第五章 有限元动力学基本原理
有限元方法的基本原理
有限元方法的基本原理
有限元方法是一种数值分析方法，用于求解复杂结构的力学问题。
其基本原理如下：
1. 将结构离散化：首先将结构分割成许多小的单元（有限元），每个单元可视作一个简单的结构部件。
这样可以将原始连续结构的复杂问题简化为每个小单元的简单问题。
2. 定义弯曲关系：对每个单元建立力学模型，包括定义材料的弹性模量、泊松比、截面积等力学性质参数。
3. 建立单元的位移方程：利用有限元方法，采用适当的形函数，建立每个单元的位移方程，一般为不定位移分析。
4. 组装全局方程：将所有单元的位移方程组装成整个结构的全局方程。
5. 求解方程组：通过数值方法（如高斯消元法、迭代法等），求解结构的位移和应力等力学量。
6. 分析结果：根据结构的位移和应力等力学量，可对结构的强度、刚度、振动等进行分析和评价。
有限元方法的基本原理是将复杂结构的力学问题通过离散化处理，化为易于计算的小单元问题，再通过数值方法求解整个结构的力学行为。
有限元分析-动力学分析PPT课件
目录
• 引言 • 有限元分析基础 • 动力学分析基础 • 有限元分析在动力学中的应用 • 案例分析 • 结论与展望
01 引言
目的和背景
01
介绍有限元分析在动力学分析中 的应用和重要性。
02
阐述本课件的目标和内容，帮助 读者了解有限元分析在动力学分 析中的基本概念、方法和应用。
随着工程复杂性和精确度要求的提高，有限元分析在动力学分析中的 应用将更加重要和必要。
02
未来需要进一步研究有限元分析算法的改进和优化，以提高计算效率 和精度。
03
未来需要加强有限元分析与其他数值计算方法的结合，如有限差分、 有限体积等，以实现更复杂的动力学模拟和分析。
04
未来需要加强有限元分析在多物理场耦合和多尺度模拟中的应用，以 更好地解决工程实际问题。
有限元分析的优点和局限性
• 精确性：对于某些问题，可以得到相当精确的结 果。
有限元分析的优点和局限性
数值误差
由于离散化的近似性，结果存在一定的数值误 差。
计算成本
对于大规模问题，计算成本可能较高。
对模型简化的依赖
结果的准确性很大程度上依赖于模型的简化程度。
03 动力学分析基础
动力学简介
动力学是研究物体运 动过程中力与运动关 系的科学。
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求解等。
02 有限元分析基础
有限元方法概述
01
有限元方法是一种数值分析方法，通过将复杂的物理系统离散化为有 限个简单元（或称为元素）的组合，来模拟和分析系统的行为。
02
它广泛应用于工程领域，如结构分析、流体动力学、热传 导等领域。
动力学有限元
6.2结构动力有限元法理论与模型一、基本原理在实际问题的求解中，应用最广的是基于位移的有限元素法。
此法的基本思想是把本来为连续的工程结构分割成在结点上相联的单元组合体。
取这些结点的位移为基本未知量，并假定每个单元中的位移用单元位移函数来描述，这实质上是假定了单元的模态。
在此基础上，利用能量变分原理进行单元分析的全结构分析，得到全结构的振动平衡方程，从而把连续体的动力学问题化为多自由度系统的振动问题。
有限元动力分析的基本过程是首先将工程结构离散化，通过选择合理的单元确定出分析模型，在此基础上选择位移函数，进行单元分析，确定单元的刚度、质量、阻尼、载荷矩阵，再经过坐标变换，通过能量变分原理，进行全结构分析，建立系统的振动平衡方程。
最后运用有限元数值方法进行方程的求解。
结构动力有限元法采用的单元位移函数与静力分析相同，基本原理和求解过程也与静力分析相同，不同之处仅在分析模型的确定与运动方程的建立方面。
二、动态分析模型的确定由于结构动态分析中除考虑弹性力外，还要考虑惯性力和阻尼力，其运动方程是常微分方程组，所以动态分析的复杂程度高，计算工作量大，有限元分析模型要尽量精炼、简单。
1.模型确定的基本原则•分析模型应与分析的目的相适应。
动力分析的目的各不相同，有的是为了提供固有特性计算动态响应或供控制系统用；有的是为了舱内提供振动环境。
不同的目的，通常要求不同的模态数与计算精度。
显然，用于估算基本固有频率的模型应当比计算冲击响应的模型简单。
用于设计计算的模型应当比用于校核计算的模型简单。
•分析模型要与选用的计算工具与计算条件相适应。
计算机软件种类日益丰富，选择分析模型要与所用程序、所用计算机容量相适应。
如对于容量大的计算机，可选用较为复杂的有限元模型，而对于容量小的计算机则在能反映结构动态性能的前提下尽量简化模型，使求解规模尽量小。
对于大模型，可选用子结构模型，采用模态综合方法求解。
应注意, 不一定模型愈精细精度就愈高。
第五章ANSYS概述 有限元法基本原理及应用课件
5.2 ANSYS的界面介绍
对话框式数据输入的基本形式
【OK】：表示确定对话框中的输入并退出对话框。 【Apply】：表示确定对话框中输入但不退出该对话框。 【Reset】：表示重新设置对话框中的内容，将其恢复到ANSYS默认值。 【Cancel】：表示不执行对话框中的设置同时退出该对话框。 【Pick All】：表示全选图形窗口中的相关实体。 【Help】：表示不明白执行操作的含义，单击该按钮可以获取相应的帮助信息。
电磁场分析与压电分析
电磁场分析 电磁场分析中考虑的物理量是磁通量密度、磁场密度、 磁力、磁力矩、阻抗、电感、涡流、能耗及磁通量泄露等，可分为 以下几类： （1）静磁场分析 （2）交变磁场分析 （3）瞬态磁场分析 （4）电场分析 （5）高频电磁场分析 压电分析
用于分析二维或三维结构对AC（交流）、DC（直流）或任意随时间 变化的电流或机械载荷的响应。这种分析类型可用于换热器、振荡器、 谐振器、麦克风等部件及其它电子设备的结构动态性能分析。可分为 四种类型： （1）静态分析 （2）模态分析 （3）谐响应分析 （4）瞬态分析
Customization Preferences：用 户管理选项卡
设置完成后单击【Run】按钮，即可启动ANSYS
5.3 ANSYS设置与使用
退出ANSYS软件
ANSYS提供了三种方法退出ANSYS程序，分别是： （1）从通用菜单退出：执行Utility Menu→File→Exit； （2）从命令窗口输入命令：/EXIT； （3）从工具条退出，如下图
• 谐响应分析 - 确定线性结构 对随时间按正弦曲线变化的 载荷的响应。
有限元的原理
有限元的原理
有限元分析是一种数值计算方法，用于求解复杂结构的应力、变形和振动等问题。
它将结构分割成有限个小单元，然后通过对这些小单元的力学行为进行数值计算，最终得到整个结构的应力和变形等信息。
有限元分析在工程领域得到了广泛的应用，可以有效地解决各种复杂结构的工程问题。
有限元分析的原理主要包括以下几个方面：
首先，有限元分析需要将结构离散化为有限个小单元。
这些小单元可以是线性的、四边形的、三角形的或者其他形状的，具体选择取决于结构的几何形状和材料性质。
通过将结构离散化，可以更加准确地描述结构的力学行为。
其次，有限元分析需要建立每个小单元的本构关系。
本构关系描述了材料在受
力情况下的应力-应变关系，是有限元分析的基础。
根据结构的材料性质和几何形状，可以选择合适的本构关系来描述小单元的力学行为。
然后，有限元分析需要建立整个结构的总体刚度矩阵。
刚度矩阵描述了结构在
受力情况下的整体力学行为，是有限元分析的核心。
通过将每个小单元的本构关系组装成整个结构的刚度矩阵，可以得到结构的总体力学行为。
最后，有限元分析需要对结构施加外部载荷，并求解结构的位移和应力等信息。
通过在刚度矩阵中施加外部载荷，可以求解出结构的位移和应力等信息，从而得到结构在受力情况下的力学行为。
总的来说，有限元分析的原理是将结构离散化、建立本构关系、组装刚度矩阵、施加外部载荷并求解结构的力学行为。
通过这一系列步骤，可以有效地分析复杂结构的应力、变形和振动等问题，为工程实践提供重要的理论支持和计算手段。
第五章 C0有限元
况下，其边界条件是 在x=0 时，u=u0；在x=L时，u=uL 它的静态解和动态解分别是： （1）静态解 (5.27)
弹性杆静力学控制方程中纵向位移 u(x)与时间 t 无关，则方程(5.26)改写为
∂ 2u =0 ∂x 2
其通解是
(5.28)
u = C1 x + C 2
其中C1,C2是积分常数。将边界条件（5.27）代入，解得
(5.17)
EA
∂u =N ∂x
(5.18)
它可在能量变分原理内自然得到满足。 （3）时端条件（在初始时刻(t=0)和终了时刻(t=tm)时的运动状态）
u = u t ( x),
∂u = v t ( x) ∂x
(5.19)
以上分析给出了 5.1.2 节力学分析得出完全相同的结果。 能量分析具有更为丰富的内涵。控制方程(5.16)的解函数 u(x,t)必须是在形位空间和 时间域内两阶导数存在，并满足全部边界条件（5.17）或(5.18)，包括时端条件（5.19） ，
⎧u i (t ) ⎫ {u e (t )} = ⎨ ⎬ ⎩u i +1 (t )⎭
弹性杆上任意点的位移可表示为
(5.36)
u ( x, t ) = [ N ( x)]{u e (t )} = u i + (u i +1 − u i )
则其应变为
x L
(5.37)
(5.29)
u = (1 −
x x ⎡ x )u 0 + u L = ⎢1 − L L ⎣ L
x ⎤ ⎧u 0 ⎫ ⎨ ⎬ L⎥ ⎦ ⎩u L ⎭
(5.30)
解(5.30)是弹性杆元素选取形函数的主要依据。 （2）动态解 弹性杆动力控制方程（5.26）的各种解法在第三章已作了全面的介绍。对这类齐次方 程的稳态振动解是谐振动，即
有限元动力学问题有限单元法课件
03
动力学问题有限单元法
引言
有限单元法的起源和 发展
课程目标和主要内容
动力学问题有限单元 法的重要性
动力学问题的基本概念和方程
动力学问题的定义和分类 运动学方程和动力学方程的建立
经典力学理论和工程应用
动力学问题的有限单元法求解过程
01
02
03
04
有限单元法的原理和特点
动力学问题有限单元法的离散 化处理
动力学问题有限元建模的意义
有限元方法在动力学问题中具有广泛的应用价值，可以解决许多连续体力学问 题，如结构分析、流体动力学和热传导等。
动力学问题有限元建模的基本步骤和原则
确定研究目标和问题
明确所要研究的动力学问题， 确定其边界条件和约束条件。
建立连续体的离散化模型
将连续体离散化为由有限个单 元组成的模型，每个单元具有 一定的物理和几何性质。
有限元动力学方程的求解算法
02
采用时间积分法或隐式积分法等算法，对动力学方程进行求解
。
计算流程
03
建立有限元模型、划分网格、施加边界条件和载荷、进行计算
、后处理等步骤。
有限元动力学问题求解程序的实现和优化
求解程序的实现
采用编程语言（如Python、C等）实现有限元动力学方程的求解程序。
求解程序的优化
05
有限元动力学问题的求解算
法和程序实现
引言
有限元方法的基本思想
将连续的物理问题离散化，通过求解离散化的方程来逼近真实解。
有限元方法在动力学问题中的应用
在机械、航空、土木等领域中，有限元方法被广泛用于求解动力学问题。
有限元动力学问题的求解算法和计算流程
有限元动力学方程的建立
有限元的基本原理
有限元的基本原理
有限元方法是一种数值计算方法，常用于求解工程问题中的连续介质力学问题。
其基本原理是将复杂的连续介质分割成有限数量的简单几何形状的子域，称为有限元，然后利用数学方法和计算机技术对每个有限元进行离散化处理。
基于有限元原理，我们可以得到以下步骤：
1. 离散化：将连续的物理问题离散化为有限个由节点和单元组成的网格，在每个单元上选择适当的方程形式。
2. 建立本构方程：根据材料的力学性质，建立适当的本构关系表达式，将其转化为数学方程。
3. 单元形函数：在每个有限元上选择适当的单元形函数，将物理问题转换为离散问题。
4. 求解：对离散化后的方程进行求解，得到节点的未知位移。
5. 后处理：根据得到的位移信息，计算相应的应力和应变，以及其他感兴趣的物理量。
有限元方法的精度和收敛性与网格的划分有关，更精细的网格可以得到更准确的结果，但也会增加计算量。
因此，有限元方法是一个权衡计算效率和精度的方法。
有限元方法广泛应用于结构力学、流体力学、电磁场等领域的
建模和仿真中，可以有效地分析和解决各种工程问题。
其应用范围涉及机械、航空航天、汽车、建筑、电子等多个工程领域，为工程设计和优化提供了有力的工具。
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T
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
采用前述的迭代步骤，用 T 代替 S ，即可得到 值
T
直到 得到
( 0)
(1)
(1) (i )
依次类推
T
1
（i 1）
(i 1)
（k 1） ( k ) -
第五章 有限元动力学分析基本原理
一、单元质量矩阵的计算
1.单元一致质量矩阵 2.单元集中质量矩阵 3.常用单元的一致质量矩阵
二、单元阻尼矩阵
1.速度阻尼矩阵 2.应变阻尼矩阵
三、机械结构的固有频率和振型
1.无阻尼自由振动方程 3.其他方法 2.矩阵迭代法
四、机械结构的动力响应计算 1.振型叠加法 2.直接积分法
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
0 3 2 1 [ ] S M K S 1 2.5 1.5 1 0 1
在开始迭代时，需选取初始迭代向量，可以按经验 估计，也可以用静力学特性的位移值，选得合适可 以减少迭代时间。先假设：
于是，令
e T V
m N N dV
一、单元质量矩阵的计算
1.一致质量矩阵
e
m 的计算式是通式，并因为计算质量矩阵和刚度矩
阵使用的形状函数一致，因此被称为一致质量阵。
2.集中质量矩阵 在工程实际中，为了求解方便，有人把单元质量 平均分到单元的各个节点上，如平面三角形单元的 质量可分配为：
1
2
●迭代步骤
S （1） 2 求得 (1)和 （1） ( 2) 2 再代入 S (2) （i） ( i 1) 2 以此类推 S (i 1) （k） ( k 1) 收敛条件
2 1 2 2 2 1 2 2
T
4 1 8 Al 1 4 8 30 8 8 16
一、单元质量矩阵的计算
3.常用单元的一致质量矩阵 ●三次梁单元
156 22l 54 13l 22l 4l 2 13l 2 3 l Al e m 420 54 13l 156 22l 2 2 13l 3l 22l 4l
e e e e e e e
一、单元质量矩阵的计算
单元质量矩阵根据其形成过程分为一致质量阵和 集中质量阵，各有自身的优点和缺点。 1.一致质量矩阵 在离散后的结构中，取出一个单元，根据达朗贝 尔原理，单位体积上作用的惯性力为：
2 2 2 q 2 2 N e N 2 e t t t
第五章 有限元动力学分析基本原理
在前面的介绍中，我们均假设作用在弹性体（或结 构）上的载荷与时间无关，与此相应的，位移、应力 及应变等也都和时间无关，即前面介绍的全部内容皆 称结构静力学有限元方法。但工程实际中还存在着另 外一类载荷与时间有关的动载荷作用于结构或弹性体， 此时，相应的位移、应力、应变等都与时间有关，而 且必须考虑惯性力和加速度等因素，这类分析或问题， 成为动力学分析。 对于质点—弹簧系统的振动，大家比较熟悉，例如 一个自由度为n的质点—弹簧振系，其动平衡方程为
mi m j mk
dV 3
V
一、单元质量矩阵的计算
2.集中质量矩阵
m diagm
e
单元质量矩阵为：
i
mi
mj
mj
mk
mk
3.常用单元的一致质量矩阵 ●一次杆单元
e
1 m A N N dx A 1 2 dx l l 2 2 1 12 l 2 1 A dx 2 l 6 1 2 1 2 2
1 1 1 3 2 0 1 1 (0) S 1 2.5 1.5 1 0 于是有 1 0 0 1 1
( 0) T
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
继续迭代 推得
推得
(11)
1 0.69300 0.20467
(11)
(10 )
1 0.6930 0.2047
T
于是 2 (211) 4.386
1 0.693 0.205
( 0)
代入
( 0)
2 (1)
(1)
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法 例题：已知一振动系统的质量矩阵、刚度矩阵用迭 代法计算其最高阶固有频率和振型。
1 0 0 3 2 0 2 5 3 M 0 2 0 K 0 0 3 0 3 3 0 1 0 解： 1 M 0 1 / 2 0 0 0 1 / 3
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
在计算过程中，引入参数
1 2
将其代入无阻尼自由振动运动方程，则有 1 K M 0
M K
两边同左乘 K ，得到
1
令
T K M
1
K 1M
C K M P
第五章 有限元动力学分析基本原理
上式中每一项的含义不同
为惯性力 M
C 为阻尼力
K 为弹性力
对于单元体而言，可以得到类似的上述方程
c k m p
2 j
2 i
i j
2i j
i j
2 i j
三、机械结构固有频率与振型
机械结构的振动固有频率和振型问题，在有限元方 法求解释，对应的数学问题既是矩阵的特征值和特 征向量问题。关于矩阵的特征值及特征向量问题， 是矩阵理论中比较热门的研究领域，下面我们仅简 单地罗列以下常见方法的名称，具体的方法求解步 骤，可以参考有关书籍，有大量的软件保重均包含 求解特征值和特征向量的软件程序。
T
一、单元质量矩阵的计算
3.常用单元的一致质量矩阵 ●二次杆单元
2 1 2 1 T e m A N N dx A 2 2 2 2 dx l l 4 4 1 2 1 2
c m c k c m k
e e e e e e e
二、单元阻尼矩阵的计算
对于组合阻尼，如已知结构的阻尼比及结构的固 有频率，其计算方法有：
如果 则
2(i j ji )
2 j
2 i
i j
2( j j ii )
1
2 (1)
(1)
1 0 0
T
S
2 ( 2)
(1)
0 1 1 3 2 1 1 2.5 1.5 0 3 3 1 0 1 0 0
推得
3
( 2)
停止迭代 此时为低阶特性
2
（i 1）
(i1)
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
例题：已知一振动系统的质量矩阵、刚度矩阵用迭 代法计算其最高阶固有频率和振型。
1 0 0 3 2 0 2 5 3 M 0 2 0 K 0 0 3 0 3 3 1 1 1 解： 1 K 1 1.5 1.5 1 1.5 11/ 6
惯性力是分布力，按分布力向节点等效的原则和 实施过程，有：
一、单元质量矩阵的计算
1.一致质量矩阵
R N qdV
e q T V 2 T e N N 2 dV t V
e T N N dV V
2.矩阵迭代法
如此继续迭代，经过10次迭代，可得 0 1 1 3 2 (10 ) S 1 2.5 1.5 0.693 4.386 0.69300 0.2047 0.20467 0 1 1
一、单元质量矩阵的计算
3.常用单元的一致质量矩阵 ●三角形平面问题单元
2 0 1 2 0 2 t e m 12 对 称
0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 0 1 2 0 2
一、单元质量矩阵的计算
3.常用单元的一致质量矩阵 ●矩形平面问题单元
4 0 2 4 0 4 abt e m 9 对 称
0 2 0 4
1 0 2 0 4
0 1 0 2 0 4
2 0 1 0 2 0 4
0 2 0 1 0 2 0 4
二、单元阻尼矩阵的计算
阻尼矩阵非常复杂，主要是阻尼本身的复杂性引 起的，一般均为假设，如阻尼力正比于单元的运动 速度，此时得到的阻尼矩阵正比于单元质量矩阵； 也可以假设阻尼力正比于单元的应变速度，此时得 到的阻尼矩阵则正比于单元刚度矩阵，还有一些其 他类型的假设，如上述两者的组合，分别有：
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
得到的固有频率是最高阶频率，因为振型的变化是：
1 0.693 0.205
符号变化两次，振系是3自由度，因此，得到的是第3 阶频率和振型。 在工程实际中，人们一般关心的主要是结构的低阶 频率。因此，在进行迭代过程中作适当的变换，使矩 阵不按 2 为特征值进行迭代，而是按 1 / 2 为特征 2 2 值进行迭代，从而得到 1 / 的最大值，也是 的 最小值。