2011届高考数学第一轮点拨复习测试题57
2015届高考数学一轮总复习 阶段性测试题5(平面向量)
阶段性测试题五(平面向量)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2014·浙江杜桥中学期中)已知向量a ＝(1，m )，向量b ＝(m,2)．若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－2 B. 2 C ．±2 D ．0[答案] C[解析] ∵a ∥b ，∴1×2－m 2＝0， ∴m ＝±2.(理)(2014·抚顺市六校联合体期中)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )．若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2 [答案] D[解析] ∵a ＋b ＝(3,1＋x )，4b －2a ＝(6,4x －2)，a ＋b 与4b －2a 平行，∴3(4x －2)－6(1＋x )＝0，∴x ＝2.2．(2014·威海期中)已知|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －b |＝( ) A ．2 B ．4 C ．2 2 D ．8 [答案] A[解析] 由条件知|a |2＝1，|b |2＝4，a ·b ＝1， ∴|2a －b |2＝4|a |2＋|b |2－4a ·b ＝4，∴|2a －b |＝2.3．(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° [答案] C[解析] ∵c ⊥a ，∴c ·a ＝(a ＋b )·a ＝|a |2＋a ·b ＝0，∴a ·b ＝－1，即1×2×cos 〈a ，b 〉＝－1， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°.(理)(2014·营口三中期中)已知a ＋b ＋c ＝0，且a 与c 的夹角为60°，|b |＝3|a |，则cos 〈a ，b 〉等于( )A.32B.22C ．－12D ．－32[答案] D[解析] 设〈a ，b 〉＝α，∵|b |＝3|a |， ∴|b |2＝3|a |2，a ·b ＝3|a |2cos α， a ·c ＝|a |·|c |·cos60°＝12|a |·|a ＋b |.∵a ·c ＝－(a ＋b )·a ＝－|a |2－a ·b ＝－|a |2－3|a |2cos α， |a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b＝|a |2＋3|a |2＋23|a |2cos α＝4|a |2＋23|a |2cos α， ∴－|a |2－3|a |2cos α＝12|a |·4|a |2＋23|a |2cos α，∴－3cos α－1＝124＋23cos α，∴cos α＝－32，故选D.4．(2014·泸州市一诊)△ABC 中，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.13B.23 C ．－23D ．－13[答案] B[解析] ∵AD →＝2DB →，∴AD →＝23AB →＝23(CB →－CA →)，∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.5．(文)(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)在△ABC 中，D 是BC 的中点，AD ＝3，点P 在AD 上且满足AD →＝3AP →，则DA →·(PB →＋PC →)＝( )A ．6B ．－6C ．－12D ．12[答案] C[解析] ∵AD ＝3，AD →＝3AP →，∴|AD →|＝3，|AP →|＝1， ∴|PD →|＝2，∵D 为BC 的中点，∴DA →·(PB →＋PC →)＝DA →·2PD →＝－2·|DA →|·|PD →|＝－12.(理)(2014·开滦二中期中)已知△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝43，点P 为BC 边所在直线上的一个动点，则AP →·(AB →＋AC →)满足( )A ．最大值为16B ．最小值为4C ．为定值8D ．与P 的位置有关[答案] C[解析] 设BC 边中点为D ，〈AP →，AD →〉＝α，则|AD →|＝|AP →|·cos α，∵AB ＝AC ＝4，BC ＝43，∴∠BAC ＝120°，∴0°≤α≤60°， ∴AP →·(AB →＋AC →)＝AP →·2AD →＝2|AP →|·|AD →|·cos α ＝2|AD →|2＝8.6．(2014·辽宁师大附中期中)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1[答案] D[解析] ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线，∴存在实数k ，使得AB →＝kAC →，即λa ＋b ＝k (a ＋μb )，∵a 、b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝kμ，∴λμ＝1，故选D.7．(2014·抚顺二中期中)已知向量a ＝(cos75°，sin75°)，b ＝(cos15°，sin15°)，则a －b 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] C[解析] 解法1：∵a －b ＝(cos75°－cos15°，sin75°－sin15°)，∴|a －b |2＝(cos75°－cos15°)2＋(sin75°－sin15°)2＝2－2(cos75°cos15°＋sin75°sin15°)＝2－2cos60°＝1，∴|a －b |＝1，又b ＝1，(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°－1＝cos60°－1＝－12，∴cos 〈a －b ，b 〉＝(a －b )·b |a －b |·|b |＝－121×1＝－12，∴〈a －b ，b 〉＝120°.解法2：作单位圆如图，∠AOx ＝75°，∠BOx ＝15°，则OA →＝a ，OB →＝b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，∴△AOB 为正三角形，∴∠ABO ＝60°，从而OB →与BA →所成的角为120°， 即b 与a －b 所成的角为120°.[点评] 数形结合解答本题显得特别简捷．8．(2014·福建安溪一中、养正中学联考)已知在△ABC 中，AR →＝2RB →，CP →＝2PR →，若AP →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n ＝( )A ．1 B.89 C.79 D.23[答案] C[解析] ∵AR →＝2RB →，CP →＝2PR →，∴AR →＝23AB →，RP →＝－13CR →，∴AP →＝AR →＋RP →＝AR →－13CR →＝AR →－13(CA →＋AR →)＝23AR →＋13AC →＝49AB →＋13AC →，∴m ＋n ＝79.9．(文)(2014·营口三中期中)已知点G 是△ABC 的重心，AG →＝λAB →＋μAC →(λ、μ∈R )，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AG →|的最小值是( )A.33B.22C.23D.34[答案] C[解析] 设D 为△ABC 的边BC 的中点，AG →＝23AD →＝23·12(AB →＋AC →＝13AB →＋13AC →，∴λ＝μ＝13，∵∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，∴|AB →|·|AC →|＝4，∴|AG →|2＝19(|AB →|2＋|AC →|2－4)≥19×(2|AB →|·|AC →|－4)＝49，∴|AG →|≥23.(理)(2014·哈六中期中)已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAC ＝45°，AD ＝2，AB ＝2，BC ＝1，P 是边AB 所在直线上的动点，则|PC →＋2PD →|的最小值为( )A ．2B ．4 C.522 D.252[答案] C[解析] ∵AB ＝2，BC ＝1，∠BAC ＝45°，∴AB ·sin ∠BAC ＝BC ，∴AC ⊥BC ，以C 为原点直线BC 与AC 分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系如图，则C (0,0)，B (－1,0)，A (0,1)，D (2,1)，∵P 在直线AB ：y －x ＝1上，∴设P (x 0,1＋x 0)，则PC →＋2PD →＝(－x 0，－1－x 0)＋2(2－x 0，－x 0)＝(4－3x 0，－1－3x 0)， ∴|PC →＋2PD →|2＝(4－3x 0)2＋(－1－3x 0)2＝18x 20－18x 0＋17＝18(x 0－12)2＋252， ∴当x 0＝12时，|PC →＋2PD →|min ＝522，故选C.10．(文)(2014·河南淇县一中模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0[答案] A[解析] 由条件知，A 1(－1,0)，F 2(2,0)，∵P 在双曲线右支上，∴P 在上半支与下半支上结论相同，设P (x 0，3x 20－3)，x 0≥1，∴P A 1→·PF 2→＝(－1－x 0，－3x 20－3)·(2－x 0，－3x 20－3)＝(－1－x 0)(2－x 0)＋(3x 20－3)＝4x 20－x 0－5＝4(x 0－18)2－8116，∴当x 0＝1时，(P A 1→·PF 2→)min ＝－2，故选A.(理)(2014·浙江省五校联考)已知A 、B 是单位圆上的两点，O 为圆心，且∠AOB ＝120°，MN 是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →(0<λ<1)，则CM →·CN →的取值范围是( )A ．[－12，1)B ．[－1,1)C ．[－34，0)D ．[－1,0)[答案] C[解析] 以直线MN 为x 轴，单位圆的圆心O 为原点建立直角坐标系，则M (－1,0)，N (1,0)，∴OM →·ON →＝－1，∵OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →，(0<λ<1)， ∴BC →＝λBA →(0<λ<1)，∴C 在线段AB 上(不包括端点)，∵OA ＝OB ＝1，∠AOB ＝120°，∴|OC →|∈[12，1)，∴CM →·CN →＝(CO →＋OM →)·(CO →＋ON →)＝|CO →|2＋CO →·(OM →＋ON →)＋OM →·ON →＝|CO →|2－1∈[－34，0)．11．(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)如图，平面内的两个单位向量OA →，OB →，它们的夹角是60°，OC →与OA →、OB →向量的夹角都为30°，且|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ的值为( )A ．2B ．4C ．2 3D ．4 3[答案] B[解析] 以OA 、OB 为邻边作▱OADB ，∵OA ＝1，OB ＝1，∠AOB ＝60°，∴OD ＝3，∵OC →与OA →、OB →的夹角都为30°，∴OD →与OC →共线，∴OC →＝2OD →＝2OA →＋2OB →，∴λ＝μ＝2，λ＋μ＝4.12．(2014·枣庄市期中)如图，OA →，OB →分别为x 轴，y 轴非负半轴上的单位向量，点C 在x 轴上且在点A 的右侧，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、BC 上的点．若OE →与OA →＋OB →共线.DE →与OA →共线，则OD →·BC →的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2[答案] B[解析] 由条件设OE →＝λ(OA →＋OB →)，DE →＝μOA →， ∴OE →＝(λ，λ)，DE →＝(μ，0)，∴OD →＝OE →＋ED →＝(λ，λ)＋(－μ，0)＝(λ－μ，λ)，BC →＝(x 0，－1)，x 0>1， ∵BD →与BA →共线，BD →＝OD →－OB →＝(λ－μ，λ－1)，BA →＝OA →－OB →＝(1，－1)， ∴λ－μ1＝λ－1－1，∴2λ－μ＝1，∵BE →与BC →共线，BE →＝OE →－OB →＝(λ，λ－1)， ∴x 0λ＝－1λ－1，∴x 0＝λ1－λ. ∴OD →·BC →＝(λ－μ)x 0－λ＝(λ－μ)λ1－λ－λ＝(1－λ)·λ1－λ－λ＝0.故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是________．[答案] －2[解析] ∵a 与b 的方向相反，∴存在k <0，使a ＝k b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k ，kx ＝1，∴x 2＝4，∵k <0，∴x ＝－2. (理)(2014·江西临川十中期中)若非零向量a ，b ，c ，满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝________. [答案] 0[解析] ∵a ∥b ，∴存在实数λ，使b ＝λa ， 又a ⊥c ，∴a ·c ＝0，∴c ·(a ＋2b )＝c ·(a ＋2λa )＝(1＋2λ)a ·c ＝0.14．(文)(2014·辽宁师大附中期中)已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为________．[答案] －17[解析] ∵λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)， 由条件知(λa ＋b )·(a －2b )＝3λ＋1＋4λ＝0， ∴λ＝－17.(理)(2014·浙江杜桥中学期中)已知a ⊥b ，|a |＝1，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为________．[答案] 2[解析] ∵a ⊥b ，|a |＝1，|b |＝3，∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λ|a |2－2|b |2＋(2λ－3)a ·b ＝3λ－6＝0， ∴λ＝2.15．(文)(2014·北京朝阳区期中)已知平面向量a 与b 的夹角为π6，|a |＝3，|b |＝1，则|a －b |＝________；若平行四边形ABCD 满足AB →＝a ＋b ，AD →＝a －b ，则平行四边形ABCD 的面积为________．[答案] 13[解析] 由条件知，|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝3－2×3×1×cos π6＋1＝1，|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝3＋2×3×1×cos π6＋1＝7，∵AB →·AD →＝(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2＝2，∴AB →·AD →＝|a ＋b ||a －b |cos 〈AB →，AD →〉＝7cos 〈AB →，AD →〉＝2， ∴cos 〈AB →，AD →〉＝27，sin 〈AB →，AD →〉＝37，∴S ＝|AB →||AD →|sin 〈AB →，AD →〉＝1×7×37＝ 3.(理)(2014·山西曲沃中学期中)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若动点P 在线段BD 1上运动，则DC →·AP →的取值范围是________．[答案] [0,1][解析] 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，∵棱长为1， ∴四边形ABC 1D 1为矩形，AB ＝1，AD 1＝2， 又DC →＝AB →，∴DC →·AP →＝AB →·AP →＝|AB →|·|AP →|·cos 〈AB →，AP →〉，当P 点与D 1点重合时，|AP →|·cos 〈AB →，AP →〉取最小值0， 当P 点与B 点重合时，|AP →|·cos 〈AP →，AB →〉取最大值1， ∴|AP →|·cos 〈AB →，AP →〉∈[0,1]， 又|AB →|＝1，∴DC →·AP →∈[0,1]．16．(文)(2014·湖南省五市十校联考)点M (x ，y )是不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤3y ≤3x ≤3y表示的平面区域Ω内的一动点，使z ＝y －2x 的值取得最小的点为A (x 0，y 0)，则OM →·OA →(O 为坐标原点)的取值范围是________．[答案] [0,6][解析] 作出可行域Ω为如图四边形OBCD 区域，作直线l 0：y －2x ＝0，平移l 0，当平移到经过点B (3，1)时，z 取最小值，∴A 为B 点，即A (3，1)，∵M 在平面区域Ω内运动，|OA →|为定值， OM →·OA →＝|OA →|·(|OM →|·cos 〈OA →，OM →〉)，∴当M 与O (或C )重合时，|OM →|cos 〈OA →，OM →〉取到最小值(或最大值)，且M 与O 重合时，OM →·OA →＝0，M 与C 重合时，OM →·OA →＝(3，3)·(3，1)＝6，∴0≤OM →·OA →≤6.(理)(2014·襄阳四中、襄阳五中联考)设点P (x ，y )为平面上以A (4,0)，B (0,4)，C (1,2)为顶点的三角形区域(包括边界)内一动点，O 为原点，且OP →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ的取值范围为________．[答案] [14，1][解析] 直线AB ：x ＋y ＝4，直线AC ：2x ＋3y －8＝0，直线BC ：2x ＋y －4＝0， ∴点P 所在的平面区域为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，2x ＋3y ≥8，2x ＋y ≥4.即△ABC 的内部和边界， ∵OP →＝λOA →＋μOB →＝(4λ，4μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4λ，y ＝4μ.∴λ＋μ＝14(x ＋y )．作直线l 0：x ＋y ＝0，平移l 0，可知当平移到经过点C (1,2)时，x ＋y 取最小值3，与直线AB 重合时，x ＋y 取最大值4，从而3≤x ＋y ≤4，∴14≤λ＋μ≤1.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(2014·福建安溪一中、养正中学联考)已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a ＋b )·(a －b )＝12，求： (1)a 与b 的夹角；(2)a ＋b 与a －b 的夹角的余弦值[解析] (1)由条件知(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝12，|a |＝1，∴|b |＝22，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝121×22＝22， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4. (2)∵(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋12＝12， ∴|a －b |＝22， ∵(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×12＋12＝52， ∴|a ＋b |＝102， 设a －b ，a ＋b 的夹角为α，则cos α＝(a －b )·(a ＋b )|a －b |·|a ＋b |＝1222×102＝55. 18．(本小题满分12分)(文)(2014·江西临川十中期中)已知O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线；(2)若t 1＝a 2，当OM →⊥AB →且△ABM 的面积为12时，求a 的值．[解析] (1)证明：∵当t 1＝1时，AM →＝OM →－OA →＝t 2AB →，∴不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点共线．(2)当t 1＝a 2时，OM →＝(4t 2,4t 2＋2a 2)．又∵AB →＝(4,4)，OM →⊥AB →，∴4t 2×4＋(4t 2＋2a 2)×4＝0，∴t 2＝－14a 2.∴OM →＝(－a 2，a 2)． 又∵|AB →|＝42，点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－a 2－a 2＋2|2＝2|a 2－1|·S △ABM ＝12， ∴12|AB →|·d ＝12×42×2|a 2－1|＝12， 解得a ＝±2，故所求a 的值为±2.(理)(2014·山东省德州市期中)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形OABC 是等腰梯形，A (6,0)，C (1，3)，点M 满足OM →＝12OA →，点P 在线段BC 上运动(包括端点)，如图．(1)求∠OCM 的余弦值；(2)是否存在实数λ，使(OA →－λOP →)⊥CM →，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．[解析] (1)由题意可得OA →＝(6,0)，OC →＝(1，3)，OM →＝12OA →＝(3,0)，CM →＝(2，－3)，CO →＝(－1，－3)，∴cos ∠OCM ＝cos 〈CO →，CM →〉＝CO →·CM →|CO →||CM →|＝714. (2)设P (t ，3)，其中1≤t ≤5，λOP →＝(λt ，3λ)，OA →－λOP →＝(6－λt ，－3λ)，CM →＝(2，－3)，若(OA →－λOP →)⊥CM →，则(OA →－λOP →)·CM →＝0，即12－2λt ＋3λ＝0⇒(2t －3)λ＝12，若t ＝32，则λ不存在， 若t ≠32，则λ＝122t －3， ∵t ∈[1，32)∪(32，5]，故λ∈(－∞，－12]∪[127，＋∞)． 19．(本小题满分12分)(文)(2014·浙江台州中学期中)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，已知sin C ＝2sin(B ＋C )cos B .(1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(a ＋c ，b )，n ＝(b ＋a ，c －a )，若m ∥n ，求∠A .[解析] (1)在△ABC 中，∵sin(A ＋B )＝sin C ，sin(B ＋C )＝sin A ，∴sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，∴sin(A －B )＝0，∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ∥n ，∴(a ＋c )(c －a )－b (b ＋a )＝0，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴cos C ＝－12.∵0<C <π，∴C ＝2π3， 又△ABC 为等腰三角形，∴∠A ＝π6. (理)(2014·哈六中期中)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若m ＝(2a －c ，cos C )，n ＝(b ，cos B )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)求a ＋c b的取值范围． [解析] (1)∵m ∥n ，∴(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ，即2sin A cos B ＝sin A ，∵sin A ≠0，∴cos B ＝12， ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3. (2)由正弦定理得a ＋c b ＝sin A ＋sin C sin B ＝233(sin A ＋sin C )， ∵C ＋A ＝2π3，∴sin C ＝sin(2π3－A )＝32cos A ＋12sin A ， ∴a ＋c b ＝2sin(A ＋π6)， ∵A ∈(0，2π3)，∴A ＋π6∈(π6，5π6)， ∴a ＋c b∈(1,2]． 20．(本小题满分12分)(2014·抚顺二中期中)在△ABC 中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos A ，sin A )，向量n ＝(2－sin A ，cos A )，|m ＋n |＝2.(1)求角A 的大小； (2)若b ＝42，且c ＝2a ，求△ABC 的面积．[解析] (1)∵|m ＋n |2＝(cos A ＋2－sin A )2＋(sin A ＋cos A )2＝4＋22(cos A －sin A )＝4＋4cos(π4＋A )， ∴4＋4cos(π4＋4)＝4，∴cos(π4＋A )＝0， ∵A ∈(0，π)，∴π4＋A ＝π2，∴A ＝π4. (2)由余弦定理知：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即a 2＝(42)2＋(2a )2－2×42×2a cos π4， ∴a 2－82a ＋32＝0，解得a ＝42，∴c ＝8，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×8×22＝16. 21．(本小题满分12分)(文)(2014·安徽程集中学期中)已知△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos C 2，sin C 2)，n ＝(cos C 2，－sin C 2)，且m 与n 的夹角为π3. (1)求角C 的值；(2)已知c ＝3，△ABC 的面积S ＝433，求a ＋b 的值． [解析] (1)∵|m |＝|n |＝1，∴m ·n ＝|m |·|n |·cos π3＝12， 又m ·n ＝cos C 2cos C 2＋sin C 2(－sin C 2)＝cos C ， ∴cos C ＝12， 又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3. (2)由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得a 2＋b 2－ab ＝9，①由S △ABC ＝12ab sin C ＝433，得ab ＝163，② 由①②得(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝9＋3ab ＝25，∵a ，b ∈R ＋，∴a ＋b ＝5.(理)(2014·河北冀州中学期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝(cos 3A 2，sin 3A 2)，n ＝(cos A 2，sin A 2)，且满足|m ＋n |＝ 3. (1)求角A 的大小；(2)若|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|，试判断△ABC 的形状．[解析] (1)由|m ＋n |＝3，得m 2＋n 2＋2m ·n ＝3，即1＋1＋2(cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A 2)＝3， ∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)∵|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|，∴sin B ＋sin C ＝3sin A ，∴sin B ＋sin(2π3－B )＝3×32， 即32sin B ＋12cos B ＝32， ∴sin(B ＋π6)＝32.∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6， ∴B ＋π6＝π3或2π3，故B ＝π6或π2. 当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2时，C ＝π6. 故△ABC 是直角三角形．22．(本小题满分14分)(文)(2014·河南淇县一中模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的两点A ，B .(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．[解析] (1)由题意知抛物线焦点为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)证明：∵直线l 与抛物线交于不同两点，∴直线l 与x 轴不平行，故可设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x 中，消去x 得，y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b .令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2，∴直线l 过定点(2,0)．(理)(2014·湖南省五市十校联考)已知向量m ＝(sin x ，－1)，n ＝(3cos x ，－12)，函数f (x )＝m 2＋m ·n －2.(1)求f (x )的最大值，并求取得最大值时x 的取值集合；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 成等比数列，角B 为锐角，且f (B )＝1，求1tan A ＋1tan C的值． [解析] (1)f (x )＝m 2＋m ·n －2＝(m ＋n )·m －2＝(sin x ＋3cos x ，－32)·(sin x ，－1)－2 ＝sin 2x ＋3sin x cos x －12＝1－cos2x 2＋32sin2x －12＝32sin2x －12cos2x ＝sin(2x －π6)． 故f (x )max ＝1，此时2x －π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋π3，k ∈Z . 所以取得最大值时x 的集合为{x |x ＝k π＋π3，k ∈Z }． (2)∵f (B )＝1，∴sin(2B －π6)＝1， 又∵0＜B ＜π2，∴－π6<2B －π6<56π. ∴2B －π6＝π2，∴B ＝π3. ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，∴sin 2B ＝sin A sin C . ∴1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2B ＝1sin B ＝132＝233.。
高考数学一轮复习等差数列-教学课件
S偶 an1 (2)项数为奇数(2n+1)的等差数列{an}: S2n+1=(2n+1)an+1. S奇 = n 1 .(其中 S 奇、S 偶分别表示数列{an}中所有奇数 S偶 n 项、偶数项的和)
解析:(1)等差数列{an}中,有 a6+a7+a8=3a7, ∴a7=4,∴S13=13a7=52.
S偶 S奇 354，
(2)由题意,可知
S偶
S奇
32 ， 27
∴
S偶
S奇
192， 162.
又项数为 12 的等差数列中 S 偶-S 奇=6d,
∴d=5.
答案:(1)52 (2)5
反思归纳 在等差数列前 n 项和中还常用到以下性质
∴
8a1
87 2
d
4 a1
2d
,
a1 6d 2.
∴
ad1
10, 2.
∴a9=a1+8d=10+8×(-2)=-6.
法二 ∵S8=4a3,∴ 8a1 a8 =4a3.
2
∴a1+a8=a3,∴a3+a6=a3,∴a6=0. ∴d=a7-a6=-2, ∴a9=a7+2d=-6. 故选 A.
即时突破 2 (2013 山东省滨州市质检)已知数
列{an}满足 a1=3,an·an-1=2an-1-1(n≥2).
(1)求 a2,a3,a4;
(2)求证:数列
1 an
1
是等差数列,并求出{an}
2011全国一高考数学(理)word版、可编辑、高清无水印
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)第Ⅰ卷第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题（1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= （A ）2i - （B ）i - （C ）i （D ）2i（2）函数2(0)y x x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥（C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥（3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 （A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224A n S S +-=，则k =（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5（5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A）13（B）3（C）6（D）9(6)已知直二面角α− ι−β，点A∈α，AC⊥ι，C为垂足，B∈β，BD⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于(A)23(B)33(C)63(D) 1(7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种(B)10种(C)18种(D)20种(8)曲线y=2xe-+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(A)13(B)12(C)23(D)1(9)设()f x是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x=2(1)x x-，则5 ()2f-=(A) -12(B)14-(C)14(D)12(10)已知抛物线C：24y x=的焦点为F，直线24y x=-与C交于A，B两点．则cos AFB∠=(A)45 (B)35 (C)35- (D)45-(11)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 (A)7π (B)9π (C)11π (D)13π(12)设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b =12-，,a c b c --=060，则c 的最大值等于(A)2 (B)3 (c)2 (D)1绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修II) 第Ⅱ卷 注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。
高考数学一轮复习知识点与练习随机事件的概率
第卜二章概率、随机变就及其概率分布§12.1随机事件的概率基础知识自主学习U知识梳理要覇讲解深层娈破1. 概率和频率(1) 在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A 为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A)= nA为事件A出现的频率.(2) 对于给定的随机事件A,在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P(A).2. 事件的关系与运算定义付号表示包含关系如果事件A发生，则事件B 一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B? A（或A? B）相等关系若B? A且A? B A = B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A U B（或A + B）父事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A n B（或AB）互斥事件若A A B为不可能事件(A n B= ?),则称事件A与事件B互斥A nB = ?对立事件若A n B为不可能事件，A U B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件P（A）+ P（B）=13. 概率的几个基本性质(1) 概率的取值范围：0W P(A)w 1.(2) 必然事件的概率P(E) = 1.⑶不可能事件的概率P( F) = 0.(4) 概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A U B)= P(A) + P(B).(5) 对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A) = 1 —P(B).【知识拓展】互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)(1) 事件发生频率与概率是相同的. ()(2) 随机事件和随机试验是一回事. ()(3) 在大量重复试验中，概率是频率的稳定值. ()(4) 两个事件的和事件是指两个事件都得发生. ()(5) 对立事件- -定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件. ()(6) 两互斥事件的概率和为 1.( )考点自测伏速解普自查自纠1. 一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________ .①至多有一次中靶②两次都中靶③只有一次中靶④两次都不中靶2. 从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5,那么该同学的身高超过175 cm的概率为_________ .3. (2015湖北改编)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为___________ 石.专注•专业•口碑•极致-2 -4. ___________________________________________ 给出下列三个命题，其中正确的命题有个.①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，3结果3次出现正面，因此正面出现的概率是7；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.5. _____________________________________ （教材改编）袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球.在上述事件中，是对立事件的为.题型分类深度剖析题型一事件关系的判断例1某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C 为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订” •判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件.思维升华对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件•这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判定所给事件的关系.W' 判断下列各对事件是不是互斥事件或对立事件：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中①恰有1名男生和恰有2名男生；②至少有1名男生和至少有1名女生；③至少有1名男生和全是女生.题型二随机事件的频率与概率例2 （2015北京）某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整专注•专业•口碑•极致⑴估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；⑶如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?思维升华(1)概率与频率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.(2)随机事件概率的求法：利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.」艮打.Ul.^. 2 某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：(1) 计算表中乒乓球优等品的频率；(2) 从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)题型三互斥事件、对立事件的概率命题点1互斥事件的概率例3 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是*得到黑球或黄球的概率是—，得到黄球或绿球的概率也是—，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多12 12少？命题点2对立事件的概率例4某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个•设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C,求：(1) P(A), P(B), P(C);(2) 1张奖券的中奖概率；(3) 1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.思维升华求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A) = 1- P( A)求解•当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法.比二"和"国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7〜10环的概率如下表所示：求该射击队员射击一次：(1) 射中9环或10环的概率;(2) 命中不足8环的概率.21 •用正难则反思想求互斥事件的概率典例(14分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示(1) 确定x, y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2) 求一位顾客一次购物的结算时间不超过..2分钟的概率.(将频率视为概率)思维点拨若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反思想求解.温馨提醒(1)要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义.(2)正确判定事件间的关系，善于将A转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式. 易错提示(1)对统计表的信息不理解，错求x, y,难以用样本平均数估计总体. (2)不能正确地把事件A转化为几个互斥事件的和或对立事件，导致计算错误.——■ ■思想方法感悟提高［方法与技巧］1.对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A).2•从集合角度理解互斥事件和对立事件从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件~A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. ［失误与防范］1.正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.2•需准确理解题意，特别留心“至多””“至少””“不少于”” 等语句的含义.练出高分A组专项基础训练(时间：45分钟)事件N: “只有一次出现反面”，1.下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M : “两次出现正面”，-6 -专注•专业•口碑•极致则事件M与N互为对立事件；②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件；④若事件A与B互为对立事件，则事件A U B为必然事件，其中，真命题是_________________ .1 122•围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为刁，都是白子的概率是35,则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是___________ •3. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝，事件B=｛抽到二等品｝，事件C= ｛抽到三等品｝，且已知P（A）= 0.65, P（B）= 0.2 , P（C）= 0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为4. 从存放的号码分别为1,2,3 , , , 10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：卡片号码12345678910取到次数138576131810119则取到号码为奇数的卡片的频率是__________5•对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图•根据标准，产品长度在区间［20,25）上的为一等品，在区间［15,20）和［25,30）上的为二等品，在区间［10,15）和［30,35）上的为三等品•用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为 ________ .6. 在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品.其中________ 是必然事件；________ 是不可能事件； _________ 是随机事件.7. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40% ,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果•经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ____________ .&若随机事件A, B互斥，A, B发生的概率均不等于0，且P(A) = 2- a, P(B)= 4a —5，则实数a的取值范围是_______________9. (2014陕西)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1) 若额的概率；(2) 在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为 4 000元的概率.10. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量其身高，被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分组：第一组［155,160)，第二组［160,165)，…，第八组［190,195］，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为 4.(1)求第七组的频率；⑵估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180 cm以上洽180 cm)的人数；(3) 若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x, y,事件E={|x—y|w5}，事件 F = {|x—y|>15}，求P(E U F).B组专项能力提升(时间：25分钟)11. 在一次随机试验中，彼此互斥的事件A, B, C, D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是_______________ .① A + B与C是互斥事件，也是对立事件；② B + C与D是互斥事件，也是对立事件；③ A + C与B+ D是互斥事件，但不是对立事件；④A与B+ C+ D是互斥事件，也是对立事件.12. 如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成均成绩超过乙的平均成绩的概率为__________甲乙9 £g 3 3 72 1 09■ 9绩，其中一个数字被污损，则甲的平4 113. 若A, B互为对立事件，其概率分别为P(A) = x，P(B)= y，且Q0,y>0,则X+ y的最小值为14. 如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查, 调查结果如下：选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；⑵分别求通过路径L i和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；⑶现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.15日期123456789101112131415天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨(2) 西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.。
高考数学一轮复习 函数系列之集合与函数测试题 试题
集合与函数测试题〔本套试卷一共11个小题，满分是100分，测试时间是100分钟〕一、填空题〔本大题一一共5个小题，每一小题5分，一共25分〕1.集合M={}Z k k x x ∈-=,23，P={}Z l l y y ∈+=,13，S={}Z m m z z ∈+=,16，那么 M P S.2.设集合M=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=--++41)12(412a ax x x ，那么card 〔M 〕= . 3.集合A={}01)2(2=+++x m x x ，B={}0≥x x ，假设∅=⋂B A ，那么m 的取值范围为 . 人. 5. 函数862++-=m mx mx y 的定义域为R ，那么m 的取值范围是 .二、解答题〔本大题一一共5个小题，一共57分〕 1.求以下函数值域.〔12分=4×3〕〔1〕135-+-=x x y 〔2〕x x y 21-+= 〔3〕()12+-+=x x x f()x f y =的值域是,3,21⎥⎦⎤⎢⎣⎡求函数()()()11++=x f x f x F 的值域.〔此题满分是9分〕22)(2+-=x x x f 〔[]2,+∈t t x ，R t ∈〕的最小值为)(t g ，求其解析式.〔此题满分是11分〕4.定义在R 上的函数(),(0)0y f x f =≠且，当0x >时，()1f x >，且对任意,a b R ∈，()()()f a b f a f b +=.〔此题满分是12分〕⑴求(0)f⑵求证：对任意,()0x R f x ∈>有 ⑶求证：()f x 在R 上是增函数⑷假设2()(2)1f x f x x ->，求x 的取值范围 5. 探究函数)0,(,4)(-∞∈+=x xx x f 的最大值，并确定获得最大值时x 的值.列表如下： 请观察表中y 值随x 值变化的特点，完成以下的问题.函数)0,(,4)(-∞∈+=x xx x f 在区间)0,2(-上递减； 〔1〕函数)0,(,4)(-∞∈+=x xx x f 在区间 上递增.当=x 时，=最大)(x f .〔2〕证明：函数x x x f 4)(+=在区间)0,2(-递减. 〔3〕考虑：函数)0(4)(>+=x xx x f 有最大值或者最小值吗？如有，是多少？此时x 为何值？并说明理由.( 第〔1〕问每空2分，第〔2〕问3分，第3问4分 )三、附加题〔此题满分是18分〕a a x f x 3)(+=〔0>a ，1≠a 〕的反函数是)(1x fy -=，而且函数)(x g y =的图象与函数)(1x fy -=的图象关于点)0,(a 对称．〔1〕求函数)(x g y =的解析式； 〔2〕假设函数)()()(1x g x fx F --=-在]3,2[++∈a a x 上有意义，求a 的取值范围．四季寄语情感寄语在纷繁的人群中/牵手走过岁月/就像走过夏季/拥挤的海滩在我居住的江南/已是春暖花开季节/采几片云彩/轻捧一掬清泉/飘送几片绿叶/用我的心/盛着寄给/北国的你不要想摆脱冬季/看/冰雪覆盖的世界/美好的这样完整/如我对你的祝福/完整地这样美好挡也挡不住的春意/像挡也挡不住的/想你的心情/它总在杨柳枝头/泄露我的秘密往事的怀念/爬上琴弦/化作绵绵秋雨/零零落落我诚挚的情怀/如夏日老树下的绿荫/斑斑驳驳虽只是一个小小的祝福/却化做了/夏季夜空/万点星辰中的一颗对你的思念/温暖了/我这些个漫长的/冬日从春到夏,从秋到冬......只要你的帘轻动,就是我的思念在你窗上走过.在那个无花果成熟的季节,我才真正领悟了你不能表达的缄默.我又错过了一个花期/只要你知道无花也是春天/我是你三月芳草地燕子声声里,相思又一年朋友,愿你心中,没有秋寒.一到冬天,就想起/那年我们一起去吃的糖葫芦/那味道又酸又甜/就像......爱情.谢谢你/在我孤独时刻/拜访我这冬日陋室只要有个窗子/就拥有了四季/拥有了世界愿你:俏丽如三春之桃,清素若九秋之菊没有你在身边,我的生活永远是冬天!让我们穿越秋天/一起去领略那收获的喜悦!在冬天里,心中要装着春天;而在春天,却不能忘记冬天的寒冷.落红不是无情物,化作春泥更护花.愿是只燕,衔着春光,翩翩向你窗.请紧紧把握现在/让我们把一种期翼/或者是一种愿望/种进大地/明春/它就会萌生绿色的叶片.此刻又是久违的秋季/又是你钟爱的季节/于是/秋风秋雨秋云秋月/都化作你的笑颜身影/在我的心底落落起起.此刻已是秋季/你可体验到/收获怀念的感觉/和秋雨一样真实动人.一条柳枝/愿是你生活的主题/常绿常新/在每一个春季雨声蝉鸣叶落风啸/又一个匆匆四季/在这冬末春初/向遥远的你/问安!又是夏季/时常有暴雨雷鸣/此刻/你可以把我当作大雨伞/直至雨过天晴/留给你一个/彩虹的夏季!。
2011届高考数学第一轮复习全套系列专项测试题(含详解)：32
·高三数学·单元测试卷(十一)第十一单元 排列组合、二项式定理(时量:120分钟 150分)一、选择题：本大题共18小题，每小题5分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为 A ．120B ．324C ．720D ．12802．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是 A ．40B ．74C ．84D ．2003．以三棱柱的六个顶点中的四个顶点为顶点的三棱锥有 A ．18个B ．15个C ．12个D ．9个4．从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和弦，若有一个音键不同，则发出不同的和弦，则这样的不同的和弦种数是 A ．512B ．968C ．1013D ．1024更多成套系列资源请您访问： （请按ctrl 键单击网址） 成套资源仅2元，以最低成本为您服务，谢谢您的大力支持，欢迎您的宝贵意见！5．如果(n x +的展开式中所有奇数项的系数和等于512，则展开式的中间项是A ．6810C xB ．5710C xC ．468C xD ．611C x6．用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是 A ．36B ．32C ．24D ．207．若n 是奇数，则112217777n n n n n n n C C C ---+++⋯⋯+被9除的余数是A ．0B ．2C ．7D ．88．现有一个碱基A ，2个碱基C ，3个碱基G ，由这6个碱基组成的不同的碱基序列有 A ．20个B ．60个C ．120个D ．90个9．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为 A ．504B ．210C ．336D ．12010．在342005(1)(1)(1)x x x ++++⋯⋯++的展开式中，x 3的系数等于A ．42005CB ．42006CC ．32005CD ．32006C11．现有男女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人，分别参加数理化三科竞赛，共有90种不同方案，则男、女生人数可能是 A ．2男6女B ．3男5女C ．5男3女D ．6男2女12．若x ∈R ，n ∈N ＋ ，定义nx M ＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n －1)，例如55M -＝(－5)(－4)(－3)(－2)(－1)＝－120，则函数199()x f x xM -=的奇偶性为A ．是偶函数而不是奇函数B ．是奇函数而不是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数13．由等式43243212341234(1)(1)(1)(1),x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++定义映射12341234:(,,,)(,,,),f a a a a b b b b →则f （4，3，2，1）等于 A ．（1，2，3，4）B ．（0，3，4，0）C ．（－1，0，2，－2）D ．（0，－3，4，－1）14．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5，6}，从A 到B 的映射f (x )，B 中有且仅有2个元素有原象，则这样的映射个数为 A ．8B ．9C ．24D ．2715．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，而不同的站法有A．24种B．36种C．60种D．66种16．等腰三角形的三边均为正数，它们周长不大于10，这样不同形状的三角形的种数为A．8 B．9 C．10 D．11 17．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有A．36种B．42种C．50种D．72种18．若1021022 012100210139 ),()()x a a x a x a x a a a a a a =+++⋯+++⋯+-++⋯+则的值为A．0 B．2 C．－1 D．1答题卡二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在横线上．19．某电子器件的电路中，在A，B之间有C，D，E，F四个焊点（如图），如果焊点脱落，则可能导致电路不通．今发现A，B间电路不通，则焊点脱落的不同情况有种．20．设f(x)＝x5－5x4＋10x3－10x2＋5x＋1,则f(x)的反函数f－1(x)＝．21．正整数a1a2…a n…a2n－2a2n－1称为凹数，如果a1>a2>…a n，且a2n－1>a2n－2>…>a n，其中a i（i＝1,2,3,…）∈{0,1,2,…,9}，请回答三位凹数a1a2a3（a1≠a3）共有个（用数字作答）．22．如果a1(x－1)4＋a2(x－1)3＋a3(x－1)2＋a4(x－1)＋a5＝x4，那么a2－a3＋a4．23．一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，则满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数有．24．已知（x＋1）6（ax－1）2的展开式中，x3的系数是56，则实数a的值为．三、解答题：本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25．（本小题满分12分）将7个相同的小球任意放入四个不同的盒子中，每个盒子都不空，共有多少种不同的方法？26．（本小题满分12分）已知(41x＋3x2)n展开式中的倒数第三项的系数为45，求：⑴含x3的项；⑵系数最大的项．27．（本小题满分12分）求证：123114710(31)(32)2.n n n n n n C C C n C n -++++⋯++=+⋅第十一单元 排列组合、二项式定理参考答案一、选择题（每小题5分，共90分）：2．B 分三步：33425154545474.C C C C C C ++=3．C 46312.C -=4．B 分8类：34510121012101010101010101010101010()2(11045)968.C C C C C C C C C C C +++⋯+=+++⋯+-++=-++=5．B 12512,10,n n -=∴=中间项为555561010T C x C x==6．D 按首位数字的奇偶性分两类：2332223322()20A A A A A +-=7．C 原式＝（7＋1）n －1＝(9－1)2－1＝9k －2＝9k ’＋7（k 和k ’均为正整数）．8．B 分三步：12365360C C C =9．A 939966504,504.A A A ==或10．B 原式＝32003320062006442006(1)[1(1)](1)(1)(1).1(1)x x x x x x C x x+-+-+++=+-+即求中的系数为11．B 设有男生x 人，则2138390,(1)(8)30x x C C A x x x -=--=即，检验知B 正确．12．A 2222()(9)(8)(9191)(1)(4)(81).f x x x x x x x x x =--⋯-+-=--⋯- 13．D 比较等式两边x 3的系数，得4＝4＋b 1,则b 1＝0，故排除A ，C ；再比较等式两边的常数项，有1＝1＋b 1＋b 2＋b 3＋b 4,∴b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝0． 14．D 223327.C =15．B 先排甲、乙外的3人，有33A 种排法，再插入甲、乙两人，有24A 种方法，又甲排乙的左边和甲排乙的右边各占12 ，故所求不同和站法有3234136().2A A =种16．C 共有（1，1，1），（1，2，2），（1，3，3），（1，4，4），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，4，4），（3，3，3）（3，3，4）10种．17．B 每人值班2天的排法或减去甲值周一或乙值周六的排法，再加上甲值周一且乙值周六的排法，共有2212264544242().C C A C A -+=种 18．D 设f (x )＝(2－x )10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－…－a 9＋a 10)＝f (1)f (－1)＝(2＋1)10(2－1)10＝1。
【步步高】高考数学第一轮密集复习(基础知识+题型分类+练出高分,单独配设思想方法详细点拨)第二章
基础知识·自主学习
要点梳理
2．函数的最值 前提 设函数 y＝f(x)的定义域为 I， 如果存在实数 M 满足 (1)对于任意 x∈I，都 条件 有 f(x)≤M ； (2)存在 x0∈I，使得 (3)对于任意 x∈I，都 有 f(x)≥M ； . (4)存在 x0∈I，使得
知识回顾 理清教材
f(x0)＝M .
利用函数的单调性求参数或参 数的取值范围，解题思路为视 参数为已知数，依据函数的图 象或单调性定义，确定函数的 单调区间，与已知单调区间比 较求参．
当 0<x1<x2≤ a时，0<x1x2<a，又 x1－x2<0， 所以 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)， 所以函数 f(x)在(0， a]上是减函数； 当 a≤x1<x2 时，x1x2>a，又 x1－x2<0，
所以 f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)，
所以函数 f(x)在[ a，＋∞)上是增函数．
又∵a>0，
∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，
的单调性．
∴f(x1)－f(x2)>0，
∴函数 f(x)在(－1,1)上为减函数．
题型分类·深度剖析
题型一 函数单调性的判断
思维启迪 解析 思维升华
利用定义法证明或判断函数单调
【例 1 】 讨论函数 f(x) ＝ 性的步骤： ax (a>0)在 x∈(－1,1)上 2 x －1 的单调性．
结论 M 为最大值
f ( x0 ) ＝ M
M 为最小值
基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基 (2) √ (3) × (4) × (5) √ (6) ×
2011年全国卷1高考理科数学试题含答案
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)复数212ii+-的共轭复数是（ ） （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i（2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ）（A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= （3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（ ） （A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（ ）（A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的侧视图可以为（ ）（7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）（A ） （B （C ）2 （D ）3（8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40（9）由曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为 （ ）（A ）103 （B ）4 （C ）163（D ）6 （10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 （ ）12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是 （ ） （A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P （11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ） （A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 (12)函数11-y x=的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） （A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
深刻理解 灵活应用
河北 杨新兰
公理2是立体几何中关于平面的基本性质之一，根据它除了可确定一个平面之外，还能得到如下推论：
推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
灵活运用此公理及其推论可以轻松解决有关“点、线共面”的问题．下面列举两例，以示说明．
例1 求证：两两相交但不过同一点的四条直线共面．
已知：a b c d ，，，四条直线，两两相交，但不过同一点．
求证：a b c d ，，，四条直线共面．
证明：分两种情况证明：
（1） 有三条直线过同一点，如图1，A d ∉ ，
∴过A d ，可确定平面α．
又B C D d ∈ ，，，
B C D α∴∈，，．
于是AB AC AD ααα⊂⊂⊂，，，
因此a b c d ，，，四条直线共面．
（2） 任三条直线都不过同一点，如图2，a b A = ，
∴过a b ，可确定平面α．
又D E b B C a ∈∈ ，，，，D E B C αα∴∈∈，，，，
由B E α∈，，得c α∈；
由C D α∈，,得d α∈.
因此, a b c d ，，，四条直线共面. 例2 如图3,设P Q R S M N ，，，，，分别为正方体 1111ABCD A BC D -的棱111111AB
BC CC C D A D A A ，，，，，的中点, 求证: P Q
R S M N ，，，，，共面. 证明:如图3,连结1A B MQ NR ，，．
P N ，分别为1AB A A ，的中点，1A B PN ∴∥．
11A D BC ∥，1A M BQ ∴∥．
M Q ，分别为11A D BC ，的中点，
1
AM BQ ∴=．
∴四边形1A BQM 为平行四边形．
1A B MQ ∴∥．PN MQ ∴∥．
因此，直线PN MQ ，可确定一个平面α．
同理，由PQ NR ∥可知，直线PQ NR ，确定一个平面β．
过两条相交直线PN PQ ，有且只有一个平面，
α∴与β重合，即R α∈．
同理可证S α∈．
因此，P Q
R S M N ，，，，，共面． 由以上两例可以看出，证明空间的点、线共面问题，通常采用以下两种方法：①根据已知条件先确定一个平面，再证明其他点或直线也在这个平面内；②分别过某些点或直线作两个平面，再证明这两个平面重合．。