七年级数学一元二次方程及其解法(配方法,公式法)人教实验版五四制知识精讲
一元二次方程(配方法)课件
一元二次方程（配方法）PPT课件大纲
一元二次方程的基础知识
定义
一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的方程，其中 a、b、c是已知的常数，a≠0。
求解方法
可以通过配方法、公式法和因式分解法等方法 求解一元二次方程
什么是配方法
配方法是解决一元二次方程的一种常用方法，通过变形将方程转化为可简化 求解的形式。 它能够帮助我们更快地求解一元二次方程，提高问题解决的效率。
配方法计算基本分类
标准型
形如ax²+bx+c=0，其中a、b、c都是已知的数值。
非标准型
形如ax²+bx=0或ax²+c=0，其中a、b、c都是已知 的数值。
配方法计算基本技巧
• 注意二次项系数的正负符号对应方程的特点。 • 通过变形，将方程转化为可简化求解的形式（平方差或平方和）。 • 利用求解一元二次方程的公式法或因式分解法来完成求解。
配方法的优缺点分析
优点
能够求解一元二次方程的实数解，适用于各种类型的问题。
2 缺点
对于非标准型方程，计算过程可能比较复杂。
配方法的思路和步骤
1
思路
关键思路是要将一元二次方程转化为平方差或平方和的形式，以便简化计算。
2
步骤
1. 根据方程形式，确定合适的变形方式。
2. 利用变形方式，将方程转化为可简化求解的形式。
3. 根据简化后的方程，求解得到方程的解。
3
技巧
在选择变形方式时，要根据方程的特点和计算的便利性进行选择，灵活运用数学知识。
如何确定配方法的计算方式
考虑方程的特点和计算的便利性，选择合适的配方法计算方式。
《一元二次方程——用配方法求解一元二次方程》数学教学PPT课件(3篇)
B．非负数
C．正数
D．无法确定
（来自《典中点》）
)
知1－练
3
解下列方程：
（1）x2－10x+25=7；
（2）x2－14x=8；
（3）x2+3x=1；
（4）x2+2x+2=8x+4.
（来自教材）
知2－导
知识点
2
用配方法解一元二次方程
探究：
怎样解方程x2＋6x＋4＝0?
我们已经会解方程(x＋3)2＝5.因为它的左边是含有x的完全
平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程．那么，
能否将方程x2＋6x＋4＝0转化为可以直接降次的形式再求解呢？
知2－讲
例2 解下列方程．
(1)x2－8x＋1＝0；
(2)2x2＋1＝3x；
(3)3x2－6x＋4＝0.
分析：
(1)方程的二次项系数为1，直接运用配方法．
(2)先把方程化成2x2－3x＋1＝0.它的二次项系数
知1－讲
总 结
用直接开平方法解一元二次方程时，首先将方程化成左边是含有
未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，然后根据平方根的定义
求解．当整理后右边为0时，方程有两个相等的实数根．
（来自《点拨》）
知1－练
1
方程x2－3＝0的根是________.
2
对于方程x2＝m－1.
(1)若方程有两个不相等的实数根，则m________；
对照上面解方程(Ⅰ)的过程，你认为应怎样解
方程(x＋3)2＝5?
在解方程(Ⅰ)时，由方程x2＝25得x＝±5.
由此想到：由方程 (x＋3)2＝5，②
得
x＋3＝± 5 ，
人教版初中数学中考复习一轮复习——一元二次方程解法及其应用(1)
D 1．(2021·河南) 若方程 x2-2x+m=0没有实数根，则 m的值可以是（ ）
A．-1
B．0
C．1
D． 3
2．（2021•岳阳）已知关于x的一元二次方程x2+6x+k＝0有两个相等 的实数根，则实数k的值为 k 9．
3．（2021•台州）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，
a 1,b 3, c 4
b2 4ac -3 2 41（- 4） 9 16 25 0
所以方程有两个不等实数根
x b 3 25 3 5
2a
2
2
x1 4, x2 1
考点二：一元二次方程的解法
1x2 3x 4
2x2 6x 7 0
32 x2 4x 5 0
解：a 1,b (k 3),c 1 k
b2 4ac (k 3)2 41 (1 k) k 2 2k 5 k 2 2k 1 4 (k 1)2 4
因为(k 1)2 4 0, 所以方程有两个不等实数根。
考点三：判别式和一元二次方程根的情况
5．（2021•烟台）已知关于x的一元二次方程x2﹣mnx+m+n＝0，其中
考点二：一元二次方程的解法
2.配方法
对应练习： 1x2 4x 1 0
22x2 8x 3 0
12x2 1 3x
22x2 8x 3 0 x2 4x 3 0
2
x2 4x 3 2
x2 4x 4 3 4 2
x22 11 2
x 2 22 2
x1 2
22 ,x 2
变式2．若方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的 取值范围是（a 1且a 0 ）
一元二次方程知识总结及习题
一元二次方程的定义与解法知识点一 一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
注：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2。
同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
例 下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？⑴3522=+x ；⑵062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ；（5）12)3(22+=-x x x知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。
其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
注：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。
例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）x x 2752=； （2）()()832=+-x x ； （3）()()()22343+=+-x x x例2 已知关于x 的方程()()021122=-+--+x m x m m 是一元二次方程时，则=m知识点三 一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解例 1 关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 有一个根为0，则=a例 2 已知关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有一个根为1，一个根为1-，则=++c b a ，=+-c b a例3 已知c 为实数，并且关于x 的一元二次方程032=+-c x x 的一个根的相反数是方程032=-+c x x 的一个根，求方程032=-+c x x 的根及c 的值。
用配方法求解一元二次方程ppt课件
考
点 适用直接开平方法的形式，利用直接开平方法求解.
清
［答案］解：（1）2x2=6，x2=3，
单
解
∴x=± ，∴x1= ，x2=- ；
读
（2）（x+1）2-8=0，移项，得（x+1）2=8，开平方，得
x+1=±2
，解得 x1=-1+2 ，x2=-1-2 ；
清
单 方程，一元二次方程的解有两个，特别注意开方后不要丢掉
解
读 负值.
2.2 用配方法求解一元二次方程
考
点
清
单
解
读
对点典例剖析
典例1 用直接开平方法解下列方程：
（1）2x2=6；
（2）（x+1）2-8=0；
（3）4x2+1=-4x；
（4）9（x-1）2=16（x+2）2．
2.2 用配方法求解一元二次方程
难
2-16=0；
例
解方程：（1）4（x-1）
题
型
（2）2x2+4x-1=0．
突
破
2.2 用配方法求解一元二次方程
重
［答案］ 解：（1）整理，得（x-1）2=4，开方，得
难
题 x-1=2 或 x-1=-2，解得 x1=3，x2=-1；
型
2
2
突
（2）整理，得 x +2x= ，配方，得 x +2x+1= +1，
2.2 用配方法求解一元二次方程
考
点
清
单
解
读
■考点一
原理
一般
人教版七年级公式法解一元二次方程说课ppt课件图文
教材分析
地位与作用
（1）在上节课学习了利用配方法解一元二次方程，为 本节课求根公式的推导打下了基础，有利于难点的突破。
（2）另外学生在八上《实数》一章中，学习了被 开方数的非负性，并掌握了开平方运算，为这节课理 解求根公式的应用条件奠定了基础。
我爱祖国，但用的是奇异的爱情！
是初中方程中的一个重要内容乊一是建立在学习了直接开平方法配方法解一元二次方程的基础乊上的内容掌握此方法是培养学生由特殊到一般的解题思路教材分析地位与作用
我爱祖国，但用的是奇异的爱情！
公式法解元二次方程
我爱祖国，但用的是奇异的爱情！
公 式 法 解 一 元 二 次 方 程
教材分析 教法分析 学法分析 教学过程 教学评价
我爱祖国，但用的是奇异的爱情！
教学过程
课时小结
本节课你学会了哪些知识？
（1） 学生作知识总结：本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方 程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并按照公式法的步骤解一元二 次方程．
（2）我扩展：（方法归纳）求根公式是一元二次方程的专用公式， 只 有在确定方程是一元二次方程时才能使用，是常用而重要的一元二次方程 的万能求根公式
①此时可以直接开平方吗？需要注意什么？ ②等号右边的值有可能为负吗？说明什么？
b 4ac 2
让小组交流、讨论达成共识。学生会对
进行讨论，分类思想也
是今后常用的一种思想，应加以强化。
设计意图：师生共同完成前四步，这样与利于减轻学生的思维负担，便 于将主要精力放在后边公式的推导上。通过小组的讨论有利于发挥学生 的互帮互助；有利于突破难点。
我爱祖国，但用的是奇异的爱情！
教学评价
《解一元二次方程》一元二次方程PPT课件(公式法)
配方,得
即
x2
b
c
x .
a
a
2
2
b
c b
b
x2 x ,
a
a 2a
2a
b b 2 4ac
.
x
2
2a
4a
2
②
b b 2 4ac
对于 x
. ②
2
2a
4a
2
因为a≠0,
由②式得
∴ 原方程无实数根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1.变形: 化已知方程为一般形式;
2.确定系数:确定a,b,c的值（注意符号）;
3.计算: 求出b2-4ac的值;
4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
★ 根的判别式
b b 2 4ac
3 x 2 6 x 5 0;
（1）
（2）
4 x 2 -x-9 0.
2、用配方法解方程的一般步骤有哪些？
一般步骤
方法
一移
移项
将常数项移到右边，含未知数的项移到左边
二化
二次项系数化为1
左、右两边同时除以二次项系数
三配
配方
左、右两边同时加上一次项系数一半的平方
四开
开平方
利用平方根的意义直接开平方
＝
−1 ± 1.96 −1 ± 1.4
＝
，
2 × 0.3
0.6
2
∴ 1＝ ，2＝ − 4.
3
(2)6x2－11x＋4＝2x－2；
七年级数学一元二次方程的解法(因式分解法)人教实验版五四制知识精讲
七年级数学一元二次方程的解法（因式分解法）人教实验版五四制【本讲教育信息】一. 教学内容：一元二次方程的解法（因式分解法）二. 基础知识：利用因式分解解一元二次方程重点：用因式分解法解一元二次方程难点：因式分解解一元二次方程的基本方法及如何灵活选用适当方法解一元二次方程【典型例题】[例1] 用不同的方法解2532=-x x解法一：（因式分解法） 02532=--x x∴0)2)(13(=-+x x ∴013=+x ，02=-x ∴311-=x ，22=x 为原方程的解 解法二：（公式法）3=a ，5-=b ，2-=c∴4942=-=∆ac b ∴675242±=-±-=a ac b b x ∴311-=x ，22=x 解法三：（配方法）方程两边都除以3得，32352=-x x222)65(32)65(35+=+-x x ∴3649)65(2=-x ∴6765±=-x ∴311-=x ，22=x[例2] 解下列方程（用因式分解法）（1）)51)(23()4)(32(x x x x --=+-（2）22)6(16)3(49+=-x x（3）0625412=-+x x （4）x x x x 324)3()5()4(222-=-++-+解：（1）原方程可化为0)51)(23()4)(23(=--++-x x x x∴0)45)(23(=--x x∴023=-x 或045=-x ∴321=x ，452=x （2）原方程化为0)]6(4[)]3(7[22=+--x x∴0)]6(4)3(7)][6(4)3(7[=+--++-x x x x∴0)453)(311(=-+x x ∴1131-=x ，152=x （3）原方程化为024102=-+x x∴0)2)(12(=-+x x ∴121-=x ，22=x（4）原方程可化为02452=--x x∴0)3)(8(=+-x x ∴81=x ，32-=x[例3] 解下列关于x 的方程（1）22)23(b b a x a x =+--（2）abx x b a 4)1)((222=--|)||(|b a ≠解：（1）原方程化为0)2(3222=--+-b ab a ax x∴0)]()][2([=--+-b a x b a x∴0)2(=+-b a x 或0)(=--b a x∴b a x +=21或b a x -=2（2）原方程化为0)(4)(22222=----b a abx x b a 0)]())][(()[(=+---++b a x b a b a x b a∴0)()(=-++b a x b a 或0)()(=+--b a x b a∵||||b a ≠∴0≠+b a ，0≠-b a ∴b a a b x +-=1，b a b a x -+=2[例4] 解下列方程（1）04)21(3)21(2=----x x（2）04)1(5)1(222=+---x x（3）05624=+-x x解：（1）原方程化为04)21(3)21(2=----x x 0)421)(121(=--+-x x ∴211-=x 292=x （2）由已知，令12-=x y ，则原方程化为 0452=+-y y ∴0)4)(1(=--y y∴11=y ，42=y当1=y 时，112=-x ∴21=x ，22-=x当4=y 时，412=-x ∴53=x ，54-=x∴21=x ，22-=x ，53=x ，54-=x（3）∵05624=+-x x ，令y x =2原方程化为0562=+-y y0)5)(1(=--y y ∴11=y ，52=y当1=y 时，12=x ∴11=x ，12-=x当5=y 时，52=x ∴53=x ，54-=x[例5] 方程0120032001)2002(2=-⨯-x x 的较大根为a ，方程 020*******=--x x 的较小根为b ，求2007)(b a +的值。
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七年级数学一元二次方程及其解法（配方法，公式法）人教实验版五
四制
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
一元二次方程及其解法（配方法，公式法）
二. 基础知识：
1. 一元二次方程的概念
2. 降次解一元二次方程
① 用配方法解一元二次方程（配方法解方程的一般步骤应重点掌握）
② 用公式法解一元二次方程（公式的推导方法是应重点掌握）
三. 重点和难点：
1. 重点：一元二次方程的概念和公式法解一元二次方程
2. 难点：配方法解方程
【典型例题】
[例1] ① 下列关于x 的方程
（1）02=++c bx ax
（2）0342=-+x x （3）0432=+-x x （4）0352=+-x x
中，一元二次方程的个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 解：选A
根据一元二次方程定义易知（2）（3）不是一元二次方程，而（1）当0=a 时，方程就不是一元二次方程了。
② 下列关于x 的方程
（1）02=++c bx ax （2）0652
=++k k
（3）02
142333=--x x （4）023)3(22=-++x x m 中，是一元二次方程的为。
（只填代号）
解：应填（4）
由（1）可知，（1）不一定为一元二次方程，而（4）中032>+m ，所以应为一元二次方程
[例2] 解方程：1422-=x x
解法一：（配方法）
将方程变形为1422-=-x x
方程两边都除以2，得2122-
=-x x 配方，得22212112+-=+-x x ，即2
1)1(2=-x 解得2
21±=x ∴2211+
=x 2212-=x 解法二：（公式法）
将方程变形为01422
=+-x x
∵2=a ，4-=b ，1=c
∴8816124)4(422=-=⨯⨯--=-ac b ∴4
2242284242±=⨯±=-±-=a ac b b x ∴2211+
=x 2212-=x
[例3] 已知关于x 的方程12)3(-+m x m 01)1(2=--+x m
（1）m 为何值时，它是一元二次方程，并求出此方程的解；
（2）m 为何值时，它是一元一次方程。
解：（1）要使方程为一元二次方程，则必须满足
⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+2
1032m m 解得3=m 当3=m 时，原方程为一元二次方程 此时，方程为01)13(2322=--+x x ∵32=a )13(2-=b 1-=c ∴16)1(324)13(4422=-⨯⨯--=-ac b ∴3
442323224)13(2242±+-=⨯±--=-±-=a ac b b x ∴2131-=x ，6
332+-=x （2）若使原方程为一元二次方程，则应分以下几种情况进行讨论： ①⎩⎨⎧≠-=+010
3m m 解得3-=m ②⎪⎩⎪⎨⎧≠+++=-0
)1(23112m m m 解得2±=m ③⎩⎨⎧≠-=-0
)1(2012m m 解得1-=m
∴ 当3-=m 或2±
或1-时，原方程是一元二次方程
[例4] 关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是0，求a 。
解：∵01)1(22=-++-a x x a 是一元二次方程
∴01≠-a ∴1≠a
把0=x 代入原方程中，得12=a
∴1±=a ∵1≠a ∴1-=a
[例5] 已知一个直角三角形的两直角边的长恰是方程07822
=+-x x 的两个根，求这个直角三角形的斜边长。
解：∵2=a ，8-=b ，7=c
∴85664724)8(422=-=⨯⨯--=-ac b ∴2
242288242±=⨯±=-±-=a ac b b x ∴2241+=x 2
242-=x ∴ 斜边长为34
)24(4)24(2
2=-++
[例6] 已知c 为实数，并且方程032=+-c x x 的一个根的相反数是方程032
=-+c x x 的一个根，求方程032=-+c x x 的根及c 的值。
解：设方程032=+-c x x 的一个根为0x ，则由题意：
⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=+-)2(0)(3)()1(03020020c x x c x x （1）－（2）得0=c
当0=c 时，方程032=-+c x x 化为032=+x x
解得01=x ，32-=x
[例7] 若方程012=++mx x 与方程02
=--m x x 只有一个相同的实数根，求m 的值。
解：设两个方程相同的实数根为0x ，则
01020=++mx x ①0020=--m x x ② ①－②得0)1()1(0=+++m x m
即0)1)(1(0=++x m
∴1-=m 或10-=x
当1-=m 时，两个方程相同且方程无解 ∴1-=m （舍）
当10-=x 时，0)1()1(2=----m ，2=m
[例8] 有一种特殊材料制成的质量为30克的泥块，现将它切成大小两块，将较大泥块放在一架不等臂的天平的左盘中，称得质量为27克；又将较小泥块放在该天平的右盘中，称得质量为8克，若只考虑天平的臂长不等，其他因素忽略不计，请你依据物理学中的杠杆的平衡原理，求出较大泥块和较小泥块的质量。
解：设较大泥块的质量为x 克，则较小泥块的质量为)30(x -克。
若天平左、右臂长分别为acm 和bcm ，由杠杆平衡原理，得
⎩⎨⎧-==)
2)(30(8)1(27x b a b ax 由（1）÷（2）得)30(:278:x x -=
由比例的性质，得278)30(⨯=-x x
整理得0216302
=+-x x
解得181=x ，122=x
由题意18=x 时，1230=-x 12=x 时不合题意舍去
答：较大泥块质量为18克，较小泥块质量为12克。
【模拟试题】
1. 用配方法解方程：01622=+-x x
2. m 为何值时，关于x 的方程m x m x m m 5)1()2(2=+--是一元二次方程？
3. 用适当方法解下列方程： ①02)52(2
12=--x ②03762=-+x x ③0154)53(22=++-x x
【试题答案】 1. 2731+=x ，2732-=x 2. 2-=m
3. ①271=x ，232=x ②311=x ，232-=x ③321=x ，522=x。