广东省深圳外国语学校2008届高三第三次质量检测数学(文科)试题

广东省深圳外国语学校2008届高三第三次质量检测数学(文科)试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分， 第Ⅰ卷为1－10题，共50分，第Ⅱ卷为11－21题，共100分.全卷共计150分。

考试时间为120分钟. 注意事项：参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅球的表面积公式 24πS R = 球的体积公式 34π3V R =其中R 表示球的半径 第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．Ｍ＝{}4|2<x x ，Ｎ＝{}032|2<--x x x ，则集合Ｍ Ｎ＝( ). A.{2|-<x x } B.{3|>x x } C.{21|<<-x x } D. {32|<<x x }2. 复数2(2)(1)12i i i+--的值是( ).A ．2 B. 2- C. 2i D. 2i -3. 已知||3a = ，||5b =，12a b =，则向量a 在向量b 上的投影为（ ）.A 12BCD4. 方程2sin 2sin 0x x a --=x R ∈在上有解，则a 的取值范围是（ ）.A ．[)+∞-,1B ．),1(+∞-C ．]3,1[-D ．[)3,1-5．“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的（ ）A 充分必要条件B 充分而不必要条件C 必要而不充分条件D 既不充分也不必要条件6. 等差数列{}n a 中，n S 是前n 项和，且k S S S S ==783,，则k 的值为( ).A.4 B 11 C.2 D 127. 为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象( ).A.向右平移6π个单位 B.向右平移3π个单位 C.向左平移6π个单位 D.向左平移3π个单位8.若椭圆2215x y m +=的离心率5e =,则m 的值为( ). A.13或2539. 在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，则点1C 到平面1B EF 的距离是( ).A.332 B.322 C.32D.3410．10.定义A D D C C B B A ****,,,的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A ）、（B ）所对应的运算结果可能是（1） （2） （3） （4） （A ） （B ） A.D A D B **, B.C A D B **, C.D A C B **, D.D A D C **,第Ⅱ部分（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分，其中14，15题是选做题，考生只能选做一题,，若两题全都做的，只计算前一题的得分． 11. 函数()212log 2y x x =-的单调递减区间是 .12.甲、乙两人独立的解决一个问题，甲能解决这个问题的概率为0.6，乙能解决这个问题的概率为0.7，那么甲乙两人中至少有一人解决这个问题的概率是 .13．设x 、y 满足条件310x y y x y +≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩，则22(1)z x y =++的最.14．(坐标系与参数方程选做题)自极点O 向直线l 做垂线，垂足为(2,)3H π，则直线l 的极坐标方程是 .15．(几何证明选讲选做题)已知圆的直径13AB =，C 为圆上一点，过C 作CD AB ⊥于D（AD BD >），若6CD =，则AD 的长为.A B 1BC 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分) 在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若AB ，求BC 边的长17．（本小题满分13分）如图,在直三棱柱111ABC A B C -中, 3AC =, 4BC =, 5AB =,14AA =, 点D 是AB 的中点.(1)求证:1AC BC ⊥; (2)求证:1AC ∥平面1CDB .18.(本小题满分13分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n S n n N n*∈均在函数32y x =-的图像上.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设13+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m .19.(本小题满分14分)已知圆C 过点(0,)A a (0)a >, 且在x 轴上截得的弦MN 的长为2a .(1) 求圆C 的圆心的轨迹方程； (2) 若45MAN ∠=, 求圆C 的方程. 20.(本小题满分14分）已知函数2()(0,0)f x ax bx c a bc =++>≠,()0,,()()0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩ （Ⅰ）若函数)(x f 的最小值是(1)0f -=，且(0)1f =，求(2)(2)F F +-的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，k x x f +>)(在区间[3,1]--恒成立，试求k 的取值范围；（Ⅲ）令()2g x ax b =+,若(1)0g =,又()f x 的图象在x 轴上截得的弦的长度为m ，且02m <≤，试确定c b -的符号.21.(本小题满分14分）已知函数2221()()1ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值．A B 1BC 广东省深圳外国语学校2008届高三第三次质量检测数学(文科)试题参考答案二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分，其中14，15题是选做题，考生只能选做一题,，若两题全都做的，只计算前一题的得分． 11.(2,+∞) 12.0.88 13. 4 14.cos()23πρθ-= 15. 9三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）∵ π()C A B =-+， ………………1分∴ 1345tan tan()113145C A B +=-+=-=--………………4分 又 ∵ 0πC <<， ∴ 3π4C = (5)分（Ⅱ）由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，…………………7分得sin A =…………………………9分 由正弦定理sin sin AB BC C A =， 得sin sin ABC AB C== ……………………12分 17．（本小题满分13分）证明: (1) ∵ 三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱, ∴ 1C C ⊥平面ABC , ∴1C C AC ⊥, ∵ 3AC =, 4BC =, 5AB =, ∴ 222AC BC AB +=,∴ AC BC ⊥, 又 1CC BC C ⋂=,∴ AC ⊥平面11CC B B ,∴ 1AC BC ⊥ ……………………………………7分(2) 令1BC 与1CB 的交点为E , 连结DE .∵ D 是AB 的中点, E 为1BC 的中点, ∴ DE ∥1AC . 又 ∵1AC ⊄平面1CDB , DE ⊂平面1CDB , ∴1AC ∥平面1CDB . ………………………13分 18.(本小题满分13分) 解: (1) 由题意得 32nS n n=- , 即 232n S n n =-,…………………1分 当2n ≥时,22132[3(1)2(1)]65n n n a S S n n n n n -=-=-----=-,…………4分当1n =时, 111615a S ===⨯-, ………………5分 ∴ 165()n n n a S S n n N *-=-=-∈, ……………………6分 (2) 由(1)得133111()(65)(61)26561n n n b a a n n n n +===--+-+,…………………8分 ∴ 111111[(1)()()]277136561n T n n =-+-++--+ 11(1)261n =-+ . ……………………11分 因此,使得11(1)()26120m n N n *-<∈+成立的m 必须且只需满足1220m≤, 即10m ≥,故满足要求的的最小正整数10m =………………13分19.(本小题满分14分)解: (1)设圆C 的圆心为,)(y C x ,依题意圆的半径r =……………… 2分∵ 圆C 在x 轴上截得的弦MN 的长为2a . ∴ 222||y a r +=故 2222()||x y a y a +-=+ ………………………… 4分 ∴ 22x ay =∴ 圆C 的圆心的轨迹方程为22x ay = ………………… 6分 (2) ∵ 45MAN ∠=, ∴ 90MCN ∠=……………………… 9分令圆C 的圆心为00(,)x y , 则有2002x ay = (00y ≥) ,…………… 10分又 ∵ 01||2y MN a == …………………… 11分∴ 0x = ……………………… 12分∴ r == ……………………… 13分∴ 圆C 的方程为 222()()2x y a a +-= …………………… 14分 21.(本小题满分14分)解：（Ⅰ）由已知.12,0,1-=-=+-=abc b a c 且 解得1a =，2b =， …………………2分∴ 2()(1)f x x =+ , ∴ 22(1),(0)()(1),(0),x x F x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩ (4)分∴ 22(2)(2)(21)[(21)]8F F +-=++--+=. ……………………5分（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，k x x f +>)(在区间[3,1]--恒成立,即210x x k ++->在区间[3,1]--恒成立,从而12++<x x k 在区间[3,1]--上恒成立，…………………8分 令函数2()1p x x x =++,则函数2()1p x x x =++在区间[3,1]--上是减函数，且其最小值min ()(1)1p x p =-=，∴ k 的取值范围为(,1)-∞…………………………10分（Ⅲ）由(1)0g =，得20a b +=，∵ 0a > ∴20b a =-<,………………11分 设方程0)(=x f 的两根为21,x x ，则122bx x a+=-=,12c x x a =,∴12||m x x =-=∵ 02m <≤， ∴ 01<≤, ∴01c a ≤<，∵ 0a >且0bc ≠， ∴ 0c >，∴ 0c b ->……………14分 21.(本小题满分14分)解: （Ⅰ）解：当1a =时，22()1x f x x =+，4(2)5f =，……………1分又22222222(1)422()(1)(1)x x x f x x x +--'==++，则6(2)25f '=-．…………………3分 所以，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为46(2)525y x -=--， 即625320x y +-=．……………4分（Ⅱ）解：2222222(1)2(21)2()(1)()(1)(1)a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==++．…………6分 由于0a ≠，以下分两种情况讨论．（1）当0a >时，令()0f x '=，得到11x a=-，2x a =,当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：所以()f x 在区间a ⎛⎫--⎪⎝⎭，∞,()a +，∞内为减函数，在区间a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为增函数 故函数()f x 在点11x a =-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，函数()f x 在点2x a =处取得极大值()f a ，且()1f a =．…………………10分（2）当0a <时，令()0f x '=，得到121x a x a==-，，当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：所以()f x 在区间()a -，∞,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，+∞内为增函数，在区间a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为减函数．函数()f x 在1x a =处取得极大值()f a ，且()1f a =．函数()f x 在21x a =-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．………………14分。