第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数重点讲义资料
第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数三角函数的概念(1)了解任意角、弧度制的概念，能正确进行弧度与角度的互化．(2)会判断三角函数值的符号．(3)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．知识点一 角的有关概念(1)从运动的角度看，可分为正角、负角和零角． (2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角．(3)若α与β角的终边相同，则β用α表示为β＝α＋2k π(k ∈Z )．易误提醒 (1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|2k π<α<2k π＋π2，k ∈Z }． (2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．[自测练习]1．若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z )，则角α与β的终边的位置关系是( ) A ．重合 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：角α与θ终边相同，β与－θ终边相同． 又角θ与－θ的终边关于x 轴对称． ∴角α与β的终边关于x 轴对称． 答案：C知识点二 弧度的概念与公式 在半径为r 的圆中 分类 定义(公式)1弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，用符号rad 表示．角α的弧度数公式 |α|＝lr (弧长用l 表示)角度与弧度的换算1°＝π180rad ；1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π° 弧长公式 弧长l ＝|α|·r 扇形的面积公式S ＝12lr ＝12|α|·r 2 易误提醒 角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.[自测练习]2．弧长为3π，圆心角为34π的扇形半径为________，面积为________．解析：弧长l ＝3π，圆心角α＝34π，由弧长公式l ＝|α|·r ，得r ＝l |α|＝3π34π＝4，面积S ＝12lr＝6π.答案：4 6π知识点三 任意角的三角函数三角函数正 弦余 弦正 切定 义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫作α的正弦，记作sin αx 叫作α的余弦，记作cos α yx 叫作α的正切，记作tan α 各象限符号Ⅰ正正正Ⅱ 正 负 负 Ⅲ 负 负 正 Ⅳ 负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线易误提醒 三角函数的定义中，当P (u ，ν)是单位圆上的点时有sin α＝ν，cos α＝u ，tan α＝νu ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝νr ，cos α＝u r ，tan α＝νu.[自测练习]3．若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：由sin α<0，得α在第三、四象限或y 轴非正半轴上，又tan α>0，∴α在第三象限．答案：C4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.解析：由三角函数的定义，sin θ＝y16＋y 2， 又sin θ＝－255<0，∴y <0且y 16＋y 2＝－255，解之得y ＝－8. 答案：－8考点一角的集合表示及象限角的判断|1．(2015·东城期末)若角α满足α＝2k π3＋π6(k ∈Z )，则α的终边一定在( )A ．第一象限或第二象限或第三象限B ．第一象限或第二象限或第四象限C ．第一象限或第二象限或x 轴非正半轴上D ．第一象限或第二象限或y 轴非正半轴上 解析：由α＝2k π3＋π6，k ∈Z ，当k ＝0时，α＝π6，终边在第一象限．当k ＝1时，α＝2π3＋π6＝5π6，终边在第二象限．当k ＝－1时，α＝－2π3＋π6＝－π2，终边在y 轴的非正半轴上，故选D.答案：D2．已知sin α>0，cos α<0，则12α所在的象限是( )A ．第一象限B ．第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限解析：因为sin α>0，cos α<0，所以α为第二象限角，即π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，则π4＋k π<12α<π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，12α为第一象限角；当k 为奇数时，12α为第三象限角，故选C.答案：C3．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )， 则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°解决终边相同的角的集合的两个方法(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．(2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α所在的象限．考点二三角函数的定义|已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋3cos α的值．[解]设α终边上任一点为P(k，－3k)，则r＝k2＋(－3k)2＝10|k|.当k>0时，r＝10k，∴sin α＝－3k10k＝－310，1cos α＝10kk＝10，∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k<0时，r＝－10k，∴sin α＝－3k－10k ＝310，1 cos α＝－10kk＝－10，∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0.用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．1．已知α是第二象限角，P(x，5)为其终边上一点，且cos α＝24x，则x＝()A. 3 B．±3C．－ 2 D．－ 3解析：依题意得cos α＝xx2＋5＝24x<0，由此解得x＝－3，选D.答案：D考点三扇形的弧长及面积公式|(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？ [解] (1)设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋rθ＝1012θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)，⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12，故扇形圆心角为12.(2)设圆心角是θ，半径是r ， 则2r ＋rθ＝40.S ＝12θ·r 2＝12r (40－2r )＝r (20－r ) ＝－(r －10)2＋100 ≤100，当且仅当r ＝10时，S max ＝100，θ＝2. 所以当r ＝10，θ＝2时，扇形面积最大．弧度制应用的两个关注点(1)弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．在角度制下，弧长l ＝n πr180，扇形面积S＝n πr 2360，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系． (2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．2．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．4 B ．2 C ．8D ．1解析：设半径为r ，圆心角的弧度数为θ， 由S ＝12θr 2，∴8＝12×θ×4，∴θ＝4.答案：A9.数形结合思想在三角函数中的应用【典例】 (1)满足cos α≤－12的角α的集合为________．(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C (2,1)时，OP →的坐标为________．[思路点拨] (1)利用三角函数线可直观清晰地得出角α的范围．(2)点P 转动的弧长是本题的关键，可在圆中作三角形寻找P 点坐标和三角形边长的关系．[解析] (1)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .(2)如图所示，过圆心C 作x 轴的垂线，垂足为A ，过P 作x 轴的垂线与过C 作y 轴的垂线交于点B .因为圆心移动的距离为2，所以劣弧P A ＝2，即圆心角∠PCA ＝2，则∠PCB ＝2－π2，所以|PB |＝sin ⎝⎛⎭⎫2－π2＝－cos 2， |CB |＝cos ⎝⎛⎭⎫2－π2＝sin 2， 所以x P ＝2－|CB |＝2－sin 2， y P ＝1＋|PB |＝1－cos 2， 所以OP →＝(2－sin 2,1－cos 2)．[答案] (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z (2)(2－sin 2,1－cos 2)[思想点评] (1)利用三角函数线解三角不等式要在单位圆中先作出临界情况，然后观察适合条件的角的位置；(2)解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化，结合弧长公式、三角函数定义寻找关系．[跟踪练习] 函数y ＝ln(sin x －32)的定义域为________． 解析：(1)∵sin x >32，作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π3<x <2k π＋2π3，k ∈Z .答案：⎝⎛⎭⎫2k π＋π3，2k π＋2π3(k ∈Z )A 组 考点能力演练1．已知MP 、OM 、AT 分别为角θ⎝⎛⎭⎫π4<θ<π2的正弦线、余弦线、正切线，则一定有( ) A ．MP <OM <AT B ．OM <AT <MP C ．AT <OM <MPD ．OM <MP <AT解析：如图所示，MP 、OM 、AT 分别为角θ⎝⎛⎭⎫π4<θ<π2的正弦线、余弦线、正切线，由于π4<θ<π2，所以OM <MP ，又由图可以看出MP <AT ，故可得OM <MP <AT ，故选D.答案：D2．已知sin α<0，cos α<0，则角α的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由sin α<0得角α的终边在第三或第四象限，由cos α<0得角α的终边在第二或第三象限，所以满足sin α<0，cos α<0的角α的终边在第三象限，故选C.答案：C3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1解析：由题设，圆弧的半径r ＝1sin 1，∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2sin 1. 答案：C4．若x ∈(0,2π)，则sin x >12的必要不充分条件是( )A.π6<x <5π6B.π6<x <π C.π6<x <π2D.π3<x <5π6解析：本题考查三角函数的性质与充分必要条件．依题意，由sin x >12，x ∈(0,2π)得知π6<x <5π6，可以推得π6<x <π；反过来，由π6<x <π不能得知sin x >12，如取π6<x ＝5π6<π，此时sin x＝12.因此，sin x >12的必要不充分条件是π6<x <π，故选B. 答案：B5．点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动7π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－32，－12 C.⎝⎛⎭⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎫－32，12 解析：设点A (－1,0)，点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动7π3弧长到达点Q ，则∠AOQ ＝7π3－2π＝π3(O 为坐标原点)，所以∠xOQ ＝2π3，cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，32.答案：A6．如果角θ的终边经过点⎝⎛⎭⎫－32，12，那么tan θ的值是________． 解析：由定义知tan θ＝12－32＝－33.答案：－337．已知角α(0≤α<2π)的终边过点P ⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则α＝________. 解析：本题考查了三角函数值的概念及同角三角函数的关系问题．由已知条件sin2π3>0，cos 2π3<0可得角α的终边在第四象限，又由tan α＝cos2π3sin 2π3＝－33(0≤α<2π)可得α＝11π6.答案：11π68．(2016·成都一诊)在直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，若其终边经过点P (x 0，y 0)，且|OP |＝r (r >0)，定义：sicos θ＝y 0－x 0r ，称“sicos θ”为“θ的正余弦函数”，若sicos θ＝0，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝________. 解析：因为sicos θ＝0，所以y 0＝x 0，所以θ的终边在直线y ＝x 上，所以当θ＝2k π＋π4，k ∈Z 时，sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫4k π＋π2－π3＝cos π3＝12； 当θ＝2k π＋5π4，k ∈Z 时，sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫4k π＋5π2－π3＝cos π3＝12. 综上得sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝12. 答案：129．已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6，(1)求»AB 的长； (2)求»AB 所在弓形的面积． 解：(1)∵α＝120°＝2π3，r ＝6， ∴»AB 的长l ＝2π3×6＝4π.(2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，S △ABO ＝12r 2·sin 2π3＝12×62×32＝93，∴S 弓形＝S 扇形OAB －S △ABO ＝12π－9 3.10．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值． 解：∵θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)， ∴tan θ＝－1x ，又tan θ＝－x ， ∴x 2＝1，∴x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22， 因此sin θ＋cos θ＝0； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2. 综上sin θ＋cos θ＝0或－ 2.B 组 高考题型专练1．(2011·高考课标全国卷)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45解析：∵角θ的终边在直线y ＝2x 上， ∴tan θ＝2.则cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.答案：B2．(2012·高考安徽卷改编)在平面直角坐标系中，点O (0,0)，P (6,8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π2后得向量OQ →，则点OQ →的坐标是( )A ．(8，－6)B ．(－8，－6)C ．(－6,8)D ．(－6，－8)解析：|OP |＝10，且设∠xOP ＝θ，∴cos θ＝610＝35，sin θ＝45.设OQ →＝(x ，y )，则x ＝10cos ⎝⎛⎭⎫θ＋3π2＝10sin θ＝8， y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫θ＋3π2＝－10cos θ＝－6. 答案：A3．(2014·高考大纲卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45解析：cos α＝－4(－4)2＋32＝－45.答案：D4．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( ) A ．sin 2α>0 B ．cos α>0 C ．sin α>0D ．cos 2α>0解析：tan α>0，知sin α，cos α同号， ∴sin 2α＝2sin αcos α>0. 答案：A。
任意角和弧度制及任意角的三角函数讲义
任意角和弧度制及任意角的三角函数讲义课前双击巩固1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着 从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.(2)分类:按旋转方向分为 、 和零角;按终边位置分为 和轴线角. (3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S= . 2.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于 的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.弧度记作rad. (2)公式:角α的弧度数的绝对值 |α|=lr (弧长用l 表示)角度与弧度的换算①1°=π180 rad ,②1 rad=180π°弧长公式 弧长l= 扇形面积公式 S=12lr=12|α|r 23.任意角的三角函数(1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ),则sin α= ,cos α= ,tan α=yx (x ≠0).(2)几何表示(单位圆中的三角函数线):图3-16-1中的有向线段OM ,MP ,AT 分别称为角α的 、 和 .图3-16-1常用结论象限角与轴线角(1)象限角(2)轴线角题组一常识题1.[教材改编]终边在射线y=-√3x(x<0)上的角的集合是.2.[教材改编](1)67°30'=rad;(2)π= °.123.[教材改编]半径为120 mm的圆上长为144 mm的弧所对圆心角α的弧度数是.4.[教材改编]若角α的终边经过点P(-1,2),则sin α-cos α+tanα=.题组二常错题◆索引:对角的范围把握不准;由值求角时没有注意角的范围;求三角函数值时没有考虑角的终边所在的象限;求弧长或者扇形面积把角化为弧度数时出错.,则A=.5.在△ABC中,若sin A=√226.已知点P (sin α-cos α,tan α)在第二象限,则在[0,2π]内α的取值范围是 .7.已知角α的终边落在直线y=-3x 上,则|sinα|sinα-|cosα|cosα= .8.若一扇形的圆心角为72°,半径为20 cm ,则扇形的面积为 cm 2.课堂考点探究探究点一 角的集合表示及象限角的判定1 (1)设集合M=x x=k2·180°+45°,k ∈Z ,N=x x=k4·180°+45°,k ∈Z ,那么 ( ) A.M=N B.M ⊆N C.N ⊆M D.M ∩N=⌀(2)已知角α的终边在图3-16-2中阴影部分表示的范围内(不包括边界),则所有角α构成的集合是 .图3-16-2[总结反思] 把角表示成2kπ+α(k ∈Z ,0≤α<2π)的形式,即可判断其所在的象限. 式题 (1)已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β= .(2)若角α的终边在x 轴的上方,则α2是第 象限角.探究点二 扇形的弧长、面积公式2 (1)若圆弧长度等于该圆内接等腰直角三角形的周长,则其圆心角的弧度数是 .(2)若扇形的周长为18,则扇形面积取得最大值时,扇形圆心角的弧度数是 .[总结反思] 应用弧度制解决问题的方法:(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度;(2)求扇形面积最大值的问题,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形. 式题 (1)将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )A.π3 B.π6 C.-π3 D .-π6(2)圆内接矩形的长宽之比为2∶1,若该圆上一段圆弧的长等于该内接矩形的宽,则该圆弧所对圆心角的弧度数为 . 探究点三 三角函数的定义考向1 三角函数定义的应用3 (1)函数y=log a (x-3)+2(a>0且a ≠1)的图像过定点P ,且角α的终边过点P ,则sin α+cos α的值为( )A.75 B.65 C.√55 D.35√5 (2)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13,则sin β= .[总结反思] 三角函数定义主要应用于两方面:(1)已知角的终边上一点P 的坐标,则可先求出点P 到原点的距离,然后用三角函数定义求解三角函数值.特别地,若角α的终边落在某条直线上,一般要分类讨论.(2)已知角α的某个三角函数值,可依据三角函数值设出角α终边上某一符合条件的点的坐标来解决相关问题.考向2 三角函数值的符号判定4 (1)使lg (sin θ·cos θ)+√-cosθ有意义的θ为 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角(2)若角α的终边落在直线y=-x 上,则sinα|cosα|+|sinα|cosα= .[总结反思] 要判定三角函数值的符号,关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角,再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果角不能确定所在象限,那就要进行分类讨论求解.考向3 三角函数线的应用5 函数f (x )=√1−2cosx +ln sin x-√22的定义域为 .[总结反思] 利用三角函数线解三角不等式,通常采用数形结合的方法,一般来说sin x ≥b ,cos x ≥a ,只需作直线y=b ,x=a 与单位圆相交,连接原点与交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的x 的范围. 强化演练1.【考向1】点P 从点√22,-√22出发,沿单位圆按逆时针方向运动3π4后到达Q 点,若α的始边在x 轴的正方向上,终边在射线OQ 上,则sin α= ( )A.1B.-1C.√22 D.-√222.【考向2】已知角α的终边在第一象限,点P (1-2a ,2+3a )是其终边上的一点,若cos α>sinα,则实数a 的取值范围是 .3.【考向3】满足cos α≤-12的角α的集合为 .课时作业一、 填空题1．若cos α＝－32，且角α的终边经过点P (x ，2)，则P 点的横坐标x 是________. 2．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是________. (填序号)①sin α＋cos α<0 ②tan α－sin α<0 ③cos α－tan α<0 ④tan αsin α<03．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________.4．将－300°化为弧度为________.5．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为________.6．已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝24x ，则sin α等于________. 7．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cosα＝________.8．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为________.9．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，点P (－4m ，3m )(m >0)是α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________.10．若角α的终边经过点P (1,2)，则sin2α的值是________．11．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.二、解答题12．设α为第四象限角，其终边上的一个点是P (x ，－5)，且cos α＝24x ，求sin α和tan α.13．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求扇形的圆心角的弧度数和弦长AB .。
第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数
二.课前热身 1.设 终边上一点P(3, 4)，则 sin ______ 2 2.若4 6 且 与 终边相同，则 ______ 3 3.弧长为3，圆心角为135 的扇形半径为 ______ ，面积为 ______ . 4.已知 cos tan 0，那么 是 ________ 象限角.
2.弧度制 正角的弧度数是 _____ ，负角的弧度数是 _____ ，零角的弧度 数是 _____ .
(1)定义：把长度等于 ____ 长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，
(2)弧度制与角度制的互化
180 57.30 1rad rad 180 1 rad 180
(3)扇形的弧长公式：l r(其中是圆心角对应的弧度数)
2 1 1 1 l S lr r 2 扇形的面积公式： 2 2 2 3.任意角的三角函数 定义1.设 终边上任意一点P( x, y )，它与原点的距离为r，则 正弦 sin 余弦 cos 正切 tan 定义2.设 是任意角，它的终边与单位圆交于P( x, y )，则 正弦 sin 余弦 cos 正切 tan
一.知识梳理 1.任意角
正角：逆时针方向旋转的角 (1)角的概念的推广 负角：顺时针方向旋转的角 零角：不做任何旋转形成的角
使角的顶点与原点重合 象限角 角的始边与x轴的非负半轴重合 角的终边在第几象限就是第几象限角 第一象限角的集合： 2k 2k , k Z
2
第二象限角的集合： 2k 2k , k Z 2 第三象限角的集合： 第四象限角的集合：
轴线角：在坐标轴上的角
(2)终边相同的角 所有与角 终边相同的角，连同 在内，可以构成一个集合：
第一讲 任意角和弧度制、任意角的三角函数
第一讲 任意角和弧度制、任意角的三角函数【知识要点】1．任意角和弧度制.(1) 角的概念：角的形成，角的顶点、始边、终边．(2) 角的分类（以旋转方向为标准）：正角；负角；零角.(3) 终边相同的角：与α角终边相同的角的集合（连同α角在内），可以记为},360|{Z k k ∈+︒⋅=αββ或},2|{Z k k ∈+=απββ．(4) 象限角与轴线角（以终边位置为标准）：顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，则终边落在第几象限，就称这个角是第几象限的角. 终边落在坐标轴上则是轴线角．(5) 度量：角度制与弧度制以及弧度与角度互换公式：'︒=︒≈︒=185730.571801πrad ，rad01745.01801≈=︒π．注：特殊角角度与弧度的互化要熟练(6)弧长公式：r l ⋅=||α，扇形面积公式：211||22s lr r α==⋅ 2任意角的三角函数．(1)掌握任意角的正弦、余弦和正切的定义．(2)了解余切、正割、余割的定义(3)掌握正弦、余弦、正切和余切函数的定义域和这四种函数值在各个象限的值的符号．由于三角函数的定义采用了角的终边上任意一点的坐标以及它们之间的相应的比．所以不难推得以下的结论：(4)终边相同的角的三角函数值相等sin （α+k ·360°）=sin α cos （α+k ·360°）=cos α tan （α+k ·360°）=tan α(5)单位圆中的三角函数线1°有向线段；规定了方向的线段．2°三角函数线：在单位圆中某些特定的有向线段的数值可以用来表示三角函数值．记称它们为三角函数线．【典型例题】例1 已知︒=45α，(1)写出与α终边相同的角的集合；（2）在区间]0,720[︒︒-内找出与α终边相同的角β例2（1）︒600角的终边在第几象限；（2）已知α为第二象限角，判断2α的终边所在的位置；3α呢？例3、写出终边在下列阴影部分内的角的集合：例4、一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？例5、求三角函数的值35sin 4costan 3sin cos522πππππ++-+α例6、已知α是第三象限角，试判定sin(cos )cos(sin )a a •的符号【经典练习】 1、已知34sin ,cos 2525αα==-，那么α的终边在（ ） A 、第一象限 B 、第三或第四象限 C 、第三象限 D 、第四象限2、设θ是第二象限角，且满足｜sin θ2|= －sin θ2 ，则θ2是第 象限的角 3、已知角α的终边经过点P （-3，4），则=αsin ；=αcos ；tan α=4、在ABC ∆中，若cos tan sin 0A B C ••<，则这个三角形一定是 三角形5、若sin 23()14a >，则角a 是第 象限角6、已知角α是第二象限角，试确定2α、2α所在的象限8、判断下列各式的符号 19257cos sin()tan 6312πππ•-• sin3cos4tan5•• 9、写出满足下列条件的角的集合：（1）sin a >（2）1cos 2a ≤ （3）tan 1a >【课后作业】1、若sin 0α<且tan 0α>是，则α是（ ）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角2、已知角α的终边在直线340x y +=上,则tan α等于（ ）A. 34B. 34-C. 34-或34D. 43- 3、已知角α的终边经过点P (5，－12)，则sin α＋cos α＝ .4、若角α是第四象限角，且cos cos 22αα=-，则2α是第 象限角5、已知(0,)a π∈在sin ,cos ,tan ,tan2a a a a 中，有可能取负值的是 6、若角θ的终边与角67π的终边相同，求在[]0,2π内终边与角3θ的终边相同的角7、函数cos sin tan sin cos tan x x x y x x x=++的值域。
高考数学复习：任意角和弧度制及任意角的三角函数
当m=- 5 时,r=2 2,点P的坐标为 （ 3, 5）,
所以cos x 3 6 ，tan y 5 15 ,
r 22 4
x 3 3
综上可知,cos θ=- ,t6an θ=- 或c1o5 s θ=- , 6
2
2.若圆弧长度等于圆内接正方形的边长,则该圆弧所对
圆心角的弧度数为 ( )
A.
B.
C. 2
D. 2
4
2
2
【解析】选D.设圆的直径为2r,则圆内接正方形的边长 为 2r, 因为圆的圆弧长度等于该圆内接正方形的边长, 所以圆弧的长度为 2r, 所以圆心角弧度为 2r 2.
r
考点三 任意角三角函数的定义及应用 【明考点·知考法】
【典例】函数y= sin x 3 的定义域为________.
2
世纪金榜导学号
【解析】由题意可得sin x- ≥30,即sin x≥ .作 3
2
2
直线y= 3交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围
2
成的区域(图中阴影部分含边界)即为角x的终边的范围,
故满足条件的角x的集合为
{x|2k x 2k 2 , k Z}.
2
答案:6π
题组二:走进教材
1.(必修4P5T4改编)下列与 9 的终边相同的角的表达
4
式中正确的是 ( )
A.2kπ+45°(k∈Z) C.k·360°-315°(k∈Z)
B.k·360°+ 9 π(k∈Z)
4
D.kπ+ 5 (k∈Z)
4
【解析】选C.由定义知终边相同的角的表达式中不能
同时出现角度和弧度,应为 +2kπ或k·360°+45°
高一任意角和弧度制及任意角的三角函数复习
y r x cos a = r y tan a = x 0 x sin a =
1.根据三角函数的定义，确定它们的定 三角函数 定义域 义域 （弧度制
cos a tan a
y + o （ ） （ （ x （
sin a
R
R
p a a kp (k Z ) 2
2.确定三角函数值在各象限的符号
使比值有意义的角的集合即为三 角函数的定义域.
定义推广：
设角a 是一个任意角, P ( x, y )是终边上任意一点，点P 与原点的距离是r= x 2 y 2 0
那么① ② ③ 任意角
y r x r y x
叫做
a
a
的正弦，即 的余弦，即 的正弦，即
叫做 叫做
a
a 的三角函数值仅与a 有关，而与点 P在角的终边上的位置无关.
那么:（1） 叫做 （2） 叫做 （3） 叫做 y x
y a 的正弦，记作
，即 ，即
sin a ；
；
sin a = y
x a 的余弦，记作
cosa
cos a = x
。 tan a =
y
a 的正切，记作
，即tana
y ( x 0) x
P( x, y)
1
a
o
x
M
正弦，余弦，正切都是以角为 自变量，以单位圆上点的坐标 或坐标的比值为函数值的函数 ，我们将他们称为三角函数.
1 1 S扇形 = r = a r 2 2 2 1 1 S弓 =S扇形 S = r r r sin a 2 2 扇形周长=2r
l a = r
r=
l
a
思考：扇形的弧长和面积共含几个变量，已 知几个量,才能求出另外的量呢？
第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数 - 讲义
三角函数知识点 考纲下载任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数 1.了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 3．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．同角三角函数的基本关系式与诱导公式1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x＝tan x . 2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．三角函数的图象与性质1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间)2,2(ππ-内的单调性．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 1.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题.两角和与差的正弦、余弦及正切公式1.会用向量知识或三角函数线推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式． 3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.简单的三角恒等变换 1.能利用两角和的正弦、余弦和正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 2．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．解三角形应用举例 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数弧度制及任意角的三角函数1．任意角 (1)角的概念角可以看成平面内一条____________绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．我们规定：按____________方向旋转形成的角叫做正角，按____________方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个____________． 答案：(1)射线 逆时针 顺时针 零角 (2)象限角使角的顶点与____________重合，角的始边与x 轴的____________重合． 角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角． ①α是第一象限角可表示为｝｜｛Z k k k ∈+<<,222ππαπα ②α是第二象限角可表示为 ； ③α是第三象限角可表示为 ； ④α是第四象限角可表示为 ． 答案：原点 非负半轴 ②},222|{Z k k k ∈+<<+ππαππα③},2322|{Z k k k ∈+<<+ππαππα ④},22232|{Z k k k ∈+<<+ππαππα或},222|{Z k k k ∈<<-παππα (3)非象限角如果角的终边在____________上，就认为这个角不属于任何一个象限． ①终边在x 轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝2k π，k ∈Z }； ②终边在x 轴非正半轴上的角的集合可记作_______________； ③终边在y 轴非负半轴上的角的集合可记作_________________； ④终边在y 轴非正半轴上的角的集合可记作_________________； ⑤终边在x 轴上的角的集合可记作_______________________； ⑥终边在y 轴上的角的集合可记作 ； ⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作 ．答案： 坐标轴 ②{}α|α＝2k π＋π，k ∈Z ③},22|{Z k k ∈+=ππαα④},232|{Z k k ∈+=ππαα ⑤{α|α＝k π，k ∈Z } ⑥},2|{Z k k ∈+=ππαα ⑦},2|{Z k k ∈=παα (4)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝________________________. 答案： {β|β＝α＋2k π，k ∈Z }或{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z } 2．弧度制(1)把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．||α＝ ，l 是半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长． (2)弧度与角度的换算：360°＝________rad ，180°＝________rad ，1°＝ rad ≈0.01745rad ，反过来1rad ＝ ≈57.30°＝57°18′.(3)若圆心角α用弧度制表示，则弧长公式l ＝__________；扇形面积公式S 扇＝ ＝ ．答案：(1)半径长 l r (2)2π π π180 0)180(π (3)||αr 12||αr 2 12lr3．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边上任意一点P (x ，y )与原点的距离为r (r >0)，则sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x ≠0)．※cot α＝x y (y ≠0)，sec α＝r x (x ≠0)，csc α＝ry(y ≠0)．答案：y r x r y x(2)正弦、余弦、正切函数的定义域 (3)答案：①R ②R ③},2|{Z k k ∈+≠ππαα(3)三角函数值在各象限的符号sin α cos α tan α4．三角函数线如图，角α的终边与单位圆交于点P .过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，过点A(1，0)作单位圆的切线，设它与α的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T .根据三角函数的定义，有OM ＝x ＝________，MP ＝y ＝________，AT ＝ ＝________.像OM ，MP ，AT 这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段MP ，OM ，AT ，分别叫做角α的_______、_______、_______，统称为三角函数线．答案： cos α sin α yxtan α 正弦线 余弦线 正切线5．特殊角的三角函数值答案：.1．辨明四个易误点(1)易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．(2)利用180＝πrad 进行互化时，易出现度量单位的混用．(3)三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx.(4)已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况． 2．会用两个方法(1)三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．考点一 象限角及终边相同的角(1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合； (2)若角θ的终边与76π角的终边相同，求在[0，2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α为第三象限角，试确定2α的终边所在的象限． [解] (1)∵在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是3π， ∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为},3|{Z k k ∈+=ππαα(2)∵θ＝6π7＋2k π(k ∈Z )，∴θ3＝2π7＋2k π3(k ∈Z )．依题意0≤2π7＋2k π3<2π⇒－37≤k <187，k ∈Z .∴k ＝0，1，2，即在[0，2π)内终边与θ3相同的角为2π7，20π21，34π21.(3)由α是第三象限角，得π＋2k π<α<3π2＋2k π(k ∈Z )，∴2π＋4k π<2α<3π＋4k π(k ∈Z )．∴角2α的终边在第一、二象限及y 轴的非负半轴． [规律方法] 1.表示区间角的三个步骤：(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．角α0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 角α的 弧度数 0 π6 π4 π3 π2 2π3 3π4 5π6 π 3π2 2π sin α 0 12 22 32 1 322212－1 0 cos α 1 32 22 12 0 －12 －22 －32 －1 0 1 tan α 03313不 存 在－3－1－33不 存 在(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间． (3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合． 2．确定kα，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或αk的范围，然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在位置．1.(1)在－720°～0°范围内找出所有与45°终边相同的角为________．(2)在本例(3)的条件下，判断α2为第几象限角？(1)解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°<45°＋k ×360°<0°，得－765°<k ×360°<－45°，解得－765360<k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.答案：－675°或－315°(2)解：∵π＋2k π<α<3π2＋2k π(k ∈Z )，∴π2＋k π<α2<3π4＋k π(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，π2＋2n π<α2<3π4＋2n π，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，3π2＋2n π<α2<7π4＋2n π，∴α2为第二或第四象限角．考点二 扇形的弧长、面积公式已知扇形的圆心角是α ，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？[解] (1)α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10(cm)，α＝2 rad. [规律方法] 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略：(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量． [提醒] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制．2.已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．解：设圆心角是θ，半径是r .则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋rθ＝1012θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1θ＝8(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12.故扇形圆心角为12 rad.考点三 三角函数的定义(高频考点)任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中以选择题、填空题的形式出现，高考对三角函数定义的考查主要有以下三种命题角度：(1)已知角α终边上一点P 的坐标求三角函数值； (2)已知角α的终边所在的直线方程求三角函数值； (3)判断三角函数值的符号．(1)(2014·高考课标全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( )A ．sin α>0B ．cos α>0C ．sin 2α>0D ．cos 2α>0(2)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45(3)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________．[解析] (1)∵tan α＞0，∴α∈)2,(πππ+k k (k ∈Z )是第一、三象限角．∴sin α，cos α都可正、可负，排除A ，B.而2α∈(2k π，2k π＋π)(k ∈Z )， 结合正、余弦函数图象可知，C 正确．取α＝π4，则tan α＝1>0，而cos 2α＝0，故D 不正确．(2)取终边上一点(a ，2a )，a ≠0，根据任意角的三角函数定义，由tan θ＝2，可得cos θ＝±55，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.(3)因为A 点纵坐标y A ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.[答案] (1)C (2)B (3)－35[规律方法] 用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解； (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．3.(1)设角α终边上一点P (－4a ，3a )(a <0)，则sin α的值为________．(2)已知角α的终边经过点P (－3，m )，且sin α＝34m (m ≠0)，判断角α是第几象限角，并求tan α的值．(1)解析：设点P 与原点间的距离为r ，∵P (－4a ，3a )，a <0，∴r ＝（－4a ）2＋（3a ）2＝|5a |＝－5a .∴sin α＝3a r ＝－35.答案：－35(2)解：依题意，点P 到原点O 的距离为r ＝（－3）2＋m 2＝3＋m 2，∴sin α＝m3＋m2， 又∵sin α＝34m ，m ≠0，∴m 3＋m 2＝34m ，∴m 2＝73，∴m ＝±213.∴点P 在第二或第三象限．故角α是第二象限角或第三象限角．当α是第二象限角时，m ＝213，tan α＝213－3＝－73，当α是第三象限角时，m ＝－213，tan α＝－213－3＝73.交汇创新——三角函数定义下的创新(2014·高考课标全国卷Ⅰ)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )[解析] 如图所示，当x ∈)2,0(π时，则P (cos x ，sin x )，M (cos x ，0)，作MM ′⊥OP ，M ′为垂足，则||MM ′|OM |＝sin x ，∴f （x ）cos x＝sin x ，∴f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ，则当x ＝π4时，f (x )max ＝12；当x ∈),2(ππ时，有f （x ）|cos x |＝sin (π－x )，f (x )＝－sin x cos x ＝－12sin 2x ，当x ＝3π4时，f (x )max ＝12.只有B 选项的图象符合．[答案] B[名师点评] (1)本题是三角函数与圆的结合，利用三角函数定义首先写出P 、M 坐标，结合图形用x 表示出f (x )，即可判断出结果，此类问题见证了数学中的“以静制动”．(2)近年来高考注重了由“静态数学”向“动态数学”的引导．一般以简单几何图形的平移、滑动、滚动等形式，运用三角知识考查学生分析问题解决问题的能力．(2013·高考江西卷) 如图，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 在t ＝0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t (0≤t ≤1，单位：s)的函数y ＝f (t )的图象大致为( )解析：选B.圆半径为1，设弧长x 所对的圆心角为α，则α＝x ，如图所示，cosα2＝1－t ，即cos x2＝1－t ，则y ＝cos x ＝2cos 2x2－1＝2(1－t )2－1＝2(t －1)2－1(0≤t ≤1)．其图象为开口向上，在[0，1]上的一段抛物线．。
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点与提醒归纳
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点与提醒归纳一、基础知识1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝yx(x ≠0)．(3)象限角(4)轴线角考点一 象限角及终边相同的角[典例] (1)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． [解析] (1)∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．故选C.(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.[答案] (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3[题组训练]1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π≤α≤k π＋π4，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选B 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π≤α≤2n π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和0≤α≤π4的终边一样，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π≤α≤2n π＋π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和π≤α≤π＋π4的终边一样． 2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°终边相同的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )， 得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )， 解得－765360≤k <－45360(k ∈Z )，从而k ＝－2或k ＝－1， 代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°考点二 三角函数的定义[典例] 已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.[解析] ∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－x x 2＋36＝－513，解得x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，∴sin α＝－1213， ∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23.[答案] －23[解题技法]用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．[题组训练]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315. 2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C ．35D ．45解析：选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. 考点三 三角函数值符号的判定[典例] 若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号， 则α为第二象限角或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号， 则α为第三象限角或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角． [答案] C[解题技法] 三角函数值符号及角所在象限的判断三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin θ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin π2＝1>0，cos π＝－1<0.[题组训练]1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0 B ．cos(－305°)<0 C ．tan ⎝⎛⎭⎫－22π3>0 D ．sin 10<0解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－22π3＝－8π＋2π3，则－22π3是第二象限角，故tan ⎝⎛⎭⎫－22π3<0；3π<10<7π2，则10是第三象限角，故sin 10<0，故选D. 2．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由题意得⎩⎨⎧cos α<0，tan α<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，sin α>0，所以角α的终边在第二象限．[课时跟踪检测]A 级1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 设扇形的半径为r (r >0)，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝|α|r ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6. 2．(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( )A ．150°B ．135°C ．300°D ．60°解析：选C 由sin 150°＝12 >0，cos 150°＝－32<0，可知角α终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－32，因为0°≤α<360°，所以角α为300°.3．(2018·长春检测)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π－π3，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D 当α的终边在射线y ＝－3x (x ≤0)上时，对应的角为2π3＋2k π，k ∈Z ，当α的终边在射线y ＝－3x (x ≥0)上时，对应的角为－π3＋2k π，k ∈Z ，所以角α的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z .4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3.5．在平面直角坐标系xOy 中，α为第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且sin α＝2y4，则y 的值为( ) A.3 B ．－5 C.5 D.3或5解析：选C 由题意知|OP |＝3＋y 2，则sin α＝y 3＋y 2＝2y4，解得y ＝0(舍去)或y ＝±5，因为α为第二象限角，所以y >0，则y ＝ 5.6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，因为角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1. 7．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2，则此扇形的半径为________． 解析：设此扇形的半径为r (r >0)，由3π2＝12×3π4×r 2，得r ＝2.答案：28．(2019·江苏高邮模拟)在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________．解析：∵60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，∴tan 60°＝m1，∵tan 60°＝3，∴m ＝ 3.答案：39．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________. 解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以与α终边相同的角为360°×k ＋120°，k ∈Z ， 令k ＝－1或k ＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240°10．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°， 设点B 坐标为(x ，y )，则x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)11．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又因为α是第四象限角，所以m <0， 从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.12．已知α为第三象限角． (1)求角α2终边所在的象限；(2)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，当k 为偶数时，角α2终边在第二象限；当k 为奇数时，角α2终边在第四象限．故角α2终边在第二或第四象限．(2)当角α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当角α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0, cos α2＞0， 所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此tan α2sin α2cos α2取正号．B 级1．若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α解析：选C 如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，因为－3π4 <α<－π2，所以α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.2．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，则角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B 因为点P 在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin α－cos α>0，tan α>0，即⎩⎨⎧sin α>cos α，tan α>0.由tan α>0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图．又sin α>cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界)，即角α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4.3．已知角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)．(1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15； 当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15. (2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝⎛⎭⎫0，π2， cos θ＝－45∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝⎛⎭⎫－45＜0； 当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， cos θ＝45∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝⎛⎭⎫－35·sin 45＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．。
第一节 任意角、弧度制、任意角的三角函数(知识梳理)
第一节任意角、弧度制、任意角的三角函数复习目标学法指导1.任意角(1)任意角的概念.(2)终边相同的角的表示.(3)象限角的概念.2.弧度制(1)弧度制的概念. (2)弧度与角度的换算.(3)圆弧长公式.能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的1.理解任意角的概念,要注意终边相同角的表示方法.2.理解弧度制,把握好角度与弧度转换的依据:πrad=180°;要熟练掌握特殊角的度数与弧度数之间的对应;扇形的面积公式和弧长公式体现了扇形的圆心角、弧长、半径、面积之间的关系,在解决有关问题时,要注意函数与方程思想的应用.单的三角函数问题.一、角的有关概念1.角的形成角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.2.⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩正角：按逆方向旋而成的角按旋方向不同分角：按方向旋而成的角零角：射有旋角的分象限角：角的在第几象限，按位置不同分角就是第几象限角角：角的落在坐上时针转转类负顺时针转线没转类终边这个终边类轴线终边标轴3.所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合:S={β|β=α+k·360°,k ∈Z}或{β|β=α+2kπ,k∈Z}.1.概念理解(1)角的取值范围是任意大小的正角、负角和零角.(2)注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小于90°的角,是概念不同的三类角.第一类是象限角,第二类、第三类是区间角,其次,“小于90°的角”不等同于“锐角”,“锐角”不等同于“第一象限角”,锐角为{α|0°<α<90°},第一象限角为{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z},小于90°的角包括锐角、负角、零角.2.与终边相同角的表示相关的结论(1)相等的角终边一定相同,但终边相同的角却不一定相等,终边相同的角有无数个,它们之间相差360°的整数倍.(2)终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍;终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍. (3)角的集合表示形式不是唯一的. 二、弧度制 1.定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad. 2.公式角α的弧度数公式 |α|=1r(弧长用l 表示) 角度与弧度的换算①1°=π180 rad;②1 rad=180()π° 弧长公式 弧长l=|α|r扇形面积公式 面积S=12l ·r=12|α|·r 2 3.规定正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.1.概念理解(1)用弧度数表示的角与弧长、半径的大小无关,而是取决于两者的比值.(2)扇形的面积公式S=12l ·r 可类比三角形的面积公式(底边长与对应高的乘积的一半)来记忆.2.与度量制相关的知识在同一个式子中角度制和弧度制不能混用.如与π终边相同的角,不3,k∈Z}能表示为{α|α=2kπ+60°,k∈Z},应表示为{α|α=2kπ+π3或{α|α=k·360°+60°,k∈Z}.三、任意角的三角函数1.定义设角α终边与单位圆交于P(x,y),则sin α=y,cos α=x,tan α(x≠0).=yx2.三角函数值在各象限内符号为正的口诀一全正,二正弦,三正切,四余弦.3.几何表示三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.与三角函数定义的应用求值相关的结论(1)已知角α终边上一点P 的坐标,则可先求出点P 到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解.(2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来求相关问题.若所给的终边是射线,三角函数值只有一种情况;若所给的终边是直线,注意要讨论两种情况,避免漏解.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出角α的三角函数值.(3)若角α终边上的点的坐标中含有参数,要讨论参数的各种情况,以确定角α终边所在的象限,进一步正确得出各个三角函数值.1.点P 从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点,则点Q 的坐标为( A ) (A)(-1233,-12) (C)(-123) 3,12) 解析:由三角函数定义可知点Q 的坐标(x,y)满足x=cos 2π3=-12,y=sin 2π3=3.故选A.2.若3π2<α<2π,则直线cos x α+sin yα=1必不经过( B ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限解析:判断cos α>0,sin α<0,数形结合可知选B. 3.若α是第二象限的角,则下列结论一定成立的是( C )(A)sin 2α>0 (B)cos 2α>0(C)tan 2α>0 (D)sin 2αcos 2α<0 解析:因为π2+2k π<α<π+2k π,k ∈Z,所以π4+k π<2α<π2+k π,k ∈Z. 当k 为偶数时,2α是第一象限角; 当k 为奇数时,2α是第三象限角. 即tan 2α>0一定成立,故选C. 4.如图所示,质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P 0(2,-2),角速度为1,那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( C )解析:因为P 0(2,-2),所以∠P 0Ox=-π4.按逆时针运动时间t 后,得∠POP 0=t,∠POx=t-π4. 由三角函数定义,知点P 的纵坐标为2sin(t-π4), 因此d=2|sin(t-π4)|. 令t=0,则d=2|sin(-π4)|=2,当t=π4时,d=0,故选C.考点一 象限角及终边相同的角[例1] (1)设集合M=|18045,Z 2k x x k ⎧⎫=⋅︒+︒∈⎨⎬⎩⎭,N=|18045,Z 4k x x k ⎧⎫=⋅︒+︒∈⎨⎬⎩⎭,则两集合的关系为( ) (A)M=N (B)M N (C)N M (D)M ∩N=∅(2)已知角α的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界),则角α的集合为 ;(3)已知角α是第一象限角,则2α,2α的终边分别在 . 解析: (1)由于M=|18045,Z 2k x x k ⎧⎫=⋅︒+︒∈⎨⎬⎩⎭={…,-45°,45°,135°,225°,…}, N=|18045,Z 4k x x k ⎧⎫=⋅︒+︒∈⎨⎬⎩⎭={…,-45°,0°,45°,90°,135°,180°,225°,…},显然有M N. 故选B.(2)在0°～360°范围内,终边落在阴影内的角为90°≤α≤135°或270°≤α≤315°.所以终边落在阴影所表示的范围内的角α的集合为{α|90°+k ·360°≤α≤135°+k ·360°,k ∈Z}∪{α|270°+k ·360°≤α≤315°+k ·360°,k ∈Z} ={α|90°+2k ·180°≤α≤135°+2k ·180°,k ∈Z}∪ {α|90°+(2k+1)·180°≤α≤135°+(2k+1)·180°,k ∈Z}={α|90°+n ·180°≤α≤135°+n ·180°,n ∈Z}. (3)因为2k π<α<2k π+π4,k ∈Z,所以4k π<2α<4k π+π,k ∈Z,k π<2α<k π+π4,k ∈Z. 所以2α的终边在第一或第二象限或y 轴非负半轴上,2α的终边在第一或第三象限. 答案:(1)B(2){α|90°+n ·180°≤α≤135°+n ·180°,n ∈Z} (3)第一或第二象限或y 轴非负半轴上,第一或第三象限(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角.(2)利用终边相同的角的集合S={β|β=2k π+α,k ∈Z}判断一个角β所在的象限时,只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和,然后判断角α所在的象限. (3)角α与2α所在象限的关系:如图所示,若α为第一象限角,则2α为第一、三象限角,其终边所在位置即图中Ⅰ区域.1.已知点P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,则角θ的终边所在的象限是( B ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限解析:因为点P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限, 所以sin θcos θ<0,2cos θ<0,即sin >0,cos <0,θθ⎧⎨⎩ 所以θ为第二象限角, 故选B.2.(2019·浙南联盟考)若α是第三象限角,则y=sin2sin2α+cos2cos2α的值为( A ) (A)0 (B)2 (C)-2 (D)2或-2解析:由于α是第三象限角,所以2α是第二或第四象限角, 当2α是第二象限角时, y=sin 2sin2αα+cos 2cos2αα-=1-1=0;当2α是第四象限角时,y=sin 2sin2αα-+cos 2cos2αα=-1+1=0.故选A.考点二 扇形的弧长、面积公式[例2] 已知一扇形的圆心角为α(α>0),所在圆的半径为R. (1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;(2)若扇形的周长是一定值C,当α为多少弧度时,该扇形有最大面积? 解:(1)设弧长为l,弓形面积为S 弓,则α=60°=π3rad,R=10 cm,l=π3×10=10π3(cm), S 弓=S 扇-S 三角形=12×10π3×10-12×102×sin π3=503π-503=50(π3-3)(cm 2).(2)扇形周长C=2R+l=2R+αR,所以R=2C α+, 所以S 扇=12α·R 2=12α·(2C α+)2 =22C α·2144αα++ =22C ·144αα++≤216C .当且仅当α2=4,即α=2 rad 时,扇形面积有最大值216C .(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.若扇形的圆心角是α=120°,弦长AB=12 cm,则弧长l 等于( B ) 43π83 cm 3 cm3 cm解析:设扇形的半径为r cm,如图.由sin 60°=6r,得3,所以l=|α|·r=2π3×383(cm).故选B.考点三三角函数的定义的应用[例3] 已知角α的终边上一点3≠0),且sin α2m,求cos α,tan α的值.解:由题设知3所以r2=|OP|232+m2(O为原点),23m+.所以sin α=mr 2m22所以23m+2即3+m2=8,解得m=5当5235所以cos α322-6,tan α15当5235所以cos α322-6,tan α=15.利用三角函数的定义求一个角的三角函数值,需确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x,纵坐标y,该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上,此时注意“在终边上任取一点”应分为两种情况(点所在象限不同)进行分析.1.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ等于( B )(A)-45(B)-35(C)35(D)45解析:取终边上一点(a,2a)(a≠0),根据任意角的三角函数定义,可得cos θ=5,故cos 2θ=2cos2θ-1=-35.故选B.2.已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴正半轴,若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ25,则y= .解析224y+,216y+25可知y<0,解得y=-8.答案:-8考点四易错辨析[例4]如图所示,已知l1⊥l2,圆心在l1上、半径为1 m的圆O在t=0时与l2相切于点A,圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动,圆被直线l2所截上方圆弧长记为x,令y=cos x,则y与时间t(0≤t≤1,单位:s)的函数y=f(t)的图象大致为( )解析:圆半径为1,设弧长x所对的圆心角为α,则α=x,如图所示, α=1-t,cos2x=1-t,即cos2x-1=2(1-t)2-1则y=cos x=2cos22=2(t-1)2-1(0≤t≤1).其图象为以t=1为对称轴、开口向上、在[0,1]上的一段抛物线.故选B.(1)不理解题意,运动变化的观念淡薄.近年来高考注重了由“静态数学”向“动态数学”的引导,一般以简单几何图形的平移、滑动、滚动等形式,运用三角知识考查分析问题、解决问题的能力.α=1-t.三角定义掌握与应用不熟练.(2)没有抓住不变量:α=x,cos2(3)求解二次函数图象时易忽略t的范围.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致为( C )解析:如图,取AP的中点为D,连接OD.设∠DOA=θ,则d=2sin θ,l=2θ,l.故选C.故d=2sin2。
新高考数学A版讲义：三角函数第1节 任意角和弧度制
第1节任意角和弧度制要点一：任意角知识点一任意角1．角的概念：可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．2．角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角α的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．思考角的概念中主要包含哪些要素？答案角的概念包含的三要素为：顶点、始边、终边．3．角的分类：知识点二角的加法与减法设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．(1)α＋β：把角α的终边旋转角β.(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．知识点三象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．知识点四终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．题型一、任意角的概念例1下列结论：①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③小于90°的角为锐角；④钝角比第三象限角小；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确的结论为________(填序号)．答案②解析①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；③小于90°的角可以是零角，也可以是负角，故③不正确；④钝角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故④不正确；⑤0°角或负角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确．反思感悟理解与角的概念有关的问题关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．跟踪训练1若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为()A．120° B．－120° C．－60° D．60°解析由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－412×360°＝－120°.题型二、终边相同的角及象限角例2将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，并指出是第几象限角．(1)420°；(2)－510°；(3)1 020°.解(1)420°＝360°＋60°，而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角．(2)－510°＝－2×360°＋210°，而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角．(3)1 020°＝2×360°＋300°，而300°是第四象限角，故1 020°是第四象限角．反思感悟首先把各角写成k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，然后只需判断α所在的象限即可．跟踪训练2(1)在四个角20°，－30°，100°，220°中，第二象限角的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3答案B(2)与－460°角终边相同的角可以表示成()A．460°＋k·360°，k∈Z B．100°＋k·360°，k∈ZC．260°＋k·360°，k∈Z D．－260°＋k·360°，k∈Z答案C解析因为－460°＝260°＋(－2)×360°，故－460°可以表示成260°＋k·360°，k∈Z，故选C.三、区域角的表示例3 已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围．解 终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S 1＝{α|α＝30°＋k ·180°，k ∈Z }，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S 2＝{α|α＝105°＋k ·180°，k ∈Z }，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k ·180°≤α<105°＋k ·180°，k ∈Z }． 反思感悟 表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：分别标出起始和终止边界对应的－180°～180°范围内的角α和β，写出最简区间{x |α<x <β}；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．跟踪训练3 如图所示，写出顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．解 如题图(1)所示，以OB 为终边的角有330°角，可看成是－30°，∴以OA ，OB 为终边的角的集合分别是：S 1＝{x |x ＝75°＋k ·360°，k ∈Z }，S 2＝{x |x ＝－30°＋k ·360°，k ∈Z }． ∴终边落在阴影部分的角的集合为{θ|k ·360°－30°≤θ≤k ·360°＋75°，k ∈Z }． 如题图(2)所示，以OB 为终边的角有225°角，可看成是－135°，∴终边落在阴影部分的角的集合为{θ|－135°＋k ·360°≤θ≤135°＋k ·360°，k ∈Z }．确定nα及αn所在的象限典例 已知α是第二象限角，求角α2所在的象限．解 方法一 ∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )． ∴k 2·360°＋45°<α2<k2·360°＋90°(k ∈Z )． 当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z )，得n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°，这表明α2是第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z )，得n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°，这表明α2是第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．方法二 如图，先将各象限分成2等份，再从x 轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为α2的终边所在的区域，故α2为第一或第三象限角．延伸探究1．在本例条件下，求角2α的终边的位置．解 ∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )． ∴k ·720°＋180°<2α<k ·720°＋360°(k ∈Z )．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上． 2．若本例条件中角α变为第三象限角，求角α2是第几象限角．解 如图所示，先将各象限分成2等份，再从x 轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的区域即为角α2的终边所在的区域，故角α2为第二或第四象限角．[素养提升] 分类讨论时要对k 的取值分以下几种情况进行讨论：k 被n 整除；k 被n 除余1；k 被n 除余2，…，k 被n 除余n －1.然后方可下结论．几何法依据数形结合，简单直观．通过该类问题，提升逻辑推理和直观想象等核心素养．要点二：弧度制知识点五 度量角的两种单位制1．角度制：定义：用度作为单位来度量角的单位制．1度的角：周角的1360.2．弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制，1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角． 知识点六 弧度数的计算思考 比值lr与所取的圆的半径大小是否有关？答案 一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关． 知识点七 角度与弧度的互化知识点八 弧度制下的弧长与扇形面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l ＝αR .(2)扇形面积公式：S ＝12lR ＝12αR 2.思考 扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？ 答案 扇形的面积公式与三角形的面积公式类似．实际上，扇形可看作是一曲边三角形，弧是底，半径是底上的高．题型一、弧度制的概念 例1 下列说法正确的是( )A ．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径B ．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大C ．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等D ．用弧度表示的角都是正角解析 对于A ，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A 正确；对于B ，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B 错误；对于C ，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不等的，故C 错误；对于D ，用弧度表示的角也可以不是正角，故D 错误． 反思感悟 对弧度制定义的三点说明(1)不管是以弧度还是度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值． (2)在弧度制下，“弧度”二字或“rad ”可以省略不写，如2 rad 可简写为2. (3)用弧度与度去度量同一个角时，除了零角以外，所得到的数量是不同的． 跟踪训练1 下列各说法中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角C ．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度D ．不论用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关解析 根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D 是错误的，其他A ，B ，C 正确． 题型二、角度制与弧度制的互化例2 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π9.解 (1)72°＝72×π180＝2π5；(2)－300°＝－300×π180＝－5π3；(3)2＝2×⎝⎛⎭⎫180π°＝⎝⎛⎭⎫360π°；(4)－2π9＝－⎝⎛⎭⎫2π9×180π°＝－40°. 反思感悟 角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数．跟踪训练2 已知α＝15°，β＝π10，γ＝1，θ＝105°，φ＝7π12，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．解 α<β<γ<θ＝φ.题型三、与扇形的弧长、面积有关的计算例3 已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数． 解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm ，半径为R cm ， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2R ＝10，①12lR ＝4. ②①代入②得R 2－5R ＋4＝0，解之得R 1＝1，R 2＝4.当R ＝1时，l ＝8，此时，θ＝8 rad>2π rad 舍去．当R ＝4时，l ＝2，此时，θ＝24＝12(rad)．延伸探究1．已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积． 解 设扇形弧长为l ，因为圆心角72°＝72×π180＝2π5 rad ，所以扇形弧长l ＝|α|·r ＝2π5×20＝8π，于是，扇形的面积S ＝12l ·r ＝12×8π×20＝80π. 2．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？ 解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，半径为r ，面积为S ， 则l ＋2r ＝4，所以l ＝4－2r ⎝⎛⎭⎫21＋π<r <2，所以S ＝12l ·r ＝12×(4－2r )×r ＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，所以当r ＝1时，S 最大，且S max ＝1，因此，θ＝l r ＝4－2×11＝2(rad)．反思感悟 扇形的弧长和面积的求解策略(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lR ＝12αR 2(其中l 是扇形的弧长，R 是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)．(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． 跟踪训练3 已知扇形的半径为10 cm ，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积． 解 已知扇形的圆心角α＝60°＝π3，半径r ＝10 cm ，则弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3(cm)，于是面积S ＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3(cm 2)．任意角1．－870°角的终边所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限角，故选C.2．与－457°角的终边相同的角的集合是()A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z} B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z} D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}答案C3．下面各组角中，终边相同的是()A．390°，690° B．－330°，750°C．480°，－420° D．3 000°，－840°解析因为－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，所以－330°与750°终边相同．4．下面说法正确的个数为()①第二象限角大于第一象限角；②终边在x轴非负半轴上的角是零角；③钝角是第二象限角．A．0 B．1 C．2 D．3解析第二象限角如120°比第一象限角390°要小，故①错；360°的整数倍的角终边都在x轴非负半轴上，故②错；③中钝角是第二象限角是对的．所以正确的只有1个．5．若α是第四象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．6．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是____．解析顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°.又50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°.7．与－2 019°角终边相同的最小正角是________．解析因为－2 019°＝－6×360°＋141°，所以所求角为141°.8．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．解析根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k ＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内的角为120°. 9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．10．写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合．解先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．11．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在()A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限解析当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．故α在第一或第三象限．12．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是()A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋α解析特例法，取α＝30°，可知C正确．作为选择题，用特例求解更简便些．一般角所在的象限讨论，应学会用旋转的方法找角所在的象限．如，α＋90°，将角α的终边逆时针旋转90°，α－90°，则将α的终边顺时针旋转90°，角180°＋α的终边为角α的终边反向延长线，180°－α，先将角α的终边关于x轴对称，再关于原点对称，即可得到180°－α的终边等等．13．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α的取值范围是____．解析方法一(并集法)在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为30°<α<150°和210°<α<330°.所以α∈{α|k·360°＋30°<α<k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°<α<k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°<α<2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°<α<(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}．方法二 (旋转法)观察图形可知，图中阴影成“对角型”区域，其中一个区域逆(或顺)时针旋转180°，恰好与另一个区域重合，由此可知α∈{α|n ·180°＋30°<α<n ·180°＋150°，n ∈Z }．14．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边与终边，则角α＝________. 解析 ∵角5α与α具有相同的始边与终边，∴5α＝k ·360°＋α，k ∈Z ，得4α＝k ·360°，k ∈Z ， ∴α＝k ·90°，k ∈Z ，又180°<α<360°，∴当k ＝3时，α＝270°.15．已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是第________象限角．解析 由题意知k ·360°<2α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，故k ·180°<α<90°＋k ·180°(k ∈Z )，按照k 的奇偶性进行讨论．当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°<α<90°＋n ·360°(n ∈Z )，∴α在第一象限；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，180°＋n ·360°<α<270°＋n ·360°(n ∈Z )，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．16．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．解 由题意可知α＋β＝－280°＋k ·360°，k ∈Z .∵α，β为锐角，∴0°<α＋β<180°.取k ＝1，得α＋β＝80°①；α－β＝670°＋k ·360°，k ∈Z .∵α，β为锐角，∴－90°<α－β<90°.取k ＝－2，得α－β＝－50°②；由①②得α＝15°，β＝65°.弧度制1．－120°化为弧度为( )A ．－56πB ．－π2C ．－23πD ．－34π解析 由于1°＝π180 rad ，所以－120°＝－120×π180＝－2π3，故选C.2．若圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍解析 ∵l ＝|α|R ，∴|α|＝l R .当R ，l 均变为原来的2倍时，|α|不变．而S ＝12|α|R 2中，∵α不变，∴S 变为原来的4倍．3．用弧度制表示终边与150°角相同的角的集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪ β＝－5π6＋2k π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋k ·360°，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪ β＝2π3＋2k π，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋2k π，k ∈Z 解析 150°＝150×π180＝5π6，故终边与角150°相同的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋2k π，k ∈Z .故选D.4．圆的半径为r ，该圆上长为32r 的弧所对的圆心角是( )A.23 radB.32 radC.23πD.32π 解析 由弧度数公式α＝l r ，得α＝32r r ＝32，因此圆弧所对的圆心角是32rad.5．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角所表示的范围(阴影部分)是( )解析 k 为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y ＝x 左上部分(包含边界)，k 为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y ＝x 的右下部分(包含边界)．故选C. 6.π12 rad ＝________度，________ rad ＝－480°. 解析π12＝180°12＝15°，－480°＝－480×π180＝－8π3. 7．把角－690°化为2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式为________．解析 方法一 －690°＝－⎝⎛⎭⎫690×π180＝－236π.因为－236π＝－4π＋π6，所以－690°＝－4π＋π6. 方法二 －690°＝－2×360°＋30°，则－690°＝－4π＋π6.8．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是______弧度，扇形面积是______． 解析 |α|＝l r ＝128＝32，S ＝12l ·r ＝12×12×8＝48.9．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角． (1)－1 725°；(2)－60°＋360°·k (k ∈Z )．解 (1)－1 725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋5π12＝－115π12，是第一象限角．(2)－60°＋360°·k ＝－π180×60＋2π·k ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，是第四象限角．10．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.(1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .解 (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形，∴α＝∠AOB ＝60°＝π3.(2)由(1)可知α＝π3，r ＝10，∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3，∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·32AB ＝12×10×53＝253，∴S 弓形＝S 扇形－S △AOB ＝25⎝⎛⎭⎫2π3－3.11．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }B ．终边在y 轴上角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝π2＋k π，k ∈Z C ．终边在坐标轴上角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π2，k ∈Z D ．终边在直线y ＝x 上角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈Z 解析 对于A ，终边在x 轴上角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }，故A 正确；对于B ，终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝π2＋k π，k ∈Z ，故B 正确； 对于C ，终边在x 轴上的角的集合为{α|α＝k π，k ∈Z }，终边在y 轴上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝π2＋k π，k ∈Z ，其并集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π2，k ∈Z ，故C 正确；对于D ，终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝π4＋k π，k ∈Z ，故D 不正确． 12．圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为( ) A ．1 B.12 C.π6或5π6 D.π3或5π3解析 设该弦所对的圆周角为α，则其圆心角为2α或2π－2α，由于弦长等于半径， 所以可得2α＝π3或2π－2α＝π3，解得α＝π6或α＝5π6.13．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π<α<π}，则M ∩N ＝____________. 解析 由－π<k π2－π3<π，得－43<k <83.因为k ∈Z ，所以k ＝－1,0,1,2，所以M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π6，－π3，π6，2π3.14．已知一扇形的弧长为2π9，面积为2π9，则其半径r ＝________，圆心角为________．解析 设圆心角度数为α，因为扇形的弧长为2π9，面积为2π9＝12×2π9×r ，解得r ＝2，由于扇形的弧长为2π9＝rα＝2α，解得α＝π9.15．扇形圆心角为π3，半径为a ，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为________．解析 如图，设内切圆半径为r ，则r ＝a 3，所以S 圆＝π·⎝⎛⎭⎫a 32＝πa 29，S 扇＝12a 2·π3＝πa 26，所以S 圆S 扇＝23.16.如图，动点P ，Q 从点A (4,0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间及P ，Q 点各自走过的弧长．解 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t 秒，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，所以t ＝4 秒，即P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4 s. P 点走过的弧长为4π3×4＝16π3，Q 点走过的弧长为2π3×4＝8π3.。
三角函数解三角形第1讲任意角和蝗制及任意角的三角函数讲义理-高考数学一轮复习资料
第三章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数1.任意角的概念01端点从一个位置旋转到另一个位置所成(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着□的图形．(2)角的分类(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式01半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．正角的弧度数是一(1)定义：把长度等于□个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)公式3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝□01y ，cos α＝□02x ，tan α＝□03y x. (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的□04正弦线、□05余弦线和□06正切线．1．概念辨析(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( )(3)不相等的角终边一定不相同．( )(4)借助三角函数线可知，若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．小题热身(1)下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A.2k π＋45°(k ∈Z ) B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C解析 角度制与弧度制不能混用，排除A ，B ；因为9π4＝2π＋π4，所以与9π4终边相同的角可表示为k ·360°＋45°(k ∈Z )或k ·360°－315°等，故选C.(2)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 D解析 因为sin θ<0，所以θ的终边位于x 轴的下方，因为tan θ<0，所以θ的终边在第二、四象限，所以角θ的终边一定落在第四象限．(3)已知扇形的圆心角为120°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________． 答案 3π解析 设此扇形的半径为r ，由题意得2π3r ＝2π，所以r ＝3，所以此扇形的面积为12×2π×3＝3π.(4)设角θ的终边经过点P (4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝________. 答案115解析 因为r ＝|OP |＝42＋－2＝5，所以cos θ＝45，sin θ＝－35，所以2cos θ－sin θ＝2×45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝115.题型 一 象限角与终边相同的角1．(2018·长春一模)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A ．{α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝2k π－π3，k ∈ZB ．{α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝2k π＋2π3，k ∈ZC ．{α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π－2π3，k ∈Z D ．{α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π－π3，k ∈Z 答案 D解析 因为直线y ＝－3x 的倾斜角是2π3，所以终边落在直线y ＝－3x 上的角的取值集合为{α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π－π3，k ∈Z ，故选D. 2．与2019°的终边相同，且在0°～360°内的角是________． 答案 219°解析 因为2019°＝5×360°＋219°，所以与2019°终边相同的角可表示为k ·360°＋219°(k ∈Z )．其中在0°～360°内的角是219°.3．若角α是第二象限角，则α2是第________象限角．答案 一或三解析 因为角α是第二象限角， 所以2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z ，所以k π＋π4<α2<k π＋π2，k ∈Z .所以α2是第一或第三象限角．1．象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．(2)转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．2．表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间．(3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．如举例说明3中角α的表示方法.1.已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角． 答案 一解析 α的终边与－α的终边关于x 轴对称，－α的终边逆时针旋转180°得180°－α的终边，所以由α是第二象限角可知，180°－α是第一象限角.2.在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 答案 －675°或－315°解析 与45°终边相同的角可表示为α＝k ·360°＋45°(k ∈Z )，当k ＝－1时，α＝－360°＋45°＝－315°；当k ＝－2时，α＝－720°＋45°＝－675°，所以在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为－675°或－315°.3.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________．答案 {α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π4<α<2k π＋5π6，k ∈Z解析 在[0,2π)内，终边落在阴影部分的角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π6，所以所求角的集合为{α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π4<α<2k π＋5π6，k ∈Z .题型 二 弧度制、扇形的弧长及面积公式的应用1.已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( ) A.2 B ．1 C.12 D ．3答案 A解析 解法一：设此扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则2r ＋l ＝4，面积S ＝12rl ＝12r (4－2r )＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，故当r ＝1时S 最大， 这时l ＝4－2r ＝2.从而α＝l r ＝21＝2.解法二：设扇形圆心角的弧度数为α， 弧长为l ，则l ＋2lα＝4.故l ＝41＋2α.又S ＝12lr ＝l 22α＝41＋2α212α＝8α＋4α＋4≤84＋4＝1. 当且仅当α＝4α，即α＝2时，S 取最大值.2.(2018·成都模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为1，那么这个圆心角所对的弧长是________．答案1sin1解析如图所示，设半径为R ，则12R ＝sin1，所以R ＝12sin1， 弧长l ＝αR ＝2R ＝1sin1.条件探究1 若举例说明1改为扇形的圆心角为6，面积为13，求扇形的弧长．解 设扇形的半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝6，12lr ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2，r ＝13.条件探究2 若举例说明1条件改为扇形的面积是4 cm 2，当扇形周长最小时，求扇形的圆心角的弧度数．解 设此扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， 则扇形的面积S ＝12lr ＝12αr ·r ＝12αr 2＝4，所以αr ＝8r，设扇形的周长为L ，则L ＝2r ＋αr ＝2r ＋8r，r ∈(0，＋∞)，由L ′＝2－8r 2＝2r 2－8r2＝r ＋r －r 2＝0，得r ＝2，当r ∈(0,2)时，L ′<0，L ＝2r ＋8r单调递减， 当r ∈(2，＋∞)时，L ′>0，L ＝2r ＋8r单调递增，所以当r ＝2时，扇形的周长L 取得最小值， 此时扇形的圆心角α＝8r 2＝84＝2.应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.1.扇形弧长为20 cm ，圆心角为100°，则该扇形的面积为________ cm 2. 答案360π解析 由弧长公式l ＝|α|r ，得r ＝20100π180＝36π，∴S 扇形＝12lr ＝12×20×36π＝360π.2.如果一个扇形的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．答案 3解析 设这个扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，变化后半径为r ′，弧长为l ′，圆心角为α′，则α′＝l ′r ′＝32l 12r ＝3α，所以该弧所对的圆心角是原来的3倍.题型 三 任意角三角函数的定义及应用角度1 利用三角函数的定义求值1.(2018·济南二模)已知角α的终边经过点(m ，－2m )，其中m ≠0，则sin α＋cos α等于( )A.－55 B ．±55 C ．－35 D ．±35答案 B解析 ∵角α的终边经过点(m ，－2m )，其中m ≠0，则当m >0时，x ＝m ，y ＝－2m ，r＝5|m |＝5m ，sin α＝y r ＝－2m 5m ＝－255，cos α＝x r ＝m 5m ＝55，sin α＋cos α＝－55.当m <0时，x ＝m ，y ＝－2m ，r ＝5|m |＝－5m ，sin α＝y r ＝－2m －5m ＝255，cos α＝x r ＝m－5m＝－55，sin α＋cos α＝55.综上可得，sin α＋cos α＝±55.角度2 三角函数值符号的判定2.(2018·怀化模拟)sin2·cos3·tan4的值( ) A.小于0 B ．大于0 C.等于0 D ．不存在答案 A解析 因为π2<2<3<π<4<3π2，所以2 rad 和3 rad 的角是第二象限角，4 rad 的角是第三象限角，所以sin2>0，cos3<0，tan4>0，所以sin2·cos3·tan4<0.角度3 三角函数线的应用3.函数y ＝2sin x －1的定义域为________．答案 {x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z解析 ∵2sin x －1≥0，∴sin x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示)．∴x ∈{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z .1.用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．2．三角函数值符号的记忆口诀 一全正、二正弦，三正切、四余弦． 3．三角函数线的两个主要应用 (1)三角式比较大小； (2)解三角不等式(方程).1.若sin θ·cos θ<0，tan θsin θ>0，则角θ是( )A.第一象限角 B ．第二象限角 C.第三象限角 D ．第四象限角答案 D解析 由tan θsin θ>0，得1cos θ>0，cos θ>0，又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，所以θ为第四象限角，选D.2.满足cos α≤－12的角α的集合为________．答案 {α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z解析 由三角函数线画出满足条件的x 的终边范围(如图阴影所示)．所以α∈{α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z .3.已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则x ＝________.答案 52解析r＝|OP|＝－x2＋－2＝x2＋36，因为cosα＝－513，所以－xx2＋36＝－513，显然x＞0，解得x＝52.。