原卷无答案：2019年上海市普陀区高三高考三模数学试题
上海市普陀区2019届高三三模考试数学试题含答案
2019年上海普陀区高考数学三模试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.已知全集，集合，则______.2.四个数据：1，3，3，5的标准差是______.3.已知函数偶函数，且，则______.4.抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的横坐标是______. 是5.已知一个半球的俯视图是半径为1的圆，则半球的表面积为______.6.对数不等式的解集是，则实数的值为______.7.若无穷等比数列的各项和为2，则首项的取值范围为______.8.已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．9.已知关于的实系数方程的两虚数根为、，且满足，则的值为______.10.从集合中任取两个数，欲使取到的一个数大于，另一个数小于（其中）的概率是，则__.11.若，，，且，，则的值为______．12.已知，函数的图像的两个端点分别为、，设是函数图像上任意一点，过作垂直于轴的直线，且与线段交于点，若恒成立，则的最大值是______.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.已知与均为单位向量，其夹角为，则命题：是命题：的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件14.设，则的值为（）A. 2B. 0C.D. 115.已知，是关于的方程的两个实数根，则经过两点，的直线与双曲线公共点的个数是（）A. 2B. 1C. 0D. 不确定16.在平面上，，，.若，则的取值范围是( )A. B.C. D.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17.如图，已知正方体的棱长为2，、、分别为棱、、的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）求直线与平面所成角的大小.18.在中，角、、所对的边分别为、、.（1）若，，求面积的最大值；（2）若，试判断的形状.19.某城市自2014年至2019年每年年初统计得到的人口数量如表所示.（1）设第年的人口数量为（2014年为第1年），根据表中的数据，描述该城市人口数量和2014年至2018年每年该城市人口的增长数量的变化趋势；（2）研究统计人员用函数拟合该城市的人口数量，其中的单位是年.假设2014年初对应，的单位是万.设的反函数为，求的值（精确到0.1），并解释其实际意义.20.给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“伴椭圆”，若椭圆的一个焦点为，其短轴上一个端点到的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作椭圆的“伴随圆”的动弦，过点、分别作“伴随圆”的切线，设两切线交于点，证明：点的轨迹是直线，并写出该直线的方程；（3）设点是椭圆的“伴随圆”上的一个动点，过点作椭圆的切线、，试判断直线、是否垂直？并说明理由.21.对于无穷数列，“若存在，必有”，则称数列具有性质.（1）若数列满足，判断数列是否具有性质？是否具有性质？（2）对于无穷数列，设，求证：若数列具有性质，则必为有限集；（3）已知是各项均为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，是否存在正整数，，使得，，，…，，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.2019年上海普陀区高考数学三模试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.已知全集，集合，则______.【答案】.【解析】【分析】利用补集的概念得答案.【详解】因为全集，集合，所以，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，涉及到的知识点有求已知集合的补集，属于简单题目.2.四个数据：1，3，3，5的标准差是______.【答案】.【解析】【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出方差，再求出其算术平方根即为标准差.【详解】这组数据的平均数是：，方差为，标准差为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关求一组数据的标准差的问题，正确使用公式是解题的关键，属于简单题目.3.已知函数偶函数，且，则______.【答案】5.【解析】【分析】设，利用函数的奇偶性建立方程即可得结果.【详解】因为是偶函数，所以设，则，即，因为，所以，即，故答案是：5.【点睛】该题考查的是有关根据条件求函数值的问题，涉及到的知识点有偶函数的定义和性质，以及整体思维的应用，属于简单题目.4.抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的横坐标是______.【答案】【解析】试题分析：．考点：抛物线及其性质．5.已知一个半球的俯视图是半径为1的圆，则半球的表面积为______.【答案】.【解析】【分析】根据一个半球的俯视图是半径为1的圆，可以确定该半球对应的球的半径为1，结合半球的表面积由半球面和一个大圆的面积和求得结果.【详解】因为一个半球的俯视图是半径为1的圆，所以该半球对应的球的半径为1，所以该半球的表面积为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关半球的表面积的问题，涉及到的知识点有俯视图，表面积公式，属于简单题目.6.对数不等式的解集是，则实数的值为______.【答案】2.【解析】【分析】先解出不等式，再结合已知解集，可得结果.【详解】将对数不等式两边同时乘以，得，即，所以此不等式的解为：或，因为其解集为，所以，故答案是：2.【点睛】该题考查的是有关根据不等式的解集求参数值的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法和对数不等式的解法，属于简单题目.7.若无穷等比数列的各项和为2，则首项的取值范围为______.【答案】.【解析】【分析】首先根据无穷等比数列的各项和为2，可以确定其公比满足，利用等比数列各项和的公式得到，得到，分和两种情况求得的取值范围，得到结果.【详解】因为无穷等比数列的各项和为2，所以其公比满足，且，所以，当时，，当时，，所以首项的取值范围为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关等比数列各项和的问题，涉及到的知识点有等比数列存在各项和的条件，各项和的公式，注意分类讨论，属于简单题目.8.已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．【答案】【解析】试题分析：，由正弦定理得.考点：解三角形，三角形外接圆.9.已知关于的实系数方程的两虚数根为、，且满足，则的值为______.【答案】5.【解析】【分析】首先利用求根公式将两根和求出来，之后求得，最后利用复数模的公式，求得的值.详解】解方程，可得，所以，所以，【所以，解得，故答案是：5.【点睛】该题考查的是有关实系数方程的根求解问题，涉及到的知识点有求根公式的应用，复数模的公式，属于简单题目.10.从集合中任取两个数，欲使取到的一个数大于，另一个数小于（其中）的概率是，则__.【答案】4或7.【解析】【分析】先求出所有的基本事件有45种，再求出取到的一个数大于，另一个数小于的基本事件有种，根据古典概型概率公式即可得到关于的方程解得即可.【详解】从集合中任取两个数的基本事件有种，取到的一个数大于，另一个数小于，比小的数有个，比大的数有个，故一共有个基本事件，由题意可得，即，整理得，解得或，故答案是：4或7.【点睛】该题考查的是有关古典概型概率求解问题，涉及到的知识点有实验对应的基本事件数的求解，古典概型概率公式，属于简单题目.11.若，，，且，，则的值为______．【答案】【解析】【分析】首先对所给的方程进行恒等变形，然后结合函数的单调性和角度的范围求得的值，然后求解三角函数值即可.【详解】∵，∴(−2β)3−2sinβcosβ−2λ=0，即(−2β)3+sin(−2β)−2λ=0.由可得.故−2β和是方程x3+sinx−2λ=0的两个实数解.再由，，，所以和的范围都是，由于函数x3+sinx在上单调递增，故方程x3+sinx−2λ=0在上只有一个解，所以，，∴，则的值为.【点睛】本题主要考查函数的单调性，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知，函数的图像的两个端点分别为、，设是函数图像上任意一点，过作垂直于轴的直线，且与线段交于点，若恒成立，则的最大值是______.【答案】.【解析】【分析】由的坐标可以将直线的方程找到，通过点的坐标可以得到的坐标，将其纵坐标作差可以得到关于的不等式，通过求范围可以将绝对值去掉，由基本不等式可以得到的最大值.【详解】因为，，所以，所以直线的方程为，设，所以，因为恒成立，所以恒成立，所以，因为在时小于等于0恒成立，所以，①当或时，显然成立；②当时，，所以由基本不等式得，此时，所以的最大值为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关根据恒成立求对应参数的取值范围的问题，在解题的过程中，主意对题中条件的转化，应用基本不等式求最值，属于较难题目.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.已知与均为单位向量，其夹角为，则命题：是命题：的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件【答案】C【解析】【分析】根据向量模长与向量数量积的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】由得，即，因为与均为单位向量，所以，即，则，即成立，反之，当时，，，从而可以得到，所以是的充要条件，故选C.【点睛】该题考查的是有关充分必要条件的问题，涉及到的知识点有向量的模的平方与向量的平方是相等的，单位向量的模为1，向量夹角的余弦公式，属于简单题目.14.设，则的值为（）A. 2B. 0C.D. 1【答案】C【解析】【分析】分别令和即可求得结果.【详解】令，可得：令，可得：本题正确选项：【点睛】本题考查二项展开式系数和的相关计算，关键是采用赋值的方式构造出所求式子的形式.15.已知，是关于的方程的两个实数根，则经过两点，的直线与双曲线公共点的个数是（）A. 2B. 1C. 0D. 不确定【答案】D【解析】【分析】首先根据韦达定理，得到两根和与两根积，利用斜率坐标公式求得，利用点斜式将直线方程写出来，从而确定出直线过定点，再由判别式大于零，求得的范围，进而得到直线与双曲线焦点的个数有1个或两个，从而得到结果.【详解】因为，是关于的方程的两个实数根，所以，且，，又因为，所以直线的方程为：，即，即，即，所以直线恒过点，因为方程的两个实数根，所以，解得或，因为直线过点，且斜率为，所以当时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点，其余情况都有两个交点，所以直线与双曲线的交点的个数是不确定的，故选D.【点睛】该题考查的是有关判定直线与双曲线交点个数的问题，涉及到的知识点有直线的斜率公式，直线过定点问题，过某个点的直线与双曲线的交点个数，属于较难题目.16.在平面上，，，.若，则的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先由0得，再由推理得，再计算2－，最后根据推理得的取值范围.【详解】∵，∴＝＝0，∴.∵，∴，∴. ∴，∵，∴＋2＝2＋＋2(－)＝2－，∵，∴0≤，∴0≤，∴，即||∈.故答案：D【点睛】(1)本题主要考查向量的运算和向量的数量积的计算，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题关键的地方有两点，其一是由0得，其二是由推理得，本题属于难题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17.如图，已知正方体的棱长为2，、、分别为棱、、的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）求直线与平面所成角的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）观察分析几何体的特征，利用椎体的体积公式求得结果；（2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用向量所成角的余弦值求得线面角的正弦值，利用反正弦求得结果.【详解】（1）根据题意，可得；（2）如图建立空间直角坐标系，则有，所以，，设平面的法向量为，所以有，即，取，则有，所以平面的一个法向量为，所以，所以求直线AB与平面PQR所成角的正弦值是，所以直线AB与平面PQR所成角的大小为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有椎体的体积，应用空间向量求线面角的正弦值，利用反三角表示角的大小，属于简单题目.18.在中，角、、所对的边分别为、、.（1）若，，求面积的最大值；（2）若，试判断的形状.【答案】（1）；（2）直角三角形或等腰三角形.【解析】【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，将，代入，整理后利用基本不等式求出的最大值，即可确定出三角形面积的最大值；（2）根据三角形内角和定理，得到，代入已知等式，展开化简合并，得，最后讨论当时与时，分别对的形状加以判断，可以得到结论.【详解】（1）因为，，所以由余弦定理得：，即，整理得，因为，所以，即，所以，当且仅当时取等号，则的最大值为.（2）由，所以，化简得，即，所以或，因为与都为三角形内角，所以或，所以是直角三角形或等腰三角形.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，利用基本不等式求最值，三角形的面积公式，三角形形状的判断，属于简单题目.19.某城市自2014年至2019年每年年初统计得到的人口数量如表所示.（1）设第年的人口数量为（2014年为第1年），根据表中的数据，描述该城市人口数量和2014年至2018年每年该城市人口的增长数量的变化趋势；（2）研究统计人员用函数拟合该城市的人口数量，其中的单位是年.假设2014年初对应，的单位是万.设的反函数为，求的值（精确到0.1），并解释其实际意义.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据表中的数据可得从2014年到2019年人口增加的数量，逐年增多，从2017年后，增加的人数逐年减少，但人口总数是逐年增加的；（2）根据函数的表达式，以及反函数的定义，代值计算即可.【详解】（1），，，，，由上述计算可知，该地区2014年至2019年每年人口增长数量呈先增后减的变化趋势，每一年任可总数呈逐渐递增的趋势；（2）因为为单调递减函数，则为单调递增函数，则，代入，解得，即，其实际意义为：可根据数学模型预测人口数量增长规律，及提供有效依据，到2022年人口接近2440万. 【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有利用表格判断其变化趋势，利用题中所给的函数解析式，计算相关的量，反函数的定义，属于中档题目.20.给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“伴椭圆”，若椭圆的一个焦点为，其短轴上一个端点到的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作椭圆的“伴随圆”的动弦，过点、分别作“伴随圆”的切线，设两切线交于点，证明：点的轨迹是直线，并写出该直线的方程；（3）设点是椭圆的“伴随圆”上的一个动点，过点作椭圆的切线、，试判断直线、是否垂直？并说明理由.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得，，则，从而得到椭圆C的方程；（2）根据题意，求得，分直线的斜率存在与不存在两种情况，将斜率存在时求得的直线，对斜率不存在时求得的点P的坐标进行检验，最后求得结果.（3）讨论当P在直线上时，设出直线方程，联立椭圆方程，消去，得到关于的方程，运用判别式为0，化简整理，得到关于的方程，求出连根之积，判断是否为，即可判断垂直.【详解】（1）依题意得：，所以，所以椭圆方程为：；（2）由题意可得伴随圆的方程为，点为，所以，当过点P的直线斜率不存在时，则，可求得，此时，当过点P的直线斜率存在时，设直线方程为：，设，，则经过各自的切线方程为：，把代入，解得，消，得到，当不存在时，也满足方程，所以点的轨迹是一条直线，且方程为；（3）当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因与椭圆只有一个公共点，则其方程为：，此时经过点或，则直线的方程为：，经检验，满足垂直关系；当斜率都存在时，设点，因为点P在伴随圆上，所以有，设经过点，且与椭圆只有一个公共点的直线方程为：，联立椭圆方程，，消化简得，因为相切，所以，即：，又因为，所以，所以，所以直线，从而得证.【点睛】该题考查的是与解析几何相关的创新的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，新定义的问题，圆的方程，直线与圆的位置关系，两直线垂直的条件，属于难题.21.对于无穷数列，“若存在，必有”，则称数列具有性质.（1）若数列满足，判断数列是否具有性质？是否具有性质？（2）对于无穷数列，设，求证：若数列具有性质，则必为有限集；（3）已知是各项均为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，是否存在正整数，，使得，，，…，，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）根据题中所给条件，利用定义判断可得数列不具有性质，具有性质；（2）根据数列具有性质，得到数列元素个数，从而证得结果；的（3）依题意，数列是各项为正数的数列，且既具有性质，又具有性质，可证得存在整数，使得是等差数列.【详解】（1）因为，，但，所以数列不具有性质，同理可得数列具有性质；（2）因为数列具有性质，所以一定存在一组最小的且，满足，即，由性质的含义可得，，，，所以数列中，从第项开始的各项呈现周期性规律：为一个周期中的各项，所以数列中最多有个不同的项，所以最多有个元素，即为有限集；（3）因为数列具有性质，又具有性质，所以存在，使得，其中分别是满足上述关系式的最小的正整数，由性质的含义可得，若，则取，可得，若，则取，可得，记，则对于，有，显然，由性质的含义可得：，所以，所以，又满足的最小的正整数，所以，，所以，所以，取，所以，若是偶数，则，若是奇数，则，所以，，所以是公差为1的等差数列.。
上海普陀区2019高三上年末质量抽测试题--数学(理)
上海普陀区2019高三上年末质量抽测试题--数学（理）一． 填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，要求直接将结果填写在答题纸的对应的空格，每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分、1.函数()22sin cos 22x x f x =-的最小正周期是 、 2.二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是 、〔请用数值作答〕3.函数y =的定义域是 、 4.设1e 与2e 是两个不共线的向量，1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-，那么当,,A B D 三点共线时，k = 、5.各项均为正数的等比数列{}n a中，131,1a a =那么此数列的各项和S = 、6.直线l 的方程为230x y --=，点()1,4A 与点B 关于直线l 对称，那么点B 的坐标为 、7.如图，该框图所对应的程序运行后输出的结果的值为 、8.假设双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点的坐标为)，那么该双曲线的标准方程为 、9.如图，需在一张纸上印上两幅大小完全相同，面积都是232cm 的照片，排版设计为纸上左右留空各3cm ，上下留空各2.5cm ，图间留空为1cm ，照此设计，那么这张纸的最小面积是 2cm 、10.给出问题：ABC ∆满足cos cos a A b B ⋅=⋅，试判断ABC ∆的形状，某学生的解答如下： ()()()()()22222222222222222222222222b c a a c b a b bc aca b c a b a c b a b c a b a b c a b +-+-⋅=⋅⇔+-=+-⇔-⋅=-+⇔=+故ABC ∆事直角三角形、〔ii 〕设ABC ∆外接圆半径为R ，由正弦定理可得，原式等价于2sin cos 2sin cos sin 2sin 2R A A R B B A B A B=⇔=⇔=故ABC ∆是等腰三角形、综上可知，ABC ∆是等腰直角三角形、请问：该学生的解答是否正确？假设正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；假设不正确，请在下面横线中写出你认为此题正确的结果 、11.数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，假设102020,60,S S ==那么3010S S = 、12.假设一个底面边长为2的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，那么此球的体积为 、13.用红、黄、蓝三种颜色分别去涂图中标号为1,2,3,…9的个9小正方形〔如右图〕，需满足任意相邻〔有公共边的〕小正方形涂颜色都不相同，且标号“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，那么符合条件的所有涂法中，恰好满足“1、3、5、7、9”为同一颜色，“2、4、6、8”为同一颜色的概率为 、14.设*,n n N a ∈表示关于x 的不等式12)45(log log 144-≥-⨯--n x x n 的正整数解的个数，那么数列{}n a 的通项公式n a = 、二、选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中，每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个〔无论是否都写在空格内〕，或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分、15.“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的 〔 〕A 、充分非必要条件； B.必要非充分条件； C.充要条件 D.既非充分也非必要条件16.设θ是直线l 的倾斜角，且cos 0a θ=<，那么θ的值为〔 〕A 、arccos a π-； B. arccos a C. arccos a - D. arccos a π+17.设全集为R ，集合22|14x M x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭3,|01x N x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，那么集合2231|24x x y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫++=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭可表示为 〔 〕A 、M N ⋃B 、M N ⋂C 、RC M N ⋂D 、R M C N ⋂A 、假设,,a m a n ⊥⊥,m n αα≠≠⊂⊂，那么a α⊥；B 、假设//,,a b b α≠⊂那么//a α；C 、假设,,//,//a b a b ββαα≠≠⊂⊂，那么//a β；D 、//,,,a a b βαγβγ⋂=⋂=那么//a b 、【三】解答题〔本大题总分值74分〕本大题共有5题，解答以下各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤、19、〔此题总分值12分〕函数()2,0f x kx k =+≠的图像分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，且22AB i j =+，函数()26g x x x =--、当满足不等式()()f x g x >时，求函数()()1g x y f x +=的最小值、20、〔此题总分值12分，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分〕如图，圆锥体SO 的侧面积为15π，底面半径OA 和OB 互相垂直，且3OA =，P 是母线BS 的中点、（1） 求圆锥体的体积；（2） 异面直线SO 与PA 所成角的大小〔结果用反三角函数表示〕21、〔本大题总分值14分，第1小题总分值7分，第2小题总分值7分〕ABC ∆中，1AC =，23ABC π∠=，设,BAC x ∠=计()f x AB BC =⋅ （1） 求()f x 的解析式及定义域； （2） 设()()61g x m f x =⋅+，是否存在实数m ，使函数()g x 的值域为31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦？所存在，求出m 的值；假设不存在，请说明理由、22、〔本大题总分值16分，第1小题总分值5分，第2小题总分值5分，第3小题总分值6分〕数列{}n a 是首项为2的等比数列，且满足12()n n n a pa n N *+=+∈（1） 求常数p 的值和数列{}n a 的通项公式；（2） 假设抽去数列中的第一项、第四项、第七项、、、、、、、、第32n -项，、、、、、、，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列{}n b ，试写出数列{}n b 的通项公式；（3） 在〔2〕的条件下，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，是否存在正整数n ，使得1113n n T T +=？假设存在，试求所有满足条件的正整数n 的值，假设不存在，请说明理由。
上海市普陀区教育学院附属中学2019年高三数学理模拟试题含解析
上海市普陀区教育学院附属中学2019年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A．B．C．D．参考答案：A略2. 设全集为实数集，，，则图1中阴影部分所表示的集合是A． B．C． D．参考答案：D，由集合运算得结果知阴影部分为,所以，选D.3. 若关于的方程有四个不同的实数解，则k的取值范围为A. B. C. D.参考答案：C4. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与左视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为 ( )参考答案：B5. 已知x、y∈R，且2x＋3y>2－y＋3－x，则下列各式中正确的是( )A．x－y >0 B．x＋y<0C．x＋y >0 D．x－y<0参考答案：C略6. 命题“使得”的否定是A．均有B．均有C．使得D．均有参考答案：B7. 函数的单调递增区间是 ( )参考答案：A略8. 已知函数一个周期内的图象如图所示，，为图象上的最高点，则的值为（）A． B． C.D．参考答案：B9. 在中,所对的边分别为,边上的高,则的最小值为（A）（B）（C）（D）参考答案：D10. 给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④参考答案：B【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；①为增函数，②为定义域上的减函数，③y=|x﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．【解答】解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知非空集合，则的取值范围是____________参考答案：12. 已知命题. 若命题p是假命题，则实数的取值范围是 .参考答案：因为命题为假命题，所以。
2019年高三数学三模试卷及答案
2019年高三第三次模拟测试数 学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在相应位置上．．．．．． 1．已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B ＝ ． 2．设a ∈R ，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝ ．3．设a ∈R ，则“1>a ”是“21a >”的 条件． (填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)4．已知平面向量,a b 的夹角为3π，且|a |＝1，|b |＝12，则2+a b 与b 的夹角大小是 ．5．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的焦距为直线20x y +=垂直，则双曲线的方程为 ．6．已知函数()(2+1)e x f x x =(e 是自然对数的底)，则函数()f x 在点(0，1)处的切线方程为 ．7．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某人根据这一思想，设计了如右图所示的程序框图，若输出m 的值为35，则输入的a 的值为 ． 8．若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+= ．9．当实数x ，y满足240,10,1x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩≤≤≥时，14ax y +≤≤恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 10．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221y x a b+=(0a b >>)的左焦点，A ，B分别为C 的左，右AD C BE顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 ．11．已知M 是面积为1的△ABC 内的一点(不含边界)，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分为x ，y ，z ，则1x y x y z+++的最小值分别为．12．若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且1101,55a S ==．记[]=lg n n b a ，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[][]0.90,lg991==．则数列{}n b 的前2017项和为．13．如图，在平面四边形ABCD 中，已知∠A ＝2π，∠B ＝23π， AB ＝6．在AB 边上取点E 使得BE ＝1，连结EC ，ED ，若∠CED ＝23π，EC CD ＝． 14．已知函数4,0,e ()2,0,exx x f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪⎩≥若123123()()()()f x f x f x x x x ==<<，则21()f x x 的范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知函数()4sin cos()3f x x x π=++，0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． (1)求函数()f x 的值域；(2)已知锐角ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别是,,a b c a ，b 分别为函数()f x 的最小值与最大值，且ABC ∆求ABC ∆的面积．A DP MB16．(本小题满分14分) 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA PB =，PA PB ⊥，AB BC ⊥，且平面PAB ⊥平面ABCD ，若2AB =，1BC =，AD BD == (1)求证：PA ⊥平面PBC ；(2)若点M 在棱PB 上，且:3PM MB =，求证//CM 平面PAD ．17．(本小题满分14分) 有一块以点O 为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离OD 点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D 修一条笔直小路交草坪圆周于A ，B 两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA ，OB ，其中小路的宽度忽略不计．(1)若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；(2)若要在△ABO 区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．(结果保留根号和π)18．(本小题满分16分) 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210y x a b a b+=＞＞ 的，抛物线E ∶24x y =的焦点F 是C 的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设与坐标轴不重合的动直线l 与C 交于不同的两点A 和B ，与x 轴交于点M ，且1(,2)2P 满足2PA PB PM k k k +=，试判断点M 是否为定点？若是定点求出点M 的坐标；若不是定点请说明理由．19．(本小题满分16分) 各项为正的数列{}n a 满足2*111,()2n n n a a a a n λ+==+∈N ，(1)当1n a λ+=时，求证：数列{}n a 是等比数列，并求其公比；(2)当2λ=时，令12n n b a =+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项之积为n T ，求证：对任意正整数n ，12n n n T S ++为定值．20．(本小题满分16分) 已知函数2ln )(ax x x f +=（a ∈R ），)(x f y =的图象连续不间断．(1)求函数)(x f y =的单调区间；(2)当1=a 时，设l 是曲线)(x f y =的一条切线，切点是A ，且l 在点A 处穿过函数)(x f y =的图象(即动点在点A 附近沿曲线)(x f y =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧)，求切线l 的方程．数学参考答案一、填空题1．{-101}，， 2．1- 3．充分不必要 4．6π5．2214x y -=6．310x y -+= 7．48．64259．3[1,]210．1311．312．4944 13．7 14．(1,0)-二、解答题15．(1)1()4sin (cos )22f x x x x =⋅-22sin cos x x x =-sin 2x x =2sin(2)3x π=+ (4)分 因为06x π≤≤，所以22333x πππ+≤≤，sin(2)123x π+≤， ……………………………6分 所以函数()f x的值域为⎤⎦． (7)分(2)依题意a =2b =，ABC ∆的外接圆半径4r =，sin 232a A r ===， ……………………………9分sin 232b B r ===cos 3A =，1cos 3B =，………………………11分sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=， (13)分所以11sin 2223ABCS ab C ∆==⨯=． (14)分16．(1)证明：因为平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD于AB ， 又BC AB ⊥，所以BC ⊥平面PAB ．………3分 又PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥PA ． ……………5分 由已知PA PB ⊥，且PB BC B =，所以PA ⊥平面PAB ． ……………………………7分 (2)证明：如图，取AD 的中点E ，连结CE ， 在平面PAB 内，过点M 作//MF AB 交PA 于F ， 连结,FM FE . 在△PAB 中，由作法知//MF AB ，且3342MF AB ==， (9)分PM BCDAF E在底面ABCD 中，易证//CE AB 且32CE =， 所以//MF CE 且MF CE =， ………………………11分 所以四边形MCEF 是平行四边形，所以//CM EF ， ………………………12分 又EF ⊂平面APD ，CM ⊄平面APD ，所以//CM 平面PAD ．……………14分17．建立如图所示的平面直角坐标系，则D (1)小路的长度为OA OB AB ++，因为,OA OB长为定值，故只需要AB 最小即可． 作OM AB ⊥于M ，记OM d =，则AB ==又d OD =≤，故AB =≥ 此时点D 为AB 中点． 故小路的最短长度为4+(百米)(2)显然，当广场所在的圆与△ABC 面积最大，设△ABC 的内切圆的半径为则△ABC 的面积为1()22ABC S AB AC BC r AB d ∆=++⋅=⋅，……………6分 由弦长公式AB =可得2244AB d =-，所以2222(16)4(4)AB AB r AB ⋅-=+， (8)分设AB x =，则22222(16)(4)()444(4)x x x x r f x x x ⋅-⋅-===++（）， 所以3222228322(416)'()4(4)4(4)x x x x x x f x x x --+-⋅+-==++， (10)分 又因为0d CD<≤，即0d <，所以)x AB ⎡==⎣，……………12分所以222(416)'()04(4)x x x f x x -⋅+-=<+，所以max ()6f x f ==-， 即△ABC 的内切圆的面积最大值为(6-π．………………………………………14分18．(1)由题意c a=1c =， …………………2分所以2,1a b ==，故椭圆的方程为2214x y +=． …………………4分设直线1122:(,),(,)AB x ty m A x y B x y =+，，代入2214x y +=得22()14ty m y ++=，即222(4)240()t y tmy m +++-=*，212122224,44tm m y y y y t t -+=-=++，……………6分22222222222412112(2)42(8)164242241211514424242m tm t m t m t m t m t t m tm t t m m t m t t -⎛⎫⎛⎫-----+--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，……………10分又241122PMk mm ==--，8212PM k m =-． (12)分因为2PA PBPM k k k +=，所以2158241280181416.2122m m m m m ⎧⎪-⋅=-⎪⎪-=⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪-=-- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎩，，解得8m =．……………15分经检验()*有解时恒成立，存在定点(8,0)M 符合条件．……………16分19．证明：(1)由1n a λ+=，得211n n n n a a a a ++=+，所以22110n n n n a a a a ++--=，两边同时除以2n a 可得：21110n n n n a a a a ++⎛⎫--= ⎪⎝⎭，……………2分解得1n n aa +=． ……………4分121212*********212122222111122221122()()42211()22PA PB y y y y k k x x ty m ty m ty y t y y m y y m t y y t m y y m ----+=+=+--+-+-⎛⎫⎛⎫-++-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为0n a >，所以1n n a a +=为常数，故数列{}n a是等比数列，公比为12．……6分(2)当2λ=时，212n n n a a a +=+，得12(2)n n n a a a +=+，所以11122nn n n a b a a +==+．……………8分 11211223111111111()()()()()22222n n n n n n n n a a a a T b b b a a a a a ++++=⋅=⋅⋅==，……10分又211111122n n n n n n n n a a b a a a a a +++===-⋅；……………12分 所以121111112n n n n S b b b a a a ++=+++=-=-， ……………14分 故1111111122()222n n n n n n n T S a a ++++++=⋅⋅+-=为定值． ……………………16分20．解:(1)2121'()2(0)ax f x ax x x x+=+=>，………………………1分①0≥a 时，)(x f 的单调增区间是),0(+∞； (3)分②<a 时，)(x f 的单调增区间是)21,0(a-，减区间是),21(+∞-a．……………6分(2)设切点))(,(00x f x A ,00>x x xx f 21)(+=',所以在点A 处切线的斜率是0021x x + 所以切线方程为))(21()(0000x x x x x f y -+=-，………………………7分即02000ln 1)21(x x x x x y +--+=．l 在点A 处穿过函数)(x f y =的图象，即在点A 的两侧，曲线)(x f y =在直线的两侧．令02000ln 1)21()(x x x x x x g +--+=，设)()()(x g x f x h -=，所以在0x x =附近两侧)(x h 的值异号． (8)分设020002ln 1)21(ln )(x x x x x x x x h -+++-+=，注意到0)(0=x h ．下面研究函数的单调性：002121)(x x x x x h --+='=)12)((00xx x x --=xx x x x x x x x x x )21)((212)(00000--=--． ………………10分当021x x <时：)(),,0(0x h x x ∈0)()(0=<x h x h当)(),21,(00x h x x x ∈是减函数,所以0)()(0=<x h x h 所以)(x h 在0x x =处取极大值，两侧附近同负，与题设不符． ……………12分同理，当0021x x >时，)(x h 在0x x =处取极小值，两侧附近同正，与题设不符．故0021x x =,即220=x 时，22(2()0x h x x'=≥，所以)(x h 在),0(+∞内单调增所以当)()(),,0(00=<∈x h x h x x ，当0)()(),,21(00=>+∞∈x h x h x x 符合题设．………14分所以220=x ，切线方程为13ln 222y =--． (16)分21．A ．证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC DC FAEA=，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EF A ．因为B ，E ，F ，C 四点共圆， ……………5分 所以∠CFE ＝∠DBC ， 故∠EF A ＝∠CFE ＝90°． 所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．……………10分21．B ．解：设矩阵=a b M c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2311,1002a b a b c d c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以23,1,,20 2.a b a c d c -+==⎧⎧⎨⎨-+==⎩⎩且解得1,5,2,4a b c d ====.所以1524M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．……………5分M 的特征多项式15()(1)(4)10(1)(6)024f λλλλλλλ--==---=+-=--, 所以λ＝6错误!未找到引用源。
上海市普陀区2019届高三3月模拟练习(二模)数学试题附答案解析
上海市普陀区2019届高三3月模拟练习（二模）数学试题一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由题意得到OA、OB、OC两两垂直，结合几何体，设为ABC所在平面截球所得圆的圆心，由勾股定理即可求出结果.【详解】显然OA、OB、OC两两垂直，如图，设为ABC所在平面截球所得圆的圆心，，且，．为的中心．由，可得．故选：B．【点睛】本题主要考查点到平面的距离，结合勾股定理即可求解，属于基础题型.2.在中，，，，若将绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，绕直线旋转一周，，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去一个以ABD为轴截面的校园追后剩余的部分.因为，，，所以.，所以.故选D.3.将函数图象上的点向左平移个单位，得到点，若位于函数的图象上，则A. ，s的最小值为B. ，s的最小值为C. ，s的最小值为D. ，s的最小值为【答案】C【解析】【分析】先由题意求出，再由将函数图象上的点向左平移个单位，得到点，以及位于函数的图象上，可表示出，进而可求出结果.【详解】将代入得：，进而求出平移后的坐标，将函数图象上的点向左平移个单位，得到点()，若位于函数的图象上，则，则，，则，，由得：当时，s的最小值为，故选：C．【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记平移原则以及三角函数性质即可，属于常考题型.4.已知x，，且，则存在，使得成立的构成的区域面积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由目标函数作出可行域，根据可得，由换元法令，则，可将存在，使得成立，转化为存在，使得成立，进而可确定x，所满足的平面区域，继而可求出结果.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB，若存在，使得成立，则，令，则，则方程等价为，即，存在，使得成立，，即，则对应的区域为单位圆的外部，由，解得，即，，则三角形OAB的面积，直线的倾斜角为，则，即扇形的面积为，则构成的区域面积为，故选：A．【点睛】本题主要考查线性规划问题，只需作出可行域，再根据题意确定x，所满足的平面区域，即可求解，属于常考题型.二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知集合，，则______．【答案】【解析】【分析】先解将得到集合，进而可求出结果.【详解】或或，则，故答案为：．【点睛】本题主要考查补集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.6.已知复数是虚数单位，则的虚部等于______．【答案】-1【解析】【分析】先由复数的运算化简，进而可求出结果.【详解】，的虚部等于．故答案为：．【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记运算法则和复数的概念即可，属于基础题型.7.计算______．【答案】【解析】【分析】先对化简，再分子与分母同除以，即可求出结果.【详解】，．原式．故答案为：．【点睛】本题主要考查“”的极限问题，先将原式进行化简即可，属于基础题型.8.行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为，则______．【答案】-14【解析】【分析】先由题意得到，再进一步计算即可得出结果.【详解】由题意得解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查矩阵的计算，熟记概念和公式即可，属于基础题型.9.被7除后的余数为______．【答案】2【解析】【分析】先由化为，再由二项展开式展开即可得出结果.【详解】．被7除后的余数为2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项展开式即可，属于常考题型.10.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是______【答案】【解析】观察三视图可知：该几何体为底面半径为2，高为6的圆锥，则母线长为，故侧面积为，故答案为.11.已知，，则______．【答案】【解析】【分析】利用两角差正切公式即可得到结果.【详解】,故答案为：【点睛】本题考查两角和与差的正切公式，考查计算能力，属于基础题.12.从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，则“甲被选中，乙没有被选中”的概率是______．【答案】【解析】【分析】先求出“从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者”所包含的基本事件总数，再求出满足“甲被选中，乙没有被选中”的基本事件数，即可求出结果.【详解】从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，基本事件总数，“甲被选中，乙没有被选中”包含的基本事件有，“甲被选中，乙没有被选中”的概率．故答案为：．【点睛】本题主要考查古典概型，熟记概率计算公式即可求解，属于常考题型.13.如果的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是______．【答案】【解析】二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则,令可得展开式中的所有项的系数之和是.14.若关于x、y的二元一次方程组至少有一组解，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】先将方程组化为二元一次方程组，根据题意求出直线与直线平行时的值，即可得出满足题意的m的取值范围。
2019年上海市普陀区高考数学模拟试卷(3月份)
2019年上海市普陀区高考数学模拟试卷（3月份）一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分．1．（4分）已知集合A＝{x||x﹣1|＞3}，U＝R，则∁U A＝．2．（4分）已知复数z＝（i是虚数单位），则Imz＝．3．（4分）计算＝．4．（4分）行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为﹣10，则k＝．5．（4分）502019+1被7除后的余数为．6．（4分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是7．（5分）已知tan（α+β）＝1，tan（α﹣β）＝7，则tan2β＝．8．（5分）从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，则“甲被选中，乙没有被选中”的概率是．9．（5分）如果（x2）n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是．10．（5分）若关于x、y的二元一次方程组＝至少有一组解，则实数m的取值范围是．11．（5分）已知＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3），且||＝3，||＝4，＝12，则＝12．（5分）已知函数f（x）＝，若存在唯一的整数x，使得不等式＞0成立，则实数a的取值范围是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为（）A．B．C．D．14．（5分）在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）A．B．C．D．15．（5分）将函数y＝sin（x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位，得到点P′，若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则（）A．t＝，s的最小值为B．t＝，s的最小值为C．t＝，s的最小值为D．t＝，s的最小值为16．（5分）已知x，y∈R，且，则存在θ∈R，使得x cosθ+y sinθ+1＝0成立的P（x，y）构成的区域面积为（）A．4﹣B．4﹣C．D．+三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（14分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，E、F分别是棱AB、D1C1的中点，联结EF、FB1、F A1、D1E、A1E、B1E．（1）求三棱锥A1﹣FB1E的体积；（2）求直线D1E与平面B1EF所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）已知函数f（x）＝ax2﹣2ax+2（a＞0）在区间[﹣1，4]上的最大值为10．（1）求a的值及f（x）的解析式；（2）设g（x）＝，若不等式g（3x）﹣t•3x≥0在x∈[0，2]上有解，求实数t的取值范围．19．（14分）如图，某城市有一条从正西方AO通过市中心O后向东北OB的公路，现要修一条地铁L，在OA，OB上各设一站A，B，地铁在AB部分为直线段，现要求市中心O 与AB的距离为10（km），设地铁在AB部分的总长度为y（km）．（1）按下列要求建立关系式：（i）设∠OAB＝α，将y表示成α的函数；（i）设OA＝m，OB＝m用m，n表示y．（2）把A，B两站分别设在公路上离中心O多远处，才能使AB最短？并求出最短距离．20．（16分）已知动直线l与椭圆C：＝1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两个不同的点，O为坐标原点．（1）若直线l过点（1，0），且原点到直线l的距离为，求直线l的方程；（2）若△OPQ的面积S△OPQ＝，求证：x12+x22和y12+y22均为定值；（3）椭圆C上是否存在三点D、E、G，使得S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项都不为零，其前n项和为S n，且满足a n•a n+1＝S n（n∈N*），数列{b n}满足，其中t为正整数．（1）求a2018；（2）若不等式对任意n∈N*都成立，求首项a1的取值范围；（3）若首项a1是正整数，则数列{b n}中的任意一项是否总可以表示为数列{b n}中的其他两项之积？若是，请给出一种表示方式；若不是，请说明理由．2019年上海市普陀区高考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分．1．（4分）已知集合A＝{x||x﹣1|＞3}，U＝R，则∁U A＝[﹣2，4]．【考点】1F：补集及其运算．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】求出A的等价条件，结合补集的定义进行求解即可．【解答】解：A＝{x||x﹣1|＞3}＝{x|x﹣1＞3或x﹣1＜﹣3}＝{x|x＞4或x＜﹣2}，则∁U A＝{x|﹣2≤x≤4}，故答案为：[﹣2，4]．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合A的等价条件，结合补集的定义是解决本题的关键．2．（4分）已知复数z＝（i是虚数单位），则Imz＝﹣1．【考点】A5：复数的运算．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z＝＝，∴Imz＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（4分）计算＝．【考点】6F：极限及其运算．【专题】53：导数的综合应用．【分析】利用极限的运算法则即可得出．【解答】解：∵＝，∴＝．∴原式＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了极限的运算法则，属于基础题．4．（4分）行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为﹣10，则k＝﹣14．【考点】OY：三阶矩阵．【专题】11：计算题．【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第1列后所余下的2阶行列式带上符号（﹣1）i+j为M21，求出其表达式列出关于k的方程解之即可．【解答】解：由题意得M21＝（﹣1）3＝2×2+1×k＝﹣10解得：k＝﹣14．故答案为：﹣14．【点评】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是一道基础题．5．（4分）502019+1被7除后的余数为2．【考点】DA：二项式定理．【专题】49：综合法；4R：转化法；5P：二项式定理．【分析】利用二项式定理展开即可得出．【解答】解：502019+1＝（1+72）2019+1＝1++•（72）2+……+（72）2019+1＝72（+•72+……+•（72）2018）+2．∴502019+1被7除后的余数为2，故答案为：2．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（4分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是4π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；5F：空间位置关系与距离．【分析】观察三视图．得到这个几何体为圆锥，圆锥的高为6，底面圆的直径为4，再利用勾股定理计算出母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式求解．【解答】解：这个几何体为圆锥，圆锥的高为6，底面圆的直径为4，所以圆锥的母线长＝＝2，所以该几何体的侧面积＝•4π•2＝4π．故答案为：4π．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．7．（5分）已知tan（α+β）＝1，tan（α﹣β）＝7，则tan2β＝．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】由已知结合tan2β＝tan[（α+β）﹣（α﹣β）]，展开两角差的正切求解．【解答】解：由tan（α+β）＝1，tan（α﹣β）＝7，得tan2β＝tan[（α+β）﹣（α﹣β）]＝＝＝．故答案为：﹣．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查两角差的正切，是基础题．8．（5分）从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，则“甲被选中，乙没有被选中”的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】基本事件总数n＝＝10，“甲被选中，乙没有被选中”包含的基本事件有m＝＝3，由此能求出“甲被选中，乙没有被选中”的概率．【解答】解：从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，基本事件总数n＝＝10，“甲被选中，乙没有被选中”包含的基本事件有m＝＝3，∴“甲被选中，乙没有被选中”的概率P＝＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（5分）如果（x2）n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】先用赋值法，在中，令x＝1可得，其展开式中的所有项系数和是（）n，进而根据题意，其展开式中中只有第四项的二项式系数最大，可得n的值为6，代入（）n中，即可得答案．【解答】解：根据题意，在中，令x＝1可得，其展开式中的所有项系数和是（）n，又由的展开式中中只有第四项的二项式系数最大，所以n＝6．则展开式中的所有项系数和是（）6＝；故答案为．【点评】本题考查二项式定理的应用，求二项式展开式所有项系数和的一般方法是令x ＝1，再计算二项式的值．10．（5分）若关于x、y的二元一次方程组＝至少有一组解，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）．【考点】OR：线性方程组解的存在性，唯一性．【专题】34：方程思想；4R：转化法；5B：直线与圆．【分析】先根据矩阵的乘法进行化简得到二元一次方程组，然后求出两直线平行的m的范围，取补集得答案．【解答】解：关于x，y的二元一次方程组＝，即二元一次方程组，若直线mx+y﹣（m+1）＝0与直线x+my﹣2m＝0平行，则，解得m＝﹣1．∴若关于x、y的二元一次方程组＝至少有一组解，则m≠﹣1，即m∈（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）．【点评】本题考查了二元一次方程组的解的个数，考查矩阵的乘法运算，属于中档题．11．（5分）已知＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3），且||＝3，||＝4，＝12，则＝【考点】M6：空间向量的数量积运算．【专题】38：对应思想；49：综合法；5H：空间向量及应用．【分析】由平面向量的数量积求得、的夹角θ＝0，得出＝λ，计算λ的值，即可求得＝＝＝＝λ．【解答】解：由||＝3，||＝4，得＝||×||×cosθ＝3×4×cosθ＝12，∴cosθ＝1；又θ∈[0，π]，∴θ＝0；∴＝λ，且λ＞0；则||＝λ||，∴λ＝＝，∴＝＝＝λ＝，∴＝λ＝．故答案为：．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与数量积运算问题，是基础题．12．（5分）已知函数f（x）＝，若存在唯一的整数x，使得不等式＞0成立，则实数a的取值范围是[0，3]∪[4，15]．【考点】5B：分段函数的应用．【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】根据题意，由函数f（x）的解析式作出f（x）的函数图象，得出f（x）的单调性和极值，对x的符号进行讨论，根据不等式只有1整数解得出a的范围．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，其图象如图：分2种情况讨论：①，当x＞0时，f（x）≤f（1）＝4，若存在唯一的整数x，使得不等式＞0成立，即f（x）﹣a＞0有唯一的整数解，又f（2）＝0，则此时有0≤a＜4．②，当x＜0时，则f（x）≥f（0）＝0，若存在唯一的整数x，使得不等式＞0成立，即f（x）﹣a＜0有唯一的整数解，又由f（﹣1）＝3，f（﹣2）＝15，则此时有3＜a≤15，综合可得：0≤a≤3或4≤a≤15；则a的取值范围为[0，3]∪[4，15]；故答案为：[0，3]∪[4，15]．【点评】本题考查分段函数的应用，注意分析函数f（x）的图象，属于基础题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为（）A．B．C．D．【考点】LR：球内接多面体；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题；13：作图题；15：综合题．【分析】先确定内接体的形状，确定球心与平面ABC的关系，然后求解距离．【解答】解：显然OA、OB、OC两两垂直，如图，设O1为ABC所在平面截球所得圆的圆心，∵OA＝OB＝OC＝1，且OA⊥OB⊥OC，∴AB＝BC＝CA＝．∴O1为△ABC的中心．∴O1A＝．由OO12+O1A2＝OA2，可得OO1＝．故选：B．【点评】本题考查球的内接体问题，球心与平面的距离关系，考查空间想象能力，是中档题．14．（5分）在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）A．B．C．D．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题．【分析】所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分，故用大圆锥的体积减去小圆锥的体积，即为所求．【解答】解：如图：△ABC中，绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分．∵AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，∴AE＝AB sin60°＝，BE＝AB cos60°＝1，V1＝＝，V2＝＝π，∴V＝V1﹣V2＝，故选：D．【点评】本题考查圆锥的体积公式的应用，判断旋转体的形状是解题的关键．15．（5分）将函数y＝sin（x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位，得到点P′，若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则（）A．t＝，s的最小值为B．t＝，s的最小值为C．t＝，s的最小值为D．t＝，s的最小值为【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质．【分析】将x＝代入得：t＝，进而求出平移后P′的坐标，进而得到s的最小值．【解答】解：将x＝代入得：t＝sin＝，进而求出平移后P′的坐标，将函数y＝sin（x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位，得到点P′，若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则sin（+2s）＝cos2s＝，则2s＝±+2kπ，k∈Z，则s＝±+kπ，k∈Z，由s＞0得：当k＝0时，s的最小值为，故选：C．【点评】本题考查的知识点是函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象和性质，难度中档．16．（5分）已知x，y∈R，且，则存在θ∈R，使得x cosθ+y sinθ+1＝0成立的P（x，y）构成的区域面积为（）A．4﹣B．4﹣C．D．+【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求解x cosθ+y sinθ+1＝0成立的等价条件，利用数形结合求出对应的面积即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB，若存在θ∈R，使得x cosθ+y sinθ+1＝0成立，则（cosθ+sinθ）＝﹣1，令sinα＝，则cosθ＝，则方程等价为sin（α+θ）＝﹣1，即sin（α+θ）＝﹣，∵存在θ∈R，使得x cosθ+y sinθ+1＝0成立，∴|﹣|≤1，即x2+y2≥1，则对应的区域为单位圆的外部，由，解得，即B（2，2），A（4，0），则三角形OAB的面积S＝×＝4，直线y＝x的倾斜角为，则∠AOB＝，即扇形的面积为，则P（x，y）构成的区域面积为S＝4﹣，故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件作出对应的图象，求出对应的面积是解决本题的关键．综合性较强．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（14分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，E、F分别是棱AB、D1C1的中点，联结EF、FB1、F A1、D1E、A1E、B1E．（1）求三棱锥A1﹣FB1E的体积；（2）求直线D1E与平面B1EF所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）三棱锥A1﹣FB1E的体积＝＝，由此能求出结果．（2）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线D1E与平面B1EF所成角的大小．【解答】解：（1）∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，E、F分别是棱AB、D1C1的中点，连结EF、FB1、F A1、D1E、A1E、B1E．∴三棱锥A1﹣FB1E的体积＝＝＝＝．（2）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，D1（0，0，4），E（4，2，0），B1（4，4，4），F（0，2，4），＝（0，2，4），＝（﹣4，0，4），＝（﹣4，﹣2，4），设平面B1EF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣2，1），设直线D1E与平面B1EF所成角的大小为θ，则sinθ＝＝＝，∴直线D1E与平面B1EF所成角的大小为arcsin．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．（14分）已知函数f（x）＝ax2﹣2ax+2（a＞0）在区间[﹣1，4]上的最大值为10．（1）求a的值及f（x）的解析式；（2）设g（x）＝，若不等式g（3x）﹣t•3x≥0在x∈[0，2]上有解，求实数t的取值范围．【考点】3V：二次函数的性质与图象；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出a 的值，求出函数的解析式即可；（2）问题转化为t≤2﹣2（）+1＝2+在x∈[0，2]上有解，令＝u∈[，1]，根据函数的单调性求出t的范围即可．【解答】解：（1）f′（x）＝2ax﹣2a＝2a（x﹣1），（a＞0），令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在[﹣1，1）递减，在（1，4]递增，∵1﹣（﹣1）＜4﹣1，故f（x）max＝f（4）＝16a﹣8a+2＝8a+2＝10，解得：a＝1，故f（x）＝x2﹣2x+2；（2）由（1）g（x）＝x+﹣2，若不等式g（3x）﹣t•3x≥0在x∈[0，2]上有解，则3x+﹣2﹣t•3x≥0在x∈[0，2]上有解，即t≤2﹣2（）+1＝2+在x∈[0，2]上有解，令＝u∈[，1]，∵x∈[0，2]，则t≤2+在u∈[，1]上有解，当u∈[，1]时，2+∈[，1]，于是t≤1，故实数t的范围是（﹣∞，1]．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，换元思想，是一道综合题．19．（14分）如图，某城市有一条从正西方AO通过市中心O后向东北OB的公路，现要修一条地铁L，在OA，OB上各设一站A，B，地铁在AB部分为直线段，现要求市中心O 与AB的距离为10（km），设地铁在AB部分的总长度为y（km）．（1）按下列要求建立关系式：（i）设∠OAB＝α，将y表示成α的函数；（i）设OA＝m，OB＝m用m，n表示y．（2）把A，B两站分别设在公路上离中心O多远处，才能使AB最短？并求出最短距离．【考点】HU：解三角形．【专题】12：应用题；58：解三角形．【分析】（1）（i）过O作OH⊥AB于H，则由及直角三角形的三角关系可求AH＝10cotα，，而AB＝AH+BH，整理即可（ii）由等面积原理得，可求AB（2）选择方案一：结合正弦函数的性质可求AB的最小值选择方案二：由余弦定理得＝，结合基本不等式可求AB的最小值【解答】解：（1）（i）过O作OH⊥AB于H由题意得，且即AH＝10cotα…（2分）即…（4分）∴＝＝…（8分）（ii）由等面积原理得，即…（10分）（2）选择方案一：当时，…（12分）此时，而所以．…（14分）选择方案二：因为，由余弦定理得＝∴…（12分）即（当且仅当时取等号）…（14分）【点评】本题主要考查了解三角形在实际问题中的应用，综合考查了基本不等式的知识，解题的关键是合理的把实际问题转化为数学问题20．（16分）已知动直线l与椭圆C：＝1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两个不同的点，O为坐标原点．（1）若直线l过点（1，0），且原点到直线l的距离为，求直线l的方程；（2）若△OPQ的面积S△OPQ＝，求证：x12+x22和y12+y22均为定值；（3）椭圆C上是否存在三点D、E、G，使得S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可求出．（2）分情况讨论，根据已知设出直线l的方程，利用弦长公式求出|PQ|的长，利用点到直线的距离公式求点O到直线l的距离，根据三角形面积公式，即可求得x12+x22和y12+y22均为定值；（3）假设存在D（u，v），E（x1，y1），G（x2，y2），使得S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝由（2）得u2+x12＝2，u2+x22＝2，x12+x22＝2；v2+y12＝1，v2+y22＝1，y12+y22＝1，从而求得点D，E，G，的坐标，可以求出直线DE、DG、EG的方程，从而得到结论．【解答】解：（1）设直线方程为x＝my+1，∵原点到直线l的距离为，∴d＝＝，解得m＝±1时，此时直线方程为x±y﹣1＝0，（2）1°当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以x1＝x2，y1＝﹣y2，∵P（x1，y1）在椭圆上，∴+y12＝1 ①又∵S△OPQ＝，∴|x1||y1|＝②由①②得|x1|＝1，|y1|＝．此时x12+x22＝2，y12+y22＝1；2°当直线l的斜率存在时，是直线l的方程为y＝kx+m（m≠0），将其代入+y2＝1得（2k2+1）x2+4kmx+2（m2﹣1）＝0，△＝16k2m2﹣8（2k2+1）（m2﹣1）＞0即2k2+1＞m2，又x1+x2＝﹣，x1•x2＝，∴|PQ|＝•＝，∵点O到直线l的距离为d＝，∴S△OPQ＝|PQ|•d＝••＝••|m|又S△OPQ＝，即••|m|＝整理得2k2+1＝2m2，此时x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2﹣2×＝2，y12+y22＝（1﹣x12）+（1﹣x22）＝2﹣（x12+x22）＝1；综上所述x12+x22＝2，y12+y22＝1．结论成立．（3）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝，证明：假设存在D（u，v），E（x1，y1），G（x2，y2），使得S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝由（2）得u2+x12＝2，u2+x22＝2，x12+x22＝2；v2+y12＝1，v2+y22＝1，y12+y22＝1解得u2＝x12＝x22＝1；v2＝y12＝y22＝．因此u，x1，x2只能从±1中选取，v，y1，y2只能从±中选取，因此点D，E，G，只能在（±1，±）这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝矛盾．所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G．【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离公式，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，属于难题．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项都不为零，其前n项和为S n，且满足a n•a n+1＝S n（n∈N*），数列{b n}满足，其中t为正整数．（1）求a2018；（2）若不等式对任意n∈N*都成立，求首项a1的取值范围；（3）若首项a1是正整数，则数列{b n}中的任意一项是否总可以表示为数列{b n}中的其他两项之积？若是，请给出一种表示方式；若不是，请说明理由．【考点】8H：数列递推式；8K：数列与不等式的综合．【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）直接利用赋值法求出结果．（2）利用分类讨论法确定数列的首项的范围．（3）利用构造数列法求出数列的各项，进一步确定结果．【解答】解：（1）令n＝1时，a1a2＝S1，由于：无穷数列{a n}的各项都不为零，所以：a2＝1，由：a n•a n+1＝S n，所以：a n+1•a n+2＝S n+1，两式相减得：a n+2﹣a n＝1，所以：数列{a2n}是首项为1，公差为1的等差数列．则：．（2）由（1）知，数列{a2n}是首项为1，公差为1的等差数列，数列{a2n﹣1}的首项a1，公差为1的等差数列．故：a n＝，所以：．①当n为奇数时，，即：，即：对任意的正奇数n都恒成立，所以：，即：0＜a1＜2．②当n为偶数时，，即：，即：对任意的正偶数恒成立，所以：，即：，综合①②得：．（3）数列{a2n}是首项为1，公差为1的等差数列，数列{a2n﹣1}的首项a1，公差为1的等差数列．得知：数列的各项都为正值．设b n＝b m b k则：•取k＝n+2，则：a k﹣a n＝1，故：a m＝a n（a n+2+t），．当n为偶数时，方程b n＝b m b k的一组解是：，当n为奇数时，方程b n＝b m b k的一组解是：，故：数列{b n}中的任意一项总可以表示为数列{b n}中的其他两项之积．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和的应用．。
2019年最新上海市普陀区第二次高考模拟高三数学试卷及答案解析
第二学期 高三数学质量调研考生注意:1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1. 计算：=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→311lim n n .2. 函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 11log 2的定义域为 . 3. 若παπ<<2，53sin =α，则=2tan α. 4. 若复数()21i i z ⋅+=（i 表示虚数单位），则=z . 5. 曲线C ：⎩⎨⎧==θθtan sec y x （θ为参数）的两个顶点之间的距离为 .6. 若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K 的概率为 （结果用最简分数表示）.7. 若关于x 的方程0cos si n =-+m x x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有解，则实数m 的取值范围是 .8. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为6π,体积为π125,则此圆锥的高为 . 9. 若函数1log log )(222+-=x x x f （2≥x ）的反函数为)(1x f-，则)3(1-f= .10. 若三棱锥ABC S -的所有的顶点都在球O 的球面上，⊥SA 平面ABC ，2==AB SA ，4=AC ，3π=∠BAC ，则球O 的表面积为 .11.设0<a ，若不等式01cos )1(sin 22≥-+-+a x a x 对于任意的R ∈x 恒成立，则a 的取值范围是 .12.在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点.若△ABC 的面积为1，则2+⋅的最小值为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. 动点P 在抛物线122+=x y 上移动，若P 与点()1,0-Q 连线的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为……………………………………………………………………………………………………………（ ）)A ( 22x y = ()B 24x y = ()C 26x y = ()D 28x y =14. 若α、β∈R ，则“βα≠”是“βαt an t an ≠”成立的……………………………………（ ）)A (充分非必要条件()B 必要非充分条件()C 充要条件()D 既非充分也非必要条件15. 设l 、m 是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为…………………………（ ）)A ( 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则βα⊥ ()B 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则 βα//()C 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα⊥ ()D 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα//16. 关于函数x y 2sin =的判断，正确的是……………………………………………………………（ ）)A (最小正周期为π2，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调减函数()B 最小正周期为π，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调减函数()C 最小正周期为π，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调增函数()D 最小正周期为π2，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调增函数三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是BC 、11D A 的中点. （1）求证：四边形EDF B 1是菱形；（2）求异面直线C A 1与DE 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示) .18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知函数x b x a x f cos sin )(+=（a 、b 为常数且0≠a ，R ∈x ）.当4π=x 时，)(x f 取得最大值. （1）计算⎪⎭⎫⎝⎛411πf 的值； （2）设⎪⎭⎫⎝⎛-=x f x g 4)(π，判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由.1A1B1C1D BDA CEF19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某人上午7时乘船出发，以匀速v 海里/小时（54≤≤v ）从A 港前往相距50海里的B 港，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（10030≤≤ω）自B 港前往相距300千米的C 市，计划当天下午4到9时到达C 市.设乘船和汽车的所要的时间分别为x 、y 小时，如果所需要的经费()()y x P -+-+=853100（单位：元）（1）试用含有v 、ω的代数式表示P ；（2）要使得所需经费P 最少，求x 和y 的值，并求出此时的费用.20. （本题满分16分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知曲线Γ：13422=+y x ，直线l 经过点()0,m P 与Γ相交于A 、B 两点. （1）若()3,0-C 且2=PC ，求证：P 必为Γ的焦点；（2）设0>m ，若点D 在Γ上，且PD 的最大值为3，求m 的值；（3）设O 为坐标原点，若3=m ，直线l 的一个法向量为()k ,1=，求∆A O B 面积的最大值.21.（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 已知数列{}n a （*N ∈n ），若{}1++n n a a 为等比数列，则称{}n a 具有性质P .（1）若数列{}n a 具有性质P ，且3,1321===a a a ，求4a 、5a 的值； （2）若()nn n b 12-+=，求证：数列{}n b 具有性质P ；（3）设=+++n c c c 21n n +2，数列{}n d 具有性质P ，其中11=d ，123c d d =-，232c d d =+，若310>m d ，求正整数m 的取值范围.xyo高三数学质量调研一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1.12. ()()+∞∞-,10,3.34. i +-15.26.1691 7. 21≤≤m . 8. 5 9. 4 10.π20 11. 2-≤a 12. 3二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，如图所示：则()1,0,11B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,1E ,()0,1,0D ,⎪⎭⎫⎝⎛1,21,0F ……1分⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,21,1,⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,11FB……2分所以1FB =,即1//FB DE 且1FB DE =,故四边形EDF B 1是平行四边形……3分又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,21,01B ,25==……5分 故平行四边形EDF B 1是菱形……6分（2）因为()0,1,11=C A ()()1,1,101,0--=-,⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,1DE……8分 设异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为θ……9分cos =θ……10分()()15152111110121)1(11222222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅+-+-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-+⨯-=……12分 所以1515arccos=θ……13分, 故异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为1515arccos……14分 18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】（1）x b x a x f cos sin )(+=()ϕ++=x b a sin 22，其中abarctan=ϕ……2分 根据题设条件可得，224b a f +=⎪⎭⎫⎝⎛π 即()2222b a b a +=+ ……4分 化简得()()2222b a b a +=+，所以0222=+-b ab a即()02=-b a ，故0=-b a ……………5分所以()022411cos 411sin411=-=+=⎪⎭⎫⎝⎛b a b a f πππ……………6分 （2）由（1）可得，b a =，即()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 2cos sin )(πx a x x a x f ……8分故x a x a x a x f x g cos 22sin 244sin 24)(=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛-=ππππ所以x a x g cos 2)(=（R ∈x ）…………10分对于任意的R ∈x ，x a x a x g cos 2)cos(2)(=-=-（0≠a ）……12分 即)()(x g x g =-，所以)(x g 是偶函数.…………14分19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】（1）v x 50=，204≤≤v ，得22510≤≤x ……2分 ω300=y ，10030≤≤ω，得103≤≤y ……4分()()y x P -+-+=853100⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=ω30085053100v所以ω300150123--=v P （其中204≤≤v ，10030≤≤ω）……6分 （2）()()y x P -+-+=853100)3(123y x +-=其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤10322510149y x y x ，……9分令目标函数y x k +=3,，()3,6 …12分 则当3,11==y x 时，333max =+=k 所以8736123min =-=P （元）,此时115050==x v ，1003300==ω 答：当3,11==y x 时，所需要的费用最少，为87元。
2019届上海市高考模拟卷(三)数学试题(解析版)
2019届上海市高考模拟卷（三）数学试题一、单选题1．设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：由“|x ﹣2|＜1”得1＜x ＜3，由x 2+x ﹣2＞0得x ＞1或x ＜﹣2，即“|x ﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．2．已知集合{(,)|||||1}P x y x y =+…，{}22(,)|1Q x y x y =+…，则有（ ）A ．P Q =B ．PQ C ．P Q P = D ．P Q Q ⋂=【答案】B【解析】根据两个集合分别表示的平面区域分析可得答案. 【详解】因为{(,)|||||1}P x y x y =+…表示四个顶点分别为(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--的正方形围成的区域(包括边界),而{}22(,)|1Q x y x y =+…表示的圆心为原点,半径为1的圆围成的区域(包括边界),所以P Q .故选:B 【点睛】本题考查了集合之间的真子集关系,属于基础题.3．将向量1a =(1x ，1y )，2a =(2x ，2y )，…n a =(n x ,n y )组成的系列称为向量列{n a }，并定义向量列{n a }的前n 项和12n n S a a a =++⋅⋅⋅+．如果一个向量列从第二项起,每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等差向量列。
若向量列{n a }是等差向量列，那么下述四个向量中，与21S 一定平行的向量是 ( ) A ．10a B ．11aC ．20aD ．21a【答案】B【解析】依题意，当{}n a 为等差向量列时，设每一项与前一项的差都等于d ，则可求出通项公式1(1)n a a n d =+- ，所以{}n a 前21项和211221111111()(20)2121021S a a a a a d a d a d a =+++=+++++=+= ，故与21S 平行的向量是11a ，选B.点睛: 本题主要考查新定义: 等差向量列的理解和应用, 属于中档题. 解题思路：设每一项与前一项的差都等于d ，运用类似等差数列的通项和求和公式，计算可得211121S a =，由向量共线定理，可得出结论. 考查类比的数学思想方法和向量共线定理的运用.4．设集合A ＝[0，12)，B ＝[12，1]，函数()()1,221,x x Af x x x B⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩，若x 0∈A ，且f[f(x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是( ) A ．(0，14] B ．(14，12) C ．(14，12] D ．[0，38]【答案】B 【解析】【详解】 ∵x 0∈A ，∴f(x 0)＝x 0＋12∈B. ∴f[f(x 0)]＝f(x 0＋12)＝2(1－x 0－12)＝1－2x 0. 又因为f[f(x 0)]∈A ，∴0≤1－2x 0<12， 解得14<x 0≤12，又0≤x 0<12.∴14<x 0<12，故选B.二、填空题5．函数sin cos cos sin 44y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期T =___________.【答案】π【解析】利用两角和的正弦公式化简函数表达式，由此求得函数的最小正周期. 【详解】依题意ππsin sin 244y x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数的周期2ππ2T ==. 故填：π. 【点睛】本小题主要考查两角和的正弦公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题.6．若函数21()12x f x =，(0,)x ∈+∞，则其反函数1()f x -=_________.【答案】2log (1)1x +-,(1,)x ∈+∞【解析】计算二阶行列式化简()f x ,再根据求反函数的步骤可求得反函数. 【详解】因为21()12x f x =1221121x x +=⨯-⨯=-,因为x ∈(0,)+∞,所以()(1,)f x ∈+∞, 所以由121x y +=-得21log (1)x y +=+,所以2log (1)1x y =+-,交换,x y 可得2log (1)1y x =+-, 所以12()log (1)1fx x -=+-,(1,)x ∈+∞,故答案为:2log (1)1x +-, (1,)x ∈+∞. 【点睛】本题考查了二阶行列式的计算,反函数的求法,属于基础题.7．在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为 .【答案】1516【解析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以该项系数为1516.【考点】二项式定理及二项展开式的通项.8．过原点且与圆22420x y x y ++-=相切的直线方程为_______. 【答案】20x y -=【解析】切线的斜率显然存在,设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,列方程可解得答案. 【详解】由22420x y x y ++-=得22(2)(1)5++-=x y ,所以圆心为(2,1)-,因为圆心到y 轴的距离为2,所以所求切线的斜率一定存在, 所以设所求切线方程为y kx =,即0kx y -=,=解得2k =,所以所求切线方程为20x y -=. 故答案为:20x y -=. 【点睛】本题考查了求圆的切线方程,属于基础题.9．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓放粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为__________石；（结果四舍五入，精确到各位）． 【答案】169【解析】根据古典概型概率公式可得这批米内夹谷的概率约为28254，所以这批米内夹谷约为281534169254⨯≈石，故答案为169. 10．抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线-=1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p=___________. 【答案】6【解析】因为抛物线x 2=2py 的准线2py =-和双曲线-=1相交交点横坐标为=, 6.2x p p =∴=由等边三角形得解得【考点】本题主要考查抛物线的概念、标准方程、几何性质，考查分析问题解决问题的能力.11．若复数z x yi =+（x ，y ∈R ，i 为虚数单位）满足|||22|z z i =--，则33x y +的最小值为_______. 【答案】6【解析】根据复数模的计算公式将|||22|z z i =--化为2y x =-,将其代入到33x y +后,利用基本不等式可求得答案. 【详解】由|||22|z z i =--=化简得2x y +=,即2y x =-, 所以33x y +233x x -=+932363x x =+≥=⨯=,当且仅当 1.1x y ==时等号成立. 故答案为:6 【点睛】本题考查了复数的模的公式,基本不等式求最小值,属于基础题. 12．一个等差数列{}n a 中，2nna a 是一个与n 无关的常数，则此常数的集合为 ．【答案】11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】试题分析：设数列的首项为1a ，公差为d ，()()1211,21n n a a n d a a n d ∴=+-=+-1212n n a a d nd a a d nd-+∴=-+ 2n n a a 是一个与n 无关的常数10a d ∴-=或0d =，所以比值常数为11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【考点】等差数列通项公式13．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球的表面积为______.【答案】169π【解析】把直三棱柱111ABC A B C -的补成一个长方体，则直三棱柱111ABC A B C -的外接球和长方体的外接球是同一个球，由长方体的对角线长等于球的直径，求得球的半径，再利用球的表面积公式，即可求解． 【详解】由题意，直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC ∆为直角三角形， 可把直三棱柱111ABC A B C -的补成一个长方体，则直三棱柱111ABC A B C -的外接球和长方体的外接球是同一个球， 又由长方体的对角线长等于球的直径，且13,4,12AB AC AA ===，即213R ===，即132R =， 所以球的表面积为221344()1692S R πππ==⨯=． 故答案为：169π 【点睛】本题主要考查了直三棱柱与球的组合体问题，以及球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．14．新一季“中国好声音”开唱，开场节目是四位导师各选一首自己的代表作供其他导师演唱，每人恰好都是唱别人的歌.假设四首歌已选定，则有______种不同演唱方式. 【答案】9【解析】将问题转化为四个元素填四个空的全错位排列后,再按照元素1的位置分3类讨论计算结果相加即可得到. 【详解】将四位导师抽象为四个元素,设为1,2,3,4,四首歌抽象为四个空位,设为1,2,3,4,依题意转化为四个元素填四个空的全错位排列,第一类:元素1填在2号空位,则元素2有3种填法,元素3,4填法唯一,此时共有3种填法; 第二类,元素1填在3号空位,则元素3有3种填法,元素2,4填法唯一,此时共有3种填法;第三类,元素1填在4号空位,则元素4有3种填法,元素2,3填法唯一,此时共有3种填法; 根据分类计算原理可得共有3+3+3=9种填法. 综上所述,共有9种不同的演唱方式. 故答案为:9 【点睛】本题考查了有限制条件的排列问题,属于中档题.15．若函数()2(1)y x x ax b =+++的图象关于点()20，成中心对称，则a b +=______. 【答案】3【解析】在函数()2(1)y x x ax b =+++的图象上取两点(1,0)-,(0,)b ,求出它们关于点(2,0)对称的点(5,0),(4,)b -后,代入()2(1)y x x ax b =+++,解方程组可得答案.【详解】在函数()2(1)y x x ax b =+++的图象上取两点(1,0)-,(0,)b ,则它们关于点(2,0)对称的点(5,0),(4,)b -也在函数()2(1)y x x ax b =+++的图象上, 即(51)(255)0(41)(164)a b a b b +++=⎧⎨+++=-⎩,即52510340a b a b +=-⎧⎨+=-⎩,解得7,10a b =-=,所以3a b +=. 故答案为:3 【点睛】本题考查了函数图象的对称中心的性质,属于基础题.16．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足·2OA OB OAOB===，由点集{|,1,,}P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是__________．【答案】【解析】【详解】由|OA |＝|OB |＝OA ·OB ＝2，知cos ∠AOB ＝12，又0≤∠AOB ≤π，则∠AOB ＝3π，又A ，B 是两定点，可设A 1)，B (0,2)，P (x ，y )，由OP ＝λOA ＋μOB，可得{2x y λμ，＝＋⇒{26x y x λμ==-.因为|λ|＋|μ|≤1x＋2y x -≤1， 等价于由可行域可得S 0＝12×P 所表示的区域面积S ＝4S 0＝三、解答题17．已知(sin ,1)a α=，(cos ,2)b α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （1）若//a b ，求sin 2α的值； （2）在（1）的条件下，若5cos()13αβ+=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sinβ的值. 【答案】(1)45,(2)65【解析】(1)由//a b 可得1tan 2α=,再由万能公式可得sin 2α的值, (2)利用sin sin()βαβα=+-sin()cos cos()sin αβααβα=+-+可得答案. 【详解】(1)因为 //a b ,所以2sin cos 0αα-=,即1tan 2α=, 所以2222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 1ααααααααα===++2124215()12⨯==+. (2)由(1)知,cos 2sin αα= ,且(0,)2πα∈,所以22sin (2sin )1αα+=,所以21sin 5α=,所以sin α,cos α=, 又(0,)2πβ∈,所以(0,)αβπ+∈,所以12sin()13αβ+===, 所以sin sin()sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+1251313=-=【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示,二倍角的正弦公式,同角公式,两角差的正弦公式,属于基础题.18．如图，正四棱锥P ABCD -内接于圆锥，圆锥的轴截面是边长为10cm 的正三角形.（1）求异面直线PA 与BC 所成角的大小；（2）若正四棱锥由圆锥削去一部分得到，则需要削去部分的体积为多少？（精确到30.1cm ）【答案】(1)arccos4,(2)382.3cm .【解析】(1)根据//AD BC 可知, PAD ∠就是异面直线P A 与BC 所成的角,在三角形PAD 中由余弦定理可求得,(2)用圆锥的体积减去正四棱锥的体积即可得到答案. 【详解】(1)在正四棱锥P ABCD -中,//AD BC ,所以PAD ∠就是异面直线P A 与BC 所成的角,在正方形ABCD 中,10AC =,所以AD =, 在三角形PAD 中,10PA PD ==,所以222cos2PA AD PD PAD PA AD +-∠=⨯⨯2224==,所以PAD ∠=,所以异面直线P A 与BC 所成角的大小为.(2)在直角三角形PAO 中,PO ===所以圆锥的体积211133V PO AO π=⋅⋅⋅=⨯25⨯=,正四棱锥P ABCD -的体积221133V PO AD =⋅⋅=⨯23=,所以需要削去部分的体积为12(2)333V V π-=-=-82.3≈. 所以需要削去部分的体积约为82.33cm . 【点睛】本题考查了正四棱锥的结构特征,异面直线所成角,椎体的体积公式,属于中档题. 19．首项为12的无穷等比数列{}n a 所有项的和为1，n S 为{}n a 的前n 项和，又()25log 1n n b S t +-=，常数*t N ∈，数列{}n c 满足n n n c a b =⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若{}n c 是递减数列，求t 的最小值. 【答案】(1)12n na =,(2)1【解析】(1)根据无穷等比数列{}n a 所有项的和为1,求出公比12q =,再根据等比数列的通项公式可得;(2)求出n S 后代入可得5n b n t =+,1(5)2n n c n t =+⋅,然后根据数列递减可得10n n c c +-<恒成立,由不等式恒成立可得答案.【详解】(1)设无穷等比数列{}n a 的公比为q ,则111a q =-,所以1211q=-,解得12q =,所以111111()222n n n n a a q--==⨯=, (2)因为11(1)22112n n S -=-112n =-,所以215log (11)2n n b t +-+=, 所以5n b n t =+,所以1(5)2n n n n c a b n t ==+⋅,因为{}n c 是递减数列, 所以1111(55)(5)22n n n n c c n t n t ++-=++⋅-+⋅11(55102)2n n t n t +=++--⋅ +11(55)2n n t =--⋅0< 恒成立,所以550n t --<恒成立,所以55t n >-+恒成立,因为()55f n n =-+为递减函数,所以1n =时,()f n 取得最大值(1)550f =-+=, 所以0t >,又因为*t N ∈,所以t 的最小值为1. 【点睛】本题考查了无穷等比数列的和,等比数列的通项公式和前n 项和,数列的单调性,属于中档题.20．设S 、T 是R 的两个非空子集，如果函数()y f x =满足：①{()|}T f x x S =∈；②对任意1x ，2x S ∈，当12x x <时，恒有()()12f x f x <，那么称函数()y f x =为集合S 到集合T 的“保序同构函数”.（1）试写出集合{|01}A x x =<<到集合R 的一个“保序同构函数”； （2）求证：不存在从集合Z 到集合Q 的“保序同构函数”； （3）已知2()1xf x x =+是集合[]0,s 到集合[]0,t 的“保序同构函数”，求s 和t 的最大值.【答案】(1) ()tan()2f x x ππ=-(01)x <<,(2)证明见解析,(3)s 的最大值为1,t 的最大值为12【解析】(1)直接由题意写出()tan()2f x x ππ=-(01)x <<即可;(2)用反证法证明即可;(3)用定义证明()f x 在[0,1]上递增,在[1,)+∞上递减后,可得1s ≤,(1)t f ≤. 【详解】(1)取()tan()2f x x ππ=-(01)x <<,该函数是集合{|01}A x x =<<到集合R 的一个“保序同构函数”; 证明:任取1201x x <<<, 则122222x x ππππππ-<-<-<,因为tan y x =在(,)22ππ-上为增函数,所以12tan()tan()22x x ππππ-<-, 即12()()f x f x <,由定义可知, 函数()tan()2f x x ππ=-是集合{|01}A x x =<<到集合R 的一个“保序同构函数”.(2)证明:假设存在一个从集合Z 到集合Q 的“保序同构函数”,由“保序同构函数”的定义可知,集合Z 和集合Q 中的元素必须是一一对应的,不妨设整数0和1在Q 中的像分别为a 和b ,根据保序性,因为0<1,所以a b <,又2a b +也是有理数,但是2a b+没有确定的原像,因为0和1之间没有另外的整数了,故假设不成立,故不存在从集合Z 到集合Q 的“保序同构函数”.(3)设120x x <<,则12122212()()11x x f x f x x x -=-++21122212()(1)(1)(1)x x x x x x --++, 所以当1201x x <<≤时,21120,10x x x x ->-<,所以12())0(f x f x -<,即12()()f x f x <,所以()f x 在[0,1]上递增,当211x x >≥时, 21120,10x x x x ->->,所以12())0(f x f x ->,即12()()f x f x >, 所以()f x 在[1,)+∞上递减, 因为2()1xf x x =+是集合[]0,s 到集合[]0,t 的“保序同构函数”,所以()f x 在[0,]s 上递增,所以1s ≤,所以s 的最大值为1,t 的最大值为11(1)112f ==+. 【点睛】本题考查了正切函数的单调性,函数单调性的定义,利用单调性求函数的最值,属于难题.。
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4.抛物线 y2 = 4x 上一点 M 到焦点的距离为 5，则点 M 的横坐标是______.
5.已知一个半球的俯视图是半径为 1 的圆，则半球的表面积为______.
6.对数不等式
(1
+
log3
( ) 21.对于无穷数列{an}，“若存在 am − a=k t m, k ∈ N *, m > k ，必有 am+1 − ak+1 = t ”，则称数列{an}具有 P(t) 性
质.
( ) （1）若数列{an}满足
an
=
2n 2n − 5
(n = 1, 2) n ≥ 3, n ∈ N * ，判断数列{an}是否具有 P(1) 性质？是否具有 P(4) 性质？
x)(a
−
log3
x)
>
0
的解集是
(1 3
,
9)
，则实数
a
的值为______.
7.若无穷等比数列{an}的各项和为 2，则首项 a1 的取值范围为______.
8.已知
的三边长分别为 3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．
9.已知关于 z 的实系数方程 z2 + 4z + m =0 的两虚数根为 z1 、 z2 ，且满足 z1 − z2 = 2 ，则 m 的值为______.
C
'
的动弦
MN
，过点
M
(
x1
,
y1
)
、N
(
x2
,
y2
)
分别作“伴随圆”
C
'
的切线，
设两切线交于点 Q ，证明：点 Q 的轨迹是直线，并写出该直线的方程；
（3）设点 P 是椭圆 C 的“伴随圆” C ' 上的一个动点，过点 P 作椭圆 C 的切线 l1 、l2 ，试判断直线 l1 、l2 是否垂直？
并说明理由.
3
2019 年上海普陀区高考数学三模试题
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 1.已知全集= U {x | x ≤ 1}，集合 A = (0,1]，则 CU A = ______.
2.四个数据：1，3，3，5 的标准差是______.
（2）求直线 AB 与平面 PQR 所成角的大小.
18.在 ∆ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c . （1）若 c = 2 ， C = π ，求 ∆ABC 面积的最大值；
3 （2）若 sin C + sin(B − A) = sin 2A ，试判断 ∆ABC 的形状.
义.
20.给定椭圆
C
：
x a
2 2
+
y2 b2
=
1(a > b > 0) ，称圆心在原点 O ，半径为
a2 + b2 的圆是椭圆 C 的“伴椭圆”，若椭圆
C 的一个焦点为 F ( 2,0) ，其短轴上一个端点到 F 的距离为 3 .
（1）求椭圆 C 的方程；
2
（2）过点
(
a 2
,
b 2
)
作椭圆
C
的“伴随圆”
19.某城市自 2014 年至 2019 年每年年初统计得到的人口数量如表所示
2018
2019
人数（单位：万） 2082
2135
2203
2276
2339
2385
（1）设第 n 年的人口数量为 an （2014 年为第 1 年），根据表中的数据，描述该城市人口数量和 2014 年至 2018 年
（2）对于无穷数列{an}，设T ={x | x =a j − ai , i < j}，求证：若数列{an}具有 P(0) 性质，则 T 必 为 有限集；
（3）已知{an}是各项均为正整数的数列，且{an}既具有 P(2) 性质，又具有 P(3) 性质，是否存在正整数 N ， k ，
使得 aN ， aN +1 ， aN +2 ，…， aN +k ，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.
+
a2019 x2019 ，则
a1 2
+
a2 22
+…+
a2019 22019
的值为（
）
A. 2
B. 0
C. −1
D. 1
15.已知 x1 ，x2 是关于 x 的方程 x2 + mx − (2m +1) =0 的两个实数根，则经过两点 A(x1, x12 ) ，B(x2 , x22 ) 的直线与双
曲线 x2 − y2 = 1公共点的个数是（
每年该城市人口的增长数量的变化趋势；
（2）研究统计人员用函数 P= (x)
2000
+
450 4.4878e −0.6544 x
+1
拟合该城市的人口数量，其中
x
的单位是年.假设
2014
年初对应 x = 0 ， P(x) 的单位是万.设 P(x) 的反函数为T (x) ，求T (2440) 的值（精确到 0.1），并解释其实际意
）
4
1
A. 2
B. 1
C. 0
D. 不确定
uuuur uuuur uuuur uuuur 16.在平面上， AB1 ⊥ AB2 ， | O= B1 | | O= B2 |
uuur 1， A=P
uuuur AB1
+
uuuur AB2
，若 |
uuur OP
|<
1 2
，则 |
uur OA
|
的取值范围是（
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）
rr 13.已知 a 与 b
均为单位向量，其夹角为θ
，则命题 P ：
rr a−b
=1是命题 Q ：θ
=
π 3
的（
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不是 充分条件也不是必要条件
14.设 (1− 2x)2019 = a0 + a1x + a2 x2 +L
）
A. (0, 5 ] 2
B. ( 5 , 7 ] 22
C. ( 7 , 2] 2
D. ( 5 , 2] 2
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）
17.如图，已知正方体 ABCD − A1B1C1D1 的棱长为 2， P 、 Q 、 R 分别为棱 AD 、 DC 、 CC1 的中点.
（1）求三棱锥 A − PQR 的体积；
10.从集合 A = {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10} 中任取两个数，欲使取到的一个数大于 k ，另一个数小于 k （其中 k ∈ A ）
2
的概率是 ，则 k = __.
5
11.若 α
∈[0,π
] ，β
∈ −
π 4
,π 4
，λ
∈R
，且 (α
−
π 2
)3
− cosα
−
2λ
= 0 ，4β 3
+ sinβ cosβ
+
λ
=0 ，则
cos
α 2
+
β
的值为______．
12.已知 a > 0 ，函数 f (x) =x − a (x ∈[1, 2]) 的图像的两个端点分别为 A 、 B ，设 M 是函数 f (x) 图像上任意一点， x
过 M 作垂直于 x 轴的直线 l ，且 l 与线段 AB 交于点 N ，若 MN ≤ 1 恒成立，则 a 的最大值是______.