2017届北京市海淀区高三二模文科数学试题及答案

海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（文） 2015.5本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数2i (1i)-对应的点位于（ ） （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2）已知命题1:0,2p x x x∀>+≥，则p ⌝为（ ） （A ）10,2x x x ∀>+< （B ）10,2x x x ∀≤+< （C ）10,2x x x∃≤+< （D ）10,2x x x∃>+< （3）圆22:4230C x y x y ++-+=的圆心坐标及半径分别是（ ） （A ）(-（B ）（C ）(2,1),2- （D ）(2,1),2-（4）右图表示的是求首项为41-，公差为2的等差数列{}n a 前n 项和的最小值的程序框图.则①处可填写（ ）（A ）0S > （B ）0S < （C ）0a >（D ）0a =（5）已知点(,)(0)A a a a ≠，(1,0)B ，O 为坐标原点.若点C 在直线OA 上，且BC 与OA 垂直，则点C 的坐标是（ ） （A ）11(,)22- （B ）(,)22a a - （C ）(,)22a a （D ）11(,)22（6）在ABC ∆中，若3,3a c A π==∠=，则b =（ ） （A ）4（B ）6（C）（D（7）设320.30.2,log 0.3,log 2a b c ===，则（ ） （A ）b a c << （B ）b c a <<（C ）c b a << （D ）a b c <<（8）已知不等式组4,2,2x y x y x +≥⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域为D ，点(0,0),(1,0)O A .若点M 是D 上的动点，则OA OMOM⋅uu r uuu r uuu r 的最小值是（ ）（A）2（B（C）（D二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）以坐标原点为顶点，(1,0)-为焦点的抛物线的方程为 . （10）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，0()*N n a n ≠∈，1n n n a a S +=，则31a a -= .（11）已知()cos ln f x x x =⋅，0101()()0()f x f x x x ==≠，则01x x -的最小值是 .（12）满足cos()cos cos αβαβ+=+的,αβ的一组值是 .（写出一组值即可）（13）函数3()e x f x x =的极值点0x = ，曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程是 .（14）某网络机构公布某单位关于上网者使用网络浏览器,A B 的信息： ①316人使用A ； ②478人使用B ； ③104人同时使用A 和B ；④567人只使用,A B 中的一种网络浏览器.则这条信息为 （填“真”或“假”），理由是 .三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（15）（本小题满分13分） 已知函数()4sin cos 2f x x x =-. （Ⅰ）求π()6f ；（Ⅱ）求函数()f x的最小值.（16）（本小题满分13分）某中学为了解初三年级学生“掷实心球”项目的整体情况，随机抽取男、女生各20名进行测试，记录的数据如下：已知该项目评分标准为：（Ⅰ）求上述20名女生得分．．的中位数和众数；（Ⅱ）从上述20名男生中，有6人的投掷距离低于7.0米，现从这6名男生中随机抽取2名男生，求抽取的2名男生得分都是4分的概率；（Ⅲ）根据以上样本数据和你所学的统计知识，试估计该年级学生实心球项目的整体情况.（写出两个结论即可）（17）（本小题满分13分）如图所示，在四棱锥P ABCDAD BC，-中，PD⊥平面ABCD，又//⊥，且33AD DC===.PD BC AD（Ⅰ）画出四棱准P ABCD-的正视图；（Ⅱ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅲ）求证：棱PB上存在一点E，使得//AE平面PCD，并求PEEB 的值.（18）（本小题满分14分）已知数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，又数列}{n b 满足n n a b 2log 2=，n S 是数列}{n b 的前n 项和. （Ⅰ）求n S ；（Ⅱ）若对任意的*n ∈N ，都有n k nkS S a a ≤成立，求正整数k 的值.（19）（本小题满分13分） 已知函数()ln 2f x a x x =-+，其中0a ≠. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意的1[1,e]x ∈，总存在2[1,e]x ∈，使得12()()4f x f x +=，求实数a 值.（20）（本小题满分14分）已知椭圆22:14x C y +=，点D 为椭圆C 的左顶点. 对于正常数λ，如果存在过点00(,0)(22)M x x -<<的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，使得AOB AOD S S λ∆∆=，则称点M 为椭圆C 的“λ分点”.（Ⅰ）判断点1,0M （）是否为椭圆C 的“1分点”，并说明理由；（Ⅱ）证明：点10M （,）不是椭圆C 的“2分点”；（Ⅲ）如果点M 为椭圆C 的“2分点”，写出0x 的取值范围. （直接写出结果）海淀区高三年级第二学期期末练习数学（文）答案及评分参考 2015.5 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）D （3）A （4）C（5）D （6）C （7）B （8）C二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。

有两空的小题，第一空2分，第二空3分） （9）24y x=- （10）1（11）12π-（12）,2.4αβπ⎧=⎪⎪⎨π⎪=-⎪⎩ （13）3-，327e y -=-（14）假，由①②③可知只使用一种网络浏览器的人数是212+374=586，这与④矛盾三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（Ⅰ）πππ113()4sin cos 4663222f =-=⨯-=. ………………4分（Ⅱ）因为 ()4sin cos 2f x x x =-24sin (12sin )x x =--………………6分22sin 4sin 1x x =+-22(sin 1)3x =+-.………………8分 因为 1sin 1x -≤≤，所以 当sin 1x =-，即2,2x k k π=π-∈Z 时，()f x 取得最小值3-. ………………13分（16）（共13分）解.(Ⅰ) 20名女生掷实心球得分如下：5，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10．所以中位数为8，众数为9． ………………4分(Ⅱ) 由题意可知，掷距离低于7.0米的男生的得分如下：4，4，4，6，6，6.这6名男生分别记为123123,,,,,A A A B B B .从这6名男生中随机抽取2名男生，所有可能的结果有15种，它们是：121311121323212223(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A A A A AB A B A B A A A B A B A B ，313233121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A B B B B B B B . ………………6分用C 表示“抽取的2名男生得分均为4分”这一事件，则C 中的结果有3个，它们是：121323(,),(,),(,)A A A A A A .………………8分所以，所求得概率31P C==. ………………()1559分(Ⅲ)略.………………13分评分建议：从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行合理的说明即可；也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比；或根据目前情况对学生今后在该项目的训练提出合理建议.（17）（共14分）（Ⅰ）解：四棱准P ABCD-的正视图如图所示.………………3分（Ⅱ）证明：因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD AD ⊥.………………5分因为 AD DC ⊥，PD CD D = ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以AD ⊥平面PCD . ………………7分因为 AD ⊂平面PAD ， 所以 平面PAD ⊥平面PCD . (8)分（Ⅲ）分别延长,CD BA 交于点O ，连接PO ，在棱PB 上取一点E ，使得12PE EB=.下证//AE 平面PCD .………………10分因为 //AD BC ，3BC AD =， 所以 13OA AD OB BC ==，即12OA AB =.所以 OA PE AB EB=.所以 //AE OP . ………………12分 因为OP ⊂平面PCD ，AE ⊄平面PCD ，所以 //AE 平面PCD . ………………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）因为数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，所以1222n n n a -=⨯=. ………………2分所以222log 2log 22n n n b a n ===. ………………3分所以2(22)24+22n n n S n n n +=++==+ . ………………6分（Ⅱ）令2(1)22n n n n n S n n n n c a ++===.则11111(1)(2)(1)(1)(2)222n n n n n n n n n S S n n n n n n c c a a +++++++++--=-=-=. ………………9分所以 当1n =时，12c c <； 当2n =时，32c c =；当3n ≥时，10n n c c +-<，即345c c c >>> . 所以 数列{}n c 中最大项为2c 和3c .所以 存在2k =或3，使得对任意的正整数n，都有k nk nS S a a ≥. ………………13分（19）（共13分） 解：（Ⅰ）'()1,0.a a x f x x x x-=-=> ………………2分当0a <时，对(0,)x ∀∈+∞，'()0f x <，所以 ()f x 的单调递减区间为(0,)+∞；………………4分当0a >时，令'()0f x =，得x a =.因为 (0,)x a ∈时，'()0f x >；(,)x a ∈+∞时，'()0f x <. 所以()f x 的单调递增区间为(0,)a ，单调递减区间为(,)a +∞. ………………6分（Ⅱ）用max min (),()f x f x 分别表示函数()f x 在[1,e]上的最大值，最小值.当1a ≤且0a ≠时，由（Ⅰ）知：在[1,e]上，()f x 是减函数. 所以 max ()(1)1f x f ==.因为 对任意的1[1,e]x ∈，2[1,e]x ∈， 12()()2(1)24f x f x f +≤=<， 所以对任意的1[1,e]x ∈，不存在2[1,e]x ∈，使得12()()4f x f x +=. (8)分当1e a <<时，由（Ⅰ）知：在[1,]a 上，()f x 是增函数，在[,e]a 上，()f x 是减函数.所以 max ()()ln 2f x f a a a a ==-+. 因为 对11x =，2[1,e]x ∀∈，2(1)()(1)()1ln 2(ln 1)33f f x f f a a a a a a +≤+=+-+=-+<，所以 对11[1,e]x =∈，不存在2[1,e]x ∈，使得12()()4f x f x +=. (10)分当e a ≥时，令()4()([1,e])g x f x x =-∈.由（Ⅰ）知：在[1,e]上，()f x 是增函数，进而知()g x 是减函数. 所以 min ()(1)1f x f ==,max ()(e)e 2f x f a ==-+，max ()(1)4(1)g x g f ==-，min ()(e)4(e)g x g f ==-.因为 对任意的1[1,e]x ∈，总存在2[1,e]x ∈，使得12()()4f x f x +=，即12()()f x g x =，所以 (1)(e),(e)(1),f g f g ≥⎧⎨≤⎩即(1)(e)4,(e)(1) 4.f f f f +≥⎧⎨+≤⎩ 所以(1)(e)e 34f f a +=-+=，解得e 1a =+. (13)分综上所述，实数a 的值为e 1+.（20）（共14分） （Ⅰ）解：点10M （,）是椭圆C的“1分点”，理由如下： ………………1分当直线l 的方程为1x =时，由2114y +=可得(1,(1,22A B .（不妨假设点A 在x 轴的上方） 所以1=122AOB S ∆⨯，1=2222AOD S ∆⨯⨯. 所以AOB AODS S ∆∆=，即点10M （,）是椭圆C的“1分点”.………………4分（Ⅱ）证明：假设点M 为椭圆C 的“2分点”，则存在过点M 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，使得2AOB AOD S S ∆∆=. 显然直线l 不与y 轴垂直，设:1l x my =+，1122(,),(,)A x y B x y .由221,41x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得 22(4)230m y my ++-=. 所以12224m y y m -+=+， ①12234y y m -=+.② ………………6分 因为 2AOB AOD S S ∆∆=， 所以12111(||||)22||22y y y +=⋅⋅，即21||3||y y =. (8)分由②可知120y y <，所以213y y =-. ③ 将③代入①中得 124my m =+, ④ 将③代入②中得21214y m =+, ⑤将④代入⑤中得 2214m m =+，无解.所以 点10M （,）不是椭圆C的“2分点”. ………………10分（Ⅲ）x的取值范围为-- . ………………(2,1)(1,2)14分。