等差数列常用性质
等差、等比数列性质总结
2.等差数列通项公式:3•等差中项4 •等差数列的前n 项和公式:c n(a 1 a n )n(n 1) d 2 , 1 , 2S n ------------------ na i ------ d — n ⑻一d)n An Bn 2 2 2 2(其中A 、B 是常数，所以当d M 0时，S 是关于n 的二次式且常数项为0) 特别地，当项数为奇数2n 1时，a n1是项数为2n+1的等差数列的中间项项)5 •等差数列的判定方法6•等差数列的证明方法7.提醒:(1)等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素: d 称作为基本元素。
只要已知这 5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
(2)设项技巧:①一般可设通项a n a 1 (n 1)d1.等差数列的定义式:a na n 1等差数列性质总结d (d 为常数)(n 2);a n a i (n 1)d dn a i d (n N首项：a i ，公差:d ，末项：a n推广：a n a m(n m)d(1)如果a , A , b 成等差数列，那么 A 叫做a 与b 的等差中项.即: (2)等差中项：数列a n 是等差数列2a n a n-1 a n i (n 2,n N +)2an 1 a n an 2na iS 2n 12n 1 a i a 2n i2n 1 a ni (项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间(1)定义法：若a n a n 1d 或 a n 1 a n d (常数 n N )a n 是等差数列. (2)等差中项：数列a n 是等差数列2a n a n-1a n i (n 2)2a n i a . a⑶数列a n 是等差数列a n kn b(其中k,b 是常数)。
(4)数列a n 是等差数列2S n An Bn ,(其中A 、B 是常数)。
定义法：若a n a n 1 d 或a n 1 a nd(常数n N )a n 是等差数列等差中项性质法：2a n a n-1a n i (n 2, n N ).a i 、d 、n 、a n 及 S n ,其中 a i 、②奇数个数成等差，可设为…,2d,a d, a, a d,a 2d …(公差为d );③偶数个数成等差，可设为…,3d,a d,a d,a 3d ,…(注意；公差为2d )8.等差数列的性质:(1)当公差d 0时,等差数列的通项公式a n a1 (n 1)ddn a1d是关于n的一次函数，且斜率为公差^d d n2 2 2 (a i 新是关于n的二次函数且常数项为0.(2)若公差d 0,则为递增等差数列，若公差d 0,则为递减等差数列，若公差 d 0,则为常数列。
数列的等差与等比性质知识点总结
数列的等差与等比性质知识点总结数列是由一系列数字按照一定规律排列组成的序列，而等差与等比性质是数列中常见的两种规律。
在数学中，掌握数列的等差与等比性质对于解题和推导数学公式都具有重要意义。
本文将对数列的等差与等比性质进行详细总结。
一、等差数列1. 定义：若数列中相邻两项之差保持不变，则称该数列为等差数列。
2. 通项公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n项的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
3. 性质：a) 任意一项与它的前一项的差等于公差，即an - an-1 = d。
b) 等差数列的前n项和为Sn = (a1 + an) * n / 2。
c) 等差数列的任意一项可以表示为前一项与公差之和，即an = an-1 + d。
d) 若等差数列的前两项之和等于第三项，即a1 + a2 = a3，则该等差数列为等差数列。
二、等比数列1. 定义：若数列中相邻两项之比保持不变，则称该数列为等比数列。
2. 通项公式：设等比数列的首项为a1，公比为r，则第n项的通项公式为an = a1 * (r^(n-1))。
3. 性质：a) 任意一项与它的前一项的比等于公比，即an / an-1 = r。
b) 等比数列的前n项和为Sn = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)。
c) 等比数列的任意一项可以表示为前一项与公比之积，即an = an-1 * r。
d) 若等比数列的前两项之积等于第三项，即a1 * a2 = a3，则该等比数列为等比数列。
三、等差与等比的联系与区别1. 联系：等差与等比数列都是按照一定规律排列的数列，且都有其通项公式和前n项和的公式。
2. 区别：a) 等差数列的相邻项之差相等，等比数列的相邻项之比相等。
b) 等差数列的公差为常数d，等比数列的公比为常数r。
c) 等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，等比数列的通项公式为an = a1 * (r^(n-1))。
中项定理公式 等差数列
中项定理公式等差数列等差数列是数学中常见的一种数列，它的特点是每一项与前一项之间的差值都相等。
在等差数列中，我们常用中项定理来求解数列中的某一项，或者求解数列的和。
下面，我们将详细介绍中项定理的公式及其应用。
一、等差数列的概念与性质等差数列是指数列中相邻两项之间的差值是一个常数的数列。
我们用a1、d、an分别表示等差数列的首项、公差和第n项。
公差d 可以通过任意两项的差值计算得出，即d = an - a(n-1)。
等差数列的性质有：1. a(n) = a1 + (n-1)d，即第n项等于首项加上公差与n-1的乘积。
2. a(n) = a(m) + (n-m)d，即第n项等于第m项加上公差与n与m之间的差值的乘积。
3. a(n) = a(n-k) + kd，即第n项等于第n-k项加上公差与k的乘积。
二、中项定理的公式中项定理是等差数列中常用的一个公式，用于求解数列中的中项。
中项定理的公式如下：an = (a1 + a(n+1))/2其中，an表示等差数列的第n项，a1表示首项，a(n+1)表示第n+1项。
三、中项定理的应用举例为了更好地理解中项定理的应用，我们来看一个具体的例子。
例题：已知等差数列的首项是3，公差是5，求该等差数列的第10项。
解题思路：根据中项定理的公式，我们可以得到：a10 = (a1 + a11)/2其中，a1 = 3，a11 = a1 + (11-1)d = 3 + 10*5 = 53。
代入公式，得到：a10 = (3 + 53)/2 = 56/2 = 28因此，该等差数列的第10项是28。
四、等差数列的和除了可以利用中项定理求解等差数列的某一项外，我们还可以利用等差数列的和公式求解等差数列的和。
等差数列的和公式如下：Sn = (n/2)(a1 + an)其中，Sn表示等差数列的前n项和，n表示项数，a1表示首项，an表示第n项。
同样，我们用一个例子来说明等差数列的和公式的应用。
等差数列的性质
2．在等差数列{an}中，已知 a4＋a8＝16，则 a2＋a10＝( )
A．12
B．16
C．20
D．24
解析：因为数列{an}是等差数列，所以 a2＋a10＝a4＋a8＝16.
答案：B
3．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则 a5 的值为( )
A．5
B．6
C．8
D．10
解析：由等差数列的性质，得 a1＋a9＝2a5， 又∵a1＋a9＝10，即 2a5＝10，∴a5＝5.
[名师点津] 等差数列{an}，其通项公式为 an＝dn＋b.那么数列{an}上任一 有序数对(n，an)对应的点都在直线 y＝dx＋b 上，且数列{an} 的公差 d 等于该直线的斜率．
【题型探究】
题型一 等差数列的性质应用
[例 1] (1)已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝( )
[规律方法] 常见设元技巧 (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为： a－d，a＋d，公差为 2d； (2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a－d，a，a＋d，公 差为 d； (3)四个数成等差数列且知其和，常设成 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d， 公差为 2d.
答案：A
4．已知{an}，{bn}是两个等差数列，其中 a1＝3，b1＝－3，
且 a20－b20＝6，那么 a10－b10 的值为 ( )
A．－6
B．6
C．0
D．10
解析：由于{an}，{bn}都是等差数列，
所以{an－bn}也是等差数列，而 a1－b1＝6，a20－b20＝6，
所以{an－bn}是常数列，故 a10－b10＝6.故选 B.
等差数列的性质总结(复习知识)
等差数列性质总结 1.等差数列的定义式：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列+-112(2,n N )n n n a a a n +⇔=+≥∈212+++=⇔n n n a a a4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．⑶数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列 等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，．7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。
(完整版)等差数列知识点总结
(完整版)等差数列知识点总结1. 等差数列的定义等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项之差都相等的数列。
2. 等差数列的通项公式设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则第 n 项的通项公式为 an = a1 + (n - 1) * d。
3. 等差数列的前 n 项和公式设等差数列的首项为 a1，末项为 an，项数为 n，公差为 d，则前 n 项的和公式为 Sn = n * (a1 + an) / 2。
4. 判断数列是否为等差数列- 检查数列中连续两项的差是否相等，即是否满足等差数列的定义。
- 可以通过计算数列的前 n 项和是否满足 Sn = n * (a1 + an) / 2 来判断。
5. 求等差数列的公差设等差数列的首项为 a1，第二项为 a2，则公差可以通过计算差值 d = a2 - a1 获得。
6. 求等差数列的项数设等差数列的首项为 a1，末项为 an，公差为 d，则项数可以通过以下公式计算：n = (an - a1 + d) / d。
7. 求等差数列的首项设等差数列的第一项为 a1，公差为 d，已知项数为 n，末项为an，则首项可以通过以下公式计算：a1 = an - (n - 1) * d。
8. 求等差数列的末项设等差数列的首项为 a1，公差为 d，已知项数为 n，末项可以通过以下公式计算：an = a1 + (n - 1) * d。
9. 等差数列的性质- 等差数列的任意三项成等差数列。
- 等差数列中的取任意几项可以组成一个等差数列。
- 等差数列的平均数等于首项与末项的平均数。
10. 应用场景等差数列的应用非常广泛，常见的应用场景包括：- 数学题中的数列问题，如求和、推导等。
- 统计学中的数据分析，如平均数、标准差等。
- 金融学中的投资计算，如等额本息还款、定期存款等。
- 工程学中的时间序列分析，如温度变化、电压波动等。
以上是等差数列的一些重要知识点总结，希望能对你有所帮助！。
等差数列的性质与计算
等差数列的性质与计算等差数列是数学中一种常见的数列，它的每一项与前一项之间的差值保持一致。
本文将探讨等差数列的性质以及如何进行计算。
一、等差数列的定义等差数列是指数列中的相邻两项之间的差值保持一致。
换句话说，对于一个等差数列a₁, a₂, a₃, ..., an，每一项aₙ满足以下条件：aₙ - aₙ₋₁ = d其中，d为差值，也被称为公差。
二、等差数列的通项公式对于等差数列a₁, a₂, a₃, ..., aₙ，我们可以通过通项公式来表示任意一项aₙ。
通项公式如下：aₙ = a₁ + (n - 1) * d其中，n表示项数，a₁为首项，d为公差。
三、等差数列的性质1. 等差数列的任意三项可以构成一个等差数列。
对于等差数列a₁, a₂, a₃, ..., an，其中aₙ-₁ - aₙ₋₂ = d₁，aₙ -aₙ₋₁ = d₂。
根据等差数列的定义可知，d₁ = d₂，所以aₙ-₁, aₙ₋₂, aₙ也构成一个等差数列。
2. 等差数列的前n项和等差数列的前n项和可以用以下公式表示：Sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ)其中，Sₙ表示前n项的和。
3. 等差数列的性质推导我们来证明等差数列的一个重要性质：等差数列的任意四项可以构成一个等差数列。
假设等差数列为a₁, a₂, a₃, ..., an，其中aₙ-₂ - aₙ₋₃ = d₁，aₙ₋₁ - aₙ₋₂ = d₂，aₙ - aₙ₋₁ = d₃。
我们需要证明d₁ = d₂ = d₃。
由等差数列的定义可知，aₙ₋₁ - aₙ₋₂ = aₙ - aₙ₋₁ = d₃。
则有：aₙ₋₂ - aₙ₋₃ = aₙ - aₙ₋₁(d₁ + d₂) = (d₃)所以d₁ = d₂ = d₃，即aₙ₋₂, aₙ₋₃, aₙ₋₁和aₙ构成一个等差数列。
四、等差数列的计算在实际问题中，我们常常需要计算等差数列中的某一项或某几项。
根据等差数列的通项公式，我们可以利用已知条件求解。
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结等差数列是数学中的一个重要概念，具有广泛的应用。
在学习等差数列的过程中，我们需要掌握以下几个方面的知识点。
1.等差数列的定义等差数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的差相等。
即对于数列 {a1, a2, a3, ..., an}，满足 ai - ai-1 = d，其中 d 为常数，称为公差。
2.等差数列的通项公式通项公式是等差数列的核心，它表示第 n 项的值与 n 之间的关系。
对于等差数列 {a1, a2, a3, ..., an}，通项公式可以表示为 an = a1 + (n-1)d，其中 a1 为首项，d 为公差。
3.等差数列的性质等差数列具有多个性质，包括：- 任意两项的差是公差，即 ai - aj = d；-任意三项可以构成一个等差数列；-一个数列是等差数列的充分必要条件是数列的前三项成等差数列；-等差数列中的任意k项组成的数列也是等差数列。
4.等差数列的和等差数列的和表示数列中前 n 项的和。
求和公式为 Sn = (n/2)(a1 + an)，其中 Sn 表示前 n 项的和。
5.等差数列的前n项和的推导利用等差数列的通项公式可以从数列中推导出前n项和的公式。
具体的推导过程为：-两个等差数列的和相减，得到每一项与公差的关系；-利用等差数列的通项公式，将每一项与公差的关系代入前n项和的公式；-化简表达式，得到前n项和的公式。
6.等差数列的媒数等差数列的媒数是指两个等距离首项相同的等差数列之间的项。
媒数可以用公式表示为M=a1+(n-1)d/27.等差数列的应用等差数列在数学中具有广泛的应用，特别是在算术和几何等领域实际问题的数学建模中。
常见的应用包括：-财务问题中的等差数列：如每月定期存款、贷款还款等；-时间和距离的等差数列：如速度与时间的关系、地理坐标系等；-数据分析中的等差数列：如平均数、中位数、众数等。
总之，等差数列是数学中的重要概念之一，通过掌握其定义、通项公式、性质、求和公式和应用，能够帮助我们更好地理解和应用等差数列的知识。
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合作探究：
问题1：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 应满足什么条件？
由定义得A-a =b -A ，即：2
b
a A +=
反之，若
2
b
a A +=
，则A-a =b -A 由此可可得：,,2
b a b
a A ⇔+=成等差数列 也就是说，A =
2
b
a +是a ,A ,
b 成等差数列的充要条件 问题2：在直角坐标系中，画出通项公式为53-=n a n
的数列的图象，这个图象有什么特点？
（2）在同一直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说说等差数列q pn a n +=的
图象与一次函数y=px+q 的图象之间有什么关系？
定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项
性质1：在等差数列
{}n a 中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+
即 m+n=p+q ⇒q p n m
a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )
例1在等差数列{n
a }中，若1
a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9
a . 分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中
的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……
例2 等差数列{n a }中，1a +3a +5a =－12, 且 1a ·3a ·5a =80. 求通项 n a
分析：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的问题而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求
某项必须消元（项）或再弄一个等式出来
例3已知数列{n a }的通项公式为q pn a n
+=，其中p,q 为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？
分析：判定{n a }是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看)1(1>--n a a n n
是不
是一个与n 无关的常数。
等差数列的常用性质：
1.若数列{a n }是公差为d 的等差数列： (1)d>0时，{a n }是
；d<0时，{a n }是
；d=0时，{a n }是
；
(2)d=
=
= （m ，n ∈N +）
(3)通项公式的推广：a n =a m + d （m ，n ∈N +）。
精讲点评：
111111(1)(1)2()2,
(1)(1)2
()2, .
m n p q m n p q a a a m d a n d a n m d d a a a p d a q d a p q d d a a a a +=+-++-=++-+=+-++-=++-∴+=+证明：
弥补、拓展与提升：
推论：若m+n=2k ，则a m +a n = ;
自然语言叙述为: ; 推论:12132n
n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅
自然语言叙述为: . 2、若{a n }为等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是 ，公差为 ; 3、若{a n }，{b n }都是等差数列，则{pa n +qb n }（p 、q 为常数）也是 ;如：
若{a n }与{b n }都是等差数列，则{a n +b n }，{ a n -b n }也是等差数列；再如：若{a n }是等差数列，则数列{λa n +b}也是等差数列（λ，b 是常数）
4、a m ，a m+k ，a m+2k ，a m+3k ，…，成 ，公差为 ;
课堂总结：1．,,2
b a b a A ⇔+=成等差数列
2．在等差数列中， m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )
3．若数列{n a }的通项公式为q pn a n
+=的形式，p,q 为常数，则此数列为等差数列。
课后巩固
一.选择题
1、在等差数列{a n }中，a 1+3a 8+a 15=120，则3a 9-a 11=（ ）
A 、6
B 、12
C 、24
D 、48
2、在等差数列{a n }中，若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=80，则a 2+a 8=（ ）
A 、8
B 、16
C 、32
D 、64
3、若{a n }为等差数列，且a 1+a 4+a 7=45，a 2+a 5+a 8=39，则a 3+a 6+a 9=（ ）
A 、39
B 、20
C 、11
D 、33
4、设{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1=25，b 1=75，a 2+b 2=100，则a 37+b 37=（ ）
A 、0
B 、37
C 、100
D 、-37
5、已知等差数列{a n }的前三项依次为a-1，a+1，2a+3，则此数列的第n 项a n 等于
A 、2n-5
B 、2n-3
C 、2n-1
D 、2n+1
二．填空题
6、在数列{a n}中，a1，a12是方程x2-2x-5=0的两根，若{a n}是等差数列，则a5+a8= 。
7、已知{a n}为等差数列，且其公差为d，则{a2n-1}的公差为。
8、在-1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，则这个数列为。
9、等差数列{a n}中，a15=33，a25=66，则a35=
10、在等差数列{a n}中，已知a m+n=A，a m-n=B，则a m= 。
三．解答题
11、已知a，b，lg6，2lg 2+lg 3为等差数列，求a、b的值。
12、设各项均为正数的无穷数列{a n}和{b n}满足：对任意n∈N*，都有2b n=a n+a n+1且a2n+1=b n b n+1。
b}是等差数列；
（1）求证：{
n
（2）设a1=1，a2=2，求{a n}和{b n}的通项公式。