数学建模微分方程教程2
微分方程建模方法
返 回
对 于 已 给 的 精 确 度 0 ，当 满 足 y i 1 然 后 继 续 下 一 步 yi 2 的 计 算 ．
( k 1)
y i 1 时 ， y i 1 y i 1 ， 取
(k )
（ k 1）
此即改进的欧拉法．
3．使用泰勒公式 以此方法为基础，有龙格-库塔法、线性多步法等方 法． 4．数值公式的精度 当一个数值公式的截断误差可表示为O（hk+1）（其 中k为正整数，h为步长）时，称它是一个k阶公式． k越大，则数值公式的精度越高．
例1 求
解
du dt
d y dx
2
2
0 应表达为：D2y=0.
2
1 u
的通解.
输入命令：dsolve('Du=1+u^2','t')
结 果：u = tg(tc)
To MATLAB（ff1）
例 2 求微分方程的特解.
d2 y dy 4 29 y 0 2 dx dx y (0 ) 0 , y '(0 ) 1 5 解 输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')
•欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式．
•龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式． •线性多步法有四阶亚当斯外插公式和内插公式． 返 回
（三）用MATLAB软件求常微分方程,ts,x0,options)
自变 量值 函数 值
ode45 ode23 ode11 3ode1 5sode 23s
注意:
1．在解含n个未知数的方程组时，x0和x均为n维向量， M文件中的待解方程组应以x的分量形式写出． 2．使用MATLAB软件求数值解时，高阶微分方程必须 等价地变换成一阶微分方程组．
数学建模偏微分方程
数学建模偏微分方程数学建模是数学与实际问题相结合的一种方法，它试图通过数学模型和解析技巧来解决现实生活中的问题。
在数学建模中，偏微分方程是一类非常重要的数学工具。
偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是涉及到多个变量的函数而产生的方程。
它包含了未知函数的偏导数和自变量之间的关系，可以用来描述许多科学和工程领域中的问题。
偏微分方程广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域，并且在实际问题的求解中具有重要作用。
偏微分方程的求解过程通常分为两个基本步骤：建立数学模型和求解方程。
建立数学模型是将现实问题抽象化为数学问题，通常涉及到对问题的描述和假设的引入。
在建立数学模型时，我们需要考虑到问题的边界条件和初始条件，并根据问题的特征选择合适的数学方程。
常见的偏微分方程包括：抛物型方程、椭圆型方程和双曲型方程。
抛物型方程主要处理与时间有关的问题，如热传导方程和扩散方程；椭圆型方程主要处理静态问题，如拉普拉斯方程和泊松方程；双曲型方程主要处理与空间和时间有关的问题，如波动方程和传热方程。
求解偏微分方程的方法有多种，常见的方法包括分离变量法、特征线法、变换法和数值方法等。
分离变量法是将多自变量的偏微分方程转化为一元变量的常微分方程，从而简化求解过程；特征线法是利用特征线的性质来求解偏微分方程；变换法通过对原方程进行合适的变换来得到新的方程，从而简化求解过程；数值方法是通过数值逼近来求解偏微分方程，常用的数值方法有有限差分法、有限元法和谱方法等。
在实际应用中，偏微分方程被广泛应用于各个领域。
在物理学中，偏微分方程可以用来描述物体的运动、传热、电磁场等现象；在工程学中，偏微分方程可以用来优化结构、分析流体力学问题等；在经济学中，偏微分方程可以用来描述市场行为、金融衍生品定价等。
通过对这些领域的建模和求解，我们可以更好地理解和预测自然界和社会的行为。
总之，偏微分方程是数学建模中的重要工具，它可以用来描述和解决现实问题。
数学建模实验二：微分方程模型Matlab求解与分析
实验二： 微分方程模型Matlab 求解与分析一、实验目的[1] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； [2] 熟悉MATLAB 软件关于微分方程求解的各种命令；[3] 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； [4] 熟悉离散 Logistic 模型的求解与混沌的产生过程。
二、实验原理1. 微分方程模型与MATLAB 求解解析解用MATLAB 命令dsolve(‘eqn1’,’eqn2’, ...) 求常微分方程（组）的解析解。
其中‘eqni'表示第i 个微分方程，Dny 表示y 的n 阶导数,默认的自变量为t 。
（1） 微分方程 例1 求解一阶微分方程 21y dxdy+= (1) 求通解 输入：dsolve('Dy=1+y^2')输出：ans =tan(t+C1)（2）求特解 输入：dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1','x')指定初值为1，自变量为x 输出：ans =tan(x+1/4*pi)例2 求解二阶微分方程 221()04(/2)2(/2)2/x y xy x y y y πππ'''++-=='=-原方程两边都除以2x ，得211(1)04y y y x x'''++-= 输入:dsolve('D2y+(1/x)*Dy+(1-1/4/x^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x')ans =- (exp(x*i)*(pi/2)^(1/2)*i)/x^(1/2) +(exp(x*i)*exp(-x*2*i)*(pi/2)^(3/2)*2*i)/(pi*x^(1/2))试试能不用用simplify 函数化简 输入: simplify(ans)ans =2^(1/2)*pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x) （2）微分方程组例3 求解 d f /d x =3f +4g ; d g /d x =-4f +3g 。
常微分方程在数学建模中的应用
一般地
一阶微分方程的初始条件为：y xx0 y0 二阶微分方程的初始条件为：y xx0 y0
y x x0 y1
( x0，y0，y1为给定值)
（2）由初始条件确定了通解中任意常数后所得到的解，称为微
分方程的特解。
如 y = x2 + 2是方程（1）的特解.
则C1 2,
于是所求特解为 y 2x ex.
二、分离变量法
1．定义 形如 dy f x g y (1)
dx 的方程称为可分离变量的方程.
特点 -- 等式右端可以分解成两个函数之积，其中一个只是x 的函数，另一个只是y的函数
2．解法
设 dy f xgy
dx
分离变量得
1
g y
dy
f
x dx
k
k
故所求特解为
v
mg k
1
k
em
t
由此可见，随着t的增大，速度趋于常数mg/k，但不会超过 mg/k，这说明跳伞后，开始阶段是加速运动，以后逐渐趋于匀 速运动.
第二节 一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程
一、一阶线性微分方程
1．定义： 形如
dy P x y Q x (1)
dx
例1 函数y Cx2 1 是方程xy 2 y 1 0的解吗?若是解, 是通解 2
还是特解 ?
解 将y x2 1 及y 2Cx代入所给方程左端得 2
2Cx2
2
Cx2
1 2
1
2Cx2
2Cx2
11
0
y Cx2 1 是所给方程的解. 2
又 y Cx2 1 中含有一个任意常数C，而所给方程又是一阶微分方程，
数学建模02-常微分方程方法_31
单_的 行星的运动，
源头问题与当今应用
三体问题： 月球在太阳 和 地球引力 作用 下的性态.
源头问题与当今应用
这正是行星及其卫星 在太阳引力和所有别的 星体的相互吸引下 的 运动研究的开端.
源头问题与当今应用
例题6.1.7海王星的发现: 1781年发现天王（后， 人们注意到其位置 总是 和万有引力定律 计算出 来的结果不符.
例题6.1.13 传染 病模型 一些新的 ' 不断变异着的 传染病毒 悄悄向 人类袭来.
源头问题与当今应用
20世纪80年代的艾滋病毒, 至今仍在蔓延； 2003年的SARS病毒' 2005年的禽流感' 2014年的埃博拉病毒
源头问题与当今应用
以及当前的塞卡病毒, 一次又一次地 威胁人 类. 是各国政府和专家 特 别关注的课题.
源头问题与当今应用
其对数定义用 现代的记号 写出就是一个 微分方程.
源头问题与当今应用
例题6.1.2 饿狼扑兔问题： 一只兔子 正在洞穴正南面 60码的地方觅食,
源头问题与当今应用
一只饿狼此刻 正 在兔子正东 100 码的地方. 兔子 急忙向 自己的洞 穴奔去.
源头问题与当今应用
饿狼立即以一倍 于兔子的速度 紧 盯着兔子追去. 问：兔子能否 逃 脱厄运？
源头问题与当今应用
甚至用e 代替sin。 所得到的近似方程 在分析上也 未曾 研究过的.
源头问题与当今应用
例题6.1.5地球的形状: 如果已经知道了 地球 的形状， 那末就可进 行 引力定律的验证.
源头问题与当今应用
例题6.1.6三体问题: 主导着这一世纪 的 物理研究领域 是天 文学.
数学建模竞赛课件---微分方程模型
案例分析
通过几个具体案例，展示微分方程在建模竞赛中的应用。包括鱼的增长模型、自由落体问题、热传导问 题和稳定的经济增长模型。
结语
微分方程是数学建模竞赛中必不可少的工具，对于解决复杂问题具有重要作 用。通过系统学习和实践，可以掌握微分方程的解法和应用。
一阶微分方程
一阶微分方程是最基本的微分方程类型之一，包括可分离变量、齐次线性、 一阶线性和变量分离法等。掌握这些求解方法可以解决许多实际问题。
高阶微分方程
高阶微分方程是一阶微分方程的延伸，包括齐次线性、非齐次线性、常系数 和变系数等类型。熟练掌握这些求解方法可以应对更加复杂的建模问题。
微分方程在建模中的应用
数学建模竞赛课件---微分 方程模型
本课件介绍微分方程模型在数学建模竞赛中的重要性和应用。内容包括微分 方程的定义、分类、解法，以及在生物学、物理学、是数学中的重要工具，可用于描述自然现象和科学问题。它们分为 常微分方程和偏微分方程，并可以按类型进行分类。了解微分方程的解法对 于建模竞赛至关重要。
数学建模之微分方程建模与平衡点理论
微分方程列微分方程常用的方法： （1）根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立微分方程模型。
（2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。
（3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
一、模型的建立与求解 1.1传染病模型 （1）基础模型假设：t 时刻病人人数()x t 连续可微。
每天每个病人有效接触（使病人治病的接触）的人数为λ，0t =时有0x 个病人。
建模：t 到t t +∆病人人数增加()()()x t t x t x t t λ+∆-=∆ （1）0,(0)dxx x x dtλ== （2） 解得：0()t x t x e λ= （3）所以，病人人数会随着t 的增加而无限增长，结论不符合实际。
（2）SI 模型假设：1.疾病传播时期，总人数N 保持不变。
人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。
2.每位病人每天平均有效接触λ人，λ为日接触率。
有效接触后健康者变为病人。
依据：患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)* λs(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数) 建模：di N Nsi dtλ= （4）由于()()1s t i t += （5）设t=0时刻病人所占的比例为0i ，则可建立Logistic 模型0(1),(0)dii i i i dtλ=-= （6） 解得：01()111kti t e i -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭（7）用Matlab 绘制图1()~i t t ，图2 ~di i dt图形如下，结论：在不考虑治愈情况下①当12i =时didt 达到最大值m di dt ⎛⎫ ⎪⎝⎭，这时101ln 1m t i λ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭②t →∞时人类全被感染。
matlab教学第二章 微分方程PPT课件
作线性组合得到平均斜率，由此得到更高阶的精
度，这就是龙格-库塔方法的基本思路。
在MATLAB软件中含有数值求解的系统函数，其
实现原理就是龙格－库塔方法。
其中参数k >0，m=18。
2020/11/12
8
2.2.2 利用平衡与增长式
许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性， 如封闭区域内的能量、货币量等。利用变量间的平衡 与增长特性，可分析和建立有关变量间的相互关系。
此类建模方法的关键是分析并正确描述基本模型的右 端，使平衡式成立。
例2.2 战斗模型：两方军队交战，希望为这场战斗建 立一个数学模型，应用这个模型达到如下目的：
“速率”、“增长”、“衰变”、“边际的”等常涉及到
导数。
我们熟悉的速度公式：dy v 就是一个简单的一阶微分方
程。
dt
微分方程是指含有导数或微分的等式。 一般形式： F(x,y,y,,y(n))0
或y： (n) f(x,y,y,,y(n1)).
常用的建立微分方程的方法有：运用已知物理定律；利用 平衡与增长式；运用微元法；应用分析法。
y2(k+1)=(y2(k)+h*x1(k+1)+h)/(1+h);
y3(k+1)=(y3(k)+(h/2)*(-y3(k)+x1(k)+x1(k+1)+2))/(1+h/2);
end
x=0:0.1:1;
y=x+exp(-x);
x1=x1(1:11),y=y(1:11),y1=y1(1:11),y2=y2(1:11),y3=y3( 1:11),
202092040捕食者的存在使食饵的增长率降低假设x1降低的程度与捕食者数量x2成正比即食饵对捕食者的数量x2起到增长的作用其程度与食饵数量x1成正比即dtdxdtdxdtdxdtdx生产理论把企业仅仅抽象为一个生产函数一种投入产出关系一个追求利润最大化的黑匣子它没有讨论企业内部是如何配置资源的企业是如何组织生产的企业和市场的关系如何各自的边界在哪里
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§3.5传染病模型
传染病是人类的大敌，通过疾病传播过程中若干重要因素之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规律并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。
在本节中，我们将主要用多房室系统的观点来看待传染病的流行，并建立起相应的多房室模型。
问题的提出：
医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。
即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。
如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。
设某地区共有n +1人，最初时刻共有i 人得病，t 时刻已感染（infective ）的病人数为i (t )，假定每一已感染者在单位时间内将疾病传播给k 个人（k 称为该疾病的传染强度），且设此疾病既不导致死亡也不会康复
模型1此模型即Malthus 模型，它大体上反映了传染病流行初期的病人增长情况，在医学上有一定的参考价值，但随着时间的推移，将越来越偏离实际情况。
已感染者与尚未感染者之间存在着明显的区别，有必要将人群划分成已感染者与尚未感染的易感染，对每一类中的个体则不加任何区分，来建立两房室系统。
()o
di ki dt i o i ⎧=⎪⎨⎪=⎩则可导出：故可得：()kt
o i t i e =（3.15）
模型2
记t 时刻的病人数与易感染人数（susceptible ）分别为i (t )与s (t )，初始时刻的病人数为i 。
根据病人不死也不会康复的假设及（竞争项）统计筹算律，1o o o i c n i =+-其中：(1)(1)(1)()1k n t o k n t
o c n e i t c e +++=+解得：
（3.17）
()()1()o di kis dt i t s t n i o i ⎧=⎪⎪+=+⎨⎪=⎪⎩可得：（3.16）统计结果显示，(3.17)预报结果比(3.15)更接近实际情况。
医学上称曲线为传染病曲线，并称最大值时刻t 1为此传染病的流行高峰。
~di t dt di dt 220d i dt =令：1ln (1)
o
c t k n =-+得：此值与传染病的实际高峰期非常接近，可用作医学上的预报公式。
模型2仍有不足之处，它无法解释医生们发现的现象，且当时间趋与无穷时，模型预测最终所有人都得病，与实际情况不符。
为了使模型更精确，有必要再将人群细分，建立多房室系统
infective recovered susceptible k l
(1) (2)()()() 1 (3)
,()0o di ksi li dt dr li dt s t i t r t n i(o)i r o ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪++=+⎪⎪==⎩（3.18）l 称为传染病恢复系数求解过程如下：
对（3）式求导，由（1）、（2）得：ds
k dr ksi s dt l dt =-=-()()k r t l o s t s e
-=解得：
记：l k ρ=则：1()()r t o s t s e ρ
-=将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染
者和已恢复者（recovered ）。
分别记t 时刻的三类人数为s (t )、i (t )和r (t )，则可建立下面的三房室模型：
模型3
infective recovered susceptible k l 由(1)式可得：di ds ds ds li dt dt dt s dt ρ=--=-+从而解得：1()()()()ln ()()1()()o o o r t o s t i t i s s t s s t s e r t n i t s t ρρ-⎧=+-+⎪⎪⎪⎨=⎪⎪⎪=+--⎩积分得：()()()ln o o o s t i t i s s t s ρ=+-+（3.19）不难验证，当t →+∞时，r (t )趋向于一个常数，从而可以解释医生们发现的现象。
为揭示产生上述现象的原因（3.18）中
的第（1）式改写成：()
di ki s dt ρ=-其中通常是一个与疾病种类有关的
较大的常数。
k l =ρ下面对进行讨论，请参见右图
ρ0di dt <如果，则有，此疾病在该地区根本流行不起来。
o s ρ≤如果，则开始时，i (t )单增。
但在i (t )增加的同时，伴随地有s (t )单减。
当s (t )减少到小于等于时，i (t )开始减小，直至此疾病在该地区消失。
o s ρ>ρ0di dt >鉴于在本模型中的作用，被医生们称为此疾病在该地区的阀值。
的引入解释了为什
么此疾病没有波及到该地区的所有人。
ρρ图3-14
综上所述，模型3指出了传染病的以下特征：
（1）当人群中有人得了某种传染病时，此疾病并不一定流传，仅当易受感染的人数与超过阀值时，疾病才会流传起来。
（2）疾病并非因缺少易感染者而停止传播，相反，是因为缺少传播者才停止传播的，否则将导致所有人得病。
（3）种群不可能因为某种传染病而绝灭。
模型检验：
医疗机构一般依据r (t )来统计疾病的波及人数，从广义上理解，r (t )为t 时刻已就医而被隔离的人数，是康复还是死亡对模型并无影响。
(1)dr li n r s dt ==+--r l o S S e
-=及：注意到：可得：(1)r o dr l n r s e dt ρ-=+--（3.20）
通常情况下，传染病波及的人数占总人数的百分比不会太大，故一般是小量。
利用泰勒公式展开取前三项，有：ρr 211()2r
r
r e ρρρ-≈-+代入（3.20）得近似方程：2112o o o S S dr r l n S r dt ρρ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=+-+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦积分得：21()1tanh()2o o S r t m mlt S ρϕρ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦其中：1
222(1)1o o o S S n S m ρρ⎡⎤⎛⎫+-=-+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11tanh 1o S m ϕρ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭这里双曲正切函数：tanh u u u u e e u e e
---=+2222()()4tanh ()()u u u u u u u u d e e e e u du e e e e ----+--==++而：对r (t )求导：2221sec 22o dr lm h mlt dt S ρϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3.21）
曲线222
1sec 22o dr lm h mlt dt S ρϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在医学上被称为疾病传染曲线。
图3-14（a ）给出了（3.21）式曲线的图形，可用医疗单位每天实际登录数进行比较拟合得最优曲线。
图3-14（a ）图3-14（b ）记录了1905年下半年至1906年上半年印度孟买瘟疫大流行期间每周死亡人数，不难看出两者有较好的一致性。