高二数学 导数的计算(二)ppt
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3.2导数的计算(27张PPT)
;
(7) y 3 x; 2
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯
净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化
到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：
c(x)= 5284 (80 x 100). 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;
(1)90%;
(2)98%.
x
x
f (x) (x2) ' lim y lim 2x x x2 lim (2x x) 2x.
x x0
x0
x
x0
公式三：（x2）' 2x
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
解: y f (x) 1 , x
y f (x x) f (x) 1 1 x x x x (x x)x
y
'
1 x2
探究：
表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
这又说明什么?
这又说明什么?
画出函数y=1/x的图像。根据图像， 描述它的变化情况。并求出曲线在 点（1,1）处的切线方程。
x+y-2=0
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
y f (x x) f (x) C C 0,
y 0, x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：C 0 (C为常数)
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数. 解: y f (x) x,
y f (x x) f (x) (x x) x x,
(1) c '(90) 5284 52.84 (100 90)2
高中数学-选修2-2-1.2-导数的计算人教新课标.ppt
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(1)运用可导函数求导法则和导数公式求可导函数的导数,一定
要先分析函数 y=f(x)的结构和特征,若直接求导很繁琐,一定要先进
行合理的化简变形,再选择恰当的求导法则和导数公式求导.
(2)若要求导的函数解析式与三角函数有关,往往需要先运用相
关的三角函数公式对解析式进行化简,整理,然后再套用公式求导.
ln .
2
2
(2)方法 1:y'=[(x+1)(x+2)(x+3)]'
=[(x+1)(x+2)]'(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)'
=[(x+1)'(x+2)+(x+1)(x+2)'](x+3)+(x+1)·(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)
+(x+1)(x+2)
=(2x+3)(x+3)+x2+3x+2=3x2+12x+11;
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三、求复合函数的导数
活动与探究 3
求下列函数的导数:
(1)f(x)=(-2x+1)2;(2)f(x)=ln(4x-1);
(3)f(x)=23x+2;(4)f(x)= 5x + 4;
(5)f(x)=sin 3x +
6
;(6)f(x)=cos2x.
思路分析:抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导
数的关键,解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数,再运用复合
高中数学(新课标)选修2课件1.2.1-2导数的计算
函数
导数
f(x)＝c(c 为常数) f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝1x f(x)＝ x
f′(x)＝____0____ f′(x)＝____1____
f′(x)＝____2_x___ f′(x)＝__－__x1_2___ f′(x)＝____1____
2· x
知识点二 基本初等函数的导数公式
切点处导数值为 2，求切点坐标； (2)利用切线过定点 P(0,1)列方程求出切点坐标．
方法归纳
(1)求过点 P 的切线方程时应注意，P 点在曲线上还是在曲线外， 两种情况的解法是不同的；
(2)解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：一是切点坐 标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的 斜率是曲线在此切点处的导数值．
【解析】
(1)设切点为(x0，y0)，由 y＝
x得
y′|
x＝ x0
＝ 2
1 x0.
因为切线与
y＝2x－4
平行，所以 2
1x0＝2，
所以 x0＝116，所以 y0＝14，所以切点为116，14.
则所求切线方程为 y－14＝2x－116，即 16x－8y＋1＝0.
(2)设切点 P1(x1， x1)，
答案：C
4．函数 f(x)＝sin x，则 f′(6π)＝________.
解析：f′(x)＝cos x，所以 f′(6π)＝1. 答案：1
类型一 利用导数公式求导数
例 1 求下列函数的导数： (1)y＝x－3； (2)y＝3x；
(3)y＝ x x x； (4)y＝log5x； (5)y＝cosπ2－x； (6)y＝sin π6； (7)y＝ln x； (8)y＝ex.
跟踪训练 2 已知点 P(－1,1)，点 Q(2,4)是曲线 y＝x2 上的两点， 求与直线 PQ 垂直的曲线 y＝x2 的切线方程．
人教A版数学选修2-2《1.2导数的计算》课件(共26张ppt)
2x
x x 1(是常数)
推广:
y f (x) x ( Q)
y/ x 1
这个公式称为幂函数的导数公式.
事实上 可以是任意实数.
基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c，则f'(x)=0
2.若f(x)=xn，则f'(x)=nxn-1(n R)
3.若f(x)=sinx，则f'(x)=cosx
x
x2 2x x x2 x2
x
2x x
O
所以 y' lim y lim 2x x 2x.
x0 x x0
y=x2 x
从几何的角度理解：
y =2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜 率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化. 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y=2x 表明:
x
x
kx x kx
x
kx kx kx k， x
所以 y' lim y lim k k. x0 x x0
3.函数 y = f (x) = x2 的导数
因为
y
f x x f x x x3) y 3 x (4) y 3 x5
2:
(1)已知y x , 求f (1). x2
(2)已知y 2x3 , 求f (2).
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即: f (x) g(x) f (x) g(x)
(3)求极限，得导函数y f (x) lim y . x0 x
几种常见函数的导数 基本初等函数的导数公
式及导数的运算法则
二、几种常见函数的导数
x x 1(是常数)
推广:
y f (x) x ( Q)
y/ x 1
这个公式称为幂函数的导数公式.
事实上 可以是任意实数.
基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c，则f'(x)=0
2.若f(x)=xn，则f'(x)=nxn-1(n R)
3.若f(x)=sinx，则f'(x)=cosx
x
x2 2x x x2 x2
x
2x x
O
所以 y' lim y lim 2x x 2x.
x0 x x0
y=x2 x
从几何的角度理解：
y =2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜 率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化. 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y=2x 表明:
x
x
kx x kx
x
kx kx kx k， x
所以 y' lim y lim k k. x0 x x0
3.函数 y = f (x) = x2 的导数
因为
y
f x x f x x x3) y 3 x (4) y 3 x5
2:
(1)已知y x , 求f (1). x2
(2)已知y 2x3 , 求f (2).
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即: f (x) g(x) f (x) g(x)
(3)求极限，得导函数y f (x) lim y . x0 x
几种常见函数的导数 基本初等函数的导数公
式及导数的运算法则
二、几种常见函数的导数
高二数学人教A版选修2-2导数的计算(二)课件
复合函数的导数
• 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为yx′＝__y_u_′·_u_x_′___.即y对 x的导数等于__y_对__u_的__导_数___ __与__u_对__x的__导__数__的_乘__积____．
• 2．复合函数求导应注意的问题
(1)y＝3－14x4；(2)y＝cos(2 008x＋8)； (3)y＝21－3x；(4)y＝ln(8x＋6)．
[思路点拨] 选取中间变量 → 分解 → 求导 → 转化
解析： (1)引入中间变量 u＝φ(x)＝3－4x. 则函数 y＝3－14x4是由函数 f(u)＝u14＝u－4 与 u＝φ(x)＝3－4x 复合而成的． 查导数公式表可得 f′(u)＝－4u－5＝－u45，φ′(x)＝－4. 根据复合函数求导法则可得3－14x4′＝f′(u)φ′(x) ＝－u45·(－4)＝1u65 ＝3－164x5.
高中数学人教A 版选修2-2
1.2.2 导数的计算（二）
• 1．能利用导数的四则运算法则求解导函数．
• 2．能利用复合函数的求导法则进行复合函数 的求导.（难点）
• 3.掌握求曲线切线方程的方法和切线问题求 参数的题型.（重点）
导数的运算法则
• 设两个函数分别为f(x)和g(x)
两个函数的 和的导数
两个函数的 商的导数
gfxx′＝_f_′__x__g__[xg_－_x_f]_2x__g_′___x_(_g_(_x)_≠__0_)___
• 1．应用导数的运算法则应注意的问题
• (1)对于教材中给出的导数的运算法则，不 要求根据导数定义进行推导，只要能熟练运用 运算法则求简单函数的导数即可．
• (2)对于和差的导数运算法则，此法则可推 广到任意有限个可导函数的和或差，即 [f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)± f′2(x) ±…±f′n(x)．
导数的四则运算法则课件高二下学期数学北师大版(2019)选择性必修第二册
高中数学
选择性必修第二册
北师大版
二 求导法则在实际中的应用
例2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需进化费用不断增加，已知
5284
将1t水进化到纯净度为%所需费用（单位：元），为() = 100− (80 < < 100).
求进化到下列纯净度时，所需进化费用的瞬时变化率：
（1） 90% ；（2） 98%
解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数；
′ ()
=
5284 ′ 5284’ ×(100−)−5284 (100−)’
(100−) =
(100−)2
（1）因为 ′ (90) =
5284
100−90 2
=
0×(100−)−5284 ×(−1)
(100−)2
（2） ’ = (2 + cos)’ = (2 )’ +(cos)’ = 2 ln2 − sin.
（3） ’ = ( 3 e )’ = ( 3 )’ e + 3 (e )’ = 3 2 e + 3 e .
（4） ’
=
2sin ’ (2sin)’ 2 − 3 ( 2 )’
北师大版
随堂小测
1.已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为 ( A )
A．1
B． 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C．－1
D．0
3
2.已知物体的运动方程为s＝t2＋ (t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为 ( D )
19
A. 4
17
B. 4
15
C. 4
13
D. 4
2024-2025学年高二数学选择性必修第二册(北师版)教学课件第二章-§3导数的计算
由导数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的。在必修第一册中我们学过基本初等函数，并且知道，
很多复杂函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的.由此自然想到，能否先求出基本初
等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数
求出复杂函数的导数。本节我们就开始研究这些问题.
北师大版
函数 = = 2 的导数
∆ +∆ −() +∆ 2 − 2 2 +2∆+(∆)2 − 2
解：因为∆ =
=
=
=
∆
∆
∆
所以 ′ = ∆→0
∆
=
∆→0
∆
2+ ∆，
(2 + ∆ ) = 2.
′ =2x表示函数 = 2 的图像，上点 , 处切线的斜率为2x,说明随着变
的价格上涨的速度大约是多少？（精确到0.01元/年）
解:根据基本初等函数的导数公式表有′ = 1.05 ln1.05，
所以′ 10 = 1.0510 ln1.05≈ 0.08，
所以在第10个年头这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.
高中数学
选择性必修第二册
北师大版
跟踪训练
质点的运动方程是S(t)＝sin
cos2
′
＝__________
高中数学
选择性必修第二册
北师大版
即时巩固
4
-1
1.函数＝ 2在＝2处的导数为________．
2. (多选)下列结论正确的是 (ABC)
A．若y＝0，则y′＝0
C．若y＝x－1，则y′＝－x－2
很多复杂函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的.由此自然想到，能否先求出基本初
等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数
求出复杂函数的导数。本节我们就开始研究这些问题.
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函数 = = 2 的导数
∆ +∆ −() +∆ 2 − 2 2 +2∆+(∆)2 − 2
解：因为∆ =
=
=
=
∆
∆
∆
所以 ′ = ∆→0
∆
=
∆→0
∆
2+ ∆，
(2 + ∆ ) = 2.
′ =2x表示函数 = 2 的图像，上点 , 处切线的斜率为2x,说明随着变
的价格上涨的速度大约是多少？（精确到0.01元/年）
解:根据基本初等函数的导数公式表有′ = 1.05 ln1.05，
所以′ 10 = 1.0510 ln1.05≈ 0.08，
所以在第10个年头这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.
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选择性必修第二册
北师大版
跟踪训练
质点的运动方程是S(t)＝sin
cos2
′
＝__________
高中数学
选择性必修第二册
北师大版
即时巩固
4
-1
1.函数＝ 2在＝2处的导数为________．
2. (多选)下列结论正确的是 (ABC)
A．若y＝0，则y′＝0
C．若y＝x－1，则y′＝－x－2
高二导数ppt课件
指数函数和对数函数导数
指数函数f(x)=ex的导数为f'(x)=ex，对数函数f(x)=lnx的导数为 f'(x)=1/x。
导数四则运算法则
加法法则
[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)，即两个函数的和的导数等于各 自导数之和。
减法法则
[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)，即两个函数的差的导数等于被减 数导数减去减数导数。
导数在图像变换中的应用
02
利用导数的性质，研究函数图像的平移、伸缩、对称等变换规
律。
导数在曲线绘制中的应用
03
通过计算函数的导数，确定曲线的切线斜率，从而绘制出函数
的图像。
04
高阶导数及其应用
高阶导数概念引入
定义与性质
高阶导数表示函数在某一点附近 的变化速率，具有局部性、线性
性和求导法则等基本性质。
微分在近似计算中应用举例
利用微分进行函数值的近似计算
通过计算函数在某一点的导数，可以估算函数在该点附近的函数值。
利用微分求最值问题
通过求解函数的导数，可以确定函数的单调区间和极值点，进而求出函数的最值。
THANKS
感谢观看
乘法法则
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)，即两个函数的积的导数等 于第一个函数导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第 二个函数导数。
除法法则
[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g²(x)，即两个函数的商 的导数等于分子中第一个函数导数乘以分母减去分子乘以 分母导数再除以分母平方。
指数函数f(x)=ex的导数为f'(x)=ex，对数函数f(x)=lnx的导数为 f'(x)=1/x。
导数四则运算法则
加法法则
[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)，即两个函数的和的导数等于各 自导数之和。
减法法则
[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)，即两个函数的差的导数等于被减 数导数减去减数导数。
导数在图像变换中的应用
02
利用导数的性质，研究函数图像的平移、伸缩、对称等变换规
律。
导数在曲线绘制中的应用
03
通过计算函数的导数，确定曲线的切线斜率，从而绘制出函数
的图像。
04
高阶导数及其应用
高阶导数概念引入
定义与性质
高阶导数表示函数在某一点附近 的变化速率，具有局部性、线性
性和求导法则等基本性质。
微分在近似计算中应用举例
利用微分进行函数值的近似计算
通过计算函数在某一点的导数，可以估算函数在该点附近的函数值。
利用微分求最值问题
通过求解函数的导数，可以确定函数的单调区间和极值点，进而求出函数的最值。
THANKS
感谢观看
乘法法则
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)，即两个函数的积的导数等 于第一个函数导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第 二个函数导数。
除法法则
[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g²(x)，即两个函数的商 的导数等于分子中第一个函数导数乘以分母减去分子乘以 分母导数再除以分母平方。
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1 y x ln 3
y sin x
1 （8） y 3 x
y 0
（7）y=cos(2π －x)
y sin x
y 3 x
4
练习 2. 已知f ( x) x a , 且f (1) 4, 则实数 a
. __ 4
二、导数运算法则
[ f ( x) g ( x)]' f ( x) ' g ( x) ' [ f ( x) g ( x)]' f ( x) ' g ( x) f ( x) g ( x) ' f ( x) f ( x) ' g ( x) f ( x) g ( x) ' [ ]' 2 g ( x) [ g ( x)]
导数的计算(二)
由导数的概念,我们得到了下面几个常用函数的导数公式: ⑴ (kx b) k (k,b 为常数) ⑶ ( x) 1 ⑷ ( x2 ) 2 x ⑵ (C ) 0 (C 为常数) ⑸ ( x3 ) 3x2
1 1 1 1 1 1 ⑹ ( ) 2 ⑺ ( x ) ( 即 ( x 2 ) x 2 ) x x 2 2 x 观察⑶~⑺的特点,你发现了什么规律?
⑵已知点 P 在函数 y=cosx 上， （0≤x≤2π ） P 处的切线斜 ，在 率大于 0，求点 P 的横坐标的取值范围. 解:设点 P 的横坐标为 x0 ,
则点 P 处的切线斜率为 y |x x0 sin x0 依题意得 sin x0 0 ∴ sin x0 0 ,∵0≤x≤2π ∴ x0 2 ,∴点 P 的横坐标的取值范围为 ( , 2 )
1 1 (a 0, a 1) 且 对数函数求导 (log a x ) log a e x x ln a 1 特殊地 (ln x ) x
练习 1: 写出下列函数的导数: （1）y x 5 5 x 6 y （4） y log3 x （3）y x x x 7 1 x y 4 ln 4 y 8 8 x （5）y=sin( +x) (6) y=sin 2 3 （2）y 4 x
可概括为一个公式: 幂函数求导 ( x n ) nx n1 ( n 为有理数)
一、基本初等函数的求导公式
常数的导数 (C ) 0 (C 为常数) 幂函数求导公式 ( x n ) nx n1 ( n 为有理数) 另外,人们利用导数的定义和重要极限的知识还可以得到下 面几个常用函数的公式: 三角函数求导 (sin x ) cos x , (cos x ) －sin x 指数函数求导 (a x ) a x ln a (a 0，a 1) 特殊地 (e x ) e x
例 2：求 y x2 2x 3 的导数
解： y ' ( x2 2x 3)' ( x2 )' (2 x)' 3' y ' 2x 2
练习：求下列函数的导数
(1) y (2 x 3)( x 2)
y ' 4x 1
x 1 (3) y x 1 3 3 2 1 2 y' x x 2 2 (5) y sin 2 x
2
1 (2) y (1 x )(1 ) x 3 1 1 y ' (x 2 x 2 ) 2 (4) y tan x
1 y' cos 2 x
y ' 2 cos 2 x
作业：P85 A 组 T4 (1)(2)(3) T5
1 练习 3.⑴求过曲线 y=cosx 上点 P( , ) 的切线的直线方程. 3 2 3
解： f ( x ) cos x, f ( x ) sin x, f ( ) sin . 3 3 2 1 3 ， ∴曲线在点 P ( , ) 处的切线斜率为 3 2 2 1 3 3 0. ∴所求的直线方程为 y ( x ), 即 3 x 2 y 1 3 2 2 3
1 练习 4.若直线 y x b 为函数 y 图象的 x 切线,求 b 的值和切点坐标.
1 解:设切点为 P ( x0 , ) x0 1 1 ∵ f ( x ) 2 ,∴依题意得 2 1 ∴ x0 1或 1 x x0 ⑴当 x0 1 时,点 P (1,1) 这时 b 2 ⑵当 x0 1 时,点 P (1, 1) 这时 b 2 ∴ b 2, 切点坐标为 (1,1) 或 b 2, 切点坐标为 (1, 1)