函数的单调性与导数(导学案)

课题：函数的单调性与导数（导学案）
学习目标
1.了解函数的单调性与导数的关系
2.能运用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。

自主学习
1、【思考】 如图（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应
地， ．
（2）从最高点到入水，运动员离水面的高h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地， ．
2、【思考】 导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？
【引导】可先分析函数的单调性与导数的符号之间的关系.
【探究】观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．
（1）函数y x =的定义域为 ，并且在定义域上是 ，其导数 ；
（2）函数2y x =的定义域为 ，在(,0)-∞
上单调 ，在(0,)+∞上单调 ；
而2()2y x x ''==，当0x <时，其导数 ；当0x >时，其导数 ；当0x =时，其导数 。

（3）函数3y x =的定义域为 ，在定义域上为 ；
而32()3y x x ''==，若0x ≠，则其导数 ，当0x =时，其导数 ；
（4）函数1
y x
=
的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，在(,0)-∞上单调 ，在(0
,)+∞上单调 而211
()y x x
''==-，因为0x ≠，显然0y '<.
【总结】以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间(,)a b 内，如果函数()y f x =在这个区间内单调递增，那么 ；如果函数()y f x =在这个区间内单调递减，那么 .
【思考】函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系？
【探究】如图，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．
在0x x =处，'0()0f x >，切线是“ ”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调 ；
在1x x =处，'0()0f x <，切线是“ ”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调 ． 结论：
函数的单调性与导数的关系:在某个区间(,)a b 内，
如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内 ； 如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内
特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是 ． 问：()0f x '>能推出()f x 为增函数，反过来成立么？
课本：例1 例2 例3
小结：求解函数()y f x =单调区间的步骤：
巩固练习
1.函数
)(x f y =是定义在
R 上的可导函数，则
)(x f y =为
R 上的单调增函数是
0)(>'x f 的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若在区间),(b a 内有0)(>'x f ，且0)(≥a f ，则在区间),(b a 内有 （ ）
A.
0)(>x f B.0)(<x f C.0)(=x f D.不能确定
3.（2009.广东高考）函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 （ ）
A.)2,
(-∞ B.)3,0( C.)4,1( D.),2(∞+
4.若函数)(3x x a y -=的递减区间为)3
3,33(-，则a 的范围是 （ ）
A.0>a
B.01<<-a
C.1>a
D.10<<a
5.函数c bx ax x x f +++=23)(，其中c b a ,,为实数，
当032
<-b a
时，)(x f 是 （ ）
A.增函数
B.减函数
C.常数
D.既不是增函数也不是减函数 6.
x x y sin +=在),0[π上是 （ ）
A.增函数
B.减函数
C.在)2,
0(π内为增函数，),2(ππ内为减函数
D.在),0(π内为减函数，),(ππ内为增函数
7.若函数1223++=ax x y （a 为常数）在区间)0,(-∞和),2(∞+内单调递增，在区间)2,0(单调递减，求a 的值.
8.确定函数)1ln(1+-=x x
y 的单调区间.。