第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数重点讲义资料

第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数三角函数的概念(1)了解任意角、弧度制的概念，能正确进行弧度与角度的互化．(2)会判断三角函数值的符号．(3)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．知识点一 角的有关概念(1)从运动的角度看，可分为正角、负角和零角． (2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角．(3)若α与β角的终边相同，则β用α表示为β＝α＋2k π(k ∈Z )．易误提醒 (1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|2k π<α<2k π＋π2，k ∈Z }． (2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．[自测练习]1．若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z )，则角α与β的终边的位置关系是( ) A ．重合 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：角α与θ终边相同，β与－θ终边相同． 又角θ与－θ的终边关于x 轴对称． ∴角α与β的终边关于x 轴对称． 答案：C知识点二 弧度的概念与公式 在半径为r 的圆中 分类 定义(公式)1弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，用符号rad 表示．角α的弧度数公式 |α|＝lr (弧长用l 表示)角度与弧度的换算1°＝π180rad ；1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π° 弧长公式 弧长l ＝|α|·r 扇形的面积公式S ＝12lr ＝12|α|·r 2 易误提醒 角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.[自测练习]2．弧长为3π，圆心角为34π的扇形半径为________，面积为________．解析：弧长l ＝3π，圆心角α＝34π，由弧长公式l ＝|α|·r ，得r ＝l |α|＝3π34π＝4，面积S ＝12lr＝6π.答案：4 6π知识点三 任意角的三角函数三角函数正 弦余 弦正 切定 义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫作α的正弦，记作sin αx 叫作α的余弦，记作cos α yx 叫作α的正切，记作tan α 各象限符号Ⅰ正正正Ⅱ 正 负 负 Ⅲ 负 负 正 Ⅳ 负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线易误提醒 三角函数的定义中，当P (u ，ν)是单位圆上的点时有sin α＝ν，cos α＝u ，tan α＝νu ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝νr ，cos α＝u r ，tan α＝νu.[自测练习]3．若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：由sin α<0，得α在第三、四象限或y 轴非正半轴上，又tan α>0，∴α在第三象限．答案：C4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.解析：由三角函数的定义，sin θ＝y16＋y 2， 又sin θ＝－255<0，∴y <0且y 16＋y 2＝－255，解之得y ＝－8. 答案：－8考点一角的集合表示及象限角的判断|1．(2015·东城期末)若角α满足α＝2k π3＋π6(k ∈Z )，则α的终边一定在( )A ．第一象限或第二象限或第三象限B ．第一象限或第二象限或第四象限C ．第一象限或第二象限或x 轴非正半轴上D ．第一象限或第二象限或y 轴非正半轴上 解析：由α＝2k π3＋π6，k ∈Z ，当k ＝0时，α＝π6，终边在第一象限．当k ＝1时，α＝2π3＋π6＝5π6，终边在第二象限．当k ＝－1时，α＝－2π3＋π6＝－π2，终边在y 轴的非正半轴上，故选D.答案：D2．已知sin α>0，cos α<0，则12α所在的象限是( )A ．第一象限B ．第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限解析：因为sin α>0，cos α<0，所以α为第二象限角，即π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，则π4＋k π<12α<π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，12α为第一象限角；当k 为奇数时，12α为第三象限角，故选C.答案：C3．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )， 则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°解决终边相同的角的集合的两个方法(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．(2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α所在的象限．考点二三角函数的定义|已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋3cos α的值．[解]设α终边上任一点为P(k，－3k)，则r＝k2＋(－3k)2＝10|k|.当k>0时，r＝10k，∴sin α＝－3k10k＝－310，1cos α＝10kk＝10，∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k<0时，r＝－10k，∴sin α＝－3k－10k ＝310，1 cos α＝－10kk＝－10，∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0.用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．1．已知α是第二象限角，P(x，5)为其终边上一点，且cos α＝24x，则x＝()A. 3 B．±3C．－ 2 D．－ 3解析：依题意得cos α＝xx2＋5＝24x<0，由此解得x＝－3，选D.答案：D考点三扇形的弧长及面积公式|(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？ [解] (1)设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋rθ＝1012θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)，⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12，故扇形圆心角为12.(2)设圆心角是θ，半径是r ， 则2r ＋rθ＝40.S ＝12θ·r 2＝12r (40－2r )＝r (20－r ) ＝－(r －10)2＋100 ≤100，当且仅当r ＝10时，S max ＝100，θ＝2. 所以当r ＝10，θ＝2时，扇形面积最大．弧度制应用的两个关注点(1)弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．在角度制下，弧长l ＝n πr180，扇形面积S＝n πr 2360，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系． (2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．2．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．4 B ．2 C ．8D ．1解析：设半径为r ，圆心角的弧度数为θ， 由S ＝12θr 2，∴8＝12×θ×4，∴θ＝4.答案：A9.数形结合思想在三角函数中的应用【典例】 (1)满足cos α≤－12的角α的集合为________．(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C (2,1)时，OP →的坐标为________．[思路点拨] (1)利用三角函数线可直观清晰地得出角α的范围．(2)点P 转动的弧长是本题的关键，可在圆中作三角形寻找P 点坐标和三角形边长的关系．[解析] (1)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .(2)如图所示，过圆心C 作x 轴的垂线，垂足为A ，过P 作x 轴的垂线与过C 作y 轴的垂线交于点B .因为圆心移动的距离为2，所以劣弧P A ＝2，即圆心角∠PCA ＝2，则∠PCB ＝2－π2，所以|PB |＝sin ⎝⎛⎭⎫2－π2＝－cos 2， |CB |＝cos ⎝⎛⎭⎫2－π2＝sin 2， 所以x P ＝2－|CB |＝2－sin 2， y P ＝1＋|PB |＝1－cos 2， 所以OP →＝(2－sin 2,1－cos 2)．[答案] (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z (2)(2－sin 2,1－cos 2)[思想点评] (1)利用三角函数线解三角不等式要在单位圆中先作出临界情况，然后观察适合条件的角的位置；(2)解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化，结合弧长公式、三角函数定义寻找关系．[跟踪练习] 函数y ＝ln(sin x －32)的定义域为________． 解析：(1)∵sin x >32，作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π3<x <2k π＋2π3，k ∈Z .答案：⎝⎛⎭⎫2k π＋π3，2k π＋2π3(k ∈Z )A 组 考点能力演练1．已知MP 、OM 、AT 分别为角θ⎝⎛⎭⎫π4<θ<π2的正弦线、余弦线、正切线，则一定有( ) A ．MP <OM <AT B ．OM <AT <MP C ．AT <OM <MPD ．OM <MP <AT解析：如图所示，MP 、OM 、AT 分别为角θ⎝⎛⎭⎫π4<θ<π2的正弦线、余弦线、正切线，由于π4<θ<π2，所以OM <MP ，又由图可以看出MP <AT ，故可得OM <MP <AT ，故选D.答案：D2．已知sin α<0，cos α<0，则角α的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由sin α<0得角α的终边在第三或第四象限，由cos α<0得角α的终边在第二或第三象限，所以满足sin α<0，cos α<0的角α的终边在第三象限，故选C.答案：C3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1解析：由题设，圆弧的半径r ＝1sin 1，∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2sin 1. 答案：C4．若x ∈(0,2π)，则sin x >12的必要不充分条件是( )A.π6<x <5π6B.π6<x <π C.π6<x <π2D.π3<x <5π6解析：本题考查三角函数的性质与充分必要条件．依题意，由sin x >12，x ∈(0,2π)得知π6<x <5π6，可以推得π6<x <π；反过来，由π6<x <π不能得知sin x >12，如取π6<x ＝5π6<π，此时sin x＝12.因此，sin x >12的必要不充分条件是π6<x <π，故选B. 答案：B5．点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动7π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－32，－12 C.⎝⎛⎭⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎫－32，12 解析：设点A (－1,0)，点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动7π3弧长到达点Q ，则∠AOQ ＝7π3－2π＝π3(O 为坐标原点)，所以∠xOQ ＝2π3，cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，32.答案：A6．如果角θ的终边经过点⎝⎛⎭⎫－32，12，那么tan θ的值是________． 解析：由定义知tan θ＝12－32＝－33.答案：－337．已知角α(0≤α<2π)的终边过点P ⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则α＝________. 解析：本题考查了三角函数值的概念及同角三角函数的关系问题．由已知条件sin2π3>0，cos 2π3<0可得角α的终边在第四象限，又由tan α＝cos2π3sin 2π3＝－33(0≤α<2π)可得α＝11π6.答案：11π68．(2016·成都一诊)在直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，若其终边经过点P (x 0，y 0)，且|OP |＝r (r >0)，定义：sicos θ＝y 0－x 0r ，称“sicos θ”为“θ的正余弦函数”，若sicos θ＝0，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝________. 解析：因为sicos θ＝0，所以y 0＝x 0，所以θ的终边在直线y ＝x 上，所以当θ＝2k π＋π4，k ∈Z 时，sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫4k π＋π2－π3＝cos π3＝12； 当θ＝2k π＋5π4，k ∈Z 时，sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫4k π＋5π2－π3＝cos π3＝12. 综上得sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝12. 答案：129．已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6，(1)求»AB 的长； (2)求»AB 所在弓形的面积． 解：(1)∵α＝120°＝2π3，r ＝6， ∴»AB 的长l ＝2π3×6＝4π.(2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，S △ABO ＝12r 2·sin 2π3＝12×62×32＝93，∴S 弓形＝S 扇形OAB －S △ABO ＝12π－9 3.10．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值． 解：∵θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)， ∴tan θ＝－1x ，又tan θ＝－x ， ∴x 2＝1，∴x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22， 因此sin θ＋cos θ＝0； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2. 综上sin θ＋cos θ＝0或－ 2.B 组 高考题型专练1．(2011·高考课标全国卷)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45解析：∵角θ的终边在直线y ＝2x 上， ∴tan θ＝2.则cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.答案：B2．(2012·高考安徽卷改编)在平面直角坐标系中，点O (0,0)，P (6,8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π2后得向量OQ →，则点OQ →的坐标是( )A ．(8，－6)B ．(－8，－6)C ．(－6,8)D ．(－6，－8)解析：|OP |＝10，且设∠xOP ＝θ，∴cos θ＝610＝35，sin θ＝45.设OQ →＝(x ，y )，则x ＝10cos ⎝⎛⎭⎫θ＋3π2＝10sin θ＝8， y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫θ＋3π2＝－10cos θ＝－6. 答案：A3．(2014·高考大纲卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45解析：cos α＝－4(－4)2＋32＝－45.答案：D4．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( ) A ．sin 2α>0 B ．cos α>0 C ．sin α>0D ．cos 2α>0解析：tan α>0，知sin α，cos α同号， ∴sin 2α＝2sin αcos α>0. 答案：A。