高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入章末总结 苏教版选修1-2
高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充教案苏教版选修1-2(2021学年)
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3。
１数系的扩充和复数的引入【教材分析】教材地位和作用:数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程,体现了数学发生发展的客观需求．通过学习,学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入虚数的必要性,体会人类理性思维在数系扩充中的作用,有助于提高学生的数学素养．复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充.学习复数的一些基本知识，为学习复数的四则运算和几何意义做好知识储备。
教材处理办法:精心设计制作教学课件，直观形象地展示数系扩充的过程.化抽象为具体,使学生真实体验数系扩充的必要性及数系扩充要遵循的法则。
在这个过程中了解复数、虚数、纯虚数、复数的实部、虚部等相关概念就水到渠成了.重点:数系扩充的过程和方法，复数的相关概念.难点：数系扩充的过程和方法，虚数的引入.【教学目标】知识目标:了解数系的扩充过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；了解复数的相关概念.能力目标：发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识．情感目标：初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值,崇尚数学具有的理性精神和科学态度,树立辩证唯物主义世界观.【教学方法】教学模式：“4+1”教学模式教学方法:开放式探究,启发式引导,互动式讨论,反馈式评价.学习方法：自主探究,观察发现，合作交流，归纳总结。
苏教版选修1-2高中数学3.1《数系的扩充》ppt课件
【训练1】 下列命题中：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；
④两个虚数不能比较大小．
其中，正确命题的序号是________．
解析 对于复数a＋bi (a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为 纯虚数，在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数， 故①错误；在③中，若x＝－2，不成立，故③错误； 两个虚数不能比较大小，故②错误；④正确．
即 a＝－1 或 a＝6
∴当 a＝－1 或 6 时，z 为实数．
(5 分)
(2)当复数 z 为虚数时，则有 a2－5a－6≠0
解得 a≠－1 且 a≠6
即当 a∈(－∞，－1)∪(－1,6)∪(6，＋∞)时 z 为虚数．(10 分)
(3)当复数 z 为纯虚数时，则有
a2－5a－6≠0， a2－7a＋6＝0，
解析 ①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小．
②由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是复数的代数形式， 不符合复数相等的充要条件．
③若a＝0，则ai不是纯虚数．
④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知，所求补 集应是非纯虚数集与实数集的并集．
故都错误．
答案 0
规律方法 数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不 成立，要结合复数的基本概念，举出反例，即可否定命 题的正确性．
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
苏教版数学高二-高中数学选修1-2教案 第三章 数系的扩充和复数的引入3
宁县五中导学案一、 章节知识网络二、 归纳专题专题一 复数的概念及分类复数是在实数的基础上扩充的，其虚数单位为i ，满足i 2＝－1，且i 同实数间可以进行加、减、法的运算，结合复数的代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)中，a ，b 的条件可把复数分为： 复数(z ＝a ＋b i ， a ，b ∈R) ⎩⎪⎨⎪⎧实数b ＝0，虚数b ≠0⎩⎨⎧纯虚数a ＝0，b ≠0，非纯虚数a ≠0，b ≠0.其中纯虚数中“b ≠0”这个条件易被忽略，学习中应引起足够的注意． 例 1 设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( ) A ． 2 B ． －2C ． －12 D. .12【思路点拨】 先将已知复数化为“a ＋b i”的形式，再由纯虚数定义求a .【规范解答】 法一 1＋a i2－i ＝1＋a i 2＋i 2－i 2＋i＝2－a ＋2a ＋1i5为纯虚数，所以2－a ＝0，a ＝2， 故选A.法二 1＋a i 2－i ＝i a －i2－i为纯虚数，所以a ＝2， 故选A.【答案】A专题二 复数的四则运算复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法项式乘法，除法类比根式的分母有理化，要注意i 2＝－1.在进行复数的运算时，要灵活利用i ，ω或适当变形创造条件，从而转化为关于i ，ω的计算问题，并注意以下结论的灵活应用：(1)设ω＝－12±32i ，则ω2＝ω，1ω＝ω2，ω3n ＝1，ω3n ＋1＝ω(n ∈N ＋)等．(2)(12±32i)3＝－1.(3)作复数除法运算时，有如下技巧：a ＋b ib －a i＝a ＋b i i b －a ii＝a ＋b i ia ＋b i＝i ，利用此结论可使一的计算过程简化．例2 已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＋z ＝( )A ．1－iB ．－2iC ．1＋iD ．－2【思路点拨】 先计算z 1＝z 2－2zz －1，再计算z 1＋z .【规范解答】法一 z 2－2zz －1＝1－i2－21－i 1－i －1＝－2i －2＋2i －i ＝－2i－i ·i＝－2i ，∴z 2－2zz －1＋z ＝－2i ＋1＋i ＝1－i.故选A. 法二 z 2－2zz －1＝z －12－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i＝－i －i－i ·i＝－2i. ∴z 2－2z z －1＋z ＝－2i ＋1＋i ＝1－i.故选A.专题三 共轭复数与模共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复数问题时，除用共轭复数定义与模公式解题外，也常用下列结论简化解题过程： (1)|z |＝1⇔z ＝1z；(2)z ∈R ⇔z ＝z ；(3)z ≠0，z 为纯虚数⇔z ＝－z . 例3设z 1，z 2∈C ，且|z 1|＝1，|z 2|≠1，求|z 1＋z 21＋z 1·z 2|的值．【思路点拨】 利复数模的性质：z ·z ＝|z |2进行化简． 【规范解答】 ∵|z 1|＝1，∴|z 1|2＝z 1·z 1＝1. 从而|z 1＋z 21＋z 1z 2|＝|z 1＋z 2z 1z 1＋z 2|＝|1z 1|＝1|z 1|＝1.专题四 复数的几何意义1.复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数2．任何一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与复平面内一点Z (a ，b )对应，而任一 点(a ，b )又可以与以起点，点Z (a ，b )为终点的向量OZ →对应，这些对应都是一一对应，由此得到复数的几何解法，特|z |，|z －a |的几何意义——距离．3．复数加减法几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z－z1|表示复平面上两点Z，Z1间的距离．4．复数形式的基本轨迹(1)当|z－z1|＝r时，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆；单位1.(2)当|z－z1|＝|z－z2|时，表示以复数z1，z2的对应点为端点的线段的垂直平分线．例4 已知复数z1＝i(1－i)3，(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．【思路点拨】 (1)利用模的定义求解；(2)可以利用三角代换，也可利用几何法数形结合．【规范解答】(1)z1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)，∴|z1|＝22＋－22＝2 2.(2)法一|z|＝1，∴设z＝cos θ＋isin θ，|z－z1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i|＝cos θ－22＋sin θ＋22＝9＋42sinθ－π.4当sin(θ－π)＝1时，4|z－z1|取得最大值9＋42，作业布置课本63页第2,3题。
高二数学 选修1-2教案：3章 数系的扩充与复数的引入教材分析
《第三章数系的扩充与复数的引入》教材分析第一节数系的扩充和复数的概念本节的主要教学内容是数系的扩充和复数的概念、复数的几何意义（几何表示和向量表示）．●教学目标（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．（3）了解复数的代数表示法及其几何意义．●教学重点（1）数系的扩充过程．（2）复数的概念、复数的分类和复数相等的充要条件．（3）复数的几何意义．●教学难点（1）虚数单位i的引进．（2）复数的几何意义．●教学时数本节教学，建议用2课时．第1课时处理数系的扩充和复数的概念；第2课时研究复数的几何意义．●课标对本节内容的处理特点数系的扩充和复数的概念，《课标》与《大纲》教学内容相同，但在处理方式和目标定位上存在差异：（1）《课标》将复数作为数系扩充的结果引入．《大纲》教科书先安排复数的概念，再研究复数的运算，最后介绍数系的扩充．《课标》实验教科书在介绍数系扩充的思想方法的基础上引入复数的概念，力求还原复数的发现与建构过程．（2）《课标》强调在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．从这上点上看，《课标》要求提高了．（3）在复数的代数表示法及其几何意义上，《课标》的教学定位是“了解”，而《大纲》要求“掌握”．从这上点上看，《课标》要求降低了．●教学建议1．关于“数系的扩充的复数的概念”的教学建议（1）课题的引入．教学时，可从方程在给定范围内是否有解提出问题：①在自然数集N中，方程10x+=有解吗？②在整数集Z中，方程21x=有解吗？③在有理数集Q中，方程2x＝2有解吗？④在实数集R中，方程．有解吗？（2）回顾从自然数集N扩充到实数集R的过程．帮助学生认识数系扩充的主要原因和共同特征．可让学生思考如下问题：一一对应① 从自然数集N 扩充到实数集R 经历了几次扩充？② 每一次扩充的主要原因是什么？③ 每一次扩充的共同特征是什么？然后师生共同归纳总结：扩充原因：① 满足实际问题解决的需要；② 满足数学自身完善和发展的需要．扩充特征：① 引入新的数；② 原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展．（3）提出新的问题：如何对实数集进行扩充，使方程210x +=在新的数集中的解？（4）引入虚数单位i ．（5）学习复数的概念．（6）规定复数相等的意义．（7）研究复数的分类．（8）告诉学生“两个复数只能说相等或不相等，不能比较大小”的理由： ① ,a bi c di a c b d +=+⇔==；在,a c b d ==两式中，只要有一个不成立，则a bi c di +≠+．② 如果两个复数都是实数，则可以比较大小；否则，不能比较大小．③ “不能比较大小”的确切含义是指：不论怎样定义两个复数之间的一个关系“＜”，都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四条性质：对于任意实数a ，b 来说，a b <，a b =，b a <这种情况有且只有一种成立； 如果,a b b c <<，那么a c <；如果a b <，那么a c b c +<+；如果,0a b c <<，那么ac bc <．2．关于“复数的几何意义”的教学建议（1）帮助学生认识复数的几何表示．复数的几何表示就是指用复平面内的点Z （,a b ）来表示复数z a bi =+．① 明确“复平面”的概念．② 建立复数集C 和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系，即 复数z a bi =+ 复平面内的点Z （,a b ）．（2）帮助学生认识复数的向量表示．复数的向量表示就是指用复平面内的向量OZ 来表示复数z a bi =+．①认识复平面内的点Z （,a b ）与向量OZ 的一一对应关系．② 在相互联系中把握复数的向量表示：复数z a bi =+一一对应 一一对应 一一对应点Z （,a b ） 向量OZ（3）用数形结合的思想方法，强化对复数几何意义的认识．在复平面内，实数与实轴上的点一一对应，纯虚数与虚轴上的点（原点除外）一一对应，非纯虚数的虚数与象限内的点一一对应．可通过一组练习题来强化这一认识．第二节 复数代数形式的四则运算本节的主要教学内容是复数代数形式的加减运算及其几何意义，复数代数形式的乘除运算．●教学目标（1）掌握复数代数形式的加减运算法则．（2）了解复数代数形式的加减运算的几何意义．（3）理解复数代数形式的乘除运算法则．（4）体验复数问题实数化的思想方法．●教学重点（1）复数代数形式的加减运算及其几何意义．（2）复数代数形式的乘除运算．（3）复数问题实数化的思想方法复数的理解与运用．●教学难点（1）复数代数形式的加减运算的规定．（2）复数代数形式的加减运算的几何意义的理解．（3）复数代数形式的乘除运算法则的运用．●教学时数本节教学，建议用2课时．第1课时处理复数代数形式的加减运算及其几何意义；第2课时研究复数代数形式的乘除运算．●课标对本节内容的处理特点复数代数形式的四则运算，《课标》与《大纲》教学内容与要求基本相同，但在目标定位上存在差异：（1）《课标》要求了解复数代数形式的加减运算的几何意义，对复数的向量表示提出了要求，强化了数形结合思想方法；（2）《课标》明确强调“淡化烦琐的计算和技巧性训练，突出了复数问题实数化的思想方法．●教学建议1．复数代数形式的加法和乘法的运算法则是一种规定，要让学生理解其合理性．这种合理性应从数系扩充的角度来理解：这种规定与实数加法、乘法的法则是一致的，而且实数加法、乘法的有关运算律在这里仍然成立．2．复数的减法、除法分别规定为复数的加法和乘法的逆运算，要让学生按照这种规定自主得出复数减法和除法的运算法则．3．复数代数形式的四则运算可以类比代数运算中的“合并同类项”“分母有理化”，利用21i =-，将它们归结为实数的四则运算．在具体运算情境中，引入共轭复的概念，明确公式22a bi a bi a b+-=+是复数除法中“分母实数化”的()()基础，不必让学生专门计忆复数除法法则．从而让学生体验复数问题实数化的思想方法．4．要引领学生从平面向量的加法、减法的平行四边形或三角形法则来认识并理解复数代数形式的加减运算的几何意义．。
苏教版选修1-2高中数学第3章《数系的扩充及复数的引入》ppt复习课件
(2)复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母 同乘以分母的共轭复数，再进一步化简．
3．复数的几何意义 (1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，复平面的点 Z(a，b)和平面向量O→Z 之间的关系是
(2)设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则复数的模|z|＝r＝ a2＋b2 满足 ①||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|； ②|z|2＝z·z ； ③|z|＝1⇔z·z ＝1 ④|z|2＝| z |2＝|z2|＝| z 2|＝z·z .
2019/8/27
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把 z＝－2a－2bi 代入化简得|b|＝1.② 又∵Z 点在第一象限，∴a<0，b<0， 由①②得ab＝ ＝－ －1 3 ，故所求值为 a＝－ 3，b＝－1.
题型四 化归思想 设出复数 z 的代数形式，即 z＝a＋bi(a，b∈R)，则涉及复数 的分类几何意义，模的运算、四则运算、共轭复数等问题都可以 转化为实数 a，b 应满足的条件，即复数问题转化为实数问题的化 归思想方法．
∴当 a＝－2 或 a＝3 时，z 为纯虚数． (3)由复数 z 所对应的点在复平面上的第二象限的充要条件知
a＋a2＋a3－3<0， a＋3a－5>0，
即aa<>－5或3或a<－－23<. a<3， 解得 a＜－3. ∴当 a<－3 时，z 所对应的点在第二象限．
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2016-2017学年高中数学选修1-2课件：第3章 数系的扩充与复数的引入章末高效整合3
数学 选修1-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
知能整合提升
热点考点例析
章末质量评估
复数的概念
【点拨】 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1)z 是虚数⇔b≠0， (2)z 是纯虚数⇔ab＝ ≠00， ， (3)z 是实数⇔b＝0.
复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－ 3)，当x为何实数时，(1)z∈R；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数．
第十六页，编辑于星期五：十七点 七分。
数学 选修1-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
知能整合提升
热点考点例析
章末质量评估
2．计算：(1)(2＋i)(2－i)；
(2)(1＋2i)2；
(3)11＋ －ii6＋
2＋ 3－
3i 2i.
第十七页，编辑于星期五：十七点 七分。
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第三章 数系的扩充与复数的引入
第十九页，编辑于星期五：十七点 七分。
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第三章 数系的扩充与复数的引入
知能整合提升
热点考点例析
章末质量评估
已知 z 是复数，z＋2i，2－z i均为实数(i 为虚数单位)， 且复数(z＋ai)2 在复平面上对应的点在第一象限，求实数 a 的 取值范围．
[思维点击] 可设 z＝x＋yi(x，y∈R)，利用 z＋2i，2－z i 是实数求 z，再求 a 的取值范围．
第三页，编辑于星期五：十七点 七分。
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第三章 数系的扩充与复数的引入
知能整合提升
热点考点例析
章末质量评估
3．复数是实数的充要条件 (1)z＝a＋bi(a，b∈R)∈R⇔b＝0； (2)z∈R⇔z＝ z ； (3)z∈R⇔z2≥0. 4．复数是纯虚数的充要条件 (1)z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0，且 b≠0； (2)z 是纯虚数⇔z＋ z ＝0(z≠0)； (3)z 是纯虚数⇔z2＜0.
高中数学(苏教版选修1-2)课件第3章 数系的扩充与复数的引入 3.1
∴当m≠－3且m≠－2时复数z是虚数.
(3)复数z是纯虚数的充要条件是
2 m －m－6 ＝0， m＋3 2 m ＋5m＋6≠0
⇔m＝3.
∴当m＝3时复数z是纯虚数.
规律方法
利用复数的概念对复数分类时，主要依据实
部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数.
跟踪演练2 实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋
复数a＋bi中，实数a和b分别叫做复数的实部和
虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同
它的符号叫做复数的虚部.
跟踪演练1 已知下列命题： ①复数a＋bi不是实数； ②当z∈C时，z2≥0； ③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2； ④若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数；
[知识链接]
为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充
到实数集后，人们发现在实数范围内也有很多问题不能解决， 那么怎样解决方程x2＝－1在实数系中无根的问题呢？
如从解方程的角度看，x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，
答
设想引入新数i，使i是方程x2＝－1的根，即i· i＝－1，方
程x2＝－1有解，同时得到一些新数.
1 ①2＋3i；②－3＋2i；③ 2＋i；④π； ⑤－ 3i； ⑥0.
解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数； 1 ②的实部为－3，虚部为 2 ，是虚数； ③的实部为 2 ，虚部为1，是虚数；
④的实部为π，虚部为0，是实数； ⑤的实部为0，虚部为－ 3 ，是纯虚数； ⑥的实部为0，虚部为0，是实数.
规律方法
两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚
部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入本章概览素材 苏教版选修1-2
第3章 数系的扩充与复数的引入本章概览内容提要本章的主要内容是复数的有关概念，复数代数形式的运算以及数系的扩充等.1.数集的扩充过程是自然数集（N ）→整数集（Z ）→有理数集（Q ）→实数集（R ）→复数集（C ）. 数集的每一次扩充，都使数集本身能适合更多种代数运算.2.形如a+bi 的数叫做复数，其中a 、b ∈R ，i 2=-1.当b=0时为实数，当b ≠0时为虚数，当b ≠0且a=0时为纯虚数. 全体复数所组成的集合称为复数集，记为C ，即C={z|z=a+bi,a,b ∈R}.3.任一复数z=a+bi （a 、b ∈R ）和复平面内的一点Z(a,b)对应，且是一一对应；任一复数z=a+bi （a 、b ∈R)与它对应的点所在平面内的一个向量OZ 对应（O 是坐标原点），且也是一一对应.4.引进i 2=-1后，复数的四则运算就可按实数的运算法则同样地进行，并且也满足关于加法、减法的运算律.复数的加、减、乘、除（除数不为0）运算的结果仍是复数.5.本章中的常用结论（1）共轭复数的常用性质：设z=a+bi （a 、b ∈R ），则①z+z =2a;②z-z =2bi （纯虚数或零）；③（z ）=z.（2）共轭复数的代数运算： ①2121z z z z +=+(可推广到任意有限个复数相加的情形)；②2121z z z z -=-；③2121z z z z ⋅=⋅（可推广到任意有限个复数相乘的情形）；④n n )z (z =；⑤2121z z )z z (=（z 2≠0）. （3）共轭复数与模的关系：z z=|z|2=|z|2.(4)判断一个复数是纯虚数，可以从下面几个方面去思考：①实部为0且虚部不为0，则z为纯虚数；②z+z=0且z≠0,则z为纯虚数；③若z为虚数，则z-z为纯虚数；④若z≠0且|z-a|=|z+a|(a∈R+)，则z为纯虚数；⑤若z为纯虚数，则可得z=ki（k∈R且k≠0）.（5）判断一个复数是实数，可从如下几个方面思考：①z的虚部为0，则z∈R;②z=z z∈R;③z+z∈R;④z z=|z|2∈R;⑤z1、z2为纯虚数，则z1·z2∈R.学法指导我们把一个数集连同相应的运算及结构叫作一个数系.本章内容——复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充.数系扩充的过程体现了数学发现和创造过程，同时体现了数学发生发展的客观需求和背景，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充.在本模块中，将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.在有关复数内容的学习过程中，切实注意：1.复数的定义；2.复数相等的概念及其充要条件；3.复数的运算法则.。
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数系的扩充与复数的引入章末总结
知识点一复数的基本概念
复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等．有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答．
例1设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，试求实数m的取值，使(1)z是纯虚数；(2)z是实数；(3)z在复平面上的对应点在复平面的第二象限．
知识点二复数的四则运算
1．复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比分式的分子分母有理化，注意i2＝－1.
2．在高考中，本章考查的热点是复数的运算，尤其是复数的乘除运算，其中渗透着复数的模，共轭复数等概念，熟练掌握运算法则，熟悉常见的结果是迅速求解的关键，一般以填空题的形式考查．
例2已知
z
1＋i
＝2＋i，则复数z＝__________.
例3已知复数z与(z＋2)2－8i均是纯虚数，求复数z.
知识点三 复数问题实数化
复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，桥梁是设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，依据是复数相等的充要条件．
例4 设存在复数z 同时满足下列条件：
(1)复数z 在复平面内对应的点位于第二象限；
(2)z ·z ＋2i z ＝8＋a i (a ∈R )．求a 的取值范围．
知识点四 复数的几何意义
1．复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数的运算的几何意义．复数的几何意义体现了用几何图形的方法研究代数问题的数学思想方法．
2．复数的加减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z －z 1|表示复平面上两点Z 与Z 1之间的距离．
例5 在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量
CA →对应的复数为( )
A ．1－2i
B ．－1＋2i
C ．3＋4i
D ．－3－4i
例6 已知a ∈R ，z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对
应的点的轨迹是什么？
章末总结
答案
重点解读
例1 解 (1)由⎩
⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －＝0，m 2＋3m ＋2≠0，得m ＝3. ∴当m ＝3时，z 是纯虚数．
(2)由⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2－2m －2>0，m 2＋3m ＋2＝0，得m ＝－1或m ＝－2. ∴当m ＝－1或m ＝－2时，z 是实数． (3)由⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －，m 2－2m －2>0，
m 2＋3m ＋2>0，
得－1<m <1－3或1＋3<m <3.
∴当－1<m <1－3或1＋3<m <3时，复数z 在复平面上的对应点在复平面的第二象限． 例2 1－3i
解析 ∵z
1＋i
＝2＋i ， ∴z ＝(2＋i)(1＋i)＝2＋3i －1＝1＋3i ，
∴z ＝1－3i.
例3 解 设z ＝b i (b ∈R ，b ≠0)，
则(z ＋2)2－8i ＝(2＋b i)2－8i ＝(4－b 2)＋(4b －8)i ，
∵(z ＋2)2－8i 为纯虚数，∴4－b 2＝0且4b －8≠0.
∴b ＝－2.∴z ＝－2i.
例4 解 设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，则z ＝x －y i.
由(1)知，x <0，y >0，
又z ·z ＋2i z ＝8＋a i (a ∈R )，
故(x ＋y i)(x －y i)＋2i(x ＋y i)＝8＋a i ，
即(x 2＋y 2－2y )＋2x i ＝8＋a i.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2－2y ＝8，2x ＝a . 消去x ，整理，得4(y －1)2＝36－a 2，
∵4(y －1)2≥0，∴36－a 2≥0，∴－6≤a ≤6.
又2x ＝a ，而x <0，∴a <0，∴－6≤a <0.
所以a 的取值范围为[－6,0)．
例5 D [∵AB →对应复数2＋i ，BC →对应复数1＋3i ，
∴AC →对应复数(2＋i)＋(1＋3i)＝3＋4i ，
∴CA →对应的复数是－3－4i.]
例6 解 由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，
－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，
∴复数z 的实部为正数，虚部为负数，因此，复数z 的对应点在第四象限． 设z ＝x ＋y i (x 、y ∈R )，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－a 2－2a ＋
消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2 (x ≥3)．
∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线，
方程为y ＝－x ＋2 (x ≥3)．。