利用数学思想速解2015年高考数学选择完整

利用数学思想速解2015年高考数学选择题高考命题在突出主干知识，注重基本技能的同时，强调数学思想方法的考查，，问题的设计始终以数学思想为核心，坚持能力立意，全面考查空间想象，抽象概括、数据处理、推理论证、运算求解等能力。

选择题在高考试题中占有较大的分值，能否快速准确地解答好选择题，是高考成功与否的关键因素之一，有些考生解答这类题时，一味地用常规方法埋头推算，往往是小题大作，既容易出错，又浪费时间．如果能抓住选择题“不必叙述推理过程，解法入口宽，方法多，四选一”的特点，利用中学数学常用的数学思想，实施速解，常可事半功倍． 1 分类讨论思想根据实际情况，把所要研究的对象分成几类来讨论，使每一类变得较为简单和具体，便于操作．分类时要注意避免重复和遗漏． 例1 （15年山东理科）设函数31,1,()2,1.xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()(())2f a f f a =的取值范围是 (A)2[,1]3 (B) [0,1] (C) 2[,)3+∞ (D) [1,)+∞分析与解答： 由()(())2f a f f a =可知()1f a ≥，则121a a ≥⎧⎨≥⎩或1311a a <⎧⎨-≥⎩，解得23a ≥，答案选(C)．例2（15年广东文科）若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（ ）A ．50B ．100C ．150D ．200 分析与解答：当4=s 时，p ，q ，r 都是取0，1，2，3中的一个，有64444=⨯⨯种； 当3=s 时，p ，q ，r 都是取0，1，2中的一个，有27333=⨯⨯种； 当2=s 时，p ，q ，r 都是取0，1中的一个，有8222=⨯⨯种； 当1=s 时，p ，q ，r 都是取0，有1种； 所以()100182764=+++=E card ．当0=t 时，u 取1，2，3，4中的一个，有4种；当1=t 时，u 取2，3，4中的一个，有3种； 当2=t 时，u 取3，4中的一个，有2种； 当3=t 时，u 取4，有1种；所以t ，u 的取值有104321=+++种，同理v ，w 的取值也有10种，所以()1001010=⨯=F card 种，所以()()200100100=+=+F card E card ，故选D ．2 数形结合思想利用函数图像将数的问题（如方程根的问题、解不等式、求最值，求取值范围等）与某些图形结合起来，利用几何图形的直观性，再辅以简单计算，即可迅速得到正确答案． 例３ （15年北京理科）如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤分析与解答：如图所示，把函数x y 2log =的图像向左平移一个单位得到()1log 2+=x y 的图像，1=x 时两图像相交，不等式的解为11≤<-x ，用集合表示解集选C ．例４（15年天津理科）已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是 （A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭分析与解答：由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-+--≤≤---<+-=-+2,22220,240,2222x x x x x x x x x x f x f ，即()()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤<++=-+2,8520,20,2222x x x x x x x x f x f()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<.例５.（15年新课标1理科）设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数x 0，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（ ）A.[-，1）B. [-，）C. [，）D. [，1） 分析与解答：设()()12-=x e x g x，()a ax x h -=，由题知存在唯一的整数0x ，使得()0x g 在直线()a ax x h -=的下方。

因为()()12+='x e x g x，所以当21-<x 时，0)(<'x g ，当21->x 时，0)(>'x g ，当21-=x 时，[]21min 2)(--=e x g 。

又因为()10-=g ，()031>=e g ，直线()a ax x h -=恒过()0,1且斜率为a ，故()()()()⎩⎨⎧-<->1100g h g h ，即⎩⎨⎧-≤--->--131ea a a ，解得123<≤a e ，故选D.3 转化与化归思想改变问题的观察角度或叙述方式，可以使问题变得简捷、明了，更加便于思考，从而达到快速解题的目的．例６（15年福建理科）已知1,,AB AC AB AC t t⊥==，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB ACAP AB AC=+，则→→⋅PC PB 的最大值等于（ ）A ．13B ．15C ．19D ．21 分析与解答：以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则⎪⎭⎫⎝⎛0,1t B ，()t C ,0，()()()4110401，，，=+=→AP ，即()41，P ．所以⎪⎭⎫⎝⎛--=→4,11t PB ，()4,1--=→t PC ，因此→→⋅PC PB ＝⎪⎭⎫⎝⎛+-=+--t t t t 411716411，因为441241=⋅≥+t t t t ，所以→→⋅PC PB 的最大值等于13，当t t 41=时，即21=t 时取等号．例７（15年陕西理科）设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率为（ ）A ．3142π+ B．1142π- C ．112π- D ．112π+ 分析与解答：22(1)||1(1)1z x yi z x y =-+⇒=≤⇒-+≤如图可求得(1,1)A ，(1,0)B ，阴影面积等于21111114242ππ⨯-⨯⨯=- 若||1z ≤，则y x ≥的概率是211142142πππ-=-⨯，故选B ．4 函数与方程思想例８（15年安徽文科）函数()32f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则下列结论成立的是()（A ）a>0，b<0，c>0，d>0 （B ）a>0，b<0，c<0，d>0 （C ）a<0，b<0，c<0，d>0 （D ）a>0，b>0，c>0，d<0 分析与解答：由函数()x f 的图像可知0>a ，令0=x ，可得0>d ．又()c bx ax x f ++='232，可知21,x x 是()0='x f 的两根．由图可知，01>x ，02>x ，所以⎪⎩⎪⎨⎧>=>-=+030322121a c x x a b x x ，可得⎩⎨⎧><00c b ，故Ａ正确．例９（15年天津文科）已知函数()(⎩⎨⎧>-≤-=2,22,22x x x x x f ,函数()()x f x g --=23,则函数()()x g x f y -=的零点的个数为(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5分析与解答：当0<x 时，()22x x f =-，此时方程()()21x x x g x f +--=-的小于零的零点为251+-=x ；当20≤≤x 时()x f -2x x =--=22，方程()()21=+--=-x x x g x f 无零点；当2>x 时()x f -2xx -=--=422，方程()()()337222--=-+-=-x x x x x g x f 大于零，所以零点有一个，故选A ．5 特殊化思想根据一般与特殊的辩证关系，命题在一般情况下成立在特殊情况必成立，在某一特殊情况下不成立，则它在一般情况下也不成立，有些数学选择题题，用常规方法直接求解比较困难，但通过对满足条件的特殊情况的考察分析，往往可以发现共性，巧渡难关． 例１０.（15北京理科）设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2aD ．若10a <，则()()21230a a a a --> 分析与解答：先分析四个答案支，Ａ选项假设{} ,3,2,1,0,1---=n a ，则{}n a 是等差数列，021>+a a ，但是032<+a a ，所以Ａ选项错．Ｂ选项假设{} ,7,4,1,2---=n a ，则{}n a 是等差数列，031<+a a ，但是021>+a a ，所以Ｂ选项错．Ｃ选项，{}n a 是等差数列，若210a a <<，则1>a ，公差>d ，数列各项均为正，由于()()02222121212111213122>=--++=+-+=-d d a a d d a a d a a d a a a a ，则3122a a a >，即312a a a >，所以Ｃ选项正确．Ｄ选项假设{} ,3,2,1---=n a ，则{}n a 是等差数列，且01<a ，但()()03212<--a a a a ，所以Ｄ错误．例１１（15年新课标2文科）如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．分析与解答： 由题意得，222=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，254+=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，可得⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛42ππf f ，由此可排除Ｃ，Ｄ．当ππ≤≤x 43时，()x x x f cos 1tan +-=，可知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ,43x 时图像不是线段，可排除Ａ，故选Ｂ．6 整体思想在解有些问题时，若分别求出有关量的具体值，则费时费力，甚至感觉缺少条件，而整体把握，常有事半功倍之效.例１２（15年新课标1理科）若x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤->-04001y x y x x 则y x 的最大值为 . 分析与解答：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.例１３（15北京文科）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升 分析与解答：因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48V =升. 而这段时间内行驶的里程数3560035000600S =-=千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为481008600⨯=升，故选B. 例１４（15年新课标2文科）设函数21()ln(1||)1f x x x=+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭分析与解答： 由21()ln(1||)1f x x x=+-+可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞是增函数,所以 ()()()()121212113f x f x f x f x x x x >-⇔>-⇔>-⇔<< .故选A.7 估算思想估值法 有些以计算题的面目出现且有较复杂的计算，运算量较大时通常无须精确求出结果，只求出答案的近似值或大致范围从而作出判断的方法。