1.2《极坐标系》教案
高中数学极坐标教案
高中数学极坐标教案教学目标1. 理解极坐标系的定义及其与直角坐标系的区别与联系。
2. 掌握极坐标系中的点的位置表示方法。
3. 学会基本的极坐标图形的绘制，如圆、直线等。
4. 能够将极坐标方程与直角坐标方程相互转换。
5. 解决一些简单的极坐标应用问题。
教学内容极坐标系的基本概念- 引入极坐标系的概念，解释极点、极轴、极径、极角等基本元素。
- 通过实例演示极坐标系与直角坐标系的转换关系。
极坐标下的点的位置表示- 详细讲解如何在极坐标系中表示一个点的位置。
- 强调极径和极角的取值范围和特点。
极坐标图形的绘制- 教授如何在极坐标系中绘制基本图形，例如圆和直线。
- 分析极坐标图形的特性和方程形式。
极坐标方程与直角坐标方程的转换- 通过具体例题，展示如何将极坐标方程转换为直角坐标方程。
- 同样地，讲解如何将直角坐标方程转换为极坐标方程。
极坐标的应用- 探讨极坐标在物理学、工程学等领域的实际应用。
- 解决一些实际问题，如定位、导航等。
教学方法- 采用启发式教学，鼓励学生主动思考和探索。
- 结合多媒体教学工具，使抽象概念形象化。
- 开展小组合作学习，促进学生之间的交流与合作。
教学过程1. 导入新课：回顾直角坐标系的知识，引出极坐标系的概念。
2. 新课讲解：按照教学内容的顺序，逐一讲解极坐标系的相关知识。
3. 实践操作：指导学生在极坐标纸上绘制图形，进行方程转换练习。
4. 应用探究：提出实际问题，引导学生运用极坐标解决问题。
5. 小结反馈：总结本节课的重点内容，对学生的学习情况进行评价。
教学评价- 通过课堂提问，了解学生对极坐标概念的理解程度。
- 布置相关习题，检验学生对知识点的掌握情况。
- 收集学生的反馈意见，评估教学方法的有效性。
结语。
(完整word版)《极坐标系》教学设计
(完整word版)《极坐标系》教学设计极坐标系是一种描述平面上点坐标的系统，它以距离和角度作为坐标表示。
在数学和物理学中，极坐标系被广泛应用于描述旋转对称的问题或者平面上点的位置。
本文将从极坐标系的基本概念、转换公式以及应用领域等方面进行介绍。
一、基本概念1. 极坐标系的定义极坐标系是一种平面坐标系，它由极轴、极点和极角组成。
极轴是从极点出发的直线，极角是从极轴开始逆时针旋转的角度。
而极点是坐标系的原点，通常表示为O。
极坐标系中，每个点的位置由极径和极角来确定。
2. 极径和极角极径是从极点到点P的距离，用r表示。
极角是从极轴到OP的角度，用θ表示。
在数学上，极径通常用非负数表示，而极角可以是任意实数。
3. 笛卡尔坐标系与极坐标系的转换极坐标系与笛卡尔坐标系是两种常用的坐标系。
它们之间可以通过一组转换公式相互转换。
在极坐标系中，点P的笛卡尔坐标表示为(x, y)，而点P在极坐标系中的坐标表示为(r, θ)。
转换公式如下：x = r * cos(θ)y = r * cos(θ)这两个公式可以实现从笛卡尔坐标系到极坐标系的转换，也可以实现从极坐标系到笛卡尔坐标系的转换。
二、转换公式的推导1. 从笛卡尔坐标系到极坐标系的转换假设点P在笛卡尔坐标系中的坐标为(x, y)，点P在极坐标系中的坐标为(r, θ)。
由于极径r是点P到极点O的距离，可以根据勾股定理得到r的表达式：r = sqrt(x^2 + y^2)又因为点P与x轴的夹角就是点P在极坐标系中的极角θ，可以应用反正切函数得到θ的表达式：θ = arctan(y / x)2. 从极坐标系到笛卡尔坐标系的转换假设点P在笛卡尔坐标系中的坐标为(x, y)，点P在极坐标系中的坐标为(r, θ)。
可以根据三角函数的定义得到x和y的表达式：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)这两个转换公式可以方便地实现极坐标系和笛卡尔坐标系之间的转换。
三、应用领域极坐标系在数学和物理学中被广泛应用于描述旋转对称的问题或者平面上点的位置。
(完整word版)《极坐标系》教学设计
1.2 极坐标系 (谷杨华 )一、授课目的〔一〕核心涵养经过这节课学习，认识极坐标系、能在极坐标系下用极坐标表示点的地址，会进行极坐标和直角坐标的互化，在直观想象、数学抽象中感觉极坐标的特点．〔二〕学习目标1．经过实例，认识极坐标系，领悟用极坐标表示点的特点．2．认识用极坐标系表示点的不独一性．3．能进行极坐标系与平面直角坐标系的互化，领悟在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的地址的差异．〔三〕学习重点1．认识极坐标系的重要性．2．用极坐标刻画点的地址．3．会进行极坐标与直角坐标的互化．〔四〕学习难点1．理解用极坐标刻画点的地址的根本思想．2．认识点与极坐标之间的对应关系．二、授课方案〔一〕课前设计1．预习任务〔 1〕读一读：阅读教材第8 页至第 11 页，填空：极坐标系的建立：在平面内取一个定点 O ，叫做极点；自极点 O 引一条射线 Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位 (平时取弧度 )及其正方向 (平时取逆时针方向 )，这样就建立了一个极坐标系．极坐标系内一点的极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M 的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为.有序数对 ( , ) 叫做点 M 的极坐标，记为 M ( , ) ．一般地，不作特别说明时，我们认为0 ，可取任意实数．〔 2〕想一想：点与极坐标有什么关系？一般地，极坐标( , ) 与 ( ,2k ) (k Z ) 表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为(0, )(R) ．若是规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用独一的极坐标( ,) 表示；同时，极坐标 ( ,) 表示的点也是独一确定的．〔 3〕写一写：极坐标系与直角坐标系怎样转变？把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是 ( x, y) ，极坐标是 ( , ) ，那么：x cos，y sin2x2y 2， tany( x 0)x2．预习自测〔 1〕在极坐标系中，以下各点中与(2,) 表示的不是同一个点的是()357513A．(2,)B．(2, )C．(2, )D．(2,)3333【知识点】极坐标系【解题过程】由于极坐标 ( , ) 与 ( ,2k ) ( k Z ) 表示同一个点，检验得，选项C不是同一个点【思路点拨】依照点的极坐标定义代入考据可得【答案】 C〔 2〕点A的直角坐标为(0,2)，那么点A的极坐标为〔〕A．(2, )B．(2,0)C．( ,2)D．(2,)222【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题思路】依照极坐标与直角坐标互化公式可得：0222 2 ，显然2【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得【答案】 A〔 3〕点 M 的极坐标为(3,) ，那么点M的直角坐标为〔〕4A ． (3,3)B ． (32,3 2)C ． (3 ,33 ) D ． ( 3,3 3)2222【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题思路】依照极坐标与直角坐标互化公式可得：xcos32, ysin3 222【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得 【答案】 B〔4〕 A 、B 两点极坐标为 A( 4, ), B( 6,2) ，那么线段 AB 中点的极坐标为________．33【知识点】极坐标与直角坐标互化、中点坐标公式【解题过程】 将 A,B 两点化为直角坐标得A(2,2 3), B( 3, 33) ，因其中点的直角坐标为(1,3) ，化为极坐标得 (1, 4)22 3【思路点拨】 先化为直角坐标， 利用在直角坐标系下的中点坐标公式求出中点， 再化为极坐标【答案】 (1, 4)3(二)课堂设计1．知识回忆（ 1〕平面直角坐标系中的点 P 与坐标 (a ,b)是一一对应的 . 2．问题研究研究一 结合实例，认识极坐标系 ★●活动① 提出问题，创立情境如右图 1 是某校园授课平面表示图，假设某同学在授课楼处，请答复以下问题：(1)他向东偏北 60 方向走 120m 后到达什么地址？该地址独一确定吗？(2)若是有人打听体育馆和办公楼的地址，他应怎样描述？〔学生答复〕(1) 他向东偏北 60 方向走 120m 后到达是点 C 图书馆的地址，该地址独一确定 .图 13/1645走 50m .上面刻画地址是以 A 作为基点，并以射线 AB 为参照方向，尔后利用与 A 距离和与 AB 所成角度来描述地址，比方“东偏北 60 ，距离120m〞，即利用“距离〞和“角度〞来刻画平面上点的地址 .在上一节中，我们用“在信息中心的西偏北45 方向，距离680 10m处〞描述了巨响的位置 .即以信息中心为基点，以正西方向为参照，用与信息中心的距离与正西方向所成的角来刻画巨响的地址 .有时它比直角坐标更方便，在现实生活中，有很多的应用，比方台风预告，地震预告，测量、航空、航海中主要采用这种方法 .【设计妄图】从生活实例到数学问题，引入学习极坐标系看法的必要性，形成用角和距离刻画点的地址的直觉 .●活动②互动交流，类比提炼看法我们类比建立平面直角坐标系的过程，怎样建立用距离与角度确定平面上点的地址的坐标系？〔学生谈论交流〕平面直角坐标系的建立是在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系 .平时，两条数轴分别置于水平川址与垂直地址，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向 .水平的数轴叫做 x 轴或横轴，垂直的数轴叫做 y 轴或纵轴，它们的公共原点 O 称为直角坐标系的原点，以点 O 为原点的平面直角坐标系记作平面直角坐标系 xOy .类比上述过程，我们在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线 Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(平时取弧度 )及其正方向 ( 平时取逆时针方向 )，这样就建立了一个极坐标系．极坐标建立后，怎样来定义平面中的点的极坐标呢？如右图 2，设M是平面内一点，极点 O 与点M的距离 OM 叫做点 M 的极径，记为；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角xOM 叫做点M的极角，记为有序数对 (, )叫做点 M 的极.坐标，记为 M ( , )．图 2一般地，不作特别说明时，我们认为0 ，可取任意实数．【设计妄图】从特别到特别，类比获取极坐标系，让学生不会感觉极坐标系来得太突然，顺其自然获取点在极坐标系中的定义 . ●活动③ 坚固基础，检查反应例 1在极坐标系里描出以下各点 .2A(3,0) ， B(3,) ,C(5, 4),D(3,5 ),E(6,5)423635【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中 6的表示O【数学思想】数形结合x【解题过程】依照点在极坐标的表示， 表示的是点到极点的距离，表示射线与极轴42533所成的角，所以个点在极坐标的地址如图．54【思路点拨】欲确定点的地址，需先确定 ρ6DF和 θ的值．GAO Bx【答案】如右图．同类训练在右图 3 的极坐标系中描出以下CE点的地址： F (3, ) ， G(4, )443【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系 图中的表示【数学思想】数形结合【解题过程】依照点在极坐标的表示， 表示的是点到极点的距离， 角，所以个点在极坐标的地址如图 3．【思路点拨】欲确定点的地址，需先确定 ρ和 θ的值．【答案】如右图 3． 研究二 研究点与极坐标的对应关系 ●活动①认识差异、辨析极坐标系在图 1 中，用点 A, B,C , D , E 分别表示授课楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的地址 .建立合适的极坐标系，写出各点的极坐标 .5 33表示射线与极轴所成的我们以点 A 为极点， AB 所在的射线为极轴〔单位长度为 1m 〕，建立极坐标系，那么 A, B, C , D , E 的极坐标分别为 (0,0), ( 60,0),(120, ),(60 3,), (50, 3)3 2 4建立极坐标系后，给定和 ，就可以在平面内独一确定点 M ，反过来，给点平面内任意一点，也能够找到她的极坐标 ( , ) .可可否和平面直角坐标系中的点和直角坐标相同，极坐标和点事一一对应的关系呢？【设计妄图】经过对点的极坐标的认识，为后边点的极坐标不独一做好铺垫．●活动② 合作研究，解决问题我们来观察以下极坐标表示的点之间有何关系呢？(4, ), (4,2 ), (4,4 ), (4,2)6 666由终边相同的角的定义可知，上述极坐标表示的是同一个点，于是：一般地，极坐标 ( , )和( , 2k )( k Z) 表示同一个点， 所以，极坐标和直角坐标不相同，平面内一个点的极坐标有无数种表示 .特别地，极点 O 的极坐标为 (0, )(R)若是我们规定0,02 ，那么除极点外， 平面内的点可用独一的极坐标 ( , )表示；同时，极坐标 ( ,) 表示的点也是独一确定的．同类训练在极坐标系中，写出以以下图中各点的极坐标( 0,0 2 )A 〔4，0〕B 〔〕 C 〔 〕D 〔〕F 〔〕G 〔〕【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示【数学思想】数形结合【解题过程】依照点 A 的极坐标，能够获取其他点的极坐标B( 2, ) ，4C(3, ) ,D(1, 5),F(6,4),G(5,5)．2 633【思路点拨】 (1)写点的极坐标要注意序次：极径ρ在前，极角 θ在后，不能够把序次颠倒了．(2)点的极坐标是不独一的， 但假设限制 ρ＞ 0，0≤θ＜ 2π，那么除极点外， 点的极坐标是独一确定的．【答案】 B(2,) ， C(3, 2 ) ,D(1, 5),F(6,4),G(5,5) ．4 63 3【设计妄图】经过辨析认识点的极坐标是不独一的，加深对极坐标系的认识．研究三 实现极坐标与直角坐标的互化 ★▲●活动① 归纳梳理、理解实质平面内的一个点既能够用直角坐标表示， 也能够用极坐标来表示， 那么这两种坐标之间有何联系呢？把直角坐标系的原点作为极点， x 轴的正半轴作为极轴， 并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图 5 所示．设 M 是平面内任意一点， 它的直角坐标是 ( x, y) ，极坐标是 ( , ) ，于是极坐标与直角坐标的互化公式以下：x cos 2x 2 y 2yysintan0)( x x这就是极坐标和直角坐标的互化公式 .图 5【设计妄图】获取直角坐标与极坐标之间的关系．活动② 坚固基础，检查反应例 2 分别把以下点的极坐标化为直角坐标〔 1〕 )〔 〕(2,2(3,)6 2【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】x cos2cos6 3〔 1〕由所以点的极坐标 ( 2, ) 化为直角坐标为 ( 3,1) ．ysin2sin166x cos3cos2 0〔2〕由所以点的极坐标 (3, ) 化为直角坐标为 (0,3) ．ysin3sin322【思路点拨】将点的极坐标 ( , ) 化为点的直角坐标 ( x, y) 时，运用到求角 θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特别角的三角函数值，灵便运用三角恒等变换公式是重点．【答案】〔 1〕 ( 3,1)〔2〕 (0,3) ．同类训练 分别把以下点的极坐标化为直角坐标〔1〕(4, 2)〔2〕( , )3【知识点】极坐标与直角坐标互化．【数学思想】x cos4 cos222【解题过程】〔 1〕3所以点的极坐标) 化为直角坐标为4sin2(4,ysin2 333( 2,2 3)．〔2〕由xcos cos 0所以点的极坐标 ( ,) 化为直角坐标为 ( ,0) ．ysin sin【思路点拨】将点的极坐标 ( , ) 化为点的直角坐标 ( x, y) 时，运用到求角 θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特别角的三角函数值，灵便运用三角恒等变换公式是重点．【答案】〔 1〕 ( 2,2 3)〔 2〕 ( ,0) ．例 3 点 B 、C 的直角坐标为 (2,2) , (0, 15) ,求它的极坐标 (ρ>0,0 ≤θ<2π).【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】∵ ρ= x 2＋ y 222 ( 2) 22 2, tan2 1 ,且点位于第四象限∴ θ= 7π,24点 B 的极坐标为 (2 2 ,7π).43π又∵ x=0,y<0,ρ=15,∴点 C 的极坐标为 (15, ).y【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时， 一般取 0,0 2 ，即 θ取最小正角 ,由 tan θ= x求 θ时，还需结合在直角坐标系下点 (x, y) 所在的象限来确定 θ的值 .【答案】 B(2 2 ,7π) C(15,3π)．42同类训练分别把以下点的直角坐标化为极坐标 (限制 ρ≥0，0≤θ <2π)〔1〕( 3,3) ；〔2〕( 1, 1)；〔 3〕( 3,0) ．【知识点】极坐标与直角坐标互化．【数学思想】【解题过程】〔 1〕( 3)23223, tan333又由于点在第一象限，所以.所以点( 3,3)的极坐标为(23,3) ．3〔 2〕( 1)2(1)22, tan11515又由于点在第三象限，所以.所以点( 1,1)的极坐标为 (2,) ．44〔 3〕( 3)2023，极角为，所以点 (3,0)的极坐标为 (3,) ．【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时，一般取0,02y ，即θ取最小正角 ,由 tan θ=x求θ时，还需结合在直角坐标系下点(x, y) 所在的象限来确定θ的值.【答案】〔 1〕)〔〕5〔〕(2 3, 2 (2,) 3 (3, )．34【设计妄图】坚固检查极坐标与直角坐标互化公式．3.课堂总结知识梳理〔1〕极坐标系的建立：在平面内取一个定点 O ，叫做极点；自极点 O 引一条射线 Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位 (平时取弧度 )及其正方向 (平时取逆时针方向 )，这样就建立了一个极坐标系．〔2〕极坐标系内一点的极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点 M 的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为.有序数对(, ) 叫做点 M 的极坐标，记为 M ( , ) ．一般地，不作特别说明时，我们认为0 ，可取任意实数．〔3〕若是规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用独一的极坐标( ,) 表示；同时，极坐标 ( ,) 表示的点也是独一确定的．〔4〕把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，以以下图．设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x, y) ，极坐标是 ( , ) ，于是极坐标与直角坐标的互化公式以下：x cos 2x 2y 2y( xysintan0)x重难点归纳（ 1〕极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的地址 .极坐标系的建立有四个要素： ①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向 .四者缺一不能．（ 2〕写点的极坐标要注意序次：极径 ρ在前，极角 θ在后，不能够颠倒序次（ 3〕假设两个坐标系吻合三个前提条件： (1)极点与直角坐标系的原点重合 ; (2) 极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合 ; (3) 两种坐标系的单位长度相同 .那么其互相转变：2x2y 2, tany( x0)直角坐标x极 坐 标M (x, y)M ( , )x cos , y sin〔三〕课后作业 基础型 自主打破1．极坐标系中，点 P(2 ,1) 到极点的距离是 ( )A ． 0B ． 1C ．2D ． 2【知识点】极坐标的定义．【解题过程】由极坐标定义 P(2 ,1)2 ，故 P 到极点的距离为 2π．【思路点拨】依照极坐标的定义进行判断． 【答案】 D ．2．以下各点中与极坐标 (5, ) 表示同一个点的是 ()．7A ．(5， 6)B ．(5，15)C ．(5， 6)D ．(5，)777 7【知识点】点在极坐标系中的表示． 【数学思想】【解题过程】依照极坐标 (5,)和(5, 2k )(kZ ) 表示同一个点，取 k 1 ，得选项 B ．77【思路点拨】极坐标 (, )和(,2k )(k Z ) 表示同一个点．【答案】 B．3．在直角坐标系中点P 1, 3 ，那么它的极坐标是A．2,B．4C．2,D．4 2,2,3333【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】由于(3)2122, tan3 3 ，且点在第四象限，所以选C1【思路点拨】依照极坐标与直角坐标互化来求解．【答案】 C．4．O为极点，π，B 5，7π)A 2，，那么S AOB (36【知识点】极坐标和直角坐标的互化，三角形面积．【数学思想】数形结合思想π，B 5，7π，所以 AOBπ，那么三角形为直角三角形，那么面【解题过程】由于 A 2，362积为12 5 5 ，所以选D. 2【思路点拨】依照极坐标的点对应的直角坐标系中的点解析解析其几何关系计算即可．【答案】 D．5．规定0,R ，那么极轴上极点以外的点的极坐标为________．【知识点】点与极坐标系的关系．【数学思想】【解题过程】由于在极轴上且不是极点，所以极角2k , k Z , 极径0 ，所以极坐标为( ,2k )( k Z ) ．【思路点拨】依照极坐标的定义来办理．【答案】 ( ,2k )( k Z) ．11/166．极坐标系中，与点(3,) 关于极轴所在直线对称的点的极坐标是________．3【知识点】点的极坐标．【解题过程】由于(3,) 关于极轴所在直线对称的点为(3,) ．33【思路点拨】将点描在极坐标系中来求解．【答案】 (3,) ．3能力型师生共研7．在极坐标系中，到极点的距离等于到极轴的距离的点能够是〔〕A．(1,0)B．(2,)C．(3,)D．(4,)42【知识点】极坐标的定义、点的极坐标．【数学思想】数学结合【解题过程】由题意知y ，又由 y sin ,sin，所以sin1，所以选 C 【思路点拨】结合极坐标的定义和极坐标与直角坐标的转变．【答案】 C8．点的极坐标分别为A(3，)， B(2，23，π)，D(－ 4，)，求它们的直角3)，C(422坐标．【知识点】直角坐标与极坐标互化．【解题过程】依照 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ得 A32 3 2，B (－， 3 )，C( 3 ，0)，D(0，222－4)【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化公式求解．【答案】 A32 3 2，B (－，3)，C(3 ，0)，，－4)(,)12D(022研究型多维打破9．点的直角坐标分别为A(3， 3 )，B(0，5)，C(－2， 23 )，求它们的极坐标 (ρ≥ 0,0θ≤3＜2π)．【知识点】直角坐标与极坐标互化．222y 得 A(2 3,3 34 )．【解题过程】 (2)依照 ρ＝x ＋y ， tan θ＝x)，B (, ) ，C(4，3636【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化公式求解．【答案】 A( 2 3,)，B ( 3,3) ，C(4， 4)．6 36310．某大学校园的局部平面表示图如图：用点 O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ， G 分别表示校门，器材室，操场，公寓，授课楼，图书馆，车库，花园，其中 ABBC ， OC 600 m.建立合适的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标〔限制0，02π 且极点为〔 0， 0〕〕 .【知识点】极坐标系的建立、极坐标刻画点的地址．【解题过程】以 O 为极点，OA 所在射线为极轴建立极坐标系， 由于 OC600 ， AOCπ ，6π .故 C 600，6又 OA600 π 300 3， OD600 sinπ 300 ， OE 3002 ，OF 300，cos66OG 1502 .故A300π3πF 300， π3π，，，，， D300，E 3002，，G 15023 0244【思路点拨】解决问题的重点是依照极坐标系计算即可．【答案】 A 300 3，0 π ，E 3003π， F 300， π ， G 150 3π， D 300，2，2，244自助餐1．在极坐标系中，A( 2, ), B(6, ) ，那么 OA, OB 的夹角为 ( )．6 6A.B．06【知识点】极坐标的定义．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】以以下图，夹角为C. D.536.3【思路点拨】将 A, B 两点的极坐标标在极坐标系中可得．【答案】 C2．设点 P 对应的复数为－ 3＋3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，那么点P 的极坐标为 ()A． 3 2，3πB．－3 2，5π4453C． 3，4πD．－3，4π【知识点】复数、极坐标与直角坐标互化．【解题过程】复数33i 对应的点的直角坐标为( 3,3)，由(3)23223, tan3 1 ，且点在第二象限，所以选A．3【思路点拨】先把复数化为直角坐标，再化为极坐标．【答案】 A．3．在直角坐标系xOy 中 ,以 O 为极点 ,x 正半轴为极轴建立极坐标系,且在两种坐标系中取相同的单位长度 ,将点 P 的极坐标π. 2,化成直角坐标4【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】由点Pπ,设点 P的直角坐标为 (x,y), 所以的极坐标为 2,4ππ2 ．x 2cos2, y 2sin44【思路点拨】依照极坐标与直角坐标互化公式求解．2,2【答案】．4．以极点为原点，极轴的方向为 x 轴的正方向，建立直角坐标系，那么极坐标5M (2021, ) 表3示的点在第 ________象限．【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】依照 xcos2021 cos5 2021 ， y sin2021 sin5 2021 3 ，3232所以点在第四象限．【思路点拨】依照极坐标与直角坐标互化公式求解．【答案】四5．在极坐标系中 ,分别求以下条件下点 M (3,) 关于极轴的对称点 M 的极坐标 :3(1) 0, 0,2 .(2)0, R【知识点】极坐标系中点的刻画．【解题过程】 1)当0,0,2时,点 M (3, ) 关于极轴的对称点 M 的极坐标为 (3, 5) .33(2)0,R 时,点 M (3,) 关于极轴的对称点 M 的极坐标为 (3,2k 5 )(k Z ) ．33【思路点拨】依照点在极坐标的刻画来求解．【答案】〔 1〕 (3, 5 ) ；〔 2〕 (3,2k5)(k Z ) ．336．在极坐标系中，三点 M (2,), N (2,0), P(2 3, ) .3 6(1)将 M ，N ，P 三点的极坐标化为直角坐标；(2)判断 M ，N ，P 三点可否在一条直线上．【知识点】极坐标与直角坐标互化x ＝ρcos θ， 得 M 的直角坐标为 (1，－3)；【解题过程】 (1)由公式y ＝ρsin θ，N 的直角坐标为 (2,0)；P 的直角坐标为 (3， 3)．33－0(2)∵k MN ＝2－1＝ 3，k NP ＝ 3－ 2 ＝ 3，∴ k MN ＝k NP ，∴ M ， N ， P 三点在一条直线上．【思路点拨】依照极坐标与直角坐标互化公式求解．【答案】〔 1〕M(1，－3)， N(2,0)，P(3，3)；〔 2〕在同一条直线上．。
极坐标系教案及设计说明
极坐标系教案及设计说明一．教材分析（一）教学内容：极坐标系及极坐标平面内点的极坐标。
（华东师大版高级中学课本数学三年级第一学期第115〜117页）（二）本节教材的地位，作用及前后联系本节教材是继学生比较系统地学习了在直角坐标系中研究点的坐标和曲线方程及曲线性质的方法后要学习的另一平面坐标系——极坐标系。
极坐标系不同于直角坐标系，它的引入为进一步研究圆锥曲线的共同特性、研究等速螺线等提供了新的工具。
同时极坐标系的引入还说明，解析法所依赖的坐标系不只是直角坐标系，还可以从实践和数学的需要引出其他坐标系。
（三）教学重点、难点、关键：1 ．重点：极坐标平面内点的极坐标。
2 •难点：p取负值时点的极坐标（p,9）o3．关键：克服直角坐标系中确定点坐标的思维定势。
二．学生认知基础分析高三学生通过两年的学习已比较系统地掌握了高中数学学科的必修内容规定的基础知识和基本技能，他们已具有一定的理解能力、运算能力、逻辑思维能力和抽象概括能力等，他们的心智也趋于成熟。
本班学生也不例外。
但在班级授课制下，学生认知水平不可能是整齐划一的。
他们中大部分学生基础知识和基本技能较扎实，思维活跃，也有一部分学生基础知识和基本技能不够扎实，接受新知识较慢。
三．教学目标分析依据课程标准、本节教材的特点和学生的认知基础确定教学目标如下：1．知识目标：（1）理解极坐标系的有关概念；（2）掌握极坐标平面内点的极坐标的表示。
a）会在极坐标系内描出已知极坐标的点；b）会写出极坐标平面内点的极坐标2•能力目标：进一步提高学生的观察、归纳、分析和概括能力；学会分类讨论及类比的数学思想方法。
3•情感目标：通过生活中的具体事例引入极坐标系使学生认识数学的价值。
通过对问题的探究使学生享受到成功的喜悦。
四.教法设计（遵循“教师为主导，学生为主体”的原则，体现“以学生发展为本”的教学理念）根据现代建构理论：学生的学习是在已有经验的基础上的主动建构的过程；在这一过程中，学生处于主体地位，而教师处于主导地位。
极坐标系的概念教学设计
极坐标系的概念教学设计一、教学目标：1.了解极坐标系的概念和基本性质；2.掌握如何在直角坐标系和极坐标系之间进行转换；3.掌握在极坐标系下表示点的方法；4.能够用极坐标系描述简单图形。
二、教学重点与难点：1.教学重点：极坐标系的概念和基本性质；2.教学难点：在极坐标系下表示点的方法。
三、教学准备：1.教师准备：PPT、投影仪、白板、黑板笔；2.学生准备：直角坐标系与极坐标系的相关知识。
四、教学过程：Step 1 引入新课 (10分钟)1.引导学生回顾直角坐标系的概念和性质；2.提问：在直角坐标系中，我们如何用两个坐标值x和y来定位一个点？是否能用其他方式来表示点的位置？3.出示极坐标系的图形，引导学生思考极坐标系的概念。
Step 2 极坐标系的概念与性质 (15分钟)1.解释极坐标系的概念：极坐标系是由极轴和极角组成的，极轴是用来表示点到极点的距离的半直线，极角是用来表示点到极点的半直线与固定半直线的夹角；2.引导学生分析极坐标系的性质：极坐标系是二维坐标系，极轴是从极点出发的一条非负半直线，极角的范围是[0,2π)，极坐标系中，每一个点都有唯一的极坐标。
Step 3 直角坐标系与极坐标系的转换 (20分钟)1.提示学生极坐标系直角坐标系的转换方法：- x = r * cosθ- y = r * sinθ2.在白板上画出一个示例图形，并引导学生进行转换练习。
Step 4 极坐标系中点的表示方法 (20分钟)1.解释如何用极坐标表示平面上的点：极坐标的标记方式是(r,θ)，其中，r表示点到极点的距离，θ表示点与固定半直线的夹角；2.在黑板上画出一个示例图形，引导学生练习用极坐标表示点的方法。
Step 5 极坐标系的应用 (20分钟)1.示范用极坐标系描述简单图形；2.引导学生进行实际练习。
Step 6 小结与课堂练习 (15分钟)1.积极小结本课的内容：回顾极坐标系的概念和性质，直角坐标系与极坐标系的转换，极坐标系中点的表示方法，以及极坐标系的应用；2.针对性布置相关课后习题。
极坐标系的概念教案.docx
课题: 选修 4-4 《1.2.1极坐标系的概念》执教人：高朝孟执教班级：高二年级（18,26,27 ）班执教时间： 2016 年 06 月 18 日一、教学目标：1、知识与技能：（1）理解极坐标的概念，弄清极坐标系的结构（建立极坐标系的四要素）；（2）理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ，θ）与点之间的多对一的对应关系；（3）已知一点的极坐标会在极坐标系中描点，以及已知点能写出它的极坐标。
2、过程与方法：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系中刻画点的位置.3、情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、学情分析学生在学习了数轴、平面直角坐标系、空间直角坐标系的初步知识的基础上，积累了一定类比、归纳推理等数学思维方法，对极坐标思想有一定的了解。
三、教学重点难点：教学重点：理解极坐标的意义。
教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置。
三、教学过程：一、问题情境，导入新课：情境 1：钓鱼岛问题：中国海警如何确定日本渔船？3：利用数学建模，从问题情境中发现数学问题：分析利用方向、距离确定位置，引出另一种更简单的坐标思想—极坐标的思想。
二、讲解新课：1、合作探究，概念形成。
（1）学生阅读教材 P8-P10 页；（2）学生表述极坐标的建立，教师结合学生表述，展示 PPT 对极坐标的概念作深入分析。
极坐标系的建立：在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。
（其中 O称为极点，射线 OX称为极轴。
）强调 : 极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。
极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置。
2、极坐标系内一点的极坐标的表示对于平面上任意一点M ，用表示线段OM的长度，用表示从OX到OM的角度，叫做点 M 的，叫做点 M 的，有序数对( , )就叫做 M 的.强调 : 一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥ 0，θ可取任意实数．特别地，当点 M在极点时，它的极坐标为 (0 ，θ) ，θ可以取任意实数．3、典型例题例 1 写出下图中各点的一个极坐标A（）B（）C（）D（）E（）F（）G（）【反思感悟】(1) 写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序搞错了．变式训练 . 在极坐标系里描出下列各点A(3,0), B(6,2 ), C (3,) , D (5, 4), E(3,5) , F (4 ,),G (6 ,5)23634、思考：通过例子，对比平面直角坐标系，平面上的点与极坐标有何关系？（1）. 平面上一点的极坐标是否惟一？若不惟一，那有多少种表示方法？（2）. 坐标不惟一是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？强调：点与极坐标的关系：一般地，极坐标 ( ρ，θ ) 与____________________表示同一个点．特别地，极点 O 的坐标为 (0 ，θ )( θ∈ R)．和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．（3）想一想：我们是否能限制一些条件使得平面上的点与极坐标一一对应呢？（如果限定：＞0,0＜2，那么除了极点外，平面内的点就和极坐标一一对应了！）（1）探究：极坐标是否对应惟一的一点答：规律总结：建立极坐标系后，给定( ρ，θ ) ，就可以在平面内唯一确定一点M；巩固练习1、已知极坐标M54，下列所给出的不能表示点 M的极坐标的是（）（，）310A（.5，）32B（.5，-）C（.5，-）38D.(5,)四、课堂小结，反思感悟。
《极坐标系》教案
《极坐标系的概念》教学设计教材版本：人民教育出版社数学A版选修4-4《坐标系与参数方程》一、教材分析极坐标系是高中教材人教A版选修4-4第一讲第一节的内容, 是在学生已经学习过平面直角坐标系的背景下，通过生活实例、类比直角坐标系的研究方法让学生针对建立极坐标系的合理性，便捷性进行探究，自主完成极坐标系的建立，并表示点的极坐标。
为后面学习直角坐标与极坐标的互化，简单曲线的极坐标方程以及参数方程奠定基础。
二、学情分析通过前面对平面直角坐标系的学习，学生已经对坐标系有了一定的了解；极坐标的思想已经普遍地存在于日常生活中，对于极坐标系的学习应该容易接受。
三、教学设计原则及策略激发学生的兴趣，充分调动其积极性，让他们真正参与到教学活动中来。
此外，该节课的核心在于自主探究出极坐标系建立的顺其自然和合理性，并熟悉，初步会应用。
基于以上认识，我根据学生的认知特点和接受水平，对教材进行了一些处理，先从实际例子、生活常识出发，抛出问题，让学生自主探究，过程中加以指导，最终完成整节课的教学。
四、教学目标1、知识与技能：利用生活实例，体会极坐标的思想，用此思想自主建立极坐标系，并求点的极坐标；理解点的极坐标的不惟一性。
2、过程与方法：①通过自主探究体会数形结合、类比的数学思想方法。
②通过探究活动培养学生观察、分析、比较和归纳能力。
3、情感态度与价值观：用生活实例，类比直角坐标系，使学生明白建立极坐标系的好处，感觉数学源于生活用于生活。
采取探究的形式，合作交流的形式激发学生的学习兴趣。
五、教学重、难点1．重点：运用我们的生活常识，体会极坐标的思想，并用此思想建立极坐标系，表示点的极坐标。
2．难点：对点的极坐标的不惟一性（极角的不惟一）的理解六、教学方法问题探究法、讲解示范法七、教学媒体设计本节课涉及的知识点少且简单，就一个极坐标系的建立，但为了能更好的完成自主探究和节约时间，故本节课采取用多媒体课件进行辅助展示，师生共同合作交流来突出重点、突破难点。
人教版数学高二《极坐标系》 精品教案 人教
极坐标系一、教学设计导引本节教材是人民教育出版社出版的高中数学课程选修系列4中的第4个专题，坐标系与参数方程中第一讲第二节的内容，它是继学生学习了在直角坐标系中研究平面内点的坐标，使曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合，在此基础上由于现实问题的复杂性，有时在直角坐标系下建立几何图形的方程并不方便，为便于用代数方法研究几何图形，需要建立不同的坐标系，进而引入极坐标系等不同的坐标系，为进一步学习曲线方程、解析几何打下基础。
二、教学设计教学目标：使学生掌握极坐标系的建立，极坐标系下点与极坐标的对应关系教学重.难点：极坐标系下点与极坐标的对应关系教学准备：多媒体课件教学过程设计：（一）复习旧知识教学内容：问题：怎样在平面直角坐标系下确定平面内点的位置？学生活动：相互交流，思考并回答问题教师活动：归纳总结学生的回答，并指出建立直角坐标系时应注意的相关内容。
设计意图：通过复习平面直角坐标的相关内容，为极坐标系概念的引入作铺垫，同时为下一节直角坐标与极坐标互化打下基础。
（二）提出问题，创设情境教学内容：教科书第9页图1—9是某校园教学平面示意图，假设某同学在教学楼处，请回答下列问题：(1)他向东偏北60度方向走120厘米后到达什么位置？该位置唯一确定吗？(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？(3)思考：类比建立平面直角坐标系的过程，怎样建立用距离与角度确定平面上点的位置的坐标系。
学生活动：分组讨论，交流结论教师活动：以恰当的问题引导学生经历观察、归纳、概括、交流反思的思维过程和知识发生发展的过程，通过鼓励和旁白等方式让学生积极参与这个过程。
设计意图：通过问题的思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础。
同时通过问题诱发学生的好奇心，激发学生的学习兴趣和求知欲望。
（三） 呈现新知识教学内容：1、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二、极坐标系 【基础知识导学】
1． 极坐标系和点的极坐标
极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。
规定：
当点M 在极点时，它的极坐标θρ,0=可以取任意值。
2． 平面直角坐标与极坐标的区别
在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x ，y ）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽
然一个有序实数对),(θρ只能与一个点P 对应，但一个点P 却可以与无数多个有序实数对对应),(θρ，极坐标系中的点与有序实数对极坐标
),(θρ不是一一对应的。
3． 极坐标系中，点M ),(θρ的极坐标统一表达式Z k k ∈+),2,(θπρ。
4． 如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示，
同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
5． 极坐标与直角坐标的互化
（1） 互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与X 轴的正方向重合；③
两种坐标系中取相同的长度单位。
（2） 互化公式⎩⎨
⎧==θ
ρθρsin cos y x ，
⎪⎩
⎪
⎨
⎧≠=+=0,tan 222x x y y x θρ。
【知识迷航指南】 【例1】
在极坐标系中，描出点)3
,
2(π
M ，并写出点M 的统一极坐标。
【点评】点)3
,
2(π
M 的统一极坐标表示式为)3
2,2(π
π+
k ，如果允许0<ρ，还可以表
示为)3
)12(,2(π
π+
+-k 。
X
【例2】已知两点的极坐标)6
,3(),2
,3(π
πB A ，则|AB|=______,AB 与极轴正方向所成的
角为________.
解:根据极坐标的定义可得|AO|=|BO|=3,∠AOB=600
,即∆AOB 为等边三角形,所以
|AB|=|AO|=|BO|=3, ∠ACX=6
5π
【点评】在极坐标系中我们没有定义两点间的距离,我们只要画出图形便可以得到结果. 【例3】化下列方程为直角坐标方程,并说明表示的曲线.
(1)4
3π
θ=,()R ∈ρ
(2)θθρcos 2sin +=
【解】(1)根据极坐标的定义,因为x y x
y -==即,43tan
π,所以方程表示直线.
(2)因为方程给定的ρ不恒为0,用ρ同乘方程的两边得:θρθρρcos 2sin 2
+= 化为直角坐标方程为,22
2
x y y x +=+即4
5)2
1()1(2
2
=
-
+-y x ,这是以(1,
2
1)为
圆心,的圆.
【点评】①若没有R ∈ρ这一条件,则方程表示一条射线.
②极坐标方程化为直角坐标方程,方程两边同乘ρ,使之出现ρ2
是常用的方法. 【解题能力测试】
1．已知点的极坐标分别为)4
,3(π
-A ，)3
2,
2(πB ，),2
3(
πC ，)2
,
4(π
-D ，求它们的直角
坐标。
1． 已知点的直角坐标分别为)32,2(),3
5,0(),3,3(---C B A ，求它们的极坐标。
3．已知点M 的极坐标为)3
,5(π
-，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是（ ）
)3
,5.(π
-
A )3
4,
5.(πB )3
2,5.(π-
C )3
5,5.(π-
-D
4．点P 的直角坐标为)3,1(-，则点P 的极坐标为（ ）
)3
,
2.(π
A )3
4,
2.(πB )3
,2.(π
-
C )34,2.(π-
D
【潜能强化训练】
1．在极坐标中，若等边∆ABC 的两个顶点是)4
,2(π
A 、)4
5,
2(πB ，那么顶点C 的坐标可能
是（ ）
)4
3,4.(πA
)4
3,
32(πB
),32.(πC
),3.(πD
2．在极坐标系内，点)2
,3(π
关于直线.6
π
θ=
)(R ∈ρ的对称点坐标为（ ）
A
(C
3．
若)3
,2(π
--P 是极坐标
系中的一点，则
).3
5,2()..3
8,2()..3
2,2(πππ-M R Q )3
52,2(ππ-k N )(Z k ∈四点中与P 重合的点有（ ）
A ．1个
B 2个
C 3个
D 4个 4．极坐标方程)0..(2
2cos ≥=
ρθ表示的曲线是（ ）
A 余弦曲线
B 两条相交直线
C 一条射线
D 两条射线 5．极坐标系中，点A 的极坐标是)6
,
3(π
，则 （1）点A 关于极轴对称的点是_______.
(2) 点A 关于极点对称的点的极坐标是___.
(3) 点A 关于直线2
π
θ=的对称点的极坐标是________.(规定: )0(>ρ[)πθ2,0∈
【知识要点归纳】
(1)要注意直角坐标与极坐标的区别,直角坐标系中平面上的点与有序实数对),(y x 是一一对应的,在极坐标系中,平面上的点与有序实数对),(θρ不是一一对应的,只有在规定
0(>ρ,[)πθ2,0∈)的前提下才一一对应.在解题时要注意极坐标的多和表示形式.
(2)直角坐标与极坐标互化要注意互化的前提.若要判断曲线的形状,可先将极坐标方程化为直角坐标方程,再判断.
二、坐标系
〔解题能力测试〕
1． A 2
2
- (1,(0)(0,4)2
B C D --
-
2． 34),)(4,).6
323
A B C π
ππ 3、A 、4、C 〔潜能强化训练〕
1、B
2、D
3、C
4、D 5（1）11(3,)6
π （2）7(3,
)6
π （3）5(3,
)6π。