阶段性检测卷(一)
福建省部分优质高中2024-2025学年高二上学期第一次阶段性质量检测数学试卷
福建省部分优质高中2024-2025学年高二上学期第一次阶段性质量检测数学试卷一、单选题1．已知2b a c =+，则直线0ax by c ++=恒过定点（ ） A ．(1,2)- B ．(1,2) C ．(1,2)-D ．(1,2)--2．已知两点()3,2A -，()2,1B ，过点()0,1P -的直线l 与线段AB （含端点）有交点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．(][),11,-∞-+∞U B ．[]1, 1-C ．[)1,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3．下列命题中正确的是（ ）A ．点()3,2,1M 关于平面yOz 对称的点的坐标是()3,2,1--B ．若直线l 的方向向量为()1,1,2e =-r ，平面α的法向量为()6,4,1m =-r，则l α⊥C ．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为120o ，则直线l 与平面α所成的角为30oD ．已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，P 四点共面，且任意三点不共线，若12OP mOA OB OC =-+u u u r u u u r u u u r u u u r ，则12m =-4．已知{},,a b c r r r为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ）A ．a b +r r ，c b +r r ，a c -r rB ．2a b +r r，b r ，a c -r r C ．2a b +r r，2c b +r r ，a b c ++r r rD ．a b +r r ，a b c ++r r r ，c r5．过点()1,4A 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A ．30x y -+=B ．50x y +-=C ．40x y -=或50x y +-=D ．40x y -=或30x y -+=6．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，侧面11A ADD 是正方形，且1120A AB ∠=︒，60DAB ∠=︒，2AB =，若P 是1C D 与1CD 的交点，则异面直线AP 与DC 的夹角的余弦值为（ ）A B C D 7．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA ，1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()102AG λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ）A B C D 8．平面几何中有定理：已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点E ，且AC BD ⊥，过点E 分别作边AB ，BC ，CD ，DA 的垂线，垂足分别为1P ，2P ，3P ，4P ，则1P ，2P ，3P ，4P 在同一个圆上，记该圆为圆F .若在此定理中，直线AB ，BC ，AC 的方程分别为0x y -=，20x y +=，2x =，点()43,1P ，则圆F 的方程为（ ）A ．()221252416x y ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭B ．()22113239x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭C ．()221412416x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭ D ．()22125239x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭二、多选题9．已知向量()1,1,0a =-r ，()1,0,1b =-r ，()2,3,1c =-r，则（ ） A ．6a b -=rr B ．()()37a b b c +⋅+=r r rrC ．()4a b c +⊥r r rD ．()a b c -r rr ∥10．给出下列命题正确的是（ ）A ．直线l 的方向向量为()3,1,2a =-r，平面α的法向量为12,1,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ，则l 与α平行B ．直线()()()1213m x m y m m -+-=-∈R 恒过定点()5,2-C ．已知直线()2210a x ay ++-=与直线320ax y -+=垂直，则实数a 的值是43-D ．已知,,A B C 三点不共线，对于空间任意一点O ，若212555OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r，则,,,P A B C 四点共面11．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为2，AB ，AD ，1AA 两两所成夹角均为60o ，点E ，F 分别在棱1BB ，1DD 上，且12BE B E =，12D F DF =，则（ ）A ．A ，E ，1C ，F 四点共面B ．1AA u u u r 在1AC uuu r 方向上的投影向量为113AC u u u urC ．EF u u u rD ．直线1AC 与EF三、填空题12．1:30l x y -+=，与直线2:220l x my +-=平行，则直线1l 与2l 的距离为.13．已知{},,a b c r r r是空间向量的一个基底，{},,a b a b c +-r r r r r 是空间向量的另一个基底，若向量p r 在基底{},,a b c r r r 下的坐标为()4,2,3，则向量p r在基底{},,a b a b c +-r r r r r 下的坐标为．14．“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设()11,A x y ，()22,B x y ，则A ，B 两点间的曼哈顿距离()1212,d A B x x y y =-+-．已知()4,6M ，点N 在圆22:640C x y x y +++=上运动，若点P 满足(),2d M P =，则PN 的最大值为．四、解答题15．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为矩形，且12,,AA AB AD E F ==分别为111,C D DD 的中点.(1)证明：//AF 平面1A EB .(2)求平面11A B B 与平面1A BE 夹角的余弦值.16．已知ABC V 的顶点()1,2,A AB 边上的中线CM 所在直线的方程为210,x y ABC +-=∠的平分线BH 所在直线的方程为y x =. (1)求直线BC 的方程和点C 的坐标； (2)求ABC V 的面积．17．设直线1:230l x y -+=和直线2:30l x y ++=的交点为P .(1)若直线l 经过点P ，且与直线250x y ++=垂直，求直线l 的方程； (2)若直线m 与直线250x y ++=关于点P 对称，求直线m 的方程. 18．在空间几何体ABC DEF -中，四边形,ABED ADFC 均为直角梯形，π2FCA CAD DAB ABE ∠=∠=∠=∠=，4,5,6AB AC CF AD BE =====．(1)如图1，若π2CAB ∠=，求直线FD 与平面BEF 所成角的正弦值； (2)如图2，设π02CAB θθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭（ⅰ）求证：平面BEF ⊥平面DEF ；（ⅱ）若二面角E BF D --cos θ的值．19．已知圆C 经过坐标原点O 和点()2,2G -，且圆心C 在直线20x y +-=上． （1）求圆C 的方程；（2）设PA PB 、是圆C 的两条切线，其中,A B 为切点． ①若点P 在直线20x y --=上运动，求证：直线AB 经过定点； ②若点P 在曲线214y x =（其中4x >）上运动，记直线PA PB 、与x 轴的交点分别为 M N 、， 求PMN V 面积的最小值．。
长沙一中2025届高三上学期阶段性检测(一)化学试题
长沙市一中2024－2025学年度高三阶段性检测（一）化学试卷时量：75分钟 总分：100分可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Cl 35.5 Fe 56一、选择题（本题共14小题，每小题3分，共42分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．下列文物的主要成分不同于其他三种的是（ ） A ．双面神人青铜面具B ．元代青花带盖瓷梅瓶C ．元代“阳平治都功印”铭玉印D ．屈蹲羽人活环玉佩饰2．下列有关化学用语的叙述错误的是（ ）A ．3NH 的结构式为B ．2CS 的电子式为C ．简单硫离子的结构示意图为D ．基态N 原子的价层电子排布图为3．设A N 为阿伏加德罗常数的值。
下列叙述正确的是（ ） A ．1mol 金属钠生成22Na O ，转移的电子数为A 2N B ．60g 二氧化硅晶体中含有A N 个2SiO 分子C ．乙烯和丙烯的混合物共28g ，含有的氢原子数为A 4ND ．由31molCH COONa 和少量3CH COOH 形成的中性溶液中，3CH COO −数目小于A N4．利用下列试剂和如图所示装置制备气体并除去其中的非水杂质，能达到目的的是（必要时可加热，加热及夹持装置已略去）（ ） 选项 气体试剂Ⅰ试剂Ⅱ试剂ⅢA 2Cl浓盐酸 2MnO NaOH 溶液 B 2CO 稀盐酸 3CaCO饱和3NaHCO 溶液 C 2SO浓硝酸 ()23Na SO s 饱和3NaHSO 溶液D24C H 浓硫酸()25C H OH 14KMnO 酸性溶液5．常温下，通过下列实验探究3NaHCO 的性质。
实验 实验操作和现象1 用pH 试纸测定130.1mol L NaHCO −⋅溶液的pH ，测得pH 约为82 向135mL0.5mol L NaHCO −⋅溶液中加入125mL1mol L CaCl −⋅溶液，产生白色沉淀和气体 3 向135mL0.5mol L NaHCO −⋅溶液中加入()125mL0.1mol L Ba OH −⋅溶液，产生白色沉淀4向135mL0.5mol L NaHCO −⋅溶液中加入1245mL0.1mol L H SO −⋅溶液，有无色气体逸出下列有关说法错误的是（ ）A ．130.1mol L NaHCO −⋅溶液中存在()()()()2323OHCO H H CO c c c c −−++=+ B ．实验2发生反应的离子方程式为233222HCO Ca CaCO H O CO −++=↓++↑ C ．实验3发生反应的离子方程式为2332HCO BaOH BaCO H O −+−++=↓+D ．实验4发生反应的离子方程式为322HCO H H O CO −+++↑6．苯乙烯是一种重要的化工原料，在2CO 气氛下乙苯催化脱氢生成苯乙烯的一种反应历程如图所示，下列说法错误的是（ ）A ．由原料到状态1产生了活性氢原子B ．由状态1到状态2有极性键的断裂和形成C ．催化剂可提高苯乙烯选择性，增大苯乙烯的产率D ．由状态2到生成物只有2种元素的化合价发生了变化7．实验是科学探究的重要手段，下列实验操作或方案正确且能达到预期目的的是（ ） 选项ABCD实验操作或方案实验目的石油分馏时接收馏出物 酸式滴定管排气操作制取氨气证明温度对平衡的影响8．常温下，下列各组粒子在指定溶液中一定能大量共存的是（ ）A ．澄清透明溶液：K +、Na +、24SO −、4MnO −B ．遇KSCN 变红色的溶液：Na +、2Mg +、I −、Cl −C ．pH 0=的溶液：4NH +、2Fe +、223S O −、ClO −D ．通入足量3NH 的溶液：K +、2Cu+、24SO −、Cl −9．科学家合成了一种高温超导材料，其晶胞结构如图所示。
阶段性过关检测卷(一)(含答案)
C．1或D．1或3
3、已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件
A⊆C⊆B的集合C的个数为()
A．1B．2
C．3D．4
4、函数y＝的定义域为 ( )
A．[－4,1] B．[－4,0)
C．(0,1] D．[－4,0)∪(0,1]
5、已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为()
A．a＜2B．a＞2
C．－2＜a＜2D．a＞2或a＜－2
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13、函数f(x)＝－的定义域为________________．
14、已知M＝{a||a|≥2}，A＝{a|(a－2)(a2－3)＝0，a∈M}，则集合A的子集共有_个．
A．[1，＋∞)B．[0，2]
C．[1，2]D．(－∞，2]
11、对于任意a∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，那么x的取值范围是()
A．(1，3)B．(－∞，1)∪(3，＋∞)
C．(1，2)D．(3，＋∞)
12、已知函数f(x)＝若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)成立，则实数a的取值范围是()
15、已知f(x)是奇函数，且x≥0时，f(x)＝x(1－x)，则x<0时，f(x)＝________.
16、设函数f(x)＝，那么f(2 013)＝。
阶段性过关检测卷答题卡
(测试时间：120分钟 评价分值：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1
2
3
4
5
小学一年级语文阶段性测试卷
1. 下列词语中，字形、字音都相同的是（）。
A. 天空B. 水平C. 飞翔D. 开心2. 下列句子中，没有错别字的是（）。
A. 小明很可爱，他每天都笑嘻嘻的。
B. 妈妈给我买了一本有趣的字典。
C. 天上的月亮像一个大圆盘。
D. 我要好好学习，将来当一名科学家。
3. 下列句子中，用词不当的是（）。
A. 妈妈说：“你真是个懂事的孩子。
”B. 老师夸奖我：“你做得很好。
”C. 小鸟在树上叽叽喳喳地唱歌。
D. 我和同学们一起做游戏。
4. 下列词语中，意思相近的是（）。
A. 美丽美观美味B. 高兴快乐欢乐C. 温暖热闹寒冷D. 轻松紧张沉重5. 下列句子中，使用了比喻修辞手法的是（）。
A. 小明跑步很快。
B. 月亮像小船。
C. 老师的手很温暖。
D. 小猫跳得很高。
6. 我最喜欢的动物是______，因为它______。
7. 在课堂上，老师告诉我们______。
8. 我的妈妈______，她______。
9. 春天来了，小草______，花儿______。
10. 我喜欢读书，因为读书可以让我______。
三、改写句子（每题2分，共6分）11. 原句：小鸟在树上叽叽喳喳地唱歌。
改写：小鸟______。
12. 原句：太阳从东方升起。
改写：______升起。
13. 原句：我每天都去公园玩。
改写：______。
四、阅读理解（每题3分，共9分）14. 阅读下面的短文，回答问题。
小猫钓鱼小猫喜欢钓鱼，每天早上都会去河边钓鱼。
但是，小猫钓鱼的时候总是三心二意，一会儿看看鱼漂，一会儿捉捉蝴蝶，一会儿又去捉蜻蜓。
这一天，小猫又去钓鱼了。
它刚坐下，就看到一只蝴蝶飞过来，小猫立刻放下鱼竿去捉蝴蝶。
可是，蝴蝶飞得太快了，小猫怎么也捉不到。
小猫生气地回到了鱼竿旁，可是鱼漂却一动不动。
小猫又去捉蜻蜓，可是蜻蜓飞得更高了。
小猫捉不到蜻蜓，又回到了鱼竿旁。
这次，小猫决定专心钓鱼。
不一会儿，鱼竿动了一下，小猫赶紧提起鱼竿，一条大鱼被钓了上来。
安徽省六安市2024-2025学年皋城中学九年级上学期9月阶段性检测数学试题
初三阶段性目标检测(一)数学试卷时间:120分钟满分:150分一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的.1.一元二次方程x²=x 的根是( )A.x1=0，x2=1B.x1=0，x2=-1C.x1=x2=0D.x1=x2=12.一次函数y=(k-2)x+3的函数值y随x的增大而增大，则k 的取值范围是( )A.k>0B.k<0C.k>2D.k<23.如图，∠A=40°，∠B=55°，∠C=25°，则∠ADC的度数是( )A.115°B.120°C.125°D.130°4.函数y=x2-4x+3与x轴的交点有几个( )A.0个B.1个C.2个D.无法确定5.已知四边形ABCD是平行四边形，若AC⊥BD，要使得四边形ABCD是正方形，则需要添加条件( )A.AB=BCB.∠ABC=90°C.∠ADB=30°D.AC=AB6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )A.6B.8C.10D.137.学校组织音乐社团学生进行“青春旋律，你我飞翔”钢琴演奏比赛，全校共有18名同学进入决赛，他们的决赛成绩如下表:成绩(分)9.49.59.69.79.89.9人数324342则这些学生决赛成绩的中位数是( )A.9.75B.9.70C.9.65D.9.608.在体育选项报考前，某九年级学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为y=,由此可知该生此次实心球训练的成绩为( )A.6米B.10米C.12米D.15米9.已知二次函数y=ax²+(b-1)x+c+1的图象如图所示，则在同一坐标系中y 1=ax²+bx+1与y 2=x-c 的图象可能是( )35x 32x 1212++-10.如图，矩形ABCD 中，AB=8，AD=4，点E 、F 分别是AB 、DC 上的动点，EF//BC ，则 AF+CE 的最小值是( )A.8B.12C.8D.16二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11.计算:(+1)(-1)= 。
城都市郫都区2022级阶段性检测(一)理科数学试题
郫都区高2020级阶段性检测（一）数学（理）命题人：孙卉审题人：钟易生、陈俊龙本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页.满分150分，考试时间120分钟.考生作答时，必须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，只将答题卡交回.第Ⅰ卷(选择题,共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}03A xx =≤≤∣，{}0,1,3,4B =，则A B = （）A ．{}0,1B ．{}0,1,3C ．{}0,1,4D ．{}0,3,42．已知2i z =+，则(i)z z -=（）A ．2i -B ．12i +C ．62i -+D ．62i-3．中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝。
明代会试分南卷、北卷、中卷，按11：7：2的比例录取，若某年会试录取人数为100，则中卷录取人数为（）A ．10B ．35C ．55D ．754．函数()()1ln f x x x =-的图象可能是（）A B CD 5．在ABC 中，60A =︒，1b =a 等于（）A ．4BC D6．执行如图所示的程序框图，则输出i 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．67．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x =（）A ．2sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．22sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C 634x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D 3634x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭8．若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位数，则这样的三位偶数一共有（）A ．20个B ．48个C ．52个D ．120个9．已知定义在R 上的函数()f x 在[)1,-+∞上单调递增，若()20f =，且函数()1f x -为偶函数，则不等式()0xf x >的解集为（）A ．()2,+∞B ．()()4,10,--⋃+∞C ．()4,-+∞D ．()()4,02,-⋃+∞10．在5(12)(1)x x --的展开式中，3x 的系数为（）A ．10B ．10-C ．30D ．30-11．在曲线2y x =上有两个动点,,(1,0)P Q E ，且满足EP EQ ⊥，则EP QP ⋅的最小值为（）A ．14B ．21C ．34D ．112．若对任意()0,x ∞∈+，不等式()2e 2ln x x x ax x -+≥-恒成立，则实数a 的最大值为（）A ．1+e2eB ．32ln28+C ．14D ．21第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.13．若x ，y 满足约束条件2,24,0,x y x y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最大值是________．14．圆1O ：2220x y x +-=和圆2O ：2240x y y m +++=外切，则实数m 的值为______.15．若2πθπ<<，tan 3θ=-=_________．16．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，60BAC ∠=︒，AB AC ==2PA =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为____________.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．（本小题满分12分）为切实加强新时代儿童青少年近视防控工作，经国务院同意发布了《综合防控儿童青少年近视实施方案》．为研究青少年每天使用手机的时长与近视率的关系，某机构对某校高一年级的1000名学生进行无记名调查，得到如下数据：有40%的同学每天使用手机超过1h ，这些同学的近视率为40%，每天使用手机不超过1h 的同学的近视率为25%．（1）从该校高一年级的学生中随机抽取1名学生，求其近视的概率；（2）请完成2×2列联表，通过计算判断能否有99.9%的把握认为该校学生每天使用手机的时长与近视率有关联．每天使用超过1h每天使用不超过1h 合计近视不近视合计1000附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．()20P K k ≥0.150.100.050.0250.0100.00lk 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63510.82818．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为357,3,12n S a a a =+=.（1）求n a 及n S ；（2）令12n nb S =，求证：数列{}2n n b +的前n 项和12n n T +<.19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为1,AB CC 的中点.（1）证明：直线DE 平面11AB C ；（2）若1,2AB BC AB BC BB ⊥===，求平面11AB C 与平面DBE 所成锐二面角的余弦值.20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：()012222>>=+b a by a x 324．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点()1,0P 的直线交椭圆C 于,A B 两点，求OB OA ⋅的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数()e xf x x =，()1g x ax =+，a R ∈．（1）若曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线与直线()y g x =垂直，求a 的值；（2）若方程()()0f x g x -=在()22-，上恰有两个不同的实数根，求a 的取值范围；（3）若对任意[]122x ∈-，，总存在唯一的()22x ∈-∞，，使得()()21f x g x =，求a 的取值范围．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为,14x t y t =⎧⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设10,4P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 的交点为M ，N ，线段MN 的中点为Q ，求PQ ．。
山东济南莱芜第一中学2024年高二上学期第一次阶段性测数学试题(原卷版)
64级高二上学期第一次阶段性检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知点()2,1,1A −关于z 轴的对称点为B ，则AB 等于（ ） AB. C. 2D. 2. 直线:l 2310x y +-=的一个方向向量为（ ）A. ()2,3−B. (−3,2)C. (2,3)D. ()3,23. 在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，则1()2AF AB AC −+= （ ） A. EF −B. BDC. EFD. BD − 4. 已知点(),3,5A a −，()0,,2B b ，()2,7,1C −，若A ，B ，C 三点共线，则a ，b 的值分别是（ ）A. 2−，3B. 1−，2C. 1，3D. 2−，25. “1a =”是“直线()()321480a x a y ++−+=与直线()()52470a x a y −++−=垂直”的（ ） A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 在所有棱长均为2的平行六面体1111ABCD A B C D −中，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=°，则1AC 的长为（ ）A.B.C. D. 67. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC 的顶点为()0,0A ，()5,0B ，()2,4C ，则该三角形的欧拉线方程为（ ） A. 1522y x =−+ B. 1126y x =+ C 210y x =−+ D. 210y x =− 8. 已知一对不共线向量a ，b 的夹角为θ，定义a b × 为一个向量，其模长为sin a b a b θ×=⋅ ，其方向同时与向量a ，b 垂直（如图1所示）．在平行六面体OACB O A C B ′−′′′中（如图2所示），下列结论..的错误的是（ ）A. 12OAB S OA OB =× B. 当π0,2AOB ∠∈ 时，tan OA OB OA OB AOB ×=⋅∠ C. 若2OA OB == ，2OA OB ⋅= ，则OA OB ×=D. 平行六面体OACB O A C B ′−′′′的体积()V OO OA OB =×′⋅ 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知直线l ：10mx y ++＝， 1,0A ，()3,1B ，则下列结论正确的是（ ） A 直线l 恒过定点()0,1B. 当m ＝1时，直线lC. 当m ＝0时，直线l 的斜率不存在D. 当m ＝2时，直线l 与直线AB 垂直10. 已知向量()()1,2,2,25,,1a m m b m m =−=− ，则下列结论正确的是（ ）A. 若a ∥b ，则3m =B. 若a b ⊥ ，则25m =− C. a的最小值为 D. a的最大值为4 11. 已知四面体ABCD 满足1AB CD ==，BC AD BD AC ====） A. 直线AC 与BD 所成的角为30°B. 直线AB 与CD 所成的角为90°C. 点M 为直线AD 上的动点，M 到BCD. 二面角C AB D −−平面角的余弦值为57.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 在正方体ABCD A B C D −′′′′中，点E 是上底面A B C D ′′′′的中心，若AE xAD y AB z AA ′=++ ，则实数x y z ++=________．13. 已知a ∈R ，设直线1l ：()12x a y a ++=−，2l ：28ax y +=−，若12l l ∥，则a =______. 14. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN的长度保持相等，记(0CM BN a a ==<<，当MN 的长最小时，平面MNA 与平面MNB 夹角的正弦值为_______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 菱形ABCD 的顶点,A C 的坐标分别为()()4,7,6,5,A C BC −−边所在直线过点()4,1P −. （1）求,BC AD 边所在直线的方程；（2）求对角线BD 所在直线的方程.16. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D −中，13AA =，2AB =，E ，F 分别为1BB ，1CC 的中点.（1）证明：1//A F 平面CDE .（2）求1A E 与平面CDE 所成角正弦值.17. 已知直线:120(R)l kx y k k −+−=∈．（1）求证：直线l 经过一个定点；（2）若直线l 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴的正半轴于点B ，O 为坐标原点，设AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．的18. 如图，直角梯形 ACDE 中， 145,2,2A ED CD AC B ∠==== 、M 分别为AC 、ED 边的中点，将△ABE 沿BE 边折起到△A 'BE 的位置，N 为边A 'C 的中点．（1）证明：MN ∥平面A 'BE ；（2）当三棱锥A BEN ′−A BE C ′−−为锐二面角时，求平面 NBM 与平面BEDC 夹角的正切值．19. 如图，在三棱台ABC DEF −中，2AB BC AC ===，1AD DF FC ===，N 为DF 的中点，二面角D AC B −−的大小为θ．（1）求证：AC BN ⊥；（2）若π2θ=，求三棱台ABC DEF −的体积；（3）若A 到平面BCFE ，求cos θ的值．。
湖南省长沙市2025届高三上学期阶段性检测(一)数学试题含答案
长沙市2024—2025学年度高三阶段性检测（一）数学试卷（答案在最后）时量：120分钟总分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}1A x x =<，集合{B x y ==，则A B = （）A.()1,1- B.()0,1 C.[)0,1 D.()1,+∞【答案】C 【解析】【分析】求解绝对值不等式和函数定义域解得集合,A B ，再求交集即可.【详解】根据题意，可得{}{}11,0A x x B x x =-<<=≥，故{01}[0,1)A B x x ⋂=≤<=.故选：C .2.已知复数z 满足i 12i =-+z ，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据复数的除法运算法则、结合共轭复数的定义、复数在复平面内对应点的特征进行求解即可.【详解】i 12i =-+z 212i (12i)i2i i iz -+-+⋅⇒===+2i z ⇒=-，所以复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D3.已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件A 有6个样本点，事件B 有4个样本点，事件A B +有8个样本点，则()P AB =（）A.23B.12C.13D.16【答案】D 【解析】【分析】依题意计算可得()12P A =，()13P B =，()23P A B +=，再由概率的加法公式计算即可得1()6P AB =.【详解】根据概率公式计算可得()61122P A ==，()41123P B ==，()82123P A B +==；由概率的加法公式可知()()()()P A B P A P B P AB +=+-，代入计算可得1()6P AB =故选：D4.已知等差数列{}n a 的前5项和535S =，且满足5113a a =，则等差数列{a n }的公差为（）A.-3B.-1C.1D.3【答案】D 【解析】【分析】根据题意得到5151035S a d =+=，511413a a d a =+=，解得答案.【详解】5151035S a d =+=；511413a a d a =+=，解得3d =，11a =.故选：D5.已知()512my x y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中24x y 的系数为80，则m 的值为（）A.2- B.2C.1- D.1【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得55511(2)(2)(2)my x y x y my x y x x ⎛⎫+-=-+-⎪⎝⎭，利用二项式展开式的通项公式1C r n r rr n T ab -+=求出24x y 的项的系数，进而得出结果.【详解】55511(2)(2)(2)my x y x y my x y x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭，在51(2)x y x-的展开式中，由155455(2)()(1)2r r r r r r r r x C x y C x y -----=-⋅，令424r r -=⎧⎨=⎩，得r 无解，即51(2)x y x -的展开式没有24x y 的项；在5(2)my x y -的展开式中，由555155(2)()(1)2rrr r r r r r myC x y mC x y ---+-=-⋅，令5214r r -=⎧⎨+=⎩，解得r =3，即5(2)my x y -的展开式中24x y 的项的系数为35335(1)240mC m --⋅=-，又5(2)()x my x y +-的展开式中24x y 的系数为80，所以4080m -=，解得2m =-.故选：A.6.如图，正方形ABCD 中，2,DE EC P = 是直线BE 上的动点，且(0,0)AP x AB y AD x y =+>>，则11x y+的最小值为（）A. B. C.43+ D.4【答案】C 【解析】【分析】根据给定图形，用,AB AE 表示向量AD，再利用共线向量定理的推论，结合“1”的妙用求解即得.【详解】正方形ABCD 中，2DE EC =，则2233AD AE ED AE CD AE AB =+=+=- ，而AP xAB y AD =+ ，则(22)()33A B x AE A x P AB y AB y E y A --=++=，又点,,B P E 共线，于是2()13x y y -+=，即13y x +=，而0,0x y >>，因此313111)(444()333x y x x y y x y x y ++=+=+++≥+，当且仅当3x y y x =，即3332y -==时取等号，所以当33,22x y ==时，11x y +取得最小值43+.故选：C 7.设3103a =，ln1.03b =，0.03e 1=-c ，则下列关系正确的是（）A.a b c >>B.b a c >>C.c b a >>D.c a b>>【答案】C 【解析】【分析】构造函数()()e 1,0xf x x x =--≥.利用导数判断单调性，证明出0.03e 10.03->.构造函数()()()ln 1,0g x x x x =+-≥.利用导数判断单调性，证明出ln1.030.03<，得到c b >；构造函数()()()ln 1,01xh x x x x =+-≥+.利用导数判断单调性，证明出3ln1.03103>，即为b a >.即可得到答案.【详解】记()()e 1,0xf x x x =--≥.因为()e 1xf x '=-，所以当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00f x f >=，即1x e x ->，所以0.03e 10.03->.记()()()ln 1,0g x x x x =+-≥.因为()11011x g x x x-'=-=<++，所以在0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00g x g <=，即()ln 1x x +<，所以ln1.030.03<.所以c b >.记()()()ln 1,01xh x x x x=+-≥+.因为()()()2211111x h x x x x '=-=+++，所以当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00h x h >=，即()ln 11x x x +>+，所以0.033ln1.0310.03103>=+.所以b a >.综上所述：c b a >>.故选：C8.已知()1tan 1tan tan 622tan 2⎛⎫⎪--⎡⎤-+-=⎪⎢⎥-⎣⎦ ⎪⎝⎭αβαβαβαβ，tan tan 32⎛⎫-= ⎪⎝⎭παβ，则()cos 44+=αβ（）A.7981-B.7981C.4981-D.4981【答案】A 【解析】【分析】结合二倍角公式和两角和差公式化简即可求得.【详解】()1tan 1tan tan 622tan 2⎛⎫ ⎪--⎡⎤-+-= ⎪⎢⎥-⎣⎦ ⎪⎝⎭αβαβαβαβ，222612tan 2tan 21tan1tan 22αβαβαβαβ--⎛⎫ ⎪+= ⎪-- ⎪-⎝⎭-.()()2221tan 2tan 2cos 2261n2si ta n αβαβαβαβαβ--⎛⎫-+ ⎪-= ⎪-- ⎪-⎝⎭，()()221tan 2cos 21s 6ta i 2n n αβαβαβαβ-⎛⎫+ ⎪-= ⎪-- ⎪-⎝⎭，()()()2cos 16c sin os αβαβαβ-⨯=--，()1sin 3αβ-=，1sin cos cos sin 3αβαβ-=，又因为tan tan 32⎛⎫-=⎪⎝⎭παβ，所以sin cos 3cos sin αβαβ=，则11cos sin ,sin cos 62αβαβ==，所以()2sin sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=()()241cos 12sin 129922αβαβ=-=-⨯=++.()()2179cos 442cos 221218181αβαβ+=+-=⨯-=-.故选：A二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg E =4.8+1.5M ，则下列说法正确的是（）A.地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级B.八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C.八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D.记地震里氏震级为n （n =1，2，···，9，10），地震释放的能量为a n ，则数列{a n }是等比数列【答案】ACD 【解析】【分析】根据所给公式，结合指对互化原则，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】对于A ：当15.310E =时，由题意得15.3lg10 4.8 1.5M =+，解得7M =，即地震里氏震级约为七级，故A 正确；对于B ：八级地震即8M =时，1lg 4.8 1.5816.8E =+⨯=，解得16.8110E =，所以16.81.5115.3101010 6.310E E ==>≠，所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的 1.510倍，故B 错误；对于C ：六级地震即6M =时，2lg 4.8 1.5613.8E =+⨯=，解得13.8210E =，所以16.83113.821010100010E E ===，即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C 正确；对于D ：由题意得lg 4.8 1.5n a n =+（n =1，2，···，9，10），所以 4.81.510n n a +=，所以 4.81.5(1)6.31.511010n n n a ++++==所以6.31.5 1.51 4.81.5101010nn n n a a +++==，即数列{a n }是等比数列，故D 正确；故选：ACD10.已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，现有四个条件：①120PF PF ⋅=；②1260F F P ∠=︒；③PO 平分12F PF ∠；④点P 关于原点对称的点为Q ，且12PQ F F =，能使双曲线Ｃ的离心率为1+）A.①②B.①③C.②③D.②④【答案】AD 【解析】【分析】对各个选项进行分析，利用双曲线的定义找到a,c 的等量关系，从而确定离心率.【详解】③PO 平分12F PF ∠且PO 为中线，可得12PF PF =，点P 在双曲线的右支上，所以不成立；若选①②：120PF PF ⋅=，1260F F P ∠=︒，122F F c =可得2PF c =，1PF =，2c a -=，即离心率为1c e a ===+，成立；若选②④：1260F F P ∠=︒，点P 关于原点对称的点为Q ，且12PQ F F =，可得四边形12F QF P 为矩形，即12PF PF ⊥，122F F c =可得2PF c =，1PF =，2c a -=，即离心率为1c e a ===+，成立；故选：AD11.如图，ABCD 是底面直径为2高为1的圆柱1OO 的轴截面，四边形1OO DA 绕1OO 逆时针旋转()0θθπ≤≤到111OO D A ，则（）A.圆柱1OO 的侧面积为4πB.当0θπ<<时，11DD AC ⊥C.当3πθ=时，异面直线1A D 与1OO 所成的角为4πD.1A CD 【答案】BC 【解析】【分析】对于A ，由圆柱的侧面积公式可得；对于B ，由线面垂直的判定定理和性质定理可得；对于C ，由题知，11DO D 为正三角形，根据异面直线所成的角的定义计算得解；对于D ，作1D E DC ⊥，由线面垂直的判定定理和性质定理得1A E DC ⊥.在11Rt A D E 中，1A E ==≤=【详解】对于A ，圆柱1OO 的侧面积为2112ππ⨯⨯=，A 错误；对于B ，因为0θπ<<，所以11DD D C ⊥，又111DD A D ⊥，所以1DD ⊥平面11A D C ，所以11DD AC ⊥，B 正确；对于C ，因为111//A D OO ，所以11DA D ∠就是异面直线1A D 与1OO 所成的角，因为113DO D π∠=，所以11DO D 为正三角形，所以1111DD A D ==，因为111A D DD ⊥，所以114DA D π∠=，C 正确；对于D ，作1D E DC ⊥，垂足为E ，连接1A E ，所以DC ⊥平面11A D E ，所以1A E DC ⊥.在11Rt A D E 中，1A E ==≤=1111222A CD S DC A E =⨯⨯≤⨯= ，所以()1maxA CD S = ，D 错误.故选：BC.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.如图，某景区共有,,,,A B C D E 五个景点，相邻景点之间仅设置一个检票口供出入，共有7个检票口，工作人员为了检测检票设备是否正常，需要对每个检票口的检票设备进行检测.若不重复经过同一个检票口，依次对所有检票口进行检测，则共有____________种不同的检测顺序.【答案】32【解析】【分析】将5个景区抽象为5个点，见7个检票口抽象为7条路线，将问题化归为不重复走完7条路线，即一笔画问题，分析可得只能从B 或E 处出发才能不重复走完7条路线，再用列举法列出所有可能结果，即可得解.【详解】如图将5个景区抽象为5个点，见7个检票口抽象为7条路线，将问题化归为不重复走完7条路线，即一笔画问题，从B 或E 处出发的线路是奇数条，其余是偶数条，可以判断只能从B 或E 处出发才能不重复走完7条路线，由于对称性，只列出从B 处出发的路线情形即可.①走BA 路线：3126547，3126745，3147526，3147625，3156247，3157426，共6种；②走BC 路线：4137526，4137625，4265137，4267315，4562137，4573126，共6种；③走BE 路线：7513426，7543126，7621345，7624315，共4种；综上，共有()266432⨯++=种检测顺序.故答案为：3213.已知函数()()sin f x x ωω=∈R 在π7π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，且π3π244f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则π12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的取值的集合为______.【答案】11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】由π3π244f f ⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得2π42n T ω==+，由函数在π7π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数可得12ω≤，然后对ω的取值逐一验证，然后可得π12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭取值.【详解】由π3π244f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知，3πππ2442T nT +=-=，得π,21T n n =∈+Z ，所以2π42n Tω==+，又函数()()sin f x x ωω=∈R 在π7π,212⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，所以7πππ212212T ≥-=，即6πT ≥，所以12ω≤，所以，ω的可能取值为2,6,10±±±.当0ω>时，由ππ2π2π22k x k ω-+≤≤+解得π2ππ2π,22k k x k ωωωω-+≤≤+∈Z ，经检验，2,6,10ω=时不满足题意；当0ω<时，由ππ2π2π22k x k ω-+≤≤+解得π2ππ2π,22k k x k ωωωω+≤≤-+∈Z ，经检验，2,6ω=--时满足题意.所以，12f π⎛⎫-⎪⎝⎭的可能取值为ππ1ππsin ,sin 11262122f f ⎛⎫⎛⎫-==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【点睛】本题综合考查了三角函数的单调性、最值、周期之间的关系，关键在于能从已知中发现周期的所满足的条件，然后根据周期确定ω的可能取值，再通过验证即可求解.14.斜率为1的直线与双曲线2222:1x y E a b-=（0,0a b >>）交于两点,A B ，点C 是曲线E 上的一点，满足AC BC ⊥，OAC 和OBC △的重心分别为,P Q ，ABC V 的外心为R ，记直线OP ，OQ ，OR 的斜率为1k ，2k ，3k ，若1238k k k =-，则双曲线E 的离心率为______.【解析】【分析】根据直线与双曲线的性质，得出二级结论斜率之积为定值22b a ，取,AC BC 的中点,M N ，得到2122AC BC b k k k k a ⋅=⋅=，再由AC BC ⊥，22OR b k a=，结合所以1238k k k =-，求得b a =c e a ==.【详解】若直线y kx m =+与双曲线22221x ya b-=有两个交点,G H ，设,G H 的中点为K ，联立方程组22221y kx mx y a b =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得222222222()20b a k x a kmx a m a b ----=，可得22222G H a km x x b a k +=-，则22222G H K x x a kmx b a k+==-，又由(,)K K K x y 在直线y kx m =+上，可得22222222K a km b my m b a k b a k=+=--，所以22K OKK y b k x ka ==，所以22GH OK b k k a⋅=，即直线l 与双曲线相交线的中点与原点的连线的斜率与直线l 的斜率之积为定值22b a，如图所示，取,AC BC 的中点,M N ，因为OAC 的重心P 在中线OM 上，OBC △的重心Q 在中线ON 上，所以1OP OM k k k ==，2OQ ON k k k ==，可得22OM AC ON BCb k k k k a⋅=⋅=，即2122AC BCb k k k k a⋅=⋅=，又由AC BC ⊥，可得1AC BCk k ⋅=-，可得22122()b k k a⋅=-因为AC BC ⊥，且ABC V 的外心为点R ，则R 为线段AB 的中点，可得22OR ABb k k a ⋅=，因为1AB k =，所以22OR b k a=，所以2321238()b k ak k =-=-，所以b a =，所以c e a ===.【点睛】知识方法：求解圆锥曲线的离心率的常见方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于e 的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.设函数()()2ln f x x ax x a =-++∈R .（1）若1a =，求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数a 的取值范围.（其中e 是自然对数的底数）【答案】（1）单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞（2）e11,e ⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据题意，求导可得()f x '，即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得ln x a x x =-，构造函数()ln x g x x x =-，其中1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，转化为最值问题，即可求解.【小问1详解】当1a =时，()()2ln ,f x x x x f x =-++的定义域为()0,∞+，()212121x x f x x x x-++=-++='，令()0f x '>，则2210x x --<，解得01x <<，令()0f x '<，则2210x x -->，解得1x >.∴函数()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞.【小问2详解】令()2ln 0f x x ax x =-++=，则ln xa x x=-.令()ln x g x x x =-，其中1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()2221ln ln 11x x x x x g x x x ⋅-+-=-='.令()0g x '>，解得1e x <≤，令()0g x '<，解得11ex ≤<.()g x ∴的单调递减区间为1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，单调递增区间为(]1,e ，()min ()11g x g ∴==.又()111e ,e e e e e g g ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，a ∴的取值范围是e 11,e ⎛⎤-⎥⎝⎦.16.如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为平行四边形，四边形11CC D D 为矩形，平面11CC D D ⊥平面,ABCD E 为线段1CD 的中点，且BE CE =.（1）求证：AD ⊥平面11BB D D ；（2）若4,2AB AD ==，直线1A E 与平面11BB D D 所成角的正弦值为155，求二面角1D AB D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的性质和平行线的性质得到1D B BC ⊥，再根据面面垂直和线面垂直的性质定理结合平面11CC D D ⊥平面ABCD 得到1AD D D ⊥，最后根据线面垂直的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，设()10DD t t =>，利用已知条件和线面角的坐标公式求出t ，再利用面面角的坐标公式求解即可.【小问1详解】在1BCD 中，E 为线段1CD 的中点，且BE CE =，所以1D E CE BE ==，所以112BE CD =，1BCD 为直角三角形，且190CBD ∠=︒，所以1D B BC ⊥，因为底面ABCD 为平行四边形，AD BC ∥，所以1AD D B ⊥，又因为四边形11CC D D 为矩形，所以1D D DC ⊥，因为平面11CC D D ⊥平面ABCD ，平面11CC D D 平面1,ABCD DC D D =⊂平面11CC D D ，所以1D D ⊥平面ABCD ，因为AD ⊂平面ABCD ，所以1AD D D ⊥，因为11111,,D D D B D D D D B =⊂ 平面11BB D D ，所以AD ⊥平面11BB D D .【小问2详解】因为AD ⊥平面11,BB D D BD ⊂平面11BB D D ，所以AD BD ⊥，由（1）知11,D D AD D D ⊥⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以1D D BD ⊥，所以1,,DA DB DD 两两垂直，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在Rt ADB △中，4,2AB AD ==，所以DB ==，设()10DD t t =>，则()()()()10,0,0,2,0,0,2,0,,,0,2t D A A t E B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()1,2,2t A E AB ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，易知平面11BB D D 的一个法向量为D =2,0,0，设直线1A E 与平面11BB D D 所成的角为θ，则111sin cos ,5A E DAA E DA A E DAθ⋅====，解得t =，所以((110,0,,2,0,D AD =-，设平面1ABD 的法向量为 =s s ，则12020AB m x AD m x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令x =)m = ，易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n = ，则cos,5m nm nm n⋅===，易知二面角1D AB D--是锐角，故二面角1D AB D--的余弦值为5.17.软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法.作为我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用.近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育.某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下：书体楷书行书草书隶书篆书人数2416102010（1）该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中60a≤.认真完成不认真完成总计男生5a a女生总计60若根据小概率值0.10α=的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学习软笔书法的女生的人数.（2）现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为X，求X的分布列及数学期望.参考公式及数据：()()()()()22,n ad bcn a b c da b c d a c b dχ-==+++++++.α0.100.050.01xα2.7063.841 6.635【答案】（1）20（2）分布列见解析，()85E X=【解析】【分析】（1）由已知数据完成列联表，根据独立性检验的结论列不等式求出a 的值，可得女生人数；（2）由分层抽样确定两组人数，根据X 的取值计算相应的概率，得分布列，计算数学期望.【小问1详解】根据题意，完成列联表如下：认真完成不认真完成总计男生45a5a a女生4605a -205a -80a-总计602080由题意可得()()2244802060555516 2.7066020801580a a a a a a a a χ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==≥⨯⨯⨯--，得57.38a >.易知a 为5的倍数，且60a ≤，所以60a =，所以该培训机构学习软笔书法的女生有806020-=（人）.【小问2详解】因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为24:163:2=，所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有310632⨯=+（人），学习行书的有210432⨯=+（人），所以X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，()46410C 1510C 21014P X ====，()3164410C C 8081C 21021P X ====，()2264410C C 9032C 2107P X ====，()1364410C C 2443C 21035P X ====，()44410C 14C 210P X ===.X 的分布列为：X01234P114821374351210所以()1834180123414217352105E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.18.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()12,,2,3F F A 为椭圆C 上一点，且到1F ，2F 的距离之和为8.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设B 为A 关于原点O 的对称点，斜率为k 的直线与线段AB （不含端点）相交于点Q ，与椭圆C 相交于点,M N ，若2MNAQ BQ⋅为常数，求AQM V 与AQN △面积的比值.【答案】（1）2211612x y +=（2）1【解析】【分析】（1）根据题意，列出关于,,a b c 的方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，表示出直线MN 的方程，联立与椭圆的方程，结合韦达定理代入计算，然后代入弦长公式，即可得到结果.【小问1详解】由椭圆的定义得1228AF AF a +==，所以4a =.又()2,3A 为椭圆C 上一点，所以22491a b+=，将4a =代入，得212b =，所以椭圆C 的标准方程为2211612x y +=.【小问2详解】因为B 为A 关于原点O 的对称点，所以()2,3B --，直线AB 的方程为32y x =.设()()2,311Q t t t -<<，则直线MN 的方程为()32y t k x t -=-，联立得()221161232x y y t k x t ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，可得()()()222243832432480k x kt k x t k ++-+--=，由点Q 在椭圆内，易知Δ0>，不妨令()()1122,,,M x y N x y ，则()12282343kt k x x k -+=+，()221224324843t k x x k --⋅=+，所以()()()()()()()2222222221212122248116123211443k k t k MNkx x k x x x x k ⎡⎤++--⎣⎦⎡⎤=+-=++-=⎣⎦+.又()()()()()2222222332233131AQ BQ t t t t t ⋅=-+-+++=-，所以()()()()2222222248116123213431k k t k MN AQ BQ k t ⎡⎤++--⎣⎦=⋅+-为常数，则需满足()22221612321k t k t+---为常数，（此式为与t 无关的常数，所以分子与分母对应成比例）即()22161232k k +=-，解得12k =-.将12k =-代入()12282343kt k x x k -+=+，可得124x x t +=，得1222x x t +=，所以Q 为MN 的中点，所以1AQM AQNS MQ S NQ== .【点睛】关键点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交问题，以及椭圆中三角形面积问题，难度较大，解答本题的关键在于结合弦长公式以及将面积比转化为边长比.19.设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为()2,3,4,n n =⋅⋅⋅阶“曼德拉数列”：①1230n a a a a +++=⋅⋅⋅+；②1231n a a a a +++⋅⋅⋅+=.（1）若某()*2k k ∈N阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项na（12n k ≤≤，用,k n 表示）；（2）若某()*21k k +∈N阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项na （121n k ≤≤+，用,k n 表示）；（3）记n 阶“曼德拉数列”{}n a 的前k 项和为()1,2,3,,k S k n =⋅⋅⋅，若存在{}1,2,3,,m n ∈⋅⋅⋅，使12m S =，试问：数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅能否为n 阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.【答案】（1）()1112n n a k -=-或()1112n n a k-=--（2）()()*1,211n na n n k k k k ∴=-∈≤++N 或()()*1,211n n a n n k k k k=-+∈≤++N （3）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）结合曼德拉数列的定义，分公比是否为1进行讨论即可求解；（2）结合曼德拉数列的定义，首先得120,k k a a d ++==,然后分公差是大于0、等于0、小于0进行讨论即可求解；（3）记12,,,n a a a ⋅⋅⋅中非负项和为A ，负项和为B ，则0,1A B A B +=-=，进一步()11,2,3,,2k S k n ≤=⋅⋅⋅，结合前面的结论以及曼德拉数列的定义得出矛盾即可求解.【小问1详解】设等比数列()1232,,,,1k a a a a k ⋅⋅⋅≥的公比为q .若1q ≠，则由①得()21122101kk a q a a a q-++⋅⋅⋅+==-，得1q =-，由②得112a k =或112a k=-.若1q =，由①得，120a k ⋅=，得10a =，不可能.综上所述，1q =-.()1112n n a k -∴=-或()1112n n a k-=--.【小问2详解】设等差数列()12321,,,,1k a a a a k +⋅⋅⋅≥的公差为d ，123210k a a a a ++++⋅⋅⋅+= ，()()11221210,02k k dk a a kd +∴++=+=，即120,k k a a d ++=∴=，当0d =时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾，当0d >时，据“曼德拉数列”的条件①②得，()23211212k k k k a a a a a a +++++⋅⋅⋅+==-+++ ，()1122k k kd d -∴+=，即()11d k k =+，由10k a +=得()1101a k k k +⋅=+，即111a k =-+，()()()()*1111,21111n n a n n n k k k k k k k ∴=-+-⋅=-∈≤++++N .当0d <时，同理可得()1122k k kd d -+=-，即()11d k k =-+.由10k a +=得()1101a k k k -⋅=+，即111a k =+，()()()()*1111,21111n n a n n n k k k k k k k ∴=--⋅=-+∈≤++++N .综上所述，当0d >时，()()*1,211n n a n n k k k k ∴=-∈≤++N ，当0d <时，()()*1,211n n a n n k k k k =-+∈≤++N .【小问3详解】记12,,,n a a a ⋅⋅⋅中非负项和为A ，负项和为B ，则0,1A B A B +=-=，得12A =，12B =-，1122k B S A -=≤≤=，即()11,2,3,,2k S k n ≤=⋅⋅⋅.若存在{}1,2,3,,m n ∈⋅⋅⋅，使12m S =，由前面的证明过程知：10a ≥，20a ≥，⋅⋅⋅，0m a ≥，10m a +≤，20m a +≤，⋅⋅⋅，0n a ≤，且1212m m n a a a ++++⋅⋅⋅+=-.若数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅为n 阶“曼德拉数列”，记数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅的前k 项和为k T ，则12k T ≤.1212m m T S S S ∴=++⋅⋅⋅+≤，又12m S =，1210m S S S -∴==⋅⋅⋅==，12110,2m m a a a a -∴==⋅⋅⋅===.又1212m m n a a a ++++⋅⋅⋅+=-，1m S +∴，2m S +，⋅⋅⋅，0n S ≥，123123n n S S S S S S S S ∴+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，又1230n S S S S +++⋅⋅⋅+=与1231n S S S S +++⋅⋅⋅+=不能同时成立，∴数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅不为n 阶“曼德拉数列”.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得到10a ≥，20a ≥，⋅⋅⋅，0m a ≥，10m a +≤，20m a +≤，⋅⋅⋅，0n a ≤，且1212m m n a a a ++++⋅⋅⋅+=-，由此即可顺利得解.。
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2013年初中毕业学业水平考试·数学阶段性检测卷(一)(第一章～第二章)(时间：120分钟 分值：120分)一、选择题(每小题3分，共36分) 1.2012·四川南充计算：2－(－3)的结果是( )A ．5B ．1C ．－1D ．－5 答案：A 2.2012·四川德阳使代数式x2x －1有意义的x 的取值范围是( )A ．x≥0B ．x≠12 C ．x≥0且x≠12 D ．一切实数 答案：C 3.2012·湖北黄冈下列实数中是无理数的是( )A. 4C ．π0 D. 2 答案：D 4.2012·福建泉州把不等式x ＋1≥0的解集在数轴上表示出来，则正确的是( )图1－1答案：B5.2012·四川攀枝花下列运算正确的是()A.3－8＝－2 B.9＝±3C．(ab)2＝ab2D．(－a2)3＝a6答案：A6.2012·湖南衡阳2012年我省各级政府将总投入594亿元教育经费用于“教育强省”战略．将594亿用科学记数法(保留两个有效数字)表示为()A．5.94×1010B．5.9×1010C．5.9×1011D．6.0×1010答案：B7.2012·山东枣庄如图1－2，从边长为(a＋4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a＋1)cm的小正方形(a＞0)，剩余部分沿虚线剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为()图1－2A．(2a2＋5a)cm2B．(3a＋15)cm2C ．(6a ＋9)cm 2D ．(6a ＋15)cm 2 答案：D8.2012·浙江义乌一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在( )A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间 答案：B 9.2012·贵州黔西南州三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x 2－10x ＋21＝0的解．则第三边的长为( ) A ．7 B ．3 C ．7或3 D ．无法确定 答案：A10.2012·湖北荆州若x －2y ＋9与|x －y －3|互为相反数，则x ＋y 的值为( )A ．3B ．9C ．12D ．27 答案：D 11.2012·内蒙古呼和浩特已知：x 1，x 2是一元二次方程x 2＋2ax ＋b＝0的两根，且x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝1.则a ，b 的值分别是( ) A ．a ＝－3，b ＝1 B ．a ＝3，b ＝1 C ．a ＝－32，b ＝－1 D ．a ＝－32，b ＝1 答案：D12.2012·江苏盐城已知整数a 1，a 2，a 3，a 4…满足下列条件：a 1＝0，a 2＝－|a 1＋1|，a 3＝－|a 2＋2|，a 4＝－|a 3＋3|…依此类推，则a 2012的值为( ) A ．－1005 B ．－1006 C ．－1007 D ．－2012 答案：B二、填空题(每小题3分，共24分) 13.2012·江苏泰州如图1－3，数轴上的点P 表示的数是－1，将点P向右移动3个单位长度得到点P′，则点P′表示的数是__________．图1－3答案：214.2012·贵州黔西南州已知－2xm －1y 3与12x n y m ＋n是同类项，那么(n －m)2012＝______. 答案：115.2012·吉林长春学校购买了一批图书，共a 箱，每箱有b 册．将这批图书的一半捐给社区，则捐给社区的图书为________册(用含a ，b 的代数式表示)． 答案：ab 216.2012·贵州毕节不等式组⎩⎨⎧x ＋12≤11－2x ＜4的整数解是______________． 答案：－1,0,1 17.2012·湖南岳阳关于x 的一元二次方程kx 2＋(2k ＋1)x ＋(k －1)＝0有实数根，则k 的取值范围是__________． 答案：k≥－18且k≠018．计算：8＋13－212＝________.答案：2＋3319.2012·四川宜宾分解因式：3m 2－6mn ＋3n 2＝________. 答案：3(m －n)2 20.2012·四川巴中已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足关系式＋|a －b|＝0，则△ABC 的形状为__________．答案：等腰直角三角形 三、解答题(共60分)21．(本题满分5分)2012·湖南岳阳3－3＋(13)-1－(2012－π)0＋2cos30°答案：解：原式＝3－3＋3－1＋3＝5.22．(本题满分5分)2012·广西贵港解分式方程：2x ＋1＋4x 2－1＝1答案：解：方程两边同时乘以(x ＋1)(x －1)得：2 (x －1)＋4＝x 2－1， x 2－2x －3＝0， (x －3)(x ＋1)＝0， x 1＝3，x 2＝－1.经检验：x 1＝3是原方程的解． 当x 2＝－1时，(x ＋1)(x －1)＝0. 所以原方程的解为：x ＝3.23．(每小题6分，共12分)先化简，再求值：(1)2012·湖南邵阳x(x ＋1)－(x ＋1)(x －1)，其中x ＝2012. 答案：解：原式＝x 2＋x －(x 2－1) ＝x 2＋x －x 2＋1 ＝x ＋1， 当x ＝2012时， 原式＝2012＋1＝2013.(2)2012·江苏南通[1＋2x －4(x ＋1)(x －2)]÷x ＋3x 2－1，其中x ＝6.答案：解：[1＋2x-4x+1x-2（）（）]÷x ＋3x 2－1＝[x 2－x －2＋2x －4（x ＋1）（x －2）]÷x ＋3x 2－1，＝[x 2＋x －6（x ＋1）（x －2）]÷x ＋3x 2－1＝[（x ＋3）（x －2）（x ＋1）（x －2）]×（x ＋1）（x －1）x ＋3＝x －1. 当x ＝6时，原式＝6－1＝5.24．(本题满分8分)2012·广东观察下列等式：第1个等式：a 1＝11×3＝12×(1－13)； 第2个等式：a 2＝13×5＝12×(13－15)； 第3个等式：a 3＝15×7＝12×(15－17)； 第4个等式：a 4＝17×9＝12×(17－19)； …请解答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a 5＝____________＝____________________；(2)用含n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝__________(n 为正整数)； (3)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100的值．答案：解：(1)19×11，12×(19－111)；(2)1（2n －1）×（2n ＋1），12×(12n －1－12n ＋1)；(3)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100＝12×(1－13)＋12×(13－15)＋12×(15－17)＋12×(17－19)＋…＋12×(1199－1201)＝12×[(1－13)＋(13－15)＋(15－17)＋(17－19)＋…＋(1199－1201)]＝12×(1－13＋13－15＋15－17＋17－19＋…＋1199－1201)＝12×(1－1201)＝12×200201＝100201.25．(本题满分8分)2012·湖南长沙以“开放崛起，绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于2012年5月20日在湖南长沙圆满落幕，作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共348个，其中境外投资合作项目个数的2倍比省外境内投资合作项目多51个．(1)求湖南省签订的境外、省外境内的投资合作项目分别有多少个？(2)若境外、省外境内投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元，7.5亿元．求在这次“中博会”中，东道主湖南省共引进资金多少亿元？答案：解：(1)解法一：设湖南省签订的境外投资合作项目有x个，则湖南省签订的省外境内的投资合作项目有(348－x)个．由题意得：2x－(348－x)＝51，解得x＝133，∴348－x＝348－133＝215.答：境外投资合作项目为133个，省外境内投资合作项目为215个．解法二：设湖南省签订的境外投资合作项目有x个，省外境内的投资合作项目有y个．由题意得⎩⎨⎧x ＋y ＝348，2x －y ＝51.解得⎩⎨⎧x ＝133，y ＝215.答：境外投资合作项目为133个，省外境内投资合作项目为215个． (2)133×6＋215×7.5＝798＋1612.5＝2410.5.答：在这次“中博会”中，东道湖南省共引进资金2410.5亿元．26．(本题满分10分)2012·江苏南京某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的售价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元；月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售10部以内(含10部)，每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．(1)若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为多少万元？ (2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？(盈利＝销售利润＋返利) 答案：解：(1)27－0.3＝26.7；(2)设需要销售出x 部汽车可盈利12万元．①当销售10部以内(含10部)时，依题可得[28－27＋0.1(x －1)]x ＋0.5x ＝12.可化为x 2＋14x －120＝0解得： x 1＝－20(不合题意，舍去)，x 2＝6.当销售6部汽车时，当月可盈利12万元．②当销售10部以上时，依题可得[28－27＋0.1(x －1)]x ＋x ＝12. 可化为x 2＋19x －120＝0，解得x 1＝5，x 2＝－24，均不合题意，应舍去． 答：当销售6部汽车时，当月可盈利12万元．27．(本题满分12分)2012·广东深圳“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式．某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台，三种家电的进价和售价如下表所示：(1)在不超出现有资金前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机数量的3倍，请问商场有几种进货方案？ (2)在“2012·年消费促进月”促销活动期间，商家针对这三种节能型产品推出“现金每购满1000元送50元家电消费券一张，多买多送”的活动．在(1)的条件下，若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出消费券多少张？答案：解：(1)设购进电视机x 台，则洗衣机为x 台、空调为(40－2x)台，⎩⎨⎧5000x ＋2000x ＋2400（40－2x ）≤118000，40－2x≤3x.解得：8≤x≤10，答：共有3种方案：①电视机8台，洗衣机8台，空调24台；②电视机9台，洗衣机9台，空调22台；③电视机10台，洗衣机10台，空调20台．(2)设售出的总额为S 元，S ＝5500x ＋2160x ＋2700(40－2x)＝2260x ＋10800， ∵8≤x≤10，∴当x ＝10的时候，W 取得最大值为130600.∴消费券张数为：1306001000＝130.6. ∵购满1000元才赠券，∴共送出130张券．。