BB65几种常用的二次曲面与空间曲线-PPT精选文档
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二次曲线的类型.ppt
x2 y2 a2 b2 0,
(6) 抛物线: y2 2 px 0,
(7) 一对平行直线: y2 a2 0,
(8) 一对虚平行直线: y2 a2 0,
(9) 一对重合直线: y 2 0.
1( x
a14
1
)2
2(
y
a24
2
)2
3(z
a34
3
)2
a124
1
a224
2
a324
3
a44
0
令常数项为 a4' 4 , 得:
1 x2 2 y2 3 z2 a4' 4 0
(1) 123a4' 4 0
(2.7)
1°1, 2 , 3, 同号 ,则同于形式
A E 0
的根,它们全为实数.因此:
1
T
T
AT
2
.
3
对二次曲面的方程(2.3)，我们作如下的右手直角坐
标变换，保持原点不动，从旧坐标系 1 {O;e1,e2,e3}
到新坐标系 2 {O;1 e1,e2,e3} 的过渡矩阵为T,即:
T,
(2.9) 椭圆抛物面 双曲抛物面
(2) a34 0, a4' 4 0, 则(2.8)变为:
1 x2 2 y2 a4'4 0.
(2.10)
9° 1 , 2 同号但与 a4' 4 异号 ,则同于形式:
x2 y2 a2 b2 1 0.
10°1 , 2 , a4' 4 同号,则同于形式:
高等数学常用二次曲面图形.ppt
围成的图形如下：
y 0,
y2
12024/9/27
图30：由 z x2 y2 , z x2 y2 围成的图形如下：
z x2 y2 , z x2 y2
22024/9/27
图31：由 z x2 y2 , x2 y2 1, z 0
围成的图形：
图32： 32024/9/27
图14：函数 函
z
1 ey
cos x yey
有无穷多个
极大值，但无极小值。
z 1 ey cos x yey
图15： 62024/9/27
抛物面 z x2 y2 被平面 x y z 1
截成一椭圆。
图16： 72024/9/27
椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 在
点
3 a, 3
x2 y2 2x
02024/9/27
图39：由曲面 z x2 y2 和平面
z 0, x 1, y 1 围成图形如下：
z 0, x 1, y 1
12024/9/27
图40：双曲抛物面 z xy 被柱面 x2 y2 1
所截得的图形如下：
x2 y2 1
图41： 22024/9/27
62024/9/27
图1（2）：x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
的图形在第一卦限部分如下：
x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
图2： 72024/9/27
（2）、曲线
xyz 1
y
21
处的切线
图3： 82024/9/27
（3） 曲线
2x2 y2 z2 16
图46：曲线 x2 y2 z2 1 y z 0
的图形如下：
几种常见的二次曲面共36页文档
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
几种常见的ห้องสมุดไป่ตู้次曲面
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
几种常用的二次曲面与空间曲线
在机械零件设计中，可以利用二次曲面和空间曲线的形状和特性，设计出符合要求的零件，提高机械的性能和稳 定性。
建筑设计
在建筑设计中，可以利用二次曲面和空间曲线的形状和特性，设计出具有艺术感和实用性的建筑外观和内部结构。
物理学
力学研究
在力学研究中，可以利用二次曲面和空 间曲线的形状和特性，研究物体的运动 规律和受力情况，为解决实际问题提供 理论支持。
圆柱螺旋线
右旋圆柱螺旋线
右旋圆柱螺旋线是指沿着圆柱体轴线 旋转的曲线，其方向与圆柱体的旋转 方向一致。
左旋圆柱螺旋线
左旋圆柱螺旋线是指沿着圆柱体轴线 旋转的曲线，其方向与圆柱体的旋转 方向相反。
圆锥螺旋线
圆锥螺旋线
圆锥螺旋线是指沿着圆锥体轴线旋转 的曲线，其形状类似于弹簧。
圆锥摆线
圆锥摆线是指沿着圆锥体母线运动的 曲线，其形状类似于行星轨道。
双曲面
双曲面是一种常见的二次曲面，它的形状像一个马鞍形。
双曲面可以用方程表示为：x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1，其中a、 b、c分别表示双曲面的三个半轴长度。
双曲面在航天工程、船舶工程等领域有广泛应用，例如卫星轨道设计、飞 机机翼设计等。
二次锥面
01
二次锥面是一种常见的二次曲面，它的形状像一个锥
03 二次曲面与空间曲线的应 用
几何学
几何形状研究
二次曲面和空间曲线是几何学中重要的研究对象，通过对它们的形状、性质和 分类的研究，可以深入了解几何学的原理和性质。
空间关系分析
二次曲面和空间曲线可以用来描述和分析空间中点、线、面之间的关系，对于 解决几何问题具有重要的意义。
工程设计
机械零件设计
建筑设计
在建筑设计中，可以利用二次曲面和空间曲线的形状和特性，设计出具有艺术感和实用性的建筑外观和内部结构。
物理学
力学研究
在力学研究中，可以利用二次曲面和空 间曲线的形状和特性，研究物体的运动 规律和受力情况，为解决实际问题提供 理论支持。
圆柱螺旋线
右旋圆柱螺旋线
右旋圆柱螺旋线是指沿着圆柱体轴线 旋转的曲线，其方向与圆柱体的旋转 方向一致。
左旋圆柱螺旋线
左旋圆柱螺旋线是指沿着圆柱体轴线 旋转的曲线，其方向与圆柱体的旋转 方向相反。
圆锥螺旋线
圆锥螺旋线
圆锥螺旋线是指沿着圆锥体轴线旋转 的曲线，其形状类似于弹簧。
圆锥摆线
圆锥摆线是指沿着圆锥体母线运动的 曲线，其形状类似于行星轨道。
双曲面
双曲面是一种常见的二次曲面，它的形状像一个马鞍形。
双曲面可以用方程表示为：x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1，其中a、 b、c分别表示双曲面的三个半轴长度。
双曲面在航天工程、船舶工程等领域有广泛应用，例如卫星轨道设计、飞 机机翼设计等。
二次锥面
01
二次锥面是一种常见的二次曲面，它的形状像一个锥
03 二次曲面与空间曲线的应 用
几何学
几何形状研究
二次曲面和空间曲线是几何学中重要的研究对象，通过对它们的形状、性质和 分类的研究，可以深入了解几何学的原理和性质。
空间关系分析
二次曲面和空间曲线可以用来描述和分析空间中点、线、面之间的关系，对于 解决几何问题具有重要的意义。
工程设计
机械零件设计
曲线和二次曲面
z
x2 y2 z2 2 2 1 (abc 0) 2 a b c
o
y
5）锥面
x
x2 y2 z2 z ( abc 0) 2 2 0 2 a b c
o
y
x
20
6）双曲抛物面
x2 y2 z ( 2 2 ) (ab 0) a b
z
o
x
y
21
18
常用二次曲面
x2 y2 z2 1）椭球面 2 2 2 1 (abc 0) a b c z 2）椭圆抛物面 x2 y2 z 2 2 (ab 0) a b o 3）单叶双曲面
x y z 2 2 1 2 a b c (abc 0)
x
2
2
2
z
x
y
o
y
19
4）双叶双曲面
P ( x, y, z )
P0 ( x0 , y0 , z0 )
2
例1、求与点 A (3, 7, 6) 的距离为 2 个单位，而与点 B (2, 5, 4) 的距离为 4 个单位的点的轨迹方程。 设P (x, y, z) 为所求轨迹的任一点， 解：
AP 2 ,
BP 4 ,
2 2 2 ( x 3) ( y 7) ( z 6) 2 即 2 2 2 ( x 2) ( y 5) ( z 4) 4 ( x 3) 2 ( y 7 ) 2 ( z 6 ) 2 4 2 2 2 ( x 2 ) ( y 5 ) ( z 4 ) 16
当曲线绕 z 轴旋转一周得左图 显然 OP0 OP
2 2 2 y x y ( z z ) x 即 0 0
二次曲面及复习ppt课件
r个1
1 1 0 0
;
事实上，设实对称矩阵B的秩为r. 假设
xTBx ≥ 0, ∨ n维列向量x，
那么 B 一定有r 个正的特征值, 剩余 n-r 个 特征值均为0.
另外，B与以下矩阵合同
r个1
1 1
0
0
;
P240第14题: 请注意在用定义说明一个 矩阵是正定时，需要强调x是非零的向量. 因为x=θ时， xTAx = 0 !
xTAx = (xT, T)Mx > 0,
yTBy = (T, yT)My > 0,
A, B都正定.
;
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例题. 设A, B都是实对称矩阵, M =
AO OB
,
证明: M正定 A, B都正定.
证明: ()
1
1
② 设P1AP =
, Q1BQ =
,
s
t
1
那么P O 1 A O OQ OB
7.当有一个特征值大于零，一个特征值小于零 时，一个特征值等于零，曲面为双曲柱面.
7.当有两个特征值等于零，一个特征值大于零 时，曲面为一对平行的平面.
8.当有两个特征值等于零，一个特征值小于零 时，曲面为一对平行的虚平面.
;
第六章 二次型与二次曲面
§6.3 二次曲面
例18. f(x, y, z) = x2 + 2y2 z2 + 2kxz.
a11 a12 a13
x
b1
A = a12 a22 a23 x = y B = b2
a13 a23 a33
z
b3
;
第六章 二次型与二次曲面
§6.3 二次曲面
二次曲面的方程与图形ppt课件
x2 a2
z
所表示的曲面称为双曲抛物面或马鞍面.
.
7
3. 双曲面
z
(1)单叶双曲面
a x2 2by2 2cz2 21(a,b,c为正 ) 数 x O
y
平面 zz1上的截椭痕 圆.为
平面 y y1上的截痕情况:
1) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 a2
cz22
1yb122
y y1
(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）
(p,q同号) x2 y 2 z 2 p 2q
双曲抛物面
x2 y2 z 2p 2q
• 双曲面: 单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
• 椭圆锥面:
x2 a2
y2 b2
z2
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
.
12
平面 yy1上的截双痕 曲线为 平面 xx1上的截双痕 曲线为 x
Oy
平面 zz1(z1c)上的截 椭圆痕为
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 单叶双曲面 1 双叶双曲面
.
10
z
4. 椭圆锥面
z
ax22by22z2 (a,b为正) 数
在平z面 t上的截痕 椭圆为
x2 (at)2
.
3
x2 a2
by22
cz22
1
(a,b,c为正数)
(3) 截痕: 与 zz1(z1c)的交线为椭圆： ac22(c2x2z12)bc22(c2y 2z12)1
z
z z1
同样 yy1(y1b)及 xx1（ x1a） 的截痕
曲面及其方程、二次曲面-PPT
8
•大家有疑问的，可以询问和交流
•可以互相讨论下，但要小声点
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
10
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
2
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M ( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
21
例5 证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线
f ( y, z) 0
C:
x
0
为母线所产生的旋转曲面S的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
11
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
12
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
13
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
播放
•大家有疑问的，可以询问和交流
•可以互相讨论下，但要小声点
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
10
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
2
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M ( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
21
例5 证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线
f ( y, z) 0
C:
x
0
为母线所产生的旋转曲面S的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
11
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
12
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
13
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
播放
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y
z b
当2时 ,上升高度 h2b, 称为螺距 .
41
例1. 将下列曲线化为参数方程表示:
(1)
x2
y2
1
2x 3z 6
(2)zx2ay22xa2xy02
解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
xco t s
ysint
0t2
z1 3(62cot)s (2) 将第二方程变形为 (xa 2)2y2a42,故所求为
x
故旋转曲面方程为
f( x2y2,z)0
17
同理：当曲线 C:f(y,z)0
绕 y 轴旋转时得旋转曲面方程: f(y, x2z2)0
例1. 旋转抛物面
特点:母线C为抛物线,轴L为抛物线的对称轴。 z
例如:将yoz平面上的抛物线C: z2 2py
绕 y 轴旋转一周所产生的抛物面为:
o y
解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
x2 a2
y2 z2 c2
1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 a2
cz22
1
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
21
二、柱面
z
引例. 分析方程 x2y2R2
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上， x2y2R2表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点 M1(x,y,0),过此点作 x
母线 平行于 z 轴;
准线 xoy 面上的曲线 l1. 方G 程 (y,z)0表柱示 面,
x l1
母线 平行于 x 轴;
y zl 2 y
x
准线 yoz 面, l3
母线 平行于 y 轴;
x
准线 xoz 面上的曲线 l3.
y
38
注:柱面方程与坐标面上的曲线方程容易混淆, 在不同的坐标系中应该注意。
y2 2x表示抛物柱面,
z
母线平行于 z 轴;
准线为xoy 面上的抛物线.
x2 a2
y2 b2
1表示母线平行于
z 轴的椭圆柱面.
x
z
C
o
yl
z
xy0表示母线平行于
z 轴的平面. (且 z 轴在平面上)
o
x
y
x
o y
37
一般地,在三维空间曲面图形的方程中缺少一个变量,
此方程表示柱面方程.其图形平行于所缺变量对应的数轴. 方F 程 (x,y)0表柱示 面, z
旋转曲面.
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f(y,z)0
z
若点 M 1 (0 ,y 1 ,z1 ) C ,则有 f(y1,z1)0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M(x,y,z)
C
M1(0,y1,z1)
M(x,y,z), 则有
o
y
zz1 , x2y2y 1
A 2 x B 2 y C 2 z D E xy y Fxzx G H x I y z J 0
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程, 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
S: x2z22py
例如:将yoz平面上的抛物线C: y2 2pz
x
绕z轴旋转一周所产生的抛物面为:
z
S: x2y22pz
za(x2y2)
问:此曲线若绕x轴旋转所得的是何图形?
0
y
18
例2: S: z1x2y2
z
(0,0,1)
其图形顶点在z轴上(0,0,1)处,
开口向下的旋转抛物面. 例3. 旋转椭球面
一般在xoy面上的曲线，在空间直角坐标系中应该
表示为： F (x, y) 0 z 0
而 F(x,y)0 在空间坐标系中表示柱面。
例如：抛物柱面 z1x2
z
(0,0,1)
在xoz平面上的准线L3
L3
L3 :
z 1 x 2
y 0
x
y
39
三、几种常用的空间曲线
三元二次方程
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M(x,y,z)
l
的坐标也满足方程 x2y2R2
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为
圆柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
x2y2R2 表示圆柱面
22
定义2. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
40
1、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:
xx(t) yy(t) zz(t)
称它为空间曲线的 参数方程.
z
例如,圆柱螺旋线 的参数方程为
M
o
x yz a a vtsci o ntts令t,bv
x
x a cos y a sin
0
y
特点:母线C为椭圆,轴为椭圆的
x
对称轴. 例如:yoz面上的椭圆:
y2 a2
z2 b2
1
绕z轴旋转得旋转曲面方程:
x2 y2 a2
bz22
1
绕y轴旋转得旋转曲面方程:
y2 a2
x2b2z2
1
注:旋转曲面的重要特征是其两个变量的平方项系数相等. 19
例4. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
xa2a2cots
ya2sint
0t2
za 1212cots
42
2、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为 求其在 xoy平面上的投影.
F(x,y,z)0 G(x,y,z)0
(1)
消去 z 得投影柱面 H (x ,y ) 0 , (2 )
满足（1）的数 x,y,z 中的 x, y 必满足（2）式。
的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为
zyco t
z L
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
z x2y2cot
令acot
两边平方
x
M(0,y,z)
y
z2a2(x2y2)
20
例5.
求坐标面
xoz
上的双曲线
x2 a2
z2 c2
1
分别绕
x
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.
高等数学
第二十一讲
主讲教师: 王升瑞
1
第五节
第六章
几种常用的二次曲面与空间曲线
一、旋转曲面 二、柱面 三、几种常用的空间曲线
2
一、旋转曲面
定义1. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
3
下面我们重点讨论母线在坐标面,轴是坐标轴的
这说明曲线C上所有点都在（2）