课时作业50综合复习

课时作业50 圆的方程一、选择题1．若过点A (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 C ．(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D ．(－3，＋∞)解析：圆的方程可化为(x －a )2＋y 2＝3－2a .过点A (a ，a )可作圆的两条切线，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 2－2a 2＋a 2＋2a －3>0，3－2a >0，解之得a <－3或1<a <32，故a 的取值范围为(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.答案：C2．已知方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(1，－1)D ．(0，－1)解析：由x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0知所表示圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝12－3k 2＋4， 当k ＝0时，r max ＝124＝1， 此时圆的方程为x 2＋y 2＋2y ＝0， 即x 2＋(y ＋1)2＝1，所以圆心为(0，－1)． 答案：D3．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0，当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，k 的值为( )A.13B.15 C ．－13D ．－15解析：圆的方程变形为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆心C (－1，1)，半径r ＝1，直线kx ＋y ＋4＝0恒过定点B (0，－4)，当直线与直线BC 垂直时，圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大，由斜率公式可得直线BC 的斜率为－4－10－(－1)＝－5，故k ＝－15.答案：D4．若圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：将圆的方程变形为(x －1)2＋(y ＋3)2＝10－5a ，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a >0，即a <2.因为圆关于直线y ＝x ＋2b 对称，所以圆心在直线y ＝x ＋2b 上，即－3＝1＋2b ，解得b ＝－2，所以a －b <4.答案：A5．已知圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝1上一点P 到直线3x －4y －3＝0的距离为d ，则d 的最小值为( )A ．1 B.45 C.25D ．2解析：∵圆心C (－1,1)到直线3x －4y －3＝0的距离为|3×(－1)－4－3|5＝2，∴d min ＝2－1＝1. 答案：A6．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长比为1 2，则圆C 的方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝13C ．x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝13解析：由已知得圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π，设圆心(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝43.答案：C 二、填空题7．已知圆C 的圆心与点M (1，－1)关于直线x －y ＋1＝0对称，并且圆C 与x －y ＋1＝0相切，则圆C 的方程为____________________．解析：所求圆的圆心为(－2,2)，设圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝r 2(r>0)，则圆心(－2,2)到直线x －y ＋1＝0的距离为r ，得r ＝322，故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝92.答案：(x ＋2)2＋(y －2)2＝928．圆C 1的方程为(x －3)2＋y 2＝425，圆C 2的方程为(x －3－cos θ)2＋(y －sin θ)2＝125(θ∈R )，过C 2上任意一点P 作圆C 1的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ，则∠MPN 的最大值为________．解析：圆C 2的圆心的轨迹方程是(x －3)2＋y 2＝1，当∠MPN 取最大值时，P 点与圆C 1的圆心之间的距离最小，此时d min ＝45，r 1＝25，所以∠MPN 的最大值为π3.答案：π39．已知直线2ax ＋by ＝1(a ，b 是实数)与圆O ：x 2＋y 2＝1(O 是坐标原点)相交于A ，B 两点，且△AOB 是直角三角形，点P (a ，b )是以点M (0,1)为圆心的圆M 上的任意一点，则圆M 的面积的最小值为________．解析：因为直线与圆O 相交所得△AOB 是直角三角形，可知∠AOB ＝90°，所以圆心O 到直线的距离为12a 2＋b2＝22，所以a 2＝1－12b 2≥0，即－2≤b ≤ 2.设圆M 的半径为r ，则r ＝|PM |＝a 2＋(b －1)2＝12b 2－2b ＋2＝22(2－b )，又－2≤b ≤2，所以2＋1≥|PM |≥2－1，所以圆M 的面积的最小值为(3－22)π.答案：(3－22)π 三、解答题10．已知△ABC 的顶点坐标分别为A (－1,5)，B (－2，－1)，C (4,3)，M 是BC 的中点．(1)求AB 边所在直线的方程． (2)求以线段AM 为直径的圆的方程．解：(1)因为A (－1,5)，B (－2，－1)，所以由两点式得AB 的方程为y －5－1－5＝x －(－1)－2－(－1)，整理得y ＝6x ＋11. (2)因为M 是BC 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋42，－1＋32，即M (1,1)，所以|AM |＝(－1－1)2＋(5－1)2＝25，所以圆的半径为 5.所以AM 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋12，5＋12，即中点为(0,3)，所以以线段AM 为直径的圆的方程为x 2＋(y －3)2＝5.11．在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使|P A |，|PO |，|PB |成等比数列，求P A →·PB→的取值范围． 解：(1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝|－4|1＋3＝2，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)由(1)知A (－2,0)，B (2,0)．设P (x ，y )，则由|P A |，|PO |，|PB |成等比数列得， (x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2. P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)，由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<4，x 2－y 2＝2，由此得y 2<1，所以P A →·PB→的取值范围为[－2,0)．1．已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 为切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A ．4B ．3C ．2 D. 2解析：圆C 的方程可化为x 2＋(y －1)2＝1，因为四边形P ACB 的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kx ＋y ＋4＝0的距离为5，即51＋k 2＝5，解得k ＝±2，又k >0，所以k ＝2.答案：C2．已知直线l ：x ＋y －6＝0和⊙M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，点A 在直线l 上，若直线AC 与⊙M 至少有一个公共点C ，且∠MAC ＝30°，则点A 的横坐标的取值范围是( )A ．(0,5)B ．[1,5]C ．[1,3]D ．(0,3]解析：如图所示，设点A 的坐标为(x 0,6－x 0)，圆心M 到直线AC 的距离为d ，则d ＝|AM |sin30°.因为直线AC 与⊙M 有交点，所以d ＝|AM |sin30°≤2⇒(x 0－1)2＋(5－x 0)2≤16⇒1≤x 0≤5.答案：B3．(2014·湖北卷)已知圆O ：x 2＋y 2＝1和点A (－2,0)，若定点B (b,0)(b ≠－2)和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有|MB |＝λ|MA |，则(1)b ＝________； (2)λ＝________.解析：因为对圆O 上任意一点M ，都有|MB |＝λ|MA |，所以可取圆上点(－1,0)，(1,0)，满足⎩⎪⎨⎪⎧|b ＋1|＝λ，|b －1|＝3λ，解得b ＝－12或b ＝－2(舍去)，b ＝－12，λ＝12，故答案为(1)－12，(2)12. 答案：(1)－12 (2)124．在以O 为原点的直角坐标系中，点A (4，－3)为△OAB 的直角顶点，已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于0.(1)求AB→的坐标； (2)求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程． 解：(1)设AB →＝(x ，y )，由|AB |＝2|OA |，AB →·OA→＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝100，4x －3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8. 若AB →＝(－6，－8)，则y B ＝－11与y B>0矛盾． 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8舍去．即AB →＝(6,8)． (2)圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0，即(x －3)2＋(y ＋1)2＝(10)2，其圆心为C (3，－1)，半径r ＝10，∵OB→＝OA →＋AB →＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)， ∴直线OB 的方程为y ＝12x .设圆心C (3，－1)关于直线y ＝12x 的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎨⎧b ＋1a －3＝－2，b －12＝12·a ＋32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，∴所求的圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.。