人教版高中数学第二章2.2-2.2.2反证法

2．反证法证明问题的一般步骤．
[变式训练] 已知函数 f(x)＝ax＋xx－＋21(a＞1)．用反证 法证明方程 f(x)＝0 没有负数根．
证明：假设存在 x0＜0(x0≠－1)，满足 f(x0)＝0， x0－2
则 ax0＝－x0＋1. 因为 a＞1，x0＜0，所以 0＜ax0＜1，
所以 0＜－xx00－ ＋21＜1，即12＜x0＜2. 与假设 x0＜0 矛盾，故方程 f(x)＝0 没有负数根．
因为 AB⊥平面 α，AC⊥平面 α，BC⊂平面 α，
所以 AB⊥BC，AC⊥BC，在平面 β 内经过点 A 有两 条直线都和 BC 垂直，这与平面几何中经过直线外一点只 能有已知直线的一条垂线相矛盾．综上，经过一点 A 只 能有平面 α 的一条垂线．
图①
图②
归纳升华 (1)当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一 存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛 盾，所以宜用反证法证明． (2)若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面 情况一一驳倒，才能推断结论成立．
（1－a）＋b
所以
2
≥ （1－a）b>
14＝12.
同理（1－2b）＋c>12，（1－2c）＋a>12.
三式相加得
（1－2a）＋b＋（1－2b）＋c＋（1－2c）＋a>32， 即32>32，矛盾． 所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能都大于14.
归纳升华 1．反证法是利用原命题的否定不成立则原命题成立 来进行证明的．在使用反证法时，必须在假设中罗列出所 有与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是 不完全的． 2 ． 对 于 否 定 性 命 题 或 结 论 中 出 现 “ 至 多 ”“ 至 少”“不可能”等字样时，常用反证法．
即 b＝ ac， 所以 a＋c＋2 ac＝4 ac， 所以 a＋c－2 ac＝0，即( a－ c)2＝0， 所以 a＝ c，从而 a＝b＝c， 所以 a，b，c 可以成等差数列，这与已知中“a，b， c 不成等差数列”相矛盾． 原假设错误，故 a， b， c不成等差数列．
归纳升华 1．用反证法证明否定性命题的适用类型． 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词 语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而 反面比较具体，适合使用反证法．
类型 3 用反证法证明唯一性问题 [典例 3] 已知一点 A 和平面 α.求证：经过点 A 只能 有一条直线和平面 α 垂直． 证明：根据点 A 和平面 α 的位置关系，分两种情况 证明． (1)如图①所示，点 A 在平面 α 内，假设经过点 A 至 少有平面 α 的两条垂线 AB、AC，那么 AB、AC 是两条 相交直线，它们确定一个平面 β，
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。

一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
类型 2 用反证法证明“至多”“至少”等存在性 问题
[典例 2] 已知 a，b，c∈(0，1)，求证：(1－a)b，(1 －b)c，(1－c)a 不能都大于14.
证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 都大于14.
因为 a，b，c∈(0，1)，
所以 1－a>0，1－b>0，1－c>0.
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(2)含“至多”“至少”“唯一”等的结论，或以否 定形式给出的结论，常用反证法证明．证明的第一步是 写出结论的否定，否定一定要准确，证明时要将全部可 能情形一一推证．
[正确解答] 假设 a、b、c 中至少有一个不大于 0， 不妨设 a≤0，若 a＜0，则由 abc＞0，得 bc＜0， 由 a＋b＋c＞0 得，b＋c＞－a＞0， 所以 ab＋bc＋ac＝a(b＋c)＋bc＜0，这与已知 ab＋bc ＋ca＞0 矛盾． 又若 a＝0，则 abc＝0 与 abc＞0 矛盾．
2．反证法常见矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛 盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、 公理、定理、事实矛盾等． 温馨提示 反证法不是通过证明逆否命题来证明原
命题．反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原题正确.[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)反证法属于间接证明问题的方法．( ) (2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一 种演绎推理．( ) (3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．( )
1．反证法证题的原理与实质． (1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”． (2)用反证法证题的实质就是否定结论，导出矛盾， 从而说明原结论正确． 2．反证法的适用对象． 作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下 几类数学问题：
(1)直接证明需分多种情况的； (2)结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定 性命题； (3)关于唯一性、存在性的命题； (4)结论是含有“至多”“至少”等词语的命题； (5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的 线索不够清晰，结论的反面是比原结论更具体、更容易 研究的命题．
[变式训练]已知 a 与 b 是异面直线． 求证：过 a 且平行于 b 的平面只有一个．
证明：假设过直线 a 且平行于直线 b 的平面有两个， 分别为 α 和 β，在直线 a 上取点 A，过 b 和 A 确定一个平 面 γ，且 γ 与 α、β 分别交于过点 A 的直线 c、d，由 b∥α，
知 b∥c，同理 b∥d，故 c∥d，这与 c、d 相交于点 A 矛盾，故假设不成立，原结论成立．
(误区警示)[典例 4] 已知 a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca ＞0，abc＞0，求证：a＞0，b＞0，c＞0.
易错提示：本题易出现如下错误：假设 a≤0，b≤0， c≤0，则 a＋b＋c≤0，abc≤0，与题设条件 a＋b＋c＞0， abc＞0 矛盾，所以假设不成立，所以原命题成立．
防范措施：(1)错解没有弄清原题待证的结论是什么， 导致反设错误．“求证：a＞0，b＞0，c＞0”的含义是“求 证 a、b、c 三数都是正数”，故反设应为“假设 a、b、c 中至少有一个不大于 0”．
解析：“a＝b＝1”的反面是“a≠1 或 b≠1”，所以 假设为 a≠1 或 b≠1.
答案：a≠1 或 b≠1
类型 1 用反证法证明否定性命题(自主研析) [典例 1] 已知三个正整数 a，b，c 成等比数列，但 不成等差数列，求证： a， b， c不成等差数列． 证明：假设 a， b， c成等差数列，则 a＋ c＝2 b， 即 a＋c＋2 ac＝4b. 又 a，b，c 成等比数列，所以 b2＝ac，
平面 β 和平面 α 相交于经过点 A 的一条直线 a.因为 AB⊥平面 α，AC⊥平面 α，a⊂α，
所以 AB⊥a，AC⊥a，在平面 β 内经过点 A 有两条直 线都和直线 a 垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能 有已知直线的一条垂线相矛盾．
(2)如图②所示，点 A 在平面 α 外，假设经过点 A 至 少有平面 α 的两条垂线 AB 和 AC(B、C 为垂足)那么 AB、 AC 是两条相交直线，它们确定一个平面 β，平面 β 和平 面 α 相交于直线 BC.
解析：(1)对，反证法是间接证明问题的方法． (2)错，反证法是演绎推理，不是合情推理． (3)对，根据反证法的概念知说法正确． 答案：(1)√ (2)× (3)√
2．用反证法证明命题“如果 a＞b＞0，那么 a2＞b2” 时，假设的内容应是( )
A．a2＝b2 B．a2＜b2 C．a2≤b2 D．a2＜b2，且 a2＝b2 解析：将结论否定，即为 a2≤b2.
第二章 推理与证明
2.2 直接证明与间接证明 2．2.2 反证法
[学习目标] 1.了解反证法是间接证明的一种基本方 法(重点)． 2.理解反证法的思考过程、特点，会用反证 法证明数学问题(重点、难点)．
[知识提炼·梳理]
1．反证法 假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成 立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错 误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．
故“a≤0”不成立，所以 a＞0，同理可证 b＞0，c ＞0.
[类题尝试] 已知直线 m 与 直线 a 和 b 分别交于 A、B 且 a∥b，
求证：过 a、b、m 有且只有一个平面． 证明：因为 a∥b， 所以过 a、b 有一个平面 α. 又 m∩a＝A，m∩b＝B， 所以 A∈a，B∈b，
所以 A∈α，B∈α，又 A∈m，B∈m，所以 m⊂α. 即过 a、b、m 有一个平面 α. 假设过 a、b、m 还有一个平面 β 异于平面 α， 则 a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β 这与 a∥b，过 a、b 有且 只有一个平面相矛盾． 因此，过 a、b、m 有且只有一个平面．
二、听思路。

思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
四、听方法。

在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进