河北·阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对123100+++⋯⋯+的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数()xf x ={}n a 满足()121(0)(1)N n n a f f f f f n n n n *-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若12n n n b a +=，则{}n b 的前n 项和n S =．16．（2024高三上·福建泉州·期中）已知12cos 2cos x x f x x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则202112022i i f =⎛⎫=⎪⎝⎭∑.17．（2024高三·全国·对口高考）数列()55,55,555,5555,,101,9n- 的前n 项和n S =.18．（2024高二上·湖北黄冈·期末）已知{}n a 的前n 项和为n S ，()()1221n n n n aa n +++-=，50600S =，则12a a +=.三、解答题19．（2024高一下·山西·阶段练习）已知数列{}221:1,12,122,,1222,-+++++++ n n a ，求数列{}n a 的前n 项和n S .20．（2024高三上·河北·期末）已知数列{}n a 满足312232222n na a a a n ++++= .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和.21．（2024高三上·河北邯郸·阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11340,4n n a S a +--==．(1)证明：数列{}n a 是等比数列；(2)求数列{}n na 的前n 项和n T ．22．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知公差为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为2,3n S a =，且136,,23a a a +成等比数列.(1)求n a 和n S .(2)设n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .23．（2024高三上·海南·期末）已知数列{}n a 满足14a =，*122(N )n n a a n +=+∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若1n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．24．（2024高一下·广东梅州·期末）已知等差数列{}n a 的前四项和为10，且237,,a a a 成等比数列(1)求通项公式na (2)设2n an b =，求数列n b 的前n 项和nS 25．（2024高三上·辽宁大连·期末）已知数列{}n a 满足：()*111,1,2,n n n a n a a n a n +-⎧==∈⎨⎩N 为奇数为偶数.设21n n b a -=.(1)证明：数列{}2n b -为等比数列，并求出{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .26．（2024高三上·重庆·阶段练习）已知数列{}n a 中，2122a a ==，且22,4,n n na n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求{}n a 的前10项和10S .27．（2024·云南红河·一模）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中公比451211,8a a q a a +≠-=+，且378S =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2log ,1, n n na nb n a ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列}n b 的前2n 项和2n T ．28．（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项积为,0,2nn n n n T T a a T ≠=-．(1)求证：数列{}n T 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)令()()()11111n n n n b a a -+=-+-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．29．（2024高三上·云南·阶段练习）已知数列{}n a 满足：312232222n n a a a a n +++⋅⋅⋅+=（*n ∈N ），数列{}n b 满足5012n n b a =+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求1299b b b ++⋅⋅⋅+.30．（2024高二下·江西萍乡·期末）已知函数()142xa f x =++关于点11,22⎛⎫⎪⎝⎭对称，其中a 为实数.(1)求实数a 的值；(2)若数列{}n a 的通项满足2023n n a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，其前n 项和为n S ，求2022S .31．（2024高三上·天津河北·期末）已知{}n a 是等差数列，其公差d 不等于0，其前n 项和为{},n n S b 是等比数列，且11223131,,2a b a b S a b ===-=.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n n a b 的前n 项和n T ；(3)记1222n n n n a c a a ++=，求{}n c 的前n 项和n P .32．（2024高三·全国·专题练习）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，()1121n n a S n a ==+，，.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .33．（2024高三上·全国·期末）数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，公比11223303,1,4,12q a b a b a b <<====.(1)求{}{}n n a b ､的通项公式；(2)求数列{}nna b 的前n 项和.34．（2024·吉林白山·一模）已知等比数列{}n a 满足12a =，且2420a a +=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足n n b n a =⋅，{}n b 其前n 项和记为n S ，求n S ．35．（2024·全国·模拟预测）已知{}2n n a 是等差数列，n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列．(1)求证：12a a =；(2)记{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n ∈N ，16n S ≤≤，求1a 的取值范围．36．（2024高二上·湖南张家界·阶段练习）已知等差数列{}n a 满足24a =，4527a a -=，公比不为1-的等比数列{}n b 满足34b =，()45128b b b b +=+．(1)求{}n a 与{}n b 通项公式；(2)设()*13N n n n c n a a +=∈⋅，求{}n c 的前n 项和n S ．37．（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且425S S =，222n n a a =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．38．（2024·新疆·一模）非零数列{}n a 满足()()()()*112212n n n n n n n a a a a a a a n +++++--=-∈N ，且121,2a a ==．(1)设1nn n na b a a +=-，证明：数列{}n b 是等差数列；(2)设11n n n c a a +=，求{}n c 的前n 项和n T ．39．（2024高三上·辽宁沈阳·期中）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(1)求nS (2)求12233411111n n S S S S S S S S ++++⋯+++++40．（2024·广东广州·模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足2log ,,n n na nb a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .41．（2024高三上·山西忻州·阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，123a =-，1322n n S S +=-（*n ∈N ）.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b ，{}n c 满足()32log n n b a =-，n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .42．（2024·四川攀枝花·二模）已知数列{}n a 满足()*1144,313n n na a a n a +=-=∈-N ．(1)证明：11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；(2)求数列1n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．43．（2024高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2321n n S a n =-+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．44．（2024高三上·云南曲靖·阶段练习）已知数列{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和，n *∈N ．(1)若11a =，且22n n a a =，求数列{}n a 的通项公式；(2)若13a d =，数列{}n b a 的首项为1a ，满足13n n b b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求5T ．45．（2024高三上·广东东莞·期末）数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足()()1122n T n n =++．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记()1ln nn n b a =-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．46．（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足11334n n a a a +==-，，记)23n n b a =-+．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)已知()1111n n n n n b c b b +++=-⋅，记数列{}n c 的前n 项和为n S ．求证：221n S ≥．47．（2024高二下·福建厦门·阶段练习）数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项积为n T ，且()()**21,!n n n S a n T n n =-∈=∈N N ．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若,,n n na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求{}n c 的前n 项和n P ．48．（2024高三上·云南德宏·阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n n S a n =-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()()211n n b n a =++，求数列{}n b 的前n 项和n T .49．（2024高三上·河北廊坊·期末）已知数列{}n a 是递增的等比数列，142332,12a a a a =+=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()()1111n n n n a b a a ++=++，求数列{}n b的前n 项和n S .50．（2024·四川绵阳·二模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5645,60S S ==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．51．（2024高三·全国·专题练习）仓库有一种堆垛方式，如图所示，最高一层2盒，第二层6盒，第三层12盒，第四层20盒，第五层30盒，L，请你寻找至少两个堆放的规律．52．（2024·广东广州·三模）已知正项数列{}n a 和{},n n b S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足242n n n S a a =+，()*22log n n a b n N =∈（1）分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）将数列{}n a 中与数列{}n b 相同的项剔除后，按从条到大的顺序构成数列{}n c ，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，求100T ．53．（2024·湖南岳阳·三模）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，其公比1q ≠-，4578127a a a a +=+，且4393S a =+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知13log ,,n n n a n b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前n 项和n T ．54．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 的前n 项和分别为：,n n S T ，且满足：()21413,2n n n S a S n +==+，22214n n n T S n n -=---(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)若,2n nn c n S =⎨⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项的和2n U .55．（2024高三下·湖南常德·阶段练习）已知数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，210,4n a a b =>，若12a =，()2211202n n n n a a a a n ----=≥，且()211n n nb n b n n +-+=+，*N n ∈.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)若数列{}n c 的通项公式为,2,4n n n n n a b n c a b n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，令n T 为{}n c 的前n 项的和，求2n T .56．（2024高三上·江苏南京·阶段练习）已知等比数列{}n a 的公比1q >，前n 项和为n S ，满足：234613,3S a a ==.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1,,n n n a n b b n n -⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .57．（2024·广东汕头·一模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*322n n a S n n N =+∈.(1)证明：数列{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的前n 项和为n S ；(2)设()31log 1n n b a +=+，证明：222121111n b b b ++⋅⋅⋅+<.58．（2024·浙江宁波·模拟预测）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()()222*330,n n S n n S n n n N -+--+=∈.(1)求1a 的值：(2)求数列{}n a 的通项公式：(3)证明：对一切正整数n244⎫+≤-⎪⎭.59．（2024高三上·天津和平·阶段练习）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为(){},*∈n n S n N b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=．(1){}n a 和{}n b 的通项公式；(2)求数列{}2n n a b ⋅的前8项和8T ；(3)证明：()212591nii i b b =<-∑．60．（2024·河北沧州·模拟预测）已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若34102252,33+==a a S ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()22π1cos3n n n b a =+，求数列{}n b 的前18项和18T ．61．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知数列{}n a 满足211222,1,3nn n n a a a a a +++-===．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求111222(1)n n n n n a a +++⎧⎫⎛⎫+-⎪⎪-⋅⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭的前n 项和n T ．62．（2024·安徽合肥·模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21342n n n n S S S a +++=-，11a =，23a =．(1)证明：数列{}12n n a a +-是等差数列；(2)记22(1)n n n a b n n++=+，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T ．63．（2024·浙江·模拟预测）已知数列{}n a 满足2*11,N ,5n n a a n a +=∈=.(1)求数列{}n a 的通项；(2)设22,1n n n n a b S a =-为数列{}n b 的前n 项和，求证12n S <．64．（2024·江西南昌·三模）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，满足()111n n n S S n n a ++=+，且112a =.(1)求n S ；(2)若()221n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .65．（2024·山东烟台·三模）已知数列{}()11,1,11n n n a a na n a +=-+=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足()1πsin cos π2n n n b a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前2n 项和2nT66．（2024·福建漳州·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，21nnS n a =+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)记数列12log n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求集合{}*10,N k k T k ≤∈中元素的个数.67．（2024·福建厦门·模拟预测）已知数列{}n a 满足111,12nn n a a a a +==+．(1)证明1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并{}n a 的通项公式；(2)设214n n n c n a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．68．（2024高三上·河北邢台·阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231n n S a =-．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()()1311n n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T ．69．（2024高三上·江西赣州·阶段练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且540S =，9126S =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，并证明：16n T <.70．（2024·广东汕头·三模）已知各项均为正数的数列{an }中，a 1=1且满足221122n n n n a a a a ++-=+，数列{bn }的前n 项和为Sn ，满足2Sn +1=3bn .(1)求数列{an }，{bn }的通项公式；(2)设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和Sn ；(3)若在bk 与bk +1之间依次插入数列{an }中的k 项构成新数列{}n c '：b 1，a 1，b 2，a 2，a 3，b 3，a 4，a 5，a 6，b 4，……，求数列{cn }中前50项的和T 50.71．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列{}n a 的首项145a =，1431n n n a a a +=+，*n ∈N .(1)设1nn na b a =-，求数列{}n b 的通项公式；(2)在k b 与1k b +（其中*k ∈N ）之间插入2k 个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n c .记n S 为数列{}n c 的前n 项和，求36S .72．（2024高三上·江苏镇江·阶段练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，满足12542,30,2a b S b ===+是3b 与5b 的等差中项.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)设()(1)nn n n c a b =-+，求数列{}n c 的前20项和20T .73．（2024·广东广州·模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且数列23n n S a ⎧⎫-⎨⎩⎭是公比为13的等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()1213n n b n -=+，求其前n 项和nT 74．（2024高三上·湖南长沙·阶段练习）已知数列{}n x 的首项为1，且1121212222n n n n n nx x nx x x -+--++++= .(1)求数列{}n x 的通项公式；(2)若()()1121,2n n n n b n x x S +=+-为{}n b 前n 项的和，求n S .75．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，2n n S na =，23a =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若16n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．76．（2024高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，且*∈N n b ，若1212312342,15a b a a a b b b b ==++=+++=．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设由{}n a ，{}n b 的公共项构成的新数列记为{}n c ，求数列{}n c 的前5项之和5S ．77．（2024高三·全国·专题练习）求和()()()22122323322332322n n n n n S --=+++⋅++⋅⋅⋅++⋅+⋅+⋅⋅⋅+．78．（2024·天津津南·模拟预测）已知{}n a 是单调递增的等差数列，其前n 项和为n S .{}n b 是公比为q 的等比数列.1142423,,a b a b S q S ====⋅.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设()1,,7n n n n n nn a b n c a b n a S -⎧⎪=⎨⎪+⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前n 项和n T .79．（2024·天津）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．80．（2024·天津·一模）已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n A ，715a =，763A =；数列{}n b 的前n 项和为n B ，()*233n n B b n =-∈N .(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)求数列1n A ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n S ；(3)求证：12nkk ka B =<∑.。
高三数学专题三 分类整合的思想方法课件
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模拟训练
4.直角坐标系xOy中，i，j分别是与x，y轴正方向同向的 单位向量.在直角三角形ABC中，若 AB =2i+j, AC =3i+kj，则 k的可能值个数是 A.1 B.2 ( ) C.3 D.4
［解析］ ∵ AB =(2,1), AC =(3,k)，则 BC ＝(1,k－1).
若 AB AC , 则AB· AC 0, 即有6＋k＝0,即k＝－6；
第一部分 常用数学思想方法 专题三 分类整合的思想方法
专题概览 ……………………………………………（3） 模拟训练 ……………………………………………（5） 规律总结 ……………………………………………（17）
专题概览
在研究与解答某些数学问题时，数学对象的本质属性存
在相同点与不同点，或研究问题时出发点的原因，情况进行讨论 .有关几何问题
中，由于几何元素的形状、位置关系不确定常常需要讨论. ［答案］ B
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模拟训练
5. 设集合 I={1,2,3,4,5}, 选择 I 的两个非空子集 A 和 B ， 要使B中最小的数大于 A中最大的数，则不同的选择方法 共有 ( )
A. 50种
应对数函数的单调性有影响，因此，应就a的不同取值进行
分类求解. ［答案］ C 返回目录
模拟训练
3.求和Sn =a+a2+…+an= .
［解析］ 当a=0时，Sn=0;当a≠0时，为等比数列求和.
a(1 a n ) ①若a≠1，则由求和公式得 S n ； 1 a
a(1 a n ) (a 1), ②若a=1时，Sn=n.综合得 S n 1 a n (a 1).
时出现不定性，这样，对象就划分为不同的种类或多种情况， 不同种类或不同情况的解法又不完全相同，必然要对不同种
等式与不等式 高考数学必刷真题分类大全-专题03
专题03等式与不等式考向一基本不等式的应用【母题来源】2022年新高考全国II 卷【母题题文】若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（）A.1x y +≤B.2x y +≥- C.222x y +≤ D.221x y +≥【答案】BC【试题解析】因为22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭（,a b ÎR ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设cos ,sin 22y x y θθ-==，所以cos ,x y θθθ=+=，因此2222511cos sin cos 12cos 2333x y θθθθ=θ-θ+=++++42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当33,33x y ==-时满足等式，但是221x y +≥不成立，所以D 错误．故选：BC ．【命题意图】本题考查基本不等式及其应用，属于中高档题目．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度有易有难，是历年高考的热点，考查学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）利用不等式比较大小；（2）利用不等式求最值；（3）基本不等式成立的条件【得分要点】（1）对原不等式进行化简、变形；（2）符合基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，用基本不等式求解；（3）判断等号成立的条件；（4）利用“1”的合理变换是解题.考向二线性规划【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】若x ，y 满足约束条件2,24,0,x y x y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最大值是（）A.2-B.4C.8D.12【答案】C【试题解析】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数2z x y =-为2y x z =-，上下平移直线2y x z =-，可得当直线过点()4,0时，直线截距最小，z 最大，所以max 2408z =⨯-=.故选：C.【命题意图】本题考查线性规划及其应用，属于比较容易题目．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度较小，是历年高考的热点，考查学生的基本作图能力和运算能力．常见的命题角度有：（1）线性规划求最值；（2）利用线性规划求参数的值；【得分要点】1.正确画出可行域；2.确定目标函数平移的方向决定取得最大值或最小值一、单选题1．（河北省保定市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）已知a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．22ac bc >B ．1ab>C ．22a b >D ．33a b >2．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知圆()()22124x y +++=关于直线10ax by ++=（0a >，0b >）对称，则12a b+的最小值为（）A ．52B ．9C ．4D ．83．（2022·四川达州·高一期末（理））已知实数x ，y 满足20,2,20x y x y +≥⎧⎪≥-⎨⎪++≤⎩，的最小值是（）A ．2B．CD ．4．（2022·江苏·宿迁中学高二期末）已知实数0,0x y >>满足x y xy +=，则4x y +的最小值为（）A ．8B ．9C ．7D ．105．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知正数m ，n 满足1m n +=，则1+m mn的最小值为（）A ．3B ．3+C．D ．3+6．（2022·江西吉安·高二期末（文））若关于x 的不等式2220ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]2,0-B ．(]2,0-C ．()2,0-D ．()(),20,-∞-⋃+∞7．（2022·湖南·高二阶段练习）已知偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，若()()55f f =--，则满足()301f x x -≥+的x 的取值范围是（）A ．(](),18,-∞-⋃+∞B ．(],8∞-C ．(](),21,-∞-⋃-+∞D ．(](],21,8-∞-⋃-8．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（文））使不等式2(1)(2)0x x +->成立的一个充分不必要条件是（）A ．1x >-且2x ≠B ．13x -<<C ．1x <D ．3x >二、填空题9．（2022·四川泸州·三模（理））已知x 、y ∈R ，且224x y +=，给出下列四个结论：①2x y +≤；②1xy ≥；③23x y +≤；④448x y +≥．其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)．10．（2022·上海市川沙中学高二期末）若关于x 的不等式223252x x m m -++<-有解，则实数m 的取值范围___________.11．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知实数20x y ≥>，0z >，则43223x y z xx y y z+++++的最小值为___________.12．（2020·云南德宏·高三期末（理））关于函数()()0bf x ax ab x=-≠有下列四个命题：①,a b R ∃∈，使()f x 关于y 轴对称．②,a b R ∀∈，都有()f x 关于原点对称．③,a b R ∃∈，使()f x 在⎛⎝上为减函数．④若0x <，,a b R ∃∈，使()f x 有最大值-其中真命题的序号是____________．三、解答题13．（2021·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）设p ：实数x 满足()224300x ax a a -+≤>，q ：实数x 满足302x x -<-(1)若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．14．（2022·江西抚州·高二期中（文））已知a ，b 都是正数．(1)若1+=-a b 4+≥ab ；(2)当a b ¹时，证明：>15．（2022·四川巴中·高一期末（理））已知函数()22f x x ax =+-，()0f x >的解集为{1x x <-或}x b >．(1)求实数a 、b 的值；(2)若()0,x ∈+∞时，求函数()()4f x g x x+=的最小值．16．（2022·浙江舟山·高二期末）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.本届奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车､雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车､雪橇､高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬奥会的举办可以带动了我国3亿人次的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x （万元）.经计算若年产量x 千件低于100千件，则这x 千件产品成本21()1011002C x x x =++；若年产量x 千件不低于100千件时，则这x 千件产品成本4500()120540090C x x x =+--.每千件产品售价为100万元，为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全部售完.(1)写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？一、单选题1．（河北省保定市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）已知a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．22ac bc >B ．1ab>C ．22a b >D ．33a b >【答案】D 【解析】【分析】可以利用特殊值进行排除，以及利用不等式的性质进行判断.【详解】当0c =时，22ac bc =，则A 错误；当0b <时，1ab<，则B 错误；当0a b >>时，22a b <，则C 错误；当0a b >>时，33a b >，当0a b >≥时，33330a b a b >≥⇒>，当0b a <≤时，()()3333330a b a b a b a b ≤-<-⇒-<-⇒--⇒，则D 正确.故选：D.2．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知圆()()22124x y +++=关于直线10ax by ++=（0a >，0b >）对称，则12a b+的最小值为（）A ．52B ．9C ．4D ．8【答案】B 【解析】【分析】由题可得()210,0a b a b +=>>，然后利用基本不等式即得.【详解】圆()()22124x y +++=的圆心为()1,2--，依题意，点()1,2--在直线10ax by ++=上，因此210a b --+=，即()210,0a b a b +=>>，∴()1212222225529b a b a a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =，即13a b ==时取“=”，所以12a b+的最小值为9.故选：B.3．（2022·四川达州·高一期末（理））已知实数x ，y 满足20,2,20x y x y +≥⎧⎪≥-⎨⎪++≤⎩()()2211x y -+-的最小值是（）A ．2B ．22C 10D ．32【答案】B 【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，根据目标函数的几何意义即可求解最小值.【详解】根据约束条件，画出可行域（如图），()()2211x y -+-可看成可行域内的点(),x y 与定点()11，的距离，由图可知：当过点()11，的直线与20x y ++=垂直时，距离最小，此时最小距离为：=222故选：B4．（2022·江苏·宿迁中学高二期末）已知实数0,0x y >>满足x y xy +=，则4x y +的最小值为（）A ．8B ．9C ．7D ．10【答案】B 【解析】【分析】利用基本不等式“1”的代换求4x y +的最值，注意等号成立条件.【详解】由题设，111x y+=，所以11444(4)(5529y x y xx y x y x y x y x y+=++=++≥+⋅=，当且仅当33,2x y ==时等号成立，所以4x y +的最小值为9.故选：B5．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知正数m ，n 满足1m n +=，则1+m mn的最小值为（）A ．3B ．322+C ．32D ．323+【答案】B 【解析】【分析】化简1212()()3m m nm n mn n m n m+=++=++，再利用基本不等式得解.【详解】解：由题得12212()33+22m m m n m n m nm n mn mn mn n m n m++++===++=++≥（当且仅当21,22m n -=.故选：B6．（2022·江西吉安·高二期末（文））若关于x 的不等式2220ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]2,0-B ．(]2,0-C ．()2,0-D ．()(),20,-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】讨论0a =和0a <两种情况，即可求解.【详解】当0a =时，不等式成立；当0a ≠时，不等式2220ax ax --<恒成立，等价于()()20,2420,a a a <⎧⎪⎨∆=--⨯-<⎪⎩20a ∴-<<．综上，实数a 的取值范围为(]2,0-．故选：B ．7．（2022·湖南·高二阶段练习）已知偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，若()()55f f =--，则满足()301f x x -≥+的x 的取值范围是（）A ．(](),18,-∞-⋃+∞B ．(],8∞-C ．(](),21,-∞-⋃-+∞D ．(](],21,8-∞-⋃-【答案】D 【解析】【分析】先利用偶函数的性质得到()f x 在(],0-∞上单调递增，()()550f f =-=.把原不等式转化为()30,10,f x x ⎧-≥⎨+>⎩或()30,10,f x x ⎧-≤⎨+<⎩即可解得.【详解】因为偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，所以()f x 在(],0-∞上单调递增，且()()55f f =--，又()()55f f =-，所以()()550f f =-=.由()301f x x -≥+，得()30,10,f x x ⎧-≥⎨+>⎩或()30,10,f x x ⎧-≤⎨+<⎩所以535,10,x x -≤-≤⎧⎨+>⎩或3535,10,x x x -≤--≥⎧⎨+<⎩或解得18-<≤x 或2x -≤.故x 的取值范围是(](],21,8-∞-⋃-.故选：D.8．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（文））使不等式2(1)(2)0x x +->成立的一个充分不必要条件是（）A ．1x >-且2x ≠B ．13x -<<C ．1x <D ．3x >【答案】D【解析】【分析】求解已知不等式，从集合的角度，以及充分性和必要性的定义，即可选择.【详解】因为()220x -≥，故不等式2(1)(2)0x x +->的解集为{1x x -且2}x ≠，故不等式2(1)(2)0x x +->成立的一个充分不必要条件所构成的集合应是{1x x -且2}x ≠的真子集，显然，满足题意的只有{}3x x .故选：D.二、填空题9．（2022·四川泸州·三模（理））已知x 、y ∈R ，且224x y +=，给出下列四个结论：①2x y +≤；②1xy ≥；③23x y +≤；④448x y +≥．其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)．【答案】①④【解析】【分析】利用基本不等式可判断①和④，取特殊值x ＝0、y ＝2log 3可判断②，取特殊值y ＝12可判断③．【详解】对于①，∵20,20x y >>，∴由224x y +=得，42222222x y x y x y +=+≥⋅=即422x y +≥2x y +≤(当且仅当1x y ==时取等号)，故①一定成立；对于②，当20,log x y ==3时，224x y +=成立，但1xy ≥不成立，故②不一定成立；对于③，当12y =时，由224x y +=得242x =，则132********xy +-=+-=>，即23x y +>，故③不一定成立；④将224x y +=两边平方得144216x y x y ++++=，∴144162x y x y +++=-，由①可知：131********x y x y x y x y +++++≤⇒++≤⇒≤=⇒-≥-11621688x y ++⇒-≥-=，∴448x y +≥，当且仅当1x y ==时取等号，因此④一定成立﹒故答案为：①④﹒【点睛】本题①和④利用基本不等式即可求解，需要熟练运用基本不等式求范围.对于②和③，取特殊值验算即可快速求解﹒10．（2022·上海市川沙中学高二期末）若关于x 的不等式223252x x m m -++<-有解，则实数m 的取值范围___________.【答案】()(),24,-∞-+∞ 【解析】【分析】根据题意可得()2min 23252x x m m -++<-，根据+≥-a b a b 可得()min23258x x -++=，代入求解．【详解】根据题意可得()2min 23252x x m m-++<-∵()()232523258x x x x -++≥--+=∴228m m ->，即2280m m -->，则4m >或2m <-故答案为：()(),24,-∞-+∞ ．11．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知实数20x y ≥>，0z >，则43223x y z xx y y z+++++的最小值为___________.【答案】1221【解析】【分析】依题意利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为20x y ≥>，0z >，所以43223x y z x x y y z +++++223223x y y z x x y y z +++=+++231223y z xx y y z +=++++23231112223223y z x y z xx y z x y z++≥++=+⋅=+++当"232,223,2223y z xx y x y z x y x y z +==⇒=+=+取等号“综上所述：43223x y z xx y y z+++++的最小值为12故答案为：1212．（2020·云南德宏·高三期末（理））关于函数()()0bf x ax ab x=-≠有下列四个命题：①,a b R ∃∈，使()f x 关于y 轴对称．②,a b R ∀∈，都有()f x 关于原点对称．③,a b R ∃∈，使()f x 在b a ⎛⎤⎝⎦上为减函数．④若0x <，,a b R ∃∈，使()f x 有最大值2ab -．其中真命题的序号是____________．【答案】②③④【解析】【分析】对①②，判断()f x 的奇偶性即可；对③④，根据对勾函数的性质判断即可；【详解】由题，因为()()bf x ax f x x-=-+=-，且0ab ≠，故()f x 为奇函数，①错②对；当0,0a b ><时，由对勾函数的性质，()b f x ax x =-在ba⎛ ⎝上为减函数，故③正确；又当0x <时，若0,0a b ><，则()f x 在b x a=2b b a ab a b a⎛=- ⎝-，故④正确；故答案为：②③④13．（2021·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）设p ：实数x 满足()224300x ax a a -+≤>，q ：实数x 满足302x x -<-(1)若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1)()2,3(2)[]1,2【解析】【分析】（1）根据二次不等式与分式不等式的求解方法求得命题p ，q 为真时实数x 的取值范围，再求交集即可；（2）先求得[],3A a a =，再根据p 是q 的必要不充分条件可得A B ⊇，再根据集合包含关系，根据区间端点列不等式求解即可(1)当1a =时，2430x x -+≤，解得13x ≤≤，即p 为真时，实数x 的取值范围为13x ≤≤．由302x x -<-，解得23x <<，即q 为真时，实数x 的取值范围为23x <<．若p q ∧为真，则1323x x ≤≤⎧⎨<<⎩，解得实数x 的取值范围为()2,3．(2)若p 是q 的必要不充分条件，则q p ⇒且p q ¿．设(){}A x p x =，(){}B x q x =，则A B ⊇，又()2,3B =．由22430x ax a -+≤，得()()30x a x a --≤，因为0a >，则[],3A a a =，有233a a ≤⎧⎨≤⎩，解得12a ≤≤因此a 的取值范围为[]1,2．14．（2022·江西抚州·高二期中（文））已知a ，b 都是正数．(1)若12+=-a b ab ，证明：4≥b a a b ab ；(2)当a b ¹时，证明：+>a a b b b a a b 【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）根据12+=-a b ab 1a b =，再结合b a a bab化简，利用基本不等式证明即可（2）根据证明的不等式逆推即可(1)证明：由12+=-a b ab ，得21a b+=1a b (11ab b a b a a b ab ab a b+==()2224b a b a a b a b a b ab==≥+⋅=，当且仅当14a b ==时“=”成立．所以4+≥b a b ab ．(2)要证+>+a a b b b a a b )()0--->a a b b a b ，即证)0->a b a b ，即证2)0a b a b >，因为20>+>a b a b ，所以上式成立，所以>a a b b b a a b 15．（2022·四川巴中·高一期末（理））已知函数()22f x x ax =+-，()0f x >的解集为{1x x <-或}x b >．(1)求实数a 、b 的值；(2)若()0,x ∈+∞时，求函数()()4f x g x x+=的最小值．【答案】(1)1a =-，2b =(2)221【解析】【分析】（1）分析可知1-、b 是方程220x ax +-=的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系可求得a 、b 的值；（2）求得()21g x x x=+-，利用基本不等式可求得()g x 在()0,∞+上的最小值.(1)解：因为关于x 的不等式220x ax +->的解集为{1x x <-或}x b >，所以，1-、b 是方程220x ax +-=的两个根，所以，12012a b --=⎧⎨-⋅=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩.(2)解：由题意知()()24221f x x x g x x xx x+-+===+-，因为0x >，由基本不等式可得()22121221g x x x x x=+-≥⋅=-，当且仅当2x x=时，即2x =故函数()g x 的最小值为221.16．（2022·浙江舟山·高二期末）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.本届奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车､雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车､雪橇､高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬奥会的举办可以带动了我国3亿人次的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x （万元）.经计算若年产量x千件低于100千件，则这x 千件产品成本21()1011002C x x x =++；若年产量x 千件不低于100千件时，则这x 千件产品成本4500()120540090C x x x =+--.每千件产品售价为100万元，为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全部售完.(1)写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)21903100,010024500203400,10090x x x L x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪-⎩(2)当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元【解析】【分析】（1）年利润L 为销售收入减去生产成本，分情况讨论计算即可；（2）当0100x <<时，根据二次函数单调性求L 最大值；当100x ≥时，根据基本不等式求最大值，继而求出L 最大值.(1)当0100x <<时，2211100101100200090310022L x x x x x =----=-+-；当100x ≥时，45004500100120540020002034009090L x x x x x ⎛⎫=-+--=--+ ⎪--⎝⎭.所以21903100,010024500203400,10090x x x L x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪-⎩(2)当0100x <<时，2211903100(90)95022L x x x =-+-=--+.当90x =时，L 取得最大值，且最大值为950.当100x ≥时，(45002252034002090160020225160010009090L x x x x ⎛⎫=--+=--++≤-+= ⎪--⎝⎭当且仅当105x =时，等号成立.因为1000950>，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元.。
高三数学专题分类
考点1:集合的含义与表示、集合间的基本关系考点2：集合的基本运算考点3：与集合相关的新概念问题专题2命题及其关系、充分条件和必要条件考点4、命题及其关系考点5、充分条件和必要条件考点6、利用关系或条件求解参数范围问题专题3、简单的逻辑联结词、全称量词和存在量词考点7、逻辑连接词考点8、全称量词和存在量词考点9、利用逻辑连接词探求参数问题专题4：函数概念与基本初等函数考点10、函数的表示与函数的定义域考点11、分段函数及其应用专题5、函数的基本性质考点12、函数的单调性考点13、函数的奇偶性考点14、函数性质的综合性质应用问题二次函数与幕函数考点15、二次函数及其应用考点16、幕函数主题7、指数与指数函数考点17、幕的运算考点18、指数函数的图像与性质考点19、与指数函数相关的综合问题专题8、对数与对数函数考点20、对数的运算考点21、对数函数的图像与性质考点22、函数图像的应用问题专题9、函数的图像考点23、函数图像的辨识考点24、函数图像的变换考点25、函数图像的应用问题专题10、函数与方程考点26、函数零点所在区间的判断考点27、函数零点、方程根的个数考点28、函数零点的应用问题函数的模型与应用考点29、函数常见的模型与应用考点30、函数与其他知识相联系问题导数专题12导数及其运算考点31、导数的概念与几何意义考点32、导数的运算专题13、导数的应用考点33、导数与函数的单调性考点34、函数与函数的极值、最值考点35、利用导数求参数的范围问题考点36、利用导数求参数的范围问题考点37、利用导数解决综合问题专题14、定积分与微积分基本定理考点38、利用微积分基本定理求解定积分考点39、利用定积分求分平面图形的面积第四部分、三角函数专题15、三角函数的概念、同角三角函数的的基本关系考点40、三角函数的概念考点41、同角三角函数的基本关系、诱导公式专题16、三角函数的图像与应用考点42、三角函数的的图形与变换考点43、求三角函数的解析式专题17、三角函数的性质与应用考点44、三角函数的定义域、值域、最值考点45、三角函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性考点46、与三角函数相关的综合问题专题18三角恒等变换考点47、三角函数式的化简与求值考点48、与三角化简求值相关的综合问题专题19、解三角函数考点49、正选定理与余弦定理考点50、解三角形及其应用考点51、与平面向量、不等式综合等综合的三角形问题第五部分平面向量专题20平面向量的概念与及线性运算、平面向量基本定理考点52、平面向量的线性运算和几何意义考点53、平面向量基本定理和坐标运算考点54、平面向量的数量积考点55、平面向量的长度与角度问题考点56、平面向量的综合应用题第六部分数列专题22、数列的概念与数列的通项公式考点57、数列的概念考点58、数列的通项公式专题23、等差数列考点59、等差数列的概念与运算考点60、等差数列的性质考点61、等差数列相关的综合问题专题24、等比数列考点62、等比数列的概念与运算考点63、等比数列的性质考点64、等比数列相关的综合问题专题25、数列的综合问日考点65、数列求和考点66、数列与不等式相结合问题考点67、数列与函数相结合问题考点68、数列中的探索问题专题26、不等关系与不等式的解法考点69、不懂关系考点70、不等式的解法专题27、二元一次不等式组与简单的线性规划考点71、用二元一次不等式组表示区域问题考点72、利用线性规划求目标函数考点73、以可行域为载体与其他知识的教会问题专题28、基本不等式及其应用考点74、基本不等式考点75、基本不等式的实际应用问题第八部分立体几何专题29、空间几何体结构及三视图和直观图考点76、空间几何体的的结构考点77、三视图与直观图专题30、空间几何体的表面积和体积考点78、几何体的表面积考点79、几何体的体积考点80、组合体的“接”“切”的综合问题专题31、空间点、线、面的位置关系考点81、空间点、线、面的位置关系考点82、异面直线所成的角专题32、直线、平面平行与垂直的判定与性质考点83、直线、平面平行的判定与性质考点84、直线、平面垂直的判定与性质专题33、空间角与综合问题考点85、直线与平面所成的角考点86、二面角考点87、立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题专题34、空间向量与立体几何考点88、空间向量运算与利用平面向量证明平行、垂直的位置关系考点89、利用空间向量求空间角考点90、利用空间向量解决开放性、探索性等问题专题35、。
高三数学学科知识点详解
高三数学学科知识点详解高三数学学科是高中数学学习的重要阶段，主要涉及高中数学的所有知识点，并且对这些知识点的要求更高、更深。
高三数学学科的知识点可以分为以下几个部分：一、集合与函数的概念1.1 集合•集合的基本运算：并集、交集、补集等。
•集合的特殊集合：自然数集、整数集、实数集等。
1.2 函数•函数的定义：函数是一种对应关系，其中每个输入值（自变量）都对应一个唯一的输出值（因变量）。
•函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。
•函数的图像：直线、二次函数、指数函数、对数函数等。
二、实数与方程2.1 实数•实数的概念：有理数和无理数。
•实数的运算：加法、减法、乘法、除法等。
2.2 方程•线性方程：一元一次方程、一元二次方程等。
•不等式：一元一次不等式、一元二次不等式等。
•分式方程：分式方程的解法、分式不等式等。
三、代数与函数3.1 代数•多项式：多项式的运算、因式分解等。
•分式：分式的运算、分式的化简等。
3.2 函数•一次函数：一次函数的图像、性质等。
•二次函数：二次函数的图像、性质、顶点公式等。
•指数函数：指数函数的图像、性质、指数法则等。
•对数函数：对数函数的图像、性质、对数法则等。
四、几何与三角4.1 几何•平面几何：点、线、面的关系，三角形、四边形、圆的性质等。
•空间几何：立体图形的性质、体积、表面积等。
4.2 三角•三角函数：正弦、余弦、正切函数的定义、图像、性质等。
•三角恒等式：三角恒等式的证明、应用等。
五、概率与统计•概率的基本概念：随机事件、概率的计算等。
•统计的基本概念：平均数、中位数、众数、方差等。
六、数列•等差数列：等差数列的性质、通项公式、求和公式等。
•等比数列：等比数列的性质、通项公式、求和公式等。
七、综合应用•数学建模：解决实际问题的数学模型和方法。
•数学竞赛：数学竞赛题型的特点和解题方法。
上面所述是对高三数学学科知识点的详细解析，希望对您的学习有所帮助。
在学习过程中，要注重基础知识的学习，多做题、多思考，不断提高自己的数学素养。
高三数学全部的知识点归纳
高三数学全部的知识点归纳在高三数学的学习过程中，我们会接触到各种各样的数学知识点。
这些知识点既有基础的概念和定理，也有较为复杂的应用和解题方法。
为了帮助同学们更好地进行复习总结，下面将对高三数学全部的知识点进行归纳。
一、函数与方程1. 函数基本概念和性质2. 一次函数及其图像3. 二次函数及其图像4. 指数函数与对数函数5. 三角函数与图像变换6. 不等式与绝对值7. 方程与不等式的解法二、平面与立体几何1. 平面几何中的基本概念2. 平面直角坐标系与直线方程3. 平面图形的性质与判定4. 空间几何中的基本概念5. 空间直角坐标系与平面方程6. 空间立体图形的性质与判定三、立体几何与向量1. 空间直角坐标系与向量的表示2. 向量的运算与性质3. 空间中的点和向量的位置关系4. 平面与向量的垂直、平行关系5. 空间直线与向量的位置关系6. 空间立体的性质与计算四、概率与统计1. 随机事件的概念与性质2. 概率的计算方法3. 随机变量与概率分布4. 离散型与连续型随机变量5. 参数估计与假设检验6. 统计图表的表示与分析五、数列与数学归纳法1. 等差数列与等比数列的定义与性质2. 数列的通项公式与求和公式3. 数学归纳法的原理与应用4. 数列极限及其性质六、三角与数学恒等式1. 任意角的概念与性质2. 各种三角函数的定义与性质3. 三角函数的图像与变换4. 三角函数的和差公式与倍角公式5. 三角函数的积化和差公式6. 三角函数的逆函数与解三角方程七、数学推理与证明1. 命题与合取、析取2. 充分条件与必要条件3. 直接证明、反证法与归谬法4. 数学归纳法与条件证明5. 平行线性质的证明6. 三角形性质的证明八、微积分与导数1. 重要概念与性质2. 函数的极限与连续性3. 导数与导数的应用4. 函数的最值与导数的求解5. 反函数与参数方程6. 微分与微分方程九、平面向量与行列式1. 平面向量的定义与性质2. 平面向量的线性运算3. 向量的数量积与向量积4. 平面向量的应用5. 行列式的定义与性质6. 行列式的计算方法与应用以上对高三数学部分知识点的归纳只是涉及到了一些基础的内容，实际上还有很多其他的知识点需要大家掌握。
高三数学全部课本知识点讲解
高三数学全部课本知识点讲解数学是一门重要的学科，对于高三学生来说尤为关键。
为了帮助高三学生更好地掌握数学知识，下面将对高三数学全部课本知识点进行讲解。
高三数学课本的内容包括数学分析、几何与代数、概率与统计等几个主要模块。
下面将以这几个模块为基础，逐一讲解其中的知识点。
一、数学分析1. 数列与数列极限数列是一组按照一定规律排列的数，而数列极限是指数列中的数随着项数的增加逐渐趋于某个确定的数。
数列与数列极限在数学分析中起着重要的作用，它们的性质与运算规则需要学生掌握和理解。
2. 函数与函数极限函数是一种变量与变量之间的依赖关系，函数极限是指当自变量趋于某个值时，函数的取值趋于某个确定的值。
函数与函数极限是数学分析的核心内容，需要学生理解并熟练运用。
二、几何与代数1. 平面几何平面几何是研究平面上图形与性质的数学学科，包括点、线、面等基本概念，以及各种几何图形的性质和运算。
平面几何是高中数学的重要组成部分，需要学生掌握基本的几何定理和证明方法。
2. 向量与立体几何向量与立体几何是研究空间中图形与性质的数学学科，包括向量的表示与运算，以及平行四边形、三角形、圆锥曲线等的性质和运算。
向量与立体几何在高中数学中也占据着重要的地位，需要学生灵活运用向量方法解决几何问题。
3. 代数方程与不等式代数方程与不等式是研究数与数之间关系的数学学科，包括一元二次方程、一元高次方程、一元不等式等的解法和性质。
代数方程与不等式是高中数学内容的重点和难点之一，需要学生熟练掌握解方程和不等式的方法与技巧。
三、概率与统计1. 概率概率是研究随机现象的发生规律及其数值表示的数学学科，包括事件的概念、概率的计算和事件的相互关系等内容。
概率在现实生活中具有广泛的应用，需要学生理解概率的基本概念和运算法则，并能运用概率解决实际问题。
2. 统计统计是研究大量数据的收集、整理、分析和预测的数学学科，包括频数、频率、平均值、标准差等统计指标的计算和应用。
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专题1集合
考点1: 集合的含义与表示、集合间的基本关系
考点2：集合的基本运算
考点3：与集合相关的新概念问题
专题2 命题及其关系、充分条件和必要条件
考点4、命题及其关系
考点5、充分条件和必要条件
考点6、利用关系或条件求解参数范围问题
？
专题3、简单的逻辑联结词、全称量词和存在量词
考点7、逻辑连接词
考点8、全称量词和存在量词
考点9、利用逻辑连接词探求参数问题
专题4：函数概念与基本初等函数
考点10、函数的表示与函数的定义域
考点11、分段函数及其应用
￥
专题5、函数的基本性质
考点12、函数的单调性
考点13、函数的奇偶性
考点14、函数性质的综合性质应用问题
二次函数与幂函数
考点15、二次函数及其应用
考点16、幂函数
主题7、指数与指数函数
？
考点17、幂的运算
考点18、指数函数的图像与性质
考点19、与指数函数相关的综合问题
专题8、对数与对数函数
考点20、对数的运算
考点21、对数函数的图像与性质
考点22、函数图像的应用问题
专题9、函数的图像
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考点23、函数图像的辨识
考点24、函数图像的变换
考点25、函数图像的应用问题
专题10、函数与方程
考点26、函数零点所在区间的判断
考点27、函数零点、方程根的个数
考点28、函数零点的应用问题
函数的模型与应用
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考点29、函数常见的模型与应用
考点30、函数与其他知识相联系问题
导数
专题12 导数及其运算
考点31、导数的概念与几何意义
考点32、导数的运算
专题13、导数的应用
考点33、导数与函数的单调性
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考点34、函数与函数的极值、最值
考点35、利用导数求参数的范围问题
考点36、利用导数求参数的范围问题
考点37、利用导数解决综合问题
专题14、定积分与微积分基本定理
考点38、利用微积分基本定理求解定积分
考点39、利用定积分求分平面图形的面积
第四部分、三角函数
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专题15、三角函数的概念、同角三角函数的的基本关系考点40、三角函数的概念
考点41、同角三角函数的基本关系、诱导公式
专题16、三角函数的图像与应用
考点42、三角函数的的图形与变换
考点43、求三角函数的解析式
专题17、三角函数的性质与应用
考点44、三角函数的定义域、值域、最值
&
考点45、三角函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性
考点46、与三角函数相关的综合问题
专题18三角恒等变换
考点47、三角函数式的化简与求值
考点48、与三角化简求值相关的综合问题
专题19、解三角函数
？
考点49、正选定理与余弦定理
考点50、解三角形及其应用
考点51、与平面向量、不等式综合等综合的三角形问题
第五部分平面向量
专题20平面向量的概念与及线性运算、平面向量基本定理
考点52、平面向量的线性运算和几何意义
考点53、平面向量基本定理和坐标运算
考点54、平面向量的数量积
？
考点55、平面向量的长度与角度问题
考点56、平面向量的综合应用题
第六部分数列
专题22、数列的概念与数列的通项公式
考点57、数列的概念
考点58、数列的通项公式
专题23、等差数列
考点59、等差数列的概念与运算
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考点60、等差数列的性质
考点61、等差数列相关的综合问题
专题24、等比数列
考点62、等比数列的概念与运算
考点63、等比数列的性质
考点64、等比数列相关的综合问题
专题25、数列的综合问日
考点65、数列求和
&
考点66、数列与不等式相结合问题
考点67、数列与函数相结合问题
考点68、数列中的探索问题
专题26、不等关系与不等式的解法
考点69、不懂关系
考点70、不等式的解法
专题27、二元一次不等式组与简单的线性规划
*
考点71、用二元一次不等式组表示区域问题
考点72、利用线性规划求目标函数
考点73、以可行域为载体与其他知识的教会问题
专题28、基本不等式及其应用
考点74、基本不等式
考点75、基本不等式的实际应用问题
第八部分立体几何
专题29、空间几何体结构及三视图和直观图
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考点76、空间几何体的的结构
考点77、三视图与直观图
专题30、空间几何体的表面积和体积
考点78、几何体的表面积
考点79、几何体的体积
考点80、组合体的“接”“切”的综合问题
专题31、空间点、线、面的位置关系
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考点81、空间点、线、面的位置关系
考点82、异面直线所成的角
专题32、直线、平面平行与垂直的判定与性质
考点83、直线、平面平行的判定与性质
考点84、直线、平面垂直的判定与性质
专题33、空间角与综合问题
考点85、直线与平面所成的角
考点86、二面角
考点87、立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题
专题34、空间向量与立体几何
考点88、空间向量运算与利用平面向量证明平行、垂直的位置关系考点89、利用空间向量求空间角
考点90、利用空间向量解决开放性、探索性等问题
专题35、。