高等数学第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率培训讲学
2-4隐函数求导,参数方程求导,相关变化率资料
例. 抛射体运动轨迹的参数方程为
消去参数 t 得
y v2 v1
g x 2v12
x2.
问题: 可否由参数方程直接求出y对x的导数?
x (t)yΒιβλιοθήκη (t, )t
设x (t)具有反函数t 1( x),
则 y [ 1( x)]
x
1
y
x对应y的函数可看作由x对应t的函数和
t对应y的函数复合而成.
由已知变化率求出未知的变化率
例9 一汽球从离开观察员500米处离地面铅直
上升,其速率为140米 / 分.当气球高度为500米时, 观 察 员 视 线 的 仰 角 增 加率 是 多 少?
解: 设气球上升t分钟后, 其高度为h米, 观察员视线
的仰角为, 则 tan h
500
500米 h
、h都 是 时 间t的 函 数 ，
1.
33 (,)
22
所求切线方程为
y 3 (x 3)
2
2
即x
y 3 0.
法线方程为 y 3 x 3
2
2
即 y x,
显然通过原点.
例 3 求由方程 x y 1 siny 0所确定的隐函数y的 2
二阶导数d2 y dx 2
.
（隐函数求二阶导数）
解: 方程两边对x求导，得
1 dy 1 cosy dy 0 dx 2 dx
上式两边对x求导，得
y y ( v ln u v u ) uv ln u v v uv1 u. u
或者，把u( x)v( x) 化为elnu( x)v( x)求导也可得相同 结果。
上例，[(sin x)x ] (elnsin xx ) elnsin xx (ln sin x x)
隐函数和参数方程求导、相关变化率
x＝ t t－1 例 6 求曲线 在 t＝ 0 点处的切线方程. y 1＋t e y － dx 解： 令 t 0 得切点 (0 , 1) ， 2t 1 dt
y dy dy dy e 由隐函数求导法： e y te y 解得 dt dt dt 1 te y dy dy 斜率 dt e 1 dx t 0 dx dt t 0
证毕 #
记住方法！
参数方程求二阶导数的 方法：
ψ t 将一阶导函数视作复合 关系 y ＝ ， t＝ 1 x t
则
d2y d dt d y d ψ t 1 ＝ y ＝ ＝ ＝ 2 dx dx dt dx dt t t
解： 如图所示 dx 水平速度 v x ＝ ＝v0 cos θ dt dy 垂直速度 v y ＝ ＝v0 sin θ －g t dt
y
vy v0 θ
α
v vx x
2
0
2
则t 时刻炮弹速度的
2 2
v0 sin θ－gt ＝ 大小：v＝ v x ＋v y ＝ v0 cos θ ＋
dy dy dt v0 sin θ－ gt 方向： tan α ＝ ＝ ＝ dx dx v0 cos θ dt
证：
由条件 x＝ t 单调、可导，且 t 0 ，
则反函数 t＝ 1 x 存在且可导， dt 1 ＝ dx t
视
y＝ t ， t＝ 1 x ，
由复合函数求导法则有 dy dy dy dt 1 ＝ ＝ t ＝ dt dx dt dx t dx dt
例3
解：
设 x , y 满足方程 cos x ＝sin y ， 求 y .
第4节--隐函数及由参数方程确定的函数的导数--相关变化率
第四节 隐函数及由参数方程确定的函数的导数 相关变化率 教学目的： 熟悉隐函数的概念;掌握隐函数的求导法则；掌握由参数方程所确定的函数的求导方法. 教学重点：隐函数的导数;由参数方程所确定的函数的导;相关变化率;对数求导法教学难点：隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幂指函数的求导法教学内容：一、隐函数的导数显函数: 形如y =f (x )的函数称为显函数. 例如y =sin x , y =ln x ++e x .隐函数: 由方程F (x , y )=0所确定的函数称为隐函数.例如, 方程x +y 3 -1=0确定的隐函数为y 31x y -=.如果在方程F (x , y )=0中, 当x 取某区间内的任一值时, 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在, 那么就说方程F (x , y )=0在该区间内确定了一个隐函数.把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化. 隐函数的显化有时是有困难的, 甚至是不可能的. 但在实际问题中, 有时需要计算隐函数的导数, 因此, 我们希望有一种方法, 不管隐函数能否显化, 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来.例1．求由方程e y +xy -e =0 所确定的隐函数y 的导数.解: 把方程两边的每一项对x 求导数得(e y )'+(xy )'-(e )'=(0)',即 e y ⋅ y '+y +xy '=0,从而 y ex y y +-='(x +e y ≠0). 例2．求由方程y 5+2y -x -3x 7=0 所确定的隐函数y =f (x )在x =0处的导数y '|x =0.解: 把方程两边分别对x 求导数得5y ⋅y '+2y '-1-21x 6=0,由此得 2521146++='y x y .因为当x =0时, 从原方程得y =0, 所以 21|25211|0460=++='==x x y x y .例3. 求椭圆191622=+y x 在)323,2(处的切线方程.解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得 0928='⋅+y y x.从而 y xy 169-='.当x =2时, 323=y , 代入上式得所求切线的斜率 43|2-='==x y k .所求的切线方程为 )2(43323--=-x y , 即03843=-+y x .解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得 0928='⋅+y y x.将x =2, 323=y , 代入上式得 03141='⋅+y ,于是 k =y '|x =243-=.所求的切线方程为 )2(43323--=-x y , 即03843=-+y x .例4．求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数y的二阶导数.解: 方程两边对x 求导, 得 0cos 211=⋅+-dx dyy dx dy,于是 y dx dy cos 22-=.上式两边再对x 求导, 得3222)cos 2(sin 4)cos 2(sin 2y y y dx dyy dx y d --=-⋅-=. 隐函数求导方法小结：（1）方程两端同时对x 求导数，注意把y 当作复合函数求导的中间变量来看待.（2）从求导后的方程中解出y '来.（3）隐函数求导允许其结果中含有y .但求某一点的导数时不但要把x 值代进去，还要把对应的y 值代进去. 对数求导法: 这种方法是先在y =f (x )的两边取对数, 然后再求出y 的导数.设y =f (x ), 两边取对数, 得ln y = ln f (x ),两边对x 求导, 得 ])([ln 1'='x f y y ,y '= f (x )⋅[ln f (x )]'.对数求导法适用于求幂指函数y =[u (x )]v (x )的导数及多因子之积和商的导数.例5．求y =x sin x (x >0)的导数.解法一: 两边取对数, 得ln y =sin x ⋅ ln x ,上式两边对x 求导, 得 x x x x y y 1sin ln cos 1⋅+⋅=',于是 )1sin ln (cos x x x x y y ⋅+⋅=' )sin ln (cos sin x xx x x x +⋅=.解法二: 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求:y =x sin x =e sin x ·ln x , )sin ln (cos )ln (sin sin ln sin x xx x x x x e y x x x +⋅='⋅='⋅.例6. 求函数)4)(3()2)(1(----=x x x x y 的导数. 解: 先在两边取对数(假定x >4), 得ln y 21=[ln(x -1)+ln(x -2)-ln(x -3)-ln(x -4)], 上式两边对x 求导, 得 )41312111(211-----+-='x x x x y y , 于是 )41312111(2-----+-='x x x x y y . 当x <1时, )4)(3()2)(1(x x x x y ----=; 当2<x <3时, )4)(3()2)(1(x x x x y ----=; 用同样方法可得与上面相同的结果.注: 严格来说, 本题应分x >4, x <1, 2<x <3三种情况讨论, 但结果都是一样的.二、由参数方程所确定的函数的导数设y 与x 的函数关系是由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ确定的. 则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数.在实际问题中, 需要计算由参数方程所确定的函数的导数. 但从参数方程中消去参数t 有时会有困难. 因此, 我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数.设x =ϕ(t )具有单调连续反函数t =ϕ-1(x ), 且此反函数能与函数y =ψ(t )构成复合函数y =ψ[ϕ-1(x ) ], 若x =ϕ(t )和y =ψ(t )都可导, 则 )()(1t t dtdx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕψ''=⋅=⋅=, 即 )()(t t dx dy ϕψ''=或dtdx dt dy dx dy =. 若x =ϕ(t )和y =ψ(t )都可导, 则)()(t t dx dy ϕψ''=. 例7. 求椭圆⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos 在相应于4 π=t 点处的切线方程. 解: t ab t a t b t a t b dx dy cot sin cos )cos ()sin (-=-=''=. 所求切线的斜率为ab dx dyt -==4π.切点的坐标为224 cos 0a a x ==π, 224sin 0b b y ==π. 切线方程为)22(22a x a b b y --=-, 即 bx +ay 2-ab =0.例8．抛射体运动轨迹的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==22121gt t v y t v x , 求抛射体在时刻t 的运动速度的大小和方向. y =v 2t -g t 2解: 先求速度的大小.速度的水平分量与铅直分量分别为x '(t )=v 1, y '(t )=v 2-gt ,所以抛射体在时刻t 的运动速度的大小为 22)]([)]([t y t x v '+'=2221)(gt v v -+=. 再求速度的方向,设α是切线的倾角, 则轨道的切线方向为 12)()(tan v gt v t x t y dx dy -=''==α. 已知x =ϕ(t ), y =ψ(t ), 如何求二阶导数y ''?由x =ϕ(t ),)()(t t dx dy ϕψ''=, )()()()()(3t t t t t ϕϕψϕψ''''-'''=. 例9．计算由摆线的参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 所确定 的函数y =f (x )的二阶导数.解: )()(t x t y dx dy ''=)cos 1(sin ])sin ([])cos 1([t a t a t t a t a -='-'-= 2cot cos 1sin t t t =-=(t ≠2n π, n 为整数). (t ≠2n π, n 为整数).三、相关变化率设x =x (t )及y =y (t )都是可导函数, 而变量x 与y 间存在某种关系, 从而变化率dtdx 与dt dy 间也存在一定关系. 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率. 相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系, 以便从其中一个变化率求出另一个变化率.例10一气球从离开观察员500f 处离地面铅直上升, 其速度为140m/min(分). 当气球高度为500m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少？解 设气球上升t (秒)后, 其高度为h , 观察员视线的仰角为α, 则500tan h=α.其中α及h 都是时间t 的函数. 上式两边对t 求导, 得dt dhdt d ⋅=⋅5001sec 2αα.已知140=dt dh(米/秒). 又当h =500(米)时, tan α=1, sec 2 α=2. 代入上式得14050012⋅=dt d α,所以 14.050070==dt d α(弧度/秒).即观察员视线的仰角增加率是每秒0. 14弧度.小结：本节讲述了隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，利用取对数的方法解决了幂指函数的求导问题. 思考：对幂指数函数()()(()0)v x y u x u x => 你有几种求导方法？作业：见习题册。
隐函数求导
一、隐函数的导数
第二章
二、由参数方程确定的函数的导数
三、相关变化率
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一、隐函数的导数
由方程 F( x, y ) 0 所确定的函数 y y( x ) 称为 隐函数.
y f ( x) 形式的函数称为 显函数 .
F ( x, y) 0
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二、由参数方程所确定的函数的导数
x (t ) 若 可确定 y 与 x 间的函数关系, y (t ) 称此函数为由此 参数方程所确定的函数 .
例如
x 2 得 , 此参数方程确定的函数 y t ( ) , 2 2 x 即 y y( x ) . 4 问题: 消参数困难或无法消去参数时如何求导?
dx 2t 2 dt dy dy cos y 2t 0 dt dt
故
dx 2 (t 1) dt dy 2t d t 1 cos y
dy t dy d t dx (t 1)(1 cos y ) dx dt
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三、相关变化率：
解法: 通过建立两个变量之间的关系, 就将它们的 变化率联系起来，从一个变化率得到另一个变化率.
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思考与练习
1. 设 y (sin x)
tan x
x x
ln x
3
y2 , y2 . 提示: 分别用对数求导法求 y1
答案:
y1
2 x , 求 y . 2 (2 x)
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y 3 3 y 3 y 3
3.4 隐函数及参数方程所确定函数的导数
dy y dy x y x 0 e e dx dx dy e x y 由原方程知 x 0 时 , y 0 , 解得 , dx x e y
dy dx
x 0
e y y xe
x
x 0 y 0
1.
x2 y 2 3 例3 求椭圆 1在点(2, 3 )处的切线方程. 16 9 2
sec2
dt
作业 P88 T1(3) T2(3) T4(3) T5(1)
于是
即
4x 4x 2x y ' y( 2 4 2 ), x 2 x 1 x 1
( x 2) 4x 4x 2x y' 4 ( 2 4 2 ) 2 ( x 1)( x 1) x 2 x 1 x 1
2 2 3
3
二、参数方程所确定的函数的导数 若方程 x ( t )和 y ( t ) 确定y与x间的函数 关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程
直接对方程 F(x, y)=0 两边求导，应用复合函数的求
导法可得一个含有 y 的方程，解出 y 即得隐函数 的导数.
例1
设y y ( x)是由方程 sin xy ln( x y ) 0所确定
dy 的隐函数，求 . dx 解 方程两边对x求导，注意到y是x的函数，有
1 y cos( xy)( y xy) 0 x y
x ( t ), y ( t ), t ( , )
所确定的函数． 例如，不计空气阻力时，抛射体的运动轨迹 可表示为 x v t
1 1 2 y v2 t gt 2
若消去参数t, 有
v2 g 2 y x x 2 v1 2v1
第四节隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数-文档资料
对数求导法适用于多个函数相乘或幂指函数 求导。
例6 y = x x (x > 0), 求 y . 解 两边取对数, 得 lny = xlnx. 上式两边同时对
x 求导, 把 y 看成 x 的函数, 得,
1 y ln x 1, y
于是 y = y (1 + lnx) = x x (1 + lnx).
个方程 F (x, y)=0 表示的函数，这种函数称为隐函数。
如，
x2 y2 1 0
x2 xy y2 4
一般的，如果变量 x 和 y 满足方程 F (x, y)=0， 在一定条件下，当 x 在某区间内任取一值时，相应 的总有满足该方程的唯一的 y 值存在，那么就说方 程 F (x, y)=0 在该区间内确定了一个隐函数。
例3 设 xy ex ey 0 确定了函数 y = y (x), 求 dy .
dx x0
解 方程两边同时对 x 求导, 把 y 看成 x 的函数有
y xy ex ey y 0,
解得
dy ey y dx x ey ,
再由原方程知 x 0 时，y 0. 代入上式，得
dy dx
x0
ey y x ey
上式两边同时对 x 求导, 把 y 看成 x 的函数, 得
1 y cos x ln ln x sin x 1 1 ,
y
ln x x
y
ln
x sin x
cosxlFra bibliotek lnx
sin x x ln x
.
例8 设 x > 1, x 2, 3, 4, y (x 1)(x 2) , 求 y.
(x 3)(x 4)
2sin y y (2 cos y)2
高等数学上册第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
速度的水平分量为
vx
dx dt
，垂直分量为
vy
dy dt
vx
dx dt
v0
cos,
vy ddyt v0singt0
故炮弹速度大小：
v v x 2 v y 2(v 0 c o s)2 (v 0 s in g t0 )2
v022v0gtsing2t2
©
三、相关变化率
dx dt
v1
,
的导数。
解: 两边取对数 , 化为隐式
lny1lnx 2 3lnx 1 2ln4x 3
两边对求导得
y 1 3 2 y 3(x2) x1 4x
y(x3 1 )x 3( 42 x)2 3 (x 1 2)x3 14 2x
©
又如,
y
(x1)(x2) (x3)(x4)
注意:
lnyvlnu
1 y vlnu u v
y
u
yuv(vlnuuv) u
yuvlnuvvuv1u
按指数函数求导公式
©
按幂函数求导公式
2) 对多因式函数用对数求导法求导很方便
例如, y b a x b x a a x b(a 0,b 0,b a 1 )
dx dy
1
1 e
x
方法2 等式两边同时对 y求导
1 ex
d d
x y
1 1 ex
©
例2 求由方程 y52yx3x70确定的隐函数
yy(x) 在
x
=
0
处的导数
dy dx
x
0
.
解: 方程两边对 x 求导
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数课件(主要内容)
又 d ln f ( x) 1 d f ( x)
dx
f ( x) dx
f ( x) f ( x) d ln f ( x) dx
f ( x) u( x)v( x)[v( x) ln u( x) v( x)u( x)] u( x)
青苗辅导1
9
三、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x0
ex xe
y
y
x0 y0
1.
青苗辅导1
3
例2 设曲线C的方程为 x3 y3 3xy,求过C上
点(3 , 3)的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 22
线通过原点.
解 方程两边对x求导, 3x2 3 y2 y 3 y 3xy
y 3 3 (,) 22
y x2 y2 x
3 3 1.
d3y 三阶导数 dx 3 .
六、设 f ( x) 满足 f ( x)
2
f (1) x
3 x
，求f
( x)
.
青苗辅导1
23
七、在中午十二点正甲船的 6 公里/小时的速率向东行 驶，乙船在甲船之北 16 公里，以 8 公里/小时的速 率向南行驶，问下午一点正两船相距的速率为多 少？
八、注入水深 8 米，上顶直径 8 米的正圆锥形容器中， 其速率为每分钟 4 立方米，当水深为 5 米时，其表 面上升的速率为多少？
2、-2 csc2 ( x y)c tan3 ( x y)；
3、 y(ln y 1)2 x(ln x 1)2 . xy(ln y 1)3
青苗辅导1
25
三、1、 x x2 1 (2 ln x 1)；
2、
x
2(3 ( x 1)5
x)4
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1scion (x(sxy)y)3 .
3
对数求导法 P105
1. 幂指函数: yu(x)v(x)
取 : l 对 y n v ( x ) lu 数 n ( x ) ( 2 )
隐函 yy (x )数
两: 侧 1 y d d x 求 y v (x )l导 u n (x ) v (x )u u ( ( x x ) )
2 sin
t 2
cos
2 sin
2
t 2
t 2
d dx 2y2y(t)x(tx)(t)y3(t)x(t)
cot
t 2
.
11
d dx 2y2y(t)x(tx)(t)y3(t)x(t)
x (t) a (1 cto ),s x(t)asitn ,
y(t)asitn ,
aco ta s(1 a 3(c1 o tc) so ta )s 3sitn asitn y(t)aco t.s
例 2. 隐函数 ysi(方 x n y),程 求 y为 . 解. 方程两边x关 求于 导 :
y c ( x o y ) ( 1 s y ) ( 1 )
解:出 y co(xsy)
1
1.
1co(xsy) 1co(sxy)
ys1i (n x co(yx )s (1y)y2)
si(nxy)1 1co1( xscoy1()xs2y)1
y(t)
1 x(t)
y(t ) x(t )
.
进一步,
ddx2y2 ddtxy((tt))ddxt
y(t)x(tx )( t)y 2 (t)x(t)x1 (t)
y(t)x(t)y(t)x(t) .
x(t)3
10
例 1. 摆(旋 线轮 )的线 参数 : (P 方 34 (8程 )5 ) 为
x y a a((1 t c sio tt))ns
7
2 . 其它场合
例 4 . y x cx o 1 s x 2,求 y .
解 .取:对 ly n 1 2 数 lnxlncoxs12ln1(x2)
由 yy(ln y)x d dx yy1 2 1 x c so x ix n s1 21 2 x x 2 1 2y1 xtaxn1xx2
15
(通过F方 (x,y)程 0对 t求导可 .)以得到
13
例 5. 在储存,当 容理 器想 内气体 10的 c0m 0 3时 体 , 积
压力 5k为 g /cm 2, 如果温度不 , 压变力以每小时
0.05kg的速率减小 , 那么体积的增加率是多少?
解 . 在温度不变的 ,压条 力 P(件 t)和 下体V积 (t)
dyy v(x)ln u (x)v(x)u (x)
dx
u (x)
uvvlnuv
u u
.
5
对函y数 f(x)用对数求 : 导法 ln yln f(x)
1yylnf(x), yylnf(x)
f(x)f(x)ln f(x) (公式)
或 y x y (ly )x n
6
例 3 . y e sx i n x arx c ,求 ta y .n
参数方程 x y x y ( (tt) )
(1 ) (2 )
假x 设 x (t)的反 t t(x 函 )存 ,数 则在 复合函数
yy(t)yt(x)就是参数 函 方 y数 程 y(x).所
定 1 .设 x 理 ( t ) ,y ( t ) 存 ,且 x ( t 在 ) 0 ,那么 dy
d y y(t) d x x(t)
满足方程:
PVc
关于t 求导得:
P (t)V P V (t) 0
(变化P率 (t)
和V(t)的关)系
代入数据: 0 .0 V 5 5 V ( t) 0(0.05中负
V(t)
V 100
号表示减小 )
开始,时 V1刻 0,0V 0(t)10 , 体积以每小
时10cm3的速率增. 加 14
小结: 1. 隐函数的导数, 2. 对数求导法, 3. 由参数方程所确数 定的导 函,数 4 . 相关变化率问题.
ca(1c1ost)2 .
或
ddx2y2ddt cot
t 2
x1(t)cs2c2 t 1 2a(11cot)s
1 1
1
.
2sin2
t 2
a(1cost)
a(1cost)2
12
三 相关变化率 P110
变 x和 量 y通过 F (x ,方 y) 0相 程互 ,而x和 关 y 又都是时 t的间函,数 x和 y的变 x (t)和 化 y (t)也 率相 关联, 我们可 x(t)以 和 y(t求 )之出 间.的关系
半径为a的圆轮向右滚 动时轮周上P一的点轨迹 .
求y关于x的一阶和二阶.导数
解 . x (t) a (1 cto ),sx(t)asitn ,
y(t)asitn , y(t)aco t.s
当 t 2 k时 ,x ( t) 0 ,
d y y(t) asint d x x(t) a(1cost)
解 . e sx in e sx in cx o ;s
设 zxarctxa,n
则 zxz(ln z)xzarcxtla n xn
d dx zz1ln x x2artxa cxn .
y e sx ic nx o x a str a x c 1 n l x x n 2 at x r a x c .n
或
d y dx
dt dx
.
dt 进一x ( 步 t)y ,(t假 )存,设 还 在有
d d2 xy2y(t)x(tx)(t)y3(t)x(t).
9
证 . x (t) 0 ,
xx (t)的反 tt(函 x )存 数 ,且 在 dt 1 , d x x(t)
根据复合求导法得 :
d y d y dt dx dt dx
y 1 2x cx o 1 x s 2 1 x ta x 1 n x x 2 .
y 1 2 x cx o1 sx 2 1 x ta x 1 n x x 2
1 2xco x1 sx2 1 x ta x n 1 x x2
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二 由参数方程所确定的函数的导数 P106
第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
一 隐函数的导数 P102 方F 程 (x,y)0, 确定了一y 个 f(x隐 ). 函数 将隐,即 函由 数 F (x ,y ) 方 显 0 解 程 y 化 出 f(x )
有时是不容易的 , 对隐函数求导往隐 往函 不数 将显化就
可进行, 将方程两边同时关x求 于导, 时刻注 y意 y(x) 是x的函数.
1
例 1. 笛卡尔 P3叶 4 (6)4 形线
x3y33axy0 隐y 含 y(x).
方程 (恒等)式 两边同时:求导
3 x 2 3 y 2 y 3 a ( 1 y x y ) 0
y
x2ay y2ax
.
过曲线 32 上 a,32a 一 的 点 切线 k 的 1,斜率 切y 线 3 2 a 为 x 3 2 a ,即 x y 3 a . 2