任意角和弧度制知识点和练习测验题
教师版__任意角和弧度制知识点和练习
9.一扇形半径长与弧长之比是3：，则该扇形所含弓形面积与该扇形的
面积之比为（ ）
（A）（B）（C） (D)
针对练习
1．下列角中终边与330°相同的角是（ ）
Α.30° B.-30° C.630° D.-630°
2．下列命题正确的是（ ）
A.终边相同的角一定相等 B.第一象限的角都是锐角。 C.锐角都是第一象
12．已知是第二象限角，且则的范围是
.
三、解答题
13. 在与范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象
限角？
（1）
（2）
（3）
14．写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（用弧度制表示）
（1）
（2）
（3）
于的角是锐角。
其中正确的命题序号是
。
例2：写出终边在直线上的角的集合；
练习：写出终边在直线上的角的集合。 例3： 求两个集合的交集 已知集合，， 练习：1、集合，，则等于（ ）
A、 B、 C、 D、 2、集合，，则等于（ ） （A） （B） （C） （D） 3、，求 例4：判断下列角的集合的关系： 已知集合集合,则（ ）
A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B．第一象限的角是锐角
C．第二象限的角比第一象限的角大 D．角α是第四象限角的充要条件 是2kπ－
＜α＜2kπ(k∈Z) 14．设k∈Z，下列终边相同的角是 （ ）
A．（2k+1）·180°与（4k±1）·180° B．k·90°与k·180°+90° C．k·180°+30°与k·360°±30° D．k·180°+60°与k·60° 15．若90°＜－α＜180°，则180°－α与α的终边 （ ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．以上 都不对 16．设集合M={α|α=
高一任意角与弧度制题型练习(全)
任意角知识梳理一、角的概念的推广1.角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角．①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角．例如，画出下列各角：，，．2.在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角．二、终边相同的角的集合设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为．集合的每一个元素都与的终边相同，当时，对应元素为．例如，如图，角、角和角都是以射线为终边的角，它们是终边相同的角．特别提醒：为任意角，“”这一条件不能漏；与中间用“”连接，可理解成；当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差的整数倍．终边不同则表示的角一定不同．三、区间角、区域角1.区间角、区域角的定义介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如．终边介于某两角终边之间的角的几何叫做区域角，显然区域角包括无数个区间角．2.区域角的写法（1）若角的终边落在一个扇形区域内，写区域角时，先依逆时针方向由小到大写出一个区间角，然后在它的两端分别加上“”，右端末注明“”即可．（2）若角的终边落在两个对称的扇形区域内，写区域角时，可以先写出终边落在一个扇形区域内的一个区间角，在此区间角的两端分别加上“”，右端末注明“”即可．例如，求终边落在图中阴影内（包括边界）的角的集合，可先求落在第一象限内的区间角，故终边落在图中阴影内（包括边界）的角的集合为．3.各象限角的集合象限角象限角的集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角四、倍角和分角问题已知角的终边所在的象限，求的终边所在象限．1.代数法由的范围求出的范围．通过分类讨论把写成的形式，然后判断的终边所在的象限．2.几何法画出区域：将坐标系每个象限等分，得个区域．标号：自轴正向起，沿逆时针方向把每个区域依次标上、、、，如图所示（此时）．确定区域：找出与角的终边所在象限标号一致的区域，即为所求．题型训练题型一任意角的概念1.下列四个命题中，正确的是（）A．第一象限的角必是锐角B．锐角必是第一象限的角C．终边相同的角必相等D．第二象限的角必大于第一象限的角2.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③锐角一定是第一象限的角；④小于的角一定是锐角；⑤终边相同的角一定相等．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．43.设集合，，则?题型二终边相同的角的集合1.下列各个角中与2020°终边相同的是（）A．-150°B．680°C．220°D．320°2.写出终边在图中直线上的角的集合．3.写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．4.下列各组中，终边相同的角是（）A．和（）B．和C．和D．和5.若角与的终边关于轴对称，且，则所构成的集合为．6.与2021°终边相同的最小正角是．7.写出角的终边在阴影中的角的集合．题型三象限角的定义1.在，，，，这五个角中，属于第二象限角的个数是（）A．2B．3C．4D．52.若是第四象限角，则一定是第几象限角？3.已知，则所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第一或第二象限D．第三或第四象限题型四角所在象限的研究1.已知α为第二象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限2.已知θ为第二象限角，那么是（）A．第一或第二象限角B．第一或四象限角C．第二或四象限角D．第一、二或第四象限角3.若是第二象限角，则，是第几象限角？弧度制知识梳理一、弧度制和弧度制与角度制的换算1.角度制角可以用度为单位进行度量，度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2.弧度制①弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．②弧度制定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．记法：用符号表示，读作弧度．特别提醒：（1）用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，如角可写成．而用度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不可以省略．（2）不管是以弧度还是以度为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．二、角度与弧度的换算1.弧度与角度的换算公式(1)关键:抓住互化公式rad=180°是关键;(2)方法：度数弧度数；弧度数度数2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表：【注意】①在同一问题中，角度制与弧度制不能混用；②弧度制下角可以与实数可以建立一一对应的关系，所以弧度制表示的角的范围可以用区间表示，如，但角度制表示的角的范围一般不用区间表示，即不用表示，因为区间表示的是数集，但角度数不是实数．三、弧长公式、扇形面积公式如图，设扇形的半径为，弧长为，圆心角为．1.弧长公式：．注意：在应用弧长公式时，要注意的单位是“弧度”，而不是“度”，如果一直角是以“度”为单位的，则必须先把它化为以“弧度”为单位，再代入计算．2.扇形面积公式：．3.弧长公式及扇形面积公式的两种表示角度制弧度制弧长公式扇形面积公式注意事项是扇形的半径，是圆心角的角度数是扇形的半径，是圆心角的弧度数题型训练题型一弧度制与角度制互化1.与角终边相同的最小正角是？（用弧度制表示）2.若四边形的四个内角之比为，则四个内角的弧度数依次为．3.对应的弧度数为4.把化为弧度的结果是5.如图，用弧度制表示终边落在下列阴影部分的角．6.若θ=-3rad，则θ的终边落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限题型二扇形的弧长、面积、与圆心角问题1.半径为，中心角为的角所对的弧长为（）A．B．C．D．2.已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（）A．2B．4C．6D．83.已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为？4.一个扇形的弧长与面积都是，则这个扇形圆心角的弧度数为（）A．B．C．D．5.已知弧度的圆心角所对的弦长为，那么，这个圆心角所对的弧长是（）A．B．C．D．6.半径为，圆心角为的扇形的弧长为（）A．B．C．D．7.设扇形的弧长为，半径为，则该扇形的面积为?8.已知扇形的周长为，面积为，则扇形圆心角的弧度数为?。
高中数学任意角与弧度制(原卷版)
5.1 任意角和弧度制考点一：任意角1．角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．2．角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角α的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．3．角的分类：（根据旋转方向）名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角考点二角的加法与减法设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．(1)α＋β：把角α的终边旋转角β.(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．考点三象限角与轴线角（根据终边所在位置）把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就说这个角是轴线角．考点四终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．注意：(1)角的集合表示形式不唯一.(2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同.考点五：度量角的两种单位制1．角度制：(1)定义：用度作为单位来度量角的单位制．(2)1度的角：周角的1360.2．弧度制：(1)定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．考点六：弧度数的计算考点七：角度与弧度的互化利用弧度与角度换算公式 考点八：弧度制下的弧长与扇形面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则（1）弧长公式：l ＝αR .（2）扇形面积公式：S ＝12lR ＝12αR 2.（3）扇形的周长公式：r lC 2+=. （4）弓形的面积公式：∆-=s s s 扇弓考点九：象限角与轴线角10.017451801801801(57.30rad rad radrad ππππ⎧=≈⎪⎪=⎨⎪=≈⎪⎩）考点十.成特殊关系的两角：1.若角与角的终边关于x 轴对称，则角与角的关系：，Z k ∈2.若角与角的终边关于y 轴对称，则角与角的关系：,Z k ∈3.若角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：,Z k ∈4.若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：,Z k ∈5.与终边反向的角：6.终边在y=x 轴上的角的集合：7. 终边在轴上的角的集合：αβαββα-=k 360αβαββα-+= 180360k αβαβ 90360±+=βαk αβαββα+=k 180α{(21)180,}k k Z ββα︒=++⨯∈{}Z k k ∈+⨯=,45180|ββx y -={}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ题型一：任意角的概念1．平面直角坐标系中，取角的顶点为坐标原点，角的始边为x 轴的非负半轴，下列说法正确的是（ ）A ．第一象限角一定不是负角B ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C ．第二象限角必大于第一象限角D ．钝角的终边在第二象限 2．下列说法中，正确的是（ ） A ．锐角是第一象限的角 B ．终边相同的角必相等C ．小于90︒的角一定为锐角D ．第二象限的角必大于第一象限的角3．下列命题中正确的是（ ） A ．第一象限角是锐角 B ．锐角是第一象限角C ．终边相同的角必相等D ．第二象限角必大于第一象限角题型二：终边相同的角4．终边落在直线y =上的角α的集合为（ ） A ．{}18030,Z k k αα=⋅︒+︒∈ B ．{}18060,Z k k αα=⋅︒+︒∈ C ．{}36030,k k αα=⋅︒+︒∈ZD ．{}36060,Z k k αα=⋅︒+︒∈5．把375-︒表示成2πk θ+，Z k ∈的形式，则θ的值可以是（ ） A ．π12B ．π12-C ．5π12D ．5π12-6．下列与角23π的终边一定相同的角是（ ） A ．53π B ．()43k k Z ππ-∈ C ．()223k k Z ππ+∈ D ．()()2213k k Z ππ++∈题型三：象限角7．若α是锐角，则k θπα=+，()k ∈Z 是（ ） A ．第一象限角B ．第三象限角C ．第一象限角或第三象限角D ．第二象限角或第四象限角8．下列说法中，正确的是（ ） A ．第二象限的角是钝角 B ．第二象限的角必大于第一象限的角 C ．150-︒是第二象限的角 D ．25216,46744,118744'''-︒︒︒是终边相同的角9．“α是第四象限角”是“2α是第二或第四象限角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件题型四：确定n 倍角所在象限10．若α是第一象限角，则2α-是（ ） A ．第一象限角 B ．第一、四象限角 C ．第二象限角 D ．第二、四象限角11．下列有4个命题：（1）第二象限角大于第一象限角；（2）不相等的角终边可以相同；（3）若α是第二象限角，2α一定是第四象限角；（4）终边在x 轴正半轴上的角是零角；其中正确的命题有（ ） A ．（1）（2）B ．（3）（4）C ．（2）D ．（1）（2）（3）（4）12．角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限题型五：度量角的两种单位制（角度制和弧度制）13．考生你好，本场考试需要2小时，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π-C ．6π D ．6π-14．现有两个相互啮合的齿轮，大轮有64齿，小轮有24齿，当小轮转一周时，大轮转动的弧度是（ ）A ．π2B ．7π8C ．34π D ．16π315．如图所示的时钟显示的时刻为10：10，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针（ ） A ．23π B ．2336πC ．1118πD ．712π 变式.下列说法中正确的是（） A.1弧度是1度的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度为半径长的弧C.1弧度是1度的弧与1度的角之和D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位题型六：角度与弧度的互化16．下列结论错误的是（ ） A ．－150°化成弧度是7rad 6π- B ．10rad 3π-化成度是－600° C ．6730︒'化成弧度是3rad 8π D ．rad 12π化成度是15°17． 把下列各角从弧度化为度： (1)2π-； (2)103π； (3) 1.5-； (4)25．18．把下列各角从度化为弧度：(1)15° (2)36° (3)105-︒ (4)145°题型七：、与扇形的弧长、面积有关的计算19．已知某扇形的周长是6cm ，面积是22cm ，则该扇形的圆心角的弧度数为（ ） A ．1B ．4C ．1或4D ．1或520．已知扇形AOB 的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形AOB 的周长为（ ） A．32B ．24C ．D ．21．月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景” 之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是ABC 的外接圆和以AB 为直径的圆的一部分，若2π3ACB ∠=，南北距离AB 的长大约，则该月牙泉的面积约为（ ）（参考数据： 3.14 1.73π≈）A ．572m 2B ．1448m 2C ．1828m 2D ．2028m 2【双基达标】一、单选题22．2022°是第（ ）象限角． A ．一B ．二C ．三D ．四23．下列选项中与角30α︒=-终边相同的角是（ ） A ．30B ．240C ．390D ．33024．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（ ） A ．4sin1B ．2sin1C ．2sin1D ．4sin125．给出下列四个命题:①-75°是第四象限角； ①小于90的角是锐角；①第二象限角比第一象限角大； ①一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度. 其中正确的命题有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个26．玉雕壁画是采用传统的手工雕刻工艺，加工生产成的玉雕工艺画．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm ）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ）A ．21600cmB ．23200cmC ．23350cmD ．24800cm27．如图为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”图案，画法如下：在水平直线l 上取长度为1的线段AB ，作一个等边三角形ABC ，然后以点B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧，交线段CB 的延长线于点D ，再以点C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧，交线段AC 的延长线于点E ，以此类推，则如图所示的“螺旋蚊香”图案的总长度为（ ） A ．563πB ．14πC ．24πD ．10π28．设α是第三象限角，且sin sin22αα=-，则2α的终边所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限29．如图，写出终边落在阴影部分的角的集合.(1) (2)30．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为()0L α>． (1)已知扇形的周长为10cm ，面积是24cm ，求扇形的圆心角；(2)若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．【高分突破】一、单选题31．若角α的终边与函数()1f x x =-的图象相交，则角α的集合为（ ） A ．π5π|2π+2π,Z 44k k k αα⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭B ．3π7π|2π+2π,Z 44k k k αα⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭ C ．3ππ|2π2π,Z 44k k k αα⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭D ．5ππ|2π2π,Z 44k k k αα⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭32．已知{}4536090360k k ααα∈︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒，则角α的终边落在的阴影部分是（ ）A ．B ．C ．D ．33．一个扇形的半径为3，圆心角为α，且周长为8，则α=（ ） A ．53B ．23C ．35D ．3234．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB 上，CD AB ⊥.“会圆术”给出AB 后的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+，记实际弧长为l .当2OA =，60AOB ∠=︒时，l s -的值约为（ ）（参考数据： 3.14π≈，3 1.73≈） A ．0.01 B ．0.05 C ．0.13 D ．0.53二、多选题35．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．436．下列给出的各角中，与53π-的终边相同的角有（ ） A ．3π B ．133πC ．23π-D ．53π37．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为1S ，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为512-时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（参考数据：5 2.236≈）（ ） A ．122S S θπθ=- B ．若1212S S =，扇形的半径3R =，则12S π= C ．若扇面为“美观扇面”，则138θ≈D ．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径20R =，则此时的扇形面积为()20035- 38．若α是第二象限角，则（ ） A ．πα-是第一象限角 B ．2α是第一或第三象限角 C ．32πα+是第二象限角 D ．α-是第三或第四象限角39．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，卫星图片可以看成一个圆形，如果将其一分为二成两个扇形，设其中一个扇形的面积为1S ，圆心角为1α，天坛中剩余部分扇形的面积为2S ，圆心角为2α，()12αα<当1S 与2S 的比值为510.6182-≈时，则裁剪出来的扇形看上去较为美观，那么（ ）A ．1137.5α︒≈B ．1127.5α︒≈C ．2(51)απ=-D ．12512αα-=40．下列说法正确的是（ ） A ．150-化成弧度是76π-B ．103π-化成角度是600- C ．若角2rad α=，则角α为第二象限角D ．若一扇形的圆心角为30，半径为3cm ，则扇形面积为23cm 2π41．下列说法错误的是（ ） A ．与735°终边相同的角是15°B ．若一扇形的圆心角为15°，半径为3cm ，则扇形面积为23cm 4πC ．设α是锐角，则角2α为第一或第二象限角D ．设α是第一象限，则2α为第一或第三象限角三、填空题42．一个扇形的弧长为6π，面积为27π，则此扇形的圆心角为____________度． 43．若α是第二象限角，则180°－α是第______象限角．44．若两个角的差为1弧度，和为1°，则这两个角的弧度数分别为______．45．彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动所形成的轨迹．这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2，若2OA =，则AOB ∠所对应的弧长为______．46．如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合：______. 四、解答题47．已知α是第二象限角． (1)指出2α所在的象限，并用图形表示其变化范围； (2)若24α+≤，求α的取值范围．48．某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的)．已知2OA =米，OB x =米()02x <<，线段BA 、线段CD 与弧BC 、弧AD 的长度之和为6米，圆心角为θ弧度．(1)求θ关于x 的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大并求出最大值．49．集合22,Z 33A x k x k k ππππ⎧⎫=-<<+∈⎨⎬⎩⎭，222,Z 3B x k x k k πππ⎧⎫=<<+∈⎨⎬⎩⎭，,Z 62C x k x k k ππππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎩⎭，[]10,10D =-，分别求A B ⋂，A C ，A D ．。
任意角的概念与弧度制知识点习题附答案
典型题一 有关角的概念的问题
1.下列命题正确的是： （ ）
A.终边相同的角一定相等。
B.第一象限的角都是锐角。
C.锐角都是第一象限的角。
D.小于 900 的角都是锐角。
2.下列结论：①第一象限角都是锐角
②锐角都是第一象限角
③第一象限角一定不是负角
④第二象限角是钝角
⑤小于 180°的角是钝角、直角、或锐角。
4.与角 终边相同的角的集合为 k 360 , k k 180 45, k
1）终边落在 y=x 上：
45 +k 360, k
2）终边落在第一象限角平分线上：
5.弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度。 以弧度为单位来度量角的单位制度叫弧度制。
C.3 个
D.4 个
2.[四川遂宁 2019 高一测试]将表的分针拨慢 20 分钟,则分针转过的角的弧度是（
）
A. 2 3
B. 3
C. 2 3
D.
3
3.已知扇形的周长为 6cm,半径是 2cm,则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．4
B.1
C.1 或 4
D.2
4.若角α是第二象限角,则 是(
)
2
D. α-β=90°+ k 360 （k∈Z）
12.已知角α与β的终边关于 y 轴对称，则α与β的关系为（ ）
A. α-β=π+2kπ B. α-β=π +2kπ
2
13.若α=2kπ+π （k∈Z），则α的终边在（
3
3
2
C. α+β=2kπ ）
A．第一象限
B．第四象限
任意角和弧度制测试题(含解析)
任意角和弧度制测试题一、单选题1.在单位圆中，200∘的圆心角所对的弧长为( )A. 7π10B. 10π9C. 9πD. 10π二、多选题2.给出下列说法正确的有()A. 终边相同的角同一三角函数值相等；B. 不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；C. 若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；D. 若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角3.下列说法错误．．的是．( )A. 若角α=2rad，则角α为第二象限角B. 将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°C. 若角α为第一象限角，则角α2也是第一象限角D. 若一扇形的圆心角为30°，半径为3cm，则扇形面积为3π2cm24.下列结论正确的是( )A. 是第三象限角B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为C. 若角的终边过点，则D. 若角为锐角，则角为钝角三、填空题5.(1)第三象限角的集合表示为(以弧度为单位)．(2)弧度数为3的角的终边落在第象限．(3)−2π3弧度化为角度应为．(4)与880∘终边相同的最小正角是.(5)若角α的终边经过点A(−2,3)，则tanα值为．(6)已知扇形的圆心角α=2π3，半径r=3，则扇形的弧长l为．6.下列说法中，正确的是.(填序号)①第一象限的角必为锐角；②锐角是第一象限的角；③终边相同的角必相等；④小于900的角一定为锐角；⑤角α与−α的终边关于x轴对称；⑥第二象限的角必大于第一象限的角．7.集合{α|k⋅180∘+45∘⩽α⩽k⋅180∘+90∘,k∈Z}中，角所表示的取值范围(阴影部分)正确的是(填序号)．8.−600°是第象限角，与−600°终边相同的最小正角为弧度．9.线段OA的长度为3，将OA绕点O顺时针旋转120∘，得到扇形的圆心角的弧度数为，扇形的面积为．四、解答题10.已知角β的终边在直线y=−x上．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式−360°<β<360°的元素．答案和解析1.B 根据弧长公式，l =nπR 180，代入计算即可．2.AB 解：对于A ，由任意角的三角函数的定义知，终边相同的角的三角函数值相等，故A 正确；对于B ，不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，故B 正确； 对于C ，若sinα=sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y 轴对称，故C 错误；对于D ，若cos θ<0，则θ是第二或第三象限角或θ的终边落在x 轴的非正半轴上，故D 错误． 3.BCD 解：对于选项A .若角α=2rad ，2∈(π2,π)，则角α为第二象限角，正确；对于选项B .将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是−30°，故错误；对于选项C .若角α为第一象限角，2kπ<α<π2+2kπ,k ∈Z ，则kπ<α2<π4+kπ,k ∈Z ， 当k =2n ，n ∈Z 时，2nπ<α2<π4+2nπ,k ∈Z ，即角α2是第一象限角；当k =2n +1，n ∈Z 时，2nπ+π<α2<5π4+2nπ,k ∈Z ，即角α2是第三象限角； 则角α2是第一或第三象限角，故错误；对于选项D .扇形面积为30°π·32360°=3π4cm 2，故错误． 4.BC 解：A 、−7π6=−2π+5π6，所以−7π6与5π6终边相同，是第二象限角，所以不正确； B 、若圆心角为π3的扇形半径为r ，由弧长为π3⋅r =π，则半径r =3，所以该扇形面积为12×π×3=3π2，正确；C 、若角α的终边过点P(−3,4)，则r =√(−3)2+42=5，cos α=−35，正确； D 、若角α为锐角，设α=30∘，则角2α=60∘为锐角，所以不正确． 5.解：(1)第三象限角的集合表示为{α|π+2kπ<α<3π2+2kπ,k ∈Z}． 故答案为{α|π+2kπ<α<3π2+2kπ,k ∈Z}． (2）∵π2<3<π,∴弧度数为3的角为第二象限角，故其终边落在第二象限，故答案为二．(3)−2π3=−23×180°=−120°，故答案为−120∘．(4)与880∘终边相同的角α=880°+360°×k (k ∈Z )，当k =−2时，α=160∘即为最小正角，故答案为160∘．(5)根据任意角三角函数的定义，可知tanα=y x =−32，故答案为−32． (6)l =|α|·r =2π，故答案为2π． 6.解：命题①，390°角的终边在第一象限内，但不是锐角，故说法错误;命题②，锐角是第一象限角，故说法正确;命题③，390°角与30°角的终边相同，但两个角不相等，故说法错误;命题④，−30°小于90°，但不是锐角，故说法错误;命题⑤，角α与角−α的终边关于x 轴对称，故说法正确;命题⑥，120°角是第二象限角，390°角是第一象限角，120°小于390°，故说法错误． 故答案为②⑤．7.解：集合{α|k ⋅180∘+45∘⩽α⩽k ⋅180∘+90∘,k ∈Z}中，当k 为偶数时，集合为 {α|n ⋅360∘+45∘⩽α⩽n ⋅360∘+90∘,n ∈Z}，当k 为奇数时，集合为 {α|n ⋅360∘+225∘⩽α⩽n ⋅360∘+270∘,n ∈Z}，符合题意的只有③8.解：由−600°=(−2)×360°+120°，∴−600°在第二象限，∴与−600°终边相同的最小正角为120°，而120°=2π3，故答案为二；2π3． 9.解：由题意得扇形的圆心角α=−120∘ =−2π3，故扇形的面积S =12|α|⋅|OA|2= 12×2π3×9=3π．10.解：(1)直线y =−x 过原点，它是第二、四象限的角平分线所在的直线，故在0°～360°范围内，终边在直线y =−x 上的角有两个：135°，315°．因此，终边在直线y =−x 上的角的集合S ={β|β=135°+k ·360°,k ∈Z}∪{β|β=315°+k ·360°,k ∈Z}={β|β=135°+2k ·180°,k ∈Z}∪{β|β=135°+(2k +1)·180°,k ∈Z} ={β|β=135°+n ·180°,n ∈Z}．(2)由于−360°<β<360°，即−360°<135°+n ·180°<360°，n ∈Z ．解得−114<n <54，n ∈Z.所以n =−2，−1，0，1．所以集合S 中适合不等式−360°<β<360°的元素为：135°−2×180°=−225°；135°−1×180°=−45°；135°+0×180°=135°； 135°+1×180°=315°；(2)在集合S 内，分别取k =−2，−1，0，1，可得适合不等式−360°<β<360°的元素．。
新课标人教A版必修四《任意角和弧度制》练习及答
§1.1 任意角和弧度制班级 姓名 学号 得分一、选择题1.若α是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是 ( )(A) 90°-α (B) 90°+α (C)360°-α (D)180°+α2.终边与坐标轴重合的角α的集合是 ( )(A){α|α=k ·360°，k ∈Z} (B){α|α=k ·180°+90°，k ∈Z}(C){α|α=k ·180°，k ∈Z}(D){α|α=k ·90°，k ∈Z} 3.若角α、β的终边关于y 轴对称，则α、β的关系一定是（其中k ∈Z ） ( )(A) α+β=π （B) α-β=2π (C) α-β=(2k +1)π (D) α+β=(2k +1)π 4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 ( ) (A)3π (B)32π (C)3 (D)25.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 ( ) (A)3π (B)－3π (C)6π (D)－6π *6.已知集合A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90°的角}，下列四个命题：①A =B =C ②A ⊂C ③C ⊂A ④A ∩C =B ,其中正确的命题个数为 ( )(A)0个 (B)2个 (C)3个 (D)4个二.填空题7.终边落在x 轴负半轴的角α的集合为 ，终边在一、三象限的角平分线上的角β的集合是 .8. -1223πrad 化为角度应为 . 9.圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 倍.*10.若角α是第三象限角，则2α角的终边在 ，2α角的终边在 .三.解答题11.试写出所有终边在直线x y 3-=上的角的集合，并指出上述集合中介于-1800和1800之间的角.12.已知0°<θ<360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.13.已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？*14.如下图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A 点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.参考答案 §1.1任意角和弧度制一、CDDCBA二、7.{x |x =k ·3600+1800, k ∈Z }, {x |x =k ·1800+450,k ∈Z } ; 8.-345°; 9. 31; 10.第二或第四象限, 第一或第二象限或终边在y 轴的正半轴上三、11.{ α|α=k ·3600+1200或α=k ·3600+3000, k ∈Z } -60° 120°12.由7θ=θ+k ·360°，得θ=k ·60°（k ∈Z ）∴θ=60°，120°，180°，240°，300°13.∵l =20－2r ,∴S =21lr =21(20-2r )·r =－r 2+10r =-(r -5)2+25∴当半径r =5 cm 时，扇形的面积最大为25 cm 2,此时，α=r l =55220⨯-=2(rad) 14.A 点2分钟转过2θ，且π＜2θ＜23π,14分钟后回到原位，∴14θ=2k π,θ=72πk ，且2π<θ<43π，∴ θ=74π或75π。
高中试卷-5.1 任意角和弧度制(含答案)
5.1任意角和弧度制1. 任意角；2. 终边相同的角；3. 终边在某条直线上的角的集合；4. 区域角的表示；5. 分角、倍角所在角限的判断；6. 有关“角度”与“弧度”概念的理解；7. 角度制与弧度制的转化；8. 用弧度制表示区域角；9. 求扇形面积最值的函数思想.一、单选题1．（2021·伊美区第二中学高一月考）300-o 化为弧度是（ ）A ．43p-B ．53p -C ．23p -D ．56p -【答案】B 【解析】300530023603pp -=-´=-o 2．（2021·广东高一期末）下列各角中，与2021°终边相同的角为（ ）A ．41°B ．129°C ．219°D ．﹣231°【答案】C 【解析】因为20195360219=´+o o o ，所以219o 与2021°终边相同.故选：C.3．（2021·永昌县第四中学高一期末）若α是第四象限角，则180°＋α一定是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】B 【解析】∵α是第四象限角，∴k·360°－90°<α<k·360°.∴k·360°＋90°<180°＋α<k·360°＋180°. ∴180°＋α在第二象限，故选B.4．（2021·江西省铜鼓中学高一期末）一个扇形的圆心角为150°，面积为53π，则该扇形半径为（ ）A ．4B ．1C D ．2【答案】D 【解析】圆心角为51506pa ==o，设扇形的半径为R ，2215152326S R R p p a =×Þ=´，解得2R =.故选：D5．（2021·永州市第四中学高一月考）在0360~°°的范围内，与510°-终边相同的角是（ ）A ．330°B ．210°C ．150°D ．30°【答案】B 【解析】因为510720210°-=-+o o ,则在0360~°°的范围内，与510°-终边相同的角是210°,故选：B.6．（2021·山西平城·大同一中高一月考）已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的面积为（ ）．A ．8cm 2B ．10cm 2C ．12cm 2D ．14cm 2【答案】A 【解析】设扇形的半径为r cm ，∵扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，∴2412r r +=，得2r =，∴此扇形的面积214282S =´´=（cm 2），故选：A ．7．（2021·河南林州一中高一月考）已知集合A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}，则A∩B＝( )A ．{α|α为锐角}B ．{α|α小于90°}C ．{α|α为第一象限角}D ．以上都不对【答案】D【解析】∵A＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}，∴A∩B＝{小于90°且在第一象限的角}，对于A ：小于90°的角不一定是第一象限的，不正确，比如﹣30°；对于B ：小于90°的角且在第一象限的角不一定是0°～90°的角，不正确，例如﹣300°；对于C ：第一象限的角不一定是小于90°的角且在第一象限的角，不正确，例如380°，故选D ．8．（2021·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高一期末）已知半径为1的扇形面积为38p，则扇形的圆心角为（ ）A ．316p B ．38p C ．34p D ．32p 【答案】C 【解析】由212S r a =得231182p a =´´，所以34pa =，故选：C.9.（2021·山东潍坊·高一期末）已知某扇形的半径为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积为（ ）A ．232cm B ．216cm C ．28cm D ．24cm 【答案】B【解析】由题意，某扇形的半径为4cm ，圆心角为2rad ，根据扇形的面积公式，可得22211241622S r cm a ==´´= 所以此扇形的面积为216cm .故选：B.10．（2021·四川德阳·高三其他（理））将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以A 、B 、C 为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线G （又称莱洛三角形），下列关于曲线G 的描述中，正确的有（ ）（1）曲线G 不是等宽曲线；（2）曲线G 是等宽曲线且宽为线段AB 的长；（3）曲线G 是等宽曲线且宽为弧AB 的长；（4）在曲线G 和圆的宽相等，则它们的周长相等；（5）若曲线G 和圆的宽相等，则它们的面积相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】若曲线G 和圆的宽相等，设曲线G 的宽为1，则圆的半径为12，（1）根据定义，可以得曲线G 是等宽曲线，错误；（2）曲线G 是等宽曲线且宽为线段AB 的长，正确；（3）根据（2）得（3）错误；（4）曲线G 的周长为1326p p ´´=，圆的周长为122p p ´=，故它们的周长相等，正确；（5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为2166p p´=，正三角形的面积1112S =´´=，则一个弓形面积6S p=，则整个区域的面积为3(62pp -=-而圆的面积为2124p p æö=ç÷èø，不相等，故错误；综上，正确的有2个，故选：B.二、多选题11.（2021·涟水县第一中学高一月考）下列四个选项正确的有（ ）A ．75-°角是第四象限角B ．225°角是第三象限角C ．475°角是第二象限角D ．315-°是第一象限角【答案】ABCD 【解析】对于A 如图1所示，75-°角是第四象限角；对于B 如图2所示，225°角是第三象限角；对于C 如图3所示，475°角是第二象限角；对于D 如图4所示，315-°角是第一象限角.故选：ABCD .12．（2021·全国高一课时练习）下列与412°角的终边相同的角是（ ）A ．52°B ．778°C ．308-°D ．1132°【答案】ACD 【解析】因为41236052=°°+°，所以与412°角的终边相同角为36052,k k Z b =´°+°Î，当1k =-时，308b =-°，当0k =时，52b =°，当2k =时，772b =°，当3k =时，1132b =°，当4k =时，1492b =°，综上，选项A 、C 、D 正确.故选：ACD.13．（2021·全国高一课时练习）下列条件中，能使a 和b 的终边关于y 轴对称的是（ ）A ．90a b +=oB ．180a b +=oC ．()36090k k Z a b °°+=×+ÎD ．()360k k Z a b °+=×ÎE.()()21180k k Z a b +=+×Îo【答案】BE【解析】假设a 、b 为0180o o :内的角，如图所示，因为a 、b 的终边关于y 轴对称，所以180a b °+=，所以B 满足条件；结合终边相同的角的概念，可得()()36018021180Z k k k a b +=×+=+×Îooo，所以E 满足条件，ACD 都不满足条件．故选：BE.14．（2021·重庆高一月考）设a 是第三象限角，则2a所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】BD【解析】a Q 是第三象限角，360180360270k k a \×°+°<<×°+°，k Z Î，则180901801352k k a×°+°<<×°+°，k Z Î，令2k n =，n Z Î有360903601352n n a×°+°<<×°+°，n Z Î；在二象限；21k n =+，n z Î，有3602703603152n n a×°+°<<×°+°，n Z Î；在四象限；故选：B D ．三、填空题15．（2021·宁县第二中学高一期中）已知角a 的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么a Î________.【答案】{}|180********,n n n a a ×°+°<<×°+°ÎZ .【解析】在0360o o :范围内，终边落在阴影内的角a 满足：30150a <<o o 或210330a <<o o\满足题意的角a 为：{}{}30360150360210360330360k k k k a a a a +×<<+×È+×<<+×oo o o o o o o{}{}302180150218021021803302180k k k k a a a a =+×<<+×È+×<<+×o o o o o o o o{}()(){}3021801502180302118015021180k k k k a a a a =+×<<+×È++×<<++×o o o o o o o o{}30180150180n n a a =+×<<+×o o o o ，k Z Î，n ZÎ本题正确结果：{}30180150180,n n n Za a +×<<+×Îoooo16．（2018·福建高一期中）已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为 ．【答案】4【解析】设扇形半径为r ，弧长为l ，则142{2lr l r==，解得4{2l r ==．17．（2021·上海杨浦·复旦附中高一月考）一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度【答案】12【解析】设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为a ，因为扇形的面积为1，弧长也为1，可得21121r r a a ì×=ïíï=î，即221r r a a ì×=í=î，解得12,2r a ==.故答案为：12四、双空题18．（2021·上海高一课时练习）24°=_________弧度；49p 弧度=________.【答案】215p 80° 【解析】根据角度制与弧度制的互化公式1801,1180rad pp==oo，可得2180241245pp °==´，441808099p =´=o o .故答案为：215p ，80o .19．（2021·全国高一课时练习）（1）给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角或直角或锐角.其中正确说法的序号为________.(把正确说法的序号都写上)（2）将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________.【答案】② 120-° 【解析】（1）①锐角的范围为()0,90°°是第一象限的角，命题①正确；②第一象限角的范围为()()360,90360k k k Z ×°°+×°Î，故第一象限角可以为负角，故②错误；③根据任意角的概念，可知小于180°的角，可以为负角，故③错误；故答案为：②（2）将时针拨快20分钟，则分针顺时针转过120°，即转过的度数为120-°故答案为：120-°20．（2021·浙江柯城·衢州二中高三一模）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB 长是__________，弧田的面积是__________．【答案】 【解析】∵如图，弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，过O 作OC AB ^，交AB 于D ，根据圆的几何性质可知，OC 垂直平分AB .∴α＝∠AOB＝46p ＝23p ，可得∠AOD＝3p，OA ＝6，∴AB＝2AD ＝2OAsin3p＝2×66，∴弧田的面积S ＝S 扇形OAB ﹣S △OAB ＝12´4π×6﹣132´．故答案为：．21．（2021·宁波市北仑中学高一期中）已知扇形的周长为40，当它的圆心角为____时，扇形的面积最大，最大面积为____.【答案】2 100【解析】设扇形半径为r ，则其弧长为402r -，4020,20r r -><，∴020r <<．∴221(402)20(10)1002S r r r r r =-=-+=--+，∴10r =时，max 100S =．此时圆心角为40210210-´=．故答案为：2；100．五、解答题22．（2021·全国高一课时练习）写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．【答案】{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}；元素β见解析【解析】与α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}．∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，∴1111363636k £< (k∈Z)，故取k ＝4,5,6.k ＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°；k ＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°；k ＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°.23.（2021·全国高一课时练习）写出终边在直线y x =上的角的集合.【答案】{|=,}6k k Z pb b p +Î【解析】直线y x=的倾斜角为6p a =，所以终边在直线y x=上的角为=2,6k k Z p b p +Î或7=2,6k k Z p b p +Î，=2(21),66k k k Z ppb p p p ++=++Î，综合得终边在直线y x =上的角为=,6k k Z p b p +Î，所以终边在直线y x =上的角的集合为{|=,}6k k Z p b b p +Î.24.（2021·全国高一课时练习）已知a 为第二象限角，则2a 是第几象限角？【答案】第一或第三象限角【解析】∵a 是第二象限角，∴+2+22k k k Z p p a p p <<Î，，∴++422k k k Zpapp p <<Î，.当k 为偶数时，2a 是第一象限角；当k 为奇数时，2a 是第三象限角．所以2a第一或第三象限角.点睛:确定2()*n n N n a³Î，终边位置的方法步骤：(1)用终边相同角的形式表示出角a 的范围；(2)写出n a的范围；(3)根据k 的可能取值讨论确定n a的终边所在位置25．（2021·全国高一课时练习）已知如图．（1）写出终边落在射线OA 、OB 上的角的集合；（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．【答案】（1）终边落在射线OA 上的角的集合为{}210360,k k Z a a =+×Îo o ，终边落在射线OB 上的角的集合为{}300360,k k Z a a =+×Îo o ；（2）{}210360300360,k k k Z a a +×££+×Îo o o o .【解析】（1）终边落在射线OA 上的角的集合是{}210360,k k Z a a =+×Îo o ，终边落在射线OB 上的角的集合{}300360,k k Z a a =+×Îo o ；（2）终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是{}210360300360,k k k Z a a +×££+×Îo o o o .26．（2021·全国高一课时练习）已知扇形AOB 的圆心角α为23p ，半径长R 为6，求：（1）弧AB 的长；（2）扇形所含弓形的面积.【答案】（1）4π；（2）12π－【解析】（1）l ＝α·R＝23π×6＝4π，所以弧AB 的长为4π.（2）S 扇形OAB ＝12lR ＝12×4π×6＝12π.如图所示，过点O 作OD⊥AB，交AB 于点D ，23π＝120°，所以∠AOD＝60°，∠DAO＝30°，于是有S △OAB ＝12×AB×OD＝12×2×6cos 30°×3＝所以弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－.所以弓形的面积是12π－.27．（2021·浙江高一课时练习）已知一扇形的圆心角为(0)a a >，所在圆的半径为R.（1）若60a °=，10R cm =，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角a 等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?【答案】（1）103cm p ，()2503cm p æ-çè；（2）2rad a =.【解析】（1）设扇形的弧长为l ，弓形面积为S ，则603pa °==，10R =，101033l cm pp =´=，()22110501010233S cm p p æ=´´-=-çè.（2）设扇形弧长为l ，则220l R +=，即10202101l R R p æö=-<<ç÷+èø，∴扇形面积2211(202)10(5)2522S IR R R R R R ==-×=-+=--+，∴当5R cm =时，S 有最大值225cm ，此时10l cm =，2rad l Ra ==.因此当2rad a =时，这个扇形面积最大.点睛:12,2C l R S lR =+=当周长C 为定值时可得面积()211222S C R R R CR =-=-+当面积S 为定值时可得周长22S C R R =+.。
(完整版)任意角和弧度制知识点和练习
知识点一：任意角的表示⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角知识点二：象限角的范围2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z o o o 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z o o o o 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z o终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z o o 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z o知识点三：终边角的范围3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z o4、已知α是第几象限角，确定()*n n α∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n α终边所落在的区域．知识点四：弧度制的转换5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=o ，1180π=o ，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭oo ． 知识点五：扇形8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．例题分析【例1】如果α角是第二象限的角，那么2α角是第几象限的角？说说你的理由。
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知识点一：任意角
⎧⎪
⎨⎪⎩
正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角
2、象限角：角α地顶点与原点重合，角地始边与x 轴地非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．
第一象限角地集合为{}
36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角地集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z
第三象限角地集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角地集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上地角地集合为{}180,k k αα=⋅∈Z
终边在y 轴上地角地集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上地角地集合为{}90,k k αα=⋅∈Z
3、终边相同地角：
与角α终边相同地角地集合为{}
360,k k ββα=⋅+∈Z 4、已知α是第几象限角，确定
()*
n n
α
∈N 所在象限：若α是第k 象限角，把单位圆上每个象限地圆弧n 等分，并从x 轴正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上1,2,3,4，再循环，直到填满为止，则有标号k
地区域是角
n
α
终边所在地范围.b5E2R 。
知识点二、弧度制地转换：
5、长度等于半径长地弧所对地圆心角叫做1弧度．
6、半径为r 地圆地圆心角α所对弧地长为l ，则角α地弧度数地绝对值是l
r
α=． 7、弧度制与角度制地换算公式：2360π=，1180π
=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝
⎭
． 特殊角地弧度数：
00
030
045
060
090
0120
0135
0150
0180
知识点五：扇形
8、若扇形地圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，
则弧长公式：l r α=，扇形周长：2C r l =+，扇形面积：211
S lr r α==．
例题分析
【例1】在～ 间，找出与下列各角终边相同地角，并判定它们是第几象限角
（1） ；（2）
；（3）
．
【例2】如果α角是第二象限地角，那么
2α，3
α
角分别是第几象限地角？说说你地理由.
【例3】写出角地终边在图中阴影区域内地角地集合(不包括边界)
【例4】（1）扇形地中心角为π3
2
，弧长为π2，则其半径=r ______．
（2）一条弦地长等于半径，则这条弦所对地圆心角是弧度．
（3）点P 从圆心在原点O 地单位圆上点)0,1(出发，沿逆时针方向运动π65
弧长，到达点Q ，则点
Q 地坐标是_______________. p1Ean 。
（4）将65π
rad 化为角度是．
（5）已知扇形地周长为cm 3
24π
+
,其半径为cm 2,则该扇形地圆心角地弧度数为. （6）若2弧度地圆心角所对地弦长为2，则这个圆心角所夹扇形地面积为（ ）
A 、1sin 2
B 、21sin 2
C 、 21sin 1
D 、tan1
【例5】如图,一条弦AB 地长等于它所在地圆地半径R,求弦AB 和劣弧AB 所组成地弓形地面积.
A B
R R
【例6】如图，圆上一点A 以逆时针方向作匀速圆周运动，已知点A 每分钟转过θ角（0πθ<≤），经过2分钟到达第三象限，经过14分钟回到原来位置，求θ地大小．DXDiT 。
【例7】一扇形周长为20cm ，当扇形地圆心角α等于多少弧度时，这个扇形地面积最大？并求此
扇形地最大面积？RTCrp 。
针对练习
1．下列角中终边与330°相同地角是（ ）
Α.30° B.-30° C.630° D.-630° 2．下列命题正确地是（ ）
Α.终边相同地角一定相等. B.第一象限地角都是锐角. C.锐角都是第一象限地角. D.小于︒90地角都是锐角.
3．如果一扇形地弧长为2πcm ，半径等于2cm ，则扇形所对圆心角为（ ）
Ａ．π Ｂ．2π Ｃ．π2 Ｄ．3π
2
4.若α是第四象限角，则180°+α一定是（ ）
Α.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角 5．若3rad α=-，则它是（ ）C
A 、第一象限角
B 、第二象限角
C 、第三象限角
D 、第四象限角 6.一个半径为R 地扇形，它地周长为4R ，则这个扇形所含弓形地面积为（ ）
Ａ．2112sin 222
R ⎛⎫-
⎪⎝
⎭
Ｂ．21sin 22
R Ｃ．212
R
Ｄ．221
sin 22
R R -
7．若α角地终边落在第三或第四象限，则2α
地终边落在（ ） A ．第一或第三象限 B ．第二或第四象限
8．某扇形地面积为12cm ，它地周长为4cm ，那么该扇形圆心角地度数为 （ ）
A ．2°
B ．2
C ．4°
D ．4 9．下列说法正确地是
（ ）
A ．1弧度角地大小与圆地半径无关
B ．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大
C ．圆心角为1弧度地扇形地弧长都相等
D ．用弧度表示地角都是正角
10．已知弧度数为2地圆心角所对地弦长也是2，则这个圆心角所对地弧长是 （ ）
A ．2
B ．
1
sin 2
C ．1sin 2
D ．2sin
二、填空题
11．若三角形地三个内角地比等于2:3:7，则各内角地弧度数分别为．
12.将时钟拨快了10分钟，则时针转了度，分针转了弧度．
13．若角α地终边为第二象限地角平分线，则α地集合为______________________．
14．已知α是第二象限角，且,4|2|≤+α则α地范围是. 三、解答题
15.求所有与所给角终边相同地角地集合，并求出其中地最小正角，最大负角： （1） 210-； （2）731484'- ．
16．写出角地终边在下图中阴影区域内角地集合（用弧度制表示）
（1）（2）（3）
17．绳子绕在半径为50cm地轮圈上，绳子地下端B处悬挂着物体W，如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转4圈，那么需要多少秒钟才能把物体W地位置向上提升100cm?5PCzV。
18、已知两角地和为1弧度，两角地差为1°，求这两个角各是多少弧度？
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