初一数学绝对值典型例题精讲
初一数学绝对值典型例题精讲[最新]-10页精选文档
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第三讲 绝对值它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。
绝对值的定义及性质绝对值 简单的绝对值方程化简绝对值式，分类讨论（零点分段法）绝对值几何意义的使用绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。
绝对值的性质：（1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a ＞0）（2） |a|= 0 （a=0） （代数意义）-a (a ＜0)（3） 若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0；（4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ，且|a|≥-a ；（5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义）（6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=||||b a （b ≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2；（8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b|[例1]（1） 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？（2） 若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ）A.a ＜0，b ＜0B.a ＞0，b ＜0C.a ＜0，b ＞0D.ab ＜0（3） 下列各组判断中，正确的是（ ）A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞bC. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b|D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2（4） 设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？分析：（1） 结合数轴画图分析。
绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个（2） 答案C 不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。
（3） 选择D 。
（4） 根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9[巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？<分析>：绝对值小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，和为0。
初一数学绝对值知识点与经典例题
绝对值的性质及化简【绝对值必考题型】例1：已知|x －2|＋|y －3|＝0，求x+y 的值。
【例题精讲】（一）绝对值的非负性问题1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0.2. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c = 【例题】若3150x y z +++++=，则x y z --= 。
总结：若干非负数之和为0， 。
【巩固】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋ 【巩固】先化简，再求值：ab b a ab ab b a2)23(223222+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---．其中a 、b 满足0)42(132=-+++a b a .（二）绝对值的性质【例1】若a ＜0，则4a+7|a|等于（ ）A ．11aB ．-11aC ．-3aD ．3a【例2】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A ．1，0B ．正数C ．非正数D ．非负数【例3】已知|x|=5，|y|=2，且xy ＞0，则x-y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例4】若1-=xx ，则x 是（）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数【例5】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞aB ．1+a ＞a ＞1-b ＞-bC ．1+a ＞1-b ＞a ＞-bD ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a【例6】已知a ．b 互为相反数，且|a-b|=6，则|b-1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例7】a ＜0，ab ＜0，计算|b-a+1|-|a-b-5|，结果为（ ）A ．6B ．-4C ．-2a+2b+6D ．2a-2b-6【例8】若|x+y|=y-x ，则有（ ）A ．y ＞0，x ＜0B ．y ＜0，x ＞0C ．y ＜0，x ＜0D ．x=0，y≥0或y=0，x≤0【例9】已知：x ＜0＜z ，xy ＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号【例12】若x ＜-2，则|1-|1+x||=______若|a|=-a ，则|a-1|-|a-2|= ________【例15】已知数,,a b c则下列各式：①()0b a c ++->；②0)(>+--c b a ；③1=++ccb b a a ；④0>-a bc ； ⑤b c a b c b a 2-=-++--．其中正确的有 ．（请填写番号）【巩固】已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abc+++的值 ca 0b（三）绝对值相关化简问题（零点分段法）零点分段法的一般步骤：找零点→分区间→定符号→去绝对值符号．（1）求出2x +和4x -的零点值 （2）化简代数式24x x ++-【巩固】化简1. 12x x +++2. 12m m m +-+-的值3. 523x x ++-．4. (1)12-x ；变式5.已知23++-x x 的最小值是a ，23+--x x 的最大值为b ，求b a +的值。
初一上册数学绝对值经典题
初一上册数学绝对值经典题经典题 1已知|x| = 3，|y| = 5，且x > y，求x + y的值。
解析：因为|x| = 3，所以x = ±3；因为|y| = 5，所以y = ±5。
又因为x > y，当x = 3时，y只能取-5，此时x + y = 3 + (-5) = -2；当x = -3时，y只能取-5，此时x + y = -3 + (-5) = -8。
综上，x + y的值为-2或-8。
经典题 2若|a - 2| + (b + 3)^2 = 0，求a + b的值。
解析：因为|a - 2|是非负数，(b + 3)^2也是非负数，两个非负数的和为0，则这两个非负数都为0。
所以a - 2 = 0，b + 3 = 0，解得a = 2，b = - 3。
则a + b = 2 + (-3) = -1。
经典题 3化简| -2| - | - 5|解析：| -2| = 2，| - 5| = 5所以| -2| - | - 5| = 2 - 5 = -3经典题 4已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，求|m| - cd + (a + b/m)的值。
解析：因为a，b互为相反数，所以a + b = 0；因为c，d互为倒数，所以cd = 1；因为|m| = 2，所以m = ±2。
当m = 2时，|m| - cd + (a + b/m) = 2 - 1 + (0/2) = 1；当m = -2时，|m| - cd + (a + b/m) = 2 - 1 + (0/-2) = 1。
综上，|m| - cd + (a + b/m)的值为1。
经典题 5比较-| -3|和-(-3)的大小。
解析：-| -3| = -3，-(-3) = 3因为-3 < 3，所以-| -3| < -(-3)。
七年级数学绝对值典型例题
七年级数学绝对值典型例题
一、绝对值的基本概念例题
1. 例1：求下列数的绝对值： -5，0，3
解析：
根据绝对值的定义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
对于公式，因为公式是负数，所以公式。
对于公式，根据定义公式。
对于公式，因为3是正数，所以公式。
2. 例2：已知公式，求公式的值。
解析：
因为公式，根据绝对值的定义，公式可能是公式或者公式，即公式或公式。
二、绝对值在数轴上的应用例题
1. 例3：在数轴上表示数公式的点到原点的距离是3，求公式的值。
解析：
由于数公式的点到原点的距离是3，根据绝对值的几何意义（数轴上表示数公式的点与原点的距离叫做数公式的绝对值），可知公式。
所以公式或公式。
2. 例4：数轴上公式点表示的数为公式，公式点表示的数为公式，求公式、公式两点间的距离。
解析：
根据数轴上两点间的距离公式公式（设两点表示的数分别为公式，公式）。
这里公式，公式，则公式、公式两点间的距离公式。
三、绝对值的性质应用例题
1. 例5：若公式，则公式与公式有什么关系？
解析：
由公式，根据绝对值的性质，公式或公式。
例如公式，这里公式。
2. 例6：已知公式，求公式、公式的值。
解析：
因为绝对值是非负数，即公式，公式。
要使公式成立，则公式且公式。
当公式时，公式，解得公式；当公式时，公式，解得公式。
初一七年级数学绝对值练习题及答案解析
初一七年级数学绝对值练习题及答案解析数学绝对值是初中数学中的一个重要概念，它常常在方程、不等式、函数等各个章节中出现。
掌握绝对值的概念和性质对于解决数学问题非常重要。
下面是一些初一七年级的数学绝对值练习题及答案解析，帮助你巩固对绝对值的理解。
1. 计算以下数的绝对值：a) |-5|b) |0|c) |3|答案：a) |-5| = 5b) |0| = 0c) |3| = 3解析：绝对值表示一个数与0点之间的距离。
所以绝对值的结果总是非负数。
对于a) |-5|，-5与0之间的距离是5，所以结果是5。
对于b) |0|，0与0之间的距离是0，所以结果是0。
对于c) |3|，3与0之间的距离是3，所以结果是3。
2. 求解以下方程：a) |x| = 5b) |2x - 3| = 7答案：a) x = 5 或 x = -5b) x = 5 或 x = -2解析：对于a) |x| = 5，由于绝对值的定义是非负数，所以x可以是5或-5。
因为5与-5的绝对值都是5。
对于b)|2x - 3| = 7，需要分情况讨论。
当2x - 3 = 7时，解得x = 5。
当2x - 3 = -7时，解得x = -2。
3. 解以下不等式：a) |x + 2| < 3b) |3x - 1| ≥ 5答案：a) -5 < x < 1b) x ≤ -2 或x ≥ 2解析：对于a) |x + 2| < 3，我们可以使用绝对值的定义进行讨论。
当x + 2 > 0时，即x > -2，方程等价于x + 2 < 3，解得x < 1。
当x + 2 < 0时，即x < -2，方程等价于-(x + 2) < 3，解得x > -5。
所以综合起来，-5 < x < 1。
对于b) |3x - 1| ≥ 5，我们也需要分情况讨论。
当3x - 1 > 0时，即3x > 1，方程等价于3x - 1 ≥ 5，解得x ≥ 2。
初一数学绝对值综合专题讲义
初一数学绝对值综合专题讲义-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN绝对值综合专题讲义绝对值的定义：绝对值的性质：（1） 绝对值的非负性，可以用下式表示（2） |a|=（3） 若|a|=a ，则 ；若|a|=-a ，则 ；任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，（4） 若|a|=|b|，则（5） |a+b| |a|+|b| |a-b| ||a|-|b|||a|+|b| |a+b| |a|+|b| |a-b|【例1】（1） 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？（2） 若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ）A.a ＜0，b ＜0B.a ＞0，b ＜0C.a ＜0，b ＞0D.ab ＜0（3） 下列各组判断中，正确的是（ ）A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞bC. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b|D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2（4） 设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值其值是多少（5）（6） 若3|x-2|+|y+3|=0，则xy 的值是多少？（7）（8） 若|x+3|+(y-1)2=0，求n xy )4(--的值【巩固】1、绝对值小于3.1的整数有哪些它们的和为多少2、有理数a 与b 满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（ ）A.a ＞bB.a=bC.a<bD.无法确定3、若|x-3|=3-x ，则x 的取值范围是____________4、若a ＞b ，且|a|<|b|，则下面判断正确的是（ ）A.a ＜0B.a ＞0C.b ＜0D.b ＞05、设b a ,是有理数，则||8b a ---是有最大值还是最小值其值是多少小知识点汇总：若(x-a)2+(x-b)2=0,则 ；若|x-a|+(x-b)2=0,则 ；若|x-a|+|x-b|=0，则 ；【例2】（1） 已知x 是有理数，且|x|=|-4|，那么x=＿＿＿＿（2） 已知x 是有理数，且-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿（3） 已知x 是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿（4） 如果x ，y 表示有理数，且x ，y 满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x ，那么x+y 的值是多少？（5） 解方程05|5|23=-+x（6） 解方程|4x+8|=12（7） 若已知a 与b 互为相反数，且|a-b|=4，求12+++-ab a b ab a 的值【巩固】1、巩固|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值2、解方程 |3x+2|=-13、已知|x-1|=2，|y|=3，且x 与y 互为相反数，求y xy x 4312--的值【例3】（1） 已知a=-21，b=-31，求||32|34|2|2|4)2(|42|2--+-+-++a b b a b a b a 的值（2） 若|a|=b ，求|a+b|的值（3） 化简：|a-b|（4）|b+a|+|a+c|+|c-b|【巩固】1、化简：（1）|3.14-π| （2）|8-x|（x ≥8）2、已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|3、数a ，b 在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||【例4】（1）若a<-b 且0 ba ，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab|（2）若-2≤a ≤0，化简|a+2|+|a-2|（3）已知x<0<z,xy>0,|y|>|z|>|x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（4）已知x<-3,化简|3+|2-|1+x|||（5）化简|x+5|+|2x-3|（6）若a<0，试化简||3|||3|2a a a a -- （7）若abc ≠0，则||||||c c b b a a ++的所有可能值【巩固】 1、如果0<m<10并且m ≤x ≤10，化简|x-m|+|x-10|+|x-m-10|2、有理数a ，b ，c ，d ，满足1||-=abcd abcd ，求dd c c b b a a ||||||||+++的值3、化简：|2x-1|4、求|m|+|m-1+|m-2|的值|a|的几何意义：；|a-b|的几何意义：【例5】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值【巩固】1、如图，在接到上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五栋楼的居民到邮筒的就努力之和最短，邮局应立于何处？2、设a1、a2、a3、a4、a5为五个有理数，满足a1< a2< a3< a4< a5,求|x-a 1|+|x- a2|+|x- a3|+|x- a4|+|x- a5|的最小值A B C D E3、设a<b<c<d,求y=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值，并求出此时x的取值题后小结论：求|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|的最小值：【例1】若|a|=1，|b|=2，|c|=3，且a>b>c,那么a+b-c=＿＿＿＿＿＿【例2】已知(a+b)2+|b+5|=b+5,且|2a-b-1|=0，那么ab=＿＿＿＿＿＿【例3】对于|m-1|，下列结论正确的是（）A.|m-1|≥|m|B.|m-1|≤|m|C. |m-1|≥|m|-1D. |m-1|≤|m|-1【例4】设a，b，c为实数，且|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|【例5】化简：||x-1|-2|+|x+1|【例6】 已知有理数a ，b ，c 满足1||||||=++cc b b a a ，求abc abc ||的值【例7】 若a ，b ，c ，d 为互不相等的有理数，且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1，求|a-d|1、当b 为何值时，5-12-b 有最大值，最大值是多少？2、3、已知a 是最小的正整数，b 、c 是有理数，并且有|2+b |+(3a +2c )2=0.求式子4422++-+c a c ab 的值.4、|m+3 |+|n-27|+|2p-1|=0,求p+2m+3n 的值5、若a ，b ，c 为整数，且｜a-b ｜19+｜c-a ｜99=1，试计算｜c-a ｜+｜a-b ｜+｜b-c ｜的值6、（1）已知|x|=2，|y|=3且x-y>0，则x+y 的值为多少？（2）解方程：|4x-5|=87、（1）有理数a ，b ，c 在数轴上对应点如图所示，化简|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|（2）若a ＜b ，求|b-a+1|-|a-b-5|的值（3）若a ＜0，化简|a-|-a||8、已知a 是非零有理数，求||||||3322a a a a a a ++的值9、化简|x-1|-|x-3|10、6、设a ＜b ＜c ，求当x 取何值时|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值11、若3+-y x 与1999-+y x 互为相反数，求y x y x -+2的值12、若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值。
初一数学绝对值知识点与经典例题
初一数学绝对值知识点与经典例题绝对值的性质及化简绝对值有几何意义和代数意义。
在数轴上，一个数a的绝对值就是表示数a的点与原点的距离，记作|a|。
一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.绝对值的性质包括：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，任何数的绝对值都是非负数，任何有理数都可表示为符号和绝对值的乘积。
求字母a的绝对值可以根据a的正负性分情况讨论，即当a大于0时，a的绝对值为a；当a等于0时，a的绝对值为0；当a小于0时，a的绝对值为-a。
绝对值有非负性，即|a|≥0.如果若干个非负数的和为0，则这些数都必为0.绝对值的其他重要性质包括：任何数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数；若a等于b，则a等于b或-a等于b；对于任何实数a和b，有|ab|=|a||b|，|a|的绝对值是a；对于任何实数a和b，有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。
要解绝对值不等式，需要将式子中的绝对值符号化为一般的代数式类型。
证明绝对值不等式可以采用去掉绝对值符号，转化为一般的不等式证明或利用不等式进行分拆组合、添项减项，使要证的式子与已知的式子联系起来。
绝对值的必考题型包括求x+y的值和解绝对值不等式。
在求x+y的值时，可以根据绝对值的非负性得到x和y的值，从而求得x+y的值。
在解绝对值不等式时，需要将式子中的绝对值符号化为一般的代数式类型，然后进行讨论或利用不等式进行分拆组合、添项减项，求出不等式的解集。
一）绝对值的非负性问题1.非负性：若有几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0.2.绝对值的非负性：若a+b+c=0，则必有|a|+|b|+|c|=0.例题】若x+3+y+1+z+5=0，则x-y-z=-9.m+3+n-7+22p-1=0，则p+2n+3m=5.总结：若干非负数之和为0，则这些非负数均为0.巩固】若m+3+n-7=|2ab^2-2(ab-a^2b)|+2ab(a+3b+1)+(2a-4)^2，则m+3+n-7=0.巩固】先化简，再求值：3a，其中a、b满足3(b-2ab^2+2a^2b)+a+3b+1+(2a-4)^2=0.二）绝对值的性质例1】若a<0，则4a+7|a|=-3a。
初一数学绝对值知识点与经典例题
初一数学绝对值知识点与经典例题绝对值的性质及化简绝对值有几何意义和代数意义。
在数轴上，一个数a的绝对值就是表示数a的点与原点的距离，记作|a|。
而在代数意义上，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.绝对值的运算符号是“| |”，取绝对值就是去掉绝对值符号。
绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.任何一个有理数都是由符号和绝对值组成，如-5符号是负号，绝对值是5.我们可以通过比较两个负有理数的绝对值的大小来利用绝对值。
两个负数，绝对值大的反而小。
绝对值非负性是|a|≥0.如果若干个非负数的和为0，则这若干个非负数都必为0，如a+b+c=0，则a=b=c=0.除此之外，绝对值还有其他重要性质。
任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a≥|a|，且|a|≥|-a|。
若a=b，则a=±b。
ab=|a|·|b|，a²=|a|²。
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。
要去掉绝对值符号，我们需要找零点，分区间，定正负，去符号。
解绝对值不等式必须化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解。
证明绝对值不等式主要有两种方法：一是去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明，包括换元法、讨论法、平方法；二是利用不等式：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项，使要证的式子与已知的式子联系起来。
在考试中，我们需要掌握绝对值的必考题型。
例如，已知|x-2|+|y-3|=k，求x+y的值。
由绝对值的非负性可知x-2=±k，y-3=±k。
当x-2=k，y-3=k时，x+y=2k+6；当x-2=-k，y-3=-k 时，x+y=4.因此，x+y的值为2k+6或4.我们还需要掌握相反数等于它本身、倒数等于它本身的是±1，绝对值等于它本身的是非负数等知识点。
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第三讲 绝对值绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。
绝对值的定义及性质绝对值 简单的绝对值方程化简绝对值式，分类讨论（零点分段法）绝对值几何意义的使用绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。
绝对值的性质：（1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；a （a ＞0）（2） |a|= 0 （a=0） （代数意义）-a (a ＜0)（3） 若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0；（4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ，且|a|≥-a ；（5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义） （6） |ab|=|a|·|b|；|ba |=||||b a （b ≠0）；（7）|a|2=|a2|=a2；（8）|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b|[例1]（1）绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？（2）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（）A.a＜0，b＜0B.a＞0，b＜0C.a＜0，b＞0D.ab＜0（3）下列各组判断中，正确的是（）A．若|a|=b，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a＞bC. 若|a|＞b，则一定有|a|＞|b|D.若|a|=b，则一定有a2=(-b) 2（4）设a，b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？分析：（1）结合数轴画图分析。
绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个（2）答案C不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。
（3）选择D。
（4）根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9[巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？<分析>：绝对值小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，和为0。
[巩固] 有理数a与b满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（）A.a＞bB.a=bC.a<bD.无法确定分析：选择D。
[巩固] 若|x-3|=3-x，则x的取值范围是____________分析：若|x-3|=3-x，则x-3≤0，即x≤3。
对知识点3的复习巩固[巩固] 若a＞b，且|a|<|b|，则下面判断正确的是（）A.a＜0B.a＞0C.b＜0D.b＞0分析：选择C[巩固] 设a ，b 是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？其值是多少？分析：|a-b|≥0，-8-|a-b|≤-8，所以有最大值-8[例2]（1）（竞赛题）若3|x-2|+|y+3|=0，则x y 的值是多少？ （2）若|x+3|+(y-1)2=0，求n xy )4(--的值 分析：（1）|x-2|=0，|y+3|=0，x=2，y=-3，x y =23- （2）由|x+3|+（y-1）2=0，可得x=-3，y=1。
x y --4=314+-=-1 n 为偶数时，原式=1；n 为奇数时，原式=-1小知识点汇总：（本源 |a|≥0 b 2≥0）若(x-a)2+(x-b)2=0,则x-a=0且x-b=0；若|x-a|+(x-b)2=0,则x-a=0且x-b=0；若|x-a|+|x-b|=0，则x-a=0且x-b=0；当然各项前面存在正系数时仍然成立，非负项增加到多项时，每一项均为0，两个非负数互为相反数时，两者均为0【例3】（1） 已知x 是有理数，且|x|=|-4|，那么x=＿＿＿＿（2） 已知x 是有理数，且-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿（3） 已知x 是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿（4） 如果x ，y 表示有理数，且x ，y 满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x ，那么x+y的值是多少？分析：（1）4，-4 （2）2，-2， （3）2，-2（4）x=±5，y=±2，且|x-y|=y-x ，x-y ≤0；当x=5，y=2时不满足题意；当x=5，y=-2时不满足题意；当x=-5，y=2时满足题意；x+y=-3；当x=-5，y=-2时满足题意，x+y=-7。
【巩固】巩固|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值分析：因为|x|=4，所以x=±4，因为|y|=6，所以y=±6当x=4，y=6时，|x+y|=|10|=10； 当x=4，y=-6时，|x+y|=|-2|=2;当x=-4，y=6时，|x+y|=|2|=2； 当x=-4，y=-6时，|x+y|=|10|=10【例4】解方程：（1）05|5|23=-+x （2）|4x+8|=12（3）|3x+2|=-1（4）已知|x-1|=2，|y|=3，且x 与y 互为相反数，求y xy x 4312--的值 分析：（1）原方程可变形为：|x+5|=310，所以有x+5=±310，进而可得：x=-35，-325； （2）4x+8=±12，x=1，x=-5（3）此方程无解（4）|x-1|=2，x-1=±2，x=3，x=-1，|y|=3，y=±3，且x 与y 互为相反数，所以x=3，y=-3，244312=--y xy x 【例5】 若已知a 与b 互为相反数，且|a-b|=4，求12+++-ab a b ab a 的值 分析：a 与b 互为相反数，那么a+b=0。
12+++-ab a b ab a =,4,4||,1001)(±=-=--=+⨯-=++-+b a b a ab a ab b a a ab b a 当a-b=4时，且a+b=0，那么a=2，b=-2，-ab=4；当a-b=-4时，且a+b=0，那么a=-2，b=2，-ab=4；综上可得12+++-ab a b ab a =4【例6】（1） 已知a=-21，b=-31，求||32|34|2|2|4)2(|42|2--+-+-++a b b a b a b a 的值 （2） 若|a|=b ，求|a+b|的值（3） 化简：|a-b|分析：（1）原式=718||31|334|2|3221|4)3221(|341|2-=---+--------- （2）|a|=b ，我们可以知道b ≥0，当a<0时，a=-b ，|a+b|=0；当a ≥0时，a=b ，|a+b|=2b（3）分类讨论。
当a-b ＞0时，即a ＞b ，|a-b|=a-b ；当a-b=0时，即a=b ，|a-b|=0；当a-b ＜0时，即a ＜b ，|a-b|=b-a 。
【巩固】 化简：（1）|3.14-π| （2）|8-x|（x ≥8）分析：（1）3.14<π，3.14-π＜0，|3.14-π|=π-3.14（2）x ≥8，8-x ≤0，|8-x|=x-8。
【例7】有理数a ，b ，c 在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|分析：|b+a|+|a+c|+|c-b|=b+a-（a+c ）-（c-b ）=2b-2c【巩固】已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|分析：|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|=-a+b-c-a+c+b-a=2b-3a【巩固】数a ，b 在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||分析：|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||=-（a+b ）+（b-a ）+b-（-2a ）=b【例8】（1）若a<-b 且0>ba ，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab| （2）若-2≤a ≤0，化简|a+2|+|a-2|（3）已知x<0<z,xy>0,|y|>|z|>|x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y|的值分析：（1）若a<-b 且0>ba ，a<0,b<0,a+b<0,ab>0 |a|-|b|+|a+b|+|ab|=-a+b-a-b+ab=ab-2a(2)因为-2≤a ≤0，所以a+2≥0，a-2≤0，|a+2|+|a-2|=(a+2)-(a-2)=4(3)由x<0<z,xy>0可得：y<0<z,又|y|>|z|>|x|,可得：y<x<z;原式=x+z-y-z-x+y=0【巩固】如果0<m<10并且m ≤x ≤10，化简|x-m|+|x-10|+|x-m-10|分析：|x-m|+|x-10|+|x-m-10|=x-m+10-x+m+10-x=20-x【例9】（1）已知x<-3,化简|3+|2-|1+x|||（2）若a<0，试化简||3|||3|2a a a a -- 分析：（1）当x<-3时，|3+|2-|1+x|||=|3+|2+1+x||=|3+|3+x||=|3-3-x|=|-x|=-x（2）||3|||3|2a a a a --=|3|32a a a a --+=a a 45-=-45C B 0A【例10】若abc ≠0，则||||||c c b b a a ++的所有可能值 分析：从整体考虑：（1）a ，b ，c 全正，则||||||c c b b a a ++=3； （2）a ，b ，c 两正一负，则||||||c c b b a a ++=1； （3）a ，b ，c 一正两负，则||||||c c b b a a ++=-1； （4）a ，b ，c 全负，则||||||c c b b a a ++=-3 【巩固】有理数a ，b ，c ，d ，满足1||-=abcd abcd ，求d d c c b b a a ||||||||+++的值 分析：有1||-=abcdabcd 知abcd<0，所以a ，b ，c ，d 里含有1个负数或3个负数： （1） 若含有1个负数，则dd c c b b a a ||||||||+++=2； （2） 若含有3个负数，则dd c c b b a a ||||||||+++=-2 【例11】化简|x+5|+|2x-3|分析：先找零点。
x+5=0，x=-5；2x-3=0，x=23，零点可以将数轴分成几段。
当x ≥23，x+5＞0,2x-3≥0，|x+5|+|2x-3|=3x+2； 当-5≤x ＜23，x+5≥0,2x-3＜0，|x+5|+|2x-3|=8-x ； 当x<-5，x+5<0,2x-3，|x+5|+|2x-3|=-3x-2【巩固】化简：|2x-1|分析：先找零点。