第9章 动力学有限元

1、固有频率和振型计算
长宽均为1m的厚度为0.05m的钢板，在两边和中间位置均焊接有加强筋，建立 其有限元分析模型。
第9章
9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6
动态分析有限元法
引言 动力学有限元基本方程 质量矩阵和阻尼矩阵 结构的固有频率和固有振型 结构动力响应 动力响应算例
9.1引 言
动力学问题中最经常遇到的是结构动力学问题，它有两类研 究对象。一类是在运动状态下工作的机械或结构，例如，高 速旋转的电机，往复运动的内燃机，以及高速运行的飞行器， 如何保证它们运行的平稳性及结构的安全性是极为重要的研 究课题。另一类是承受动力载荷作用的工程结，例如建于地 面的高层建筑和厂房，正确分析和设计这类结构，在理论和 实际上都是具有重要意义的。 动力学研究的另一重要领域是波在介质中的传播问题。
2 0 tA 1 e mc 12 0 1 0 0 2 0 1 0 1 1 0 2 0 1 0 0 1 0 2 0 1 1 0 1 0 2 0 0 1 0 1 0 2
2、集中质量矩阵 集中质量矩阵将单元的分布质量按等效原则分配在各个节点上，等效原则 就是要求不改变原单元的质量中心，这样形成的质量矩阵称为集中质量矩 阵。集中质量矩阵是一个对角阵，
和振型时，直接用无阻尼的自由振动方程求解。即
(t ) e K (t )e 0 M

e
因任意弹性体的自由振动都可分解为一系列的简谐振动的迭加：
即结构上各节点位移为
(t )
为与该振型对应的频率。
0 e jt
0 为节点位移振幅向量（即振型），与时间t无关的位移幅值；
速 度 响 应
加 速 度 响 应
动 应 变
动 应 力
固有特性：是一组模态参数构成，它由结构本身（质量与刚度分布）决定， 而与外部载荷无关，但决定了结构对动载荷的响应； 响应分析：是计算结构对给定动载荷的各种响应特性。
以三维实体动力分析为例，用有限元法求解的基本步骤如下： （1）连续区域的离散化 （2）构造插值函数 由于只对空间域进行离散，所以单元内位移u,v,w的插值分别表 示为: （9.1） u Na e
据惯性力定义表示为： 如阻尼力正比与速度，
则动力学基本方程： M (t ) C (t ) K (t ) F (t )
F (t )c
e
F (t )T
M (t )
e
C (t )
1）虚功原理法 设单元中发生虚位移为
(t )
*
V
(t )
*
* T
e
则单元惯性力作的虚功为：
U (t ) (t ) dV

*
单元节点上节点惯性力所作的功为： W (t ) 将 (t ) N (t )
* *

动力分析的计算工作量很大，因此提高效率，节省计算工作量的 数值方案和方法是动力分析研究工作中的重要组成部分。目前两 种普遍应用的减缩自由度的方法是Guyan减缩法和动力子结构法。
9.2 振动基本方程的建立
从静力学有限元法可知，有限元的基本思想是将弹性体离散成有限 个单元，建立整体刚度平衡方程：

e K R
1 问题描述
如图所示有一工字形截面的外伸梁，外伸端长度 为a=1m，跨度l=2m，外伸端受到W=10KN/m的均布载 荷的作用。工字形截面的截面面积为A=45cm2，弹性 模量E=200GPa，抗弯惯性矩Iz=5000cm4，求此外伸梁 跨中的最大挠度。
2 问题描述
有一材料为钢的轴类零件，模量是 200GPa，泊松比为0.3，试分析该零件内部的应力分 布情况。
p(t )c (t )
利用虚功原理同理可得：
F (t )c
e
N N dV (t )
T V

e
C
e

(t )
e
[C ] N N dV
e T V
一旦单元刚阵、质量矩阵、阻尼矩阵求得，则动力 学方程中的整体刚阵、质量阵等可类似静力分析的刚度 矩阵组装得到：
2）直接分配法——即按重心不变原则分配，求得集中质量矩。
在动态分析中，单元的质量矩阵通常采用以下两种形式。 1、一致质量矩阵
me N T N dV 形成的单元质量矩阵称为一致质量矩阵，因为 按
V
它采用了和刚度一致的形函数。这种质量矩阵取决于单元的类型和形函 数的形式。
其中
u ( x, y , z , t ) v ( x, y , z , t ) u w( x, y, z , t )
N N1
N2 ... Nn
Ni Ni I3*3 (i 1,2,...,n)
a1 a ae 2 ... an
3 问题描述
现有一个薄壁圆筒，如图所示。圆筒长度L为0.5m， 壁厚t为5mm，内径R为0.2m，薄壁圆筒在其长度的中 心处受一对沿着直径方向的压力F的作用，力的大小为 1000N，求薄壁圆筒在受力点处的径向位移，圆柱的 两端在边界处自由。已知薄壁圆筒的弹性模量为 200GPa，泊松比为0.3。
4 梁单元板单元的应用
M
e
一般而言，一致质量较 准确地反映了单元内质 量分布的实际情况，集 中质量精度不如前者， 但不存在耦合，使计算 大大简化，是工程中常 用的方法。
3、单元阻尼阵
内摩擦引起的阻尼。设结构阻尼系数为 ，则单位体积
产生的阻尼力（即阻尼力密度）为：
单元阻尼力主要指结构阻尼力，它是由结构内部材料
K K
1 n 1
n
e
M M C C
1 n e
e
9.3 结构无阻尼自由振动
计算结构的固有频率和振型是结构动力学分析的主要内容，也是
分析结构动力响应和其它动力特性问题的基础。由于一般结构阻
尼对结构的固有频率和振型影响极小，所以，求结构的固有频率
M
e
2）直接分配法 将单元内分布质量按重心不变原则分配至单元节点上，
所产生的质量矩阵是没有耦合项的对角矩阵。
如六自由度的平面三角形单元，单元总质量为W/g，则平
均分配至三个节点上的质量所形成的质量阵为：
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 W 1 0 0 3g 1 0 1
1 0 tA 0 e ml 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
集中质量矩阵：是一个对角阵，因而可简化动态计算，减小存储容量。利 用这种矩阵计算出的结构固有频率偏低。不过有限元模型本身比实际结构 偏刚，两者相互补偿，计算出的固有频率反而更接近真实值。 一致质量矩阵：由于分布较合理，因此可以求得更精确的振型，另外，整 个模型的质量分布还受网格划分形式的影响。
析中一样；由于[N]与时间无关，则单元应变矩阵，应力矩阵仍 与静力分析完全相同：
(t ) B (t )
e
(t ) D (t ) D B (t )
e
e
则刚度矩阵同样与静力情况相同：
K
B
V
T
D B dV
单元质量矩阵
[ M ] N N dV
e T V
平面常应变三角形单元的一致质量阵为：
.5 0 .25 0 .25 0 .5 0 .25 0 .25 .5 0 .25 0 1 A .5 0 .25 3 .5 0 .5

e
F (t )T
e



和 (t ) N (t )代入可得
e
e
F (t )T
e
N N dV (t )
T V

e
M
e

(t )
e
这里[M]为单元的一致质量矩阵。显然，对于不同的单
元，因形函数不同，则质量矩阵也是不同的。
从以上步骤可以看出，和静力分析相比，在动力分析中，由于惯 性力和阻尼力出现在平衡方程中，因此引入了质量矩阵和阻尼矩 阵，最后得到求解方程不是代数方程组，而是常微分方程组。其 它的计算步骤和静力分析是完全相同的。 关于二阶常微分方程组的解法有两类：直接积分法和振型叠加法。 直接积分法是直接对运动方程积分。而振型叠加法是首先求解一 无阻尼的自由振动方程，然后用解得的特征向量，即固有振型对 运动方程式进行变换。
有限元方程（刚度方程）： 静力学问题： [K ]{δ} ={F}
静力问题： 1) 静止; 2) 匀速 动力问题：外载随时间变化大
动态分析的必要性：当产品受到随时间变化的动载 荷时，需要进行动态分析，以了解产品动态特性。
动载荷（又称动力分析）
固有特性分析
响应分析
固 有 频 率
振 型
位 移 响 应
如果忽略阻尼的影响，则运动方程简化为
M a(t ) Ka (t ) Q(t )

（9.3）
如果上式的右端项为零，则上式进一步简化为
M a(t ) Ka(t ) 0

（9.4）
这是系统的自有振动方程，又称为动力特性方程。 （4）求解运动方程 （5）计算结构的应变和应力
结构动力学问题的有限元法的实质就是将一个弹性连续体 的振动问题，离散为一个以有限个节点位移为广义坐标的 多自由度系统的振动问题。其基本原理和分析方法类同静 力学的有限元法，按杆梁、薄板等不同结构进行分析。不 同的是，应用振动理论建立动力学方程时，在单元分析中 除需形成刚度矩阵外，还需形成质量矩阵，阻尼矩阵；在 整体分析中，不仅求动力响应，还有求解特征值问题（结 构振动的固有频率及相应的振动型（或模态））