计算方法 牛顿柯特斯求积公式与复合求积公式 ppt课件
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牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
2
t(t
0
2)dt
2 3
C2
(1) 0 2 2!0!
2
t(t 1)dt
0
1 6
P130 表６-1给出了n从1～8的柯特斯系数。
当n = 8时，从表中可以看出出现了负系数，从 而影响稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。
数值计算方法
b
1dx 1
a
显然, Ck是不依赖于积分区间[a,b]以及被积函数
f(x)的常数,只要给出n,就可以算出柯特斯系数,譬
如当n=1时
C0
1 1 0!1!
1
(t
0
1)dt
1 2
C1
1
tdt
1
0
2
当n=2时
C0
(1) 2 2 0!2!
2
(t 1)(t 2)dt
0
1 6
C1
(1)1 2 1!1!
k!(n k)!hn 0
(b a) (1)nk
nn
( (t i))dt
nk!(n k)! 0 i0
ik
引进记号
Ck
(1) nk nk!(n k )!
nn
(
0 i0
(t i))dt
ik
( k=0,1…,n )
则
Ak (b a)Ck ( k=0,1…,n )
代入插值求积公式(6.4)有
这里 lk (x) 是插值基函数。即有
Ak
b
a lk (x)dx
bn a
i0
x xi dx xk xi
ik
将积分区间[a,b] 划分为n等分, 步长 h b a
n
求积节点为 xk a kh(k 由于 xk xi (k i)h , 所以
《求积公式》PPT课件
Ak
b
lk (x)dx
a
b a
(x x0 ) (xk x0 )
(x xk1)(x xk1) (xk xk1)(xk xk1)
(x xn ) dx (xk xn )
n 0
hnt(t
1)
(t k 1)(t k 1) (1)nk hn (n k)!k !
(t n) hdt
(1)nk h n
特斯系数表4-1：
1结6 束
n 1 1/2 1/2
表4-1
C (n) k
2 1/6 4/6 1/6
3 1/8 3/8 3/8 1/8
4 7/90 32/90 12/90 32/90 7/90
5 19/288 75/288 50/288 50/288 75/288 19/288
6 41/840 216/840 27/840 272/840 27/840 216/840 41/840
I
1 0
4 1 x2 dx
I
1 0 2
4 1 02
4 112
1 2
(4 2)
3.
4.2.2 抛物形（辛卜生）公式
取a=x0,(a+b)/2=x1,b=x2,(即n=2)，代入(4.9)式得
A0
(1)2 h 2!
2
(t -1)(t -2)dt
h
2
h.
0
23 3
1结3 束
A1
(1) 1!
h
Rn[qn1(x)] 0
也就是说，当n为偶数时，牛顿-柯特斯公式对不超过n+1次的 多项式均能精确成立，因此，其代数精度可达到n+1.正是基 于这种考虑，当n=2k与n=2k+1时具有相同的代数精度，因而 在实用中常采用n为偶数的牛顿-柯特斯公式，如抛物形公式 (n=2)等.
数值分析7-牛顿-科特斯公式
0
n
(n − s − i) (−ds)
∫ ∏ ( ) n
= (−1)n+1 hn+2
i=0 n
n
s − (n − i) ds
n
n
∏ ∏ 又 (s − (n − i)) = (s − i)
0 i=0
R[ f ]= −R[ f ]
R[ f ]= 0
i=0
i=0
n 偶数
余项
梯形公式的余项
∫ ∫ RT =
0
(2) 若 n 为奇数， f (x) ∈Cn+1[a, b] ，则存在 η ∈(a, b) 使得
∫ ∫ b a
f
(x)
dx
=
Q[
f
]+
(b
− a)n+2 f (n+1) (η )
nn+2(n + 1)!
n t2(t − 1)"(t − n) dt
0
举例（一）
例：分别用梯形公式和simpson公式计算积分
∑ 解： T8
=
1 16
⎡ ⎢⎣
f
(
x0)
+
2
7 i=1
f (xi) +
⎤ f (x8)⎥⎦
=
0.9456909
S4
=
1 24
[
f
(x0) + 4( f (x1) + f (x3) + f (x5) + f (x7)) + 2( f (x2) + f (x4) + f (x6)) + f (x8)] = 0.9460832
故一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公 式。
计算方法 牛顿-柯特斯求积公式与复合求积公式 PPT
求积节点为
n
a
xk xk+1
b
xk a kh，k 0,1,..., n
在每个小区间 [xk , xk1 ]
上应用梯形公式，得：
(k 0,1, … , n 1)
个7次多项式来近似被积函数）的方法来提高计算精度。 • 新想法：将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间
上采用低阶求积公式（低阶多项式），然后把所有小区 间上的计算结果整合起来，得到整个区间上的求积公式。 此即复合求积公式的基本思想。
4.3.1 复合梯形公式及其误差
将积分区间[a, b]划分为n等分,步长为 h b a
5 19/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288
对n=6, 7, 8的情况，见教材。
几个重要的低阶求积公式
在牛顿-柯特斯求积公式中n=1, 2, 4时，就分 别得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特 斯公式。
b f(x)dx a
n
(b a) C(kn)f(x k ，) xk
计算方法 (Numerical Analysis)
第7次 牛顿-柯特斯求积公式 与复合求积公式
1. 牛顿—柯特斯求积公式 2. 牛顿-科特斯求积公式的例子 3. 复合求积公式 4. 复合求积公式的例子 • 附录：复合梯形公式与复合辛普生公式算
法实现与流程图
牛顿—柯特斯求积公式 采用等距节点的插值型求积公式
0.55 15 1 2880 16 0.53 0.5
0.52 15 2880 16
1 0.5
0.25 15 1 2880 16 0.707
0.0001151
| R2(f) | 0.0001151
牛顿科特斯求积公式
a
b
n
a Ln( x)dx (b a)
Ck(n) f ( xk )
k0
Newton-Cotes求积公式
Cotes系数性质
计算方法
(1)
Ck( n)
C (n) nk
(对
称
性)
n
(2)
C (n) k
1
k0
几种常用的Newton-Cotes求积公式
梯形公式，辛普生公式，Cotes公式
B 3C 8
B 9C 64 3
解得：
A 4, B 4,
9
3
所求公式为：
C 20 9
计算方法
4
0
f
( x)dx
14
9
f
(0)
12
f
(1)
20
f
(3)
计算方法
例3：试确定一个具有三次代数精度的求积公式
3
0 f ( x)dx A0 f (0) A1 f (1) A2 f (2) A3 f (3)
二 插值型求积公式
计算方法
基本思想：用插值函数的积分，作为数值积分 （取拉格朗日插值函数）
b
f ( x)dx
a
b
a LN ( x)dx
bN a
li (x) f ( xi )dx
i0
N i0
b a
li
(
x
)dx
f
(
xi
)
即：求积系数
Ai
b
Ai a li ( x)dx
能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的
b
n
a Ln( x)dx (b a)
Ck(n) f ( xk )
k0
Newton-Cotes求积公式
Cotes系数性质
计算方法
(1)
Ck( n)
C (n) nk
(对
称
性)
n
(2)
C (n) k
1
k0
几种常用的Newton-Cotes求积公式
梯形公式，辛普生公式，Cotes公式
B 3C 8
B 9C 64 3
解得：
A 4, B 4,
9
3
所求公式为：
C 20 9
计算方法
4
0
f
( x)dx
14
9
f
(0)
12
f
(1)
20
f
(3)
计算方法
例3：试确定一个具有三次代数精度的求积公式
3
0 f ( x)dx A0 f (0) A1 f (1) A2 f (2) A3 f (3)
二 插值型求积公式
计算方法
基本思想：用插值函数的积分，作为数值积分 （取拉格朗日插值函数）
b
f ( x)dx
a
b
a LN ( x)dx
bN a
li (x) f ( xi )dx
i0
N i0
b a
li
(
x
)dx
f
(
xi
)
即：求积系数
Ai
b
Ai a li ( x)dx
能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的
7.2 牛顿—柯特斯公式
b
hk k !
b
(1)n k h( n k ) (n k )!
( x a )[( x a (k 1)h)][( x a (k 1)h]( x a nh) dx n k n a (1) (n k )! k ! h
作变量替换 x a th, 则 dx h dt
1 1 1 (1) ( t 1)dt , C1 tdt 0 0 2 2 1
当 n 2 时,
C
(2) 0 6
C
(2) 1
1 2 4 t ( t 2)dt 2 0 6
C
(2) 2
1 2 1 t ( t 1)dt 4 0 6
989 28350
5888 28350
10496 28350
4540 28350
10496 28350
928 28350
5888 28350
989 28350
由上表, 当 n 1 时, 有两点公式
b
b
a
ba f ( x )dx [ f (a ) f (b)] 2
当 n 2 时, 有三点公式
a
梯形公式
ba ab f ( x )dx [ f (a ) 4 f f (b)] 6 2
辛普生公式
当 n 4 时, 有五点公式
b
a
ba f ( x )dx [7 f ( x0 ) 32 f ( x1 ) 12 f ( x2 ) 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 )] 90
对于一般情况, 可以导出
Rn [ f ] f ( n 2) ( ) b a xn1 ( x )dx ( n 2)! f ( ) b a n1 ( x )dx ( n 1)!
hk k !
b
(1)n k h( n k ) (n k )!
( x a )[( x a (k 1)h)][( x a (k 1)h]( x a nh) dx n k n a (1) (n k )! k ! h
作变量替换 x a th, 则 dx h dt
1 1 1 (1) ( t 1)dt , C1 tdt 0 0 2 2 1
当 n 2 时,
C
(2) 0 6
C
(2) 1
1 2 4 t ( t 2)dt 2 0 6
C
(2) 2
1 2 1 t ( t 1)dt 4 0 6
989 28350
5888 28350
10496 28350
4540 28350
10496 28350
928 28350
5888 28350
989 28350
由上表, 当 n 1 时, 有两点公式
b
b
a
ba f ( x )dx [ f (a ) f (b)] 2
当 n 2 时, 有三点公式
a
梯形公式
ba ab f ( x )dx [ f (a ) 4 f f (b)] 6 2
辛普生公式
当 n 4 时, 有五点公式
b
a
ba f ( x )dx [7 f ( x0 ) 32 f ( x1 ) 12 f ( x2 ) 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 )] 90
对于一般情况, 可以导出
Rn [ f ] f ( n 2) ( ) b a xn1 ( x )dx ( n 2)! f ( ) b a n1 ( x )dx ( n 1)!
牛顿-柯特斯求积公式ppt课件
2
) f (b))
(b a)5 f (4)
2880
证：已知辛卜生求积公式的代数精度为3，因此考
虑构造一个三次插值多项式p3(x)满足下列条件
p3 (a) f (a)
p3 (b) f (b)
p3
(
ab 2
)
f
(
ab 2
)
根据插值余项定理得：
p' 3
(
ab 2
)
f
'
(
ab 2
)
f (x)
b
b
f ( x)g( x)dx f () g( x)dx
a
a
定理3：设f ( x)在[a, b]上有二阶连续导数，则梯形求积
公式的截断误差为
b
ba
RT ( f ) a f ( x)dx 2 ( f (a) f (b))
(b a)3
f ''()
12
工程数学21
工程数学
证明: n 1,由截断误差公式(3)有
定理1： 由n+1个互异节点x0 、x1 、…x n构造的插值
型求积公式的代数精度至少为n。
证明： 因为
b
n
f(x)dx
a
Aj f ( x j ) R( f )
j0
其中
R(
f
)
1 (n1)!
b a
f
(n1) ( )n1( x)dx
这里系数Aj只依赖于求积节点与积分区间,与f(x)无关。
显然当f(x)是任何一个不超过n次的多项式时,余项
ba 6
p3
(a)
4
p3
(
a
2
数值分析6.2--牛顿—柯特斯公式市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件
n
C
(n k
)
[
f
(
xk
)
~fk ]
k0
n
(b a)
C (n) k
f
(xk )
~ fk
k0
n
(b a)
C (n) k
(b a) .
k0
这表明在b-a>1时，初始误差将会引发计算结果误差
增大，即计算不稳定，故n >7牛顿-柯特斯公式是不
用.
第8页
6.2.2 偶数求积公式代数精度
作为插值型求积公式，n阶牛顿-柯特斯公式最 少含有n次代数精度(推论1). 实际代数精度能否深入 提升呢？
积分中值定理，得辛普森公式余项为
第17页
RS
f (4) ( )
4!
b ( x a)( x c)2 ( x b)dx.
a
(b a) (b a )4 f (4) (),
180 2
(a,b).
关于柯特斯公式积分余项，这里不再详细推导
，仅给出结果以下
若 f(x)C6[a, b]，则柯特斯公式余项为
nn
(t j)dt
0 j0, jk
(k=0,1,,n)
则 Ak (b a)Ck(n) , 于是得求积公式
n
In (b a) Ck(n) f ( xk )
k0
称为n 阶牛顿-柯特斯 (Newton-Cotes)公式, Ck(n) 称 为柯特斯系数。
显然, 柯特斯系数与被积函数 f (x) 和积分区间
[a,b]无关, 且为轻易计算多项式积分.
第3页
惯用柯特斯系数表
n
1
1/2
1/2
C(n) k
2
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数之和为1
n
Ck 1
k0
证：由于插值型积分公式的系数Ak 之和等于（b-a）
由关系：
Ck
b
1
a
Ak
得： n Ck k0
n k0
b
1
a
Ak
b
1
a
n k0
Ak
1 (b a) 1
ba
ppt课件
9
2. Ck是不依赖于积分区间[a,b]以及被积函数f(x)的 常数，只要给出n，就可以算出柯特斯系数。
1/6 2/3 1/6
定理4.3（辛卜生公式的误差）设f(x)在[a, b]上具有连
续的四阶导数，则Simpson公式的误差为
R2(f)
1 90
b
2
C(kn)
(1)nk nk! (n k)!
n ( n (t i))dt
0 i0
ik
例如，当n=1时
C0
1 1 0!1!
1(t
0
1)dt
1 2
C1
(1)0 1 1!0!
1tdt
0
1 2
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似曾 相识
10
当n=2时，由
C(kn)
计算方法 (Numerical Analysis)
第7次 牛顿-柯特斯求积公式 与复合求积公式
ppt课件
1
1. 牛顿—柯特斯求积公式 2. 牛顿-科特斯求积公式的例子 3. 复合求积公式 4. 复合求积公式的例子 • 附录：复合梯形公式与复合辛普生公式算
法实现与流程图
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2
牛顿—柯特斯求积公式 采用等距节点的插值型求积公式
ppt课件
3
4.2 牛顿—柯特斯求积公式
定义：在插值求积公式
b f(x)dx
a
b P(x)dx
a
n
Akf(x k )
k0
中,当所取节点 a x0 x1 xn b 是等距
时称为牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式，其中：
n
P(x) lk (x)f(x k )， Ak
n
Ck
1
1/2 1/2
2
1/6 2/3 1/6
3
1/8 3/8 3/8 1/8
4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90
5 19/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288
对n=6, 7, 8的情况，见教材。
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12
几个重要的低阶求积公式
在牛顿-柯特斯求积公式中n=1, 2, 4时，就分 别得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特 斯公式。
0 i0
ik
(b a) (1)nk
n ( n (t i))dt
nk! (n k)! 0 i0
ik
注：最后一步用到：h
b n
a
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7
引进记号(柯特斯系数)
C(kn)
(1)nk nk! (n k)!
n ( n (t i))dt, k
b f(x)dx a
n
(b a) C(kn)f(x k ，) xk
k0
a kh
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13
(1) 梯形公式（是插值型求积公式）
当n=1时，牛顿-柯特斯公式就是梯形公式
b f(x)dx 1(b a) f(a) f(b)
a
2
定理4.2 （梯形公式的误差）设f(x)在[a,b]上具有 连续的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为
0 i0
0,1,...,n
ik
则
Ak (b a)C(kn，) k 0,1,..., n
代入插值求积公式(4.1)有
b f(x)dx
a
n
(b a) C(kn)f(x k )
k0
称为牛顿-柯特斯求积公式,Ck称为柯特斯系数
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8
柯特斯系数的性质
1. 将区间[a, b]分为n等分，则n+1个柯特斯系
n
a=x0 x1 x2 xi
xk xn=b
求积节点为：
xk a kh(k 0,1, … , n)
因此：
xk
xi
(k i)h ppt课件
5
可以推出：
(xk x0 ) … (xk xk1 )(x k xk1 ) … (xk xn ) (kh)(k 1)h (1h)( 1h) (k n)h k! hk (1)nk (n k)! hnk (1)nk k! (n k)! hn
R1(f)
(b a)3 12
f(η)
η (a, b)
当b-a>1时，误差较大；
b-a<1时，误差较小
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14
（2） 辛卜生公式（是插值型求积公式）
当n=2时，牛顿-柯特斯公式就是辛卜生f(a)
4f(a
2
b)
f(b)
a=x0 x1 x2 xi
xk xn=b
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6
作变量替换 x a th 并注意 xi a ih 得：
Ak
b
alk (x)dx
b n x xi dx
a i0
xk
xi
ik
(1)nk
k! (n k)! hn
n ( n (t i))hnhdt
(1)nk nk! (n k)!
n ( n (t i))dt
0 i0
ik
C0
(1)2 2 0!2!
2(t 1)(t 2)dt
0
1 6
C1
(1)1 2 1!1!
2t(t 2)dt
0
2 3
似曾 相识
C2
(1)0 2 2!0!
2t(t 1)dt
k0
b a
lk
(x)dx
lk (x) 是插值基函数。有关系式
Ak
b a
lk (x)dx
bn
a i0 ppt课件 i k
x xi dx xk xi
4
利用等步长的特点计算积分系数Ak
Ak
b n x xi dx a i0 xk xi
ik
将积分区间[a, b] 划分为n等分, 步长 h b a
0
1 6
P104 表4-1给出了n从1～8的柯特斯系数。当n = 8时， 出现了负系数，从而影响稳定性和收敛性，因此，实用
的只是低阶公式。
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11
Newton-Cotes公式
b f(x)dx a
n
(b a) C(kn)f(x k ， ) x k
k0
a kh
柯特斯系数列表：当n=8的时候，出现负值，不稳定