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2024年高考数学(新高考压轴卷)(全解全析)

2024年高考压轴卷【新高考卷】数学·全解全析一、单选题1．已知集合105x A x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，(){}22log 16B x y x ==-，则()R A B ⋂=ð（）A ．()1,4-B ．[]1,4-C ．(]1,5-D ．()4,52．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是3:4，则该汝窑双耳罐的体积是（）A ．1784π3B ．1884π3C ．2304π3D ．2504π33．如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（）种.A ．10B ．20C ．60D ．120【答案】A【分析】合流结束时5辆车需要5个位置，第一步从5个位置选2个位置安排左边的2辆汽车，第二步剩下3个位置安排右边的3辆汽车，从而由分步乘法计数原理可得结果.【详解】设左车辆汽车依次为12,A A ，右车辆汽车依次为123,,B B B ，则通过顺序的种数等价于将12,A A 安排在5个顺序中的某两个位置（保持12,A A 前后顺序不变），123,,B B B 安排在其余3个位置（保持123,,B B B 前后顺序不变），123,,B B B ，所以，合流结束时汽车通过顺序共有2353C C 10=.故选：A.4．已知等比数列{}n a 的各项均为负数，记其前n 项和为n S ，若6467813,8S S a a a -=-=-，则2a =（）A ．－8B ．－16C ．－32D ．－485．已知圆C ：22()1x y m +-=，直线l ：()1210m x y m ++++=，则直线l 与圆C 有公共点的必要不充分条件是（）A ．11m -≤≤B ．112m -≤≤C ．10m -≤≤D ．102m ≤≤6．已知函数2()log f x x =，则对任意实数,a b ，“0a b +≤”是“()()0f a f b +≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件故选：C.7．已知0.50.2a =，cos2b =，lg15c =，则（）A ．a b c <>外一点()00,P x y 向椭圆引两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 称作点P关于椭圆C 的极线，其方程为00221x x y ya b+=.现有如图所示的两个椭圆12,C C ，离心率分别为12,e e ，2C 内含于1C ，椭圆1C 上的任意一点M 关于2C 的极线为l ，若原点O 到直线l 的距离为1，则2212e e -的最大值为（）A ．12B ．13C ．15D ．14二、多选题9．已知非零复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（）A ．若1211z z -=-，则12=z z B ．若1212z z z z +=-，则120OZ OZ ⋅=C ．若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=D ．若1212z z z z +=+，则存在实数t ，使得21z tz =10．已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为B，C分别为AE，FD的中点，BD=）⊥A．BE CDB．BE与平面DCE所成角的余弦值为15C．四面体ABCD的内切球半径为30D．四面体ABCD的外接球表面积为8π【点睛】11．对于数列{}n a （N n a +∈），定义k b 为1a ，2a ，…，k a 中最大值（1,2,,k n =⋅⋅⋅）（N n +∈），把数列{}n b 称为数列{}n a 的“M 值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M 值数列”为2，2，3，7，7，则（）A ．若数列{}n a 是递减数列，则{}n b 为常数列B ．若数列{}n a 是递增数列，则有n na b =C ．满足{}n b 为2，3，3，5，5的所有数列{}n a 的个数为8D ．若()1()2N n n a n -+=-∈，记n S 为{}n b 的前n 项和，则1001002(21)3S =-三、填空题12．已知向量()1,1,4a b == ，且b 在a 上的投影向量的坐标为()2,2--，则a 与b的夹角为.13．已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足135a a +=，22a =.设22log 7n n b a =-，则当5n ≥时，数列{}n b 的前n 项和n S =.14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 且斜率为34-的直线与C 交于,A B两点．若112AF F F ⊥，则C 的离心率为；线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，则22BF DF =．5.【点睛】方法点睛：椭圆求离心率或者范围关键是找到关于,a c 的齐次式求得.四、解答题15．如图，在平面四边形ABCD ，已知1BC =，3cos 5BCD ∠=-.（1）若AC 平分BCD ∠，且2AB =，求AC 的长；（2）若45CBD ∠=︒，求CD 的长.16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是边长为2的正三角形，侧面11BB C C 是矩形，11AA A B =．(1)求证：三棱锥1A ABC -是正三棱锥；(2)若三棱柱111ABC A B C -的体积为221AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理，证明1A O ⊥平面ABC 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦即可.【详解】（1）分别取AB ，BC 中点D ，E ，连接CD ，AE 交于点O ，则点O 为正三角形ABC 的中心．因为11AA A B CA CB ==，得1CD AB AD AB ⊥⊥，，又11,,A D CD D A D CD =⊂ 平面1A CD ，所以AB ⊥平面1A CD ，又1A O ⊂平面1A CD ，则1AB A O ⊥；取11B C 中点1E ，连接111A E E E ，，则四边形11AA E E 是平行四边形，因为侧面11BB C C 是矩形，所以1BC EE ⊥，又BC AE ⊥，又11,,EE AE E EE AE =⊂ 平面11AA E E ，所以BC ⊥平面11AA E E ，又1A O ⊂平面11AA E E ，则1BC A O ⊥；又AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，所以1A O ⊥平面ABC ，所以三棱锥1A ABC -是正三棱锥．17．某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成[0,2],(2,4]，(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16]，(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在(14,16]内的学生人数为X ，求X 的分布列和期望；(2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“20()P k ”表示这20名学生中恰有k 名学生参加公益劳动时间在(10,12]（单位:小时）内的概率，其中0,1,2,,20k = .当20()P k 最大时，写出k 的值.18．已知双曲线(22:10,0x y C a b a b-=>>）的左右焦点分别为12,F F ，C 的右顶点到直线2:a l x c =的距离为1，双曲线右支上的点到1F 的最短距离为3(1)求双曲线C 的方程；(2)过2F 的直线与C 交于M 、N 两点，连接1MF 交l 于点Q ，证明：直线QN 过x 轴上一定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.19．函数()e xf x a x=-图像与x 轴的两交点为()()()1221,0,0A x B x x x >，(1)令()()ln h x f x x x =-+，若()h x 有两个零点，求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x <；(3)证明：当5a ≥时，以AB 为直径的圆与直线)1y x =+恒有公共点．（参考数据：0.25 2.5e 1.3e 12.2≈≈，）。

2023年新高考数学选填压轴题汇编(六)(解析版)

2023年新高考数学选填压轴题汇编(六)一、单选题1.(2022·福建省福州华侨中学高三阶段练习)函数f x =A sin ωx +π4ω>0 的图象与x 轴的两个相邻交点间的距离为π3，要得到函数g x =A cos ωx 的图象，只需将f x 的图象( )A.向左平移π12个单位 B.向右平移π4个单位C.向左平移π4个单位D.向右平移3π4个单位【答案】A【解析】由题意，函数f x =A sin ωx +π4 ω>0 的图象与x 轴的两个相邻交点间的距离为π3∴ 周期T =2π3，由周期公式：T =2πω∴T =2π3=2πω解得： ω=3∴f x =A sin 3x +π4 =A sin3x +π12要得到g x =A cos3x ，即g x =A cos3x =A sin 3x +π2=A sin3x +π6 由题意，可得f x 向左平移π12个单位可得g x .故选：A .2.(2022·福建省福州屏东中学高三开学考试)若函数f x =e x -a -1 x +1在(0，1)上不单调，则a 的取值范围是( )A.2,e +1B.2,e +1C.-∞,2 ∪e +1,+∞D.-∞,2 ∪e +1,+∞【答案】A【解析】∵f (x )=e x -(a -1)x +1，∴f (x )=e x -a +1，若f (x )在(0,1)上不单调，则f (x )在(0,1)上有变号零点，又∵f (x )单调递增，∴f 0 ∙f 1 <0，即(1-a +1)(e -a +1)<0，解得2<a <e +1．∴a 的取值范围是(2,e +1)．故选：A ．3.(2022·福建省福州第二中学高三阶段练习)已知圆C :x 2+y 2-10y +21=0与双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是A.2B.53C.52D.5【答案】C【解析】由双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)，可得其一条渐近线的方程为y =b a x ，即bx -ay =0，又由圆C :x 2+y 2-10y +21=0，可得圆心为C (0,5)，半径r =2，则圆心到直线的距离为d =-5a b 2+(-a )2=5a c ，则5a c =2，可得e =c a =52，故选C ．4.(2022·福建省福州第一中学高三开学考试)过圆x 2+y 2=64上的动点作圆C :x 2+y 2=16的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆C 不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为( )A.4πB.6πC.8πD.12π【答案】A 【解析】设圆x 2+y 2=64的动点为P m ,n ，过P 作圆C 的切线，切点分别为A ,B ，则过P ,A ,B 的圆是以PO 直径的圆，该圆的方程为：x x -m +y y -n =0.由x 2+y 2=16x x -m +y y -n =0 可得AB 的直线方程为：mx +ny =16.原点到直线mx +ny =16的距离为16 m 2+n 2=1664=2，故圆C 不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为4π，故选：A .5.(2022·福建省福州第一中学高三开学考试)某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是A.16π9B.8π9C.16π27D.8π27【答案】A【解析】设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ，则由题意可得r 2=3-x3，∴x =3-32r ，∴圆柱的体积为V (r )=πr 23-32r (0<r <2)，则V (r )=169π∙34r ∙34r ∙3-32r ≤16π9∙34r +34r +3-32r 33=16π9．当且仅当34r =3-32r ，即r =43时等号成立．∴圆柱的最大体积为16π9，故选：A ．6.(2022·福建省福州延安中学高三开学考试)已知2sin 2x +cos 2y =1，则sin 2x +cos 2y 的取值范围是( )A.0,12B.12,1C.22,1D.12,22【答案】B【解析】∵2sin 2x +cos 2y =1，∴cos 2y =1-2sin 2x ，∴0≤1-2sin 2x ≤1，∴0≤sin 2x ≤12，又sin 2x +cos 2y =sin 2x +1-2sin 2x =1-sin 2x ∈12,1，∴sin 2x +cos 2y 的取值范围是12,1.故选：B7.(2022·福建·福州十八中高三开学考试)设函数f (x )的定义域为R ，f (x +1)为偶函数，f (x +2)为奇函数，当x ∈[1,2]时，f (x )=ax +b .若f (0)+f (3)=4，则f 92=( )A.-2B.32C.-72D.72【答案】A【解析】因为f (x +1)为偶函数，则f (x +1)的图像关于y 轴对称，所以f (x )关于x =1对称，则f (0)=f (2)，试卷第2页，共40页因为f (x +2)为奇函数，则f (x +2)的图像关于原点对称，且f (2)=0，所以f (x )关于(2,0)对称，则f (3)=-f (1)，因为当x ∈[1,2]时，f (x )=ax +b ，所以f (1)=a +b ，f (2)=2a +b =0，因为f (0)+f (3)=4，所以f (2)-f (1)=a =4，故f (2)=2a +b =8+b =0⇒b =-8，从而当x ∈[1,2]时，f (x )=4x -8，故f 92 =-f -12 =-f 52 =f 32 =4×32-8=-2.故选：A .8.(2022·福建·闽江学院附中高三开学考试)设函数f x 是奇函数f x x ≠0 的导函数，f -1 =-2．当x >0时，f x >2，则使得f x >2x 成立的x 的取值范围是( )A.-∞,-1 ∪0,1 B.-1,0 ∪1,+∞ C.-∞,-1 ∪1,+∞ D.-1,0 ∪0,1【答案】B【解析】因为当x >0时，f x >2，所以f 'x -2>0，故令g x =f x -2x ，则g 'x =f 'x -2>0，故g x 在0,+∞ 上单调递增.因为f -1 =-2，所以g -1 =f -1 +2=0，又因为f x 为奇函数，所以g x =f x -2x 为奇函数，所以g 1 =0，且在区间-∞,0 上，g x 单调递增.所以使得f x >2x ，即g x >0成立的x 的取值范围是-1,0 ∪1,+∞ .故选：B9.(2022·江苏·常州市平陵高级中学高三开学考试)若函数f x =x 2+ax +b 在区间[0,1]上的最大值是M ,最小值是m ,则M -m 的值A.与a 有关，且与b 有关 B.与a 有关，但与b 无关C.与a 无关，且与b 无关 D.与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】因为最值在f (0)=b ,f (1)=1+a +b ,f -a 2 =b -a 24中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．10.(2022·江苏·常州市平陵高级中学高三开学考试)设函数f (x )的定义域为R ，f (x +1)为奇函数，f (x +2)为偶函数，当x ∈[1,2]时，f (x )=a ⋅2x +b ．若f (0)+f (3)=6，则f log 296 的值是( )A.-12 B.-2 C.2 D.12【答案】B【解析】f (x +1)为奇函数，即其图象关于(0,0)点对称，所以f (x )的图象关于(1,0)点对称，f (x +2)为偶函数，即其图象关于y 轴对称，因此f (x )的图象关于直线x =2对称，所以f (1)=0，f (0)=-f (2)，f (3)=f (1)，所以f (1)=2a +b =0，f (0)+f (3)=-f (2)=-(4a +b )=6，由此解得a =-3，b =6，所以x ∈[1,2]时，f (x )=-3⋅2x +6，由对称性得f (x +2)=f (2-x )=-f (1-(1-x ))=-f (x )，所以f (x +4)=-f (x +2)=f (x )，f (x )是周期函数，周期为4，6<log 296<7，f (log 296)=f (log 296-4)=f (4-log 296+4)=f log 225696 =f log 283 =-3×83+6=-2，故选：B ．11.(2022·江苏·盐城市伍佑中学高三开学考试)已知函数f x =x 2+4a -3 x +3a ,x <0log ax +1 +1,x ≥0(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程f x =2-x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.12,23 ∪34B.23,34 C.13,23 ∪34D.13,34【答案】C【解析】函数f x 在R 上单调递减，则3-4a 2≥00<a <102+4a -3 ⋅0+3a ≥log a 0+1 +1，解得13≤a ≤34，在同一直角坐标系中，画出函数y =f x 和函数y =2-x 的图象，如图：由图象可知，在0,+∞ 上，f x =2-x 有且仅有一个解，故在-∞,0 上，f x =2-x 有且仅有一个解，当3a >2即a >23时，由x 2+4a -3 x +3a =2-x ，即x 2+4a -2 x +3a -2=0,x <0，则Δ=(4a -2)2-43a -2 =0，解得a =34或1(舍去)，当a =34时，方程可化为x +12 2=0,x =-12符合题意；当1≤3a ≤2，即13≤a ≤23时，由图象可知，符合条件，综上：a 的取值范围为13,23 ∪34.故选：C .12.(2022·江苏·盐城市伍佑中学高三开学考试)已知正实数a ,b 满足abe a +ln b +1=0，则( )A.b >1eB.a <1C.ab =1D.e a <1b【答案】D【解析】因为abe a +ln b +1=0，所以ae a =-ln b -1b>0，故ln b +1<0，即0<b <1e，故选项A 错误；若a =1，则eb +ln b +1=0，作出函数y =ln x 与y =-ex -1的图象如图所示：显然有交点，则方程eb +ln b +1=0有解，故选项B 错误；若ab =1，则e a -ln a +1=0，即e a =ln a -1，作出函数y =e x 与y =ln x -1的图象如图所示：显然无交点，则方程e a -ln a +1=0无解，故选项C 错误；因为abe a +ln b +1=0，则ae a +1b =-ln bb=-ln b ⋅e -ln b >ae a ，且-ln b >0，令f x =xe x (x >0)，则fx =x +1 e x >0，所以f x在区间,+∞ 上单调递增，所以f -ln b >f a ，即-ln b >a ，因此e a <1b，故选项D 正确.故选：D13.(2022·江苏·睢宁县菁华高级中学有限公司高三阶段练习)已知函数f x =ln x x 2，若f x <m -1x2在(0,+∞)上恒成立，e =2.71828⋅⋅⋅为自然对数的底数，则实数m 的取值范围是( )试卷第2页，共40页A.m >eB.m >e2C.m >1D.m >e【答案】B【解析】若f x <m -1x 2在(0,+∞)上恒成立，即f x +1x2<m 在(0,+∞)上恒成立，令g (x )=f (x )+1x 2=ln x +1x 2，故只需g (x )max <m 即可，g (x )=1x ⋅x 2-(ln x +1)⋅2xx 4=-2ln x -1x 3，令g(x )=0，得x =e -12，当0<x <e-12时，g(x )>0；当x >e-12时，g (x )<0，所以g (x )在0，e-12上是单调递增，在e -12,+∞ 上是单调递减，所以当g (x )max =g e -12 =e2，所以实数m 的取值范围是m >e2.故选：B .14.(2022·河北省唐县第一中学高三开学考试)定义运算a *b ，a *b ={a b a ≤ba >b，例如1*2=1，则函数y =1*2x 的值域为A.0,1 B.-∞,1 C.1,+∞ D.0,1【答案】D【解析】当1≤2x 时，即x ≥0时，函数y =1*2x =1当1>2x 时，即x <0时，函数y =1*2x =2x ∴f (x )=1，x ≥02x ，x <0由图知，函数y =1*2x 的值域为：(0，1]．故选D ．15.(2022·重庆·临江中学高三开学考试)已知函数f x =log 3x ,x >03x,x ≤0，若函数g x =f x 2-m +2 f x +2m恰好有5个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.0,1B.0,1C.1,+∞D.1,+∞【答案】A【解析】画出函数的大致图象，如下图所示：∵函数g x =f x 2-m +2 f x +2m 恰好有5个不同的零点，∴方程f x2-m +2 f x +2m =0有5个根，设t =f (x )，则方程化为t 2-m +2 t +2m =0，易知此方程有两个不等的实根t 1，t 2，结合f (x )的图象可知，t 1∈0,1 ，t 2∈1,+∞ ，令h (t )=t 2-m +2 t +2m ，则由二次函数的根的分布情况得：Δ=(m +2)2-8m >0h (0)>0h (1)≤0，解得：0<m ≤1.故选：A16.(2022·重庆·临江中学高三开学考试)已知定义在(-3,3)上的函数f (x )满足f (x )+e 4x f (-x )=0,f (1)=e 2,f (x )为f (x )的导函数，当x ∈[0,3)时，f (x )>2f (x )，则不等式e 2x f (2-x )<e 4的解集为( )A.(-2,1)B.(1,5)C.(1,+∞)D.(0,1)【答案】B 【解析】令g x =f xe2x ，所以f x =e 2x g x ，因为f x +e 4x f -x =0，所以e 2x ⋅g x +e 4x ⋅e -2x g -x =0，化简得g x +g -x =0，所以g x 是-3,3 上的奇函数；gx =f x e 2x -2e 2x f x e 4x =f x -2f x e 2x，因为当0≤x <3时，f x >2f x ，所以当x ∈0,3 时，g x >0，从而g x 在0,3 上单调递增，又g x 是-3,3 上的奇函数，所以g x 在-3,3 上单调递增；考虑到g 1 =f 1 e 2=e 2e2=1，由e 2x f 2-x <e 4，得e 2x e 22-x g 2-x <e 4，即g 2-x <1=g 1 ，由g x 在-3,3 上单调递增，得-3<2-x <3,2-x <1,解得1<x <5，所以不等式e 2x f 2-x <e 4的解集为1,5 ，故选：B .17.(2022·重庆南开中学高三阶段练习)公元656年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的开立圆术.祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理，我们可以应用此原理将一些复杂几何体转化为常见几何体的组合体来计算体积.如图，将双曲线C :y 2-x 2=5与直线x =±2所围成的平面图形绕双曲线的实轴所在直线旋转一周得到几何体Γ，下列平面图形绕其对称轴(虚线所示)旋转一周所得几何体与Γ的体积相同的是( )A.图①，长为6､宽为4的矩形的两端去掉两个弦长为4､半径为3的弓形B.图②，长为25､宽为4的矩形的两端补上两个弦长为4､半径为3的弓形C.图③，长为6､宽为4的矩形的两端去掉两个底边长为4､腰长为3的等腰三角形D.图④，长为25､宽为4的矩形的两端补上两个底边长为4､腰长为3的等腰三角形【答案】B【解析】由y 2-x 2=5x =2得：y =±3，则当y =t 5<t <3 与C 相交于两点时，内圆半径r =t 2-5，则在该位置旋转一周所得圆环面积为4π-t2-5 π=9-t 2 π；将所有图形均以矩形的中心为原点，以对称轴为y 轴建立平面直角坐标系，试卷第2页，共40页对于③，双曲线实轴长为25，③中y 轴的最短距离为6-232-22=6-25，不合题意，③错误；对于④，几何体Γ母线长为6，④中y 轴的最长距离为25+232-22=45，不合题意，④错误；对于①，在y 轴的最短距离为6-2×3-32-22 =25，母线长为6，与几何体Γ吻合；当y =t 5<t <3 与①中图形相交时，两交点之间距离为232-3+5-t 2，此时圆环面积为4π-32+3+5-t 2 π=-t 2+23+5 t -14-25 π，不合题意，①错误对于②，在y 轴的最长距离为25+2×3-32-22 =6，矩形高为25，与几何体Γ吻合；当y =t 5<t <3 与②中图形相交时，两交点之间距离为232-t 2=29-t 2，此时圆面积为9-t 2 π，与圆环面积相同，满足题意，②正确.故选：B .18.(2022·辽宁·高三开学考试)已知函数f x 满足：f 1 =14，4f x f y =f x +y +f x -y x ,y ∈R ，则2022k =0f (k )= ( )A.12B.14C.-14D.-12【答案】A【解析】4f x f y =f x +y +f x -y x ,y ∈R ，令x =1,y =0得：4f 1 f 0 =2f 1 ，因为f 1 =14，所以f 0 =12，令x =n ，y =1得：4f n f 1 =f n +1 +f n -1 ，即f n =f n +1 +f n -1 ，则f n +1 =f n +2 +f n ，上面两式子联立得：f n +2 =-f n -1 ，所以f n -1 =-f n -4 ，故f n +2 =f n -4 ，故f x 是以6为周期的函数，且f 0 +f 1 +f 2 +f 3 +f 4 +f 5 =f 0 +f 1 +f 2 -f 0 -f 1 -f 2 =0，所以2022k =0f (k )= 3375k =0f (k )+f 2022 =0+ f 2022 =f 0 =12故选：A19.(2022·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习)已知△ABC ，I 是其内心，内角A ,B ,C 所对的边分别a ,b ,c ，则( )A.AI =13(AB +AC )B.AI =cAB a +bACaC.AI =bAB a +b +c +cAC a +b +cD.AI =cAB a +b +bACa +c 【答案】C【解析】延长AI ,BI ,CI ，分别交BC ,AC ,AB 于D ,E ,F .内心是三角形三个内角的角平分线的交点.在三角形ABD 和三角形ACD 中，由正弦定理得：BD sin 12∠BAC =c sin ∠ADB ,CD sin 12∠BAC =bsin ∠ADC ，由于sin ∠ADB =sin ∠ADC ，所以BD c =CD b ,BD CD =c b ，BD BD +CD =c b +c ,BD a =c b +c ,BD =acb +c，同理可得c BD =AI DI ，c BD +c =AI DI +AI =AIAD ，AI =c ⋅AD BD +c =c ac b +c+c ⋅AD =b +c a +b +c ⋅AD .所以AD =AB +BD =AB +c b +c BC =AB +c b +c AC -AB=b b +c AB +c b +c AC，则AI =b +c a +b +c ⋅AD =b +c a +b +c ⋅b b +c AB +c b +c AC =b a +b +c AB +ca +b +c AC .故选：C 20.(2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习)已知不等式x ln x +(x +1)k <2x ln2的解集中仅有2个整数，则实数k 的取值范围是( )A.0,34ln 43 B.34ln 43,23ln2C.23ln2,+∞D.34ln 43,23ln2【答案】D【解析】由x ln x +x (k -ln4)+k <0可得：k (x +1)<x ln4-x ln x ，设f (x )=k (x +1),g (x )=x ln4-x ln x ，g (x )=ln4-ln x -1，x ∈0,4e时，g (x )>0，g (x )单调递增，x ∈4e ,+∞ 时，g (x )<0，g (x )单调递减，则当x =4e时函数g x 取得最大值，如示意图：由图可知，当k ≤0时，整数解超过了2个，不满足题意；当k >0时，需满足f 2 <g 2 f 3 ≥g 3 得：34ln 43≤k <23ln2．故选择：D ．21.(2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习)若α，β∈0，π2，且(1+cos2α)(1+sin β)=sin2αcos β，则下列结论正确的是( )A.α+β=π2B.α+β2=π2C.2α-β=π2D.α-β=π2【答案】C【解析】∵α，β∈0，π2，∴cos α≠0.由(1+cos2α)(1+sin β)=sin2αcos β，可得2cos 2α(1+sin β)=2sin αcos αcos β，即cos α(1+sin β)=sin αcos β.∴cos α=sin αcos β-cos αsin β=sin α-β ，∴sin α-β =sin π2-α.∵α，β∈0，π2 ，∴-π2<α-β<π2，且0<π2-α<π2.由于函数y =sin x 在x ∈-π2，π2 上单调递增，∴α-β=π2-α，即2α-β=π2.故选:C .二、多选题22.(2022·福建省福州华侨中学高三阶段练习)海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度(船底到水面的距离)为4m .安全条例规定至少要有2.25m 的安全间隙(船底到海底的距离)，下表给出了某港口在某试卷第2页，共40页季节每天几个时刻的水深.时刻水深/m 时刻水深/m 时刻水深/m 0：00 5.09：00 2.518：00 5.03：007.512：00 5.021：00 2.56：005.015：007.524：005.0若选用一个三角函数f x 来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有( )A.f x =2.5cos π6x+5 B.f x =2.5sin π6x+5C.该货船在2：00至4：00期间可以进港 D.该货船在13：00至17：00期间可以进港【答案】BCD【解析】依据表格中数据知，可设函数为f x =A sin ωx +k ，由已知数据求得A =2.5，k =5，周期T =12，所以ω=2πT =π6﹐所以有f x =2.5sin π6x +5，选项A 错误；选项B 正确；由于船进港水深至少要6.25，所以2.5sin π6x +5≥6.25，得sin π6x ≥12，又0≤x ≤24⇒0≤π6x ≤4π，则有π6≤π6x ≤5π6或13π6≤π6x ≤17π6，从而有1≤x ≤5或13≤x ≤17，选项C ，D 都正确.故选：BCD23.(2022·福建省福州屏东中学高三开学考试)已知函数f x =3sin 2x +φ -π2<φ<π2 的图像关于直线x =π3对称，则( )A.函数f x +π12 为奇函数B.函数f x 在π3,π2上单调递增C.函数f x 的图像向右平移a a >0 个单位长度得到的函数图像关于x =π6对称，则a 的最小值是π3D.若方程f x =a 在π6,2π3 上有2个不同实根x 1,x 2，则x 1-x 2 的最大值为π2【答案】AC【解析】因为函数f x =3sin 2x +φ -π2<φ<π2 的图像关于直线x =π3对称，所以，2×π3+φ=π2+k π,k ∈Z ，解得φ=-π6+k π,k ∈Z ，因为-π2<φ<π2，所以φ=-π6，即f x =3sin 2x -π6，所以，对于A 选项，函数f x +π12 =3sin2x ，是奇函数，故正确；对于B 选项，当x ∈π3,π2 时，2x -π6∈π2,5π6，由于函数y =sin x 在π2,5π6 上单调递减，所以函数f x 在π3,π2 上单调递减，故错误；对于C 选项，函数f x 的图像向右平移a a >0 个单位长度得到的函数图像对应的解析式为g x =3sin 2x -2a -π6，若g x 图像关于x =π6对称，则2×π6-2a -π6=π2+k π,k ∈Z ，解得a =-π6+k π2,k ∈Z ，由于a >0，故a 的最小值是π3，故正确；对于D 选项，当x ∈π6,2π3时，2x -π6∈π6,7π6，故结合正弦函数的性质可知，若方程f x =a 在π6,2π3上有2个不同实根x 1,x 2，不妨设x 1<x 2，则x 1-x 2 取得最大值时满足2x 1-π6=π6且2x 2-π6=5π6，所以，x 1-x 2 的最大值为π3，故错误.故选：AC 24.(2022·福建省福州屏东中学高三开学考试)已知定义在R 上的奇函数f x 图象连续不断，且满足f x +2 =f x ，则以下结论成立的是( )A.函数f x 的周期T =2B.f 2019 =f 2020 =0C.点1,0 是函数y =f x 图象的一个对称中心D.f x 在-2,2 上有4个零点【答案】ABC【解析】定义在R 上的奇函数f (x )图象连续不断，且满足f (x +2)=f (x )，所以函数的周期为2，所以A 正确；f (-1+2)=f (-1)，即f (1)=f (-1)=-f (1)，所以f (1)=f (-1)=0，所以f (2019)=f (1)=0，f (2020)=f (0)=0，所以B 正确；f x +2 =f x =-f -x ⇒f x +2 +f -x =0⇒f x 图象关于1,0 对称，所以C 正确；f (x )在[-2，2]上有f (-2)=f (-1)=f (0)=f (1)=f (2)=0，有5个零点，所以D 不正确；故选：ABC ．25.(2022·福建省福州第二中学高三阶段练习)已知函数f (x )=-x 2-2x ,x <0f (x -2),x ≥0，以下结论正确的是( )A.f (-3)+f (2019)=-3B.f x 在区间4,5 上是增函数C.若方程f (x )=kx +1恰有3个实根，则k ∈-12,-14D.若函数y =f (x )-b 在(-∞,4)上有6个零点x i (i =1,2,3,4,5,6)，则6i =1x i f x i 的取值范围是0,6【答案】BCD【解析】函数f (x )的图象如图所示：对A ，f (-3)=-9+6=-3，f (2019)=f (1)=f (-1)=1，所以f (-3)+f (2019)=-2，故A 错误；对B ，由图象可知f x 在区间4,5 上是增函数，故B 正确；对C ，由图象可知k ∈-12,-14，直线f (x )=kx +1与函数图象恰有3个交点，故C 正确；对D ，由图象可得，当函数y =f (x )-b 在(-∞,4)上有6个零点x i (i =1,2,3,4,5,6)，则01eC.f (x 0)+2x 0<0D.f (x 0)+2x 0>0【答案】AD试卷第2页，共40页【解析】函数f (x )=x ln x +x 2,(x >0),∴f (x )=ln x +1+2x ,∵x 0是函数f (x )的极值点，∴f x 0 =0，即∴ln x 0+1+2x 0=0，∴f 1e =2e >0,当x >1e时，f x >0∵x →0,f (x )→-∞,∴0<x 0<1e,即A 选项正确,B 选项不正确;f x 0 +2x 0=x 0ln x 0+x 20+2x 0=x 0ln x 0+x 0+2 =x 01-x 0 >0,即D 正确,C 不正确.故答案为:AD .27.(2022·福建省福州第一中学高三开学考试)设函数f x =sinπxx 2-x +54，则下列结论正确的是( )A.f x 的最大值为1B.f x ≤4xC.曲线y =f x 存在对称轴D.曲线y =f x 存在对称中心【答案】ABC【解析】A ：因为x 2-x +54=x -12 2+1≥1,sinπx ≤1，所以sinπx ≤x 2-x +54⇒sinπx x 2-x +54≤1⇒f (x )≤1，当且仅当x =12时，f x =1故A 正确；B ：f x ≤4x 等价于sinπx ≤4x 3-x 2+54x ，设g x =x -sin x ,x ∈0,+∞ ，g (x )=1-cos x ≥0，所以函数g (x )=x -sin x 在x ∈[0,+∞)时单调递增，因此有g (x )≥g (0)=0-sin0=0，即x ≥sin x ,x ∈0,+∞ ，而设函数h (x )=x -sin x ，h (-x )=-x -sin (-x ) =x -sin x =h (x )，所以h (x )=x -sin x 是实数集上的偶函数，因此有x ≥sin x ，即πx ≥sinπx ，4x x 2-x +54 ≥4x ×1=4x ，f x ≤πx x 2-x +54≤πx ≤4x ，故B 正确；C ：因为f 12+x -f 12-x =sinπ12+x 12+x -12 2+1-sinπ12-x 12-x -12 2+1=cosπx -cosπx x 2+1=0，所以曲线y =f x 关于直线x =12对称，故C 正确；D ：设曲线y =f x 存在对称点，设为(a ,b )，则有f (a +x )+f (a -x )=2b ，当x =0时，则有2f (a )=2b ⇒f (a )=b ，当x =a 时，则有f (2a )=2b ⇒2f (a )=f (2a )，即sin2a π(2a )2-2a +54=2⋅sin a πa 2-a +54⇒2sin a πcos a π(2a )2-2a +54=2⋅sin a πa 2-a +54，因此有sin a π=0，所以a 为整数，b =f a =sin a πa 2-a +54=0，令x =12，f a +12 +f a -12=0，而f a +12 +f a -12 =sinπa +12 a +12-12 2+1+sinπa -12a -12-12 2+1=cos a πa 2+1-cos a π(a -1)2+1，显然f a +12 +f a -12=0不恒成立，故D 不正确.故选：ABC .28.(2022·福建省福州第一中学高三开学考试)甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球；乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以A 1,A 2,A 3表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是( )A.P B =25B.P B |A 1 =511C.事件B 与事件A 1不相互独立D.A 1,A 2,A 3两两互斥【答案】BD 【解析】P A 1 =510=12,P A 2 =210=15,P A 3 =310，又P B |A 1 =511,P B |A 2 =411,P B |A 3 =411，故B 正确.故P (B )=P B |A 1 P A 1 +P B |A 2 P A 2 +P B |A 3 P A 2=511×12+411×15+411×310=922，故A 错误.P B P A 1 =922×12=944,P BA 1 =P B |A 1 P A 1 =522，故P B P A 1 ≠P BA 1 ，所以事件B 与事件A 1不相互独立，根据互斥事件的定义可得A 1,A 2,A 3两两互斥，故选：BD .29.(2022·福建·福州十八中高三开学考试)已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(0<ω<10，0<φ<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A.ω=2B.ω=3C.f (x )在5π12,11π12上单调递增D.f (x )图像关于直线x =2π3对称【答案】AC【解析】由图可知： x =0，y =32；可得：ω×0+φ=2π3+2k π,k ∈Z ，所以φ=2π3+2k π,k ∈Z 又0<φ<π，所以φ=2π3；由x =π6，y =0，可得π6ω+2π3=π+2k π,k ∈Z ，所以ω=2+12k ,k ∈Z又0<ω<10，可得ω=2，所以A 选项正确，B 选项错误；所以函数的解析式为：f (x )=sin 2x +2π3 ，则f (x )在R 上的增区间满足：-π2+2k π≤2x +2π3≤π2+2k π,k ∈Z解得增区间为-7π12+k π,-π12+k π,k ∈Z ，所以当k =1时，函数f (x )的单调增区间为5π12,11π12，所以C 选项正确；当x =2π3时，f 2π3 =sin2π=0≠±1，所以直线x =2π3不是f (x )的对称轴，所以D 选项不正确；故选：AC ．30.(2022·福建·闽江学院附中高三开学考试)关于函数f (x )=sin |x |+|sin x |，下列叙述正确的是( )A.f (x )是偶函数B.f (x )在区间π2,π单调递增C.f (x )的最大值为2 D.f (x )在[-π,π]有4个零点【答案】AC【解析】f (-x )=sin -x +sin (-x ) =sin x +sin x =f (x )，f (x )是偶函数，A 正确；x ∈π2,π 时，f (x )=sin x +sin x =2sin x ，单调递减，B 错误；试卷第2页，共40页f (x )=sin x +sin x ≤1+1=2，且f π2=2，因此C 正确；在[-π,π]上，-π<x <0时，f (x )=sin (-x )+(-sin x )=-2sin x >0，0<x <π时，f (x )=sin x +sin x =2sin x >0，f (x )的零点只有π,0,-π共三个，D 错．故选：AC ．31.(2022·江苏·常州市平陵高级中学高三开学考试)已知关于x 的不等式a (x -1)(x +3)+2>0的解集是x 1,x 2 ，其中x 1<x 2，则下列结论中正确的是( )A.x 1+x 2+2=0 B.-3<x 1<x 2<1C.x 1-x 2 >4D.x 1x 2+3<0【答案】ACD【解析】由题设，a (x -1)(x +3)+2=ax 2+2ax -3a +2>0的解集为x 1,x 2 ，∴a <0，则x 1+x 2=-2x 1x 2=2a-3<0，∴x 1+x 2+2=0，x 1x 2+3=2a<0，则A 、D 正确；原不等式可化为f (x )=a (x -1)(x +3)>-2的解集为x 1,x 2 ，而f(x )的零点分别为-3,1且开口向下，又x 1<x 2，如下图示，∴由图知：x 1<-3<1<x 2，x 1-x 2 >4，故B 错误，C 正确.故选：ACD .32.(2022·江苏·盐城市伍佑中学高三开学考试)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )+f (-x )=0，f (x )+f (x +6)=0，且对任意的x 1,x 2∈[-3，0]，当x 1≠x 2时，都有x 1f (x 1)+x 2f (x 2)<x 1f (x 2)+x 2f (x 1)，则以下判断正确的是( )A.函数f (x )是偶函数B.函数f (x )在[-9，-6]上单调递增C.x =2是函数f (x +1)的对称轴D.函数f (x )的最小正周期是12【答案】BCD【解析】因为定义在R 上的函数f (x ) 满足f (x )+f (-x )=0，即f (-x )=-f (x )，故函数f (x )是奇函数，故A 错误；因为f (x )+f (x +6)=0，故f (x +6)=-f (x )，而f (-x )=-f (x )，所以f (x +6)=f (-x )，即f (x )的图象关于x =3对称，则x =2是函数f (x +1)的对称轴，故C 正确；因为f (x +6)=f (-x )，所以f (x +12)=-f (x +6)=f (x )，故12是函数f (x )的周期；对任意的x 1,x 2∈[-3，0] ，当x 1≠x 2 时，都有x 1f (x 1)+x 2f (x 2)<x 1f (x 2)+x 2f (x 1) ，即(x 1-x 2)⋅[f (x 1)-f (x 2)]<0，故x ∈[-3，0]时，f (x )单调递减，又因为f (x )为奇函数，所以x ∈[0，3]时，f (x )单调递减，又因为f (x )的图象关于x =3对称，故x ∈[3,6]时，f (x )单调递增，因为12是函数f (x )的周期，故函数f (x )在[-9,-6] 单调性与x ∈[3,6]时的单调性相同，故函数f (x )在[-9,-6]上单调递增，故B 正确，作出函数f (x )的大致图象如图示：结合图象可得知12是函数f (x )的最小正周期，D 正确；故选：BCD33.(2022·江苏·盐城市伍佑中学高三开学考试)已知函数f (x )=ln (x +1)x，下列选项正确的是( )A.函数f (x )在(-1，0)上为减函数，在(0,+∞)上为增函数B.当x 1>x 2>0时，f (x 1)x 22>f (x 2)x 21C.若方程f (|x |)=a 有2个不相等的解，则a 的取值范围为(0,+∞)D.1+12+⋯+1n -1 ln2≤ln n ，n ≥2且n ∈N +【答案】BD【解析】对于选项A ：f x =ln x +1 x ，x ∈-1,0 ∪0,+∞ .则f x =x -x +1 ln x +1x +1 x2，令g x =x -x +1 ln x +1 ,x ∈-1,0 ∪0,+∞ ，则g x =-ln x +1 ，当x ∈-1,0 时，g x >0，g x 单调递增；当x ∈0,+∞ 时，g x <0，g x 单调递减.所以对任意x ∈-1,0 ∪0,+∞ ，g x <g 0 =0，即f x <0，所以f x 在-1,0 ,0,+∞ 都是减函数，故A 错误；对于选项B ：令h x =x 2f x =x ln x +1 ,x ∈0,+∞ ，则h x =x +x +1 ln x +1x +1，当x ∈0,+∞ 时，h x >0，h x 单调递增，所以当x 1>x 2>0时，h x 1 >h x 2 ，即x 12f x 1 >x 22f x 2 ，所以f x 1 x 22>f x 2 x 12，故B 正确；对于选项C ：因为y =f x 是偶函数，所以“方程f x =a 有2个不相等的解”等价于“方程f x =a 在0,+∞ 上有1个解”.由A 可知，f x 在0,+∞ 上单调递减，且x →0时，f x →1；x →+∞时，f x →0，所以，当0<a <1时，方程f x =a 在0,+∞ 上有1个解，即f x =a 有2个不相等的解，故C 错误；对于选项D ：由A 知，f x 在0,12 上单调递减，则对任意x ∈0,12 ，f x ≥f 12 =2ln 32=ln 94>ln2，即ln x +1 x >ln2，所以当n ≥2时，ln 1n+1 1n>ln2，即1n ln2<ln n +1n.所以ln2=ln2，12ln2<ln 32，13ln2<ln 43，⋯，1n -1ln2<ln nn -1，以上式子相加得ln2+12ln2+13ln2+⋯+1n -1ln2≤ln2+ln 32+ln 43+⋯+ln n n -1，即1+12+13+⋯+1n -1 ln2≤ln n (n =2时，等号成立)，故D 正确.故选：BD .34.(2022·江苏·睢宁县菁华高级中学有限公司高三阶段练习)已知函数f x =A cos ωx +φ (A >0,ω>0,0<φ<π)的图象的一个最高点为-π12,3 ，与之相邻的一个对称中心为π6,0 ，将f x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数g x 的图象，则( )A.g x 为偶函数B.g x 的一个单调递增区间为-5π12,π12试卷第2页，共40页C.g x 为奇函数D.g x 在0,π2上只有一个零点【答案】BD 【解析】由题意，可得T 4=π6--π12 =π4，所以T =π，可得w =2πT=2，所以f x =3cos (2x +φ)，因为f -π12 =3cos 2×-π12 +φ =3，所以φ-π6=2k π,k ∈Z ，因为0<φ<π，所以φ=π6，即f x =3cos 2x +π6 ，所以g x =3cos 2x -π6 +π6 =3cos 2x -π6 ，可得函数g x 为非奇非偶函数，令-π+2k π≤2x -π6≤2k π,k ∈Z ，可得-5π12+k π≤x ≤π12+k π,k ∈Z ，当k =0时，函数g x 的一个单调递增区间为-5π12,π12；由2x -π6=π2+k π,,k ∈Z ，解得x =π3+k π,k ∈Z ，所以函数g x 在0,π2上只有一个零点.故选：BD35.(2022·江苏·睢宁县菁华高级中学有限公司高三阶段练习)已知f x 为函数f x 的导函数，若x 2f x +xf x =ln x ，f 1 =12，则下列结论错误的是( )A.xf x 在0,+∞ 上单调递增B.xf x 在0,+∞ 上单调递减C.xf x 在0,+∞ 上有极大值12D.xf x 在0,+∞ 上有极小值12【答案】ABC【解析】由x 2f x +xf x =ln x ，可知x >0，则xf x +f x =ln x x ，即xf x =ln xx．设g x =xf x ，则由g x =ln xx>0得x >1，由g x <0得0<x <1，所以g x =xf x 在1,+∞ 上单调递增，在0,1 上单调递减，所以当x =1时，函数g x =xf x 取得极小值g 1 =f 1 =12．故选：ABC ．36.(2022·重庆·临江中学高三开学考试)若4x -4y <5-x -5-y ，则下列关系正确的是( )A.x <yB.y -3>x -3C.x >yD.13 y <3-x【答案】AD【解析】由4x -4y <5-x -5-y ，得4x -5-x <4y -5-y ，令f x =4x -5-x ，则f x <f y ．因为g x =4x ，h x =-5-x 在R 上都是增函数，所以f x 在R 上是增函数，所以x <y ，故A 正确；因为G x =x -3在0,+∞ 和-∞,0 上都单调递减，所以当x <y <0时，x -3>y -3，故B 错误；当x <0，y <0时，x ，y 无意义，故C 错误；因为y =13 x 在R 上是减函数，且x <y ，所以13 y <13 x ，即13y<3-x ，故D 正确．故选：AD ．37.(2022·重庆·临江中学高三开学考试)已知函数f x 的定义域是0,+∞ ，且f xy =f x +f y ，当x >1时，f x<0，f 2 =-1，则下列说法正确的是( )A.f 1 =0B.函数f x 在0,+∞ 上是减函数C.f 12022 +f 12021 +⋅⋅⋅+f 13 +f 12+f 2 +f 3 +⋅⋅⋅+f 2021 +f 2022 =2022D.不等式f 1x -f x -3 ≥2的解集为4,+∞【答案】ABD【解析】对于A ，令x =y =1 ，得f 1 =f 1 +f 1 =2f 1 ，所以f 1 =0，故A 正确；对于B ，令y =1x >0，得f 1 =f x +f 1x =0，所以f 1x=-f x ，任取x 1,x 2∈0,+∞ ，且x 1<x 2，则f x 2 -f x 1 =f x 2 +f 1x 1 =f x 2x 1，因为x 2x 1>1，所以f x 2x 1<0，所以f x 2 <f x 1 ，所以f x 在0,+∞ 上是减函数，故B 正确；对于C ，f 12022 +f 12021 +⋅⋅⋅+f 13 +f 12+f 2 +f 3 +⋅⋅⋅+f 2021 +f 2022 =f 12022×2022 +f 12021×2021 +⋅⋅⋅+f 13×3 +f 12×2 =f 1 +f 1+⋅⋅⋅+f 1 +f 1 =0，故C 错误；对于D ，因为f 2 =-1，且f 1x =-f x ，所以f 12=-f 2 =1，所以f 14 =f 12 +f 12 =2，所以f 1x -f x -3 ≥2等价于f 1x +f 1x -3≥f 14 ，又f x 在0,+∞ 上是减函数，且f xy =f x +f y ，所以1x x -3 ≤141x >01x -3>0，解得x ≥4，故D 正确,故选:ABD ．38.(2022·重庆南开中学高三阶段练习)在棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 在棱DC 上运动(不与顶点重合)，则点B 到平面AD 1P 的距离可以是( )A.2B.3C.2 D.5【答案】CD【解析】以D 为原点，DA ,DC ,DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0),A (3,0,0),B (3,3,0),D 1(0,0,3)，设P (0,t ,0)，所以AP =-3,t ,0 ,AD 1 =-3,0,3 ，AB =(0,3,0)，设n 1=x 1,y 1,z 1 为平面AD 1P 的法向量，则有： n 1 ⋅AP=-3x 1+ty 1=0n 1 ⋅AD 1 =-3x 1+3z 1=0，令y 1=3，可得n=(t ,3,t )，试卷第2页，共40页则点B 到平面AD 1P 的距离为d =AB ⋅nn=92t 2+9，因为0<t <3，所以距离的范围是(3,3).故选：CD .39.(2022·重庆南开中学高三阶段练习)已知a >b >1，则( )A.a ln b >b ln aB.e 1a-1b<a bC.a >e1-1bD.若b m =b +n ，则a m >a +n【答案】BC【解析】因为a >b >1，所以a ln b >b ln a ⇔ln b b>ln aa ，设函数f (x )=ln x x (x >1)，f (x )=1-ln xx 2，当x ∈(1,e )时，f (x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈(e ,+∞)时，f (x )<0，函数f (x )单调递减，所以A 选项错误；因为a >b >1，所以由e 1a-1b<a b ⇔1a -1b <ln a -ln b ⇔ln a -1a >ln b -1b，设函数g (x )=ln x -1x ，g (x )=1x +1x 2，当x ∈(0,+∞)时，g(x )>0，函数g (x )单调递增，所以B 选项正确；因为a >e 1-1b ⇔ln a >1-1b ，设函数h (a )=ln a -1-1a ，所以h (a )=a -1a 2，当a ∈1,+∞ 时，h (a )>0，函数h (a )单调递增，当a ∈0,1 时，h (a )<0，函数h (a )单调递减，所以h (a )>h (1)=0，即ln a -1-1a >0⇒ln a >1-1a，因为a >b >1，所以1a <1b ⇒1-1a >1-1b ，因此ln a >1-1a >1-1b，所以C 选项正确.令b =2,m =0，则有n =-1，又令a =3，所以a m =a 0=1,a +n =2，显然不成立，所以D 选项错误，故选：BC40.(2022·辽宁·高三开学考试)双曲线C 的两个焦点为F 1,F 2，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过F 1作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且cos ∠F 1NF 2=35，则C 的离心率为( )A.52B.32C.132D.172【答案】AC【解析】方法一(几何法，双曲线定义的应用)情况一M 、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过F 1作圆D 的切线切点为B ，所以OB ⊥F 1N ，因为cos ∠F 1NF 2=35>0，所以N 在双曲线的左支，OB =a ，OF 1 =c ， F 1B =b ，设∠F 1NF 2=α，由即cos α=35，则sin α=45，NA =32a ，NF 2 =52aNF 2 -NF 1 =2a52a -32a +2b =2a ，2b =a ，∴e =52选A 情况二若M 、N 在双曲线的两支，因为cos ∠F 1NF 2=35>0，所以N 在双曲线的右支，所以OB =a ，OF 1 =c ，F 1B =b ，设∠F 1NF 2=α，由cos ∠F 1NF 2=35，即cos α=35，则sin α=45，NA =32a ，NF 2 =52aNF 2 -NF 1 =2a 32a +2b -52a =2a ，所以2b =3a ，即b a =32，所以双曲线的离心率e =c a =1+b 2a2=132选C方法二(答案回代法)A 选项e =52特值双曲线x 24-y 2=1,∴F 1-5,0 ,F 25,0 ，过F 1且与圆相切的一条直线为y =2x +5 ，∵两交点都在左支,∴N -655,-255 ，∴NF 2 =5,NF 1 =1,F 1F 2 =25，则cos ∠F 1NF 2=35，C 选项e =132特值双曲线x 24-y 29=1,∴F 1-13,0 ,F 213,0 ，过F 1且与圆相切的一条直线为y =23x +13 ，∵两交点在左右两支，N 在右支，∴N 141313,181313 ，∴NF 2 =5,NF 1 =9,F 1F 2 =213，则cos ∠F 1NF 2=35，解法三：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过F 1作圆D 的切线切点为G ，若M ,N 分别在左右支，因为OG ⊥NF 1，且cos ∠F 1NF 2=35>0，所以N 在双曲线的右支，又OG =a ，OF 1 =c ，GF 1 =b ，设∠F 1NF 2=α，∠F 2F 1N =β，在△F 1NF 2中，有NF 2 sin β=NF 1 sin α+β=2csin α，故NF 1 -NF 2 sin α+β -sin β=2c sin α即a sin α+β -sin β=c sin α，试卷第2页，共40页所以a sin αcos β+cos αsin β-sin β=csin α，而cos α=35，sin β=a c ，cos β=b c ，故sin α=45，代入整理得到2b =3a ，即b a =32，所以双曲线的离心率e =c a =1+b 2a 2=132若M ,N 均在左支上，同理有NF 2sin β=NF 1sin α+β=2c sin α，其中β为钝角，故cos β=-bc，故NF 2 -NF 1 sin β-sin α+β=2c sin α即a sin β-sin αcos β-cos αsin β=c sin α，代入cos α=35，sin β=a c ，sin α=45，整理得到：a 4b +2a=14，故a =2b ，故e =1+b a 2=52，故选：AC .41.(2022·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习)将以下四个方程e x =a -x 、x 2=a -x (x >0)、x =a -x 、ln x =a -x 的正数解分别记为x 1,x 2,x 3,x 4，则以下判断一定正确的有( )A.x 1<x 2<x 3<x 4 B.x 1+x 2+x 3+x 4=2aC.x 3-x 1=x 4-x 2D.x 1x 4=x 2x 3【答案】BC【解析】画出y =e x ,y =x 2x >0 ,y =x ,y =ln x ,y =a -x 的图象如下图所示，y =x y =a -x ⇒x =y =a 2，由图可知x 1,x 4关于x =a 2对称，x 2,x 3关于x =a2对称，所以x 1+x 4=a ,x 2+x 3=a ，则x 1+x 2+x 3+x 4=2a ,x 1-x 2+x 4-x 3=0,x 3-x 1=x 4-x 2，所以BC 选项正确.当a =2时，x 1+x 4=x 2+x 3=2且x 2=x 3=1，x 1<x 2=x 3<x 4所以A 选项不正确，对于D 选项，x 1x 4<x 1+x 422=1=x 2x 3，所以D 选项不正确.故选：BC42.(2022·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习)已知函数f (x )在R 上有定义，记f (x )为函数f (x )的导函数，又f (2x -1)是奇函数，则以下判断一定正确的有( )A.f 4x -2 是奇函数 B.f x -1 +f 3x -1 是奇函数C.f 4x 2-2 是偶函数 D.f (-5x -1)是偶函数【答案】BCD【解析】若f x =x +1，则f 2x -1 =2x 为奇函数，而f 4x -2 =4x -1为非奇非偶函数，所以A 选项错误.由于f 2x -1 是奇函数，所以f -2x -1 =-f 2x -1 ，对于函数f x -1 +f 3x -1 ，f -x -1 +f -3x -1 =-f x -1 -f 3x -1 =-f x -1 +f 3x -1 ，所以f x -1 +f 3x -1 是奇函数，B 选项正确.对于函数f 4x 2-2 ，f 4-x 2-2 =f 4x 2-2 ，所以函数f 4x 2-2 是偶函数，C 选项正确.对于D 选项，先证明奇函数的导数是偶函数：若f x 是定义在R 上的奇函数，则f -x =-f x ，两边求导得f -x =-f x ，即-f -x =-f x ，即f -x =f x ，所以奇函数的导数是偶函数.然后证明f -5x -1 为奇函数：由于f 5x -1 =-f -5x -1 ，所以f -5x -1 为奇函数，所以f (-5x -1)是偶函数，D 选项正确.故选：BCD43.(2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习)已知函数f x 的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ，图象关于y 轴对称，导函数为f x ，且当x <0时，f x >f xx，设a >1，则下列大小关系正确的是( )A.a +1 f 4aa +1 >2a f 2a B.f 2a >a f 2aC.4af a +1 a +1>a +1 f 4a a +1D.2f 2a <a +1 f 4a a +1 【答案】AD【解析】当x <0时，fx >f x x ，即f x -f x x =xf x -f x x>0，所以xf (x )-f (x )<0，构造函数g x =f x x ，则g(x )=xf (x )-f (x )x 2<0，∴当x <0时，g x 单调递减，又由题意可得f x 是偶函数，∴g x 是奇函数，则当x >0时，g x 也单调递减．对于A ，∵a >1，∴0<4a a +1<4a 2a=2a ，∴g 4aa +1 >g 2a ，即f 4a a +1 4a a +1>f 2a 2a ，∴a +1 f 4a a +1 >2a f 2a ，故A 正确；对于B ，∵a >1，∴2a >2a >0，∴g 2a <g 2a ，即f 2a2a <f 2a 2a，可得f 2a <a f 2a ，故B 错误；对于C ，∵a >1，a +1-4a a +1=a -1 2a +1>0，即a +1>4a a +1>0，∴g a +1 <g 4aa +1 ，即f a +1 a +1<f 4a a +1 4a a +1，∴4af a +1 a +1<a +1 f 4aa +1，故C 错误；对于D ，∵a >1，2a -4a a +1=2a 2+2a -4a a +1=2a a -1 a +1>0，∴2a >4aa +1>0，g 2a <g 4a a +1 ，即f 2a 2a <f 4a a +1 4a a +1，∴2f 2a <a +1 f 4a a +1 ，故D 正确．故选:AD ．44.(2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习)已知函数f x =sin ωx +φ ω>0,φ∈R 在区间7π12,5π6上单调，且满足f 7π12=-f 3π4 有下列结论正确的有( )A.f 2π3 =0B.若f 5π6-x =f x ，则函数f x 的最小正周期为π；试卷第2页，共40页。

(压轴题)高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试(含答案解析)(1)

一、选择题1．若关于x 的不等式13x x m -++>的解集为R ，则实数m 的取值范围是 A ．(,4)(2,)-∞-⋃+∞ B ．(,4)(1,)-∞-+∞C ．(4,2)-D ．[4,1]-2．若0a b <<，则下列不等式中一定成立的是（） A ．11a bC ．ln()0b a ->D ．22ac bc <3．若实数a ＞b ，则下列结论成立的是（） A ．a 2＞b 2B ．11a b＜C ．ln 2a ＞ln 2bD ．ax 2＞bx 24．若0a b -B ．1a b< C ．a b -<-D ．11a b< 5．如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则参数a 的取值范围是（） A ．()1,+∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞ 6．已知a b R ∈，，且a b >，则下列不等式中恒成立的是（） A ．22a b >B ．()lg a b 0->C ．a b 22--<D ．a 1b > 7．已知实数,a b ，且a b >，则以下不等式恒成立的是（） A ．33a b > B ．22a b >C ．1133a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11a b< 8．若，则下列结论不正确的是A ．B ．C ．D ．9．若0a b <<，则下列各式一定．．成立的是（） A ．a c b c +>+B ．22a b <C ．ac bc >D ．11a b> 10．已知,a b ∈R ，且2a bP +=，222a b Q +=P ，Q 的关系是（） A ．P Q ≥B ．P Q >C ．P Q ≤D ．P Q <11．若a b >，则下列不等式成立的是（） A ．22a b >B ．11a b< C ．a b >D ．a b e e >12．给出以下四个命题：（）①若a>b ，则 11a b<； ②若ac 2>bc 2，则a>b ； ③若a>|b|，则a>b ；④若a>b ，则a 2>b 2.其中正确的是( ) A ．②④B ．②③C ．①②D ．①③二、填空题13．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 14．若不等式21x a x a a -++≥-+对于任意实数x 恒成立，则满足条件的实数a 的取值范围______. 15．已知关于x 的不等式1+1ax ax ->在[2,5]有实数解，则实数a 的取值范围为________． 16．若关于x 的不等式215x a x x -+-≥-在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为________． 17．已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_______．18．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是_____ 19．若110a b>>有下列四个不等式①33a b <；②21log 3log 3a b ++>；b a b a -④3322a b ab +>.则下列组合中全部正确的为__________ 20．全集U =R ，且2{}0|6A x x x =-++≥，}0{|34B x x =-->，则()UA B =________．三、解答题21．设函数()2|1||2|f x x x =-+-. （1）求不等式()2f x >的解集；（2）若不等式()(1)f x a x +的解集非空，求实数a 的取值范围. 22．已知()|1||1|f x x x =-++，不等式()4f x <的解集为M . （1）求集合M ；（2）当,a b M ∈时，证明：2|||4|a b ab +<+. 23．已知正实数,x y 满足21x y += （1）解关于x 的不等式52()||2x y x y ++-≤；（2）证明：22114136x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 24．已知函数()36f x x =+，()3g x x =-．（Ⅰ）求不等式()()f x g x >的解集；（Ⅱ）若()3()f x g x a +≥对于任意x ∈R 恒成立，求实数a 的最大值． 25．选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x =-.（1）解不等式：()()124f x f x +++<；（2）已知2a >,求证：()(),2x R f ax af x ∀∈+>恒成立. 26．已知()|1||21|f x x x =+--. （1）求不等式()0f x >的解集；（2）若x ∈R ，不等式()23f x x a ≤+-恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】由于13x x m -++>表示数轴上的x 对应点到1和m -的距离之和，它的最小值等于1m +，由题意可得13m +>，解得2m >，或4m <-，故实数m 的取值范围是为()(),42,-∞-⋃+∞，故选A.2．B解析：B 【分析】取特殊值排除ACD 选项，由幂函数的单调性判断B 选项. 【详解】当2,1a b =-=-时，11112a b-=>=-；ln()ln10b a -==；则AC 错误；当0c时，22ac bc =，则D 错误；因为函数2y x 在(,0)-∞上单调递减，0a b <<，所以22a b >故选：B 【点睛】本题主要考查了由所给条件判断不等式是否成立，属于中档题.3．C解析：C 【解析】特值法排除A,B,D,单调性判断C 【详解】由题意，可知：对于A ：当a 、b 都是负数时，很明显a 2＜b 2，故选项A 不正确；对于B ：当a 为正数，b 为负数时，则有11a b＞，故选项B 不正确；对于C ：∵a ＞b ，∴2a ＞2b ＞0，∴ln 2a ＞ln 2b ，故选项C 正确；对于D ：当x ＝0时，结果不成立，故选项D 不正确；故选：C ．【点评】本题主要考查不等式的性质应用，特殊值技巧的应用，指数函数、对数函数值大小的比较．本题属中档题．4．A解析：A 【解析】【分析】对于A ，用不等式的性质可以论证，对于B ，C ，D ，列举反例，可以判断．【详解】∵a ＜0，∴|a |＝﹣a ，∵a ＜b ＜0，∴﹣a ＞﹣b ＞0，∴|a |＞﹣b ，故结论A 成立；取a ＝﹣2，b ＝﹣1，则 ∵21ab=＞，∴B 不正确；1==，∴∴C 不正确；112a =-，11b =-，∴11a b＞，∴D 不正确．故选：A ．【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是利用不等式的性质，对于不正确结论，列举反例．5．A解析：A 【分析】先求|x-3|+|x-4|的最小值是1，即得解. 【详解】由题得|x-3|+|x-4|＜a 有解，由绝对值三角不等式得|x-3|+|x-4|≥|x -3-x+4|=1，所以|x-3|+|x-4|的最小值为1，所以1＜a,即a ＞1. 故选A本题主要考查绝对值三角不等式求最值，考查不等式的有解问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．C解析：C 【分析】主要利用排除法求出结果．【详解】对于选项A ：当0a b >>时，不成立；对于选项B ：当10a b >>>时，()lg 0a b -<，所以不成立；对于选项D ：当0a b >>时，不成立；故选C ．【点睛】本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，排除法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7．A解析：A 【解析】【分析】根据幂函数的单调性判断A ；令1a =，1b =-判断,B D ，根据指数函数的单调性判断C ．【详解】因为()3f x x =是增函数，所以由b a >可得33b a >，选项A 正确；当1a =，1b =-时，22a b >不成立，选项B 错误；因为1y ()3x =是减函数,由a b >可得11()()33a b<，选项C 错误，1a =，1b =-时，11a b<不成立，选项D 错误，故选A ．【点睛】本题主要考查不等关系与不等式的性质，属于中档题．利用条件判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手：（1）利用不等式的性质直接判断；（2）利用函数式的单调性判断；（3）利用特殊值判断.8．D解析：D 【分析】不妨令，代入各个选项进行验证，找出符合条件的选项．【详解】由题，不妨令，可得a 2＜b 2，故A 正确；，故B 正确；，故C 正确．故D 不正确．故选D ．【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题9．D解析：D 【分析】运用不等式的可加性，可判断A ；由反比例函数的单调性，可判断D ；由0c ，可判断C ；由二次函数的单调性可判断B ．【详解】对于A ，若0a b <<，则a c b c ++＜，故A 项错误；对于D ，函数1y x ＝在0-∞（，）上单调递减，若0a b <<，则11a b>，故D 项正确；对于C ，当0c时，ac bc =，即不等式ac bc >不成立，故C 项错误；对于B ，函数2y x 在0-∞（，）上单调递减，若0a b <<，则22a b ＞，故B 项错误，故选D ．【点睛】本题考查不等式的性质和运用，考查函数的单调性和反例法，考查推理、判断能力，属于基础题．10．C解析：C 【解析】分析：因为P 2﹣Q 2=﹣2()4a b -≤0，所以P 2≤Q 2，则P≤Q ，详解：因为a ，b ∈R ，且P=2a b +，222a b +，所以P 2=2224a b ab ++，Q 2=222a b +，则P 2﹣Q 2=2224a b ab ++﹣222a b +=2224ab a b --=﹣2()4a b -≤0，当且仅当a=b 时取等成立，所以P 2﹣Q 2≤0，即P 2≤Q 2，所以P≤Q ，故选：C ．点睛：比较大小的常用方法（1）作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差. （2）作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论.（3）函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系. （4）借助第三量比较法11．D解析：D 【解析】分析：根据不等式的性质，通过举例，可判定A 、B 、C 不正确，根据指数函数的性质，即可得到D 是正确的.详解：当1,2a b ==-时，满足a b >，此时2211,,a b a b a b<，所以A 、B 、C 不正确；因为函数x y e =是单调递增函数，又由a b >，所以a b e e >，故选D.点睛：本题主要考查了不等式的性质的应用和指数函数的单调性的应用，其中熟记不等式的基本性质和指数函数的单调性是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.12．B解析：B 【解析】分析：根据不等式的性质分别进行判断，注意结合特值法求解. 详解：①若110,a b a b>>>成立，①错误； ②22ac bc >，则a b >，②正确； ③若a b >成立，则a b >成立，③正确；④若0,1a b ==-，a b >成立，则 22a b >不成立，④错误，正确的命题为②③，故选B.点睛：本题考查不等式的性质的应用，要求熟练掌握不等式性质成立的条件，同时注意运用特值法判断，属于简单题.二、填空题13．【分析】先去绝对值转化为再转化为求的最大值与最小值得到答案【详解】由得又由则则的最大值为的最小值为则故答案为：【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法对数函数的值域的求法还考查了将恒成立问题转化为求最值解析：()1,7-【分析】先去绝对值，转化为22log 5log 5x a x -<<+，再转化为求2log ,[4,16]y x x =∈的最大值与最小值，得到答案. 【详解】由2log 5x a -<，得22log 5log 5x a x -<<+，又由2log ,[4,16]y x x =∈，则[2,4]y ∈，则25log x -的最大值为1-，2log 5x +的最小值为7，则17a -<<. 故答案为：()1,7- 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，对数函数的值域的求法，还考查了将恒成立问题转化为求最值问题，转化与化归思想，属于中档题.14．【分析】首先若满足不等式恒成立即根据不等式利用含绝对值三角不等式求最小值最后解不等式求的取值范围【详解】当时等号成立若满足不等式对于任意实数x 恒成立即即或解得：或故答案为：【点睛】本题考查了不等式恒解析：(]2,2,5⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】首先若满足不等式恒成立，即()min12a x a x a -+≤-++，根据不等式222a ax a x a x a x x -++=-++++，利用含绝对值三角不等式求最小值，最后解不等式求a 的取值范围. 【详解】()32222222a a a a a x a x a x a x x x a x x a x ⎛⎫-++=-++++≥--+++=++ ⎪⎝⎭ 32a≥ ，当2ax =-时，等号成立， ()min 322a x a x a ∴-++=，若满足不等式21x a x a a -++≥-+对于任意实数x 恒成立，即312a a -+≤ ，即312a a ≥-或312a a ≤- ，解得：25a ≥或2a ≤-. 故答案为：(]2,2,5⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查绝对值的意义和绝对值三角不等式求最值，属于中档题型，含有两个绝对值的式子求最值时，参考公式a b a b a b -≤±≤+.15．【分析】根据题意分析可得原问题转化为在上能够成立设求出的最小值分析可得答案【详解】解：根据题意不等式在有实数解即在上能够成立又由则在上能够成立设则在区间上为减函数其最小值为若在上能够成立则；故的取值解析：3(,)2a ∈+∞【分析】根据题意，分析可得原问题转化为11x a x +>-在[2，5]上能够成立，设1()1x f x x +=-，求出()f x 的最小值，分析可得答案．【详解】解：根据题意，不等式11ax a x ->+在[2，5]有实数解，即111x a x -⨯>+在[2，5]上能够成立，又由[2x ∈，5]，则11x a x +>-在[2，5]上能够成立，设1()1x f x x +=-，则2()11f x x =+-，在区间[2，5]上为减函数，其最小值为()352f =，若11x a x +>-在[2，5]上能够成立，则32a >；故a 的取值范围是3|2a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；故答案为：3,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式转化为整式不等式进行分析．16．【解析】原不等式转化为恒成立设的图像应在的上方右下图可得解析：6a ≥【解析】原不等式转化为25-1x a x x -≥-- 恒成立，设()2,()51f x x a g x x x =-=---=62,1()4,1x x f x x -≥⎧⇒⎨<⎩的图像应在()g x 的上方，右下图可得(1)(1)6f g a ≥⇒≥ .17．【解析】试题分析：由题意得对任意总成立即对任意总成立而当且仅当时取=则实数的取值范围是考点：基本不等式求最值解析：()2,π-+∞【解析】试题分析：由题意得()=()f x x a x π-<对任意0x <总成立，即a x xπ>+对任意0x <总成立，而2x xππ+≤-，当且仅当x π=-时取“=”，则实数的取值范围是()2,π-+∞考点：基本不等式求最值18．【详解】由得由整数有且仅有123知解得解析：(5,7)【详解】由|3|4x b -<得4433b b x -+<< 由整数有且仅有1，2，3知40134343b b -⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩，解得57b <<19．①③【分析】由条件可知利用作差或是不等式的性质或是代特殊值判断不等式是否正确【详解】则正确故①正确；但不确定和的大小关系所以的正负不确定故②不正确；即故③正确；当时当时故④不正确；故答案为：①③【点解析：①③ 【分析】由条件可知0b a >>，利用作差，或是不等式的性质，或是代特殊值，判断不等式是否正确. 【详解】1100a b a b>>⇒<<，则33a b <正确，故①正确；()()()()()()33213333log 1log 211log 3log 3log 2log 1log 2log 1a b b a a b a b +++-+-=-=++++，()()33log 20,log 10a b +>+>，但不确定1b +和2a +的大小关系，所以()()33log 1log 2b a +-+的正负不确定，故②不正确；0ba >>，0>，(()22b a b a-=+---，20a=-=<<③正确；当1,2a b ==时，33220a b ab +-> 当2,3a b ==时，33220a b ab +-<，故④不正确；故答案为：①③ 【点睛】方法点睛：1.利用不等式的性质判断，把要判断的结论和不等式的性质联系起来考虑，先找到与结论相近的性质，再判断.2.作差（或作商）比较法，先作差（商），变形整理，判断符号（或与1比较），最后判断大小；3.特殊值验证的方法，运用赋值法排除选项.20．【分析】解不等式得集合根据交集和补集的定义写出【详解】解：全集或或即故答案为：【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题是基础题解析：(,2)[1,)-∞--+∞【分析】解不等式得集合A 、B ，根据交集和补集的定义写出()UA B ．【详解】解：全集U =R ，22{|60}{|60}{|23}A x x x x x x x x =-++=--=-，{}||3|40{||3|4}{|7B x x x x x x =-->=->=>或1}x <-，{|21}AB x x =-<-，(){|2U A B x x =-∴<或1}x -,即(,2)[1,)()=UA B -∞--+∞.故答案为：(,2)[1,)-∞--+∞．【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．三、解答题21．（1）2,(2,)3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭（2）1(,3),2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）直接分类去绝对值，即可求出()2f x >的解集；（2）去绝对值，得出()43,1,,12,34,2,x x f x x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩，画出图象，由于直线(1)y a x =+过定点(1,0)-，结合图象即可得出不等式()(1)f x a x +的解集非空时，a 的取值范围..【详解】解：（1）原不等式等价于1,432x x <⎧⎨->⎩或12,2x x ≤≤⎧⎨>⎩或2,342,x x >⎧⎨->⎩解得不等式()2f x >的解集为2,(2,)3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.（2）()43,1,,12,34,2,x x f x x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩画出图象，如图所示，其中(1,1)A ，(2,2)B ，直线(1)y a x =+过定点(1,0)-，且绕点(1,0)-旋转时，由图可得若不等式1()2f x a x ⎛⎫+⎪⎝⎭的解集非空，则3a <-或AC a k ≥，故实数a 的取值范围为1(,3),2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，考查数形结合思想和计算能力. 22．（1）(2,2)M =-；（2）证明见解析. 【分析】（1）分类讨论去绝对值，将函数化为分段函数，再利用()4f x <，即可求解；（2）利用作差法，证明224()(4)0a b ab +-+<，即可证明结论. 【详解】（1）21()1121121xx f x x x x x x -<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪>⎩，所以()4f x <等价于124x x <-⎧⎨-<⎩或1124x -≤≤⎧⎨<⎩或124x x >⎧⎨<⎩， 21x -<<-或11x -≤≤或12x <<，22,(2,2)x M ∴-<<=-；（2）当,a b M ∈时，即22,22a b -<<-<<，2222224()(4)4416a b ab a b a b +-+=+-- 22(4)(4)0a b =--<，224()(4),2|||4|a b ab a b ab ∴+<+∴+<+.【点睛】本题考查绝对值不等式求解、不等式的证明，分类讨论去绝对值是解题的关键，利用作差法证明不等式，属于中档题. 23．（1）11102x ≤<；（2）证明见解析. 【分析】（1）用x 表示y 并求得x 的取值范围，结合绝对值不等式的解法求得原不等式的解集. （2）化简221141x y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭后利用基本不等式证得不等式成立. 【详解】（1）21x y +=，且0,0x y >>，故112,02y x x =-<<. 11005222()5122(1)3131222x x x y x y x x x x ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪∴++-≤⇔⇔⎨⎨⎪⎪-+-≤-≤+⎪⎪⎩⎩10211231222x x x x ⎧<<⎪⎪⇔⎨⎪--≤-≤+⎪⎩，解得11102x ≤<.（2）21,x y +=且 0,0x y >>，2222221114141x y x y x y ⎛⎫--⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222(12)(12)(1)(1)(12)(1)2x x y y x y y xx y x y +-+-++⋅=⋅=⋅ 1222x y xyxy+++=⨯248844436(2)22xy x y x y =+=+≥+=+⎛⎫⎪⎝⎭. 当且仅当122x y ==时等号成立. 【点睛】解绝对值不等式，可利用公式法，如a b b a b ≤⇔-≤≤.证明不等式，可利用基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.24．（Ⅰ）93,,24⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（Ⅱ）15. 【分析】（1）两边平方，再利用一元二次不等式的解法即可求出不等式的解集；（2）转化为min (3633)x x a ++-≥对于任意x ∈R 恒成立，利用绝对值三角不等式求出min (3633)15x x ++-=，进而可得答案．【详解】（Ⅰ）由()()f x g x >，得363x x +>-，平方得()()22363x x +>-，得2842270x x ++>，即()()29430x x ++>，解得92x <-或34x >-. 故不等式()()f x g x >的解集是93,,24⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅱ）若()()3f x g x a +≥恒成立，即3639x x a ++-≥恒成立. 只需min (3633)x x a ++-≥即可.而()3639363915x x x x ++-≥+--=，所以15a ≤ 故实数a 的最大值为15. 【点睛】不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在y g x 上方即可)；③ ()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立 25．（1）3522⎛⎫- ⎪⎝⎭，（2）详见解析【解析】试题分析：（1）利用绝对值定义，将不等式等价转化为三个不等式组，它们的并集为所求解（2）证明不等式恒成立问题，实质是求对应函数()()22y f ax af x ax a x =+=-+-最值问题，利用绝对值三角不等式易得函数最小值：y 2222ax a ax a ≥-+-=-，再根据2a >，易得()()2f ax af x +> 试题（1）解：(1)(2)4f x f x +++<，即14x x -+<， ①当0x ≤时，不等式为14x x --<，即32x >-， 302x ∴-<≤是不等式的解； ②当01x <≤时，不等式为14x x -+<，即14<恒成立，01x ∴<≤是不等式的解；③当1x >时，不等式为14x x -+<，即52x <， 512x ∴<<是不等式的解．综上所述，不等式的解集为3522⎛⎫- ⎪⎝⎭，．（2）证明：2a >，()()22f ax af x ax a x ∴+=-+-22ax ax a =-+-22ax a ax =-+-≥22222ax a ax a -+-=->，()()2x R f ax af x ，∴∀∈+>恒成立．考点：绝对值定义，绝对值三角不等式【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 26．（1）(0,2)；（2）[2,)+∞ 【分析】(1)把()|1||21|f x x x =+--分段表示，后解不等式（2）不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-，2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，求其最大值即可.【详解】解：(1)2,11()1213,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩当1x <-时，由20x ->得2x >，即解集为∅，当112x ≤≤-时，由30x >得0x >，解集为1(0]2，，当12x >时，由20x ->得2x <，解集为1,22⎛⎫⎪⎝⎭，综上所述，()0f x >的解集为(0,2)(2)不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-，令2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，则max 1()12g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即2312a a -≥⇒≥ 所以实数a 的取值范围是[2,)+∞【点睛】考查含两个绝对值号的不等式解法以及不等式恒成立求参数的范围，中档题.。

2023年新高考数学选填压轴题汇编(三)(解析版)

2023年新高考地区数学选填压轴题汇编(三)一、单选题1.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知双曲线C 1：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 与抛物线C 2：y 2=2px p >0 有公共焦点F ，过F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，延长FA 与抛物线C 2相交于点B ，若点A 为线段FB 的中点，双曲线C 1的离心率为e ，则e 2=( )A.3+12B.5+12C.5+13D.5+23【答案】B 【解析】根据题意，作图如下：因为双曲线C 1和抛物线C 2共焦点，故可得a 2+b 2=p 24，又F c ,0 到y =b a x 的距离d =bca 2+b 2=b ，即AF =b ，又A 为BF 中点，则BF =2b ，设点B x ,y ，则2b =x +p 2，解得x =2b -p 2；由a 2+b 2=p 24可得OA =a ，则由等面积可知：12×BF ×OA =12×OF ×y ，解得y =4abp，则B 2b -p 2,4abp ，则x A =b ,y A =2ab p ，又点A 在渐近线y =b a x 上，即b 2a =2abp，即2a 2=pb ，又p 2=4a 2+4b 2，联立得a 4-a 2b 2-b 4=0，即b 2a 2-a 2b 2+1=0，解得b 2a2=5-12，故e 2=1+b 2a2=5+12.故选：B .2.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若对任意的x 1，x 2∈0，+∞) ，且x 1≠x 2，都有x 1f x 1 -x 2f x 2x 1-x 2<0成立，则不等式mf m -2m -1 f 2m -1 >0的解集为( )A.13，1 B.(-∞，1)C.1,∞D.-∞,13∪1,+∞ 【答案】D【解析】∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数∴g x =xf x 为定义在R 上的偶函数又∵x 1f x 1 -x 2f x 2 x 1-x 2<0∴g x =xf x 在0，+∞) 上递减，则g x 在-∞,0 上递增mf m -2m -1 f 2m -1 >0即mf m >2m -1 f 2m -1则m <2m -1 解得：m ∈-∞,13∪1,+∞ ．故选：D ．3.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式sin x =x -x 33!+x 55!-x 77!+⋯+-1 n -1x 2n -12n -1 !+⋯，(其中x ∈R ，n ∈N *，n !=1×2×3×⋯×n ⋅0!=1)，现用上述公式求1-12!+14!-16!+⋯+-1 n -112n -2 !+⋯的值，下列选项中与该值最接近的是( )A.sin30∘ B.sin33∘ C.sin36∘ D.sin39∘【答案】B【解析】(sin x )=cos x =1-x 22!+x 44!-x 66!+⋯+-1 n -1x 2n -22n -2 !+⋯所以cos1=1-12!+14!-16!+⋯+(-1)n -11(2n -2)!+⋯=sin π2-1=sin 90∘-180∘π ，由于90∘-180∘π 与33∘最接近，故选：B 4.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)某旅游景区有如图所示A 至H 共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为( )A.288B.336C.576D.1680【答案】B【解析】解:第一步:排白车,第一行选一个位置,则第二行有三个位置可选,由于车是不相同的,故白车的停法有4×3×2=24种,第二步,排黑车,若白车选AF ,则黑车有BE ,BG ,BH ,CE ,CH ,DE ,DG 共7种选择,黑车是不相同的,故黑车的停法有2×7=14种，根据分步计数原理,共有24×14=336种,故选：B5.(2022·山东·模拟预测)已知函数f (x )=xe x -2a (ln x +x )有两个零点，则a 的最小整数值为( )A.0 B.1C.2D.3【答案】C【解析】f (x )=xe x -2a (ln x +x )=e x +ln x -2a (ln x +x )，设t =x +ln x (x >0)，t =1+1x>0，即函数在0,+∞ 上单调递增，易得t ∈R ，于是问题等价于函数g t =e t -2at 在R 上有两个零点，g t =e t -2a ，若a ≤0，则g t >0，函数g t 在R 上单调递增，至多有1个零点，不合题意，舍去；若a >0，则x ∈-∞,ln2a 时，g t <0，g t 单调递减，x ∈ln2a ,+∞ 时，g t >0，g t 单调递增.因为函数g t 在R 上有两个零点，所以g t min =g ln2a =2a 1-ln2a <0⇒a >e2，而g 0 =1>0，限定t >1 ，记φt =e t -t ，φ t =e t -1>0，即φt 在1,+∞ 上单调递增，于是φt =e t -t >φ1 =试卷第1页，共3页e -1>0⇒e t>t ，则t >2时，e t2>t 2⇒e t>t 24，此时g t >t 24-2at =t 4t -8a ，因为a >e 2，所以8a>4e >1，于是t >8a 时，g t >0.综上：当a >e2时，有两个交点，a 的最小整数值为2.故选：C .6.(2022·山东·模拟预测)已知函数f (x )=A sin (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数，在0,π3单调递减，且在该区间上没有零点，则ω的取值范围为( )A.32,2 B.1,32C.32,52D.0,32【答案】D【解析】因为函数为偶函数，且在0,π3 单调递减，所以φ=π2+k πk ∈Z ，而0<φ<π，则φ=π2，于是f (x )=A cos ωx (ω>0)，函数在0,π3 单调递减，且在该区间上没有零点，所以0<π3ω≤π2⇒ω∈0,32 .故选：D .7.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)直线x -y +1=0经过椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点F ，交椭圆于A 、B 两点，交y 轴于C 点，若FC=2AC ，则该椭圆的离心率是( )A.10-22B.3-12C.22-2D.2-1【答案】A【解析】由题意可知，点F -c ,0 在直线x -y +1=0上，即1-c =0，可得c =1，直线x -y +1=0交y 轴于点C 0,1 ，设点A m ,n ，FC=1,1 ，AC =-m ,1-n ，由FC =2AC 可得-2m =121-n =1 ，解得m =-12n =12，椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点为E 1,0 ，则AE =1+12 2+0-12 2=102，又AF =-1+12 2+0-12 2=22，∴2a =AE +AF =10+22，因此，该椭圆的离心率为e =2c 2a =210+22=410+2=410-2 8=10-22.故选：A .8.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)已知△OAB ，OA =1，OB =2，OA ⋅OB=-1，过点O 作OD 垂直AB 于点D ，点E 满足OE =12ED ，则EO ⋅EA的值为( )A.-328B.-121C.-29D.-221【答案】D【解析】由题意，作出图形，如图，∵OA =1，OB =2，OA ⋅OB=-1∴OA ⋅OB =1×2cos ∠AOB =2cos ∠AOB =-1，∴cos ∠AOB =-12，由∠AOB ∈0,π 可得∠AOB =2π3，∴AB =OA 2+OB 2-2⋅OA ⋅OB ⋅cos ∠AOB =7，又S △AOB =12⋅OA ⋅OB ⋅sin ∠AOB =12⋅OD ⋅AB =32，则OD =37，∴EO ⋅EA =-OE ⋅ED +DA =-2OE 2=-29⋅OD 2=-29×37=-221.故选：D ．9.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)若函数f x =e x -2x 图象在点x 0,f x 0 处的切线方程为y =kx +b ，则k -b 的最小值为( )A.-2 B.-2+1eC.-1eD.-2-1e【答案】D【解析】由f x =e x -2x 求导得：f (x )=e x -2，于是得f (x 0)=e x 0-2，函数f (x )=e x -2x 图象在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为y -(e x 0-2x 0)=(e x 0-2)(x -x 0)，整理得：y =(e x 0-2)x +(1-x 0)e x 0，从而得k =e x 0-2,b =(1-x 0)e x 0，k -b =x 0e x 0-2，令g (x )=xe x -2，则g (x )=(x +1)e x ，当x <-1时，g (x )<0，当x >-1时，g (x )>0，于是得g (x )在(-∞,-1)上单调递减，在(-1,+∞)上单调递增，则g (x )min =g (-1)=-2-1e，所以k -b 的最小值为-2-1e.故选：D10.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知定义域是R 的函数f x 满足：∀x ∈R ，f 4+x +f -x =0，f 1+x 为偶函数，f 1 =1，则f 2023 =( )A.1 B.-1C.2D.-3【答案】B【解析】因为f 1+x 为偶函数，所以f x 的图象关于直线x =1对称，所以f 2-x =f x ，又由f 4+x +f -x =0，得f 4+x =-f -x ，所以f 8+x =-f -4-x =-f 6+x ，所以f x +2 =-f x ，所以f x +4 =f x ，故f x 的周期为4，所以f 2023 =f 3 =-f 1 =-1．故选:B ．11.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的，从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是109∘28 ，这样的设计含有深刻的数学原理.我著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书.用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱ABCDEF -A B C D E F 的三个顶点试卷第1页，共3页A ,C ,E 处分别用平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 截掉三个相等的三棱锥M -ABF ,O -BCD ,N -DEF ，平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 交于点P ，就形成了蜂巢的结构.如图，设平面PBOD 与正六边形底面所成的二面角的大小为θ，则( )A.tan θ=33tan54∘44 B.sin θ=33tan54∘44 C.cos θ=33tan54∘44D.tan θ=3tan54∘44 【答案】C【解析】先证明一个结论：如图，△ABC 在平面α内的射影为△ABC ，C -AB -C 的平面角为θ,θ∈0,π2 ，则cos θ=S △ABCS △ABC.证明：如图，在平面β内作CE ⊥AB ，垂足为E ，连接EC ，因为△ABC 在平面α内的射影为△ABC ，故CC ⊥α，因为AB ⊂α，故CC ⊥AB ，因为CE ∩AB =E ，故AB ⊥平面ECC .因为EC ⊂平面ECC ，故C E ⊥AB ，所以∠CEC 为二面角的平面角，所以∠CEC =θ.在直角三角形CEC 中，cos ∠CEC =cos θ=ECEC=S △ABCS △ABC .由题设中的第二图可得：cos θ=S △DBCS △DBO.设正六边形的边长为a ，则S △DBC =12a 2×32=34a 2，如图，在△DBO 中，取BD 的中点为W ，连接OW ，则OW ⊥BD ，且BD =3a ，∠BOD =109°28 ，故OW =32a ×1tan54°44，故S △DBO =12×3a ×32a ×1tan54°44 =34a 2×1tan54°44 ，故cos θ=33tan54°44 .故选：C .12.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)已知2021ln a =a +m ，2021ln b =b +m ，其中a ≠b ，若ab <λ恒成立，则实数λ的取值范围为( )A.2021e 2,+∞ B.20212,+∞C.20212,+∞D.2021e 2,+∞【答案】C【解析】令f (x )=ln x -12021x ，则f (x )=1x -12021=2021-x2021x，∴当x ∈(0,2021)时，f (x )>0，当x ∈(2021,+∞)时，f (x )<0，∵f (2021)>0，∴设0<a <20211)，两式相减，得2021ln b a =b -a ，则2021ln t =a (t -1)，∴a =2021ln t t -1，b =at =2021t ln tt -1，∴ab =20212⋅t (ln t )2(t -1)2，令g (t )=t (ln t )2-(t -1)2，∴g (t )=(ln t )2+2ln t -2t +2，令h (t )=(ln t )2+2ln t -2t +2，则h (t )=2t(ln t +1-t )，令m (t )=ln t +1-t ，则m (t )=1t-1<0，∴函数m (t )在(1,+∞)上单调递减，∴m (t )<m (1)=0,即h (t )<0,∴h (t )<h 1 =0，∴g (t )<0，∴函数g (t )在(1,+∞)上单调递减，∴g (t )<g 1 =0，∴t (ln t )2-(t -1)2<0，∴t (ln t )2(t -1)2<1，∴ab <20212，∴实数λ的取值范围为20212,+∞ ，故选：C ．13.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)己知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A =AB ，F 1B ⋅F 2B=0，则C 的离心率为( )A.2B.5C.3+1D.5+1【答案】A 【解析】如下图示，因为F 1A =AB ，F 1B⋅F 2B =0，O 是F 1F 2中点，所以A 是F 1B 中点且F 1B ⊥F 2B ，则OA ⊥F 1B ，OF 1=OB =c ，因为直线OA 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1的渐近线，所以k OA =-b a ，k F 1B =a b ，直线F 1B 的方程为y =ab (x +c )，联立y =a b (x +c )y =b ax，解得B a 2c b 2-a 2,abc b 2-a 2 ，则|OB |2=a 4c 2b 2-a 2 2+试卷第1页，共3页a 2b 2c 2b 2-a 22=c 2，整理得b 2=3a 2，因为c 2-a 2=b 2，所以4a 2=c 2，e =ca=2.故选：A14.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)已知函数f x =cos 2ωx 2+32sin ωx -12ω>0,x ∈R .若函数f x 在区间π,2π 内没有零点，则ω的取值范围是A.0,512 B.0,512 ∪56,1112 C.0,56D.0,512 ∪56,1112【答案】D【解析】 (1)ωπ+π6,2ωπ+π6 ⊆(2k π,2k π+π),k ∈Z ，则{ωx +π6≥2k π2ωπ+π6≤2k π+π ，则{ω≥2k -16ω≤k +512，取k =0 ，∵ω>0, ∴0<k ≤512；(2)ωπ+π6,2ωπ+π6 ⊆(2k π+π,2k π+2π),k ∈Z ，则{ωπ+π6≥2k π+π2ωπ+π6≤2k π+2π ，解得：{ω≥2k +56ω≤k +1112，取k=0 ，∴56≤k ≤1112；综上可知：k 的取值范围是0,512 ∪56,1112，选D .15.(2022·湖南·高三开学考试)已知a =2,b =513,c =(2+e )1e ，则a ,b ,c 的大小关系为( )A.b <c <aB.c 0)，则fx =x x +2-ln 2+xx 2，令g x =x x +2-ln 2+x ,(x >0)，则g x =-x(x +2)2<0，所以g x 在0,+∞ 上单调递减，g x <g 0 =0，所以f x <0恒成立，所以f x 在0,+∞ 上单调递减，因为2<e <3，所以f 2 >f e >f 3 ，即12ln 2+2 >1e ln 2+e >13ln 2+3 ，所以ln (2+2)12>ln (2+e )1e>ln (2+3)13，所以412>(2+e )1e>513，即b <c <a .故选：A .16.(2022·湖北·高三开学考试)已知a ,b ,c 均为不等于1的正实数，且ln c =a ln b ,ln a =b ln c ，则a ,b ,c 的大小关系是( )A.c >a >b B.b >c >aC.a >b >cD.a >c >b【答案】D【解析】∵ln c =a ln b ,ln a =b ln c 且a 、b 、c 均为不等于1的正实数，则ln c与ln b同号，ln c与ln a同号，从而ln a、ln b、ln c同号.①若a、b、c∈0,1，则ln a、ln b、ln c均为负数，ln a=b ln c>ln c，可得a>c，ln c=a ln b>ln b，可得c>b，此时a>c>b；②若a、b、c∈1,+∞，则ln a、ln b、ln c均为正数，ln a=b ln c>ln c，可得a>c，ln c=a ln b>ln b，可得c>b，此时a>c>b.综上所述，a>c>b.故选：D.17.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)设f x 是定义在R上的连续的函数f x 的导函数，f x -f x +2e x<0(e为自然对数的底数)，且f2 =4e2，则不等式f x >2xe x的解集为( )A.-2,0∪2,+∞B.e,+∞C.2,+∞D.-∞,-2∪2,+∞【答案】C【解析】设g x =f xe x-2x，则g x =f x -f xe x-2=f x -f x -2e xe x，∵f x -f x +2e x<0，∴g x >0，函数g x 在R上单调递增，又f2 =4e2，∴g2 =f2e2-4=0,由f x >2xe x，可得f xe x-2x>0，即g x >0=g2 ，又函数g x 在R上单调递增，所以x>2，即不等式f x >2xe x的解集为2,+∞.故选：C．18.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)已知实数α，β满足αeα-3=1，βlnβ-1=e4，其中e是自然对数的底数，则αβ的值为( )A.e3B.2e3C.2e4D.e4【答案】D【解析】因为αeα-3=1，所以αeα=e3，所以α+lnα=3．因为βlnβ-1=e4，所以lnβ+ln lnβ-1=4．联立α+lnα-3=0lnβ-1+ln lnβ-1-3=0 ，所以α与lnβ-1是关于x的方程x+ln x-3=0的两根．构造函数f x =x+ln x-3，该函数的定义域为0,+∞，且该函数为增函数，由于fα =f lnβ-1=0，所以α=lnβ-1，又α+lnα-3=0，所以lnβ-1+lnα-3=0，即lnαβ=4，解得αβ=e4．故选：D．19.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知F c,0(其中c>0)是双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的焦点.圆x2+y2-2cx+b2=0与双曲线的一条渐近线l交于A、B两点.已知l的倾斜角为30°.则tan∠AFB=( )A.-2B.-3C.-22D.-23试卷第1页，共3页【答案】C 【解析】如图所示：x 2+y 2-2cx +b 2=0，化为x -c 2+y 2=c 2-b 2=a 2，因为渐近线l 的倾斜角为30°，所以tan30∘=b a =33，圆心F c ,0 到直线y =bax 的距离为：d =bca1+b a2=b ，又AF =BF =a ，所以cos 12∠AFB =b a =33,sin 12∠AFB =63，则tan 12∠AFB =2，所以tan ∠AFB =2tan 12∠AFB1-tan 212∠AFB=2×21-2 2=-22，故选：C20.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)设函数f x =sin x -1 +e x -1-e 1-x -x +3，则满足f x +f 3-2x <6的x 的取值范围是( )A.3,+∞ B.1,+∞ C.-∞,3 D.-∞,1【答案】B【解析】假设g x =sin x +e x -e -x -x ,x ∈R ，所以g -x =sin -x +e -x -e x +x ，所以g x +g -x =0，所以g x 为奇函数，而f x =sin x -1 +e x -1-e 1-x -x -1 +3是g x 向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，所以f x 的对称中心为1,3 ，所以6=f x +f 2-x ，由f x =sin x -1 +e x -1-e 1-x -x +4求导得f x =cos x -1 +e x -1+e 1-x -1=e x -1+1ex -1+cos x -1 -1因为e x -1+1e x -1≥2e x -1⋅1e x -1=2，当且仅当e x -1=1e x -1即x =1，取等号，所以f x ≥0,所以f x 在R 上单调递增，因为f x +f 3-2x <6=f x +f 2-x 得f 3-2x <f 2-x 所以3-2x <2-x ，解得x >1，故选：B 二、多选题21.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知函数f x =log 2x ,(0<x <2)x 2-8x +13,x ≥2，若f x =a 有四个不同的实数解x 1，x 2，x 3，x 4，且满足x 1<x 2<x 3<x 4，则下列命题正确的是( )A.0<a <1B.x 1+2x 2∈22,92C.x 1+x 2+x 3+x 4∈10,212D.2x 1+x 2∈22,3【答案】ACD【解析】在同一坐标系中作出函数y =f x ,y =a 的图象，如图所示：由图象知：若f x =a 有四个不同的实数解，则0<a <1，故A 正确；因为log 2x 1 =log 2x 2 ，即-log 2x 1=log 2x 2，则1x 1=x 2，所以x 1+2x 2=1x 2+2x 2,1<x 2<2，因为y =1x 2+2x 2在1,2 上递增，所以1x 2+2x 2∈3,92，故B 错误；因为x 1+x 2=1x 2+x 2,1<x 2<2，y =1x 2+x 2在1,2 上递增，所以1x 2+x 2∈2,52，而x 3+x 4=8，所以x 1+x 2+x 3+x 4∈10,212 ，故C 正确；因为2x 1+x 2=2x 2+x 2,1<x 2<2，y =1x 2+2x 2在1,2 上递减，在2,2 上递增，则2x 2+x 2∈[22,3)，故D 正确；故选：ACD22.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)如图，点P 是棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的表面上一个动点，则( )A.当P 在平面BCC 1B 1上运动时，四棱锥P -AA 1D 1D 的体积不变B.当P 在线段AC 上运动时，D 1P 与A 1C 1所成角的取值范围是π3，π2C.使直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°的点P 的轨迹长度为π+42D.若F 是A 1B 1的中点，当P 在底面ABCD 上运动，且满足PF ⎳平面B 1CD 1时，PF 长度的最小值是5【答案】ABC【解析】A 选项，底面正方形AA 1D 1D 的面积不变，P 到平面AA 1D 1D 的距离为正方体棱长，故四棱锥P -AA 1D 1D 的体积不变，A 选项正确；B 选项，D 1P 与A 1C 1所成角即D 1P 与A C 所成角，当P 在端点A ，C 时，所成角最小，为π3，当P 在AC 中点时，所成角最大，为π2，故B 选项正确；C 选项，由于P 在正方体表面，P 的轨迹为对角线AB 1，AD 1，以及以A 1为圆心2为半径的14圆弧如图，试卷第1页，共3页故P 的轨迹长度为π+42，C 正确；D 选项，FP 所在的平面为如图所示正六边形，故FP 的最小值为6，D 选项错误.故选：ABC .23.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)已知正数x ，y ，z 满足3x =4y =12z ，则( )A.1x +1y =1zB.6z <3x <4yC.xy <4z 2D.x +y >4z【答案】ABD【解析】设3x =4y =12z =t ，t >1，则x =log 3t ，y =log 4t ，z =log 12t ，所以1x +1y =1log 3t +1log 4t =log t 3+log t 4=log t 12=1z，A 正确；因为6z3x =2log 12t log 3t =2log t 3log t 12=log 129<1，则6z <3x ，因为3x4y =3log 3t 4log 4t =3log t 44log t 3=log t 64log t 81=log 8164<1，则3x <4y ，所以6z <3x <4y ，B 正确；因为x +y -4z =log 3t +log 4t -4log 12t =1log t 3+1log t 4-4log t 12=log t 3+log t 4log t 3log t 4-4log t 3+log t 4=log t 3-log t 42log t 3log t 4log t 3+log t 4 >0，则x +y >4z ，D 正确.因为1z =1x +1y =x +y xy ，则xy z =x +y >4z ，所以xy >4z 2，C 错误.故选：ABD .24.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y =[x ]称为高斯函数，例如[-2.1]=-3，[2.1]=2.则下列说法正确的是( )A.函数y =x -[x ]在区间[k ,k +1)(k ∈Z )上单调递增B.若函数f (x )=sin xe x -e -x，则y =[f (x )]的值域为{0}C.若函数f (x )=|1+sin2x -1-sin2x |，则y =[f (x )]的值域为{0,1}D.x ∈R ，x ≥[x ]+1【答案】AC【解析】对于A ，x ∈[k ,k +1)，k ∈Z ，有[x ]=k ，则函数y =x -[x ]=x -k 在[k ,k +1)上单调递增，A 正确；对于B ，f 3π2=sin 3π2e 3π2-e -3π2=-1e 3π2-e-3π2∈(-1,0)，则f 3π2=-1，B 不正确；对于C ，f (x )=(1+sin2x -1-sin2x )2=2-21-sin 22x =2-2|cos2x |，当0≤|cos2x |≤12时，1≤2-2|cos2x |≤2，1≤f (x )≤2，有[f (x )]=1，当12<|cos2x |≤1时，0≤2-2|cos2x |<1，0≤f (x )<1，有[f (x )]=0，y =[f (x )]的值域为{0,1}，C 正确；对于D ，当x =2时，[x ]+1=3，有2<[2]+1，D 不正确.故选：AC25.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设f (x )是定义在R 上的函数，对于x ∈R ，令x n =f (x n -1)(n =1，2，3，⋯)，若存在正整数k 使得x k =x 0，且当0<j <k 时，x j ≠x 0，则称x 0是f (x )的一个周期为k 的周期点.若f (x )=2x ，x <122(1-x )，x ≥12，下列各值是f (x )周期为1的周期点的有( )A.0 B.13 C.23D.1【答案】AC【解析】A ：x 0=0时，x 1=f 0 =0，周期为1，故A 正确；B ：x 0=13时，x 1=f 13 =23，x 2=f 23 =23，x 3=⋯=x n =23，所以13不是f x 的周期点.故B 错误；C ：x 0=23时，x 1=x 2=⋯=x n =23，周期为1，故C 正确；D ：x 0=1时，x 1=f 1 =0，∴1不是f x 周期为1的周期点，故D 错误.故选：AC .26.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)在数列a n 中，对于任意的n ∈N *都有a n >0，且a 2n +1-a n +1=a n ，则下列结论正确的是( )A.对于任意的n ≥2，都有a n >1B.对于任意的a 1>0，数列a n 不可能为常数列C.若0<a 1<2，则数列a n 为递增数列D.若a 1>2，则当n ≥2时，2<a n <a 1【答案】ACD 【解析】A ：由a n +1=a n a n +1+1，对∀n ∈N *有a n >0，则a n +1=an a n +1+1>1，即任意n ≥2都有a n >1，正确；B ：由a n +1(a n +1-1)=a n ，若a n 为常数列且a n >0，则a n =2满足a 1>0，错误；C ：由an a n +1=a n +1-1且n ∈N *，当1<a n +1<2时0<an a n +1<1，此时a 1=a 2(a 2-1)∈(0,2)且a 1<a 2，数列a n 递增；当a n +1>2时an a n +1>1，此时a 1=a 2(a 2-1)>a 2>2，数列a n 递减；所以0<a 1<2时数列a n 为递增数列，正确；试卷第1页，共3页D：由C分析知：a1>2时a n+1>2且数列a n递减，即n≥2时2<a n<a1，正确.故选：ACD27.(2022·山东·模拟预测)已知点P在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上运动，点Q是CD的中点，点P满足PQ⊥AC1，下列结论正确的是( )A.点P的轨迹的周长为32B.点P的轨迹的周长为62C.三棱锥P-BCQ的体积的最大值为43D.三棱锥P-BCQ的体积的最大值为23【答案】BD【解析】取BC的中点为E，取BB1的中点为F，取A1B1的中点为G，取A1D1的中点为H，取DD1的中点为M，分别连接QE,EF,FG,GH,HM,MQ，由AC1⊥QE,AC1⊥EF，且QE∩EF=E，所以AC1⊥平面EFGHMQ，由题意可得P的轨迹为正六边形EFGHMQ，其中|QE|=|EF|=2，所以点P的轨迹的周长为62，所以A不正确，B正确；当点P在线段HG上运动时，此时点P到平面BCQ的距离取得最大值，此时V P-BCQ有最大值，最大值为V max=13×12×2×1×2=23，所以C不正确，D正确．故选：BD28.(2022·山东·模拟预测)正弦信号是频率成分最为单一的一种信号，因这种信号的波形是数学上的正弦曲线而得名，很多复杂的信号都可以通过多个正弦信号叠加得到，因而正弦信号在实际中作为典型信号或测试信号而获得广泛应用已知某个声音信号的波形可表示为f(x)=2sin x+sin2x，则下列叙述不正确的是( )A.f(x)在[0,2π)内有5个零点B.f(x)的最大值为3C.(2π,0)是f(x)的一个对称中心D.当x∈0,π2时，f(x)单调递增【答案】ABD【解析】对于A，由f(x)=2sin x+sin2x=2sin x(1+cos x)，令f(x)=0，则sin x=0或cos x=-1，易知f(x)在[0,2π)上有2个零点，A错误．对于B，因为2sin x≤2,sin2x≤1，由于等号不能同时成立，所以f(x)<3，B错误．对于C，易知f(x)为奇函数，函数关于原点对称，又周期为2π，故(2π,0)是f(x)的一个对称中心．对于D，f (x)=2cos x+2cos2x=2(2cos x-1)(cos x+1)，因为cos x+1≥0，所以2cos x-1>0时，即：x∈2kπ-π3,2kπ+π3(k∈Z)时，f(x)单调递增，x∈2kπ+π3,2kπ+5π3(k∈Z)时，f(x)单调递减，故D错误．故选：ABD29.(2022·山东·模拟预测)已知函数f(x)=e x,x≥0-x2-4x,x<0，方程f2(x)-t⋅f(x)=0有四个实数根x1,x2,x3,x4，且满足x1<x2<x3<x4，下列说法正确的是( )A.x1x4∈(-6ln2,0]B.x1+x2+x3+x4的取值范围为[-8,-8+2ln2)C.t的取值范围为[1,4)D.x2x3的最大值为4【答案】BC【解析】f2(x)-t⋅f(x)=0⇒f(x)[f(x)-t]=0⇒f(x)=0或f(x)=t，作出y=f(x)的图象，当f(x)=0时，x1=-4，有一个实根；当t=1时，有三个实数根，∴共四个实根，满足题意；当t=4时，f(x)=t只有两个实数根，所以共三个实根，不满足题意，此时与y=e x的交点坐标为(2ln2,4).要使原方程有四个实根，等价于f(x)=t有三个实根，等价于y=f(x)与y=t图像有三个交点，故t∈[1,4)，x4∈[0,2ln2)，所以x1x4∈(-8ln2,0]，故A错误，C正确；又因为x2+x3=-4，所以x1+x2+x3+x4=-8+x4的取值范围为[-8,-8+2ln2))，B正确；因为x2+x3=-4,x2<x3<0，所以x2x3=-x2⋅-x3<-x2+x322=4，故D错误．故选：BC.30.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C：y=x2上两个不同点A,B横坐标分别为x1，x2，以A,B为切点的切线交于P点.则关于阿基米德三角形PAB的说法正确的有( )A.若AB过抛物线的焦点，则P点一定在抛物线的准线上B.若阿基米德三角形PAB为正三角形，则其面积为334C.若阿基米德三角形PAB为直角三角形，则其面积有最小值14D.一般情况下，阿基米德三角形PAB的面积S=|x1-x2|24【答案】ABC【解析】由题意可知：直线AB一定存在斜率，所以设直线AB的方程为：y=kx+m，由题意可知：点A(x1,x21),B(x2,x22)，不妨设x1<0<x2，由y=x2⇒y =2x，所以直线切线PA,PB的方程分别为：y-x21=2x1(x-x1),y-x22=2x2(x-x2)，两方程联立得：y-x21=2x1(x-x1) y-x22=2x2(x-x2)，解得：x=x1+x22 y=x1x2，所以P点坐标为：x1+x22,x1x2，试卷第1页，共3页直线AB 的方程与抛物线方程联立得：y =kx +m y =x 2⇒x 2-kx -m =0⇒x 1+x 2=k ,x 1x 2=-m .A ：抛物线C ：y =x 2的焦点坐标为0,14 ，准线方程为 y =-14，因为AB 过抛物线的焦点，所以m =14，而x 1x 2=-m =-14，显然P 点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；B ：因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有|PA |=|PB |，即x 1+x 22-x 1 2+(x 1x 2-x 21)2=x 1+x 22-x 2 2+(x 1x 2-x 22)2，因为 x 1≠x 2，所以化简得：x 1=-x 2，此时A (x 1,x 21),B (-x 1,x 21)， P 点坐标为：(0,-x 21)，因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有|PA |=|AB |，所以(0-x 1)2+(-x 21-x 21)2=-2x 1⇒x 1=-32，因此正三角形PAB 的边长为3，所以正三角形PAB 的面积为12×3×3⋅sin60°=12×3×3×32=334，故本选项说法正确；C ：阿基米德三角形PAB 为直角三角形，当PA ⊥PB 时，所以k PA ⋅k PB =-1⇒x 1+x 22-x 1x 1x 2-x 21⋅x 1+x 22-x 2x 1x 2-x 22=-1⇒x 1x 2=-14，直线AB 的方程为：y =kx +14所以P 点坐标为：k 2,-14 ，点 P 到直线AB 的距离为：k 2⋅k +-14 ×(-1)+14 k 2+(-1)2=12k 2+1，|AB |=(x 1-x 2)2+(x 21-x 22)2=(x 1-x 2)2[1+(x 1+x 2)2]=[(x 1+x 2)2-4x 1x 2][1+(x 1+x 2)2]，因为x 1+x 2=k ,x 1x 2=-14，所以 AB =(k 2+1)(1+k 2)=1+k 2，因此直角PAB 的面积为：12×12⋅k 2+1⋅(k 2+1)=14(k 2+1)3≥14，当且仅当k =0时，取等号，显然其面积有最小值14，故本说法正确；D ：因为x 1+x 2=k ,x 1x 2=-m ，所以|AB |=(x 1-x 2)2+(x 21-x 22)2=(x 1-x 2)2[1+(x 1+x 2)2]=x 1-x 2 k 2+1，点P 到直线AB 的距离为：x 1+x 22⋅k +(-1)⋅x 1⋅x 2+m k 2+(-1)2=x 1+x 22⋅(x 1+x 2)+(-1)⋅x 1⋅x 2-(x 1x 2)k 2+(-1)2=12⋅(x 1-x 2)2k 2+1,所以阿基米德三角形PAB 的面积S =12⋅x 1-x 2 ⋅k 2+1⋅12⋅(x 1-x 2)2k 2+1=x 1-x 2 34，故本选项说法不正确.故选：ABC31.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知函数f (x )=x ln x ，若0<x 1<x 2，则下列结论正确的是( )A.x 2f x 1 <x 1f x 2B.x 1+f x 1 <x 2+f x 2C.f x 1 -f x 2 x 1-x 2<0D.当ln x >-1时，x 1f x 1 +x 2f x 2 >2x 2f x 1 【答案】AD【解析】对于A 选项，因为令g x =f (x )x=ln x ，在0,+∞ 上是增函数，所以当0<x 1<x 2时，g x 1 <g x 2 ，所以f (x 1)x 1<f (x 2)x 2，即x 2f x 1 <x 1f x 2 ．故A 选项正确；对于B 选项，因为令g x =f x +x =x ln x +x ，所以g ′x =ln x +2，所以x ∈e -2,+∞ 时，g ′x >0,g x 单调递增，x ∈0,e -2 时，g ′x <0,g x 单调递减．所以x 1+f x 1 与x 2+f x 2 无法比较大小．故B 选项错误；对于C 选项，令f ′x =ln x +1，所以x ∈0,1e时，f ′x <0,f x 在0,1e 单调递减，x ∈1e ,+∞ 时，f ′x >0,f x 在1e ,+∞ 单调递增，所以当0<x 1<x 2<1e 时，f x 1 >f x 2 ，故f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0成立，当1e <x 1<x 2时，f x 1 <f x 2 ，f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0．故C 选项错误；对于D 选项，由C 选项知，当ln x >-1时，f x 单调递增，又因为A 正确，x 2f x 1 <x 1f x 2 成立，所以x 1⋅f x 1 +x 2⋅f x 2 -2x 2f x 1 >x 1⋅f x 1 +x 2⋅f x 2 -x 2f x 1 -x 1f x 2 =x 1f x 1 -f x 2 +x 2f x 2 -f x 1 =x 1-x 2 f x 1 -f x 2 >0,故D 选项正确.故选：AD ．32.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知a ，b 为正实数，且ab =32a +b -42，则2a +b 的取值可以为( )A.1 B.4C.9D.32【答案】BD【解析】因为a ，b 为正实数，ab =32a +b -42，所以32a +b -42=ab =2ab 2≤2a +b22，当且仅当2a =b 时等号成立，即32a +b -42≤2a +b22，所以2a +b -622a +b +16≥0，所以2a +b ≥42或2a +b ≤22，因为a ，b 为正实数，ab =32a +b -42，所以32a +b -42>0，所以2a +b ≥42或423<2a +b ≤22．所以2a +b ≥32或329<2a +b ≤8．故选：BD ．33.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)下列不等式正确的是( )A.log 23<log 49B.log 23<lg15C.log 812>log 1215D.log 812>log 636【答案】CD【解析】选项A ：log 23=log 2232=log 49，故不正确；设f x =log 2x 3x (x ≥1)，因为x ≥1，所以f x =ln 3x ln 2x=3ln 2x 3x -2ln 3x2x ln 22x=试卷第1页，共3页ln 2x -ln 3xx ln 22x <0，所以f x 在[1,+∞)上单调递减，所以选项B ：f 1 =log 23>log 1015=lg15=f 5 ，故不正确；选项C ：f 4 =log 812>f 5 =log 1015>log 1215，故正确；选项D ：f 4 =log 812>f 18 =log 3654=log 636，故正确，故选:CD ．34.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)已知函数f (x )=x ln (1+x )，则( )A.f (x )在(0,+∞)单调递增B.f (x )有两个零点C.曲线y =f (x )在点-12,f -12处切线的斜率为-1-ln2D.f (x )是偶函数【答案】AC【解析】由f (x )=x ln (1+x )知函数的定义域为(-1,+∞)，f (x )=ln (1+x )+x1+x，当x ∈(0,+∞)时，ln (1+x )>0,x1+x>0，∴f (x )>0，故f (x )在(0,+∞)单调递增，A 正确；由f (0)=0，当-1<x <0时，ln (1+x )<0,f (x )=x ln (1+x )>0，当ln (1+x )>0,f (x )>0，所以f (x )只有0一个零点，B 错误；令x =-12，f -12 =ln 12-1=-ln2-1，故曲线y =f (x )在点-12,f -12 处切线的斜率为-1-ln2，C 正确；由函数的定义域为(-1,+∞)，不关于原点对称知，f (x )不是偶函数，D 错误.故选：AC35.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)已知函数f x =x ln x ,x >00,x =012f x +1 ,x <0，则下列说法正确的有( )A.当x ∈-3,-2 时，f x =18x +3 ln x +3B.若不等式f x -mx -m <0至少有3个正整数解，则m >ln3C.过点A -e -2,0 作函数y =f x x >0 图象的切线有且只有一条D.设实数a >0，若对任意的x ≥e ，不等式f x ≥a x e ax 恒成立，则a 的最大值是e【答案】ACD【解析】对于A ：当x ∈-3,-2 ，∴x +3∈0,1 ，f x +3 =x +3 ln x +3 ，∵f x =18f x +3 ，∴f x =18x +3 ln x +3 ，A 正确；对于B ：f x <mx +m ，画出y 1=f x 与y 2=mx +m 的图象，根据函数的图象，要想至少有3个正整数解，要满足f 3 <3m +m ，∴m >34ln3，故B 错；对于C ：设切点T x 0,y 0 则k AT =f x 0 ，∴x 0ln x 0x 0+1e2=ln x 0+1，即e 2x 0+ln x 0+1=0，设h x =e 2x +ln x +1，当x >0时，h x >0，∴h x 是单调递增函数，∴h x =0最多只有一个根，又h 1e 2 =e 2⋅1e 2+ln 1e2+1=0，∴x 0=1e 2，由f x 0 =-1得切线方程是x +y +1e2=0，故C 正确；对于D .：由题意e ln x ⋅ln x ≥a xe ax .设g x =x ⋅e x x >0 ，则g x =x +1 e x >0，于是g x 在0,+∞ 上是增函数.因为a x >0，ln x >0，所以ax≤ln x ，即a ≤x ln x 对任意的x ≥e 恒成立，因此只需a ≤x ln x min .设f x =x ln x x ≥e ，f x =ln x +1>0x ≥e ，所以f x 在e ,+∞ 上为增函数，所以f x min =f (e )=e ，所以a ≤e ，即a 的最大值是e ，选项D 正确；故选：ACD .36.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线C :y 2=2px (p >0)，O 为坐标原点，一条平行于x 轴的光线l 1从点M (5,2)射入，经过C 上的点A 反射后，再经C 上另一点B 反射后，沿直线l 2射出，经过点N ．下列说法正确的是( )A.若p =2，则|AB |=4 B.若p =2，则MB 平分∠ABN C.若p =4，则|AB |=8D.若p =4，延长AO 交直线x =-2于点D ，则D ，B ，N 三点共线【答案】ABD【解析】若p =2，则抛物线C :y 2=4x ，A (1,2)，C 的焦点为F (1,0)，直线AF 的方程为：x =1，可得B (1,-2)，|AB |=4，选项A 正确；p =2时，因为|AM |=5-1=4=|AB |，所以∠A MB =∠ABM ，又AM ∥BN ，所以∠A MB =∠MB N ，所以MB 平分∠ABN ，选项B 正确；若p =4，则抛物线C :y 2=8x ，A 12，2 ，C 的焦点为F (2,0)，直线AF 的方程为y =-43(x -2)，联立抛物线方程求解可得B (8,-8)，所以|AB |=252，选项C 不正确；若p =4，则抛物线C :y 2=8x ，A 12，2，延长AO 交直线x =-2于点D ，则D (-2,-8)，由C 选项可知B试卷第1页，共3页(8,-8)，所以D，B，N三点共线，故D正确.故选：ABD．37.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)已知a>1，x1，x2，x3为函数f(x)=a x-x2的零点，x1<x2<x3，下列结论中正确的是( )A.x1>-1B.x1+x2<0C.若2x2=x1+x3，则x3x2=2+1 D.a的取值范围是1,e2e【答案】ACD【解析】∵a>1,f-1=a-1-1=1a-1<0,f0 =a0-0=1>0 ，∴-1<x1<0 ，故A正确；当0≤x≤1 时，1≤a x≤a,0≤x2≤1 ，f x 必无零点，故x2>1 ，∴x1+x2>0 ，故B错误；当2x2=x1+x3 时，即a x1=x21a x2=x22a x3=x23，两边取对数得x1=2log a-x1x2=2log a x2x3=2log a x3，4log a x2=2log a-x1+2log a x3 ，x22=-x1x3 ，联立方程x22=-x1x32x2=x1+x3解得x23-2x2x3-x22=0 ，由于x2>0,x3>0 ，x3x2=2+1 ，故C正确；考虑f x 在第一象限有两个零点：即方程a x=x2 有两个不同的解，两边取自然对数得x ln a=2ln x 有两个不同的解，设函数g x =x ln a-2ln x ，g x =ln a-2x=ln a x-2ln ax ，则x=x0=2ln a 时，g x =0 ，当x>x0 时，g x >0 ，当x<x0 时，g x <0 ，所以g min x =g x0=2-2ln2ln a，要使得g x 有两个零点，则必须g x0<0，即ln2ln a>1 ，解得a<e2e ，故D正确；故选：ACD.38.(2022·湖北·高三开学考试)关于函数f x =ae x+sin x,x∈-π,π，下列结论中正确的有( )A.当a=-1时，f x 的图象与x轴相切B.若f x 在-π,π上有且只有一个零点，则满足条件的a的值有3个C.存在a ，使得f x 存在三个极值点D.当a =1时，f x 存在唯一极小值点x 0，且-1<f x 0 <0【答案】BCD【解析】对于A ，f (x )=-e x +sin x ，f (x )=-e x +cos x =0，即e x =cos x ，由函数y =e x 、y =cos x 的图像可知方程有两个根：x 1∈-π2,0 ，x 2=0，f (x 2)=-1,f (x 1)=sin x 1-e x 1<0，即斜率为0的切线其切点不在x 轴上，故A 错误；对于B ，f (x )=0⇔a =-sin x e x ，令g (x )=-sin xex ，g (x )=sin x -cos x ex ，x ∈-π,-3π4 、x ∈π4,π ,g (x )>0,g (x )单调递增，x ∈-3π4,π4 ,g (x )单调递减，g (-π)=0,g -3π4 =22e 3π4,g π4 =-22e π4,g (π)=0，结合图像可知满足f (x )=0⇔a =-sin xex 在-π,π 上有且只有一个零点的a 的值有3个：0，22e3π4，-22e π4，故B 正确；对于C ，f (x )=ae x +cos x =0⇔a =-cos xex =h (x )，h (x )=2sin x +π4ex ，可知x ∈-π,-π4 ,h (x )<0,h (x )单调递减，x ∈-π4,3π4 ,h (x )>0,h (x )单调递增， x ∈3π4,π ,h (x )<0,h (x )单调递减，h (-π)=e π,h -π4 =-2e π42,h 3π4 =22e 3π4,h (π)=1e π，故a ∈1e π,22e 3π4时，a =-cos xe x =h (x )有三个实数根，f x 存在三个极值点，故C 正确；对于D ,f (x )=e x +cos x =0⇔e x =-cos x ,由图像可知此方程有唯一实根x 0，因为e 3π2>2，所以1e 3π2<12,1e 3π4<22，f -3π4 =1e3π4-22<0，x 0∈-3π4,-π2 ，f (x 0)=e x 0+sin x 0=sin x 0-cos x 0=2sin x 0-π4，可知-1<f (x 0)<0，故D 正确.故选：BCD .39.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)已知函数f x =x x -1,x <15ln x x ,x ≥1，下列选项正确的是( )A.函数f x 的单调减区间为-∞,1 、e ,+∞B.函数f x 的值域为-∞,1C.若关于x 的方程f 2x -a f x =0有3个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是5e ,+∞ D.若关于x 的方程f 2x -a f x =0有5个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是1,5e 【答案】ACD试卷第1页，共3页【解析】对于A 选项，当x <1时，f x =x x -1，则f x =-1x -12<0，当x ≥1时，f x =5ln xx ，则f x =51-ln x x2，由f x <0可得x >e ，所以，函数f x 的单调减区间为-∞,1 、e ,+∞ ，A 对；对于B 选项，当x <1时，f x =1+1x -1<1，当x ≥1时，0≤f x =5ln x x ≤f e =5e，因此，函数f x 的值域为-∞,5e，B 错；对于CD 选项，作出函数f x 的图像如下图所示：若a ≤0，由f 2x -a f x =0可得f x =0，则方程f x =0只有两个不等的实根；若a >0，由f 2x -a f x =0可得f x =0或f x =a 或f x =-a ，由图可知，方程f x =0有2个不等的实根，方程f x =-a 只有一个实根，若关于x 的方程f 2x -a f x =0有3个不相等的实数根，则a >5e，C 对；若关于x 的方程f 2x -a f x =0有5个不相等的实数根，则1≤a <5e，D 对.故选：ACD .40.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知函数f (x )=sin 4x +π3 +cos 4x -π6，则下列结论正确的是( )A.f (x )的最大值为2B.f (x )在-π8,π12上单调递增C.f (x )在[0,π]上有4个零点D.把f (x )的图象向右平移π12个单位长度，得到的图象关于直线x =-π8对称【答案】ACD【解析】因为f (x )=sin π2+4x -π6+cos 4x -π6 =2cos 4x -π6，所以A 正确；当x ∈-π8,π12 时，4x -π6∈-2π3,π6 ，函数f (x )=2cos 4x -π6 在-π8,π12上先增后减，无单调性，故B 不正确；令2cos 4x -π6 =0，得4x -π6=π2+k π,k ∈Z ，故x =π6+k π4,k ∈Z ，因为x ∈[0,π]，所以k =0,1,2,3，故C 正确；把f (x )=2cos 4x -π6 的图象向右平移π12个单位长度，得到y =2cos 4x -π12 -π6=。

高中数学数列大题压轴题集锦难题培优带答案

高中数学数列练习题一．解答题（共40小题）1．若无穷数列{a n}满足：a1是正实数，当n≥2时，|a n﹣a n﹣1|＝max{a1，a2，…，a n﹣1}，则称{a n}是“Y﹣数列”．（Ⅰ）若{a n}是“Y﹣数列”且a1＝1，写出a4的所有可能值；（Ⅱ）设{a n}是“Y﹣数列”，证明：{a n}是等差数列当且仅当{a n}单调递减；{a n}是等比数列当且仅当{a n}单调递增；（Ⅲ）若{a n}是“Y﹣数列”且是周期数列（即存在正整数T，使得对任意正整数n，都有a T+n＝a n），求集合{1≤i ≤2018|a i＝a1}的元素个数的所有可能值的个数．2．若无穷数列{a n}和无穷数列{b n}满足：存在正常数A，使得对任意的n∈N*，均有|a n﹣b n|≤A，则称数列{a n}与{b n}具有关系P（A）．（1）设无穷数列{a n}和{b n}均是等差数列，且，问：数列{a n}与{b n}是否具有关系P（1）？说明理由；（2）设无穷数列{a n}是首项为1，公比为的等比数列，，证明：数列{a n}与{b n}具有关系P（A）；并求A的最小值；（3）设无穷数列{a n}是首项为1，公差为d（d∈R）的等差数列，无穷数列{b n}是首项为2，公比为q（q∈N*）的等比数列，试求数列{a n}与{b n}具有关系P（A）的充要条件．3．对于数列{x n}，若存在m∈N*，使得x2m﹣k＝x k对任意1≤k≤2m﹣1（k∈N*）都成立，则称数列{x n}为“m﹣折叠数列”．（1）若a n＝C（n≤2021，n∈N*），b n＝n2﹣2019n﹣1（n∈N*），判断数列{a n}，{b n}是否是“m﹣折叠数列”，如果是，指出m的值；如果不是，请说明理由；（2）若x n＝q n（n∈N*），求所有的实数q，使得数列{x n}是3﹣折叠数列；（3）给定常数p∈N*，是否存在数列{x n}，使得对所有m∈N*，{x n}都是pm﹣折叠数列，且{x n}的各项中恰有p+1个不同的值，证明你的结论．4．若存在常数m∈R，使对任意的n∈N*，都有a n+1≥ma n，则称数列{a n}为Z（m）数列．（1）已知{a n}是公差为2的等差数列，其前n项和为S n．若S n是Z（1）数列，求a1的取值范围；（2）已知数列{b n}的各项均为正数，记数列{b n}的前n项和为R n，数列{b n2}的前n项和为T n，且3T n＝R n2+4R n，n∈N*．①求证：数列{b n}是等比数列；②设c n＝b n+，试证明：存在常数m∈R，对于任意的λ∈[2，3]，数列{c n}都是Z（m）数列，并求出m的最大值．5．在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现．例如，豌豆携带这样一对遗传因子：A使之开红花，a使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：AA为开红花，Aa 和aA一样不加区分为开粉色花，aa为开白色花．生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父系的遗传因子和一个母系的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的．可以把第n代的遗传设想为第n次实验的结果，每一次实验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状Aa的父系来说，如果抛出正面就选择因子A，如果抛出反面就选择因子a，概率都是；对母系也一样．父系、母系各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状．假设三种遗传性状AA，Aa（或aA），aa在父系和母系中以同样的比例u：v：ω（u+v+ω＝1）出现，则在随机杂交实验中，遗传因子A被选中的概率是p＝u+，遗传因子a被选中的概率是q＝ω+，称p，q分别为父系和母系中遗传因子A 和a的频率，p：q实际上是父系和母系中两个遗传因子的个数之比．基于以上常识回答以下问题：（1）如果植物的，上一代父系、母系的遗传性状都是Aa，后代遗传性状为AA，Aa（或aA），aa的概率各是多少？（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状aa具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父系和母系中仅有遗传性状为AA和Aa（或aA）的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子A被选中的概率为p，a被选中的概率为q，p+q＝1．求杂交所得子代的三种遗传性状AA，Aa（或aA），aa所占的比例u1，v1，ω1．（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除性状为aa的个体．假设得到的第n代总体中3种遗传性状AA，Aa（或aA），aa所占比例分别为u n，v n，ωn（u n+v n+ωn＝1）．设第n代遗传因子A和a的频率分别为p n和q n，已知有以下公式p n＝，q n＝，n＝1，2，……，证明{}是等差数列．（4）求u n，v n，ωn的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？6．给定n（n≥3，n∈N*）个不同的数1，2，3，……，n，它的某一个排列P的前k（k∈N*，1≤k≤n）项和为S k，该排列P中满足2S k≤S n的k的最大值为k p．记这n个不同数的所有排列对应的k p之和为T n．（1）若n＝3，求T3；（2）若n＝4l+1，l∈N*，（i）证明：对任意的排列P，都不存在k（k∈N*，1≤k≤n）使得2S k＝S n；（ii）求T n（用n表示）．7．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝．（Ⅰ）求证：{a n}是等差数列；（Ⅱ）已知{b n}是公比为q的等比数列，a1＝b1，a2＝b2≠a1，记T n为数列{b n}的前n项和．（1）若b k＝a m（m，k是大于2的正整数），求证：T k﹣1＝（m﹣1）a1；（2）若b3＝a i（i是某个正整数），求证：q是整数，且数列{b n}中的每一项都是数列{a n}中的项．8．对给定的正整数n，令Ωn＝{a＝（a1，a2，…，a n）|a i∈{0，1}，i＝1，2，3，…，n}．对任意的x＝（x1，x2，…，x n），y＝（y1，y2，…，y n）∈Ωn，定义x与y的距离d（x，y）＝|x1﹣y1|+|x2﹣y2|+…+|x n﹣y n|．设A是Ωn的含有至少两个元素的子集，集合D＝{d（x，y）|x≠y，x，y∈A}中的最小值称为A的特征，记作χ（A）．（Ⅰ）当n＝3时，直接写出下述集合的特征：A＝{（0，0，0），（1，1，1）}，B＝{（0，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0）}，C＝{（0，0，0），（0，0，1），（0，1，1），（1，1，1）}．（Ⅱ）当n＝2020时，设A⊆Ω2020且χ（A）＝2，求A中元素个数的最大值；（Ⅲ）当n＝2020时，设A⊆Ω2020且χ（A）＝3，求证：A中的元素个数小于．9．设集合A的元素均为实数，若对任意a∈A，存在b∈B，c∈C．使得b+c＝a且b﹣c＝1，则称元素最少的B和C为A 的“孪生集”；称A的“孪生集”的“孪生集”为A的“2级孪生集”；称A的“2级孪生集”的“孪生集”为A的“3级孪生集”，依此类推…（1）设A＝{3，5，7}，直接写出集合A的“孪生集”；（2）设元素个数为n的集合A的“孪生集”分别为B和C，若使集合∁B∪C（B∩C）中元素个数最少且所有元素之和为3，证明：A中所有元素之和为3n；（3）若A＝{a k|a k＝a1+2（k﹣1），1≤k≤n，k∈N*}，请直接写出A的“n级孪生集”的个数，设A的所有”n级孪生集”的并集为Ω，若Ω＝M1∪M2∪M3；求有序集合组（M1，M2，M3）的个数．10．非空集合A⊆R+，满足∀x∈A，总有∉A，记集合T（A）＝{（x，y）|x∈A，y∈A，∈A}．（Ⅰ）求证：∀x∈A，（x，x）∉T（A）；（Ⅱ）若T（A）中只有1个元素（a，b），求证：a＝b2；（Ⅲ）若集合A＝{a，b，c，d，e}，且a＜b＜c＜d＜e，T（A）中恰有10个元素，求证：c2＝ae．11．一农妇原有a0∈N*个鸡蛋，现分9次售卖鸡蛋，设每次卖出后剩下的鸡蛋个数依次为a1，a2，…，a9个．（Ⅰ）如果农妇第一次卖去全部鸡蛋的一半又半个，第二次卖去剩下的一半又半个，第三次又卖去剩下的一半又半个，…，第九次仍然卖去剩下的一半又半个，而且这次恰好全部卖完，求a9，a8，a7，给出数列{a n}的递公式并据此求出a0；（Ⅱ）鸡蛋无法分割出售，如果农妇原有鸡蛋a0＝511个，是否存在p，q∈N*，（p＞2），使得农妇按如下方式卖鸡蛋：第一次卖去全部的又个，第二次卖去剩下的又个，第三次又卖去剩下的又个，…，第九次仍然卖去剩下的又个，而且这次恰好全部卖完？如果存在，求出可能的p，q的值，如果不存在，请说明理由．12．对于无穷数列{a n}的某一项a k，若存在m∈N*，有a k＜a k+m（k∈N*）成立，则称a k具有性质P（m）．（1）设a n＝|n﹣3|（n∈N*），若对任意的k∈N*，a k都具有性质P（m），求m的最小值；（2）设等差数列{a n}的首项a1＝﹣2，公差为d，前n项和为S n（n∈N*），若对任意的k∈N*，数列{S n}中的项S k 都具有性质P（7），求实数d的取值范围；（3）设数列{a n}的首项a1＝2，当n≥2（n∈N*）时，存在i（1≤i≤n﹣1，i∈N*）满足a n＝2a i，且此数列中恰有一项a t（2≤t≤99，t∈N*）不具有性质P（1），求此数列的前100项和的最大值和最小值以及取得最值时对应的t的值．13．已知m为正整数，各项均为正整数的数列{a n}满足：a n+1＝，记数列{a n}的前n项和为S n．（1）若a1＝8，m＝2，求S7的值；（2）若m＝5，S3＝25，求a1的值；（3）若a1＝1，m为奇数，求证：“a n+1＞m”的充要条件是“a n为奇数”．14．已知数列{a n}是由正整数组成的无穷数列．若存在常数k∈N*，使得a2n﹣1+a2n＝ka n对任意的n∈N*成立，则称数列{a n}具有性质Ψ（k）．（Ⅰ）分别判断下列数列{a n}是否具有性质Ψ（2）；（直接写出结论）①a n＝1；②a n＝2n．（Ⅱ）若数列{a n}满足a n+1≥a n（n＝1，2，3，…），求证：“数列{a n}具有性质Ψ（2）”是“数列{a n}为常数列”的充分必要条件；（Ⅲ）已知数列{a n}中a1＝1，且a n+1＞a n（n＝1，2，3，…）．若数列{a n}具有性质Ψ（4），求数列{a n}的通项公式．15．用[x]表示一个小于或等于x的最大整数．如：[2]＝2，[4.1]＝4，[﹣3.1]＝﹣4．已知实数列a0，a1，…对于所有非负整数i满足a i+1＝[a i]•（a i﹣[a i]），其中a0是任意一个非零实数．（Ⅰ）若a0＝﹣2.6，写出a1，a2，a3；（Ⅱ）若a0＞0，求数列{[a i]}的最小值；（Ⅲ）证明：存在非负整数k，使得当i≥k时，a i＝a i+2．16．在无穷数列{a n}中，a1，a2是给定的正整数，a n+2＝|a n+1﹣a n|，n∈N*．（Ⅰ）若a1＝5，a2＝3，写出a2019，a2020，a2021的值；（Ⅱ）证明：存在m∈N*，当n＞m时，数列{a n}中的项呈周期变化；（Ⅲ）若a1，a2的最大公约数是k，证明数列{a n}中必有无穷多项为k．17．设等差数列{a n}的首项为0，公差为a，a∈N*；等差数列{b n}的首项为0，公差为b，b∈N*．由数列{a n}和{b n}构造数表M，与数表M*：记数表M中位于第i行第j列的元素为c i，j，其中c i，j＝a i+b j（i，j＝1，2，3，…）．记数表M*中位于第i行第j列的元素为d i，j，其中d i，j＝a i﹣b j+1．（1≤i≤b，i∈N*，j∈N*）．如：c1，2＝a1+b2，d l，2＝a1﹣b3．（I）设a＝5，b＝9，请计算c2，6，c396，6，d2，6；（Ⅱ）设a＝6．b＝7，试求c i，j，d i，j的表达式（用i，j表示），并证明：对于整数t，若t不属于数表M，则t属于数表M*；（Ⅲ）设a＝6，b＝7，对于整数t，t不属于数表M，求t的最大值．18．已知数列{a n}是等比数列，a1＝2，且a2，a3+2，a4成等差数列．数列{b n}满足：b1+++……+＝（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：+++……+＜．19．记无穷数列{a n}的前n项中最大值为M n，最小值为m n，令，则称{b n}是{a n}“极差数列”．（Ⅰ）若a n＝3n﹣2，{b n}的前n项和；（Ⅱ）证明：{b n}的“极差数列”是{}20．已知数列{a n}的首项a1＝3，对任意的n∈N*，都有a n+1＝ka n﹣1（k≠0），数列{a n﹣1}是公比不为1的等比数列．（1）求实数k的值；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，求所有正整数m的值，使得恰好为数列{b n}中的项．21．给定整数n（n≥2），数列A2n+1：x1，x2，…，x2n+1每项均为整数，在A2n+1中去掉一项x k，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为m k（k＝1，2，…，2n+1）．将m1，m2，…，m2n+1中的最小值称为数列A2n+1的特征值．（Ⅰ）已知数列A5：1，2，3，3，3，写出m1，m2，m3的值及A5的特征值；（Ⅱ）若x1≤x2≤…≤x2n+1，当[i﹣（n+1）][j﹣（n+1）]≥0，其中i，j∈{1，2，…，2n+1}且i≠j时，判断|m i﹣m j|与|x i﹣x j|的大小关系，并说明理由；（Ⅲ）已知数列A2n+1的特征值为n﹣1，求的最小值．22．斐波那契数列（Fibonaccisequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多•斐波那契（Leonardodalibonace）以免子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．记斐波那契数列为{a n}，数列{a n}满足a1＝1，a2＝1，a n+1＝a n+a n（n≥2，n∈N*）．﹣1（1）若{a n+1﹣pa n）（p＜0）是等比数列，求实数p的值；（2）求斐波那契数列{a n}的通项公式；（3）求证：从第二项起，每个偶数项的平方都比其前后两项之积少1．23．已知数列{a n}满足：①a n∈N（n∈N*）；②当n＝2k（k∈N*）时，；③当n≠2k（k∈N*）时，a n＜a n+1，记数列{a n}的前n项和为S n．（1）求a1，a3，a9的值；（2）若S n＝2020，求n的最小值；（3）求证：S 2n＝4S n﹣n+2的充要条件是（n∈N*）．24．已知集合M⊆N*，且M中的元素个数n大于等于5．若集合M中存在四个不同的元素a，b，c，d，使得a+b＝c+d，则称集合M是“关联的”，并称集合{a，b，c，d}是集合M的“关联子集”；若集合M不存在“关联子集”，则称集合M是“独立的”．（Ⅰ）分别判断集合{2，4，6，8，10}和集合{1，2，3，5，8}是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；（Ⅱ）已知集合{a1，a2，a3，a4，a5}是“关联的”，且任取集合{a i，a j}⊆M，总存在M的关联子集A，使得{a i，a j}⊆A．若a1＜a2＜a3＜a4＜a5，求证：a1，a2，a3，a4，a5是等差数列；（Ⅲ）集合M是“独立的”，求证：存在x∈M，使得．25．无穷数列{a n}满足：a1为正整数，且对任意正整数n，a n+1为前n项a1，a2，…，a n中等于a n的项的个数．（Ⅰ）若a1＝2，请写出数列{a n}的前7项；（Ⅱ）求证：对于任意正整数M，必存在k∈N*，使得a k＞M；（Ⅲ）求证：“a1＝1”是“存在m∈N*，当n≥m时，恒有a n+2≥a n成立”的充要条件．26．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝0，S n+n＝a n+1，n∈N*（Ⅰ）求证：数列{a n+1}是等比数列，（Ⅱ）设数列{b n}的首项b1＝1，其前n项和为T n，且点（T n+1，T n）在直线﹣＝上，求数列{}的前n项和R n．27．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝n2﹣4n，数列{b n}中，b1＝对任意正整数．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数μ，使得数列{3n•b n+μ}是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q的值，若不存在，请说明理由；（3）求证：﹣．28．各项均为非负整数的数列{a n}同时满足下列条件：①a1＝m（m∈N*）；②a n≤n﹣1（n≥2）；③n是a1+a2+…+a n的因数（n≥1）．（Ⅰ）当m＝5时，写出数列{a n}的前五项；（Ⅱ）若数列{a n}的前三项互不相等，且n≥3时，a n为常数，求m的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得n≥M时，a n为常数．29．.已知数列{a n}，{b n}满足：a n+b n＝1，b n+1＝，且a1，b1是函数f（x）＝16x2﹣16x+3的零点（a1＜b1）．（1）求a1，b1，b2；（2）设c n＝，求证：数列{c n}是等差数列，并求b n的通项公式；（3）设S n＝a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1，不等式4aS n＜b n恒成立时，求实数a的取值范围．30．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，数列{a n}满足，2S n＝a n（a n+1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为A n，求证：对任意正整数n，都有A n＜成立；（3）数列{b n}满足b n＝（）n a n，它的前n项和为T n，若存在正整数n，使得不等式（﹣2）n﹣1λ＜T n+﹣2n﹣1成立，求实数λ的取值范围．31．给定数列{a n}，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，即A i＝max{a1，a2，…，a i}；该数列后n﹣i项a i+1，a i+2，…，a n中的最小项为B i，即B i＝min{a i+1，a i+2，…，a n}；d i＝A i﹣B i（i＝1，2，3，…，n﹣1）（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d1，d2，d3；（2）若S n是数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*，有，其中λ为实数，λ＞0且．①设，证明数列{b n}是等比数列；②若数列{a n}对应的d i满足d i+1＞d i对任意的正整数i＝1，2，3，…，n﹣2恒成立，求实数λ的取值范围．32．设各项均为正数的等比数列{a n}中，a1+a3＝10，a3+a5＝40．设b n＝log2a n．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若c1＝1，c n+1＝c n+，求证：c n＜3．（3）是否存在正整数k，使得++…+＞对任意正整数n均成立？若存在，求出k的最大值，若不存在，说明理由．33．已知数列{a n}的前n项和为S n，设数列{b n}满足b n＝2（S n+1﹣S n）S n﹣n（S n+1+S n）（n∈N*）．（1）若数列{a n}为等差数列，且b n＝0，求数列{a n}的通项公式；（2）若a1＝1，a2＝3，且数列{a2n﹣1}的，{a2n}都是以2为公比的等比数列，求满足不等式b2n＜b2n﹣1的所有正整数的n集合．34．已知数列{a n}的首项，a n+1a n+a n+1＝2a n．（1）证明：数列是等比数列；（2）数列的前n项和S n．35．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，a2n＝2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为T n，且（λ为常数）．令c n＝b2n，（n∈N*），求数列{c n}的前n项和R n．36．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a n和S n满足：4S n＝（a n+1）2（n＝1，2，3…），（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求{b n}的前n项和T n；（3）在（2）的条件下，对任意n∈N*，T n＞都成立，求整数m的最大值．37．设数列{a n}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+a n）+p＝2（a1+a2…+a n），（其中k、b、p是常数）．（1）当k＝0，b＝3，p＝﹣4时，求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k＝1，b＝0，p＝0时，若a3＝3，a9＝15，求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k＝1，b＝0，p＝0时，设S n是数列{a n}的前n项和，a2﹣a1＝2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n}，使得对任意n∈N*，都有S n≠0，且．若存在，求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由．38．设正整数数列{a n}满足．（1）若a5＝1，请写出所有可能的a1的取值；（2）求证：{a n}中一定有一项的值为1或3；（3）若正整数m满足当a1＝m时，{a n}中存在一项值为1，则称m为“归一数”，是否存在正整数m，使得m与m+1都不是“归一数”？若存在，请求出m的最小值；若不存在，请说明理由．39．已知数列{a n}满足若a1＞0，a n+1＝．（1）若a6＝，求a4的值；（2）是否存在n∈N*，使得若a n+a n+1＝a n+2成立？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由；（3）求证：若a1∈Q，则存在k∈N*，a k＝1．40．对于无穷数列{a n}，“若存在a m﹣a k＝t（m，k∈N*，m＞k），必有a m+1﹣a k+1＝t”，则称数列{a n}具有P（t）性质．（1）若数列{a n}满足，判断数列{a n}是否具有P（1）性质？是否具有P（4）性质？（2）对于无穷数列{a n}，设T＝{x|x＝a j﹣a i，i＜j}，求证：若数列{a n}具有P（0）性质，则T必为有限集；（3）已知{a n}是各项均为正整数的数列，且{a n}既具有P（2）性质，又具有P（3）性质，是否存在正整数N、k，使得a N、a N+1、a N+2、…、a N+k、…成等差数列，若存在，请加以证明，若不存在，说明理由．参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．【解答】解：（Ⅰ）由题，所有可能的情况有a2＝2，0，a3＝4，0，1，﹣1，a4＝8，0，2，﹣2，2，0，0，﹣2，故a4的所有可能值为﹣2，0，2，8．（Ⅱ）证明：①因为|a2﹣a1|＝a1，所以a2＝0或2a1．当{a n}是等差数列时，假设a2＝2a1，则a3＝2a2﹣a1＝3a1．此时，|a3﹣a2|＝a1，而max{a1，a2}＝2a1，矛盾！所以a2＝0．于是公差d＝a2﹣a1＝﹣a1＜0，所以{a n}单调递减，当{a n}单调递减时，对任意n≥2，max{a1，a2，…，a n﹣1}＝a1．又|a n﹣a n﹣1|＝a n﹣1﹣a n，所以a n﹣a n﹣1＝﹣a1，从而{a n}是等差数列，②当{a n}是等比数列时，a2≠0，所以a2＝2a1，于是公比q＝2＞1．又a1＞0，所以{a n}单调递增．当{a n}单调递增时，对任意n≥2，max{a1，a2，…，a n﹣1}＝a n﹣1．又|a n﹣a n﹣1|＝a n﹣a n﹣1，所以a n﹣a n﹣1＝a n﹣1，即a n＝2a n﹣1．因为a1≠0，所以{a n}是等比数列（Ⅲ）解：先证明a1是数列{a n}中的最大项．事实上，如果i是第一个大于a1的项的脚标，则由|a i+1﹣a i|＝max{a1，a2，…，a i}＝a i知，a i+1是a i的倍数．假设a i+1，a i+2，L，a i+k﹣1都是a i的倍数，则由|a i+k﹣a i+k﹣1|＝max{a1，a2，…，a i+k﹣1}＝max{a i，a i+1，…，a i+k﹣1}知，a i+k也是a i的倍数．所以由归纳法知，对任意n≥i，a n都是a i的倍数．但a1不是a i的倍数，这与{a n}是周期数列矛盾！所以a1是数列{a n}中的最大项，从而当n≥2时，|a n﹣a n﹣1|＝a1．再证明当n是奇数时，a n是a1的奇数倍；当n是偶数时，a n是a1的偶数倍事实上，当n＝1时结论成立，假设n＝k时成立，当n＝k+1时，由|a k+1﹣a k|＝a1知，结论也成立，所以，若a i＝a1，i的值只可能为奇数，所以集合{1≤i≤2018|a i＝a1}的元素个数最多有1009个．下证集合{1≤i≤2018|a i＝a1}的元素个数可以是1～1009的所有整数．事实上，对于i＝2019，可取数列为：也即：所有的奇数项均等于a1，所有的偶数项均等于0，此时，数列为Y数列，且T＝2．对于任意整数1≤t＜1009，构造数列的前2018项如下：由于数列是无穷数列，故可取T＝2018，显然满足数列是Y数列．综上，集合{1≤i≤2018|a i＝a1}的元素个数的所有可能值的个数为1009．2．【解答】解：（1）因为，若数列{a n}与{b n}具有关系P（1），则对任意的n∈N*，均有|a n﹣b n|≤1，即|2n﹣（n+2）|≤1，亦即|n﹣2|≤1，但n＝4时，|n﹣2|＝2＞1，所以数列{a n}与{b n}不具有关系P（1），（2）证明：因为无穷数列{a n}是首项为1，公比为的等比数列，所以，因为b n＝a n+1+1，所以，所以，所以数列{a n}与{b n}具有关系P（A）．设A的最小值为A0，|a n﹣b n|≤A0，因为|a n﹣b n|＜1，所以A0≤1．若0＜A0＜1，则当时，，则，这与“对任意的n∈N*，均有|a n﹣b n|≤A0”矛盾，所以A0＝1，即A的最小值为1．（3）因为数列{a n}是首项为1，公差为d（d∈R）的等差数列，无穷数列{b n}是首项为2，公比为q（q∈N*）的等比数列，所以，设，则．数列{a n}与{b n}具有关系P（A），即存在正常数A，使得对任意的n∈N*，均有|a n﹣b n|≤A．（Ⅰ）当d＝0，q＝1时，|a n﹣b n|＝|1﹣2|＝1≤1，取A＝1，则|a n﹣b n|≤A，数列{a n}与{b n}具有关系P（A）（Ⅱ）当d＝0，q≥2时，假设数列{a n}与{b n}具有关系P（A），则存在正常数A，使得对任意的n∈N*，均有|a n﹣b n|≤A．因为|b n|﹣|a n|≤|a n﹣b n，所以，对任意的n∈N*，|b n|﹣|a n|≤A，即bq n≤1+A，，所以，这与“对任意的n∈N*，均有|b n|﹣|a n|≤A”矛盾，不合；（Ⅲ）当d≠0，q＝1时，假设数列{a n}与{b n}具有性质P（A），则存在正常数A，使得对任意的n∈N*，均有|a n﹣b n|≤A．因为|a n|﹣|b n|≤|a n﹣b n|，所以，对任意的n∈N*，|a n|﹣|b n|≤A，即|a n|≤2+A，即|dn+a|≤2+A，所以|dn|﹣|a|≤2+A，，这与“对任意的n∈N*，均有|a n|﹣|b n|≤A”矛盾，不合；（Ⅳ）当d≠0，q≥2时，假设数列{a n}与{b n}具有性质P（A），则存在正常数A，使得对任意的n∈N*，均有|a n﹣b n|≤A．因为|b n|﹣|a n|≤|a n﹣b n，所以，对任意的n∈N*，|b n|﹣|a n|≤A，所以bq n≤|dn+a|+A≤|d|n+|a|+A，所以，设，则对任意的n∈N*，q n≤λn+μ．因为q n≥2n所以，对任意的n∈N*，2n≤λn+μ，下面先证明：存在N＞1，当n＞N时，2n＞n2．即证nln2﹣2lnn＞0．设，则，所以x∈（0，4）时，f′（x）＞0，f（x）在区间（0，4）上递增，同理f（x）在区间（4，+∞）上递减，所以f（x）max＝f（4）＝ln4﹣2＜0，所以．因此，，所以，当时，xln2﹣2lnx＞0，设，则当x＞N时，xln2﹣2lnx＞0，即当n＞N时，2n＞n2，又2n≤λn+μ，所n2＜λn+μ，即n2﹣λn﹣μ＜0，解得，这与对任意的n∈N*，2n≤λn+μ矛盾，不合．综上所述，数列{a n}与{b n}具有关系P（A）的充要条件为d＝0，q＝1．3．【解答】解：（1）若数列{a n} 为“m﹣折叠数列“，则a2m﹣k＝a k，所以，所以2m﹣k﹣1+k﹣1＝2020，得m＝1011，所以{a n} 为“m﹣折叠数列”，m＝1011，若数列{b n} 是“m﹣折叠数列，则b2m﹣k＝b k，所以，得，所以数列{b n} 不是“m﹣折叠数列．（2）要使通项公式为的数列{x n} 是3﹣折叠数列，只需要，当q＝0 时，x n＝0，显然成立，当q≠0 时，由q6﹣k＝q k，得q6﹣2k＝1，q2（3﹣k）＝1，（k∈{1，2，3，4，5}），所以q＝1 或q＝﹣1，综上q＝0，q＝1 或q＝﹣1．（3）对给定的p∈N*，{x n} 都是pm﹣折叠数列，故x n有多条对称轴，其中x＝pm都是数列{x n} 的对称轴，设，由得对称轴为x＝pm，且x n的周期为2p，满足给定常数p∈N*，使得对所有m∈N*，{x n}都是pm﹣折叠数列，x n是周期函数，周期为2p，在（1，2p]这个周期内，x＝p为对称轴，故x n∈（1，2p]对应函数值的个数与x n∈[p，2p]对应的函数值个数相等，即x n∈[p，2p]时，，所以{x n} 在x n∈[p，2p]上单调递增，因为p∈N*，所以x n各项中共有p+1 个不同的值，综上，给定常数p∈N*，存在数列{x n}，使得对所有m∈N*，{x n} 都是pm﹣折叠数列，且{x n} 的各项中恰有p+1 个不同的值．4．【解答】解：（1）由题可得：是Z（1）数列，S n+1≥S n恒成立，对任意的n∈N*恒成立，a1≥﹣2n对任意的n∈N*恒成立，所以a1≥﹣2．（2）①由题：，，两式相减得，3b2＝（R n+R n﹣1）b n+4b n，n≥2，数列{b n} 的各项均为正数，所以3b n＝R n+R n﹣1+4，n≥2，3b n﹣1＝R n﹣1+R n﹣2+4，n≥3，两式相减得：3b n﹣3b n﹣1＝b n+b n﹣1，n≥3，b n＝2b n﹣1，n≥3，当n＝1 时可得，数列{b n} 的各项均为正数，所以b1＝2，当n＝2 时，3b n＝R n+R n﹣1+4，n≥2 可得3b2＝R2+R1+4，3b2＝b2+2+2+4，所以b2＝4，综上可得：数列{b n} 是以2为首项，2为公比的等比数列．②由①可得，c n+1≥m c n，λ∈[2，3]对任意的n∈N*恒成立，（*），取m＝0 知，c n+1≥0 对任意的λ∈[2，3]，n∈N*恒成立，存在常数m∈R，使{∁n} 是数列Z（m），下求m的最大值，由（*）得＝＝，所以，因为，令，则＝＝，当n＝1时，G（2）﹣G（1）＜0，G（2）＜G（1）；当n≥2时，（27n﹣27）•22n﹣9≥27×8﹣9＞0，∴G（n+1）＞G（n）∴G（2）＜G（3）＜…＜G（n），∴，∴，∴．5．【解答】解：（1）即Aa与Aa是父亲和母亲的性状，每个因子被选择的概率都是，故AA出现的概率是或aA出现的概率是，aa出现的概率是，所以：AA，Aa（或aA），aa的概率分别是．（2）．（3）由（2）知，于是，，，∴是等差数列，公差为1．（4），其中，（由（2）的结论得），所以，于是，，，，很明显越大，w n+1越小，所以这种实验长期进行下去，w n越来越小，而w n是子代中aa所占的比例，也即性状aa会渐渐消失．6．【解答】解：（1）1，2，3 的所有排列为1，2，3；1，3，2；2，1，3；2，3，1；3，1，2；3，2，1．因为S3＝6，所以对应的k P分别为2，1，2，1，1，1，所以T3＝8．（2）（i）设n个不同数的某一个排列P为a1，a2，……，a n，因为n＝4l+1，l∈N*，所以为奇数，而2S k为偶数，所以不存在k（k∈N*，1≤k≤n）使得2S k＝S n．（ii）因为2S k≤S n，即a1+a2+…+a k⩽a k+1+a k+2+…+a n，又由（i）知不存在k（k∈N*，1≤k≤n）使得2S k＝S n，所以a1+a2+…+a k＜a k+1+a k+2+…+a n，所以满足2S k≤S n的最大下标k即满足a1+a2+…+a k＜a k+1+a k+2+…+a n①，且a1+a2+…+a k+a k+1＞a k+2+…+a n②，考虑排列P的对应倒序排列P′：a n，a n﹣1，……，a1，①②即a n+…+a k+2＜a k+1+a k+…+a2+a1，a n+…+a k+2+a k+1＞a k+…+a2+a1，由题意知k P′＝n﹣k﹣1，则k P+k P′＝n﹣1；因为1，2，3，，n这n个不同数可形成个对应组合（P，P′），且每组（P，P′）中k P+k P′＝n﹣1，所以．7．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，，又，所以，所以a1＝na n+2a n+1﹣（n+1）a n+1＝na n﹣（n﹣1）a n+1，①又因为，，所以，所以a1＝（n﹣1）a n﹣1+（2﹣n）a n，②由①②得（n﹣1）a n﹣1+（2﹣n）a n＝na n﹣（n﹣1）a n+1，所以（n﹣1）（a n+1+a n﹣1）＝2（n﹣1）a n（n⩾2），即a n+1+a n﹣1＝2a n，所以{a n} 是等差数列．（Ⅱ）（1）设a1＝a，d＝a2﹣a1，由已知，a+d＝aq，即d＝a（q﹣1），由b k＝a m得aq k﹣1＝a+（m﹣1）d，即a（q k﹣1﹣1）＝（m﹣1）d，所以．（2）当i＝2时，b3＝a2＝b2，从而q＝1，b2＝b1＝a1，与题意不符；当i＝1时，b3＝b1，从而q2＝1，q＝﹣1 （上面已证q≠1），{b n} 成为a，﹣a，a，﹣a，a，﹣a，…，每一项都是数列{a n}中的项（a＝a1，﹣a＝a2）；当i≥3时，由aq2＝a+（i﹣1）d＝a+（i﹣1）•a（q﹣1），得q2＝1+（i﹣1）（q﹣1），即q2﹣（i﹣1）q+（i﹣2）＝0，所以q＝1（舍去），q＝i﹣2．于是i＞3，q为正整数i﹣2．设已有b k＝a j，则因为aq＝a+d，＝a j′（其中j′＝j+q k﹣1），因此数列{b n}中的每一项都是数列{a n}中的项．8．【解答】解：（Ⅰ）χ（A）＝3，χ（B）＝2，χ（C）＝1；（Ⅱ）（a）一方面：对任意的a＝（a1，a2，a3，…，a2019，a2020）∈A，令f（a）＝（a1，a2，a3，…，a2019，a2020），则d（a，f（a））＝|1﹣2a2020|＝1＜2，故f（a）∉A，令集合B＝{f（a）|a∈A}，则A∩B＝∅，（A∪B）⊆Ω2020且A和B的元素个数相同，但Ω2020中共有22020个元素，其中至多一半属于A，故A中至多有2 2019个元素．（b）另一方面：设A＝{（a1，a2，…，a2020）∈Ω2020|a1+a2+…+a2020是偶数}，则A中的元素个数为对任意的x＝（x1，x2，…，x2020），y＝（y1，y2，…，y2020）∈A，x≠y，易得d（x，y）＝|x1﹣y1|+|x2﹣y2|+…+|x n﹣y n|与x1+y1+x2+y2+…+x2020+y2020奇偶性相同，故d（x，y）为偶数，由x≠y，得d（x，y）＞0，故d（x，y）⩾2，注意到（0，0，0，0，…，0，0），（1，1，0，0，…0，0）∈A且它们的距离为2，故此时A满足题意，综上，A中元素个数的最大值为2 2019．（Ⅲ）当n＝2020 时，设A⊆Ω2020且χ（A）＝3，设A＝{x1，x2，…x m}，任意的x i∈A，定义x的邻域N（x i）＝{a∈Ω2020|d（a，x i）⩽1}，（a）对任意的1≤i⩽m，N（x i）中恰有2021 个元素，事实上①若d（a，x i）＝0，则a＝x i，恰有一种可能；，②若d（a，x i）＝1，则a与x i，恰有一个分量不同，共2020种可能；综上，N（x i）中恰有2021个元素，（b）对任意的1⩽i⩽j⩽m，N（x i）∩N（x j）＝∅，事实上，若N（x i）∩N（x j）≠∅，不妨设a∈N（x i）∩N（x j），x j＝（x1′，x2′，…，x2020′），则＝，这与χ（A）＝3，矛盾，由（a）和（b），N（x1）∪N（x2）∪…∪N（x m）中共有2021m个元素，但Ω2020中共有22020个元素，所以，注意到m是正整数，但不是正整数，上述等号无法取到，所以，集合A中的元素个数m小于．9．【解答】解：（1）B＝{2，3，4}，C＝{1，2，3}；（2）将集合A中元素从小到大排列：a1＜a2＜…＜a n，则其“孪生集“，，设集合D＝∁（B∪C）（B∩C），由于，因此集合D中元素个数card（D）≥2，若card（D）＝2，则有，即a k+1﹣a k＝2（1≤k≤n﹣1），因此a1，a2，…，a n构成公差为2 的等差数列，，所以，进而．（3）A的“n级奕生集”的个数为2n，A所有“n级奕生集”的并集的元素个数为2n+n﹣1，每个元素至少属于M1，M2，M3中的一个，所以有序集合组（M1，M2，M3）的个数为．【说明】由（2）知，A所有“ 1 级奕生集”为，它们的并集有n+1＝21+n﹣1 个元素；A所有“2 级奕生集“为，，它们的并集，有n+3＝22+n﹣1 个元素；A所有“3 级奕生集“为，，，，它们的并集，有n+7＝23+n﹣1个元素；A所有“n级奕生集“的并集，其中第2 个元素的分子和最大元素的分子和恰为2a1+2n，即所有元素从小打到大构成首项为，公差为的等差数列，所以共有项，也即A所有“n级奕生集”的并集的元素个数为2n+n﹣1．10．【解答】解：（Ⅰ）反证法，假设不然，∃x0∈A，（x0，x0）∈T（A），则由定义，，由条件，，取x＝1∈A，得1＝，矛盾，所以假设不成立，结论得证．（Ⅱ）由于（a，b）∈T（A），则，显然，，由定义，但T（A）只有一个元素，必有，即，∴a＝b2．（Ⅲ）由条件，因此1∉A，同时，若（p，q）∈T（A），则，必有（q，p）∉T（A），A的二元子集有10个：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{c，d}，{c，e}，{d，e}，每个二元子集中元素作为坐标，最多贡献出T（A）中一个元素，而T（A）恰有10个元素，说明A的每个二元子集都贡献了T（A）中的一个元素，换言之，∀p，q∈A，p≠q，则（p，q）∈T（A）或（q，p）∈T（A），即或，若a＜1＜e，则，与上述性质矛盾，所以要么0＜a＜e＜1，要么1＜a＜e，先考虑0＜a＜e＜1 的情况，此时A中所有元素都小于1，于是∀p，q∈A，p＞q＞0，则，必有，此时，是A中五个不同的元素，所以，解得e2＝d，e3＝c，e4＝b，e5＝a，因此c2＝e6＝ae，然后考虑1＜a＜e的情况，此时A中所有元素都大于1，于是∀p，q∈A，p＞q＞0，则，必有，此时，是A中五个不同的元素，所以，解得a2＝b，a3＝c，a4＝d，a5＝e，因此c2＝a6＝ae，综上所述，c2＝ae．11．【解答】（1）由题可知：可直接得到a9＝0，a8＝1，a7＝3 且，由，所以数列{a n+1} 是以a1+1 为首项，公比为的等比数列，则，又，所以，又a9＝0，所以，则a0＝511．（2）由题可知：，即，令，则，所以，则，所以，则数列是以为首项，为公比的等比数列，则，又，所以，又a9＝0，a0＝511，代入上式化简可得（p+1）9＝p8（511q+p）（*），由p，q∈N*，所以（p+1）9能整除p8，所以（p+1）9能整除p，又因为（p，p+1）＝1，故p只能是p＝1，又p＞2，所以p，q不存在．12．【解答】解：（1）由题意知，a1＜a6＜a7＜…，此时m≥5；a2＜a5＜a6＜…，此时m≥3；当k≥3时，a k＜a k+1＜a k+2＜…，此时m≥1；综上知，m≥5，即对任意的k∈N*，a k都具有性质P（m）时m的最小值为5；（2）由题意可知，等差数列{a n}的前n项和为S n＝﹣2n+d，若对任意的k∈N*，数列{S n}中的项S k都具有性质P（7），则S k＜S k+7对任意的k∈N*恒成立，即﹣2k+d＜﹣2（k+7）+d，解得d＞；又因为k≥1，所以实数d的取值范围是d＞；（3）对于2≤t≤99，t∈N*，因为a1，a2，…，a t﹣1都具有性质P（1），所以a1＜a2＜…＜a t﹣1＜a t，当n≥2（n∈N*）时，存在i（1≤i≤n﹣1，i∈N*）满足a n＝2a1，所以a1，a2，…，a t依次为：2，22，23，…，2t；由已知a1不具有性质P（1），所以a t+1的可能取值为22，23，…，2t；又因为a t+1，a t+2，…，a100都具有性质P（1），所以a t+1＜a t+2＜…＜a100，欲使此数列的前100项和最大，a i+1，a i+2，...，a100依次为：2t，2t+1， (299)欲使此数列的前100项和最小，a i+1，a i+2，…，a100依次为：22，23，…，2101﹣t；下面分别计算前100项和：（a1+a2+…+a t）+（a t+1+a t+2+…+a100）＝（2+22+23+…+2t）+（22+23+…+2101﹣t）＝2t+2100﹣2；当t＝99时，此数列的前100项和最大，最大值为299+2100﹣2＝3×299﹣2；（a1+a2+…+a t）+（a t+1+a t+2+…+a100）＝（2+22+23+…+2t）+（22+23+…+2101﹣t）＝2（2t+）﹣6≥4﹣6＝252﹣6；当且仅当2t＝时，即t＝时等号成立，但t＝∉N*；这时取t＝50或t＝51时，此数列的前100项和最小，最小值为2（250+251）﹣6＝6•250﹣6．13．【解答】解：（1）a1＝8，m＝2，则前7项为8，4，2，1，3，5，7，故S7＝30．（2）设k是整数．①若a1＝2k﹣1，a2＝2k+4，a3＝k+2．则a1+a2+a3＝5k+5＝25⇒k＝4，此时a1＝7．②若a1＝4k，a2＝2k，a3＝k，则a1+a2+a3＝7k＝25，此时k不存在．③若a1＝4k﹣2，a2＝2k﹣1，a3＝2k+4，则a1+a2+a3＝8k+1＝25⇒k＝3，此时a1＝10．故a1＝7或a1＝10．（3）证明：充分性：若a n为奇数，则a n+1＝a n+m＞m；必要性：先利用数学归纳法证：a n≤m（a n为奇数）；a n≤2m（a n为偶数）．①a1＝1≤m，a2＝1+m≤2m，成立；②假设n＝k时，a k≤m（a k为奇数）；a k≤2m（a k为偶数）．③当n＝k+1时，当a k是偶数，；当a k是奇数，a k+1＝a k+m≤2m，此时a k+1是偶数．综上，由数学归纳法得a n≤m（a n为奇数）；a n≤2m（a n为偶数）．从而若a n+1＞m时，必有a n+1是偶数．进而若a n是偶数，则a n＝2a n+1＞2m矛盾，故a n只能为奇数．14．【解答】解：（Ⅰ）①数列{a n}具有“性质Ψ（2）”；②数列{a n}不具有“性质Ψ（2）”．（Ⅱ）证明：先证“充分性”：当数列{a n}具有“性质Ψ（2）”时，有a2n﹣1+a2n＝2a n，又因为a n+1≥a n，所以0≤a2n﹣a n＝a n﹣a2n﹣1≤0，进而有a n＝a2n结合a n+1≥a n有a n＝a n+1＝…＝a2n，即“数列{a n}为常数列”；再证“必要性”：若“数列{a n}为常数列”，则有a2n﹣1+a2n＝2a1＝2a n，即“数列{a n}具有“性质Ψ（2）”．（Ⅲ）首先证明：a n+1﹣a n≥2．因为{a n}具有“性质Ψ（4）”，所以a2n﹣1+a2n＝4a n．当n＝1时，有a2＝3a1＝3．又因为，且a2n＞a2n﹣1，所以有a2n≥2a n+1，a2n﹣1≤2a n﹣1，进而有2a n+1≤a2n≤a2n+1﹣1≤2a n+1﹣2，所以2（a n+1﹣a n）≥3，结合可得：a n+1﹣a n≥2．然后利用反证法证明：a n+1﹣a n≤2．假设数列{a n}中存在相邻的两项之差大于3，即存在k∈N*满足：a2k+1﹣a2k≥3或a2k+2﹣a2k+1≥3，进而有4（a k+1﹣a k）＝（a2k+2+a2k+1）﹣（a2k+a2k﹣1）＝（a2k+2﹣a2k）+（a2k+1﹣a2k﹣1）＝[（a2k+2﹣a2k+1）+（a2k+1﹣a2k）]+[（a2k+1﹣a2k）+（a2k﹣a2k﹣1）]≥12．又因为，所以a k+1﹣a k≥3依此类推可得：a2﹣a1≥3，矛盾，所以有a n+1﹣a n≤2．综上有：a n+1﹣a n＝2，结合a1＝1可得a n＝2n﹣1，经验证，该通项公式满足a2n﹣1+a2n＝4a n，所以：a n＝2n﹣1．15．【解答】解：（Ⅰ）∵a0＝﹣2.6，∴a1＝[a0]•（a0﹣[a0]）＝﹣3×（﹣2.6+3）＝﹣1.2，同理可得：a2＝﹣1.6、a3＝﹣0.8．………………（3分）（Ⅱ）因a0＞0，则[a0]≥0，所以a1＝[a0]（a0﹣[a0]）≥0，设[a i]≥0，i≥1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）≥0，所以[a i]≥0，∀i≥0．又因0≤a i﹣[a i]＜1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）≤[a i]，则[a i+1]≤[a i]，∀i≥0．………………（4分）假设∀i≥0，都有[a i]＞0成立，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）＜[a i]，则[a i+1]＜[a i]，∀i≥0，即[a i+1]≤[a i]﹣1，∀i≥0，………………（5分）则[a n]≤[a0]﹣n，∀n≥1，则当n≥[a0]时，[a n]≤0，这与假设矛盾，所以[a i]＞0，∀i≥0不成立，………………（6分）即存在k∈N，[a k]＝0．从而{[a i]}的最小值为0．………………（7分）（Ⅲ）证明：当a0＞0时，由（2）知，存在k∈N，[a k]＝0，所以a k+1＝0，所以[a k+1]＝0，所以a i＝0，∀i≥k，成立．………………（8分）当a0＜0时，若存在k∈N，a k＝0，则a i＝0，∀i≥k，得证；………………（9分）若a i＜0，∀i≥0，则[a i]≤﹣1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）＞[a i]，则[a i+1]≥[a i]，∀i≥0，所以数列{[a i]}单调不减．由于[a i]是负整数，所以存在整数m和负整数c，使得当i≥m时，[a i]＝c．所以，当i≥m时，a i+1＝c（a i﹣c），则，令，即b i+1＝cb i，i≥m．当b m＝0时，则b i＝0，i≥m，则，得证．………………（11分）当b m≠0时，b i≠0，i≥m，，因当i≥m时，[a i]＝c，则a i∈[c，c+1），则{b i}有界，所以|c|≤1，所以负整数c＝﹣1．………………（12分）∴，则………………（13分）令k＝m，满足当i≥k时，a i＝a i+2．综上，存在非负整数k，使得当i≥k时，a i＝a i+2．………………（14分）16．【解答】解：（Ⅰ）解：由a1＝5，a2＝3，a n+2＝|a n+1﹣a n|，n∈N*．得a3＝|3﹣5|＝2，a4＝|2﹣3|＝1，a5＝|1﹣2|＝1，a6＝|1﹣1|＝0，a7＝|0﹣1|＝1，a8＝|1﹣0|＝1，a9＝|1﹣1|＝0，a10＝|0﹣1|＝1，……从第四项开始满足，故a2019＝0，a2020＝a2021＝1；（Ⅱ）证明：反证法：假设∀i∈N*，a i≠0，由于a n+2＝|a n+1﹣a n|，记m＝max{a1，a2}，则a1≤m，a2≤m．则0＜a3＝|a2﹣a1|≤m﹣1，0＜a4＝|a3﹣a2|≤m﹣1，0＜a5＝|a4﹣a3|＝m﹣2，0＜a6＝|a5﹣a4|＝m﹣2，…，依次递推，有0＜a7＝|a6﹣a5|≤m﹣3，0＜a8＝|a7﹣a6|≤m﹣3…，则由数学归纳法易得a2n+1≤m﹣n，n∈N*．当n＞m时，a2n+1＜0，与a2n+1＞0矛盾．故存在i，使a i＝0．∴数列{a n}必在有限项后出现值为0的项；故存在m∈N*，当n＞m时，数列{a n}中的项呈周期变化；（Ⅲ）证明：①先证数列{a n}中必有“k”（反证法）：假设数列{a n}中没有“k”，由（Ⅱ）知数列{a n}中必有“0”项，设第一个“0”项是a m（m≥3），令a m﹣1＝p，p＞k，p∈N*，则必有a m﹣2＝p，于是由p＝a m﹣1＝|a m﹣2﹣a m﹣3|＝|p﹣a m﹣3|，则a m﹣3＝2p，因此p是a m﹣3的因数，由p＝a m﹣2＝|a m﹣3﹣a m﹣4|＝|2p﹣a m﹣4|，则a m﹣4＝p或3p，因此p是a m﹣4的因数，依次递推，可得p是a1，a2的因数，因为p＞k，所以这与a1，a2的最大公约数是k矛盾，所以数列{a n}中必有“k”；②再证数列{a n}中必有无穷多项为k：假设数列{a n}中第一个“k”项为是a t，令a t﹣1＝q，q＞k，q∈N*，则a t+1＝|a t﹣a t﹣1|＝q﹣k，若a t+1＝q﹣k＝k，则数列中的项从a t开始依次为“k，k，0“的无限循环，故有无穷多项为k；若a t+1＝q﹣k＞k，则a t+2＝|a t+1﹣a t|＝q﹣2k，a t+3＝|a t+2﹣a t+1|＝k；若a t+2＝q﹣2k＝k，则进入“k，k，0“的无限循环，故有无穷多项为k；若a t+2＝q﹣2k＞k，则从a t开始的项依次为k，q﹣k，q﹣2k，k，q﹣3k，q﹣4k，k，必出现连续两个“k”，从而进入“k，k，0“的无限循环，故有无穷多项为k；综合①②知：数列{a n}中必有无穷多项为k．17．【解答】解：（1）由题意知等差数列{a n}的通项公式为：a n＝5n﹣5；等差数列{b n}的通项公式为：b n＝9n﹣9，得c i，j＝a i+b j＝（5i﹣5）+（9i﹣9）＝5i+9j﹣14，则c2，6＝50，c396，6＝2020，得d i，j＝a i﹣b j+1＝（5i﹣5）﹣[9（j+1）﹣9]＝5i﹣9j﹣5，故d2，6＝﹣49．（2）证明：已知a＝6．b＝7，由题意知等差数列{a n}的通项公式为：a n＝6n﹣6；等差数列{b n}的通项公式为：b n＝7n﹣7，得c i，j＝a i+b j＝（6i﹣6）+（7i﹣7）＝6i+7j﹣13，i∈N*，j∈N*）．得d i，j＝a i﹣b j+1＝（6i﹣6）﹣[7（j+1）﹣7]＝6i﹣7j﹣6，1≤i≤7，i∈N*，j∈N*）．。

压轴题04 函数与导数常见经典压轴大题(原卷版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)

压轴题04函数与导数常见经典压轴大题函数与导数是高中数学的重要考查内容，同时也是高等数学的基础，其试题的难度呈逐年上升趋势，通过对近十年的高考数学试题，分析并归纳出五大考点：（1）含参函数的单调性、极值与最值；（2）函数的零点问题；（3）不等式恒成立与存在性问题；（4）函数不等式的证明．（5）导数中含三角函数形式的问题其中，对于函数不等式证明中极值点偏移、隐零点问题、含三角函数形式的问题探究和不等式的放缩应用这四类问题是目前高考函数与导数压轴题的热点．考向一：导数与数列不等式的综合问题考向二：双变量问题考向三：证明不等式考向四：零点问题考向五：不等式恒成立问题考向六：极值点偏移问题与拐点偏移问题考向七：导数中的同构问题考向八：导数与三角函数结合问题1、对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：（1）定函数（极值点为0x ），即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点0x ．（2）构造函数，即根据极值点构造对称函数0()()(2)F x f x f x x =--，若证2120x x x >，则令02()()()x F x f x f x=-．（3）判断单调性，即利用导数讨论()F x 的单调性．（4）比较大小，即判断函数()F x 在某段区间上的正负，并得出()f x 与0(2)f x x -的大小关系．（5）转化，即利用函数()f x 的单调性，将()f x 与0(2)f x x -的大小关系转化为x 与02x x -之间的关系，进而得到所证或所求．【注意】若要证明122x x f +⎛⎫' ⎪⎝⎭的符号问题，还需进一步讨论122x x +与x 0的大小，得出122x x +所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效2121212ln ln 2x x x x x x -+<-证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到1212ln ln x x x x --；③利用对数平均不等式来证明相应的问题．3、比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可．1．（2023·全国·校联考二模）已知函数()()2ln R 2a f x x x x x a a =--+∈，()f x '为()f x 的导函数．(1)当12a =时，若()()g x f x ='在[[],1(0)t t t +>上的最大值为()h t ，求()h t ；(2)已知12,x x 是函数f （x ）的两个极值点，且12x x <，若不等式112e mmx x +<恒成立，求正数m的取值范围．2．（2023·河南·校联考二模）已知函数()22ln f x x x x =+．(1)求()f x 的极值；(2)若不等式()2e x f x x m x≥+在1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上恒成立，求实数m 的取值范围．3．（2023·全国·模拟预测）已知函数()21ln (0)2f x x x x a a=-+>.(1)若1a =，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若函数()21ln (0)2f x x x x a a=-+>在其定义域上有唯一零点，求实数a 的值.4．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）已知函数()ln eaf x x x =-（其中a ∈R ，e 为自然对数的底数）．(1)若函数()f x 存在极大值，且极大值不小于1，求a 的取值范围；(2)当e a =时，证明()121e 2102x x f x x -⎛⎫+-++< ⎪⎝⎭．5．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知函数2sin ()π,[0,π]ex xf x x x x =-+∈．(1)求()f x 在(0,(0))f 处的切线方程；(2)若()f x m =存在两个非负零点12,x x ，求证：212ππ1mx x -≤-+．6．（2023·上海静安·统考二模）已知函数()()211ln 2f x x a x a x =-++.（其中a 为常数）(1)若2a =-，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；(2)当a<0时，求函数()y f x =的最小值；(3)当01a ≤<时，试讨论函数()y f x =的零点个数，并说明理由.7．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知函数()()ln 1f x x ax a =--∈R .(1)若函数()y f x =在区间[)1,+∞上单调递减，求实数a 的取值范围；(2)若方程()20f x +=有两个实根1x ，2x ，且212x x >，求证：212332e x x >.参考数据：ln 20.693≈，ln 3 1.099≈.8．（2023·广东湛江·统考一模）已知函数()e cos 2xf x x =+-．(1)证明：函数()f x 只有一个零点；(2)在区间()0,∞+上函数()sin f x ax x >-恒成立，求a 的取值范围．9．（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知函数()ln ax ax f x x=+-，函数()2ln 2e 2e 12xx x a g x a x x-=+-+.(1)当0a >时，求()f x 的单调区间；(2)已知12a ≥，1e 2x x>，求证：()0g x <；(3)已知n 为正整数，求证：11111ln 212212n n n n n+++⋅⋅⋅+>++-.10．（2023·广东梅州·统考二模）已知函数()1e ln -=-xf x a x ，其中R a ∈．(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当[]0,πx ∈时，()21cos 1f x x +-≥恒成立，求实数a 的取值范围．11．（2023·上海松江·统考二模）已知0x >，记()e xf x =，()xg x x =，()ln ()h x g x =．(1)试将()y f x =、()y g x =、()y h x =中的一个函数表示为另外两个函数复合而成的复合函数；(2)借助（1）的结果，求函数()2y g x =的导函数和最小值；(3)记()()()f x h x H x x a x-=++，a 是实常数，函数()y H x =的导函数是()y H x '='．已知函数()()y H x H x =⋅'有三个不相同的零点123x x x 、、．求证：1231x x x ⋅⋅<．12．（2023·浙江宁波·统考二模）已知函数2()ln f x x ax =-．(1)讨论函数()f x 的单调性：(2)若12,x x 是方程()0f x =的两不等实根，求证：（i ）22122e x x +>；（ii ）12x x >13．（2023·河北保定·统考一模）已知函数()()sin ln 1f x x a x =-+．(1)当1a =时，证明：当[]0,1x ∈时，()0f x ≥；(2)当[]0,πx ∈时，()2e 2xf x ≤-恒成立，求a 的取值范围．14．（2023·浙江金华·模拟预测）已知函数()()sin ln 1,R f x a x x a =-+∈．(1)若对(1,0]x ∀∈-时，()0f x ≥，求正实数a 的最大值；(2)证明：221sinln 2ni i =<∑；(3)若函数()()1e sin x g x f x a x +=+-的最小值为m ，证明：方程()1eln 10x mx +--+=有唯一的实数根，（其中e 2.71828= 是自然对数的底数）15．（2023·青海西宁·统考二模）已知()()e ln R xf x a x a =-∈．(1)若()f x 在[)1,+∞上单调递增，求a 的取值范围，(2)证明：当21e a ≥时，()0f x >．16．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数()ln af x x x=+的图象在1x =处的切线方程为y b =．(1)求a ，b 的值及()f x 的单调区间．(2)已知()()2e e x x xf x mxF x x x-+=-，是否存在实数m ，使得曲线()y F x =恒在直线1y x =+的上方？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由．17．（2023·山东德州·统考一模）已知1()sin (1)1f x a x x x x =-+>-+，且0为()f x 的一个极值点．(1)求实数a 的值；(2)证明：①函数()f x 在区间(1,)-+∞上存在唯一零点；②22111sin 121nk n k=-<<+∑，其中*N n ∈且2n ≥．18．（2023·江西吉安·统考一模）已知函数()()ln ,e e x xf x xg x -=-=-.(1)若[]()()0,1,x g x f a ∃∈>成立，求实数a 的取值范围；(2)证明：()()πcos 2e x h x f x =+有且只有一个零点0x，且20π1e cos e 2e x g -⎛⎫<< ⎝⎭19．（2023·河南·郑州一中校联考模拟预测）已知函数()1ln m f x m x x x+=++．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当1m =时，证明：()23e x xf x x <+．20．（2023·陕西渭南·统考二模）已知函数()()1ln e ,xxf xg x m x+==-.()m ∈R (1)证明：()1f x x ≥+；(2)若()()f x g x ≥，求实数m 的取值范围；(3)证明：11e e 1knk k =⎛⎫< ⎪-⎝⎭∑.()N n +∈21．（2023·全国·东北师大附中校联考模拟预测）已知函数()()ln 10f x x ax a =-->.(1)当1a =时，求过原点且与()f x 相切的直线方程；(2)若()()()e 0ax g x x f x a =+⋅>有两个不同的零点()1212,0x x x x <<，不等式212e mx x ⋅>恒成立，求实数m 的取值范围.22．（2023·青海·校联考模拟预测）已知函数()()21e xf x ax x =+-.(1)当12a =-时，讨论函数()f x 在()0,∞+上的单调性；(2)当0x >时，()1f x <，求实数a 的取值范围．23．（2023·天津·校联考一模）设函数()()()21e 2,R x f x x m x m =+++∈．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若当[2,)x ∈-+∞时，不等式()()213e f x m x x -≥+-恒成立，求m 的取值范围．。

高中数学导数压轴题

2．设函数 f（x）=x3﹣ax﹣b，x∈R，其中 a，b∈R．（1）求 f（x）的单调区间；（2）若 f（x）存在极值点 x0，且 f（x1）=f（x0 ），其中 x1≠x0，求证：x1+2x0=0；（3）设 a＞0，函数 g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于．
在区间
8．已知函数 f（x）=alnx﹣ax﹣3（a≠0）．（Ⅰ）讨论 f（x）的单调性；（Ⅱ）若 f（x）+（a+1）x+4﹣e≤0 对任意 x∈[e，e2]恒成立，求实数 a 的取值范围（e 为自然常数）；（Ⅲ）求证 ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2， n∈N*）（n!=1×2×3×…×n）． 9．已知函数 f（x）=lnx﹣a（x﹣1），a∈R （Ⅰ）讨论函数 f（x）的单调性；（Ⅱ）当 x≥1 时，f（x）≤ 恒成立，求 a 的取值范围．
6．已知函数，f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（1 ）当 a=1 时，求函数 f（x）的单调区间；（2）若函数 y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为 45° ，问：m 在什么范围取值时，对于任意的 t[1，2]，函数（t，3）上总存在极值？
7．已知函数 f（x）=x3+ x2+ax+b（a，b 为常数），其图象是曲线 C．（1）当 a=﹣2 时，求函数 f（x）的单调减区间；（2）设函数 f（x）的导函数为 f′（x），若存在唯一的实数 x0，使得 f（x0）=x0 与 f′（x0）=0 同时成立，求实数 b 的取值范围；（3）已知点 A 为曲线 C 上的动点，在点 A 处作曲线 C 的切线 l1 与曲线 C 交于另一点 B，在点 B 处作曲线 C 的切线 l2，设切线 l1， l2 的斜率分别为 k1， k2．问：是否存在常数 λ，使得 k2=λk1？若存在，求出 λ 的值；若不存在，请说明理由．

(压轴题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试(包含答案解析)(1)

一、选择题1．若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为（） A ．2：1B ．4：1C ．8：1D ．8：32．已知正方体1111ABCD A B C D -，E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心，则EF 和BD 所成的角的大小是（） A ．30B ．45C ．60D ．903．如图，四棱柱ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 为正方形，侧棱AA '⊥底面ABCD ，32AB =，6AA '=，以D 为圆心，DC '为半径在侧面BCC B ''上画弧，当半径的端点完整地划过C E '时，半径扫过的轨迹形成的曲面面积为（）A ．96π B ．93π C ．96π D ．93π 4．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O .E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，ABE △，BCF △，CDG ，ADH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起ABE △，BCF △，CDG ，ADH ，使得E ，F ，G ，H 重合得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为（）A ．163πB ．253πC ．643πD ．1003π5．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形，且平面ABCD ⊥平面AEB ，则（）A ．DEC ∠可能为90︒B ．若AEB △是等边三角形，则DEC 也是等边三角形C ．若AEB △是等边三角形，则异面直线DE 和AB 所成角的余弦值为24D ．若AEB △是直角三角形，则BE ⊥平面ADE6．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，若AP ∥平面BDEF ，则线段AP 长度的取值范围是（） A ．[322，5] B ．[5，22]C ．[324，6] D ．[6，22]7．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形.其中3AB =，2AD =，PAD △是以A ∠为直角的等腰直角三角形，若60PAB ∠=︒，则异面直线PC 与AD 所成角的余弦值是（）A 22B ．22C 27D 2118．三个平面将空间分成n 个部分，则n 不可能是（） A ．5B ．6C ．7D ．89．正三棱柱111ABC A B C -各棱长均为1，M 为1CC 的中点，则点1B 到面1A BM 的距离为（） A 2B ．22C ．12D ．3210．已知四面体ABCD ，AB ⊥平面BCD ，1AB BC CD BD ====，若该四面体的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（）A ．73π B ．7π C ．712π D ．79π 11．空间四边形PABC 的各边及对角线长度都相等，D 、E 、F 外别是AB 、BC 、CA 的中点，下列四个结论中不成立的是（） A ．//BC 平面PDF B ． DF ⊥平面PAE C ．平面PDE ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC12．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中2O A ''=，45B A O '''∠=,//B C O A ''''.则原平面图形的面积为（）A ．32B ．62C ．322D ．34二、填空题13．已知直三棱柱111ABC A B C -，14AB BC AA ===，42AC =，若点P 是上底面111 A B C 所在平面内一动点，若三棱锥P ABC -的外接球表面积恰为41π，则此时点P 构成的图形面积为________．14．已知正三棱锥A BCD -的四个顶点在球O 的球面上，2AB =，且π2BAC ∠=，则球O 的表面积为_______．15．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 为CD 的中点，F 为线段CE （端点除外）上一动点．现将DAF △沿AF 折起，使得平面ABD ⊥平面ABC ．设直线FD 与平面ABCF 所成角为θ，θ的取值范围为__________．16．如图，四边形ABCD 是矩形，且有2AB BC =，沿AC 将ADC 翻折成AD C '，当二面角D AC B '--的大小为3π时，则异面直线D C '与AB 所成角余弦值是______.17．正四面体ABCD 棱长为2，AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，设M 为线段AO 上一点，且90BMC ︒∠=则二面角M BC O --的余弦值为________．18．已知棱长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 是棱AD 的中点，点N 是棱AA 1的中点，P 是侧面四边形ADD 1A 1内一动点（含边界），若C 1P ∥平面CMN ，则线段C 1P 长度的取值范围是________.19．已知四面体P ﹣ABC 的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC ，2AC 3=AB ，若四面体P ﹣ABC 的体积为32，则该球的体积为_____． 20．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，60BAC ∠=︒，23AB AC ==，2PA =，则三棱锥P ABC -外接球的半径为____________.三、解答题21．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AC BC AC BC CC ⊥===.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）求异面直线1CB 与1AC 所成角的大小；（3）求二面角1B AC C --的平面角的余弦值.22．如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥底面ABCD ，E ，F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点.（1）求证：DE ⊥平面PAH ；（2）若2PA AD ==，求直线PD 与平面PAH 所成线面角的正弦值.23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，3BAD π∠=，E 是线段AD 的中点，连结BE ．（1）求证：BE PA ⊥；（2）求二面角A PD C --的余弦值；（3）在线段PB 上是否存在点F ，使得//EF 平面PCD ？若存在，求出PFPB的值；若不存在，说明理由．24．如图，在三棱锥M 中，M 为BC 的中点，3PA PB PC AB AC =====，26BC =.（1）求二面角P BC A --的大小；（2）求异面直线AM 与PB 所成角的余弦值. 25．如图，在三棱锥P ABC -中，1,2,135AB AC BAC ︒==∠=，1cos ,3BAP AP BC ∠=-⊥．（1）若23BM MC =，求证：PM BC ⊥；（2）当3AP =，且N 为BC 中点时，求AN 与平面PBC 所成角的正弦值．26．在三棱锥P ABC -中，AE BC ⊥于点,E CF AB ⊥于点F ，且AE CF O ⋂=，若点P 在平面ABC 上的射影为点O ．（1）证明：AC PB ⊥；（2）若ABC 是正三角形，点,G H 分别为,PA PC 的中点．证明：四边形EFGH 是矩形．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据三角形相似得出圆锥的底面半径和高的关系，根据体积公式和基本不等式得出答案．【详解】设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则当球面与圆锥的侧面以及底面都相切时，轴截面如图，由~AOE ACF 可得：22(1)11h r --=，即22r h h =-， ∴圆锥的体积22148[(2)4]33(2)323h V r h h h h ππππ===-++--．当且仅当22h -=，即4h =时取等号．∴该圆锥体积的最小值为83π．内切球体积为43π．该圆锥体积与其内切球体积比2:1．故选：A ．【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.2．C解析：C 【分析】作出图形，连接1AD 、11B D 、1AB ，推导出1//EF AB ，11//BD B D ，可得出异面直线EF 和BD 所成的角为11AB D ∠，分析11AB D 的形状，即可得出结果. 【详解】如下图所示，连接1AD 、11B D 、1AB ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则11112AD AB B D === 所以，11AB D 为等边三角形，则1160AB D ∠=，因为E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心，则E 、F 分别是11B D 、1AD 的中点，所以，1//EF AB ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//BB DD 且11BB DD =，所以，四边形11BB D D 为平行四边形，则11//BD B D ，所以，异面直线EF 和BD 所成的角为1160AB D ∠=. 故选：C. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．3．A解析：A 【分析】先确定曲面面积占以点D 为顶点， DC '为母线在平面 BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18，利用圆锥的侧面积S rl π=即可得出结论. 【详解】由题意 6,32CE CC AA BC AB ''=====22361832BE CE CB -=-=，所以45BCE ∠=， 45ECC '∠=，所以曲面面积占以点D 为顶点， DC '为母线在平面 BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18，所以圆锥的侧面积 636186S rl CC DC ππππ'==⨯⨯=⨯⨯=，所以曲面面积为1961868ππ⨯=. 故选：A. 【点睛】方法点睛：本题考查曲面面积，考查圆锥的侧面积，确定曲面面积占以点D 为顶点， DC '为母线在平面 BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18是关键，考查系数的空间想象力. 4．D解析：D 【分析】连接OE 交AB 于点I ，设E ，F ，G ，H 重合于点P ，正方形的边长为x （0x >）cm ，则2x OI =，62xIE =-，求出x 的值，再利用勾股定理求R ，代入球的表面积公式，即可得答案. 【详解】连接OE 交AB 于点I ，设E ，F ，G ，H 重合于点P ，正方形的边长为x （0x >）cm ，则2x OI =，62x IE =-，因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，所以246222x x x ⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得4x =. 设该四棱锥的外接球的球心为Q ，半径为R ，如图，则QP QC R ==，22OC =16423OP =-=所以()(222RR =+，解得R =所以外接球的表面积为210043S ππ==（2cm ）. 故选：D . 【点睛】关键点点睛：本题考查平面图形的折叠，四棱锥外接球的半径，解题关键在于平面图形折叠成立体图形后，要明确变化的量和没有变的量，以及线线的位置，线面的位置关系，对于几何体的外接球的问题，关键在于确定外接球的球心的位置.5．C解析：C 【分析】对A ，直角三角形的斜边大于直角边可判断；对B ，由>=EC EB DC 可判断；对C ，可得CDE ∠即异面直线DE 和AB 所成角，即可求出；对D ，EAB ∠（或EBA ∠）为直角时，BE 与平面ADE 不垂直. 【详解】对A ，由题意，若90DEC ∠=︒，则DC EC >，但EC BC CD >=，故A 不正确；对B ，若AEB △是等边三角形，显然有>=EC EB DC ，所以DEC 不会是等边三角形，故B 不正确；对C ，若AEB △是等边三角形，设边长为2，则DE EC ==//AB CD ，则CDE ∠即异面直线DE 和AB 所成角，易求cos4CDE ∠==，故C 正确；对D ，当AEB △是以AEB ∠为直角的直角三角形时，BE ⊥平面ADE ，当AEB △是以EAB ∠（或EBA ∠）为直角的直角三角形时，BE 与平面ADE 不垂直，故D 不正确．故选：C. 【点睛】本题考查四棱锥的有关位置关系的判断，解题的关键是正确理解长度关系，正确理解位置关系的变化.6．A解析：A 【分析】分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，可证平面AMN ∥平面BDEF ，得P 点在线段MN 上．由此可判断当P 在MN 的中点时，AP 最小；当P 与M 或N 重合时，AP 最大．然后求解直角三角形得答案．【详解】如图所示，分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，连接B 1D 1， ∵M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，∴MN ∥B 1D 1，EF ∥B 1D 1，∴MN ∥EF ，又MN ⊄平面BDEF ，EF ⊂平面BDEF ，∴MN ∥平面BDEF ；连接NF ，由NF ∥A 1B 1，NF ＝A 1B 1，A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB ，可得NF ∥AB ，NF ＝AB ，则四边形ANFB 为平行四边形，则AN ∥FB ，而AN ⊄平面BDEF ，FB ⊂平面BDEF ，则AN ∥平面BDEF ．又AN ∩NM ＝N ，∴平面AMN ∥平面BDEF ．又P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面BDEF ，∴P 点在线段MN 上．在Rt △AA 1M 中，AM 222211215AA A M =+=+=，同理，在Rt △AA 1N 中，求得AN 5=，则△AMN 为等腰三角形．当P 在MN 的中点时，AP 最小为222322()2+=，当P 与M 或N 重合时，AP 最大为5．∴线段AP 长度的取值范围是32,52⎡⎤⎢⎥⎣．故选：A ．【点睛】本题主要考查了空间中点、线、面间的距离问题，其中解答中通过构造平行平面寻找得到点P 的位置是解答的关键，意在考查空间想象能力与运算能力，属于中档试题.7．D解析：D 【分析】在图形中找到（并证明）异面直线所成的角，然后在三角形中计算．【详解】因为//AD BC ，所以PCB ∠是异面直线PC 与AD 所成角（或其补角），又PA AD ⊥，所以PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，AB PA A ⋂=，,AB PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，所以PB BC ⊥．由已知2PA AD ==，所以22222cos 23223cos607PB PA AB PA AB PAB =+-⋅∠=+-⨯⨯︒=22211cos 11(7)2BC PCB PC ∠===+，所以异面直线PC 与AD 所成角的余弦值为21111．故选：D ．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．8．A解析：A 【分析】三个平面不重合，先按其中平行的平面的个数分类：三个平面两两平行，两个平面平行，没有平行的平面(两两相交)，对两两相交的情况，再根据三条交线互相平行，重合，交于一点，分别讨论. 【详解】按照三个平面中平行的个数来分类：（1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成4部分；（2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成6部分；（3）三个平面中没有平行的平面：（i ）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成7部分；（ii ）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成8部分.（iii ）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成6部分；综上，可以为4，6，7，8部分，不能为5部分，故选：A.9．B解析：B 【分析】连接11A N B AB =，根据已知条件先证明11B A A B ⊥、1⊥MN AB ，再通过线面垂直的判定定理证明1AB ⊥平面1A BM ，由此确定出1B N 的长度即为点1B 到面1A BM 的距离，最后完成求解. 【详解】连接1B A 交1A B 于N ，连接11,,,,MB MN MB MA MA ，如图所示：因为11A ABB 为正方形，所以11B A A B ⊥，又因为22111115142MB MC C B =+=+=2215142MA MC CA =+=+=，所以1MB MA =且N 为1AB 中点，则MN 为等腰三角形1AMB 的中垂线， ∴1⊥MN AB 且1MNA B N =，∴1AB ⊥平面1A BM ，∴1B N 就是点1B 到截面1A BM 的距离，又因为111121122B N AB ==+=，所以点1B 到截面1A BM 2，故选：B. 【点睛】方法点睛：求解平面外一点A 到平面α的距离的方法：（1）几何方法：通过线面垂直的证明，找到A 在平面α内的投影点A '，则AA '即为A 到平面α的距离；（2）向量方法：①建立合适空间直角坐标系，在平面α内取一点B ；②求解出AB 和平面α的法向量n ；③根据AB n d n⋅=即可求解出点A 到平面α的距离.10．A解析：A 【分析】本题首先可根据题意将四面体ABCD 看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，然后求出直三棱柱的外接球的半径，最后根据球的表面积计算公式即可得出结果. 【详解】因为AB ⊥平面BCD ，1AB BC CD BD ====，所以可将四面体ABCD 看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，如图所示：则四面体ABCD 的外接球即直三棱柱的外接球，因为底面三角形BCD 的外心到三角形BCD 的顶点的长度为222131323，所以直三棱柱的外接球的半径221372312r，则球O 的表面积2277π4π4π123S r ，故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查四面体的外接球的表面积的计算，能否将四面体ABCD 看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分是解决本题的关键，考查直三棱柱的外接球的半径的计算，是中档题.11．C解析：C 【分析】由线面平行的判定定理可判断A ；由线面垂直的判定定理可判断B ；反证法可说明C ；由面面垂直的判定定理可判断D. 【详解】对于A ，D ，F 外别是AB ，CA 的中点，//BC DF ∴，DF ⊂平面PDF ，∴//BC 平面PDF ，故A 正确，不符合题意；对于B ，各棱长相等，E 为BC 中点，,BC AE BC PE ∴⊥⊥，PEAE E =，BC ∴⊥平面PAE ，//BC DF ，∴DF ⊥平面PAE ，故B 正确，不符合题意；对于C ，假设平面PDE ⊥平面ABC ，设DE BF O ⋂=，连接PO ，则O 是DE 中点，PO DE ∴⊥，平面PDE平面ABC DE =，PO ∴⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，PO BF ∴⊥，则PB PF =，与PB PF ≠矛盾，故C 错误，符合题意；对于D ，由B 选项 DF ⊥平面PAE ， DF ⊂平面ABC ，∴平面PAE ⊥平面ABC ，故D 正确，不符合题意. 故选：C. 【点睛】本题考查线面关系和面面关系的判定，解题的关键是正确理解判断定理，正确理解垂直平行关系.12．A解析：A 【分析】作出原平面图形，然后求出面积即可．【详解】45B A O '''∠=B O A '''=∠，则O A B '''△是等腰直角三角形，∴2A B OB '''==又O C C B ''''⊥，45C O B '''∠=︒，∴1B C ''=，在直角坐标系中作出原图形为：梯形OABC ，//OA BC ，2,1OA BC ==，高22OB = ∴其面积为1(21)22322S =+⨯= 故选：A 【点睛】方法点睛：本题考查斜二测法画平面图形直观图，求原图形的面积，可能通过还原出原平面图形求得面积，也可以通过直观图到原图形面积的关系求解：直观图面积为S '，原图形面积为S ，则2S S '=二、填空题13．【分析】确定是等腰直角三角形的中点分别是和的外心由直棱柱性质得的外接球的球心在上外接球面与平面的交线是圆是以为圆心为半径的圆求出可得面积【详解】则设分别是的中点则分别是和的外心由直三棱柱的性质得平面解析：4π【分析】确定ABC 是等腰直角三角形，11,AC A C 的中点1,D D 分别是ABC 和111A B C △的外心，由直棱柱性质得P ABC -的外接球的球心O 在1DD 上，外接球面与平面111A B C 的交线是圆，是以1D 为圆心，1D P 为半径的圆，求出1PD 可得面积．【详解】4,2AB BC AC ===90ABC ∠=︒，设1,D D 分别是11,AC A C 的中点，则1,D D 分别是ABC 和111A B C △的外心，由直三棱柱的性质得1DD ⊥平面ABC ，所以P ABC -的外接球的球心O 在1DD 上，如图，24()41OA ππ=，则41OP OA ==，2222413(22)22OD OA AD ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以11135422OD DD OD AA OD =-=-=-=， 222211415222PD OP OD ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， P ABC -的外接球面与平面111A B C 的交线是圆，是以1D 为圆心，1D P 为半径的圆，其面积为224S ππ=⨯=．故答案为：4π．【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中动点轨迹问题的求解，重点考查了几何体的外接球的有关问题的求解，关键是根据外接球的性质确定球心位置，结合勾股定理得出动点所满足的具体条件，结论：三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上．14．【分析】经分析正三棱锥是以△BCD 底面的三棱锥可以把看出以AB 为边长的正方体切割下来的可借助于正方体的外接球求解【详解】正三棱锥中所以△BCD 为底面且所以正三棱锥是以AB 为边长的正方体切割下来的所以解析：6π【分析】经分析，正三棱锥A BCD -是以△BCD 底面的三棱锥，可以把看出以AB 为边长的正方体切割下来的，可借助于正方体的外接球求解. 【详解】正三棱锥A BCD -中，π2BAC ∠=，所以△BCD 为底面，且π2BAD DAC BAC ∠=∠=∠=, 所以正三棱锥A BCD -是以AB 为边长的正方体切割下来的，所以正三棱锥A BCD -的外接球就是正方体的外接球.设外接球的半径为R ,所以2R =所以外接球的表面积为246S R ππ==．故答案为：6π 【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．15．【分析】在矩形中作交于交于在翻折后的几何体中证得平面平面从而平面得是直线与平面所成的角设C 求得的范围后可得范围【详解】在矩形中作交于交于设由图易知∴即∴则在翻折后的几何体中又平面∴平面又平面∴平面平解析：(0,]6π【分析】在矩形ABCD 中作DO AF ⊥，交AF 于O ，交AB 于M ，在翻折后的几何体中，证得平面ODM ⊥平面ABCF ，从而DM ⊥平面ABCF ，得DFM ∠是直线FD 与平面ABCF 所成的角．设(01)CF x x =<<C ，求得sin θ的范围后可得θ范围．【详解】在矩形ABCD 中作DO AF ⊥，交AF 于O ，交AB 于M ，设(01)CF x x =<<，AM t =，由图易知DAM FDA △△，∴AM AD DA DF =，即112t x =-，∴12t x=-，01x <<，则112t <<．在翻折后的几何体中，AF OD ⊥，AF OM ⊥，又OD OM O =，,OD OM ⊂平面ODM ，∴AF ⊥平面ODM ，又AF ⊂平面ABCF ，∴平面ODM ⊥平面ABCF ，又平面ABD ⊥平面ABC AB =．平面ODM平面ABD DM =，∴DM ⊥平面ABCF ，连接MF ，则DFM ∠是直线FD 与平面ABCF 所成的角．DFM θ∠=，而DM =12DF x t=-=，∴2422211sin 1()24DM t t t t t DF θ==-=-+=--+， ∵112t <<，∴2114t <<，∴10sin 2θ<≤，即06πθ<≤．故答案为：(0,]6π．【点睛】方法点睛：本题考查求直线与平面所成的角，求线面角常用方法：（1）定义法：作出直线与平面所成的角并证明，然后在直角三角形中计算可得；（2）向量法：建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦的绝对值等于直线与平面所成角的正弦值计算．16．【分析】作于于可得等于二面角的平面角从而可得然后求得而因此可得是异面直线与所成角（或补角）这样在求解可得【详解】如图作于于则连接根据二面角平面角的定义知与的夹角等于二面角的平面角所以因为所以设则在矩解析：12．【分析】作DM AC ⊥于M ，BN AC ⊥于N ，可得,MD NB '<>等于二面角D AC B '--的平面角，从而可得DMD '∠，然后求得DD '，而//AB CD ，因此可得D CD '∠是异面直线D C '与AB 所成角（或补角）．这样在DCD '求解可得．【详解】如图，作DM AC ⊥于M ，BN AC ⊥于N ，则//DM BN ，连接,D M DD ''，根据二面角平面角的定义知MD '与NB 的夹角等于二面角D AC B '--的平面角，所以,3MD NB π'<>=，因为//DM BN ，所以23DMD π'∠=，设1BC =，则22AB BC ==ABCD 中，3AC =1263DM ⨯==， 63D M DM '==，则222222666612cos 22333332DD DM D M DM D M π⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+-⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2DD '=，因为//AB CD ，所以D CD '∠是异面直线D C '与AB 所成角（或补角）．DCD '是正三角形，3D CD π'∠=，1cos 2D CD '∠=．所以异面直线D C '与AB 所成角余弦值是12．故答案为：12．【点睛】关键点点睛：本题考查求异面直线所成的角，解题方法根据异面直线所成角定义作出它们所成的角，然后解三角形可得，解题关键是利用图中MD '与NB 的夹角等于二面角D AC B '--的平面角，从而求得DMD '∠，只要设1BC =，可求得DD '，从而求得结论．17．【分析】连接延长交于则是中点可得是二面角的平面角求出可得结论【详解】由已知是中心连接延长交于则是中点连接则而∴平面平面∴∴是二面角的平面角由对称性又由平面平面得∴故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考 3 【分析】连接DO 延长交BC 于E ，则E 是BC 中点，可得MEO ∠是二面角M BC O --的平面角．求出,ME OE 可得结论．【详解】由已知O 是BCD △中心，连接DO 延长交BC 于E ，则E 是BC 中点，连接AE ，则BC AE ⊥，BC DE ⊥，而AEDE E =，∴BC ⊥平面AED ，ME ⊂平面AED ，∴BC ME ⊥，∴MEO ∠是二面角M BC O --的平面角．2BC =，90BMC ︒∠=，由对称性2BM CM ==，112ME BC ==，又1133233EO DE ==⨯⨯=，由AO ⊥平面BCD ，EO ⊂平面BCD ，得AO EO ⊥， ∴3cos 3EO MEO ME ∠==．故答案为：33．【点睛】关键点点睛：本题考查求二面角，解题关键是作出二面角的平面角．这可根据平面角的定义作出（并证明），然后在直角三角形中求角即得．注意一作二证三计算三个步骤．18．【分析】分别取棱的中点连接易证平面平面由题意知点必在线段上由此可判断在或处时最长位于线段中点处时最短通过解直角三角形即可求得【详解】如下图所示连分别为所在棱的中点则又平面平面平面四边形为平行四边形又解析：[32,25]【分析】分别取棱1BB 、11B C 的中点M 、N ，连接MN ，易证平面1//A MN 平面AEF ，由题意知点P 必在线段MN 上，由此可判断P 在M 或N 处时1A P 最长，位于线段MN 中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．【详解】如下图所示，连MN ，EF ，1A D ，EMM ，N ，E ，F 分别为所在棱的中点，则1//MN A D ，1//EF A D ，//EF MN ∴，又MN ⊂平面1C EF ，EF ⊂平面1C EF ，//MN ∴平面1C EF ．11//,C C EM C C EM =， ∴四边形1C CME 为平行四边形，1//C E CM ，又CM ⊄平面1C EF ，1C E ⊂平面1C EF ，//CM ∴平面1C EF ，又NMCM M =，∴平面//NMC 平面1C EF ．P 是侧面四边形ADD 1A 1内一动点，且C 1P ∥平面CMN ， ∴点P 必在线段EF 上．在Rt △11C D E 中，222211114225C E C D D E =+=+=同理，在Rt △11C D F 中，可得125C F =，∴△1C EF 为等腰三角形．当点P 为EF 中点O 时，1C P EF ⊥，此时1C P 最短；点P 位于,E F 处时，1C P 最长．()222211(25)232C O C E OE =-=-=1125C E C F ==∴线段1C P 长度的取值范围是[32,25]．故答案为：[32,25] 【点睛】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P 点位置．19．【分析】根据四面体是球的内接四面体结合位置关系可得棱锥的形状以及棱长之间的关系利用体积公式即可代值计算【详解】设该球的半径为R 则AB ＝2R2ACAB2R ∴ACR 由于AB 是球的直径所以△ABC 在大圆所解析：【分析】根据四面体是球的内接四面体，结合位置关系，可得棱锥的形状，以及棱长之间的关系，利用体积公式即可代值计算. 【详解】设该球的半径为R ，则AB ＝2R ，2AC ==2R ， ∴AC=，由于AB 是球的直径，所以△ABC 在大圆所在平面内且有AC ⊥BC ，在Rt △ABC 中，由勾股定理，得：BC 2＝AB 2﹣AC 2＝R 2，所以R t △ABC 面积S 12=⨯BC ×AC =2，又PO ⊥平面ABC ，且PO ＝R ，四面体P ﹣ABC 的体积为32，∴VP ﹣ABC 13=⨯R R 232=3＝9，R 3＝所以：球的体积V 43=⨯πR 343=⨯=．故答案为：. 【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，属基础题；本题的重点是要根据球心的位置去推导四面体的几何形态，从而解决问题.20．【分析】先在等边三角形中求出外接圆半径从而可求该三棱锥的外接球的半径【详解】详解：因为所以为等边三角形所以等边外接圆的半径为如图三棱锥外接球球心为半径为设球心到平面的距离为外接圆圆心为连接则平面取中【分析】先在等边三角形ABC 中求出BC =，外接圆半径2r ，从而可求该三棱锥的外接球的半径. 【详解】详解：因为060AB AC BAC ==∠=，所以ABC 为等边三角形，所以BC =ABC 外接圆的半径为23r，如图，三棱锥P ABC -外接球球心为O ，半径为R ，设球心O 到平面ABC 的距离为d ，ABC 外接圆圆心为'O ，连接,','AO AO OO ，则'OO ⊥平面ABC ，取PA 中点,D OP OA =，所以OD PA ⊥，又PA ⊥平面ABC ，所以//PA OO '，则四边形'ADOO 是矩形，所以在PDO △和'OAO △中，由勾股定理可得()222222222R d R d ⎧=+⎪⎨=+-⎪⎩，解得：1,5d R ==. 故答案为：5.【点睛】本题主要考查了三棱锥外接球的表面积，其中根据几何体的结构特征和球的性质，求得三棱锥的外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力.三、解答题21．（1）4；（2）60︒；（33【分析】（1）根据棱锥的体积公式求解即可；（2）作辅助线，利用平行得出异面直线1CB 与1AC 所成角就是COE ∠，再结合等边三角形的性质得出夹角；（3）过C 作1CF AC ⊥于点F ，连接,CF BF ，由11,CF AC BF AC ⊥⊥结合定义得出二面角1B AC C --的平面角，再由直角三角形的边角关系得出平面角的余弦值. 【详解】（1）三棱柱111ABC A B C -的体积1122242ABC V SCC ⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭（2）记1BC 与1B C 的交点为O ，作AB 的中点E ，连接,OE CE ，异面直线1CB 与1AC 所成角就是COE ∠2CO OE CE ===60COE ︒∴∠=（3）过C 作1CF AC ⊥于点F ，连接,CF BF11,CF AC BF AC BFC ⊥⊥⇒∠为所求角3tan 2,cos 32BC BFC BFC FC ∠===∠=【点睛】关键点睛：在求异面直线的夹角时，关键是利用中位线定理得出平行，从而得出异面直线的夹角.22．（1）证明见解析；（2）105. 【分析】（1）由PA ⊥底面ABCD ，得PA DE ⊥，由Rt ABH Rt DAE ≌△△，得DE AH ⊥，可得答案.（2）由可知DE ⊥平面PAH ，连接PG ，则DPG ∠即为直线PD 与平面PAH 所成线面角，在Rt PDG △中，由sin DPG ∠可得答案. 【详解】（1）因为PA ⊥底面ABCD ，DE ⊂底面ABCD ，所以PA DE ⊥，因为E ，H 分别为正方形ABCD 的边AB ，BC 的中点，,,AB DA BH AE HBAEAD ，所以Rt ABH Rt DAE ≌△△，所以BAH ADE ∠=∠，由90AED ADE ∠+∠=所以90BAH AED ∠+∠=，所以DE AH ⊥，因为PA ⊂平面PAH ，AH ⊂平面PAH ，PA AH A ⋂=，所以DE ⊥平面PAH .（2）由（1）可知DE ⊥平面PAH ，设AH DE G ⋂=，如图，连接PG ，则DPG ∠即为直线PD 与平面PAH 所成线面角，因为2PA AD ==，所以22PD =，5DE =，在Rt DAE 中，由于AG DE ⊥，所以2AD DG DE =⋅，所以45DG =⋅，所以5DG =，所以在Rt PDG △中，105sin 22DG DPG PD ∠===，即直线PD 与平面PAH 所成线面角的正弦值为10.【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、线面角的求法，对于线面角的求法的步骤,作：作（或找）出斜线在平面上的射影，证：证明某平面角就是斜线与平面所成的角；算：通常在垂线段、斜线段和射影所组成的直角三角形中计算. 23．（1）证明见解析；（2）73）存在；12PF PB =．【分析】（1）首先证明BE AD ⊥，再由面面垂直的性质定理可得BE ⊥平面PAD ，即证. （2）连结PE ，以E 为坐标原点，EP ，EA ，EB 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，(0,3,0)EB a =是平面PAD 的一个法向量，再求出平面PCD 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.（3）根据题意可得EF 与平面PCD 的法向量垂直，假设线段PB 上存在点F 使得//EF 平面PCD ，再利用向量的数量积即可求解. 【详解】解：（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以AB AD =．。

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2017届北京市海淀区高三下学期期中考试数学理卷
18.已知函数2()24(1)ln(1)f x x ax a x =-+-+，其中实数3a <．
（Ⅰ）判断1x =是否为函数()f x 的极值点，并说明理由；
（Ⅱ）若()0f x ≤在区间[]0,1上恒成立，求a 的取值范围．
19.已知椭圆G ：2
212
x y +=，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点1F ，且与椭圆G 相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C ，D 两点．
（Ⅰ）若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率；
（Ⅱ）是否存在直线l ，使得2||||||AM CM DM =⋅成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
西城区高三统一测试
18．（本小题满分13分）已知函数21()e 2
x f x x =-．设l 为曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线，其中0[1,1]x ∈-．
（Ⅰ）求直线l 的方程（用0x 表示）；
（Ⅱ）设O 为原点，直线1x =分别与直线l 和x 轴交于,A B 两点,求△AOB 的面积的最小值．
19．（本小题满分14分）
如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，F 为椭圆C 的右焦点．(,0)A a -，||3AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ．直线OM 与直线4x =交于点D ，过O
且平行于AP 的直线与直线4x =交于点E ．求证：ODF OEF ∠=∠．
2017年南通市高考数学全真模拟试卷一
13.已知角,αβ满足tan 7tan 13
αβ=，若2sin()3αβ+=，则sin()αβ-的值为． 14.将圆的六个等分点分成相同的两组，它们每组三个点构成的两个正三角形除去内部的六条线段后可以形成一个正六角星.如图所示的正六角星的中心为点O ，其中,x y 分别为点O 到两个顶点的向量.若将点O 到正六角星12个顶点的向量都写成ax by +的形式，则a b +的最大值为．
18.已知椭圆:C 22
31mx my +=(0)m >
的长轴长为，O 为坐标原点.
（1）求椭圆C 的方程和离心率.
（2）设点(3,0)A ，动点B 在y 轴上，动点P 在椭圆C 上，且点P 在y 轴的右侧.若BA BP =，求四边形OPAB 面积的最小值.
19.已知函数32()f x ax bx cx b a =-++=(0)a >.
（1）设0c =.
①若a b =，曲线()y f x =在0x x =处的切线过点(1,0)，求0x 的值；
②若a b >，求()f x 在区间[0,1]上的最大值. （2）设()f x 在1x x =，2x x =两处取得极值，求证：11()f x x =，22()f x x =不同时成立. 13.1
5
-14.5 18.（1）由题意知椭圆:C 22
111
3x y m m
+=，所以21a m =，213b m
=，
故2a ==，解得16m =
，所以椭圆C 的方程为22
162
x y +=.
因为2c ==，
所以离心率c e a =
=. （2）设线段AP 的中点为D .
因为BA BP =，所以BD AP ⊥.
由题意知直线BD 的斜率存在，
设点P 的坐标为000(,)(0)x y y ≠，
则点D 的坐标为003(,)22x y +，直线AP 的斜率003
AP y k x =-，所以直线BD 的斜率00
31BD AP x k k y -=-=，故直线BD 的方程为000033()22
y x x y x y -+-=-. 令0x =，得2200092x y y y +-=，故22000
9(0,)2x y B y +-. 由2200162
x y +=，得220063x y =-，化简得202023(0,)2y B y --.
因此，OAP OAB OPAB S S S ∆∆=+四边形
=．当且仅当0032||2||y y =
时，即0[y =时等号成立．故四边形OPAB
面积的最小值为
19.解：（1）当0c =时，32
()f x ax bx b a =-+-. ①若a b =，则32
()f x ax ax =-，从而2
'()32f x ax ax =-，故曲线()y f x =在0x x =处的切线方程为3200()y ax ax --=2000(32)()ax ax x x --.
将点(1,0)代入上式并整理得200(1)x x -=000(1)(32)x x x --，
解得00x =或01x =.
②若a b >，则令2'()320f x ax bx =-=，解得0x =或213b x a
=<. （ⅰ）若0b ≤，则当[0,1]x ∈时，'()0f x ≥，
所以()f x 为区间[0,1]上的增函数，
从而()f x 的最大值为(1)0f =.
（ii ）若0b >，列表：
所以()f x 的最大值为(1)0f =.
综上，()f x 的最大值为0.
（2）假设存在实数,,a b c ，使得11()f x x =与22()f x x =同时成立.
不妨设12x x <，则12()()f x f x <.
因为1x x =，2x x =为()f x 的两个极值点，
所以2'()32f x ax bx c =-+123()()a x x x x =--.
因为0a >，所以当12[,]x x x ∈时，'()0f x ≤，
故()f x 为区间12[,]x x 上的减函数，
从而12()()f x f x >，这与12()()f x f x <矛盾，故假设不成立.
既不存在实数a ，b ，c ，使得11()f x x =，22()f x x =同时成立.
深圳市2017年高三年级第二次调研考试
（12）设实数0λ>，若对任意的()0,x ∈+∞，不等式ln 0x x e λλ
-≥恒成立，则λ的最小值为() （A ）1e （B ）12e （C ）2e （D ）3
e （20）（本小题满分12分）
平面直角坐标系中，动圆C 与圆()22114x y -+=外切，且与直线12
x =-相切，记圆心C 的轨迹为曲线T .
（Ⅰ）求曲线T 的方程；
（Ⅱ）设过定点(),0Q m (m 为非零常数)的动直线l 与曲线T 交于A 、B 两点，问：在曲线T 上是否存在点P （与A 、B 两点相异），当直线P A 、PB 的斜率存在时，直线P A 、PB 的斜率之和为定值.
若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
（21）（本小题满分12分）
已知函数()()222
x a f x x e x =--，其中a R ∈,e 为自然对数的底数. （Ⅰ）函数()f x 的图象能否与x 轴相切？若能与x 轴相切，求实数a 的值；否则，请说明理由；
（Ⅱ）若函数()2y f x x =+在R 上单调递增，求实数a 能取到的最大整数值．。