第15章 电路方程的矩阵形式(高教五版)
第15章 电路方程的矩阵形式
Chapter 15 电路方程的矩阵形式主要内容 1.关联矩阵，回路矩阵，割集矩阵; 2.KCL, KVL 的矩阵形式；3.回路电流（网孔电流）方程、结点电压方程、割集电压方程的矩阵形式；§15-1 割集KCL 和KVL 所表示的电路中各电压、电流之间的约束关系取决于电路中各元件的连接方式。
电路的拓扑 ---- 电路中各元件的连接方式。
电路拓扑性质用图论及矩阵代数进行研究（图，回路，树，割集等）。
1. 割集：是G 的一个支路集合，移去这些支路，将使G 分离为两个部分，如果少移去其中任意一条支路，图仍将是连通的。
可以用在连通图G 上作闭合面的方法来判断确定一个割集，与闭合面相切割的所有支路构成一个割集（因移去这些支路，G 被分离为两部分）。
割集：),,,( ),,,,( ),,,,( ),,,( ),,,( ),,,( ),,,(d c b a f c e a f d e b c e d f c b b e a f d a 非割集：),,,(),,,(c b e a e d aKCL 适用于任何一个闭合面，属于同一割集的所有支路的电流满足KCL ，若一个割集的所有支路都连接在同一个接点上，割集的KCL 方程即变为结点上的KCL 方程2. 独立割集：一组线性独立的KCL 方程对应的割集。
应用割集法，首先必须选择一组独立割集。
① 选定连通图的一个树，则任何连支集合不能构成一个割集；因移去全部连支，剩下的子图（树）仍是连通的，故任何连支集合不能构成割集.② 连通图的每一个树支与一些相应的连支可以构成一个割集。
因移去全部连支，剩下子图为树，再移去一个树支，则树被分离成 21 T T 和两部分，于是联结 21 T T 和的那些连支和这条树支必构成一个割集。
③ 单树支割集（基本割集）由树的一条树支与相应的一些连支所构成的割集为单树支割集。
如下图中 ),,( ),,,( ),,,(d f a f c b e b a④n 个结点和b 条支路的连通图，其树支数为 (n -1)，有(n -1)个单树支割集，称为基本割集组。
电路第五版课件第十五章电路方程的矩阵形式
0 支路 k 与结点 j 无关。
12
ajk：背离1，指向1，无关0。
例1：
按行列写
123456
① -1 -1 +1 0 0 0
Aa=
② ③
0 +1
0 -1 -1 0 +1 0 0 +1 +1 0
④ 0 +1 0 0 -1 -1
②
① i3 3
i2 2
i6 4 i4 ③ 6 i5
5
④ i1 1
注意其特点
注意：同一个图，有许多 不同的树，因此能选出许多 不同的基本割集组。
Q4 (5,6,7,8)
4
Q4 8
Q1 1
5
7 3
Q3
6 2 Q2
9
注意：
①连支集合不能构成割集。 这是为什么呢？
剩下的树支是连通的，不能分离成二个部分
②属于同一割集的所有支路的电流应满足KCL。
KCL适用于任一闭合面 这又是为什么呢？
①每一列只有两个非零元素，一个是1，一个
是1，Aa的每一列元素之和为零；？
②矩阵中任一行可以从其他 n1行中导出，即
只有n1行是独立的。
13
(2)降阶关联矩阵A —表征独立结点与支路的关联性质
②
123456
① -1 -1 +1 0 0 0
A a=
② ③
0 +1
0 -1 -1 0 +1 0 0 +1 +1 0
a
b
e
Q1 a
b e
Q2
a
b
e
d
c
d
c
d
c
f
f
f
第15章电路方程的矩阵形式
(2)保留Q 中的一条支路，其于都移去， G还是连通的。
②
2
1
2
①5
③
1
5
①
43
4
④
6 6
Q1: { 2 , 5 , 4 , 6 }
②
③
3
④
②
②
1
2
①5
③
1
2
①5
③
43 ④6
43 ④6
Q2: { 2 , 3 , 6 }
Q3: { 1 , 5 , 4}
单树支割集（基本割集）
②
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q1: { 2 , 3 , 6 }
设 I I1 I2 Ib T
IS IS1 IS 2 ISb T
15-3 结点电压方程的矩阵形式
Ik
Iek
U Sk
Yk ISk
U k
U U1 U 2 U b T
U S U S1 U S 2 U Sb T
②
基本回路
15.1 割集
基本割集
1
2
①5
③
43 ④6
{1，2，3，4} {1，4，5} {1，2，6}
{1，5，3，6} {2，3，6} {3，4，5}
2. 由某个连支bl确定的单连支回路应包含那些树支，每个
这种树支所构成的基本割集中含有bl 。
②
基本回路
基本割集
1
2
①5
③
43 ④6
{1，2，3，4} {1，4，5} {1，2，6}
u5
节点电压
un1
un
电路第五版课件第十五章电路方程的矩阵形式
a
b
e
Q1 a
b e
Q2
a
b
e
d
c
d
c
d
c
f
f
f
a
b Q3 a
b
e
e
d
c
f
d
c
Q4
f
结论：汇集于 同一结点的支 路都是G的一个 割集。
特点：①全移，G一分为二 ②少移一条，G连通。
3
例：判断下图中各支路集合是否是图G的割集？
Q5
a
b
e
d
c
f
(b, d, e, f )是
Q6
a
b
e
d
c
f
(a, b, c, d ) 也是
Q7
a
b
e
d
c
f
(a, e, f ) 也是
特点：①全移，G一分为二 ②少移一条，G连通。
4
例：判断下图中各支路集合是否是图G的割集？
Q8 a d
b e
c
f
Q9 a d
b e
c
f
少移去e，G仍为两部分， 全移，G被分为三部分，
(a, d, e, f )不是G的割集。 (a, b, c, d ,e )不是G的割集
100
010
BT il=
0 1
0 1
1 0
1 0 1
il1
i1
il1 il2 il3
il2
il3 il1+il2
il1il3
i3 i4 i2 i5
i5 , i6 ]T ②
① i3 3 Ⅱ i2
2
4 i6Ⅲ
i4
第015章_电路方程的矩阵形式
u1 u2
6 1 3 6 31
i
i1 i2 i3 i4 i5 i6
i
这正是回路电流 法的基本思想。
i B T il
i i i
i i
i i i
即为用B表示 KCL的矩阵形式。
17
五、割集矩阵：
1、割集矩阵： 即独立割集矩阵，它反映电路的支 Q1 路与所取的独立割集的关联性。 矩阵元素的取值：
（2）某些列仅有一个非零元素，表示该支路与参考结点相关联。 ②A的物理意义：反映电路的拓扑结构
支路与结点的关联性。
11
3、用A表示的KL的矩阵形式： ①KCL：
i1 i
2 3 4 5 6
证明： G
T1
l1 l2 l3
bt
T2
而且，每一条树支与相应的连支都会构成一个单树支割集。 这种单树支割集又称为基本割集。对于一个G，树支数为 n -1， ∴有n -1个基本割集，称为对一个树的基本割集组。 基本割集组必是独立割集组，但独立割集组不一定是单树 支割集组，因树是一个相对概念，人家可以先（用树）定义一 组独立割集，而后又可以重新定义树。
② 4 6 5 ④ ③
0 k支路与 j 结点不关联 关联，且方向背离该结点 a jk 1 1 关联，但方向为指向结点
② 0 Aa ③ 1 ④ 0
1 ① -1 2 -1 0 3 1 4 0
电路第五版第十五章电路方程的矩阵形式
②(降阶)关联矩阵A
支路b
用关联矩阵A表示的KCL,KVL: ①用A阵表示的KCL(矩阵形式): ①
② ３ ４
６ ２ ④
Ai=0
其中: i i1 i2 ib 支路电流列向量。 例如 以结点④为参考结点 i1
T
５ 1
③
n-1个独立方程
Ai =
-1 -1 1 0 0 0 0 0 -1 -1 0 1 1 0 0 1 1 0
第15章 电路方程的矩阵形式
本章重点
15.1 15.2 15.3* 15.4 15.5 15.6* 15.7* 割集 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 矩阵A、Bf 、Qf 之间的关系 回路电流方程的矩阵形式 结点电压方程的矩阵形式 割集电压方程的矩阵形式 列表法 首页
重点 1. 关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩 阵和基本割集矩阵的概念
３ ① ４
注意
u A un
T
６ ２ ④
返 回
体现了结点法的基本思想。
５ 1
上 页
③
下 页
用关联矩阵A表示的KCL,KVL: ①用A阵表示的KCL(矩阵形式): n-1个独立方程
Ai=0
其中: i i1 i2 ib
T
,支路电流列向量。 体现了结点法 的基本思想
②用A阵表示的KVL(矩阵形式):
３ Ⅰ1 ２ ④ Ⅲ 6 ４ Ⅱ ５
B u = 0, 或 Bf u = 0
例如
Bu =
1 1 1 0 0 0 -1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 -1 1
0 u1 u2 u3 u1 u4 u5 0 0 u1 u3 u5 u6
电路第15章电路方程的矩阵形式
利用矩阵形式的电路方程，可以对电路中的元件参数进行 识别和估计，例如通过测量节点电压和支路电流来计算元 件的电阻、电容、电感等参数。
系统分析和控制
矩阵形式的电路方程可以用于系统分析和控制，例如稳定 性分析、频率响应分析、最优控制等。
02 电路元件的矩阵表示
电阻元件的矩阵表示
总结词
电阻元件在矩阵形式中表示为对角线矩阵，对角线上的元素为电阻值。
矩阵元素的选取
矩阵中的元素根据电路元件的类 型和连接方式进行选取，通常包 括电阻、电容、电感等元件的参 数。
矩阵形式的优点
矩阵形式能够简化电路的分析和 计算过程，提高计算效率和精度， 适用于大规模复杂电路的分析。
矩阵形式的电路方程
节点电压方程
在电路中选取节点电压作为未知 量，根据基尔霍夫定律建立节点 电压方程，并将其表示为矩阵形
线性
电路的输出信号与输入信号成正比，满足叠加定 理。
3
时不变
电路的参数不随时间变化。
线性时不变电路的矩阵形式
矩阵形式的电路方程
将电路中的元件参数和连接关系表示为矩阵形式，以便于分析和 计算。
状态变量
描述电路中电压和电流变化的变量，通常用向量表示。
状态方程
描述电路中状态变量之间关系的方程，通常表示为矩阵形式。
矩阵形式的电路方程广泛应用于电子工程、通信工程、控制工程等多个领域，尤其在处理大规模复杂电 路时表现出显著的优势。
电路方程的矩阵形式的展望
01
矩阵形式的进一步研究
随着电子技术和计算机技术的不断发展，对电路方程的矩 阵形式的研究将更加深入。未来研究将更加注重矩阵形式 的数学基础、算法优化和数值稳定性等方面。
02 03
电路第五版邱关源原著电路教案第15章
第15章电路方程的矩阵形式●本章重点1、了解图有关的概念；2、掌握与图的描述有关的三个矩阵；3、基本回路与基本割集的选择；4、状态方程的列写方法。
●本章难点1、复杂电路建立状态方程。
●教学方法本章主要讲述了图论中的基本概念、三个重要矩阵（关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵）及由此导出的KCL、KVL矩阵方程，最后，讲述了列写电路的状态方程的两种方法，即直观法和系统法。
对重点内容，课堂上不仅要把概念讲解透彻，并通过讲例题加以分析，课下布置一定的作业，使学生加深对内容的理解并牢固掌握。
本章讲授共用4课时。
对回路电流方程、节点电压方程、割集电压方程和列表方程等内容以自学为主。
●授课内容15.1割集一、图的概念1，图(线图)：线段（支路）与点（节点）的集合。
2，有向图：标出支路电压，电流参考方向的图。
3，连通图：任意两个节点间至少存在一条由支路构成的路径。
4，子图：若图G1中所有支路和节点都属于图G，就把G1称为G的子图。
二、树、基本回路、割集(a) (b) (c)(d) (e) (f)1、树1）定义：在连通图G中，把所有的节点连通起来，但不包含任一闭合路径的部分线图称为一棵树。
①含所有节点，②不具有回路，③连通的，④为G的子图。
电路的图G如图(a)所示，图(b)为图G的一棵树，图(c)不是图G的树（未含所有节点）；图(d)不是图G的树（出现了回路）；图(e)不是图G的树（不是连通图）；图(f)不是图G的树（不是图G的子图）。
2）树支：属于一棵树的支路称为该树的数支。
树支数＝n－1＝独立节点数3）连支：不属于一棵树的支路称为该树的连支。
连支数＝b-(n-1)=独立回路数。
连支的集合称为余树、补树2、基本回路：在图G中选取一棵树后，由一条连支及相应的树支所构成的回路称为该树的基本回路(单连支回路)。
1）基本回路数=连支数。
2）基本回路的KVL方程相互独立。
3）不同的树对应于不同的基本回路。
3、割集：图G中所有被切割支路的集合同时满足下列两个条件时称为割集。
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[A][ i ]=0
B i it
T t l
it Ql il
A u u
T n
[B][u]=0 ul= - Btut
[Q]T [ ut]=[u]
ul QlT ut
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15.3* 矩阵A、Bf 、Qf 之间的关系
三个矩阵从不同角度表示同一网络的连接性 质，它们之间自然存在着一定的关系。
割集：(1 9 6) (2 8 9) (3 6 8) (4 6 7) (5 7 8)
1 9
2
6 3
4 7
5
8
问题
(3 6 5 8 7) , (3 6 2 8)是割集吗？
基本割集
只含有一个树枝的割集。割集数 ＝n-1
1 9 6 3 4 7 5
2
注意
8
① 连支集合不能构成割集。
②属于同一割集的所有支路的电流应满足KCL。 当一个割集的所有支路都连接在同一个结点 上，则割集的KCL方程变为结点上的KCL方 程。
矩阵形式的KVL：[ Qf ]T[ut ]=[u]
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注意 连支电压可以用树支电压表示。 ut 1 T [u ] Qf ut T ut ul Ql ul QlT ut 小结
A KCL KVL B [B ] T [ il ] =[i] Q [Qf][i]=0
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2. 关联矩阵A
用矩阵形式描述结点和支路的关联性质。n个 结点b条支路的图用nb的矩阵描述： 支路b 注意 结 每一行对应一个结点， Aa= 点 每一列对应一条支路。 n
n b
矩阵Aa的每一个元素定义为：
ajk
ajk=1 支路 k 与结点 j 关联，方向背离结点； ajk= -1 支路 k 与结点 j 关联，方向指向结点； ajk =0 支路 k 与结点 j 无关。
u1 u 2 u5 u3 u 2 u 6 0 u 4 u5 u 6
矩阵形式的KVL：[ B ][ u ]= 0
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注意 连支电压可以用树支电压表示。 ul [1 Bt ] 0 [ Bf ][ u ]= 0 ut
矩阵形式的KCL：[ Qf ][i ]=0
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②用[Qf]T表示矩阵形式的KVL方程 设树枝电压（或基本割集电压）：ut=[ u1 u2 u3 ]T
ut1 u1 1 0 0 u u 0 1 0 t2 2 ut1 T 0 0 1 u ut 3 u3 u Q f ut 1 0 1 t 2 u u u ut 3 t 1 t 3 4 1 1 0 ut1 ut 2 u5 0 1 1 ut2 ut 3 u6
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结 1 Aa= 2 3 4
支
1 -1 0 1 0
2 3 -1 1 0 -1 0 0 1 0
4 0 -1 1 0
5 0 0 1 -1
6 0 1 0 -1
支路b
A=
结 点 n-1
(n-1) b
降阶关联矩阵A
特点 A的某些列只具有一个+1或一个－1，这样
的列对应与划去结点相关联的一条支路。被划去的 行对应的结点可以当作参考结点。
n-1个独立 方程
i i i i i i i i i
矩阵形式的KCL: [ A ][ i ]= 0
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②用矩阵[A]T表示矩阵形式的KVL方程。
设:
u u1 u2 u3 u4 u5 u6
T
1 0 1 un1 u n3 u 1 0 0 n1 un1 T 1 1 0 un1 un 2 A un un 2 un2 0 1 0 u n 3 0 0 1 u n 3 0 1 0 un 2
1. A与B 之间的关系
对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：
B A
u A T un B u 0
T
BA u 0
T n
0 or
A B
T
0
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2. Bf 与Qf 之间的关系
对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：
例
４ ５ 1
Q1: {1, 4, 5} Q2: {2, 5, 6} Q3: {3, 4 , 6}
③
２ ④
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支
割集
1 2
3 4 5 6
３ ① ２
②
４ ６
Q1 1 0 0 1 1 0 [Qf]=Q2 0 1 0 0 -1 -1 Q3 0 0 1 1 0 -1
５ ④
1
③
Qt
Ql
[1 Ql ]
② ４
1 [B] = 2 3
1６ 2 ① ③ ５ ２ 3 ④ 1 注意 给定B可以画出对应的有向图。 0 1 1 0 0 1 0 0 0 -1 1 -1 1 -1 0 0 -1 0
基本回路矩阵Bf 独立回路对应一个树的单连枝回路得基本 回路矩阵[Bf]
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
规定 ① 连支电流方向为回路电流方向；
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关联矩阵A的作用 ①用关联矩阵A表示矩阵形式的KCL方程； 设:
i i1
i2 i3 i4 i5 i6
T
以结点④为参考结点 -1 -1 1 0 0 0 [A][ i ]= 0 0 -1 -1 0 1 1 0 0 0 1 0
i1 i 2 1 2 3 i 0 3 3 4 6 i 4 1 4 5 i 5 i 6
un1 un un2 un3
u1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6
矩阵形式的KVL
[u ] [ A] [un ]
T
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2. 回路矩阵B
独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵B描述。
ul+Btut=0
ul= - Btut
T
②用回路矩阵[B]T表示矩阵形式的KCL方程 设：[i ] [i1 i3
i4 i2 i5 i6 ]
il1 i il l 2 il 3
独立回路电流
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1 0 0 1 1 0
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注意
③对应一组线性独立的KCL方程的割集称为独 立割集 ，基本（单树支）割集是独立割集， 但独立割集不一定是单树支割集。
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15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
1. 图的矩阵表示
图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质， 即KCL和KVL的矩阵形式。有三种矩阵形式： 结点 回路 割集 支路 支路 支路 关联矩阵 回路矩阵 割集矩阵
1 9 2 6 3 8 4 7 5
割集：(1 9 6) (2 8 9) (3 6 8) (4 6 7) (5 7 8)
问题
(3 6 5 8 7) , (3 6 2 8)是割集吗？
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注意 割集的判定
• 在图G中任意做一个封闭曲面，使其包围G 的某些结点（也可能包围某些支路），并 切割某些支路，被切割（只切割一次）的 所有支路就构成了G的一个割集Q。
Bl
Bt
= [1 Bt ]
回路矩阵[B]的作用
①用回路矩阵[B]表示矩阵形式的KVL方程；
设
[u ] [u1 u3 u4 u2 u5 u6 ]
ul
ut u
u 3 u 4 u 2 u 5 u 6
1
l个独立 KVL方程
1 0 0 -1 -1 0 [ B ][ u ]= 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 -1 1
独 立 回 路
支路b
注意
每一行对应一个独立回路， 每一列对应一条支路。
[B]=
l b
l 矩阵B的每一个元素定义为： 1 支路 j 在回路 i 中，且方向一致；
bij
-1 支路 j 在回路 i中，且方向相反； 0 支路 j 不在回路 i 中。
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例 取网孔为独立回路，顺时针方向
支1 2 回 3 4 5 6 ３
i B T il Q i 0
QB i 0
T l
Q B
T f f
T
0 or
②
矩阵形式的KCL： [ B ]T[ il ]=[ i ]
注意 树支电流可以用连支电流表出。
1 [Bf ] T Bt
T
1 il BT [il ] i t t
B i it
T t l
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3. 基本割集矩阵[Qf]
割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述， 这里主要指基本割集矩阵。 支路b 注意 割 [Q]= 集 (n-1)b 每一行对应一个割集, 每一列对应一条支路. 数 矩阵Q的每一个元素定义为：
第15章 电路方程的矩阵形式
本章重点
15.1 15.2 15.3*
割集 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 矩阵A、Bf 、Qf 之间的关系
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重点 1. 关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩 阵和基本割集矩阵的概念
2.
回路电流方程、结点电压方程和割