第九章2 多元回归分析
第九章 回归分析
系数：
参数a、b的最小二乘估计
A good
line is one that minimizes the sum of squared differences between the points and the line.
根据推导，
a y bx
( x x )( y y ) b (x x)
Multiple Regression
R2adj - “adjusted R-square”
R2是一个受自变量个数与样本规模之比（k:n）影响的系数，一般是1：10 以上为好。当这个比值小于1：5时，R2倾向于高估实际的拟合的程度。 Takes into account the number of regressors in the model
X的变异
r2
Y的变异
Simple Regression
R2 - “Goodness of fit”
For simple regression, R2 is the square of the correlation coefficient
Reflects variance accounted for in data by the best-fit line
第九章 多元回归分析
浙江师范大学教育学院心理系
徐长江 xucj@
纲要
回归分析的基本原理
一元回归分析 多元回归分析
多元回归分析的方法 多元回归分析的实现
回归分析的目的
设法找出变量间的依存(数量)关系, 用函数 关系式表达出来
Example: Height vs Weight
Takes values between 0 (0%) and 1 (100%) Frequently expressed as percentage, rather than decimal
第九章：回归分析-30页文档
Chapter 11
Regression and Correlation
Techniques that are used to establish whether there is a mathematical relationship between two or more variables, so that the behavior of one variable can be used to predict the behavior of others. Applicable to “Variables” data only.
run
axis.
b
0
X
A simple linear relationship can be described mathematically by
Y = mX + b
Simple Linear Regression
slope =
rise run
=
(6 - 3)
1
=
(10 - 4)
2
Y
rise
5
run intercept = 1
Rent
Step 1: Scatter plot
2500 2300 2100 1900 1700 1500 1300 1100 900 700 500
500 700 900 1100 1300 1500 1700 1900 2100
Size
Scatter plot suggests that there is a ‘linear’ relationship between Rent and Size
High
多元回归分析的原理和应用
多元回归分析的原理和应用1. 引言多元回归分析是统计学中一种常用的分析方法，用于研究多个自变量和一个因变量之间的关系。
它可以帮助我们理解多个变量对一个变量的影响程度，并通过建立数学模型来预测因变量的值。
2. 基本原理多元回归分析基于线性回归模型进行建模，其中一个因变量可以通过多个自变量的线性组合来描述。
该模型的数学表示为：Y = β0 + β1*X1 + β2*X2 + ... + βn*Xn + ε其中，Y是因变量的值，X1、X2、…、Xn是自变量的值，β0、β1、β2、…、βn是回归系数，ε是误差项。
3. 模型建立与评估在进行多元回归分析时，首先需要选择合适的自变量来建立模型。
可以通过观察变量之间的相关性、领域知识和实际经验来选择自变量。
然后，通过最小二乘法估计回归系数，使得模型在样本中的拟合误差最小化。
模型的拟合优度可以通过判定系数R2来评估。
R2越接近1，说明模型能够较好地解释因变量的变异；R^2越接近0，说明模型解释能力较差。
4. 样本数据分析多元回归分析通常需要一定量的样本数据来建立和验证模型。
样本数据应该具有代表性，并且满足一些基本假设，例如线性关系和误差项的独立性。
在分析样本数据时，可以使用统计软件如SPSS、R或Python等来实现多元回归分析。
这些软件提供了丰富的功能和工具，帮助研究者快速、准确地进行分析。
5. 应用领域多元回归分析在许多领域有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：5.1 经济学多元回归分析在经济学中用于研究经济变量之间的关系，如GDP、通货膨胀率、失业率等，帮助经济学家预测经济发展趋势、评估政策效果等。
5.2 社会科学在社会科学领域，多元回归分析被广泛应用于研究人类行为、社会问题等。
通过分析不同因素对社会现象的影响，可以帮助社会科学家理解社会现象的成因和解决途径。
5.3 健康科学多元回归分析在健康科学中用于研究健康影响因素，如疾病发生率、死亡率等。
通过分析各种生活方式、环境因素对健康的影响，可以帮助医生和公共卫生工作者制定合理的防控措施。
多元回归分析及其应用
多元回归分析及其应用多元回归分析是一种统计分析方法，可以用来研究多个自变量对一个因变量的影响关系。
相比于简单回归分析，多元回归分析考虑了更多因素的影响，能够更准确地描述变量之间的关系。
本文将介绍多元回归分析的基本原理和应用，以及如何进行该分析的步骤和解读结果。
一、多元回归分析的基本原理多元回归分析建立在线性回归的基础上，使用线性方程来描述因变量与自变量之间的关系。
它的基本模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y表示因变量，X1、X2...Xn表示自变量，β0、β1...βn表示模型的系数，ε表示误差项。
多元回归分析的目标是通过拟合最佳的模型，得到各个自变量的系数，以及判断自变量对因变量的影响是否显著。
二、多元回归分析的步骤进行多元回归分析时，需要按照以下步骤进行：1. 数据收集与准备：收集与研究问题相关的数据，并进行数据清洗与整理，确保数据的准确性和完整性。
2. 模型设定：根据研究问题和数据特点，选择适当的模型。
根据自变量和因变量的关系类型，可以选择线性回归、多项式回归、对数回归等各种模型。
3. 模型拟合：使用统计软件进行多元回归分析，拟合出最佳模型。
统计软件会给出各个自变量的系数、截距项以及模型的可靠性指标。
4. 模型诊断：对模型进行诊断，检查模型的合理性和符合假设的程度。
可以通过观察残差图、相关系数矩阵、变量的显著性检验等方法来评估模型的质量。
5. 结果解读：根据模型的系数和统计指标，对结果进行解读。
判断自变量对因变量的影响是否显著，并分析各个自变量之间的相互影响。
三、多元回归分析的应用领域多元回归分析在各个学科和领域都有广泛的应用。
以下是其中几个具体领域的示例：1. 经济学：多元回归分析可以用来研究经济变量之间的关系，如GDP、失业率、通货膨胀率等。
2. 医学：多元回归分析可以帮助医学研究人员研究不同因素对疾病发展的影响，如药物剂量、生活方式等。
多元回归分析法介绍和具体应用
多元回归分析法介绍和具体应用Y=β0+β1X1+β2X2+...+βpXp+ε其中，Y是依变量，X1,X2,...,Xp是自变量，β0,β1,β2,...,βp 是回归系数，ε是误差项。
1.收集数据：收集与研究对象相关的自变量和依变量数据。
2.建立模型：根据理论分析或经验，选择合适的自变量，并构建线性回归模型。
3.估计回归系数：利用最小二乘法等方法，估计模型中的回归系数。
4.检验回归模型的显著性：通过计算F统计量或t统计量，判断回归模型是否显著。
5.判断自变量的重要性：利用回归系数的显著性检验或变量的贡献度等指标，判断自变量对依变量的重要性。
6.检查模型的拟合度：通过分析残差、检验回归模型的假设条件等方法，检查模型的拟合度。
7.利用模型进行预测和推断：利用已建立的回归模型，进行依变量的预测和自变量的推断。
1.经济学：多元回归分析可用于研究宏观经济指标与影响因素之间的关系，如利率与货币供应量、GDP与投资、通胀率与产出等。
2.金融学：多元回归分析可用于分析影响股价、汇率、利率等金融变量的因素，帮助投资者制定合理的投资策略。
3.市场营销：多元回归分析可用于研究产品销售量与产品特征、价格、广告投入等之间的关系，为市场营销决策提供依据。
4.生物学：多元回归分析可用于研究生物学变量与环境因素之间的关系，如物种多样性与温度、植物生长与土壤养分等。
5.医学：多元回归分析可用于研究疾病发生与影响因素之间的关系，如心脏病与高血压、肥胖与糖尿病等。
6.社会科学：多元回归分析可用于研究社会科学变量与社会因素之间的关系，如教育水平与收入、犯罪率与失业率等。
总之，多元回归分析是一种重要的统计分析方法，可用于研究多个自变量对一个依变量的影响，并在各个领域中发挥重要作用，为决策提供科学依据。
在实际应用中，需要注意合理选择自变量、遵守回归模型的假设条件，并进行适当的模型检验和解释。
多元回归分析范文
多元回归分析范文多元回归分析是一种统计分析方法，用于探究多个自变量与一个因变量之间的关系。
它是简单回归分析的扩展，可以更准确地预测因变量的值，并提供对自变量的影响程度的评估。
在本文中，将介绍多元回归分析的原理、步骤和应用，并将其与其他相关的统计分析方法进行比较。
Y=β0+β1X1+β2X2+β3X3+…+βnXn+ε其中，β0为常数项，β1,β2,β3为自变量的系数，ε为误差项。
多元回归分析的目标是通过估计自变量的系数，找到一个最佳的拟合线来预测因变量的值。
1.数据收集：收集包括因变量和自变量在内的相关数据。
2.数据预处理：处理缺失值、异常值等数据，进行变量转换和标准化等操作。
3.模型拟合：使用最小二乘法估计自变量的系数，并通过显著性检验确定哪些自变量对因变量有显著影响。
4.模型评价：通过诸如回归系数、拟合优度等指标评价模型的拟合效果。
5.模型预测：利用拟合好的模型进行因变量的预测。
多元回归分析的应用非常广泛。
在社会科学领域，可以用于预测人们的投票行为、消费行为等。
在经济学中，可以用于分析商品价格与销量之间的关系，以及其他经济因素对市场产生的影响。
在医学领域，可以用于分析多个因素对疾病发生的影响。
在工程领域，可以用于预测产品性能与各个因素之间的关系。
与其他统计分析方法相比，多元回归分析的优点在于可以同时考虑多个自变量对因变量的影响，提供更全面的预测能力。
它可以揭示多个自变量之间的相互作用效应和各自的独立影响，并通过系数的大小提供对各个自变量的相对重要性的评估。
此外，多元回归分析还可以控制其他变量，剔除掉与因变量无关的影响。
然而，多元回归分析也存在一些局限性，如对线性假设的依赖、需要满足一些基本假设（如线性无关性、同方差性等）等。
总之，多元回归分析是一种重要的统计分析方法，可应用于多个领域。
通过分析多个自变量与一个因变量之间的关系，可以提供更准确的预测和深入的解释。
然而，在应用多元回归分析时，需要注意对数据的收集和预处理，并且验证模型的拟合优度和假设的合理性。
多元回归分析
( 1 , 2 , , n )
( 0 , 1 ,
T
, p )T
1 x11 1 x21 X 1 xn1
x12 x22 xn 2
x1 p x2 p xnp
矩阵 X 是一 n ( p 1) 阶矩阵，称 X 为回归设计矩阵或 资料矩阵。
二、多元线性回归模型的基本假定
为了方便地进行模型的参数估计，对回归方程(7.2)式有如 下一些基本假定。 1、解释变量 x1 , x2 , , x p 是确定性 变量，不是随机变量，而 且要求 rank ( X ) p 1 n 。
2、随机误差项具有0均值和等方差（高斯-马尔柯夫条件），即
2
7.2.3 参数估计量的性质 ˆ 为 的线性无偏估计，且 D( ˆ ) Var ( ˆ ) 2 ( X T X )1 1 、 ˆ ) 0, Cov( ˆ) 2( I H ) 2、 E ( 2 3 、（Ｇauss-Markov定理）在假定 E (Y ) X , D(Y ) I n 的任一线性函数 T 的最小方差线性无偏估计（BLUE）为 时， ˆ ，其中 为 p 1维向量， 为 ˆ 的最小二乘估计。 T
在回归分析中，因变量y是随机变量，自变量x可以是随机变 量，也可以是非随机的确定变量；而在相关分析中，变量x和变 量y都是随机变量。 相关分析是测定变量之间的关系密切程度，所使用的工具是 相关系数；而回归分析则是侧重于考察变量之间的数量变化规律， 并通过一定的数学表达式来描述变量之间的关系，进而确定一个 或者几个变量的变化对另一个特定变量的影响程度。
ˆ) 0 X T (Y X
二、误差方差 2的估计
ˆ HY 为 Y 的拟合值(估计值)，其中 ˆ X 1、设Y ˆ ( I H )Y ， H X ( X T X )1 X T ，此时残差向量 ˆ Y Y n 满足以下结论： （1） H 与I n H 都是 n 阶对称幂等矩阵； T ˆ T ˆ 0 ，Y ˆ 0 ，( I n H ) X 0 ； （2） X ˆT ˆ T ( I n H ) （4）
多元回归分析
Multi Regression
22
Adjusted R2
在迴歸分析中，如果自變項的個數很多，有時 候就要用調整後的判定係數代替原先的判定係 數，因為增加新的自變項後，均會使R2變大。
「Adjusted R2」為調整後的判定係數：
SSE 2 2 n k 1 1 n 1 (1 R 2 ) Adjusted R R a 1 SST n k 1 n 1
平均平方和MS SSR MSR k SSE MSE n k 1
F F MSR MSE
ˆ Note: 殘差 ei yi yi ,i 1, 2,, n
K為預測變數個數(不含β0)
Multi Regression 18
模式檢定(1)
迴歸分析之假說檢定包括總檢定與邊際檢定兩種。 總檢定： – 目的在探討迴歸模式中的所有斜率係數是否全部 為0。 – 當斜率係數不全為0時，Y與(X1,X2,…,XK)才具有 某種程度的函數關係 。 – 總檢定之虛無假說與對立假說可列示如下： H0: j=0，對所有j H1: j0，對某些j (j=1,2,…,K) – 檢定統計量: F=MSR/MSE
2 iid
或
Y1 1 X11 X1k 0 1 Y2 1 X21 X2k 1 2 Yn 1 Xn1 Xnk k n
Yn1 Xn(k1)β(k1)1 ε n1
Multi Regression
17
迴歸分析 ―變異數分析表
變異來源 迴歸 隨機 總和 平方和SS
ˆ ˆ SSR y 2 (Y Y ) 2
SSE e 2 (Y Y ) 2
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M od e l 1
(Constant) x1 x2
B .488 .576 4.769
Std. Error 2.218 .136 1.983
x3
-2.145
1.016
a. Dependent Variable: y
Stan d a rd i ze d Co effi ci e nts
Beta
.803 .470 -.416
yi yi 2 yi yˆi 2 yˆi y2
TSS RSS ESS
❖ 例2中，方差分析表为：Residual-残差：预测值与实测值的差
ANOVAb
M od e l
1
Re gre ssi o n
Sum of Squares 803.816
Re si du a l
204.734
Total
C oe f fi c ie n tsa
Unstandardized Coefficients
Model
B
Std. Error
1
(Constant) -1353.546
162.576
X1
.544
.075
X2
1.207
.217
a. Dependent Variable: Y
Standardized Coefficients
E（ ξ i）=0 var(ξ i)=E(ξ i -E(ξ i))2=E(ξ i)2=σ2 3. 随机误差项在不同样本点之间是相互独立的，不存在 序列相关
cov(ξ i, ξ j)=0 i≠j i,j=1,2,…n cov(ξ i, ξ j)=E((ξ i -E(ξ i)(ξ j -E(ξ j))
=E(ξ i ξ j) =E(ξ i )E(ξ j) =0
1 x11 x21 … xp1 x= 1 x12 x22 … xp2
1 x1n x2n … xpn
ξ1 ξ2 e= …
bp
ξn
❖ 则 Y=XB+e
一、多元线性回归模型的基本假定
1. 解释变量x1,x2,…,xp是确定性变量，不是随机变量， 而且解释变量之间互不相关
2. 随机误差项具有零均值和同方差
若︱t︱<t α /2,则接受原假设.
❖ 如果一次t检验后,模型中存在多个不重要变量,一般是 将t值最小的变量删除掉,再重新进行检验,每次只剔除1 个变量.
Fi
bi2 aii
RSS n p 1
❖ aii是(X`X)-1主对角线上第i+1个元素
六、复相关系数和偏相关系数
复相关系数R是由ESS和TSS构造的统计量，用 来表示回归方程对原有数据拟合程度的好坏， 衡量作为一个整体的x1,x2,…,xp与y的线性关系 的大小。
如果解释变量对被解释变量的影响不显著,应从模型中删除,如果 解释变量对被解释变量的影响显著,应保留在模型中.
利用t统计量进行参数显著性检验的步骤如下:
(1) 假设: H0: bi=0 (2)构造统计量:
(3)检验
t bi sbi
sbi
s2y
xi xi 2
对给定α,若︱t︱>t α /2,说明拒绝原假设
❖ Yi= b0+b1x1i+b2x2i+…+bpxpi+ξi Y1=b0+b1x11+b2x21+…+bpxp1+ ξ1 Y2=b0+b1x12+b2x22+…+bpxp2+ ξ2 …
Yn=b0+b1x1n+b2x2n+…+bpxpn+ ξn
❖令 y1
❖ Y= y2
yn
b0 b1 ❖ B= …
❖ 回归统计量
（1）estimates:显示回归系数及相关的指标 （2）confidence intervals:显示未标准化回 归系数的置信区间
（3）covariance matrix: 未标准化回归系数 的方差—协方差矩阵 （4）model fit:模型检验
❖ 回归统计量
（5）R squared change：每引进一个x引起 的回归 （6）descriptive:显示变量的均值、标准差等 （7）Part and partial correlations:偏相关 （8）collinearity diagnostics:共线性诊断 （9）Durbon_waston:D.w.检验统计量
t .220 4.245 2.404 -2.111
Si g. .829 .001 .029 .051
Y=0.488+0.576x1+4.769x2-2.145x3 (4.245) (2.404) (-2.111)
Coefficientsa
Un stan d ard i ze d Co effi ci e nts
rp1 rp2 rpp
r11 r12 r1p r1y r21 r22 r2 p r2 y rp1 rp2 rpp rpy ry1 ry2 ryp ryy
r ij .12 i1i1 j 1 j 1 p
ij ii jj
r yi.12 i1i1 p
iy ii yy
❖ 简单相关系数只是一种表面上的数量的相关系数，而 并非本质的东西。偏相关系数才真正反映两个变量的 本质联系。
1008.550
a. Predictors: (Constant), x3, x1, x2
b. Dependent Variable: y
df 3 16 19
Mean Square 267.939 12.796
F 20.939
Si g. .000a
❖ 1.方程显著性检验(F检验)
❖ F检验是以方差分析为基础,对回归总体线性关系是否显著的一 种假设检验,是解释模型中被解释变量与所有解释变量之间的线 性关系在总体上是否显著的方法
检验的判定时，一般采用调整的R2，以消除自变量的个数以及
样本量的大小对R2的影响。
R2 ESS 1 RSS
TSS
TSS
❖
调整的R2
R 2 1 n 1 RSS
n p 1 TSS
❖ 其它变量被固定后，计算任意两个变量之间的 相关系数，这种相关系数称为偏相关系数。
r11 r12 r1p r21 r22 r2 p
yi yi 2 yi yˆi 2 yˆi y2 2yi yˆi yˆi y yi yˆi yˆi y ei yˆi y ei yˆi ei y
ei bˆ0 bˆ1x1i bˆp xpi bˆ0 ei bˆ1 ei x1i bˆp ei xpi 0
❖令
（最小二乘法）
Q
2 i
Q bˆ
0
Q 即 bˆ0
2
yi bˆ0 bˆ1x1i bˆp x pi 0
Q
bˆ1
2
yi bˆ0 bˆ1x1i bˆp x pi x1i 0
Q
bˆp
2
yi bˆ0 bˆ1x1i bˆp x pi x pi 0
4. 随机误差项与解释变量之间不相关
cov(xi, ξ i)=0 5. 随机误差项服从零均值，同方差的正态分布 ξ i～N(0，σ2 )
❖ 二、建立回归方程
❖设
Yˆ i bˆ 0 bˆ1x1i bˆ 2x2i bˆ pxpi
i yi yˆi yi bˆ 0 bˆ1x1i bˆ 2x2i bˆ pxpi
第九章 回归问题
❖ 第一节 一元线性回归 ❖ 第二节 多元线性回归 ❖ 第三节 可化为多元线性回归的问题 ❖ 第四节 曲线回归
§2 多元回归分析
❖ 一元线性回归只是回归分析中的一种特例。 ❖ 若某公司管理人员要预测来年该公司的销售额y时，
研究认为影响销售额的因素不只是广告宣传费x1,还 有消费人群个人可支配收入x2,价格x3,研究与发展 费用x4,各种投资x5,销售费用x6. ❖ ————多元回归问题。
0
xe 0
Y XB e X Y X XB X e
X XB X Y
Bˆ X X 1 X Y
❖ 三、多元线性回归模型的建模方法 ❖ 1.打开文件或新建文件
❖ 2.Analyze
regression
linear 3.建模方法
（1）enter:强迫进入法—如果因子数不多且符合多项回归条件 （2）stepwise:逐步选择法 （3）remove:强迫消除法 （4）backward:向后剔除法 （5）forward:向前引入法
R
ESS TSS
yˆi y2 yi y2
❖ 回归方程的拟合优度检验就是要检验样本数据点聚集在回归直 线周围的密集程度，从而评价回归方程对样本数据的代表程度。
由决定系数R2（有称复相关系数）来实现。
❖ 实际中，随着自变量个数的不断增加，必然会使得R2不断变化， 于是出现的问题是，R2变化是由于数学习性决定的，还是确实 是由于引入了好的变量进入方程而造成的。因此在作拟合优度
Beta
1.804 -.149 .913 1.062 -2.644 .182
t -2.634 3.292
-.416 2.341 2.703 -2.932 2.595
Si g. .039 .017 .692 .058 .035 .026 .041
Y=-13534.1+0.209x1-0.06x2+0.763x3+0.141x40.855x5+0.227x6
M od e l
B
Std. Error
1
(Constant) -13534.1 5138.920
x1
.209
.063
x2
-.060
.144
x3
.763
.326