初中常见动点问题解题方法

2. 如图，∠AOB=30°，内有一点P且OP=2， 若M、N为边OA、OB上两动点，那么△PMN 的周长最小为（ ） A．2√6 B.6 C. √6/2 点在两条直线上，定点和其中一个动点共 例 、如图，在锐角△ABC中AB=4√2,∠BAC=45°， 线，求不共线动点分别到定点和另一动点的距 ∠BAC的平分线交 BC于点D,M、N分别是AD、AB上 离和最小值 。 的动点，则 BM+MN的最小值是 ________ 思路：（1）利用轴对称变换，使不共线动点在另一动 点的对称点与定点的连线段上（两点之间线段 最短） （2）这条线段垂直于另一动点的对称点所在直 线时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段 的长。
两个动点（一）
例、如图，∠ AOB=45°，P是∠AOB内一 特点：已知一个定点位于平面内两相交直线之间， 点，PO=10， Q、R分别是OA、OB上的动点， 分别在两直线上确定两个动点使线段和最小。
求△PQR周长的最小值是__________ 。
思路：这类问题通过做这一定点关于两条线的对称 点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同 一直线上来解决。
（1）求证：AE=DF
解析：
在△DFC中， ∵∠DFC=90o，∠C=30o，
A E
1单位/s 2单位/s
30o
5 3
DC=2t,
∴DF=t 又∵AE=t，∴AE=DF。
t
t
B
2t
30o
D
C
F
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由.
解析：
能，理由如下， 由（1）知AE=DF ∵AB⊥BC，DF⊥BC， ∴AE ∥ DF ∴四边形AEFD为平行四边形。 在Rt△ABC中， 设AB=x, 则AC=2x, ∵ AB2 BC 2 AC 2 ∴ X 5 3 2X
t=6 A
P
D
动点构成特殊图形解题方法
1、把握运动变化的形式及过程;思考运动初始状 态时几何元素的关系，以及可求出的量 2、先确定特定图形中动点的位置,画出符合题意 的图形———化动为静
3、根据已知条件，将动点的移动距离以及解决 问题时所需要的条件用含t的代数式表示出来
4、根据所求,利用特殊图形的性质或相互关系， 找出等量关系列出方程来解决动点问题
初中常见动点问题解题方法
唐江红旗学校 张远强
引言
以运动的观点探究几何图形部分规律的问题， 称之为动态几何问题.动态几何问题充分体现了数学 中的“变”与“不变”的和谐统一，其特点是图形 中的某些元素（点、线段、角等）或某部分几何图 形按一定的规律运动变化，从而又引起了其它一些 元素的数量、位置关系、图形重叠部分的面积或某 部分图形等发生变化，但是图形的一些元素数量和 关系在运动变化的过程中却互相依存，具有一定的 规律可寻.
1单位/s
2单位/s
30o
5
5 或t=4时△DEF为直角三角形 2
A
E
30o
B
D
C
F
小结
在变化中找到不变的性质是解决数学 “动点”探究题的基本思路,这也是动态 几何数学问题中最核心的数学本质。
②当∠DEF=90o时 由（2）知EF∥AD ∴∠ADE=∠DEF=90o ∵∠A=90o-∠C=60o 1 ∴AD= AE
2
A
1单位/s 2单位/s
30o
5
E 10-2t
60o
即10-2t= t 则t=4
1 2
t
2t
30o
B
D
C
F
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
解析：
③当∠EFD=90o时, 此种情况不存在。 综上所述，当t=
常见的动点问题
一、求最值问题 二、动点构成特殊图形问题
一、求最值问题
初中利用轴对称性质实现“搬点移线”求几何图
形中一些线段和最小值问题。利用轴对称的性质解 决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三 个： （1）两点之间线段最短； （2）三角形两边之和大于第三边； （3）垂线段最短。 求线段和最小值问题可以归结为：一个动点的 最值问题，两个动点的最值问题。
2、如图，在直角梯形中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2， BC=DC=5，点P在BC上移动，当PA+PD取得 最小值时，△APD中AP边上的高为 _________
3、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C 在⊙O上，OA⊥OB, ∠AOC=60°，P是OB上 的一动点，则PA+PC的最小值是________
问题导入
如图：梯形ABCD中，AD//BC， AD=9cm,BC=6cm，点P从点A出发， 沿着AD的方向向终点D以每秒一个 单位的速度运动，当点P在AD上运 P 动时，设运动时间为t，求当t为何值 A 时，四边形APCB为平行四边形.
B C
D
解析
∵四边形APCB为平行四边形 B
6
t
C
∴ AP=6
2
1单位/s 2单位/s
30o
5 3
A E
t
2
10-2t


2
t
B
2t
30o
解得x= 5 ,即AB= 5 ,AC=10. ∴若使平行四边形AEFD为菱形， 10 则须AD=AE，即t= 10 -2t, t= 3 10 即当t= 3 时，四边形AEFD为菱形。
D
C
F
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
一、求最值问题
一个动点
特点： 已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上确定一 例、如图，正方形 ABCD的面积为12，△ABE是等边 动点的位置，使动点与两定点线段和最小，求出最小值。 三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一动点P， 思路： 的值最小，则其最小值是 解决这类题目的方法是找出其中一定点关于直线的对称点， 使PD+PE ______ 连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点 满足最值的位置。
2 3
p
考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等 边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称 点就在这个图形上。
练习
1、如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线， F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2， 当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ） A．15° B.22.5° C.30° D. 45°
例、如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一
点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点， 求△PQR周长的最小值是__________ 。 10 2
解析：
过OB作P的对称点 P ' 过OA作P的对称点 P '' 连接 OP '，OP '' 连接 P 'P '' 与OB，OA的交点即为R、Q 由对称性知： PR+PQ+RQ=P 'P ''
小结
以“搬点移线”为主要方法，利用轴 对称性质求解决几何图形中一些线段和最 小值问题。如何实现“搬点移线”
（1）确定被“搬”的点 （2）确定被“移”的线
二、动点构成特殊图形
问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形, 所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别 要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形 的特殊位置).分析图形变化过程中变量和其他量之 间的关系，或是找到变化中的不变量，建立方程或 函数关系解决。
例题讲解
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5 3，∠C=30°. 点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速 运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度 向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随 之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作 DF⊥BC于点F，连接DE、EF. （1）求证：AE=DF； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果 能，求出相应的t值；如果不能，说明理由. （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？ 请说明理由.
E
P'
R
B
P
｛
∠ P 'O P '' =
90°
O
Q
A
OP= OP ' = OP '' =10
∴△PQR周长的最小值= P 'P '' =
P ''
F
练习
1. 如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内 部的一个定点，且OP=2，点E、F分别是OA、OB 上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α=（ ） A．30° B.45° C.60° D.90°
1单位/s
解析
2单位/s
①当∠EDF=90o时 若∠EDF=90o时，则四边形EBFD为矩形
30o
5 3
在Rt△AED中， ∵∠ADE=∠C=30o , ∴AD=2AE 即10-2t=2t,t=
A E
10-2t
30o
t 2t
30o
B
D
C
F
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
解析：
练习
1. 如图，在△ABC中，∠C=90°，CB=CA=4， ∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC 和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是____________
2. 在锐角三角形ABC中，AB=4，∠BAC=60°， ∠BAC的平分线BC于D，M、N分别是AD与AB 上动点，则BM+MN的最小值是 _________ ．