刚体力学1

ϕ
M = r× F
1、必须指明转轴 2、单位：N ⋅ m 3、有心力M恒等于零
二、转动定律与转动惯量
∆Fit + ∆f it = at ∆m
∆Fit + ∆f it = ∆mi ri β
at = ri β
M = β ∑ ∆mi ri
2
2
I = ∑ ∆mi ri
2
转动惯量 转动定律 刚体转动 的动力学方程
→
→
a n 表示，其大小为
v2 an = R
a n 只改变质点运动速度的方向，不改变速度的大小； a n 总是和质点运动速度的方向相垂直，永远指向圆心。
二、变速圆周运动
速度的变化为
→
∆v = v B − v A
→
→
→
∆v = ∆v n + ∆ v t
→
→
→
→
→
∆v ∆vn ∆vt a = lim = lim + lim ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t
转动惯量三要素：质量、转轴、 转动惯量三要素：质量、转轴、质量分布
例题一均匀圆盘质量为 半径为R,可绕其圆心转动 可绕其圆心转动。 例题一均匀圆盘质量为m0，半径为 可绕其圆心转动。 一均匀圆盘质量为 圆盘边缘绕有一轻绳，则到向下的张力T,求圆盘的角加 圆盘边缘绕有一轻绳，则到向下的张力 求圆盘的角加 速度，以及圆盘边缘的切向加速度。 速度，以及圆盘边缘的切向加速度。若轻绳下挂一质量 的物体时加速度将为多少？ 为m的物体时加速度将为多少？ 的物体时加速度将为多少 2T 解： = TR = Iβ = 1 m R 2 β M β1 = aτ 1 = Rβ1 = 1 0 1 2 m0 R 将其分为两个部分,分别列出运动方程：
角加速度
∆ω dω β = lim = ∆t →0 ∆t dt
根据角速度
dθ ω= dt
，角加速度
dω β= dt
可求出匀变速圆周运动角位移、角速度、角加速度大小和时间 的关系式为 ω = ω0 + βt 1 2 θ = θ 0 + ω0 t + βt 2 2 ω 2 = ω0 + 2 β (θ − θ 0 ) 变速圆周运动，角速度、角加速度都是时间的函数。
2 0
L
A
o
dm
B
1 3 1 2 = λ L = mL 3 3 (2) 对于通过棒的中心的轴
I C = ∫ x 2 dm = ∫ x 2 λ dx 1 1 3 = λ L = mL2 12 12
L 2 L − 2
x
dx
L A
o
C
dm
x
B
dx
L 2
L 2
平行轴定理 : I = I C + md 2
[例题2-2] 质量为m、半径为r的细圆环或（均质） 薄圆盘，绕通过中心并与圆面垂直的转轴转动。 求：圆环或圆盘的转动惯量 。
→ →
→
a
→ →
n
a
t
∆v → → a = lim = an + at ∆t →0 ∆t
→
∆v → → a = lim = an + at ∆t →0 ∆t
→
v2 dv an = , at = R dt
2 a = an + at2
v2 2 dv 2 2 2 a = a n + at = ( ) + ( ) R dt
I = ∑ ∆mi ri
2
具有相加性 对于连续体（刚体）
I = ∫ r dm
2
刚体的转动惯量与下列因素有关: 1、与刚体的质量有关； 2、在质量一定的情况下，与质量的分布，即与刚体的大小、 形状、各部分的密度有关； 3、与转轴的位置有关。
转动惯量定义：刚体对固定轴的转动惯量等于各质 定义： 定义 元质量与其至转轴的垂直距离的平方的乘积之和。 元质量与其至转轴的垂直距离的平方的乘积之和。 对分立的质点系：I = ∑ ∆mi ri 2
2
β (t ) = 0 当 ω (t ) = C 为匀速圆周运动
[例2-1] 飞轮以转速 n = 1500 r ⋅ min −1 转动， 则到制动力矩后均匀减速，经 t = 50 s 后 停止转动。求： ①角加速度和从制动开始到静止飞轮转过 的转数 ； ② t = 25 s 制动开始后飞轮的角速度； ③ 设飞轮的半径，r = 1m 求在时飞轮边缘 上一点的速度和加速度。
① ②
I =∫
m 2 r dm 0
= mr
2
x x+dx
dI = x 2 dm
m dm = 2 ⋅ 2πxdx = σ 2πxd πr π 1 m 2 r 3 4 I = ∫0 x dm = 2 πσ ∫0 x dx = σ r = mr 2 2 2
例题： 如图所示，一质量为M、半径为R的圆盘，边缘
∩
CD AB
=
v R
即
v ∆v = AB R
AB v = lim ∆t → 0 ∆t
∆v v AB = ∆t R ∆ t
v a= R
2
一、匀速圆周运动
→
加速度 a 的方向
∆t → 0, ∠OAB → 0
∆t
→
∆v
→
→
与
v
垂直。所以在极限情况下，加速度
→
a
的方向垂直于速度的方向，且沿着半径指向圆心，因此称该 加速度为法向加速度，一般用
东北农业大学 Northeast Agricultural University
刚体力学
物理教研室
2.1 变速圆周运动和角量描述 一、匀速圆周运动
圆周运动 质点曲线运动 圆周运动：质点运动的轨迹是一个圆。 圆周运动：质点运动的轨迹是一个圆。 质点的匀速圆周运动：质点在任何相同的时间 质点的匀速圆周运动： 匀速圆周运动 间隔所行经的弧长相等 弧长相等。 间隔所行经的弧长相等。
例题 求长度为L，质量为m的均匀细棒AB的转动惯量。
（1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴。 ）对于通过棒的一端与棒垂直的轴。 （2）对于通过棒的中心与棒垂直的轴。 ）对于通过棒的中心与棒垂直的轴。
解 : (1) 设λ表示单位长度的质量 , 则dm = λ ⋅ dx, 且λ = m L
I A = ∫ x dm = ∫ x 2 λ dx
粘一质量为m的质点，试求对中心轴 的转动惯量 的转动惯量。 粘一质量为 的质点，试求对中心轴oz的转动惯量。 的质点 的转动惯量为r 解：圆环dm的转动惯量为 2dm 圆环 的转动惯量为
R
z
I 盘 = ∫ r σ 2πrdr
2 0
M
m
1 = σπR 4 2 1 = MR 2 2 1 I 总 = MR 2 + mR 2 2
二、转动定律与转动惯量 牛顿第二定律 → → 物体平动的动力学方程 F = m a
→
力矩
M
力对定轴的力矩 平行转轴的力不产生转动效果， 平行转轴的力不产生转动效果， r M 该力对转轴的力矩为零
r r r M = r × F⊥ 大小：M = rF⊥ sin ϕ = F⊥ d
→ → →
β
d
r F
r r
解：
1500 ω0 = 2πn = 2π = 50π rad ⋅ s -1 ① 60
ωt − ω0 − 50π β= = = − π rad·s -2 t 50
∆θ 1250π N= = = 625 2π 2π
1 2 1 ∆θ = θ t − θ 0 = ω0 t + βt = 50π × 50 − π × 50 2 = 1250π rad 2 2
a=
2 an
+
a t2
≈ 6.16 × 10 m ⋅ s
3
−2
an ; tan φ = , φ = 89.97 0 at
2.2 刚体转动定律与转动惯量
物体运动的基本形式：
平动 转动 振动
质点运动学及 质点运动学及动力学 运动学
刚体运动学及动力学 运动学及
物
现象的描述
理
机理的阐述——原因
一、刚体模型的建立
an tan φ = at
但可以证明 ，对于一般曲线运动，公式也是适用的，公式中的 R 应换成曲线的曲率半径 ρ
三、 圆周运动的角量描述
角量：角位置、角位移、角速度、角加速度 角位移 ∆θ = θ 2 − θ1 → → → 角速度 ∆θ dθ
ω = lim
∆t →0
∆t
=
dt
角速度是恒量 其方向遵从右手螺旋定则：右手四指沿质 点旋转的方向弯曲，大拇指所指的方向即 为角速度的方向 。
对于质量连续分布的刚 体I = ∫ r dm
2
线分布dm = λdl 面分布dm = σds 体分布dm = ρdV
1. 刚体的转动惯量不仅与刚体的总质量有关, 而且 和质量相对于轴的分布有关. 2. 单位 : kg ⋅ m 2 .
3. 质量均匀分布而且形状又规则对称的, 可由上 式计算, 对于形状复杂的刚体通常通过实验测得其值.
②
ω = ω 0 + β t = 50 π − π × 25 = 25π rad·s -1
v = Rω = 25π × 1 = 78.5m ⋅ s
③
at = Rβ = − π × 1 = −3.14m ⋅ s −2
−2
a n = Rω 2 = 1 × ( 25π ) 2 = 6.14 × 10 3 m ⋅ s −2
ω(t ), β (t )
四、线量与角量的关系
∆l v= ∆t
dvt d（ Rω） at = = dt dt
∆l
∆l = R∆ θ