最新七年级数学试卷整式乘法与因式分解易错压轴解答题试题(附答案)

最新七年级数学试卷整式乘法与因式分解易错压轴解答题试题(附答案)

一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题

1．

（1）计算并观察下列各式：

________；

________；

________；

（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填写下面的空格.

________；

（3）利用该规律计算： .

2．好学小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：( x+4)(2x+5)(3x-6)的结果是一个多

项式，并且最高次项为：x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×(-6)=-120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数

就是： ×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次项为-3x．

请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．

（1）计算(x+2)(3x+1)(5x-3)所得多项式的一次项系数为________．

（2）( x+6)(2x+3)(5x-4)所得多项式的二次项系数为________．

（3）若计算(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多项式不含一次项，求a的值；

（4）若(x+1)2021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2020x+a2021，则a2020=________．

3．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如， ···，因此都是奇巧数.

（1）是奇巧数吗？为什么？

（2）奇巧数是的倍数吗？为什么？

4．如图1，有A型、B型正方形卡片和C型长方形卡片各若干张.

（1）用1张A型卡片，1张B型卡片，2张C型卡片拼成一个正方形，如图2，用两种方法计算这个正方形面积，可以得到一个等式，请你写出这个等式________；

（2）选取1张A型卡片，10张C型卡片，________张B型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含a，b的代数式表示为________；

（3）如图3，两个正方形边长分别为m、n，m+n=10，mn=19，求阴影部分的面积. 5．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 .例如：是的一种形式的配方，是的另一种形式的配方

请根据阅读材料解决下列问题：

（1）比照上面的例子，写出的两种不同形式的配方；

（2）已知，求的值；

（3）已知，求的值.

6．如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四块完全一样的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形。

（1）图2中的阴影部分的正方形的边长是________。

（2）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，并写出下列三个代数式：(a+b)²，(a-b)²，ab之间的等量关系；

（3）利用(2)中的结论计算：x-y=2，xy= ，求x+y的值；

（4）根据(2)中的结论，直接写出m+ 和m- 之间的关系；若m²-4m+1=0，分别求出m+

和(m- )2的值。

7．【阅读与思考】

整式乘法与因式分解是方向相反的变形.如何把二次_一项式ax2+bx+c进行因式分解呢?我们已经知道，(a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2.反过来，就得到：a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2).

我们发现，二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1， a2， c1，

c2，如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么ax2+bx+c就可以分解为(a1x+c1)(a2x+c2)，其中a1， c1位于图的上一行，a2， c2位于下一行.

像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”.

例如，将式子x2-x-6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项-6也分解为两个因数的积，即-6=2×（-3)；然后把1，1，2，-3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(-3)+1×2=-1，恰好等于一次项的系数-1，于是x2-x-6就可以分解为(x+2)(x-3).

（1）请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：x2+x-6=________.

（2）【理解与应用】

请你仔细体会上述方法，并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：

Ⅰ.2x2+5x-7=________；

Ⅱ.6x2-7xy+2y2=________ .

（3）【探究与拓展】

对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解.如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=(mx+py+j)(nx+qy+k)，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：

Ⅰ.分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-4=________ .

Ⅱ.若关于x，y的二元二次式x2+7xy-18y2-5x+my-24 可以分解成两个一次因式的积，求m的值.________

Ⅲ.己知x，y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+3y=-1，请写出一组符合题意的x，y的值.________

8．

（1）若m2+n2=13，m+n=3，则mn=________ 。

（2）请仿照上述方法解答下列问题：若(a-b-2017)2+(2019-a+b)2=5，则代数式的值为________。

9．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如8=32-12， 16=52-32， 24=72-52，因此，8，16，24这三个数都是“和谐数”．

（1）在32，75，80这三个数中，是和谐数的是________；

（2）若200为和谐数，即200可以写成两个连续奇数的平方差，则这两个连续奇数的和为________；

（3）小鑫通过观察发现以上求出的“和谐数”均为8的倍数，设两个连续奇数为2n-1和2n+1（其中n取正整数），请你通过运算验证“和谐数是8的倍数”这个结论是否符合题意．

10．认真阅读材料，然后回答问题：

我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：

上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：

（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；

（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和．

（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．

11．已知A=2 a -7，B=a2- 4a+3，C= a2 +6a-28，其中．

（1）求证：B-A＞0，并指出A与B的大小关系；

（2）阅读对B因式分解的方法：

解：B=a2- 4a+3=a2- 4a+4-1=（a-2）2-1=（a-2+1）（a-2-1）=（a-1）（a-3）.

请完成下面的两个问题：

①仿照上述方法分解因式：x2- 4x-96；

②指出A与C哪个大？并说明你的理由．

12．乘法公式的探究及应用.

（1）如图，可以求出阴影部分的面积是________（写成两数平方差的形式）；

（2）如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是________，长是________，面积是________（写成多项式乘法的形式）

（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：________（用式子表达）（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：

① ，②

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题

1．（1）；；

（2）

（3）解：

＝

＝ .

【解析】【解答】（1）（x-1）（x+1）=x2+x-x-1=x2-1；

（x-1）（x2+x+1）=x3+x2+x--x2-x-1=x3-1；

解析：（1）；；

（2）

（3）解：

＝

＝.

【解析】【解答】（1）（x-1）（x+1）=x2+x-x-1=x2-1；

（x-1）（x2+x+1）=x3+x2+x--x2-x-1=x3-1；

（x-1）（x3+x2+x+1）=x4+x3+x2+x-x3--x2-x-1=x4-1；

故答案为：x2-1，x3-1，x4-1.

【分析】（1）利用多项式乘以多项式的法则：用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把它们的积相加，可得结果。

（2）根据（1）中的规律可得答案。

（3）将原式转化为（x-1）（x n+x n-1++x+1）=x n+1-1（n为正整数），因此只需在原式乘以

，就可得出结果。

2．（1）-11

（2）63.5

（3）由题意可得(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)一次项系数是：

1×a×（-1）+（-3）×1×（-1）+2×1×a = a+3=0

∴a=-3．

解析：（1）-11

（2）63.5

（3）由题意可得(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)一次项系数是：

1×a×（-1）+（-3）×1×（-1）+2×1×a = a+3=0

∴a=-3．

（4）2021．

【解析】【解答】解：（1）由题意可得(x+2)(3x+1)(5x-3)一次项系数是：1×1×（-3）+3×2×（-3）+5×2×1=-11．（2）由题意可得( x+6)(2x+3)(5x-4) 二次项系数是：

．（4）通过题干以及前三问可知：一次项系数

是每个多项式的一次项分别乘以其他多项式常数项然后结果相加可得．

所以(x+1)2021一次项系数是：a2020=2021×1=2021．

【分析】（1）求一次项系数，用每个括号中一次项的系数分别与另外两个括号中的常数项

相乘，最后积相加即可得出结论．（2）求二次项系数，还有未知数的项有x、2x、5x，选出其中两个与另一个括号内的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（3）先根据（1）（2）所求方法求出一次项系数，然后列出等式求出a的值．（4）根据前三问的规律即可计算出第四问的值．

3．（1）解：36是奇巧数，理由：；

50不是奇巧数，理由：找不到连续的两个偶数平方差为50

（2）解：设两个连续的偶数为n+2、n，

则，奇巧数是 4 的倍数.

【解析】【分析】

解析：（1）解：36是奇巧数，理由：；

50不是奇巧数，理由：找不到连续的两个偶数平方差为50

（2）解：设两个连续的偶数为n+2、n，

则，奇巧数是的倍数.

【解析】【分析】（1）根据定义是两个现需偶数的平方差判断即可.（2）将进行运算、化简，便可发现是4的倍数.

4．（1）(a+b)2=a2+b2+2ab

（2）25；a+5b

（3）解：阴影部分的面积为

则阴影部分的面积为

=432

答：阴影部分的面积为 432 .

【解析】【解答

解析：（1）

（2）25；

（3）解：阴影部分的面积为

则阴影部分的面积为

答：阴影部分的面积为 .

【解析】【解答】（1）方法一：这个正方形的边长为，则其面积为

方法二：这个正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积之和则其面积为

因此，可以得到一个等式

故答案为：；

（ 2 ）设选取x张B型卡片，x为正整数

由（1）的方法二得：拼成的正方形的面积为

由题意得：是一个完全平方公式

则

因此，拼成的正方形的面积为

所以其边长为

故答案为：25，；

【分析】（1）方法一：先求出这个正方形的边长，再利用正方形的面积公式即可得；方法二：这个正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积之和即可得；然后根据方法一与方法二的面积相等可得出所求的等式；（2）设选取x张B型卡片，根据（1）中的方法二求出拼成的正方形的面积，然后利用完全平方公式即可求出x的值，最后根据正方形的面积公式即可得其边长；（3）先利用阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个直角三角形的面积求出阴影部分的面积，再利用完全平方公式进行变形，然后将已知等式的值代入求解即可.

5．（1）解：；

；

（2）解：∵，

∴ (x-2)2+(y+3)2=0 ，

∴，

解得，

∴；

（3）解：

=

=

∵，

∴，

解析：（1）解：；

；

（2）解：∵，

∴，

∴，

解得，

∴；

（3）解：

=

=

∵，

∴，

∴，

解得，

∴ .

【解析】【分析】（1）直接利用完全平方公式并参照题干即可得出答案；（2）先对已知进行变形，然后利用平方的非负性求出x,y的值，再代入求值即可；（3）首先将原式利用完全平方公式分解因式，然后利用平方的非负性求出a,b,c的值，进而可得出答案.

6．（1）a-b

（2）解：阴影部分面积可以表示为：(a-b)²和(a+b)2-4ab，

三个式子(a+b)²，(a-b)²，ab之间的等量关系：(a-b)²=(a+b)2-4ab.

（3）解：

解析：（1）a-b

（2）解：阴影部分面积可以表示为：(a-b)²和(a+b)2-4ab，

三个式子(a+b)²，(a-b)²，ab之间的等量关系：(a-b)²=(a+b)2-4ab.

（3）解：由(2)可知，(x+y)²=(x-y)²+4xy=4+5=9，

∴x+y=±3.

（4）解：根据(2)中的结论，可得(m- )2=(m+ )2-4

∴m²-4m+1=0，且m不能为0，

∴m-4+ =0，

∴m+ =4，

∴（m- )2=(m+ )2-4=12

【解析】【解答】解：（1）由题意可知：图2中的阴影部分的正方形的边长是：a-b；【分析】（1）根据图形可知，阴影正方形的边长为小长方形的长与宽的差，写出即可；（2）①从整体考虑，用大正方形的面积减去四个小矩形的面积就是阴影部分的面积；

②从局部考虑，根据正方形的面积公式，小正方形的边长的平方就是阴影部分的面积；根据用两个不同的式子表示同一个图形的面积，则这两个式子应该相等即可得出(a+b)²，(a-b)²，ab之间的等量关系：(a-b)²=(a+b)2-4ab.；

（3）根据（2）所得的等量关系，可得 (x+y)²=(x-y)²+4xy ，把已知条件代入进行计算即可求解；

（4）根据（2）所得的等量关系，可得(m- )2=(m+ )2-4 ，然后根据等式的性质将m²-

4m+1=0，变形为 m-4+ =0，即 m+ =4，进而根据 (m- )2=(m+ )2-4 ，整体代入即可求出答案.

7．（1）(x+3)(x-2)

（2）(x-1)(2x+7)；(2x-y)(3x-2y)

（3）(x+2y-1)(3x-y+4)；解：如图，

∵关于x，y的二元二次式x2+7xy-18y2-

解析：（1）(x+3)(x-2)

（2）(x-1)(2x+7)；(2x-y)(3x-2y)

（3）(x+2y-1)(3x-y+4)；解：如图，

∵关于x，y的二元二次式x2+7xy-18y2-5x+my-24可以分解成两个一次因式的积，

∴存在其中1×1=1，9×(-2)=-18，(-8)×3=--24；

而7=1×(-2)+1×9，-5=1×(-8)+1×3，

∴m=9×3+(-2)×(-8)=43或m=9×(-8)+(-2)×3=-78.

故m的值为43或者-78.

；x=-1，y=0(答案不唯一)

【解析】【解答】（1）将式子x 2 -x-6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项-6也分解为两个因数的积，即-6=3×（-2)；然后把1，1，3，-2按下图所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(+3)+1×(-2)=-1，恰好等于一次项的系数1，于是x 2+ x-6就可以分解为(x+3)(x-2).

（2）根据基本原理，同样得出十字交叉图：

Ⅰ. II.

∴ 2x2+5x-7= (x-1)(2x+7), 6x2-7xy+2y2=(2x-y)(3x-2y);

（3）Ⅰ. 根据 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f 分解因式的基本原理得如图所示的双十字交叉图：

所以 3x2+5xy-2y2+x+9y-4= (x+2y-1)(3x-y+4) ；

Ⅱ

如图：x2+7xy-18y2-5x+my-24可以分解成(x-2y+3)(x+9y-8),或分解成：(x-2y-8)(x+9y+3),

所以m=43或-78.

III.x2+3xy+2y2+2x+3y=-1, 得 x2+3xy+2y2+2x+3y+1=0,

如图所示：得(x+2y+1)(x+y+1)=0，∴ x+2y+1=0，或x+y+1=0，或 x+2y+1=0且x+y+1=0

∴如当x=-1时，y=0,或x=3,y=-4等均可使上式成立。

【分析】（1）根据题给基本原理分步解答，即左侧相乘等于二次项，右侧相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于中间项，最终得出如图所示的十字交叉结果。

（2）根据十字相乘法的原理画出十字相乘图，就能得出分解因式的结果。

（3）I.对于双十字相乘法，同样也模仿十字相乘法根据其基本原理，分步解答，画出双十字交叉图，根据原理验证各项系数，得出因式分解的结论。

II.y项系数不定，先根据双十字相乘法画出双十字相乘图，在满足其他项系数前提下，再算m项系数。

III.先根据双十字相乘原理分解因式，要使二元二次式等于零，只要一个因式等于即可，所以符合条件的答案不唯一。

8．（1）-2

（2）-4038

【解析】【解答】解：（1）∵ m+n=3 ，

则（m+n）2=9,

m2+n2+2mn=9,

,

∴mn=(9-13)÷2=-2，

（2）设 a-b-

解析：（1）-2

（2）-4038

【解析】【解答】解：（1）∵m+n=3，

则（m+n）2=9,

m2+n2+2mn=9,

,

∴mn=(9-13)÷2=-2，

（2）设a-b-2017=m,2019-a+b=n,

则m+n=a-b-2017+2019-a+b=2,

∴(m+n)2=4,

则

故答案为：-4038.

【分析】（1）利用完全平方公式进行代数式变形求得：，把m2+n2

和m+n的值代入即可求出mn的值.

（2）根据题（1），设a-b-2017=m,2019-a+b=n，先求m+n的值，利用题（1）的结论代值即可求出mn的值，则求值式的值可求。

9．（1）32；80

（2）100

（3）证明：∵ ,

∴“和谐数是8的倍数”这个结论是正确的．

【解析】【解答】解：（1）由“和谐数”的定义，设这两个连续的奇数分别为2n+1 ，，

解析：（1）32；80

（2）100

（3）证明：∵ ,

∴“和谐数是8的倍数”这个结论是正确的．

【解析】【解答】解：（1）由“和谐数”的定义，设这两个连续的奇数分别为，，

则和谐数可表示为：

，（其中表示正整

数）

∴“和谐数”就是8的正整数倍，

∴32，80是和谐数，75不是和谐数，且32=92-72， 80=212-192，

故答案为：32；80.（2）∵ 200，即 200，

∴，

∴，，

∵49+51=100，

∴这两个连续奇数的和为100，

故答案为：100.

【分析】（1）根据“和谐数”的定义，设出一般的情况，看和谐数应满足什么条件，以此条

件判断32，75，80这三个数中，哪些数是和谐数；（2）用字母表示两个连续奇数与和谐

数，由和谐数是200，列出方程，解出即得到这两个连续的奇数，从而可以求得这两个连

续奇数的和；（3）用字母表示两个连续奇数与和谐数，通过化简，可以证明结论成立．

10．（1）解：∵当n=1时，多项式（a+b）1的展开式是一次二项式，此时第

三项的系数为：0= ，

当n=2时，多项式（a+b）2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1= ，

当n=3时，多项

解析：（1）解：∵当n=1时，多项式（a+b）1的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：0= ，

当n=2时，多项式（a+b）2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1= ，

当n=3时，多项式（a+b）3的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：3= ，

当n=4时，多项式（a+b）4的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：6= ，

…

∴多项式（a+b）n的展开式是一个n次n+1项式，第三项的系数为：

（2）解：预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和为：2n

（3）解：∵当n=1时，多项式（a+b）1展开式的各项系数之和为：1+1=2=21，

当n=2时，多项式（a+b）2展开式的各项系数之和为：1+2+1=4=22，

当n=3时，多项式（a+b）3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=23，

当n=4时，多项式（a+b）4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=24，

…

∴多项式（a+b）n展开式的各项系数之和：S=2n

【解析】【分析】由杨辉三角形的规律，得到多项式（a+b）n的展开式是一个n次n+1项式；由规律得到多项式（a+b）n展开式的各项系数之和；根据题意当n=1时，n=2时···，得到多项式（a+b）n展开式的各项系数之和.

11．（1）解：B-A= a2- 4a+3-2 a+7= a2- 6a+10=（a-3）2+1＞0，B＞A

（2）解：①x2- 4x-96=x2- 4x+4-100=（x-2）2-102=（x-2+1

解析：（1）解：B-A= a2- 4a+3-2 a+7= a2- 6a+10=（a-3）2+1＞0，B＞A

（2）解：①x2- 4x-96=x2- 4x+4-100=（x-2）2-102=（x-2+10）（x-2-10）=（x+8）（x-12）；

②C-A=a2+6a-28-2a+7=a2+4a-21=（a+7）（a-3）．

因为a＞2，所以a+7＞0，从而当2＜a＜3时，A＞C；

当a=3时，A=C；当a＞3时，A＜C

【解析】【分析】（1）根据题意B-A=（a-3）2+1＞0，得到A与B的大小关系是B＞A；（2）根据完全平方公式a2-2ab+b2=（a-b）2和平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，分解即可；由C-A=（a+7）（a-3），再由a > 2，得到a+7＞0，2＜a＜3时，A＞C；当a=3时，A=C；当a ＞3时，A＜C.

12．（1）a2﹣b2

（2）a﹣b

；a+b

；（a+b）（a﹣b）

（3）（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2

（4）解：①（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）

=[2m+（n﹣p）][2

解析：（1）a2﹣b2

（2）a﹣b

；a+b

；（a+b）（a﹣b）

（3）（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2

（4）解：①（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）

=[2m+（n﹣p）][2m﹣（n﹣p）]

=4m2﹣（n﹣p）2

=4m2﹣n2﹣p2+2np．

②10.3×9.7

=（10+0.3）（10﹣0.3）

=100﹣0.09

=99.91；

【解析】【解答】解：（1）利用大正方形面积减去小正方形面积即可求出：a2﹣b2；

⑵它的宽是a﹣b，长是a+b，面积是（a+b）（a﹣b）；

⑶根据题意得出：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；

【分析】（1）利用正方形的面积公式就可求出；

（2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积；

（3）建立等式就可得出；

（4）利用平方差公式就可方便简单的计算．