电磁场与电磁波(第8章)

/ 2 0 kl 2 2 ( 1)
上式变为 可解得
n k n kl 0
4 i 2 r i
2 r
2
k k 4k ni r 2
2 l

1/ 2
根据此式便可以定性地 描述金属介质在高频或 低频情况下的特性。
显然,当 ω→∞ 时，有
而 坡印廷矢量给定了电磁场中任一点处单位面积能量流动的速率，即 2 S 的方向就是能流的方向 S 0c E B
由以上方程可以得到
k 1 2 x x 2 S 0 c 2 E0 {ex ( )( )[sin( )]sin[2(t kz )] ez ( ) sin 2 ( ) cos 2 (t kz )} a 4 a a
/ 0 ( 2 2 1)
nr
/ 2 0 1 ( ) ( 2 2 1) ni
/ 0 / 2 0 2 2 n [1 2 2 ]ni [ 2 2 ] 0 ( 1) ( 1)
4 i
令
/ 0 1 2 2 kr ( 1)
总的穿过波导横截面的能流速率
du dt 0
b

0
a
x 2 k 0 c 2 E0 ( ) sin 2 ( ) cos 2 (t kz )dxdy a
因此相速的意义具有很大的局限性，下面我们给出一个更有意义的量： 能量速率。如果波的形式由以下方程给出,那么能量将会以这个速率 在波导中传播。
因为
x E e y E0 [sin( )][cos(t kz )] a
k x x B ex ( ) E0 [sin( )][cos(t kz )] ez ( ) E0 [cos( )][sin(t kz )] a a a
可变为
E ex E0 exp(ni z / c)exp[i(t nr z / c)]
折射率的虚部决定了波穿过介质时被衰减的程度，因此当我们研 n 究电磁波在金属中的传播问题时，需要求出该金属的 i 若将电磁波的振幅衰减到 定义为
e 1 时它在介质中的趋肤深度或穿透深度

，根据

就可以测量出电磁波在开始明显衰减之前的
传播距离。
根据第7章中描述的一维波动方程的解
E0 z i z Hy e e
当电磁波的振幅衰减到
Ex E0e
z i z
e
e
1 时，有
1
即
1
因为电磁波能量与其幅值的平方成正比，所以在经过了这个传播距离 之后，辐射功率就衰减到 1/ e . 又从前面的平面极化波中场强表示式可知
kl 0
和
kr 1
此时
ni 0
这意味在这种假设模型下高频电磁波能够穿过金属。
而在低频情况下
ni
为有限值，电磁波将会有着明显的衰减。
8.3
等离子体
等离子体对波的反射
是除气体、液体和固体以外的第四种物态，它是由电子、负离子、正 离子和未电离的中性分子组成的混合体。
等离子体的电特性 1、等离子体中总的正负电量相等，因此对外呈现中性。 2、与导体相比，其电子浓度远远小于导体中自由电子的浓度。 3、在外场作用下，等离子体中电子和离子作定向运动形成 运流电流 4、对于频率很高的外加电磁场运流电流仅由电子运动所引起， 即等离子体的电特性将主要取决于自由电子的运动。
a
这是一个随时间做正弦波动并且按照指数衰减的电场,它不同于 在非理想金属中传播的电场，因为这里的 k 没有实部，所以这个电 波不象空中的正弦波那样随时间向前传播。 对于频率 f c / 2a 的理想波导和非理想金属介质,它们中电 场的大小在某一瞬时的空间变化情况如下图所示
结论
当 c 止频率
a
时，波不能通过波导传播，此时的频率称为截
f c c / 2a
二、波导中的磁场
麦克斯韦第二方程
B E t
因为
E ey E0 sin( x / a) exp[i(t kz )] ey E
ex E x 0 ey y E ez x x ex (ikE ) ey (0) ez { [cos( )]E / sin( )} z a a a 0
平面波就满足波动方程并 且能够通过波导进行传播
正负号说明波可以双向传播，波导 中波的相速 v 可由下式求出
v /k
当(ω/c)< (π/a)时，k为虚数
( )2 ( )2 c a
2 2 k i ( ) ( ) ik ' a c
x 波导中的波可表示为 E E0 [sin( )] exp(k ' z ) exp(it )
都服从斯耐尔定律
及转换角
nr sint sini
因此，当
nr 由于N的增大而减小时， sin t
sin t 1,t 900
1 cos i
,即
t
一定会增大。这样,我们就可以得出波的反射条件：
如果 即当
nr sin i
Nq 2 1 sin i 2 m 0
当只关心与波有关的项时，可在上式中仅保留随时间变化的部分。 磁场中存在 分量的事实是非常有趣的，因为我们第一次发现沿 着波的传播方向存在一个场的分量。
ez
三、能量速率
从前面的分析已知 如果传播常数 k 为虚数，并且
c
a
，波则不能在波导中传播。
如果传播常数 k 为实数，则波的相速将大于光速。 但得出上述结论时的传播媒介是绝缘介质，而现在的波是在理想波导中 传播，它不存在衰减。
磁场就等于上式中各项对于时间的积分。 我们只关心波的求解，所以积分常数将无关紧要，可令其为零。
所以
k x B ex ( )[sin( )]E0 exp[i (t kz )] e y (0) a i x ez ( )[cos( )]E0 exp[i (t kz )] a a
下面再来看一下它在波导内的自由空间中是否满足麦克斯韦方程。
已知
2 自由空间的电场的波动方程为 2 E 1 E 0 c 2 t 2
2E 2E 2E 1 2E 2 0 2 2 2 2 x y z c t
如果
k ( )2 ( )2 c a
由于
2 x / t 2＝0
vx＝x / t
Jx vx Nq 2 Nq Ex Ex m
qEx m vx
Nq 2 m
或
其中
1

J
8.2 金属介质在高频和低频时的特性
若将复折射率表示为
n nr ini
那么,平面极化波中场强表示式
E ex Ex ex E0 exp[i(t nz / c)]
此式中的坡印廷矢量表明了一个非常有趣的事实：能量并不仅仅沿着
导行轴在传播,它还含有 x e
过波导的能流，即 z

分量。只不过目前我们所关心的是计算通
方向的能流。
S ndxdy
是能流速率与波导横截面的面积元的乘积
对于我们所关心的能流通过波导的计算而言，可取 n ez
这时
k x S ndxdy 0 c 2 E02 ( ) sin 2 ( ) cos 2 (t kz )dxdy a
2
ni / c 1
所 以
c / ni
如果 由
2
n nr ini
n2 nr2 ni2 2inr ni
Nq 2 / m 0 / 0 n 1 1 2 i 2 i
n2 1
2 nr ni2 1
/ 0 / i 2 2 0 2 2 1 1
Nq 2 m 0
这时，波就会反射。
当法向入射角
i 0
，即
cos i 1
时
Nq 2 m 0
可得
法向入射波会发生反射的最大频率(临界频率
fc )
1 fc 2
Nq 2 m 0
8.4
问题
导波
平面波能否从理想金属所构成的“洞”中穿过去？
假设“洞”即“波导”是沿着Z轴方向的，并且其截面为矩形, 如右图所示。 作为媒质的“洞”即“波导”满足：
如果电荷在x方向的平均运动速度为
vx
，那么电流则为
J x Nqvx
稳恒电流受两个相反因素的影响： （i）场加速电荷的移动 （ii）与晶格的碰撞减缓电荷的移动。 电流得以稳恒是这两种影响平均后的结果，即其平均加速度为零。 对于单个的电荷,有
2 x x qEx m( 2 ) t t
波导的其余空间中仍然能够传播的一种方法就是让场强沿着x轴按照的
sin( x / a) 函数形式进行变化，这样就能保证在 x=0 和 x=a 处电场
为零，如下图所示。 对于一般函数
sin(nx / a)
（ｎ＝０，１，２…）
将得到同样的结果。 取ｎ＝１时的情况进行分析 这时平面波的方程为
E ey E0 sin( x / a) exp[i (t kz )]
0＝0
于是上面的两个式子变为
2 x x qEx m( 2 ) t t
Nq 2 / m 0 n 1 2 i
2
接下来，我们来建立这些微观模型参数与金属的电导率 对于各向同性的导体,电流与场成正比，所以有 在一维坐标中，则有
J E
J x Ex
1、是自由空间
0
J 0
2、四周是电导率接近于无穷大的金属。 可知：金属边界的特性是与频率无关的，并且 边界条件也与静态场的相同。