人教A版高中数学选修1-1课件：3-3 导数在研究函数中的应用 第5课时
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高中新课程数学(新课标人教A版)选修1-1《3.3.3 函数的最大(小)值与导数》课件
(0，1) 1 (1，2) 2
＋ 0 极 大 值 4 － － 5
f ( x)
－60
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
∴当 x＝－3 时，f(x)取最小值－60； 当 x＝－1 或 x＝1 时，f(x)取最大值 4. (2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3， ∵f′(x)在[－1，1]内恒大于 0， ∴f′(x)在[－1，1]上为增函数． 故 x＝－1 时，f(x)最小值＝－12； x＝1 时，f(x)最大值＝2. 即 f(x)的最小值为－12，最大值为 2.
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
π 在开区间 － 2
π ， 2 内连续不断的，但没有最
(3)若函数 f(x)在开区间 I 上只有一个极值，且是极大(小)值，则这 个极大(小)值就是函数 f(x)在区间 I 上的最大(小)值． (4)开区间(a，b)上连续函数 y＝f(x)的最值的几种情况 图(1)中的函数 y＝f(x)在开区间(a，b)上有最大值无最小值； 图(2)中的函数 y＝f(x)在开区间(a，b) 上有最小值无最大值； 图(3)中的函数 y＝f(x)在开区间(a，b) 上既无最大值也无最小值； 图(4)中的函数 y＝f(x)在开区间(a，b)上既有最大值又有最小值．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
[规范解答] (1)f′(x)＝3x2－2ax＋b， ∵函数 f(x)在 x＝－1 和 x＝3 处取得极值， ∴－1，3 是方程 3x2－2ax＋b＝0 的两根．(2 分) 2 －1＋3＝3a， a＝3， ∴ ∴ (4 分) b b＝－9. －1×3＝ ， 3 (2)由(1)知 f(x)＝x3－3x2－9x＋c， f′(x)＝3x2－6x－9.(6 分) 当 x 变化时，f′(x)，f(x)随 x 的变化如下表：
人教A版高中数学选修1-1第三章导数及其应用复习课说课教学课件(共32张PPT)
x[3， )有三个零点，求实数t的取值范围。
分类讨论是否重复或遗漏？ 定义域优先考虑了吗？ 隐含条件注意了吗？ 分类讨论后“综上所述”了吗？ 计算过程都正确吗？ 有谁可以把错解拿来辨析吗？ 有没有其他方法？
2.5【引申拓展------说变式】 例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)ex,(aR)。
对题目的思维过程，即“说数学思维”，这样可以及时了解学习动态，对症指导，从而提高复习效率。 数学思想上本题考察了转化与化归思想、分类讨论思想以及数形结合解决问题的能力.
1A、dd完Yx成ou 作r T业e[x题t 及3其， 任意两个)有 不同三 类的个 变式零 。 点，求实数t的取值范围。
导数、二次函数均是高考考试的热点，要引起足够的注意．对于三次函数的零点讨论问题，可以通过典型例题的讲解，让学生建立解 决此类问题的模型，熟悉思路．另外要注意对学生进行掌握解决问题的通性通法的渗透教育，通过典型问题潜移默化逐步培养学生掌 握常见的数学思想，如：分类讨论思想、转化与化归思想、数形结合思想等，还有如分离参数的方法等．对于学生而言，这些远远胜 过掌握了某一道题的解法。 6【畅所欲言------说反思】 1、题目给的已知条件： 背景说明：高中数学复习课离不开解题，如何讲题、解题才能提高复习课的效率？波利亚在《怎样解题》中指出解题的四个步骤：“ 弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”， 它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题 的思维过程看得见，摸得着，而“说题”就是把审题、分析、解答和回顾的思维过程按一定规律一定顺序说出来，要求学习者暴露面 对题目的思维过程，即“说数学思维”，这样可以及时了解学习动态，对症指导，从而提高复习效率。 6【畅所欲言------说反思】 怎样分离变量？要变成怎样的目标呢？ 导数、二次函数均是高考考试的热点，要引起足够的注意．对于三次函数的零点讨论问题，可以通过典型例题的讲解，让学生建立解 决此类问题的模型，熟悉思路．另外要注意对学生进行掌握解决问题的通性通法的渗透教育，通过典型问题潜移默化逐步培养学生掌 握常见的数学思想，如：分类讨论思想、转化与化归思想、数形结合思想等，还有如分离参数的方法等．对于学生而言，这些远远胜 过掌握了某一道题的解法。 出题者的意图想考我们求导知识，极值与零点概念、分类讨论思想，数形结合思想等，所以我们平时要加强这方面知识，同时它也反 应出用导数知识解决函数问题的基本题型与基本步骤，其它的可根据个人依不同角度总结。
分类讨论是否重复或遗漏？ 定义域优先考虑了吗？ 隐含条件注意了吗？ 分类讨论后“综上所述”了吗？ 计算过程都正确吗？ 有谁可以把错解拿来辨析吗？ 有没有其他方法？
2.5【引申拓展------说变式】 例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)ex,(aR)。
对题目的思维过程，即“说数学思维”，这样可以及时了解学习动态，对症指导，从而提高复习效率。 数学思想上本题考察了转化与化归思想、分类讨论思想以及数形结合解决问题的能力.
1A、dd完Yx成ou 作r T业e[x题t 及3其， 任意两个)有 不同三 类的个 变式零 。 点，求实数t的取值范围。
导数、二次函数均是高考考试的热点，要引起足够的注意．对于三次函数的零点讨论问题，可以通过典型例题的讲解，让学生建立解 决此类问题的模型，熟悉思路．另外要注意对学生进行掌握解决问题的通性通法的渗透教育，通过典型问题潜移默化逐步培养学生掌 握常见的数学思想，如：分类讨论思想、转化与化归思想、数形结合思想等，还有如分离参数的方法等．对于学生而言，这些远远胜 过掌握了某一道题的解法。 6【畅所欲言------说反思】 1、题目给的已知条件： 背景说明：高中数学复习课离不开解题，如何讲题、解题才能提高复习课的效率？波利亚在《怎样解题》中指出解题的四个步骤：“ 弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”， 它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题 的思维过程看得见，摸得着，而“说题”就是把审题、分析、解答和回顾的思维过程按一定规律一定顺序说出来，要求学习者暴露面 对题目的思维过程，即“说数学思维”，这样可以及时了解学习动态，对症指导，从而提高复习效率。 6【畅所欲言------说反思】 怎样分离变量？要变成怎样的目标呢？ 导数、二次函数均是高考考试的热点，要引起足够的注意．对于三次函数的零点讨论问题，可以通过典型例题的讲解，让学生建立解 决此类问题的模型，熟悉思路．另外要注意对学生进行掌握解决问题的通性通法的渗透教育，通过典型问题潜移默化逐步培养学生掌 握常见的数学思想，如：分类讨论思想、转化与化归思想、数形结合思想等，还有如分离参数的方法等．对于学生而言，这些远远胜 过掌握了某一道题的解法。 出题者的意图想考我们求导知识，极值与零点概念、分类讨论思想，数形结合思想等，所以我们平时要加强这方面知识，同时它也反 应出用导数知识解决函数问题的基本题型与基本步骤，其它的可根据个人依不同角度总结。
2017版高中数学选修1-1(课件)：3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.3 函数的最大(小)值
的极小值,f x2 ,f x4 ,f x6 是极大值.
探究 你能找出函数y = f x在区间a,b上的最
大值、最小值吗?
提示：从图中可以看出,函数y = f x在区间a,b
上的最大值是f a,最小值是f x3 .
第七页，编辑于星期六：三点 二十八分。
y
y = fx
y
y = fx
ao
bx
o a x1 x2 x3
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M. （2）存在x0∈I，使得f(x0)=M，
那么，称M是函数y=f(x)的最大值.
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在 实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M.
（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M，
那么，称M是函数y=f(x)的最小值.
第十四页，编辑于星期六：三点 二十八分。
一般地,求函数y = f x在a,b上的最
大值与最小值的步骤如下:
1求函数 y = f x在 a,b内的极值.
2将函数y = f x的各极值与端点处 的函数值 f a,f b比较,其中最大的
一个是最大值,最小的一个是最小值.
第十五页，编辑于星期六：三点 二十八分。
3.3.3 函数的最大（小）值与导数
第一页，编辑于星期六：三点 二十八分。
1.极值的判定
y y=f(x)
在极大值点附近
f (x)>0
f (x)<0
f (x)<0
f (x)>0
Oa
x1
x2
bx
在极小值点附近
左正右负为极大值
左负右正为极小值
第二页，编辑于星期六：三点 二十八分。
人教A版高中数学选修1-1课件183.3.1《导数在研究函数中的应用-单调性》(新)
确定函数，在哪个区间是增函数，那个区间 是减函数。
y 解：函数f(x)的定义域是(－∞,＋∞)
令6x2－12x>0,解得x>2或x<0
∴当x∈(2,＋∞)时，f(x)是增函数； 当x∈(－∞，0)时，f(x)也是增函数
令6x2－12x<0,解得,0<x<2
∴当x∈(0,2)时，f(x)是减函数。
o
练习:判断下列函数的单调性
• (1)f(x)=x3+3x; • (2)f(x)=sinx-x,x∈(0,π); • (3)f(x)=2x3+3x2-24x+1; • (4)f(x)=ex-x;
作业布置：
书本P107A1.（1）（2）,2.（2）(4). 第二教材A
画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间
y
y
o
x
1
o
x
y
1
o
x
在（－∞，0）和（0,＋∞ ）上分别是减函数。
但在定义域上不是减函数。
在（－∞，1）上是减函 数，在（1,＋∞）上是 增函数。
在(－∞,＋∞)上 是增函数
概念回顾
单调性的概念
对于给定区间上的函数f(x): 1.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时， 都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数. 2.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时 ，都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数 对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性 质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x) 的单调区间。
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.2 导数的计算 3.2.1 几个常用函数的导数》赛课课件_5
公式1:
.
请同学们求下列函数的导数:
y ' 1 2) y f (x) x,
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
3) y f (x) x2 , y ' 2x 这又说明什么?
4) y
f
(x)
1, x
y'
1 x2
公式2: (xn ) nxn1 (n Q) .
确定的导数 f / (x)，从而构成了一个新的函数 f / (x) 。
称这个函数 f / (x)为函数y=f(x)在开区间内的导函
数，简称导数，也可记作 y / ，即
f / (x) ＝ y /
y
f (x x) f (x)
＝ lim lim
x0 x x0
x
主题 几个常用函数的导数与基本初等函数导数公式 1.怎样利用定义求函数y＝f(x)的导数？
提示：(1)计算 y ，并化简.
(2)观察当Δx趋近x于0时， y 趋近于哪个定值. x
(3) y 趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数. x
2.导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率， 物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度. (1)函数y＝f(x)＝c(常数)的导数的物理意义是什么？ (2)函数y＝f(x)＝x的导数的物理意义呢？
二、新课——几个常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.
1) 函数y=f(x)=c的导数. 解 : y f (x) C, y f (x x) f (x) C C, y 0,
x f (x) C lim y 0.
x0 x
请注意公式中的条件是 n Q,但根据我们所掌握 的知识,只能就 n N *的情况加以证明.这个公式称为 幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数.
人教A版高中数学选修1-1《导数的应用一》课件-PPT文档资料
2 x －9 9 解析 由已知 x≠0, f′(x)＝1－ 2＝ 2 ， x x
令 f′(x)<0，解得－3<x<0 或 0<x<3.
请注意！
1．求函数的单调区间一定要先求函 数定义域； 2．单调区间一般不能并起来，可以 用“，”或者和连接.
【典例导悟】
题型一 讨论函数的单调性
1 2 例1 设 a>0，函数 f(x)＝ x 2 － (a＋ 1)x＋ a(1＋ ln x), 讨论 函数 f(x)的单调性．
(2)求导数f′(x)并进行适当化简（包括通分，因式分解等）；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.
1．(2009 江苏)函数 f(x)＝x3－15x2－33x＋6 的单调减区间为
(－1,11) ． ________
（2）解不等式 f′(x)>0 以及 f′(x)<0 的关 键在于解 f′(x)＝0 的根,必要时讨论根的 大小.
(3)确定单调区间时一定要注意定 义域.
跟踪训练 1
你会吗？ 我学我会
2a2 已知函数 f(x)＝alnx＋ ＋x(a≠0)， 讨论函数 f(x)的单调性． x
【解析】 f(x)的定义域为{x|x>0}．
①当 0<a<1 时，
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a.
由 f′(x)>0 则 0< x< a 或 x >1 由 f′(x)<0 则 a< x<1
③当 a>1 时，
x－12 ②当 a＝1 时，f′(x)＝ x ≥0，
由 f′(x)>0 则 0< x< 1 或 x > a 由 f′(x)<0 则 a< x<1
令 f′(x)<0，解得－3<x<0 或 0<x<3.
请注意！
1．求函数的单调区间一定要先求函 数定义域； 2．单调区间一般不能并起来，可以 用“，”或者和连接.
【典例导悟】
题型一 讨论函数的单调性
1 2 例1 设 a>0，函数 f(x)＝ x 2 － (a＋ 1)x＋ a(1＋ ln x), 讨论 函数 f(x)的单调性．
(2)求导数f′(x)并进行适当化简（包括通分，因式分解等）；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.
1．(2009 江苏)函数 f(x)＝x3－15x2－33x＋6 的单调减区间为
(－1,11) ． ________
（2）解不等式 f′(x)>0 以及 f′(x)<0 的关 键在于解 f′(x)＝0 的根,必要时讨论根的 大小.
(3)确定单调区间时一定要注意定 义域.
跟踪训练 1
你会吗？ 我学我会
2a2 已知函数 f(x)＝alnx＋ ＋x(a≠0)， 讨论函数 f(x)的单调性． x
【解析】 f(x)的定义域为{x|x>0}．
①当 0<a<1 时，
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a.
由 f′(x)>0 则 0< x< a 或 x >1 由 f′(x)<0 则 a< x<1
③当 a>1 时，
x－12 ②当 a＝1 时，f′(x)＝ x ≥0，
由 f′(x)>0 则 0< x< 1 或 x > a 由 f′(x)<0 则 a< x<1
人教A版高中数学选修1-1课件-函数的最大(小)值与导数
∴当 x＝－23时， f(x)有极大值2227＋c. 又 f(－1)＝12＋c，f(2)＝2＋c， ∴当 x∈[－1,2]时， f(x)的最大值为 f(2)＝2＋c. ∵当 x∈[－1,2]时， f(x)<c2 恒成立． ∴c2>2＋c，解得 c<－1 或 c>2， ∴c 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
[解析] (1)解：f′(x)＝－ax2＋2eax－1x＋2，f′(0)＝2. 因此曲线 y＝f(x)在(0，－1)处的切线方程是 2x－y－1＝0. (2)证明：当 a≥1 时，f(x)＋e≥(x2＋x－1＋ex＋1)e－x. 令 g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1，则 g′(x)＝2x＋1＋ex＋1. 当 x<－1 时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当 x>－1 时，g′(x)>0，g(x)单调递增． 所以 g(x)≥g(－1)＝0.因此 f(x)＋e≥0.
4．函数 f(x)＝sin x＋cos x 在 x∈[－2π，π2]上的最大值为___2___，最小值为 ___－__1__.
[解析] f′(x)＝cos x－sin x， 令 f′(x)＝0，即 cos x＝sin x， ∵x∈[－π2，2π]，∴x＝4π. f(4π)＝ 2，f(－2π)＝－1，f(2π)＝1， ∴f(x)在区间[－2π，π2]上的最大值为 2，最小值为－1.
[思路分析] 本题主要考查导数的几何意义，极值的逆用和不等式的恒成立问题，求解第(2)小题的关 键是求出函数f(x)在[－1,2]上的最大值．
[解析] (1)f′(x)＝3x2－x＋b, f(x)的图象上有与 x 轴平行的切线，则 f′(x)＝ 0 有实数解，
即方程 3x2－x＋b＝0 有实数解， ∴Δ＝1－12b≥0，解得 b≤112. 故 b 的取值范围为(－∞，112]．
2017版高中数学选修1-1(课件)：3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.1 函数的单调性与导数
间；
第五页，编辑于星期六：三点 二十八分。
我们可以用s(t)与瞬时速度v(t)的关系来说
明这个法则的正确性：
当v(t)=s (t)>0时，s(t)是增函数；
当v(t)=s′(t)<0时，s(t)是减函数。
我们还可以用函数曲线的切线斜率来理解 这个法则；
当切线斜率为正时，切线的倾斜角小于 90°，函数曲线呈上升状态；
3.3.1 函数的单调性与导数
第一页，编辑于星期六：三点 二十八分。
复习
1. 函数的单调性:
对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1 ＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)
就是区间I上的增函数. 对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜
x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)
3．函数y=xlnx在区间(0，1)上是( C)
(A)单调增函数
(B)单调减函数
(C) 在(0, 1 )上是减函数，在( 1 , 1)上
是增函数 e
e
(D) 在( 1 , 1)上是减函数，在(0, 1 )上
e
e
是增函数
第十八页，编辑于星期六：三点 二十八分。
4．函数y=x2(x+3)的减区间是 (－2，0) ，
就是区间I上的减函数.
2. 导数的概念及其四则运算
第二页，编辑于星期六：三点 二十八分。
引入新课
竖直上抛一个小沙袋，沙袋的 高度h是时间t的函数，设h=h(t)， 其图象如图所示。
横轴表示时间t，纵轴表示沙袋的高度h,设沙袋 的最高点为A，其横坐标为t=t0.
先观察沙袋在区间(a，t0)的运动情况： 根据生活经验，我们知道，在这个区间内，沙袋 向上运动，其竖直向上的瞬时速度大于0，
第五页，编辑于星期六：三点 二十八分。
我们可以用s(t)与瞬时速度v(t)的关系来说
明这个法则的正确性：
当v(t)=s (t)>0时，s(t)是增函数；
当v(t)=s′(t)<0时，s(t)是减函数。
我们还可以用函数曲线的切线斜率来理解 这个法则；
当切线斜率为正时，切线的倾斜角小于 90°，函数曲线呈上升状态；
3.3.1 函数的单调性与导数
第一页，编辑于星期六：三点 二十八分。
复习
1. 函数的单调性:
对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1 ＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)
就是区间I上的增函数. 对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜
x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)
3．函数y=xlnx在区间(0，1)上是( C)
(A)单调增函数
(B)单调减函数
(C) 在(0, 1 )上是减函数，在( 1 , 1)上
是增函数 e
e
(D) 在( 1 , 1)上是减函数，在(0, 1 )上
e
e
是增函数
第十八页，编辑于星期六：三点 二十八分。
4．函数y=x2(x+3)的减区间是 (－2，0) ，
就是区间I上的减函数.
2. 导数的概念及其四则运算
第二页，编辑于星期六：三点 二十八分。
引入新课
竖直上抛一个小沙袋，沙袋的 高度h是时间t的函数，设h=h(t)， 其图象如图所示。
横轴表示时间t，纵轴表示沙袋的高度h,设沙袋 的最高点为A，其横坐标为t=t0.
先观察沙袋在区间(a，t0)的运动情况： 根据生活经验，我们知道，在这个区间内，沙袋 向上运动，其竖直向上的瞬时速度大于0，
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1 2
x
1 ������
【解析】(1)函数 y=(2)x 在定义域 R 上是减函数. (2)函数 y=ln x 在定义域(0,+∞)内是增函数. (3)函数
1 y=������ 在定义域(-∞,0)和(0,+∞)内是减函数,但在定义域(-
1
∞,0)∪(0,+∞)上不是单调函数.
预学 2:单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间 M 上是单调递增函数或是单调递减函数, 那么就说这个函数在这个区间 M 上具有单调性,区间 M 称为单调区间.
4.求函数
e ������ f(x)= ������ 的单调递减区间.
【解析】函数的定义域为{x|x≠0},
e ������ (x -1) 则 f'(x)= ������ 2 . e ������ (x -1) 令 ������ 2 <0,
解得 x<1. 故函数
e ������ f(x)= ������ 的单调递减区间为(-∞,0)∪(0,1).
第 5 课时
利用导数求函数的单调区间
1.通过实际例子,理解导数与单调性的关系 知识目标 2.通过分析实际问题,会利用导数判断函数的单调性 3.通过了解导数与单调性的关系,会求函数的单调区间 通过分析实际问题,掌握导数与单调性之间的关联,发现事物 能力目标 的内在联系 通过对含参问题的导数应用,让学生掌握分类讨论思想的数 素养目标 学素养
议一议:写出函数 y=cos x 的单调区间.
【解析】函数 y=cos x 在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减,在[2k π-π,2kπ](k∈Z)上单调递增.
预学 3:函数的单调性与其导函数值的正负关系 对于函数 y=f(x),如果在某个区间(a,b)内 f'(x)>0,那么 f(x)在该 区间内单调递增;如果在某个区间(a,b)内 f'(x)<0,那么 f(x)在该区间 内单调递减.
想一想:函数 y=x -3x 的单调递增区间是 (指定小组回答,其他组补充)
3
.
【答案】(-∞,-1)和(1,+∞)
1.下列函数在(0,+∞)上是增函数的是( A.y=-x2 C.y=x2-x B.y=-x D.y=x2
).
【解析】 画出函数图象,观察图象可以得出函数 y=x2பைடு நூலகம்在(0,+∞)上是 增函数. 【答案】D
探究 1:求函数的单调区间 【例 1】求函数 f(x)=2x -6x +7 的单调区间.
3 2
【方法指导】先求 f'(x),再解不等式 f'(x)>0 和 f'(x)<0,即可得 到函数 f(x)的单调递增区间和单调递减区间. 【解析】由题可知,f'(x)=6x2-12x. 令 f'(x)>0,解得 x>2 或 x<0, 所以当 x∈(-∞,0)或 x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,函数 f(x)是增函数; 令 f'(x)<0,解得 0<x<2, 所以当 x∈(0,2)时,f'(x)<0,函数 f(x)是减函数. 3 2 综上所述,函数 f(x)=2x -6x +7 的单调递增区间为(-∞,0)和(2,+ ∞),单调递减区间为(0,2).
对于函数 y=x3-3x,如何判断其单调性呢?你能画出该函数的图象吗? 定义法是解决函数单调性问题的最根本的方法,但定义法比较烦琐,那 该如何解决呢?
预学 1:增函数与减函数 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I. 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是单调递增函 数.(如图(1)所示)
重点:利用导数判断函数的单调性及求函数的单调区间. 难点:利用导数解决含有参数的函数单调性问题. 学法指导:通过自主预习教材和导学案,理解函数的单调性的概念, 合作探究函数的单调性与导数的关系,并用导数判断函数的单调性.掌 握用导数求函数的单调区间的方法和技巧,提升自己运用数形结合和等 价转化数学思想解决数学问题的能力.
【变式设问】若例 1 中原函数在区间[a,a+1]上不单调,求实数 a 的 取值范围.
提示:由例 1 可知,原函数在(-∞,0]和[2,+∞)上为增函数,在[0,2] 上为减函数.若在[a,a+1]上不单调,则 a<0 且 a+1>0 或者 a<2 且 a+1>2, 解得实数 a 的取值范围为-1<a<0 或 1<a<2.
2.函数 y=x-ex 的单调递减区间是( ). A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(1,+∞)
D.(-∞,1)
【解析】y'=1-ex,令 y'=1-ex<0,解得 x>0. 【答案】A
3.函数 y=3x-2sin x 的单调递增区间为
.
【解析】由 y'=3-2cos x>0 知,函数的单调递增区间为(-∞,+∞). 【答案】(-∞,+∞)
预学 4:求可导函数单调区间的一般步骤 根据导数与函数单调性的关系,在函数定义域的某个区间(a,b)内 求可导函数单调区间的一般步骤: (1)确定函数 f(x)的定义域. (2)求导数 f'(x). (3)解不等式 f'(x)>0 或 f'(x)<0,如果 f'(x)>0,那么函数 y=f(x) 在这个区间内单调递增;如果 f'(x)<0,那么函数 y=f(x)在这个区间内单 调递减. (4)写出单调增区间.
如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是单调递减函 数.(如图(2)所示)
议一议:判断下列函数在其定义域内的单调性. (1)y=( ) ;(2)y=ln x;(3)y= . (指定小组回答,其他组补充)
【针对训练 1】函数 f(x)=2x-ln x 的单调递增区间是 .
【解析】函数的定义域为(0,+∞). 则 f'(x)=2-������ =
1 2 1 2������ -1 ,令 ������
f'(x)>0,解得 x>2.
1 的单调递增区间是(2,+∞).
1
所以函数 f(x)=2x-ln x 【答案】( ,+∞)
x
1 ������
【解析】(1)函数 y=(2)x 在定义域 R 上是减函数. (2)函数 y=ln x 在定义域(0,+∞)内是增函数. (3)函数
1 y=������ 在定义域(-∞,0)和(0,+∞)内是减函数,但在定义域(-
1
∞,0)∪(0,+∞)上不是单调函数.
预学 2:单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间 M 上是单调递增函数或是单调递减函数, 那么就说这个函数在这个区间 M 上具有单调性,区间 M 称为单调区间.
4.求函数
e ������ f(x)= ������ 的单调递减区间.
【解析】函数的定义域为{x|x≠0},
e ������ (x -1) 则 f'(x)= ������ 2 . e ������ (x -1) 令 ������ 2 <0,
解得 x<1. 故函数
e ������ f(x)= ������ 的单调递减区间为(-∞,0)∪(0,1).
第 5 课时
利用导数求函数的单调区间
1.通过实际例子,理解导数与单调性的关系 知识目标 2.通过分析实际问题,会利用导数判断函数的单调性 3.通过了解导数与单调性的关系,会求函数的单调区间 通过分析实际问题,掌握导数与单调性之间的关联,发现事物 能力目标 的内在联系 通过对含参问题的导数应用,让学生掌握分类讨论思想的数 素养目标 学素养
议一议:写出函数 y=cos x 的单调区间.
【解析】函数 y=cos x 在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减,在[2k π-π,2kπ](k∈Z)上单调递增.
预学 3:函数的单调性与其导函数值的正负关系 对于函数 y=f(x),如果在某个区间(a,b)内 f'(x)>0,那么 f(x)在该 区间内单调递增;如果在某个区间(a,b)内 f'(x)<0,那么 f(x)在该区间 内单调递减.
想一想:函数 y=x -3x 的单调递增区间是 (指定小组回答,其他组补充)
3
.
【答案】(-∞,-1)和(1,+∞)
1.下列函数在(0,+∞)上是增函数的是( A.y=-x2 C.y=x2-x B.y=-x D.y=x2
).
【解析】 画出函数图象,观察图象可以得出函数 y=x2பைடு நூலகம்在(0,+∞)上是 增函数. 【答案】D
探究 1:求函数的单调区间 【例 1】求函数 f(x)=2x -6x +7 的单调区间.
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【方法指导】先求 f'(x),再解不等式 f'(x)>0 和 f'(x)<0,即可得 到函数 f(x)的单调递增区间和单调递减区间. 【解析】由题可知,f'(x)=6x2-12x. 令 f'(x)>0,解得 x>2 或 x<0, 所以当 x∈(-∞,0)或 x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,函数 f(x)是增函数; 令 f'(x)<0,解得 0<x<2, 所以当 x∈(0,2)时,f'(x)<0,函数 f(x)是减函数. 3 2 综上所述,函数 f(x)=2x -6x +7 的单调递增区间为(-∞,0)和(2,+ ∞),单调递减区间为(0,2).
对于函数 y=x3-3x,如何判断其单调性呢?你能画出该函数的图象吗? 定义法是解决函数单调性问题的最根本的方法,但定义法比较烦琐,那 该如何解决呢?
预学 1:增函数与减函数 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I. 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是单调递增函 数.(如图(1)所示)
重点:利用导数判断函数的单调性及求函数的单调区间. 难点:利用导数解决含有参数的函数单调性问题. 学法指导:通过自主预习教材和导学案,理解函数的单调性的概念, 合作探究函数的单调性与导数的关系,并用导数判断函数的单调性.掌 握用导数求函数的单调区间的方法和技巧,提升自己运用数形结合和等 价转化数学思想解决数学问题的能力.
【变式设问】若例 1 中原函数在区间[a,a+1]上不单调,求实数 a 的 取值范围.
提示:由例 1 可知,原函数在(-∞,0]和[2,+∞)上为增函数,在[0,2] 上为减函数.若在[a,a+1]上不单调,则 a<0 且 a+1>0 或者 a<2 且 a+1>2, 解得实数 a 的取值范围为-1<a<0 或 1<a<2.
2.函数 y=x-ex 的单调递减区间是( ). A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(1,+∞)
D.(-∞,1)
【解析】y'=1-ex,令 y'=1-ex<0,解得 x>0. 【答案】A
3.函数 y=3x-2sin x 的单调递增区间为
.
【解析】由 y'=3-2cos x>0 知,函数的单调递增区间为(-∞,+∞). 【答案】(-∞,+∞)
预学 4:求可导函数单调区间的一般步骤 根据导数与函数单调性的关系,在函数定义域的某个区间(a,b)内 求可导函数单调区间的一般步骤: (1)确定函数 f(x)的定义域. (2)求导数 f'(x). (3)解不等式 f'(x)>0 或 f'(x)<0,如果 f'(x)>0,那么函数 y=f(x) 在这个区间内单调递增;如果 f'(x)<0,那么函数 y=f(x)在这个区间内单 调递减. (4)写出单调增区间.
如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是单调递减函 数.(如图(2)所示)
议一议:判断下列函数在其定义域内的单调性. (1)y=( ) ;(2)y=ln x;(3)y= . (指定小组回答,其他组补充)
【针对训练 1】函数 f(x)=2x-ln x 的单调递增区间是 .
【解析】函数的定义域为(0,+∞). 则 f'(x)=2-������ =
1 2 1 2������ -1 ,令 ������
f'(x)>0,解得 x>2.
1 的单调递增区间是(2,+∞).
1
所以函数 f(x)=2x-ln x 【答案】( ,+∞)